Müxtəlif güclərə malik ədədlərin toplanması və çıxılması. Təbii göstərici ilə dərəcə

İfadələrin güclərlə çevrilməsi mövzusunu nəzərdən keçirək, lakin əvvəlcə güc ifadələri də daxil olmaqla istənilən ifadələrlə həyata keçirilə bilən bir sıra transformasiyalar üzərində dayanaq. Mötərizənin açılmasını, oxşar terminlərin əlavə edilməsini, əsaslar və göstəricilərlə işləməyi, gücün xassələrindən istifadə etməyi öyrənəcəyik.

Güc ifadələri hansılardır?

Məktəb kurslarında az adam "güclü ifadələr" ifadəsini istifadə edir, lakin bu termin Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşmaq üçün kolleksiyalarda daim tapılır. Əksər hallarda, bir ifadə girişlərində dərəcələri ehtiva edən ifadələri bildirir. Bunu tərifimizdə əks etdirəcəyik.

Tərif 1

Güc ifadəsi dərəcələri ehtiva edən ifadədir.

Təbii göstəricisi olan gücdən başlayıb həqiqi göstəricisi olan güclə bitən güc ifadələrinə bir neçə nümunə verək.

Ən sadə güc ifadələrini təbii göstəricisi olan ədədin dərəcələri hesab etmək olar: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Həm də sıfır eksponentli güclər: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Mənfi tam qüdrətli güclər: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Rasional və irrasional göstəriciləri olan dərəcə ilə işləmək bir az daha çətindir: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Göstərici 3 x - 54 - 7 3 x - 58 dəyişəni və ya loqarifm ola bilər. x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Biz güc ifadələrinin nə olduğu sualı ilə məşğul olmuşuq. İndi onları çevirməyə başlayaq.

Güc ifadələrinin çevrilmələrinin əsas növləri

İlk növbədə, güc ifadələri ilə yerinə yetirilə bilən ifadələrin əsas şəxsiyyət çevrilmələrinə baxacağıq.

Misal 1

Güc ifadəsinin dəyərini hesablayın 2 3 (4 2 − 12).

Həll

Biz bütün dəyişiklikləri tədbirlər sırasına uyğun olaraq həyata keçirəcəyik. Bu halda, mötərizədə hərəkətləri yerinə yetirməklə başlayacağıq: dərəcəni rəqəmsal dəyərlə əvəz edəcəyik və iki ədədin fərqini hesablayacağıq. bizdə var 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Etməli olduğumuz tək şey dərəcəsini dəyişdirməkdir 2 3 onun mənası 8 və məhsulu hesablayın 8 4 = 32. Cavabımız budur.

Cavab: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Misal 2

Güclərlə ifadəni sadələşdirin 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Həll

Problem ifadəsində bizə verilən ifadədə verə biləcəyimiz oxşar terminlər var: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Cavab: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Misal 3

9 - b 3 · π - 1 2 gücləri ilə ifadəni hasil kimi ifadə edin.

Həll

Gəlin 9 rəqəmini güc kimi təsəvvür edək 3 2 və qısaldılmış vurma düsturunu tətbiq edin:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Cavab: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

İndi xüsusi olaraq güc ifadələrinə tətbiq oluna bilən şəxsiyyət çevrilmələrinin təhlilinə keçək.

Baza və eksponentlə işləmək

Əsas və ya eksponentdəki dərəcə rəqəmlər, dəyişənlər və bəzi ifadələrə malik ola bilər. Misal üçün, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Və . Belə qeydlərlə işləmək çətindir. Dərəcə bazasındakı ifadəni və ya eksponentdəki ifadəni eyni dərəcədə bərabər ifadə ilə əvəz etmək çox asandır.

Dərəcə və eksponent çevrilmələri bir-birindən ayrı olaraq bizə məlum olan qaydalara uyğun olaraq həyata keçirilir. Ən əsası odur ki, çevrilmə nəticəsində orijinal ifadə ilə eynilik yaranır.

Transformasiyaların məqsədi orijinal ifadəni sadələşdirmək və ya problemin həllini əldə etməkdir. Məsələn, yuxarıda verdiyimiz nümunədə (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 dərəcəyə keçmək üçün addımları izləyə bilərsiniz. 4 , 1 1 , 3 . Mötərizələri açmaqla güc əsasına oxşar şərtləri təqdim edə bilərik (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) və daha sadə formanın güc ifadəsini əldə edin a 2 (x + 1).

Dərəcə Xüsusiyyətlərindən istifadə

Bərabərlik şəklində yazılan səlahiyyətlərin xassələri səlahiyyətlərlə ifadələrin çevrilməsi üçün əsas vasitələrdən biridir. Bunu nəzərə alaraq əsas olanları burada təqdim edirik a Və b istənilən müsbət ədədlərdir və r Və s- ixtiyari real ədədlər:

Tərif 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Təbii, tam, müsbət eksponentlərlə məşğul olduğumuz hallarda a və b rəqəmlərinə məhdudiyyətlər daha az sərt ola bilər. Beləliklə, məsələn, bərabərliyi nəzərə alsaq a m · a n = a m + n, Harada m Və n natural ədədlərdirsə, o, həm müsbət, həm də mənfi, həm də a-nın istənilən dəyəri üçün doğru olacaqdır a = 0.

Səlahiyyətlərin xüsusiyyətləri, səlahiyyətlərin əsasları müsbət olduqda və ya icazə verilən dəyərlər diapazonu əsasların yalnız müsbət dəyərləri qəbul etdiyi dəyişənləri ehtiva etdiyi hallarda məhdudiyyətsiz istifadə edilə bilər. Əslində məktəb riyaziyyat kurikulumunda şagirdin vəzifəsi uyğun bir xüsusiyyət seçmək və onu düzgün tətbiq etməkdir.

Universitetlərə daxil olmağa hazırlaşarkən, xassələrin qeyri-dəqiq tətbiqinin DL-nin daralmasına və həllində digər çətinliklərə səbəb olacağı problemlərlə qarşılaşa bilərsiniz. Bu bölmədə biz yalnız iki belə halı araşdıracağıq. Mövzu ilə bağlı daha çox məlumatı "Güclərin xassələrindən istifadə edərək ifadələrin çevrilməsi" mövzusunda tapa bilərsiniz.

Misal 4

ifadəsini təsəvvür edin a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5əsaslı güc şəklində a.

Həll

Birincisi, eksponentasiya xüsusiyyətindən istifadə edirik və ondan istifadə edərək ikinci amili çeviririk (a 2) − 3. Sonra eyni əsasla güclərin vurma və bölmə xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Cavab: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Güc ifadələrinin səlahiyyətlərin xassəsinə görə çevrilməsi həm soldan sağa, həm də əks istiqamətdə həyata keçirilə bilər.

Misal 5

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 güc ifadəsinin qiymətini tapın.

Həll

Bərabərliyi tətbiq etsək (a · b) r = a r · b r, sağdan sola 3 · 7 1 3 · 21 2 3 və sonra 21 1 3 · 21 2 3 şəklində hasil alırıq. Eyni əsaslarla dərəcələri vurarkən göstəriciləri əlavə edək: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Transformasiyanı həyata keçirməyin başqa bir yolu var:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Cavab: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Misal 6

Güc ifadəsi verilir a 1, 5 − a 0, 5 − 6, yeni dəyişən daxil edin t = a 0,5.

Həll

Gəlin dərəcəsini təsəvvür edək a 1, 5 Necə 0,5 3. Dərəcədən dərəcəyə xassəsindən istifadə (a r) s = a r · s sağdan sola və biz (a 0, 5) 3 alırıq: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Yaranan ifadəyə asanlıqla yeni dəyişən təqdim edə bilərsiniz t = a 0,5: alırıq t 3 − t − 6.

Cavab: t 3 − t − 6 .

Gücləri olan fraksiyaların çevrilməsi

Biz adətən kəsrlərlə güc ifadələrinin iki variantı ilə məşğul oluruq: ifadə gücü olan kəsri təmsil edir və ya belə bir kəsri ehtiva edir. Kəsrin bütün əsas çevrilmələri bu cür ifadələrə məhdudiyyətsiz tətbiq olunur. Onlar azaldıla, yeni məxrəcə gətirilə və ya pay və məxrəclə ayrıca işlənə bilər. Bunu misallarla izah edək.

Misal 7

Güc ifadəsini sadələşdirin 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Həll

Biz kəsrlə məşğul oluruq, ona görə də həm pay, həm də məxrəcdə transformasiyalar aparacağıq:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Məxrəcin işarəsini dəyişmək üçün kəsrin qarşısına mənfi işarə qoyun: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Cavab: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Tərkibində səlahiyyətləri olan kəsrlər rasional kəsrlərlə eyni şəkildə yeni məxrəcə endirilir. Bunun üçün əlavə əmsal tapmaq və kəsrin payını və məxrəcini ona vurmaq lazımdır. Orijinal ifadə üçün ODZ dəyişənlərindən dəyişənlərin heç bir dəyəri üçün sıfıra getməməsi üçün əlavə bir amil seçmək lazımdır.

Misal 8

Kəsrləri yeni məxrəcə endirin: a) məxrəcə a + 1 a 0, 7 a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 məxrəcə x + 8 · y 1 2 .

Həll

a) Yeni məxrəcə endirməyə imkan verəcək əmsalı seçək. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, ona görə də əlavə amil kimi götürəcəyik a 0, 3. a dəyişəninin icazə verilən dəyərlərinin diapazonuna bütün müsbət real ədədlər dəsti daxildir. Bu sahədə dərəcə a 0, 3 sıfıra düşmür.

Kəsirin payını və məxrəcini vuraq a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Məxrəcə diqqət yetirək:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Bu ifadəni x 1 3 + 2 · y 1 6-ya vuraq, x 1 3 və 2 · y 1 6 kublarının cəmini alırıq, yəni. x + 8 · y 1 2 . Bu bizim yeni məxrəcimizdir ki, ona ilkin fraksiyanı azaltmalıyıq.

Əlavə əmsal x 1 3 + 2 · y 1 6-nı belə tapdıq. Dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunda x Və y x 1 3 + 2 y 1 6 ifadəsi itmir, ona görə də kəsrin payını və məxrəcini ona vura bilərik:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Cavab: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Misal 9

Kəsri azaldın: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Həll

a) Biz payı və məxrəci azalda biləcəyimiz ən böyük ortaq məxrəcdən (GCD) istifadə edirik. 30 və 45 nömrələri üçün 15-dir. Biz də azalma edə bilərik x0,5+1 və x + 2 · x 1 1 3 - 5 3-də.

