Die Zufallsvariable x wird durch die Verteilungsdichtefunktion angegeben. Mathematische Erwartung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Aufgabe 2. Finden Sie die Varianz der durch die Integralfunktion gegebenen Zufallsvariablen X.

Aufgabe 3. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen X bei gegebener Verteilungsfunktion.

Aufgabe 4. Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen ist wie folgt gegeben: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Finden Sie den Koeffizienten A, die Verteilungsfunktion F(x), den mathematischen Erwartungswert und die Varianz sowie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt. Zeichnen Sie die Graphen f(x) und F(x).

Aufgabe. Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist wie folgt angegeben:

Bestimmen Sie die Parameter a und b, finden Sie einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x), den mathematischen Erwartungswert und die Varianz sowie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall annimmt. Zeichnen Sie Graphen von f(x) und F(x).

Finden wir die Verteilungsdichtefunktion als Ableitung der Verteilungsfunktion.
F′=f(x)=a
Da wir wissen, dass wir den Parameter a finden werden:

oder 3a=1, woraus a = 1/3
Wir finden den Parameter b aus den folgenden Eigenschaften:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, woraus b = -1/3
Daher hat die Verteilungsfunktion die Form: F(x) = (x-1)/3

Beispiel Nr. 1. Gegeben ist die Wahrf(x) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X. Erforderlich:

1. Bestimmen Sie den Koeffizienten A.
2. Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x) .
3. Konstruieren Sie schematisch Diagramme von F(x) und f(x).
4. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz von X.
5. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus dem Intervall (2;3) annimmt.

Die Zufallsvariable X wird durch die Verteilungsdichte f(x) spezifiziert:

Streuung kontinuierliche Zufallsvariable X, deren mögliche Werte zur gesamten Ox-Achse gehören, wird durch die Gleichheit bestimmt:

Zweck des Dienstes. Der Online-Rechner soll Probleme lösen, bei denen entweder Verteilungsdichte f(x) oder Verteilungsfunktion F(x) (siehe Beispiel). Normalerweise müssen Sie bei solchen Aufgaben etwas finden mathematischer Erwartungswert, Standardabweichung, Plotfunktionen f(x) und F(x).

Anweisungen. Wählen Sie den Typ der Quelldaten aus: Verteilungsdichte f(x) oder Verteilungsfunktion F(x).

Die Verteilungsdichte f(x) ist gegeben:

Die Verteilungsfunktion F(x) ist gegeben:

Eine kontinuierliche Zufallsvariable wird durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben
(Rayleigh-Verteilungsgesetz – verwendet in der Funktechnik). Finden Sie M(x) , D(x) .

Die Zufallsvariable X wird aufgerufen kontinuierlich , wenn seine Verteilungsfunktion F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Mithilfe der Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit der eine Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Darüber hinaus spielt es für eine kontinuierliche Zufallsvariable keine Rolle, ob ihre Grenzen in diesem Intervall enthalten sind oder nicht:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Verteilungsdichte Eine kontinuierliche Zufallsvariable wird Funktion genannt
f(x)=F’(x) , Ableitung der Verteilungsfunktion.

Eigenschaften der Verteilungsdichte

Somit, . Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir zwei Wertepaare: . Denn entsprechend den Bedingungen des Problems haben wir schließlich: .

Antwort: .

Beispiel 2.11. Im Durchschnitt zahlt die Versicherungsgesellschaft bei weniger als 10 % der Verträge Versicherungsbeträge im Zusammenhang mit dem Eintritt eines Versicherungsfalls. Berechnen Sie die mathematische Erwartung und Streuung der Anzahl solcher Verträge unter vier zufällig ausgewählten Verträgen.

Lösung: Der mathematische Erwartungswert und die Varianz können mithilfe der Formeln ermittelt werden:

.

Mögliche Werte von SV (Anzahl der Verträge (von vier) mit Eintritt eines Versicherungsfalls): 0, 1, 2, 3, 4.

Wir verwenden die Formel von Bernoulli, um die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedlich viele Verträge (von vier) zu berechnen, für die die Versicherungsbeträge gezahlt wurden:

.

Die IC-Verteilungsreihe (Anzahl der Verträge mit Eintritt eines Versicherungsfalls) hat die Form:

Antwort: , .

Beispiel 2.12. Von den fünf Rosen sind zwei weiß. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable, das die Anzahl der weißen Rosen unter zwei gleichzeitig genommenen Rosen ausdrückt.

