Berechnung der Länge des Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks. Formeln zur Bestimmung der Seitenlängen eines Rechtecks
Rechteck Ist ein Viereck, von dem jede Ecke rechts ist.
Nachweisen
Die Eigenschaft wird durch die Wirkung von Attribut 3 eines Parallelogramms erklärt (dh \ Winkel A = \ Winkel C, \ Winkel B = \ Winkel D)
2. Gegenüberliegende Seiten sind gleich.
AB = CD, \ enspace BC = AD
3. Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
AB \ parallel CD, \ enspace BC \ parallel AD
4. Benachbarte Seiten stehen senkrecht aufeinander.
AB \ perp BC, \ enspace BC \ perp CD, \ enspace CD \ perp AD, \ enspace AD \ perp AB
5. Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich.
AC = BD
Nachweisen
Entsprechend Eigenschaft 1 das Rechteck ist ein Parallelogramm, was AB = CD bedeutet.
Daher \ Dreieck ABD = \ Dreieck DCA in zwei Schenkeln (AB = CD und AD - Gelenk).
Wenn beide Figuren - ABC und DCA - identisch sind, sind auch ihre Hypotenusen BD und AC identisch.
Daher ist AC = BD.
Nur ein Rechteck aller Figuren (nur von Parallelogrammen!) haben gleiche Diagonalen.
Auch dies werden wir beweisen.
ABCD - Parallelogramm \ Pfeil nach rechts AB = CD, AC = BD nach Bedingung. \ Pfeil nach rechts \ Dreieck ABD = \ Dreieck DCA schon auf drei seiten.
Es stellt sich heraus, dass \ Winkel A = \ Winkel D (wie die Winkel eines Parallelogramms) ist. Und \ Winkel A = \ Winkel C, \ Winkel B = \ Winkel D.
Wir folgern das \ Winkel A = \ Winkel B = \ Winkel C = \ Winkel D... Sie sind alle 90 ^ (\ circ). Insgesamt - 360 ^ (\ circ).
Bewährt!
6. Das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate seiner beiden benachbarten Seiten.
Diese Eigenschaft ist aufgrund des Satzes des Pythagoras gültig.
AC ^ 2 = AD ^ 2 + CD ^ 2
7. Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei identische rechtwinklige Dreiecke.
\ Dreieck ABC = \ Dreieck ACD, \ enspace \ Dreieck ABD = \ Dreieck BCD
8. Der Schnittpunkt der Diagonalen teilt sie in zwei Hälften.
AO = BO = CO = DO
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9. Der Schnittpunkt der Diagonalen ist die Mitte des Rechtecks und des Umkreises.
10. Die Summe aller Winkel beträgt 360 Grad.
\ Winkel ABC + \ Winkel BCD + \ Winkel CDA + \ Winkel DAB = 360 ^ (\ circ)
11. Alle Ecken des Rechtecks sind gerade.
\ Winkel ABC = \ Winkel BCD = \ Winkel CDA = \ Winkel DAB = 90 ^ (\ circ)
12. Der Durchmesser eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises ist gleich der Diagonale des Rechtecks.
13. Um ein Rechteck herum kann man immer einen Kreis beschreiben.
Diese Eigenschaft ist wahr, weil die Summe der gegenüberliegenden Ecken des Rechtecks 180 ^ (\ circ) ist.
\ Winkel ABC = \ Winkel CDA = 180 ^ (\ circ), \ enspace \ Winkel BCD = \ Winkel DAB = 180 ^ (\ circ)
14. Ein Rechteck kann einen einbeschriebenen Kreis enthalten und nur einen, wenn es die gleiche Seitenlänge hat (ist ein Quadrat).
Das Problem, die Diagonale eines Rechtecks zu finden, kann auf drei verschiedene Arten formuliert werden. Schauen wir uns jeden von ihnen genauer an. Die Methoden hängen von den bekannten Daten ab. Wie finden Sie also die Diagonale des Rechtecks?