Biz əldə edirik:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Burada eyni amillərin mövcudluğu aydın deyil. Numerator və məxrəcdə eyni amilləri əldə etmək üçün bəzi çevrilmələr etməli olacaqsınız. Bunu etmək üçün kvadratlar fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəci genişləndiririk:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Cavab: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x) 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Kəsrlərlə əsas əməliyyatlara fraksiyaları yeni məxrəcə çevirmək və kəsrləri azaltmaq daxildir. Hər iki hərəkət bir sıra qaydalara uyğun olaraq həyata keçirilir. Kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı əvvəlcə kəsrlər ortaq məxrəcə endirilir, bundan sonra ədədlərlə əməliyyatlar (toplama və ya çıxma) yerinə yetirilir. Məxrəc eyni qalır. Hərəkətlərimizin nəticəsi yeni kəsrdir, onun payı sayların hasili, məxrəci isə məxrəclərin hasilidir.

Misal 10

X 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 addımlarını yerinə yetirin.

Həll

Mötərizədə olan kəsrləri çıxmaqla başlayaq. Onları ortaq məxrəcə gətirək:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Sayları çıxaraq:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

İndi kəsrləri çoxaldırıq:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Bir güclə azaldaq x 1 2, biz 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 alırıq.

Əlavə olaraq, kvadratların fərqindən istifadə edərək məxrəcdəki güc ifadəsini sadələşdirə bilərsiniz: kvadratlar: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Cavab: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Misal 11

X 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 güc qanunu ifadəsini sadələşdirin.
Həll

Kəsiri azaltmaq olar (x 2 , 7 + 1) 2. x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 kəsrini alırıq.

Gəlin x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 güclərinin çevrilməsinə davam edək. İndi eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi xüsusiyyətindən istifadə edə bilərsiniz: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Son məhsuldan x 1 3 8 x 2, 7 + 1 fraksiyasına keçirik.

Cavab: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Əksər hallarda göstəricinin işarəsini dəyişdirərək mənfi göstəriciləri olan amilləri paydan məxrəcə və arxaya köçürmək daha rahatdır. Bu hərəkət növbəti qərarı sadələşdirməyə imkan verir. Bir misal verək: güc ifadəsi (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 x 3 · (x + 1) 0, 2 ilə əvəz edilə bilər.

Kökləri və gücləri olan ifadələrin çevrilməsi

Məsələlərdə yalnız kəsr göstəriciləri olan gücləri deyil, həm də kökləri ehtiva edən güc ifadələri var. Bu cür ifadələri yalnız köklərə və ya yalnız güclərə azaltmaq məsləhətdir. Onlarla işləmək daha asan olduğu üçün dərəcələrə getməyə üstünlük verilir. Orijinal ifadə üçün dəyişənlərin ODZ moduluna daxil olmaq və ya ODZ-ni bir neçə intervala bölmək ehtiyacı olmadan kökləri güclərlə əvəz etməyə imkan verdiyi zaman bu keçid xüsusilə üstünlük təşkil edir.

Misal 12

x 1 9 · x · x 3 6 ifadəsini qüvvə ilə ifadə edin.

Həll

İcazə verilən dəyişən dəyərlərin diapazonu x iki bərabərsizliklə müəyyən edilir x ≥ 0 və x x 3 ≥ 0, çoxluğu müəyyən edir [ 0 , + ∞) .

Bu dəstdə köklərdən güclərə keçmək hüququmuz var:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Güclərin xassələrindən istifadə edərək, yaranan güc ifadəsini sadələşdiririk.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Cavab: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Eksponentdə dəyişənlərlə səlahiyyətlərin çevrilməsi

Əgər dərəcənin xüsusiyyətlərindən düzgün istifadə etsəniz, bu çevrilmələri etmək olduqca asandır. Misal üçün, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Göstəriciləri bəzi dəyişənlərin və bir ədədin cəmi olan güclərin hasili ilə əvəz edə bilərik. Sol tərəfdə bu ifadənin sol tərəfinin ilk və son şərtləri ilə edilə bilər:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

İndi tənliyin hər iki tərəfini bölmək edək 7 2 x. x dəyişəni üçün bu ifadə yalnız müsbət qiymətlər alır:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Kesrləri güclə azaldaq, alırıq: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Nəhayət, eyni eksponentlərə malik güclərin nisbəti nisbətlərin səlahiyyətləri ilə əvəz olunur, nəticədə 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 tənliyi alınır ki, bu da 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-ə bərabərdir. - 2 = 0.

İlkin eksponensial tənliyin həllini 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 kvadrat tənliyinin həllinə endirən yeni t = 5 7 x dəyişənini təqdim edək.

Güc və loqarifmlərlə ifadələrin çevrilməsi

Məsələlərdə gücü və loqarifmləri olan ifadələrə də rast gəlinir. Belə ifadələrə misal olaraq: 1 4 1 - 5 · log 2 3 və ya log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Bu cür ifadələrin çevrilməsi yuxarıda müzakirə etdiyimiz loqarifmlərin yanaşmalarından və xassələrindən istifadə etməklə həyata keçirilir ki, biz bunu “Loqarifmik ifadələrin çevrilməsi” mövzusunda ətraflı müzakirə etdik.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Riyaziyyatdan dərəcə anlayışı 7-ci sinifdə cəbr dərsində təqdim olunur. Və sonradan, riyaziyyatın öyrənilməsinin bütün kursu boyunca bu anlayış müxtəlif formalarda fəal şəkildə istifadə olunur. Dərəcələr, dəyərləri yadda saxlamağı və düzgün və tez saymaq bacarığını tələb edən olduqca çətin bir mövzudur. Dərəcələrlə daha sürətli və daha yaxşı işləmək üçün riyaziyyatçılar dərəcə xüsusiyyətləri ilə çıxış etdilər. Onlar böyük hesablamaları azaltmağa, nəhəng bir nümunəni müəyyən dərəcədə tək bir rəqəmə çevirməyə kömək edir. Xüsusiyyətlər o qədər də çox deyil və hamısını yadda saxlamaq və praktikada tətbiq etmək asandır. Buna görə də məqalədə dərəcənin əsas xassələri, eləcə də onların harada tətbiq olunduğu müzakirə olunur.

Dərəcənin xüsusiyyətləri

Eyni əsaslara malik dərəcələrin xassələri də daxil olmaqla dərəcələrin 12 xassəsinə baxacağıq və hər bir xüsusiyyət üçün bir nümunə verəcəyik. Bu xassələrin hər biri dərəcə ilə bağlı problemləri daha sürətli həll etməyə kömək edəcək, həm də sizi çoxsaylı hesablama xətalarından xilas edəcək.

1-ci mülk.

Bir çox insanlar bu xassəni tez-tez unudurlar və səhvlərə yol verirlər, rəqəmi sıfıra sıfıra bərabər təmsil edirlər.

2-ci mülk.

3-cü mülk.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, bu xüsusiyyət yalnız rəqəmləri vurarkən istifadə edilə bilər, cəmi ilə işləmir! Və unutmaq olmaz ki, bu və aşağıdakı xüsusiyyətlər yalnız eyni əsaslara malik olan güclərə aiddir.

4-cü mülk.

Məxrəcdəki bir ədəd mənfi gücə qaldırılırsa, çıxdıqda, sonrakı hesablamalarda işarəni düzgün dəyişdirmək üçün məxrəcin dərəcəsi mötərizədə alınır.

Əmlak ancaq böləndə işləyir, çıxılanda keçərli deyil!

5-ci mülk.

6-cı mülk.

Bu xassə əks istiqamətdə də tətbiq oluna bilər. Müəyyən dərəcədə ədədə bölünən vahid o ədədin mənfi gücünə bərabərdir.

7-ci mülk.

Bu əmlak cəmi və fərqə tətbiq edilə bilməz! Cəmi və ya fərqi gücə çatdırmaq güc xüsusiyyətlərindən çox qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edir.

8-ci mülk.

9-cu mülk.

Bu xassə, payı birə bərabər olan istənilən kəsr qüvvəsi üçün işləyir, düstur eyni olacaq, gücün məxrəcindən asılı olaraq yalnız kökün gücü dəyişəcək.

Bu xüsusiyyət də tez-tez tərsinə istifadə olunur. Ədədin istənilən gücünün kökü bu ədədin kökün gücünə bölünən birinin gücünə bərabər göstərilə bilər. Bu xüsusiyyət ədədin kökünü çıxarmaq mümkün olmayan hallarda çox faydalıdır.

10-cu mülk.

Bu xüsusiyyət yalnız kvadrat köklər və ikinci güclərlə işləmir. Əgər kökün dərəcəsi ilə bu kökün ucaldılma dərəcəsi üst-üstə düşürsə, cavab radikal ifadə olacaq.

11-ci mülk.

Özünüzü böyük hesablamalardan xilas etmək üçün bu əmlakı həll edərkən onu vaxtında görə bilməlisiniz.

12-ci mülk.

Bu xassələrin hər biri tapşırıqlarda sizə bir dəfədən çox rast gələcək; o, təmiz formada verilə bilər və ya bəzi çevrilmələr və digər düsturların istifadəsini tələb edə bilər. Buna görə düzgün qərar vermək üçün yalnız xüsusiyyətləri bilmək kifayət deyil, digər riyazi bilikləri məşq etmək və daxil etmək lazımdır.

Dərəcələrin tətbiqi və onların xassələri

Onlar cəbr və həndəsədə fəal şəkildə istifadə olunur. Riyaziyyatda dərəcələrin ayrıca, mühüm yeri var. Onların köməyi ilə eksponensial tənliklər və bərabərsizliklər həll edilir və riyaziyyatın digər sahələrinə aid tənliklər və misallar çox vaxt səlahiyyətlərlə mürəkkəbləşdirilir. Səlahiyyətlər böyük və uzun hesablamalardan qaçmağa kömək edir; səlahiyyətləri qısaltmaq və hesablamaq daha asandır. Ancaq böyük güclərlə və ya çoxlu güclərlə işləmək üçün təkcə gücün xüsusiyyətlərini bilməli, həm də əsaslarla bacarıqla işləməli, işinizi asanlaşdırmaq üçün onları genişləndirməyi bacarmalısınız. Rahatlıq üçün bir gücə qaldırılan rəqəmlərin mənasını da bilməlisiniz. Bu, həll edərkən vaxtınızı azaldacaq, uzun hesablamalara ehtiyacı aradan qaldıracaq.

Loqarifmlərdə dərəcə anlayışı xüsusi rol oynayır. Loqarifm mahiyyət etibarilə ədədin qüvvəsidir.

Qısaldılmış vurma düsturları səlahiyyətlərdən istifadənin başqa bir nümunəsidir. Dərəcələrin xassələri onlarda istifadə edilə bilməz, onlar xüsusi qaydalara uyğun olaraq genişləndirilir, lakin qısaldılmış vurmanın hər bir düsturunda dəyişməz olaraq dərəcələr var.

Dərəcələr fizika və kompüter elmlərində də fəal şəkildə istifadə olunur. SI sisteminə bütün çevrilmələr səlahiyyətlərdən istifadə etməklə aparılır və gələcəkdə problemləri həll edərkən gücün xüsusiyyətlərindən istifadə olunur. Kompüter elmində saymağın rahatlığı və rəqəmlərin qavranılmasını sadələşdirmək üçün ikinin səlahiyyətləri fəal şəkildə istifadə olunur. Ölçü vahidlərinin çevrilməsi və ya problemlərin hesablanması üçün əlavə hesablamalar, fizikada olduğu kimi, dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə etməklə həyata keçirilir.

Dərəcələr astronomiyada da çox faydalıdır, burada dərəcənin xüsusiyyətlərinin istifadəsini nadir hallarda görürsən, lakin dərəcələrin özləri müxtəlif kəmiyyətlərin və məsafələrin qeydlərini qısaltmaq üçün fəal şəkildə istifadə olunur.

Dərəcələrdən gündəlik həyatda sahələr, həcmlər və məsafələr hesablanarkən də istifadə olunur.

Hər hansı bir elm sahəsində çox böyük və çox kiçik miqdarları qeyd etmək üçün dərəcələrdən istifadə olunur.

Eksponensial tənliklər və bərabərsizliklər

Dərəcələrin xassələri dəqiq eksponensial tənliklərdə və bərabərsizliklərdə xüsusi yer tutur. Bu tapşırıqlar həm məktəb kurslarında, həm də imtahanlarda çox yaygındır. Onların hamısı dərəcə xassələrinin tətbiqi ilə həll edilir. Naməlum həmişə dərəcənin özündə tapılır, ona görə də bütün xassələri bilmək, belə bir tənliyi və ya bərabərsizliyi həll etmək çətin deyil.

Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, öz şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.

7-ci sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Dərslik üçün dərslik Yu.N. Makarycheva dərsliyi A.G. Mordkoviç

Dərsin məqsədi: ədədlərin səlahiyyətləri ilə əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrənin.

Əvvəlcə "rəqəmin gücü" anlayışını xatırlayaq. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ formasının ifadəsi $a^n$ kimi göstərilə bilər.

Bunun əksi də doğrudur: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Bu bərabərlik “dərəcənin məhsul kimi qeyd edilməsi” adlanır. Bu, gücləri necə çoxaltmaq və bölmək lazım olduğunu müəyyən etməyə kömək edəcək.
Unutmayın:
a– dərəcənin əsası.
n– eksponent.
Əgər n=1, bu rəqəm deməkdir A bir dəfə aldı və müvafiq olaraq: $a^n= 1$.
Əgər n= 0, sonra $a^0= 1$.

Bunun niyə baş verdiyini güclərin vurulması və bölünməsi qaydaları ilə tanış olduqda öyrənə bilərik.

Çoxalma qaydaları

Misal.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Bu əmlak rəqəmi daha yüksək gücə qaldırarkən işi asanlaşdırmaq üçün istifadə etmək üçün əlverişlidir.
Misal.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Fərqli əsaslara malik dərəcələr, lakin eyni göstərici vurulursa.
$a^n * b^n$ almaq üçün dərəcələri hasil olaraq yazırıq: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Faktorları dəyişdirib nəticədə yaranan cütləri saysaq, alarıq: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Beləliklə, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Misal.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Bölmə qaydaları

Deməli, bizə lazımdır $\frac(a^n)(a^m)$, Harada n>m.

Dərəcələri kəsr kimi yazaq:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

İndi kəsri azaldaq.

Belə çıxır: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
O deməkdir ki, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Bu xüsusiyyət nömrəni sıfıra yüksəltməklə vəziyyəti izah etməyə kömək edəcəkdir. Fərz edək ki n=m, onda $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Nümunələr.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Dərəcənin əsasları müxtəlif, göstəriciləri eynidir.
Tutaq ki, $\frac(a^n)( b^n)$ lazımdır. Ədədlərin səlahiyyətlərini kəsr kimi yazaq:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Misal.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Cəbrdə və bütün riyaziyyatda əsas xüsusiyyətlərdən biri dərəcədir. Əlbəttə ki, 21-ci əsrdə bütün hesablamaları onlayn kalkulyatorda etmək olar, lakin beyin inkişafı üçün bunu özünüz necə edəcəyinizi öyrənmək daha yaxşıdır.

Bu yazıda bu təriflə bağlı ən vacib məsələləri nəzərdən keçirəcəyik. Məhz, onun ümumiyyətlə nə olduğunu və əsas funksiyalarının nə olduğunu, riyaziyyatda hansı xüsusiyyətlərin olduğunu anlayaq.

Hesablamanın necə göründüyünə və əsas düsturların nə olduğuna dair nümunələrə baxaq. Kəmiyyətlərin əsas növlərinə və onların digər funksiyalardan nə ilə fərqləndiyinə baxaq.

Bu kəmiyyətdən istifadə edərək müxtəlif problemləri necə həll edəcəyimizi anlayaq. Nümunələrlə göstərəcəyik ki, sıfır gücə yüksəltmək, irrasional, mənfi və s.

Onlayn eksponentasiya kalkulyatoru

Bir ədədin gücü nədir

“Rəqəmi gücə çatdırmaq” ifadəsi nəyi nəzərdə tutur?

Ədədin n gücü ardıcıl olaraq a n dəfə böyüklük amillərinin məhsuludur.

Riyazi olaraq belə görünür:

a n = a * a * a * …a n .

Misal üçün:

• Üçüncü dərəcədə 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 addım atmaq. iki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 addım. dörd = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 addımda 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 addımda 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1-dən 10-a qədər kvadratlar və kublar cədvəli verilmişdir.

1-dən 10-a qədər dərəcələr cədvəli

Aşağıda təbii ədədlərin müsbət güclərə - "1-dən 100-ə qədər" artırılmasının nəticələri verilmişdir.

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Belə bir riyazi funksiyanın xarakterik xüsusiyyəti nədir? Əsas xüsusiyyətlərə baxaq.

Alimlər aşağıdakıları müəyyən etdilər Bütün dərəcələr üçün xarakterik olan əlamətlər:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Nümunələrlə yoxlayaq:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Digər tərəfdən, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Eynilə: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Əks halda 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Fərqli olarsa necə? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüyünüz kimi, qaydalar işləyir.

Amma nə haqqında toplama və çıxma ilə? Bu sadədir. Əvvəlcə eksponentasiya, sonra isə toplama və çıxma aparılır.

Nümunələrə baxaq:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Diqqət yetirin: əvvəlcə çıxsanız, qayda yerinə yetirilməyəcək: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

Ancaq bu halda, ilk növbədə əlavəni hesablamalısınız, çünki mötərizədə hərəkətlər var: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Necə istehsal etmək olar daha mürəkkəb hallarda hesablamalar? Sifariş eynidir:

• mötərizələr varsa, onlardan başlamaq lazımdır;
• sonra eksponentasiya;
• sonra vurma və bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirin;
• toplamadan, çıxmadan sonra.

Bütün dərəcələr üçün xarakterik olmayan xüsusi xüsusiyyətlər var:

1. m dərəcəsinə qədər a ədədinin n-ci kökü belə yazılacaq: a m / n.
2. Kəsiri qüvvəyə qaldırarkən: həm pay, həm də onun məxrəci bu prosedura tabedir.
3. Müxtəlif ədədlərin hasilini bir gücə qaldırarkən, ifadə bu ədədlərin hasilinə verilmiş gücə uyğun olacaq. Yəni: (a * b) n = a n * b n .
4. Ədədi mənfi gücə qaldırarkən, 1-i eyni əsrdə bir ədədə bölmək lazımdır, lakin "+" işarəsi ilə.
5. Əgər kəsrin məxrəci mənfi qüvvəyə bərabərdirsə, onda bu ifadə payın hasilinə və məxrəc müsbət qüvvəyə bərabər olacaqdır.
6. Hər hansı bir rəqəm 0 = 1 gücünə və gücə. 1 = özünüzə.

Bu qaydalar bəzi hallarda vacibdir, biz onları aşağıda daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Mənfi eksponentli dərəcə

Mənfi dərəcə ilə nə etməli, yəni göstərici mənfi olduqda?

4 və 5-ci xassələrə əsaslanır(yuxarıdakı nöqtəyə baxın), çıxır:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Və əksinə:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Bəs bu kəsrdirsə?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Təbii göstərici ilə dərəcə

Göstəriciləri tam ədədlərə bərabər olan dərəcə kimi başa düşülür.

Xatırlamaq lazım olanlar:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... və s.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... və s.

Bundan əlavə, əgər (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... onda nəticə “+” işarəsi ilə olacaq. Mənfi ədəd tək gücə qaldırılırsa, əksinə.

Ümumi xüsusiyyətlər və yuxarıda təsvir edilən bütün spesifik xüsusiyyətlər də onlara xasdır.

Fraksiya dərəcəsi

Bu tip bir sxem kimi yazıla bilər: A m / n. Belə oxuyun: A rəqəminin n-ci kökündən m-ə qədər.

Fraksiya göstəricisi ilə istədiyinizi edə bilərsiniz: onu azaltmaq, hissələrə bölmək, başqa bir gücə qaldırmaq və s.

İrrasional göstərici ilə dərəcə

α irrasional ədəd və A ˃ 0 olsun.

Belə bir göstərici ilə dərəcənin mahiyyətini anlamaq üçün, Müxtəlif mümkün hallara baxaq:

• A = 1. Nəticə 1-ə bərabər olacaq. Aksiom olduğu üçün - bütün güclərdə 1 birə bərabərdir;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasional ədədlər;

• 0˂А˂1.

Bu halda, əksinədir: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ikinci abzasdakı kimi eyni şərtlərdə.

Məsələn, eksponent π ədədidir. Bu rasionaldır.

r 1 – bu halda 3-ə bərabərdir;

r 2 – 4-ə bərabər olacaq.

Sonra A = 1 üçün 1 π = 1.

A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Belə dərəcələr yuxarıda təsvir edilən bütün riyazi əməliyyatlar və spesifik xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunur.

Nəticə

Xülasə edək - bu kəmiyyətlər nə üçün lazımdır, bu cür funksiyaların üstünlükləri nələrdir? Əlbəttə ki, ilk növbədə, nümunələri həll edərkən riyaziyyatçıların və proqramçıların həyatını sadələşdirirlər, çünki hesablamaları minimuma endirməyə, alqoritmləri qısaltmağa, məlumatları sistemləşdirməyə və daha çox şeyə imkan verir.

Bu bilik başqa harada faydalı ola bilər? İstənilən işçi ixtisasında: tibb, farmakologiya, stomatologiya, tikinti, texnologiya, mühəndislik, dizayn və s.

İfadələr, ifadələrin çevrilməsi

Güc ifadələri (güclü ifadələr) və onların çevrilməsi

Bu yazıda ifadələri güclərlə çevirmək haqqında danışacağıq. Birincisi, mötərizələrin açılması və oxşar terminlərin gətirilməsi kimi güc ifadələri də daxil olmaqla istənilən növ ifadələrlə həyata keçirilən transformasiyalara diqqət yetirəcəyik. Və sonra biz dərəcələri olan ifadələrə xas olan çevrilmələri təhlil edəcəyik: əsas və eksponent ilə işləmək, dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə etmək və s.

Səhifə naviqasiyası.

Güc ifadələri hansılardır?

"Güc ifadələri" termini praktiki olaraq məktəb riyaziyyat dərsliklərində yoxdur, lakin problem toplularında, məsələn, Vahid Dövlət İmtahanına və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq üçün nəzərdə tutulmuş problemlər toplularında tez-tez rast gəlinir. Güc ifadələri ilə hər hansı bir hərəkəti yerinə yetirmək lazım olan tapşırıqları təhlil etdikdən sonra aydın olur ki, güc ifadələri onların girişlərində səlahiyyətləri ehtiva edən ifadələr kimi başa düşülür. Beləliklə, özünüz üçün aşağıdakı tərifi qəbul edə bilərsiniz:

Tərif.

Güc ifadələri dərəcələri olan ifadələrdir.

verək güc ifadələrinə nümunələr. Üstəlik, onları təbii göstəricili dərəcədən həqiqi eksponentli dərəcəyə qədər baxışların inkişafının necə baş verdiyinə görə təqdim edəcəyik.

Məlum olduğu kimi, əvvəlcə natural göstəricili ədədin gücü ilə tanış olur, bu mərhələdə 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) tipli ilk ən sadə dərəcə ifadələri verilir. 4, 3 a 2 görünür −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 və s.

Bir az sonra tam eksponentli ədədin gücü öyrənilir ki, bu da aşağıdakı kimi mənfi tam səviyyəli güc ifadələrinin yaranmasına səbəb olur: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Orta məktəbdə dərəcələrə qayıdırlar. Müvafiq güc ifadələrinin görünməsinə səbəb olan rasional eksponentli dərəcə təqdim olunur: , və s. Nəhayət, irrasional göstəriciləri olan dərəcələr və onları ehtiva edən ifadələr nəzərdən keçirilir: , .

Məsələ sadalanan güc ifadələri ilə məhdudlaşmır: daha sonra dəyişən eksponentə nüfuz edir və məsələn, aşağıdakı ifadələr yaranır: 2 x 2 +1 və ya . Və tanış olduqdan sonra güc və loqarifmli ifadələr görünməyə başlayır, məsələn, x 2·lgx −5·x lgx.

Beləliklə, biz güc ifadələrinin nəyi təmsil etdiyi sualı ilə məşğul olduq. Sonra onları dəyişdirməyi öyrənəcəyik.

Güc ifadələrinin çevrilmələrinin əsas növləri

Güc ifadələri ilə siz ifadələrin əsas şəxsiyyət çevrilmələrindən hər hansı birini həyata keçirə bilərsiniz. Məsələn, mötərizələri aça, ədədi ifadələri onların qiymətləri ilə əvəz edə, oxşar terminlər əlavə edə və s. Təbii ki, hərəkətləri yerinə yetirmək üçün qəbul edilmiş prosedura riayət etmək lazımdır. Nümunələr verək.

Güc ifadəsinin qiymətini hesablayın 2 3 ·(4 2 −12) .

Hərəkətlərin yerinə yetirilmə sırasına uyğun olaraq əvvəlcə mötərizədə olan hərəkətləri yerinə yetirin. Orada, birincisi, 4 2 gücünü 16 dəyəri ilə əvəz edirik (lazım olduqda bax), ikincisi, 16−12=4 fərqini hesablayırıq. bizdə var 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Alınan ifadədə 2 3 gücünü onun qiyməti 8 ilə əvəz edirik, bundan sonra 8·4=32 hasilini hesablayırıq. Bu arzu olunan dəyərdir.

Belə ki, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

2 3 ·(4 2 −12)=32.

İfadələri səlahiyyətlərlə sadələşdirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Aydındır ki, bu ifadədə oxşar 3·a 4 ·b −7 və 2·a 4 ·b −7 terminləri var və biz onları təqdim edə bilərik: .

3·a 4 ·b −7 −1+2·a 4 ·b −7 =5·a 4 ·b −7 −1 .

Məhsul kimi səlahiyyətləri olan ifadəni ifadə edin.

Tapşırığın öhdəsindən 9 rəqəmini 3 2 gücü kimi təqdim edərək və sonra qısaldılmış vurma formulundan istifadə edə bilərsiniz - kvadratların fərqi:

Xüsusilə güc ifadələrinə xas olan bir sıra eyni transformasiyalar da var. Onları daha ətraflı təhlil edəcəyik.

Baza və eksponentlə işləmək

Elə dərəcələr var ki, onların bazası və/və ya eksponenti sadəcə ədədlər və ya dəyişənlər deyil, bəzi ifadələrdir. Nümunə olaraq (2+0,3·7) 5−3,7 və (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) girişlərini veririk.

Belə ifadələrlə işləyərkən həm dərəcə bazasındakı ifadəni, həm də eksponentdəki ifadəni onun dəyişənlərinin ODZ-də eyni bərabər ifadə ilə əvəz edə bilərsiniz. Başqa sözlə desək, bizə məlum olan qaydalara görə dərəcənin əsasını ayrı-ayrılıqda, eksponentini isə ayrıca çevirə bilərik. Aydındır ki, bu çevrilmə nəticəsində orijinala eyni şəkildə bərabər olan bir ifadə alınacaqdır.

Bu cür çevrilmələr bizə güclərlə ifadələri sadələşdirməyə və ya ehtiyac duyduğumuz digər məqsədlərə nail olmağa imkan verir. Məsələn, yuxarıda qeyd olunan güc ifadəsində (2+0,3 7) 5−3,7 baza və eksponentdəki ədədlərlə əməliyyatlar yerinə yetirə bilərsiniz ki, bu da 4.1 1.3 gücünə keçməyə imkan verəcək. Və mötərizələri açıb oxşar şərtləri (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dərəcəsinin əsasına gətirdikdən sonra a 2·(x+) daha sadə formalı güc ifadəsini alırıq. 1) .

Dərəcə Xüsusiyyətlərindən istifadə

İfadələri güclərlə çevirmək üçün əsas vasitələrdən biri əks etdirən bərabərliklərdir. Əsas olanları xatırlayaq. İstənilən müsbət a və b ədədləri və ixtiyari həqiqi r və s ədədləri üçün güclərin aşağıdakı xassələri doğrudur:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Nəzərə alın ki, natural, tam və müsbət göstəricilər üçün a və b rəqəmlərinə qoyulan məhdudiyyətlər o qədər də sərt olmaya bilər. Məsələn, m və n natural ədədləri üçün a m ·a n =a m+n bərabərliyi təkcə müsbət a üçün deyil, həm də mənfi a, a=0 üçün də doğrudur.

Məktəbdə güc ifadələrini dəyişdirərkən əsas diqqət müvafiq xüsusiyyəti seçmək və onu düzgün tətbiq etmək bacarığıdır. Bu halda dərəcələrin əsasları adətən müsbət olur ki, bu da dərəcələrin xüsusiyyətlərindən məhdudiyyətsiz istifadə etməyə imkan verir. Eyni şey, səlahiyyətlərin əsaslarında dəyişənləri ehtiva edən ifadələrin çevrilməsinə də aiddir - dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonu adətən elədir ki, əsaslar onun üzərində yalnız müsbət dəyərlər alır, bu da səlahiyyətlərin xüsusiyyətlərindən sərbəst istifadə etməyə imkan verir. . Ümumiyyətlə, bu vəziyyətdə dərəcələrin hər hansı bir xüsusiyyətindən istifadə etmək mümkün olub-olmadığını özünüzdən daim soruşmalısınız, çünki xassələrin qeyri-dəqiq istifadəsi təhsil dəyərinin daralmasına və digər çətinliklərə səbəb ola bilər. Güclərin xassələrindən istifadə edərək ifadələrin çevrilməsi məqaləsində bu məqamlar ətraflı və misallarla müzakirə olunur. Burada bir neçə sadə nümunəni nəzərdən keçirməklə kifayətlənəcəyik.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 ifadəsini a əsaslı qüvvə ilə ifadə edin.

Birincisi, ikinci amili (a 2) −3-ü gücü gücə yüksəltmək xüsusiyyətindən istifadə edərək çeviririk: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Orijinal güc ifadəsi 2.5 ·a -6:a -5.5 formasını alacaq. Aydındır ki, eyni əsasla güclərin vurma və bölgü xassələrindən istifadə etmək qalır, bizdə
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Güc ifadələrini çevirərkən səlahiyyətlərin xüsusiyyətləri həm soldan sağa, həm də sağdan sola istifadə olunur.

Güc ifadəsinin qiymətini tapın.

Sağdan sola tətbiq olunan (a·b) r =a r ·b r bərabərliyi bizə ilkin ifadədən formanın hasilinə və daha da irəli getməyə imkan verir. Gücləri eyni əsaslarla çoxaldarkən eksponentlər toplanır: .

Orijinal ifadəni başqa bir şəkildə çevirmək mümkün idi:

.

1.5 −a 0.5 −6 güc ifadəsini nəzərə alaraq, yeni t=a 0.5 dəyişənini təqdim edin.

a 1,5 dərəcəsi 0,5 3 kimi göstərilə bilər və sonra sağdan sola tətbiq olunan dərəcənin (a r) s =a r s dərəcəsinə xassəsinə əsaslanaraq onu (a 0,5) 3 formasına çevirin. Beləliklə, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. İndi yeni t=a 0.5 dəyişənini təqdim etmək asandır, biz t 3 −t−6 alırıq.

Gücləri olan fraksiyaların çevrilməsi

Güc ifadələri səlahiyyətləri olan kəsrləri ehtiva edə və ya təmsil edə bilər. İstənilən növ kəsrlərə xas olan kəsrlərin əsas çevrilmələrindən hər hansı biri bu cür kəsrlərə tam tətbiq olunur. Yəni, səlahiyyətləri olan kəsrləri azaltmaq, yeni məxrəcə endirmək, onların payı ilə ayrı, məxrəclə ayrı işləmək və s. Bu sözləri təsvir etmək üçün bir neçə nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Bu güc ifadəsi kəsirdir. Gəlin onun payı və məxrəci ilə işləyək. Hesabda mötərizələri açır və güclərin xassələrindən istifadə edərək yaranan ifadəni sadələşdiririk və məxrəcdə oxşar şərtləri təqdim edirik:

Həm də kəsrin qarşısına mənfi qoyaraq məxrəcin işarəsini dəyişdirək: .

.

Səlahiyyətləri olan kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi rasional kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi ilə eyni şəkildə həyata keçirilir. Bu zaman əlavə amil də tapılır və kəsrin payı və məxrəci ona vurulur. Bu hərəkəti yerinə yetirərkən, yeni məxrəcə endirilmənin VA-nın daralmasına səbəb ola biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Bunun baş verməsinin qarşısını almaq üçün orijinal ifadə üçün ODZ dəyişənlərindən dəyişənlərin heç bir dəyəri üçün əlavə amilin sıfıra enməməsi lazımdır.

Kəsrləri yeni məxrəcə endirin: a) məxrəc a, b) məxrəcə.

a) Bu halda, hansı əlavə çarpanın istənilən nəticəni əldə etməyə kömək etdiyini anlamaq olduqca asandır. Bu, 0,3-ün çarpanıdır, çünki a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Qeyd edək ki, a dəyişəninin icazə verilən dəyərləri diapazonunda (bu, bütün müsbət həqiqi ədədlərin toplusudur) 0,3-ün gücü itmir, buna görə də verilmiş bir ədədin payını və məxrəcini çoxaltmaq hüququmuz var. bu əlavə faktora görə hissə:

b) Məxrəcə daha yaxından nəzər saldıqda, bunu tapa bilərsiniz

və bu ifadəni vurmaq kubların cəmini verəcək və yəni . Və bu, ilkin kəsri azaltmalı olduğumuz yeni məxrəcdir.

Əlavə çarpanı belə tapdıq. X və y dəyişənlərinin icazə verilən dəyərləri diapazonunda ifadə itmir, buna görə də fraksiyanın payını və məxrəcini onunla çarpa bilərik:

A) , b) .

Tərkibində səlahiyyətləri olan fraksiyaların azaldılmasında da yeni bir şey yoxdur: pay və məxrəc bir sıra amillər kimi təmsil olunur və pay və məxrəcin eyni amilləri azaldılır.

Kəsiri azaldın: a) , b).

a) Birincisi, pay və məxrəci 15-ə bərabər olan 30 və 45 rəqəmləri ilə azaltmaq olar. Həmçinin açıq-aydın x 0,5 +1 və bir azalma həyata keçirmək mümkündür . Bizdə olanlar:

b) Bu halda pay və məxrəcdəki eyni amillər dərhal görünmür. Onları əldə etmək üçün ilkin çevrilmələri yerinə yetirməli olacaqsınız. Bu halda, onlar kvadratlar düsturunun fərqindən istifadə edərək məxrəci faktorlara ayırmaqdan ibarətdir:

A)

b) .

Kəsrləri yeni məxrəcə çevirmək və kəsrləri azaltmaq, əsasən, kəsrlərlə iş görmək üçün istifadə olunur. Hərəkətlər məlum qaydalara uyğun həyata keçirilir. Kəsrləri toplayanda (çıxarkən) onlar ümumi məxrəcə endirilir, bundan sonra saylar əlavə olunur (çıxılır), lakin məxrəc eyni qalır. Nəticə kəsrdir ki, onun payı sayların hasili, məxrəci isə məxrəclərin hasilidir. Kəsrə bölmə onun tərsinə vurmaqdır.

Addımları izləyin .

Əvvəlcə mötərizədə kəsrləri çıxarırıq. Bunun üçün biz onları ortaq məxrəcə gətiririk, yəni , bundan sonra sayları çıxarırıq:

İndi kəsrləri çoxaldırıq:

Aydındır ki, x 1/2 gücü ilə azaltmaq mümkündür, bundan sonra bizdə var .

Siz həmçinin kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəcdəki güc ifadəsini sadələşdirə bilərsiniz: .

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Aydındır ki, bu kəsr (x 2.7 +1) 2 ilə azaldıla bilər, bu kəsr verir. . Aydındır ki, X-in səlahiyyətləri ilə başqa bir şey etmək lazımdır. Bunu etmək üçün yaranan fraksiyanı məhsula çevirin. Bu, bizə eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi xüsusiyyətindən istifadə etmək imkanı verir: . Və prosesin sonunda biz son məhsuldan fraksiyaya keçirik.

.

Və onu da əlavə edək ki, göstəricinin işarəsini dəyişdirərək mənfi göstəriciləri olan amilləri paydan məxrəcə və ya məxrəcdən paya köçürmək mümkündür və bir çox hallarda arzuolunandır. Bu cür çevrilmələr çox vaxt sonrakı hərəkətləri asanlaşdırır. Məsələn, güc ifadəsi ilə əvəz edilə bilər.

Kökləri və gücləri olan ifadələrin çevrilməsi

Çox vaxt bəzi çevrilmələrin tələb olunduğu ifadələrdə səlahiyyətlərlə yanaşı kəsr göstəriciləri olan köklər də olur. Belə bir ifadəni istədiyiniz formaya çevirmək üçün əksər hallarda yalnız köklərə və ya yalnız güclərə getmək kifayətdir. Amma səlahiyyətlərlə işləmək daha əlverişli olduğundan onlar adətən kökdən güclərə keçirlər. Bununla belə, orijinal ifadə üçün dəyişənlərin ODZ-i modula müraciət etmədən və ya ODZ-ni bir neçə intervala bölmədən kökləri səlahiyyətlərlə əvəz etməyə imkan verdikdə belə bir keçidin həyata keçirilməsi məqsədəuyğundur (bunu ətraflı müzakirə etdik. məqalənin köklərdən güclərə və geriyə keçidi Rasional göstərici ilə dərəcə ilə tanış olduqdan sonra irrasional göstəricili dərəcə təqdim olunur ki, bu da ixtiyari həqiqi göstəricili dərəcə haqqında danışmağa imkan verir.Bu mərhələdə məktəb başlayır. öyrənmək eksponensial funksiya, əsası ədəd, göstəricisi isə dəyişən olan qüvvə ilə analitik olaraq verilmişdir. Beləliklə, biz güc bazasında ədədlər, eksponentdə isə dəyişənli ifadələr olan güc ifadələri ilə qarşılaşırıq və təbii olaraq belə ifadələrin çevrilməsini həyata keçirmək zərurəti yaranır.

Demək lazımdır ki, göstərilən tipli ifadələrin çevrilməsi adətən həll zamanı həyata keçirilməlidir eksponensial tənliklər Və eksponensial bərabərsizliklər, və bu çevrilmələr olduqca sadədir. Əksər hallarda, onlar dərəcənin xüsusiyyətlərinə əsaslanır və əksər hallarda gələcəkdə yeni bir dəyişən təqdim etməyə yönəldilmişdir. Tənlik bizə onları nümayiş etdirməyə imkan verəcək 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Birincisi, eksponentlərində müəyyən bir dəyişənin (və ya dəyişənlərlə ifadənin) və bir ədədin cəmi olan səlahiyyətlər məhsullarla əvəz olunur. Bu, sol tərəfdəki ifadənin ilk və son şərtlərinə aiddir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Sonra, bərabərliyin hər iki tərəfi 7 2 x ifadəsi ilə bölünür, orijinal tənlik üçün x dəyişəninin ODZ-də yalnız müsbət qiymətlər alır (bu, bu tip tənliklərin həlli üçün standart bir texnikadır, biz deyilik. İndi bu barədə danışarkən, güclərlə ifadələrin sonrakı çevrilməsinə diqqət yetirin ):

İndi səlahiyyətləri olan fraksiyaları ləğv edə bilərik, bu da verir .

Nəhayət, eyni eksponentlərə malik güclərin nisbəti münasibətlərin səlahiyyətləri ilə əvəz olunur, nəticədə tənlik alınır. , ekvivalentdir . Edilən çevrilmələr bizə ilkin eksponensial tənliyin həllini kvadrat tənliyin həllinə endirən yeni dəyişən təqdim etməyə imkan verir.

Bölmələr: Riyaziyyat

Dərsin növü: biliklərin ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi dərsi

Məqsədlər:

Avadanlıq: kompüter, multimedia proyektoru, interaktiv lövhə, əqli hesablama üçün “Dərslər”in təqdimatı, tapşırıq kartları, paylama materialları.

Dərs planı:

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam

Dərsin mövzusunu və məqsədlərini bildirin.

Əvvəlki dərslərdə siz güclərin ecazkar dünyasını kəşf etdiniz, gücləri necə çoxaltmağı və bölməyi və onları güclərə çatdırmağı öyrəndiniz. Bu gün biz nümunələr həll etməklə əldə edilmiş bilikləri möhkəmləndirməliyik.

II. Qaydaların təkrarlanması(şifahi)

1. Təbii göstərici ilə dərəcənin tərifini verin? (Nömrənin gücü A Təbii göstəricisi 1-dən böyük olan məhsul adlanır n hər biri bərabər olan amillər A.)
2. İki gücü necə çoxaltmaq olar? (Eyni əsaslarla gücləri çoxaltmaq üçün bazanı eyni qoyub eksponentləri əlavə etməlisiniz.)
3. Dərəcəni dərəcəyə necə bölmək olar? (Eyni əsaslarla gücləri bölmək üçün bazanı eyni qoyub eksponentləri çıxarmaq lazımdır.)
4. Bir məhsulu gücə necə qaldırmaq olar? (Bir məhsulu bir gücə yüksəltmək üçün hər bir faktoru o gücə yüksəltməlisiniz)
5. Bir dərəcəni gücə necə yüksəltmək olar? (Gücünü gücə yüksəltmək üçün bazanı eyni qoyub eksponentləri çoxaltmaq lazımdır)

III. Şifahi hesablama(multimedia vasitəsilə)

IV. Tarixi istinad

Bütün problemlər təxminən eramızdan əvvəl 1650-ci ildə yazılmış Ahmes papirusundandır. e. tikinti təcrübəsi, torpaq sahələrinin sərhədlərinin müəyyən edilməsi və s. ilə bağlı tapşırıqlar mövzuya görə qruplaşdırılır. Bunlar, əsasən, üçbucağın, dördbucağın və çevrənin sahələrinin tapılması, tam və kəsrlərlə müxtəlif əməliyyatlar, mütənasib bölgü, əmsalların tapılması, həmçinin müxtəlif dərəcələrə qaldırma, bir naməlum olan birinci və ikinci dərəcəli tənliklərin həlli ilə bağlı tapşırıqlardır.

Heç bir izahat və dəlilin tam çatışmazlığı var. İstənilən nəticə ya birbaşa verilir, ya da onun hesablanması üçün qısa alqoritm verilir. Qədim Şərq ölkələrində elm üçün xarakterik olan bu təqdimetmə üsulu onu deməyə əsas verir ki, orada riyaziyyat heç bir ümumi nəzəriyyə yaratmayan ümumiləşdirmələr və təxminlər vasitəsilə inkişaf edib. Bununla belə, papirusda misirli riyaziyyatçıların kök çıxarmağı və güclərə yüksəltməyi, tənlikləri həll etməyi bildiklərini və hətta cəbrin əsaslarını mənimsədiklərini göstərən bir sıra sübutlar var.

V. Şurada işləmək

İfadənin mənasını rasional şəkildə tapın:

İfadənin dəyərini hesablayın:



VI. Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi

6. gözlər üçün
7. boyun üçün
8. əllər üçün
9. gövdə üçün
10. ayaqları üçün

VII. Problemin həlli(interaktiv lövhədə ekranla)

Tənliyin kökü müsbət ədəddir?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Güclərin və köklərin düsturları.

Dərəcə formulları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.

Nömrə c edir n- ədədin gücü a Nə vaxt:



Dərəcələrlə əməliyyatlar.

1. Eyni baza ilə dərəcələri vurmaqla onların göstəriciləri əlavə edilir:

2. Eyni əsaslı dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxılır:



3. 2 və daha çox amilin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Kəsirin dərəcəsi divident və bölən dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:

5. Gücü bir gücə yüksəltməklə, eksponentlər vurulur:

Yuxarıdakı hər bir düstur soldan sağa və əksinə istiqamətlərdə doğrudur.

Köklərlə əməliyyatlar.

1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:

2. Nisbətin kökü divident və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:



3. Bir qüdrətə kök qaldırarkən radikal rəqəmi bu gücə yüksəltmək kifayətdir:



4. Kökün dərəcəsini artırsanız n bir dəfə və eyni zamanda qurmaq n inci güc radikal bir rəqəmdir, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:



5. Kökün dərəcəsini azaltsanız n eyni zamanda kökü çıxarın n- radikal ədədin ci gücü, onda kökün qiyməti dəyişməyəcək:



Müsbət olmayan (tam) eksponentli müəyyən bir ədədin gücü, qeyri-müsbət eksponentin mütləq qiymətinə bərabər olan göstəricisi olan eyni ədədin gücünə bölünməsi kimi müəyyən edilir:



Düstur a m :a n =a m - nüçün istifadə oluna bilməz m > n, həm də ilə m 4:a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Formula üçün a m :a n =a m - n zaman ədalətli oldu m=n, sıfır dərəcəsinin olması tələb olunur.

Sıfır göstəricisi ilə sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədin gücü birə bərabərdir.

Həqiqi rəqəmi artırmaq üçün A dərəcəyə qədər m/n, kökü çıxarmaq lazımdır n-ci dərəcə m-bu ədədin gücü A:



Dərəcə formulları.

6. a - n = - dərəcə bölgüsü;

7. - dərəcə bölgüsü;

8. a 1/n = ;

Fəaliyyət qaydalarının dərəcələri dərəcələri ilə

1. İki və ya daha çox amilin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir (eyni göstərici ilə):

(abc…) n = a n b n c n…

Misal 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Misal 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x - a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

Təcrübədə tərs çevrilmə daha vacibdir:

a n b n c n … = (abc…) n

olanlar. bir neçə kəmiyyətin eyni güclərinin hasili bu kəmiyyətlərin hasilinin eyni gücünə bərabərdir.

Misal 3. Misal 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Hissənin (kəsrin) gücü bölücünün eyni gücünü eyni qüvvəyə bölən hissəyə bərabərdir:

Misal 5. Misal 6.

Ters çevrilmə:. Misal 7. . Misal 8. .

3. Dərəcələri eyni əsaslarla vurarkən dərəcələrin göstəriciləri toplanır:

Misal 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Misal 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Eyni əsaslarla səlahiyyətləri bölərkən divident dərəcəsini bölənin dərəcəsi çıxarılır.

Misal 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Misal 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Dərəcəni gücə qaldırarkən göstəricilər vurulur:

Misal 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Misal 14.

www.maths.yfa1.ru

Güclər və köklər

Güclər və köklərlə əməliyyatlar. Mənfi ilə dərəcə ,

sıfır və kəsr göstərici. Heç bir mənası olmayan ifadələr haqqında.

Dərəcələrlə əməliyyatlar.

1. Eyni əsaslı dərəcələri vurarkən onların göstəriciləri əlavə edilir:

a m · a n = a m + n .

2. Eyni əsaslı dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxılır .



3. İki və ya daha çox amillərin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir.

4. Nisbətin (kəsrin) dərəcəsi dividend (sayı) və bölücü (məxrəc) dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:

(a/b) n = a n / b n .

5. Qüvvəti bir gücə qaldırarkən, onların göstəriciləri vurulur:

Yuxarıdakı bütün düsturlar hər iki istiqamətdə soldan sağa və əksinə oxunur və icra olunur.

NÜMUNƏ (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Köklərlə əməliyyatlar. Aşağıdakı bütün düsturlarda simvol deməkdir arifmetik kök(radikal ifadə müsbətdir).

1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:

2. Nisbətin kökü divident və bölən köklərinin nisbətinə bərabərdir:



3. Bir qüdrətə kök qaldırarkən, bu gücə yüksəltmək kifayətdir radikal sayı:



4. Əgər kökün dərəcəsini m dəfə artırsanız və eyni zamanda radikal ədədi m-ci dərəcəyə qaldırsanız, onda kökün qiyməti dəyişməyəcək:



5. Əgər kökün dərəcəsini m dəfə azaltsanız və eyni zamanda radikal ədədin m-ci kökünü çıxarsanız, kökün qiyməti dəyişməyəcək:





Dərəcə anlayışının genişləndirilməsi. İndiyə qədər dərəcələri yalnız təbii göstəricilərlə nəzərdən keçirdik; lakin səlahiyyətləri və kökləri ilə əməliyyatlar da gətirib çıxara bilər mənfi, sıfır Və fraksiyalı göstəricilər. Bütün bu göstəricilər əlavə tərif tələb edir.

Mənfi eksponentli dərəcə. Mənfi (tam) eksponentli müəyyən bir ədədin gücü, mənfi eksponentin mütləq qiymətinə bərabər olan göstəricisi olan eyni ədədin gücünə bölünməsi kimi müəyyən edilir:



İndi formula a m : a n = a m - nüçün istifadə oluna bilməz m, daha çox n, həm də ilə m, daha az n .

NÜMUNƏ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Formulunu istəsək a m : a n = a m - n zaman ədalətli idi m = n, sıfır dərəcəsinin tərifinə ehtiyacımız var.

Sıfır indeksi olan dərəcə. Sıfırdan fərqli, eksponenti sıfır olan istənilən ədədin gücü 1-dir.

NÜMUNƏLƏR. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kəsrə göstərici ilə dərəcə. Həqiqi a ədədini m / n gücünə qaldırmaq üçün bu a ədədinin m-ci gücünün n-ci kökünü çıxarmaq lazımdır:



Heç bir mənası olmayan ifadələr haqqında. Bir neçə belə ifadə var.

Harada a ≠ 0 , mövcud deyil.

Əslində bunu fərz etsək x müəyyən bir ədəddir, onda bölmə əməliyyatının tərifinə uyğun olaraq bizdə: a = 0· x, yəni. a= 0, bu şərtə ziddir: a ≠ 0

- istənilən nömrə.

Əslində bu ifadənin hansısa ədədə bərabər olduğunu fərz etsək x, onda bölmə əməliyyatının tərifinə görə bizdə: 0 = 0 · x. Amma bu bərabərlik o zaman baş verir istənilən x rəqəmi, bu sübut edilməli olan şey idi.

0 0 - istənilən nömrə.



Həll. Gəlin üç əsas halı nəzərdən keçirək:

1) x = 0 – bu qiymət bu tənliyi təmin etmir

2) nə vaxt x> 0 alırıq: x/x= 1, yəni. 1 = 1 deməkdir

Nə x- istənilən nömrə; lakin bunu nəzərə alaraq

bizim vəziyyətimizdə x> 0, cavab budur x > 0 ;

Dərəcənin xüsusiyyətləri

Bu dərsdə başa düşəcəyimizi xatırladırıq dərəcələrin xüsusiyyətləri təbii göstəricilərlə və sıfır. 8-ci sinif dərslərində rasional göstəriciləri olan qüvvələr və onların xassələri müzakirə olunacaq.

Təbii eksponenti olan bir güc, güclərlə nümunələrdə hesablamaları sadələşdirməyə imkan verən bir neçə vacib xüsusiyyətə malikdir.

Əmlak №1
Güclərin məhsulu

Gücləri eyni əsaslarla çoxaldarkən, baza dəyişməz qalır və güclərin eksponentləri əlavə olunur.

a m · a n = a m + n, burada “a” istənilən ədəd, “m”, “n” isə istənilən natural ədəddir.

Səlahiyyətlərin bu xüsusiyyəti üç və ya daha çox səlahiyyətlərin hasilinə də aiddir.

• İfadəni sadələşdirin.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Bir dərəcə kimi təqdim edin.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Bir dərəcə kimi təqdim edin.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Nəzərə alın ki, göstərilən əmlakda biz yalnız eyni əsaslarla səlahiyyətlərin çoxaldılmasından danışdıq. Bu, onların əlavə edilməsinə şamil edilmir.

Cəmi (3 3 + 3 2) 3 5 ilə əvəz edə bilməzsiniz. Bu başa düşüləndir, əgər
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 və 3 5 = 243 hesablayın

Əmlak № 2
Qismən dərəcələr

Gücləri eyni əsaslarla bölərkən, əsas dəyişməz qalır və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarılır.

• Hissəni güc olaraq yazın
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Hesablayın.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Misal. Tənliyi həll edin. Biz bölünmə gücünün xassəsindən istifadə edirik.
3 8: t = 3 4

Cavab: t = 3 4 = 81

1 və 2 nömrəli xassələrdən istifadə etməklə siz ifadələri asanlıqla sadələşdirə və hesablamalar apara bilərsiniz.

Misal. İfadəni sadələşdirin.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Misal. Göstəricilərin xassələrindən istifadə edərək ifadənin qiymətini tapın.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Nəzərə alın ki, Əmlak 2-də biz yalnız eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsindən danışdıq.

Siz fərqi (4 3 −4 2) 4 1 ilə əvəz edə bilməzsiniz. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 və 4 1 = 4 hesablasanız, bu başa düşüləndir.

Əmlak №3
Bir dərəcəni bir gücə yüksəltmək

Bir dərəcəni bir gücə qaldırarkən dərəcənin əsası dəyişməz qalır və eksponentlər vurulur.

(a n) m = a n · m, burada “a” istənilən ədəddir, “m”, “n” isə istənilən natural ədəddir.

Dərəcəni bir gücə yüksəltmək xüsusiyyəti ilə Məlumdur ki, bir gücə yüksəldikdə eksponentlər çoxalır, yəni:

Xüsusiyyətlər 4
Məhsulun gücü

Gücü məhsul gücünə qaldırdıqda, hər bir amil bu gücə qaldırılır və nəticələr çoxalır.

(a b) n = a n b n, burada “a”, “b” hər hansı rasional ədədlərdir; "n" istənilən natural ədəddir.

• Misal 1.
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
• Misal 2.
  (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Nəzərə alın ki, dərəcələrin digər xassələri kimi 4 nömrəli əmlak da tərs qaydada tətbiq edilir.

(a n · b n)= (a · b) n

Yəni, eyni eksponentlərlə gücləri çoxaltmaq üçün əsasları çoxalda bilərsiniz, lakin eksponenti dəyişməz buraxın.

• Misal. Hesablayın.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
• Misal. Hesablayın.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Daha mürəkkəb nümunələrdə vurma və bölmənin müxtəlif əsaslara və fərqli eksponentlərə malik güclər üzərində yerinə yetirilməli olduğu hallar ola bilər. Bu halda sizə aşağıdakıları etməyi məsləhət görürük.

Məsələn, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Onluğu bir gücə yüksəltməyə nümunə.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Xüsusiyyətlər 5
Hissənin gücü (kəsirin)

Bölməni bir gücə yüksəltmək üçün dividend və bölücü ayrı-ayrılıqda bu gücə qaldıra və birinci nəticəni ikinciyə bölmək olar.

(a: b) n = a n: b n, burada “a”, “b” hər hansı rasional ədədlərdir, b ≠ 0, n - istənilən natural ədəddir.

• Misal. İfadəni səlahiyyətlərin bir hissəsi kimi təqdim edin.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Xatırladırıq ki, hissə kəsr kimi göstərilə bilər. Ona görə də biz növbəti səhifədə kəsri gücə qaldırmaq mövzusu üzərində daha ətraflı dayanacağıq.

Bütün yeni video dərslərdən xəbərdar olmaq üçün saytımızın youtube kanalına daxil olun.

Əvvəlcə səlahiyyətlərin əsas düsturlarını və onların xassələrini xatırlayaq.

Nömrənin məhsulu aöz üzərində n dəfə baş verir, bu ifadəni a … a=a n şəklində yaza bilərik

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Güc və ya eksponensial tənliklər– bunlar dəyişənlərin dərəcələrdə (yaxud eksponentlərdə) olduğu tənliklərdir, əsas isə ədəddir.

Eksponensial tənliklərə nümunələr:

Bu misalda 6 rəqəmi əsasdır, həmişə altdadır və dəyişəndir x dərəcə və ya göstərici.

Eksponensial tənliklərə daha çox nümunə verək.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

İndi eksponensial tənliklərin necə həll edildiyinə baxaq?

Sadə bir tənlik götürək:

2 x = 2 3

Bu misal hətta beyninizdə də həll edilə bilər. Görünür ki, x=3. Axı, sol və sağ tərəflərin bərabər olması üçün x əvəzinə 3 rəqəmini qoymaq lazımdır.
İndi gəlin bu qərarı necə rəsmiləşdirməyə baxaq:

2 x = 2 3
x = 3

Belə bir tənliyi həll etmək üçün çıxardıq eyni əsaslar(yəni ikilik) və qalanı yazdı, bunlar dərəcələrdir. Axtardığımız cavabı aldıq.

İndi qərarımızı ümumiləşdirək.

Eksponensial tənliyin həlli alqoritmi:
1. Yoxlamaq lazımdır eyni tənliyin sağ və sol əsaslarının olub-olmaması. Səbəblər eyni deyilsə, bu nümunəni həll etmək üçün variantlar axtarırıq.
2. Əsaslar eyni olduqdan sonra, bərabərləşdirmək dərəcə və nəticədə yeni tənliyi həll edin.

İndi bir neçə nümunəyə baxaq:

Sadə bir şeylə başlayaq.

Sol və sağ tərəflərdəki əsaslar 2 rəqəminə bərabərdir, yəni bazanı atıb onların dərəcələrini bərabərləşdirə bilərik.

x+2=4 Ən sadə tənlik alınır.
x=4 - 2
x=2
Cavab: x=2

Aşağıdakı nümunədə əsasların fərqli olduğunu görə bilərsiniz: 3 və 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Əvvəlcə doqquzu sağ tərəfə köçürün, alırıq:

İndi eyni əsasları düzəltməlisiniz. Biz bilirik ki, 9=32. (a n) m = a nm güc düsturundan istifadə edək.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 alırıq

3 3x = 3 2x+16 İndi aydın olur ki, sol və sağ tərəflərdə əsaslar eynidir və üçə bərabərdir, yəni onları atıb dərəcələri bərabərləşdirə bilərik.

3x=2x+16 ən sadə tənliyi alırıq
3x - 2x=16
x=16
Cavab: x=16.

Aşağıdakı misala baxaq:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Hər şeydən əvvəl əsaslara, iki və dördüncü əsaslara baxırıq. Və onların eyni olmasına ehtiyacımız var. Dördünü (a n) m = a nm düsturu ilə çeviririk.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Həm də bir a n a m = a n + m düsturundan istifadə edirik:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tənliyə əlavə edin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Amma digər 10 və 24 rəqəmləri bizi narahat edir.Onlarla nə etmək lazımdır? Diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, sol tərəfdə bizdə 2 2x təkrar var və cavab budur - mötərizədə 2 2x qoya bilərik:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mötərizədə ifadəni hesablayaq:

2 4 - 10 = 16 - 10 = 6

Bütün tənliyi 6-ya bölürük:

Təsəvvür edək ki, 4=2 2:

2 2x = 2 2 əsaslar eynidir, biz onları atırıq və dərəcələri bərabərləşdiririk.
2x = 2 ən sadə tənlikdir. Onu 2-yə bölün və alırıq
x = 1
Cavab: x = 1.

Tənliyi həll edək:

9 x – 12*3 x +27= 0

çevirək:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Tənliyi alırıq:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazalarımız eynidir, üçə bərabərdir.Bu misalda ilk üçünün ikincidən (sadəcə x) iki dəfə (2x) dərəcəsi olduğunu görə bilərsiniz. Bu vəziyyətdə həll edə bilərsiniz əvəzetmə üsulu. Nömrəni ən kiçik dərəcə ilə əvəz edirik:

Onda 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Tənlikdəki bütün x güclərini t ilə əvəz edirik:

t 2 - 12t+27 = 0
Kvadrat tənlik alırıq. Diskriminant vasitəsilə həll edərək əldə edirik:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Dəyişənlərə qayıdırıq x.

t 1 götürün:
t 1 = 9 = 3 x

Yəni,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cavab: x 1 = 2; x 2 = 1.

Vebsaytda Sizi maraqlandıran bütün suallarınızı QƏRAR VERMƏYƏ KÖMƏK bölməsində verə bilərsiniz, biz sizə mütləq cavab verəcəyik.

Qrupa qoşulun

Əvvəlki məqalədə monomialların nə olduğunu izah etdik. Bu materialda istifadə olunduğu nümunələri və problemləri necə həll edəcəyimizi nəzərdən keçirəcəyik. Burada çıxma, toplama, vurma, monohəmlərin bölünməsi və təbii göstərici ilə bir qüvvəyə yüksəldilməsi kimi hərəkətləri nəzərdən keçirəcəyik. Bu cür əməliyyatların necə müəyyən edildiyini göstərəcəyik, onların həyata keçirilməsi üçün əsas qaydaları və nəticənin nə olacağını göstərəcəyik. Bütün nəzəri anlayışlar, həmişə olduğu kimi, həll yollarının təsviri ilə problemlərin nümunələri ilə təsvir ediləcəkdir.

Monomialların standart notasiyası ilə işləmək ən əlverişlidir, buna görə məqalədə istifadə ediləcək bütün ifadələri standart formada təqdim edirik. Əgər onlar əvvəlcə fərqli şəkildə göstərilibsə, əvvəlcə onları ümumi qəbul edilmiş formaya gətirmək tövsiyə olunur.

Monoforalların toplanması və çıxılması qaydaları

Monomiallarla yerinə yetirilə bilən ən sadə əməliyyatlar çıxma və toplamadır. Ümumiyyətlə, bu hərəkətlərin nəticəsi çoxhədli olacaqdır (bəzi xüsusi hallarda monomial mümkündür).

Monoforalları toplayan və ya çıxdıqda, əvvəlcə ümumi qəbul edilmiş formada müvafiq cəmi və fərqi qeyd edirik, sonra isə yaranan ifadəni sadələşdiririk. Əgər oxşar terminlər varsa, onlara istinad edilməli, mötərizələr açılmalıdır. Bir misalla izah edək.

Misal 1

Vəziyyət:− 3 x və 2, 72 x 3 y 5 z monohəmlərinin əlavəsini yerinə yetirin.

Həll

Orijinal ifadələrin cəmini yazaq. Mötərizələr əlavə edək və onların arasına artı işarəsi qoyaq. Aşağıdakıları alacağıq:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

Mötərizənin genişləndirilməsini etdikdə - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z alırıq. Bu, standart formada yazılmış çoxhədlidir və bu monohəminlərin toplanmasının nəticəsi olacaq.

Cavab:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.

Əgər üç, dörd və ya daha çox müddətimiz varsa, bu hərəkəti tam eyni şəkildə həyata keçiririk.

Misal 2

Vəziyyət:çoxhədlilərlə göstərilən əməliyyatları düzgün ardıcıllıqla yerinə yetirin

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Həll

Mötərizələr açaraq başlayaq.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Görürük ki, ortaya çıxan ifadə oxşar şərtləri əlavə etməklə sadələşdirilə bilər:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Bu hərəkətin nəticəsi olacaq bir polinomumuz var.

Cavab: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Prinsipcə, bəzi məhdudiyyətlərlə iki monomial əlavə edib çıxara bilərik ki, monomialla nəticələnək. Bunu etmək üçün toplananlar və çıxılan monomiallarla bağlı bəzi şərtlərə cavab verməlisiniz. Bunun necə edildiyini ayrı bir məqalədə sizə xəbər verəcəyik.

Monomialların çoxaldılması qaydaları

Çoxalma hərəkəti amillərə heç bir məhdudiyyət qoymur. Nəticənin monomial olması üçün vurulan monomialların heç bir əlavə şərtlərə cavab verməsi lazım deyil.

Monomialların çoxalmasını həyata keçirmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməlisiniz:

1. Parçanı düzgün yazın.
2. Yaranan ifadədə mötərizələri genişləndirin.
3. Mümkünsə, eyni dəyişənlərə malik amilləri və ədədi amilləri ayrıca qruplaşdırın.
4. Rəqəmlərlə lazımi əməliyyatları yerinə yetirin və qalan amillərə eyni əsaslarla gücün vurulması xassəsini tətbiq edin.

Bunun praktikada necə edildiyinə baxaq.

Misal 3

Vəziyyət: monomialları 2 x 4 y z və - 7 16 t 2 x 2 z 11-i çoxaldın.

Həll

Əsəri tərtib etməklə başlayaq.

İçindəki mötərizələri açırıq və aşağıdakıları alırıq:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Bizə lazım olan tək şey birinci mötərizədə olan rəqəmləri çoxaltmaq və ikinci mötərizədə səlahiyyətlərin xassəsini tətbiq etməkdir. Nəticədə aşağıdakıları alırıq:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Cavab: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Şərtimizdə üç və ya daha çox polinom varsa, biz onları eyni alqoritmdən istifadə edərək çoxalırıq. Monomialların çoxaldılması məsələsini ayrı bir materialda daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.

Monomialın gücə yüksəldilməsi qaydaları

Biz bilirik ki, təbii göstəricisi olan qüvvə müəyyən sayda eyni amillərin məhsuludur. Onların sayı göstəricidəki nömrə ilə göstərilir. Bu tərifə görə, monomialın gücə yüksəldilməsi müəyyən edilmiş eyni monomialların sayını çoxaltmağa bərabərdir. Bunun necə edildiyini görək.

Misal 4

Vəziyyət: monomial − 2 · a · b 4-ü 3 gücə qaldırın.

Həll

Biz eksponentasiyanı 3 monohəmin − 2 · a · b 4 vurması ilə əvəz edə bilərik. Gəlin bunu yazaq və istədiyiniz cavabı alaq:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Cavab:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Bəs dərəcənin böyük bir göstəricisi varsa nə olacaq? Çox sayda faktoru qeyd etmək əlverişsizdir. Sonra belə bir problemi həll etmək üçün dərəcənin xüsusiyyətlərini, yəni məhsul dərəcəsinin xassəsini və dərəcənin xüsusiyyətini tətbiq etməliyik.

Yuxarıda təqdim etdiyimiz problemi göstərilən üsulla həll edək.

Misal 5

Vəziyyət:− 2 · a · b 4-ü üçüncü gücə qaldırın.

Həll

Güc-dərəcə xüsusiyyətini bilməklə, aşağıdakı formanın ifadəsinə keçə bilərik:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Bundan sonra biz gücə yüksəlirik - 2 və səlahiyyətlərin mülkiyyətini səlahiyyətlərə tətbiq edirik:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Cavab:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Biz də monomialın gücə yüksəlməsinə ayrıca məqalə həsr etdik.

Monomialların bölünməsi qaydaları

Bu materialda tədqiq edəcəyimiz monomiallarla son əməliyyat monomialın monomiala bölünməsidir. Nəticədə rasional (cəbri) kəsr almalıyıq (bəzi hallarda monomial almaq mümkündür). Dərhal aydınlaşdıraq ki, 0-a bölmə müəyyən edilmədiyi üçün sıfır monomiala bölünmə müəyyən edilmir.

Bölməni yerinə yetirmək üçün göstərilən monomialları kəsr şəklində yazmaq və mümkünsə azaltmaq lazımdır.

Misal 6

Vəziyyət: monomial − 9 · x 4 · y 3 · z 7 - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 -ə bölün.

Həll

Gəlin monomialları kəsr şəklində yazmaqla başlayaq.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Bu fraksiya azaldıla bilər. Bu hərəkəti yerinə yetirdikdən sonra əldə edirik:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Cavab:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Monofillərin bölünməsi nəticəsində monomial əldə etdiyimiz şərtlər ayrıca məqalədə verilmişdir.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Aydındır ki, başqa kəmiyyətlər kimi gücə malik ədədlər də əlavə edilə bilər , əlamətləri ilə bir-birinin ardınca əlavə etməklə.

Beləliklə, a 3 və b 2-nin cəmi 3 + b 2-dir.
3 - b n və h 5 -d 4-ün cəmi 3 - b n + h 5 - d 4-dür.

Oranlar eyni dəyişənlərin bərabər gücləriəlavə və ya çıxa bilər.

Deməli, 2a 2 və 3a 2-nin cəmi 5a 2-yə bərabərdir.

Bu da aydındır ki, əgər siz iki kvadrat a, üç kvadrat a və ya beş kvadrat a alsanız.

Amma dərəcələr müxtəlif dəyişənlər Və müxtəlif dərəcələr eyni dəyişənlər, işarələri ilə əlavə edilərək tərtib edilməlidir.

Beləliklə, 2 və 3-ün cəmi 2 + a 3-ün cəmidir.

Aydındır ki, a-nın kvadratı və a-nın kubu a-nın kvadratının iki qatına deyil, a-nın iki qatına bərabərdir.

3 b n və 3a 5 b 6-nın cəmi 3 b n + 3a 5 b 6-dır.

Çıxarma səlahiyyətlər əlavə ilə eyni şəkildə həyata keçirilir, istisna olmaqla, əlavələrin əlamətləri müvafiq olaraq dəyişdirilməlidir.

Və ya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çoxalma gücləri

Güclü ədədləri, digər kəmiyyətlər kimi, onları bir-birinin ardınca yazmaqla, aralarında vurma işarəsi ilə və ya olmadan çoxaltmaq olar.

Beləliklə, a 3-ün b 2-yə vurulmasının nəticəsi 3 b 2 və ya aaabb olur.

Və ya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son nümunədəki nəticə eyni dəyişənləri əlavə etməklə sıralana bilər.
İfadə aşağıdakı formanı alacaq: a 5 b 5 y 3.

Bir neçə ədədi (dəyişənləri) güclərlə müqayisə edərək görə bilərik ki, əgər onlardan hər hansı ikisi vurularsa, nəticədə gücü bərabər olan ədəd (dəyişən) olur. məbləğ termin dərəcələri.

Beləliklə, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Burada 5 vurmanın nəticəsinin gücüdür, 2 + 3-ə bərabərdir, şərtlərin səlahiyyətlərinin cəmidir.

Beləliklə, a n .a m = a m+n .

a n üçün a, n-nin gücü qədər amil kimi qəbul edilir;

Və m dərəcəsi m bərabər olduğu qədər əmsal kimi qəbul edilir;

Buna görə də, eyni əsasları olan səlahiyyətlər, səlahiyyətlərin eksponentlərini toplamaqla vurula bilər.

Beləliklə, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Və x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Və ya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) çarpın.
Cavab: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) çarpın.

Bu qayda göstəriciləri olan ədədlər üçün də keçərlidir mənfi.

1. Beləliklə, a -2 .a -3 = a -5 . Bunu (1/aa) kimi yazmaq olar.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b a - b ilə vurularsa, nəticə 2 - b 2 olacaq: yəni

İki ədədin cəmi və ya fərqinin vurulmasının nəticəsi onların kvadratlarının cəminə və ya fərqinə bərabərdir.

İki ədədin cəmini və fərqini çarparsanız kvadrat, nəticə bu ədədlərin cəminə və ya fərqinə bərabər olacaq dördüncü dərəcə.

Beləliklə, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dərəcələrin bölünməsi

Güclü ədədləri digər ədədlər kimi dividenddən çıxmaqla və ya kəsr şəklində yerləşdirməklə bölmək olar.

Beləliklə, a 3 b 2-nin b 2-yə bölünməsi a 3-ə bərabərdir.

Və ya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-in 3-ə bölünməsinin yazılması $\frac(a^5)(a^3)$ kimi görünür. Amma bu 2-yə bərabərdir. Bir sıra nömrələrdə
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
istənilən ədədi digərinə bölmək olar və göstərici bərabər olacaqdır fərq bölünən ədədlərin göstəriciləri.

Eyni baza ilə dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxarılır..

Beləliklə, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yəni, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Və a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yəni, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Və ya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Qayda olan nömrələr üçün də keçərlidir mənfi dərəcə dəyərləri.
-5-in -3-ə bölünməsinin nəticəsi -2-dir.
Həmçinin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 və ya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Bu cür əməliyyatlardan cəbrdə çox geniş istifadə olunduğundan, vurma və səlahiyyətlərin bölünməsini çox yaxşı mənimsəmək lazımdır.

Güclü ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə misalların həlli nümunələri

1. Göstəriciləri $\frac(5a^4)(3a^2)$ qədər azaldın Cavab: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Göstəriciləri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaldın. Cavab: $\frac(2x)(1)$ və ya 2x.

3. a 2 /a 3 və a -3 /a -4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
a 2 .a -4 a -2 birinci paydır.
a 3 .a -3 0 = 1, ikinci paydır.
a 3 .a -4 a -1 , ümumi paydır.
Sadələşdirmədən sonra: a -2 /a -1 və 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 və 2 /a 4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
Cavab: 2a 3 /5a 7 və 5a 5 /5a 7 və ya 2a 3 /5a 2 və 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4-ü (a - b)/3-ə vurun.

6. (a 5 + 1)/x 2-ni (b 2 - 1)/(x + a) ilə vurun.

7. b 4 /a -2-ni h -3 /x və a n /y -3-ə vurun.

8. 4 /y 3-ü 3 /y 2-yə bölün. Cavab: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4-ü (d n + 1)/saata bölün.