Lösung: Bei einer Auswahl von zwei Rosen kann es sein, dass entweder keine weiße Rose oder eine oder zwei weiße Rosen vorhanden sind. Daher die Zufallsvariable X kann Werte annehmen: 0, 1, 2. Wahrscheinlichkeiten, die X nimmt diese Werte an, wir finden sie mit der Formel:

Wo -- Anzahl Rosen;

-- Anzahl weißer Rosen;

– Anzahl der gleichzeitig entnommenen Rosen;

-- die Anzahl der weißen Rosen unter den Genommenen.

.

.

.

Dann lautet das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen wie folgt:

Beispiel 2.13. Von den 15 zusammengebauten Einheiten benötigen 6 eine zusätzliche Schmierung. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der Einheiten, die eine zusätzliche Schmierung benötigen, unter fünf zufällig ausgewählten Einheiten aus der Gesamtzahl.

Lösung: Zufälliger Wert X– die Anzahl der Einheiten, die unter den fünf ausgewählten Einheiten zusätzliche Schmierung benötigen – kann die folgenden Werte annehmen: 0, 1, 2, 3, 4, 5 und weist eine hypergeometrische Verteilung auf. Wahrscheinlichkeiten, die X nimmt diese Werte an, wir finden sie mit der Formel:

Wo -- Anzahl der zusammengebauten Einheiten;

-- die Anzahl der Einheiten, die zusätzliche Schmierung benötigen;

– Anzahl der ausgewählten Einheiten;

-- die Anzahl der ausgewählten Einheiten, die eine zusätzliche Schmierung benötigen.

.

.

.

.

.

.

Dann lautet das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen wie folgt:

Beispiel 2.14. Von den 10 zur Reparatur eingegangenen Uhren erfordern 7 eine allgemeine Reinigung des Mechanismus. Die Uhren sind nicht nach Reparaturart sortiert. Der Meister, der Uhren finden möchte, die gereinigt werden müssen, untersucht sie einzeln und stoppt die weitere Betrachtung, nachdem er solche Uhren gefunden hat. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der angesehenen Stunden.

Lösung: Zufälliger Wert X– die Anzahl der Einheiten, die unter den fünf ausgewählten Einheiten zusätzliche Schmierung benötigen – kann die folgenden Werte annehmen: 1, 2, 3, 4. Wahrscheinlichkeiten, dass X nimmt diese Werte an, wir finden sie mit der Formel:

.

.

.

.

Dann lautet das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen wie folgt:

Berechnen wir nun die numerischen Eigenschaften der Menge:

Antwort: , .

Beispiel 2.15. Der Teilnehmer hat die letzte Ziffer der benötigten Telefonnummer vergessen, erinnert sich aber, dass sie seltsam ist. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Häufigkeit, mit der er eine Telefonnummer wählt, bevor er die gewünschte Nummer erreicht, wenn er die letzte Ziffer zufällig wählt und anschließend die gewählte Ziffer nicht wählt.

Lösung: Die Zufallsvariable kann folgende Werte annehmen: . Da der Teilnehmer die gewählte Ziffer in Zukunft nicht mehr wählt, sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte gleich.

Lassen Sie uns eine Verteilungsreihe einer Zufallsvariablen erstellen:

Berechnen wir den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der Wählversuche:

Antwort: , .

Beispiel 2.16. Die Ausfallwahrscheinlichkeit bei Zuverlässigkeitstests ist für jedes Gerät in der Serie gleich P. Bestimmen Sie die mathematische Erwartung der Anzahl der Geräte, die ausgefallen sind, wenn sie getestet wurden N Geräte.

Lösung: Die diskrete Zufallsvariable X ist die Anzahl der ausgefallenen Geräte in N unabhängige Tests, bei denen die Ausfallwahrscheinlichkeit jeweils gleich ist P, nach dem Binomialgesetz verteilt. Der mathematische Erwartungswert einer Binomialverteilung ist gleich der Anzahl der Versuche multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem Versuch auftritt:

Beispiel 2.17. Diskrete Zufallsvariable X nimmt 3 mögliche Werte an: mit Wahrscheinlichkeit; mit Wahrscheinlichkeit und mit Wahrscheinlichkeit. Finden Sie und , wissend, dass M( X) = 8.

Lösung: Wir verwenden die Definitionen des mathematischen Erwartungswerts und des Verteilungsgesetzes einer diskreten Zufallsvariablen:

Wir finden: .

Beispiel 2.18. Die technische Kontrollabteilung prüft die Produkte auf Standardmäßigkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt Standard ist, beträgt 0,9. Jede Charge enthält 5 Produkte. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen X– die Anzahl der Chargen, die jeweils genau 4 Standardprodukte enthalten, wenn 50 Chargen kontrollpflichtig sind.

Lösung: In diesem Fall sind alle durchgeführten Experimente unabhängig und die Wahrscheinlichkeiten, dass jede Charge genau 4 Standardprodukte enthält, sind gleich, daher kann die mathematische Erwartung durch die Formel bestimmt werden:

,

wo ist die Anzahl der Parteien;

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Charge genau 4 Standardprodukte enthält.

Wir ermitteln die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Bernoulli-Formel:

Antwort: .

Beispiel 2.19. Finden Sie die Varianz einer Zufallsvariablen X– Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses A in zwei unabhängigen Versuchen, wenn die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses in diesen Versuchen gleich sind und dies bekannt ist M(X) = 0,9.

Lösung: Das Problem kann auf zwei Arten gelöst werden.

1) Mögliche Werte von SV X: 0, 1, 2. Mit der Bernoulli-Formel bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

, , .

Dann das Verteilungsgesetz X hat die Form:

Aus der Definition der mathematischen Erwartung ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit:

Lassen Sie uns die Streuung von SV ermitteln X:

.

2) Sie können die Formel verwenden:

.

Antwort: .

Beispiel 2.20. Erwartungswert und Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen X jeweils gleich 20 und 5. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass als Ergebnis des Tests X nimmt den im Intervall (15; 25) enthaltenen Wert an.

Lösung: Wahrscheinlichkeit, eine normale Zufallsvariable zu treffen X auf dem Abschnitt von bis wird durch die Laplace-Funktion ausgedrückt:

Beispiel 2.21. Gegebene Funktion:

Bei welchem ​​Parameterwert C Diese Funktion ist die Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X? Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen X.

Lösung: Damit eine Funktion die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen darstellt, darf sie nicht negativ sein und die folgende Eigenschaft erfüllen:

.

Somit:

Berechnen wir den mathematischen Erwartungswert anhand der Formel:

.

Berechnen wir die Varianz mit der Formel:

T ist gleich P. Es ist notwendig, den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen zu ermitteln.

Lösung: Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen Der mathematische Erwartungswert der Binomialverteilung ist gleich dem Produkt aus der Anzahl der Versuche und der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A in einem Versuch:

.

Beispiel 2.25. Es werden drei unabhängige Schüsse auf das Ziel abgefeuert. Die Wahrscheinlichkeit, jeden Schuss zu treffen, beträgt 0,25. Bestimmen Sie die Standardabweichung der Trefferzahl bei drei Schüssen.

Lösung: Da drei unabhängige Versuche durchgeführt werden und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A (einem Treffer) in jedem Versuch gleich ist, gehen wir davon aus, dass die diskrete Zufallsvariable X – die Anzahl der Treffer auf dem Ziel – entsprechend verteilt ist Binomialgesetz.

Die Varianz der Binomialverteilung ist gleich dem Produkt aus der Anzahl der Versuche und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens und Nichteintretens eines Ereignisses in einem Versuch:

Beispiel 2.26. Die durchschnittliche Anzahl der Kunden, die innerhalb von 10 Minuten eine Versicherungsgesellschaft besuchen, beträgt drei. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 5 Minuten mindestens ein Kunde ankommt.

Durchschnittliche Anzahl an Kunden, die innerhalb von 5 Minuten eintreffen: . .

Beispiel 2.29. Die Wartezeit für eine Anwendung in der Prozessorwarteschlange folgt einem Exponentialverteilungsgesetz mit einem Durchschnittswert von 20 Sekunden. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste (zufällige) Anfrage länger als 35 Sekunden auf dem Prozessor wartet.

Lösung: In diesem Beispiel die mathematische Erwartung und die Ausfallrate ist gleich.

Dann ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit:

Beispiel 2.30. Eine Gruppe von 15 Studierenden tagt in einem Saal mit 20 Reihen à 10 Sitzplätzen. Jeder Schüler nimmt zufällig einen Platz in der Halle ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als drei Personen auf dem siebten Platz der Reihe stehen?

Lösung:

Beispiel 2.31.

Dann gilt nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition:

Wo -- Anzahl der Teile in der Charge;

-- Anzahl der nicht standardmäßigen Teile in der Charge;

– Anzahl der ausgewählten Teile;

-- Anzahl der nicht standardmäßigen Teile unter den ausgewählten.

Dann lautet das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen wie folgt.