Wenn zwei Seiten davon bekannt sind
Für den Fall, dass zwei Seiten des Rechtecks a und b bekannt sind, um die Diagonale zu finden, muss der Satz des Pythagoras verwendet werden: a 2 + b 2 = c 2, hier sind a und b die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, c ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Wenn eine Diagonale in ein Rechteck gezeichnet wird, teilt sie sich in zwei rechtwinklige Dreiecke. Wir kennen zwei Seiten dieses rechtwinkligen Dreiecks (a und b). Das heißt, um die Diagonale eines Rechtecks zu finden, wird die Formel wie folgt benötigt: c = √ (a 2 + b 2), hier ist c die Länge der Diagonalen des Rechtecks.
Auf einer bekannten Seite und Ecke, zwischen einer Seite und einer Diagonale
Die Seite des Rechtecks a und der Winkel, den es mit der Diagonale des Rechtecks α bildet, seien bekannt. Erinnern Sie sich zunächst an die Kosinusformel: cos α = a / c, hier ist c die Diagonale des Rechtecks. So berechnen Sie die Diagonale eines Rechtecks aus dieser Formel: c = a / cos α.
Entlang der bekannten Seite der Winkel zwischen der angrenzenden Seite des Rechtecks und der Diagonale.
Da die Diagonale eines Rechtecks das Rechteck selbst in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt, ist es logisch, sich der Definition des Sinus zuzuwenden. Sinus ist das Verhältnis des diesem Winkel gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse sin α = b / c. Daraus leiten wir die Formel zur Bestimmung der Diagonale eines Rechtecks ab, das auch die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist: c = b / sin α.
Jetzt sind Sie in dieser Angelegenheit versiert. Du kannst deinem Geometrielehrer morgen gefallen!
Definition.
Rechteck- Dies ist ein Viereck, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich sind und alle vier Ecken gleich sind.Die Rechtecke unterscheiden sich nur im Verhältnis der langen Seite zur kurzen Seite, aber alle vier Ecken sind gerade, also 90 Grad.
Die lange Seite des Rechtecks heißt die Länge des Rechtecks, und das kurze - Breite des Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks sind auch seine Höhen.
Grundeigenschaften eines Rechtecks
Das Rechteck kann ein Parallelogramm, ein Quadrat oder eine Raute sein.
1. Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks haben die gleiche Länge, dh sie sind gleich:
AB = CD, BC = AD
2. Die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks sind parallel:
3. Benachbarte Seiten des Rechtecks sind immer senkrecht:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Alle vier Ecken des Rechtecks sind gerade:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °
5. Die Winkelsumme des Rechtecks beträgt 360 Grad:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °
6. Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich lang:
7. Die Summe der Quadrate der Diagonale des Rechtecks ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Jede Diagonale des Rechtecks teilt das Rechteck in zwei identische Formen, nämlich rechtwinklige Dreiecke.
9. Die Diagonalen des Rechtecks schneiden sich und werden im Schnittpunkt halbiert:
| AO = BO = CO = DO = | D | ||
| 2 |
10. Der Schnittpunkt der Diagonalen heißt Mittelpunkt des Rechtecks und ist auch Mittelpunkt des umschriebenen Kreises
11. Die Diagonale eines Rechtecks ist der Durchmesser des umschriebenen Kreises
12. Um ein Rechteck kann man immer einen Kreis beschreiben, da die Summe der entgegengesetzten Winkel 180 Grad beträgt:
∠ABC = ∠CDA = 180 ° ∠BCD = ∠DAB = 180 °
13. Ein Kreis kann nicht in ein Rechteck eingeschrieben werden, dessen Länge nicht gleich seiner Breite ist, da die Summen der gegenüberliegenden Seiten nicht gleich sind (ein Kreis kann nur in einem Sonderfall eines Rechtecks - einem Quadrat) eingeschrieben werden.
Seiten eines Rechtecks
Definition.
Die Länge des Rechtecks ist die Länge des längeren Seitenpaares. Breite des Rechtecks ist die Länge des kürzeren Seitenpaares.Formeln zur Bestimmung der Seitenlängen eines Rechtecks
1. Formel der Seite eines Rechtecks (Länge und Breite des Rechtecks) durch die Diagonale und die andere Seite:
a = d 2 - b 2
b = d 2 - a 2
2. Formel der Seite eines Rechtecks (Länge und Breite des Rechtecks) durch die Fläche und die andere Seite:
| b = d cos | β |
| 2 |
Diagonale eines Rechtecks
Definition.
Diagonales Rechteck Jedes Segment, das zwei Eckpunkte gegenüberliegender Ecken eines Rechtecks verbindet, wird aufgerufen.Formeln zur Bestimmung der Länge der Diagonalen eines Rechtecks
1. Formel der Diagonale eines Rechtecks durch die beiden Seiten des Rechtecks (durch den Satz des Pythagoras):
d = a2 + b2
2. Formel der Diagonale eines Rechtecks in Bezug auf die Fläche und eine beliebige Seite:
4. Formel der Diagonalen eines Rechtecks in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises:
d = 2R
5. Formel der Diagonale eines Rechtecks durch den Durchmesser des umschriebenen Kreises:
d = D ungefähr
6. Formel der Diagonalen eines Rechtecks in Form des Sinus des an die Diagonale angrenzenden Winkels und der Länge der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite:
8. Formel der Diagonalen eines Rechtecks in Bezug auf den Sinus eines spitzen Winkels zwischen den Diagonalen und der Fläche des Rechtecks
d = √2S: Sünde β
Umfang eines Rechtecks
Definition.
Umfang eines Rechtecks nennt man die Summe der Längen aller Seiten des Rechtecks.Formeln zur Bestimmung der Umfangslänge eines Rechtecks
1. Formel für den Umfang eines Rechtecks durch zwei Seiten des Rechtecks:
P = 2a + 2b
P = 2 (a + b)
2. Formel für den Umfang eines Rechtecks in Bezug auf die Fläche und eine beliebige Seite:
| P = | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| ein | B |
3. Formel für den Umfang eines Rechtecks durch die Diagonale und eine beliebige Seite:
P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2 (b + √ d 2 - b 2)
4. Formel für den Umfang eines Rechtecks in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:
P = 2 (a + √4R 2 - ein 2) = 2 (b + √4R 2 - b 2)
5. Formel für den Umfang eines Rechtecks in Bezug auf den Durchmesser des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:
P = 2 (a + √D o 2 - ein 2) = 2 (b + √D o 2 - b 2)
Rechteckfläche
Definition.
Durch die Fläche des Rechtecks heißt der Raum, der von den Seiten des Rechtecks begrenzt wird, also innerhalb des Umfangs des Rechtecks.Formeln zur Bestimmung der Fläche eines Rechtecks
1. Formel für die Fläche eines Rechtecks in zwei Seiten:
S = a b
2. Formel für die Fläche eines Rechtecks in Bezug auf den Umfang und eine beliebige Seite:
5. Formel der Fläche eines Rechtecks in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:
S = a √4R 2 - ein 2= b √4R 2 - b 2
6. Formel der Fläche eines Rechtecks in Bezug auf den Durchmesser des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:
S = a D o 2 - ein 2= b √D o 2 - b 2
Kreis umschrieben um ein Rechteck
Definition.
Um ein Rechteck eingekreist heißt Kreis, der durch die vier Eckpunkte eines Rechtecks geht, dessen Mittelpunkt im Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks liegt.Formeln zur Bestimmung des Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises
1. Formel für den Radius eines Kreises, der von zwei Seiten um ein Rechteck umschrieben wird:
