Tangens çevrələrinə m tangensi qurun. Bir dairəyə toxunan nədir? Çevrəyə toxunmanın xassələri. İki dairəyə ümumi tangens. Dairəvi bir qövs istifadə edərək fileto

Dərsin Məqsədləri

• Təhsil - "Dairəyə toxunma" mövzusunda təkrar, ümumiləşdirmə və biliklərin sınanması; əsas bacarıqların inkişafı.
• İnkişaf edən - tələbələrin diqqətini, əzmkarlığını, əzmkarlığını, məntiqi təfəkkürünü, riyazi nitqini inkişaf etdirmək.
• Tərbiyəvi - dərs vasitəsilə bir-birinə diqqətli münasibət bəsləmək, yoldaşları dinləmək, qarşılıqlı yardım, müstəqillik bacarıqlarını aşılamaq.
• Tangens, təmas nöqtəsi anlayışını təqdim edin.
• Tangensin və onun işarəsinin xassəsini nəzərdən keçirin və onların təbiətdə və texnologiyada məsələlərin həllində tətbiqini göstərin.

Dərsin məqsədləri

• Şkala hökmdarı, iletki və rəsm üçbucağından istifadə edərək tangens qurmaq bacarıqlarını formalaşdırmaq.
• Şagirdlərin problemləri həll etmək bacarığını yoxlayın.
• Dairəyə tangens qurmaq üçün əsas alqoritmik üsulların mənimsənilməsini təmin edin.
• Nəzəri bilikləri problemin həllində tətbiq etmək bacarığını formalaşdırmaq.
• Şagirdlərin təfəkkürünü və nitqini inkişaf etdirmək.
• Müşahidə etmək, nümunələri qeyd etmək, ümumiləşdirmək, bənzətmə ilə əsaslandırma bacarıqlarının formalaşdırılması üzərində işləyin.
• Riyaziyyata marağı inkişaf etdirmək.

Dərs planı

1. Tangens anlayışının yaranması.
2. Tangensin yaranma tarixi.
3. Həndəsi təriflər.
4. Əsas teoremlər.
5. Dairəyə toxunmanın qurulması.
6. Konsolidasiya.

Tangens anlayışının yaranması

Tangens anlayışı riyaziyyatda ən qədim anlayışlardan biridir. Həndəsədə çevrəyə toxunan bu dairə ilə tam olaraq bir kəsişmə nöqtəsi olan düz xətt kimi müəyyən edilir. Qədimlər kompas və düz xəttin köməyi ilə çevrəyə, daha sonra isə konusvari kəsiklərə: ellipslər, hiperbolalar və parabolalara toxunanları çəkə bildilər.

Tangensin yaranma tarixi

Müasir dövrdə tangenslərə maraq yenidən canlandı. Sonra antik dövr alimlərinə məlum olmayan əyrilər aşkar edildi. Məsələn, Qaliley sikloidi təqdim etdi və Dekart və Fermat ona bir tangens qurdular. XVII əsrin birinci üçdə birində. Onlar başa düşməyə başladılar ki, tangens müəyyən bir nöqtənin kiçik bir qonşuluğunda əyriyə "ən yaxın olan" düz xəttdir. Müəyyən bir nöqtədə (şəkil) əyriyə tangens qurmaq mümkün olmayan bir vəziyyəti təsəvvür etmək asandır.

Həndəsi təriflər

Dairə- müəyyən bir nöqtədən bərabər məsafədə olan müstəvi nöqtələrinin yeri onun mərkəzi adlanır.

dairə.

Əlaqədar təriflər

• Dairənin mərkəzini üzərindəki istənilən nöqtə ilə birləşdirən seqmentə (həmçinin bu seqmentin uzunluğu) deyilir radius dairələr.
• Təyyarənin dairə ilə məhdudlaşan hissəsinə deyilir ətrafında.
• Dairənin iki nöqtəsini birləşdirən xətt seqmentinə deyilir akkord. Dairənin mərkəzindən keçən akkorda deyilir Diametr.
• Dairənin hər hansı iki üst-üstə düşməyən nöqtəsi onu iki hissəyə ayırır. Bu hissələrin hər biri adlanır qövs dairələr. Qövsün ölçüsü onun müvafiq mərkəzi bucağının ölçüsü ola bilər. Qövsün uclarını birləşdirən seqment diametrdirsə, ona yarımdairə deyilir.
• Dairə ilə tam ortaq nöqtəsi olan xəttə deyilir tangens dairəyə, onların ortaq nöqtəsi isə xəttin və çevrənin təmas nöqtəsi adlanır.
• Dairənin iki nöqtəsindən keçən xəttə deyilir sekant.
• Dairədəki mərkəzi bucaq, mərkəzində təpəsi olan düz bir bucaqdır.
• Təpəsi çevrə üzərində olan və tərəfləri çevrə ilə kəsişən bucaq adlanır yazılmış bucaq.
• Ortaq mərkəzi olan iki dairə deyilir konsentrik.

Tangens xətti- əyrinin bir nöqtəsindən keçən və bu nöqtədə birinci sıraya qədər onunla üst-üstə düşən düz xətt.

Bir dairəyə toxunan Bir dairə ilə ortaq nöqtəsi olan düz xətt deyilir.

Bu nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyar eyni müstəvidə dairənin nöqtəsindən keçən düz xətt, tangens adlanır. Bu halda çevrənin bu nöqtəsi təmas nöqtəsi adlanır.

Bizim vəziyyətimizdə "a" verilmiş dairəyə toxunan düz xəttdirsə, "A" nöqtəsi təmas nöqtəsidir. Bu halda a ⊥ OA (a xətti OA radiusuna perpendikulyardır).

Bunu deyirlər iki dairə toxunurəgər onların vahid ortaq nöqtəsi varsa. Bu nöqtə deyilir dairələrin toxunan nöqtəsi. Tangens nöqtəsi vasitəsilə çevrələrdən birinə tangens çəkmək olar ki, bu da digər dairəyə toxunur. Dairələrin toxunuşu daxili və xaricidir.

Dairələrin mərkəzləri tangensin eyni tərəfində yerləşirsə, toxunma daxili adlanır.

Dairələrin mərkəzləri tangensin əks tərəflərində yerləşirsə, toxunma xarici adlanır.

a iki çevrənin ümumi tangensidir, K təmas nöqtəsidir.

Əsas teoremlər

Teorem tangens və sekant haqqında

Əgər dairədən kənarda yerləşən nöqtədən tangens və sekant çəkilirsə, onda tangensin uzunluğunun kvadratı sekantın və onun xarici hissəsinin hasilinə bərabərdir: MC 2 = MA MB.

Teorem. Dairənin tangens nöqtəsinə çəkilmiş radius tangensə perpendikulyardır.

Teorem.Əgər radius dairənin kəsişmə nöqtəsində xəttə perpendikulyardırsa, onda bu xətt bu dairəyə tangensdir.

Sübut.

Bu teoremləri sübut etmək üçün bir nöqtədən xəttə perpendikulyarın nə olduğunu xatırlamalıyıq. Bu, bu nöqtədən bu xəttə ən qısa məsafədir. Fərz edək ki, OA tangensə perpendikulyar deyil, lakin tangensə perpendikulyar olan OC düz xətti var. ƏS-nin uzunluğu radiusun uzunluğunu və radiusdan şübhəsiz daha böyük olan müəyyən bir BC seqmentini ehtiva edir. Beləliklə, hər hansı bir xətt üçün sübut edilə bilər. Biz nəticəyə gəlirik ki, radius, təmas nöqtəsinə çəkilmiş radius, O nöqtəsindən tangensə ən qısa məsafədir, yəni. OS tangensə perpendikulyardır. Əks teoremin isbatında biz ondan çıxış edəcəyik ki, tangensin çevrə ilə yalnız bir ümumi nöqtəsi var. Verilmiş xəttin dairə ilə daha bir ümumi B nöqtəsi olsun. AOB üçbucağı düzbucaqlıdır və onun iki tərəfi radiuslara bərabərdir, ola bilməz. Beləliklə, biz əldə edirik ki, verilmiş xəttin A nöqtəsindən başqa çevrə ilə ortaq nöqtəsi yoxdur, yəni. tangensdir.

Teorem. Bir nöqtədən çevrəyə çəkilmiş tangenslərin seqmentləri bərabərdir və bu nöqtəni çevrənin mərkəzi ilə birləşdirən düz xətt tangenslər arasındakı bucağı vuruşlara bölür.

Sübut.

Sübut çox sadədir. Əvvəlki teoremdən istifadə edərək, OB-nin AB-yə, ƏS-nin isə AC-yə perpendikulyar olduğunu iddia edirik. Düzbucaqlı ABO və ACO üçbucaqları ayaq və hipotenuzda bərabərdir (OB = OS - radius, AO - cəmi). Buna görə də onların ayaqları AB = AC və OAC və OAB bucaqları da bərabərdir.

Teorem. Dairənin ortaq nöqtəsi olan bir tangens və akkordun yaratdığı bucağın qiyməti onun tərəfləri arasında bağlanmış qövsün bucaq dəyərinin yarısına bərabərdir.

Sübut.

Tangens və akkordun yaratdığı NAB bucağını nəzərdən keçirək. AC diametrini çəkin. Tangens təmas nöqtəsinə çəkilmiş diametrə perpendikulyardır, buna görə də ∠CAN=90 o. Teoremi bilməklə, alfa (a) bucağının BC qövsünün bucaq böyüklüyünün yarısına və ya BOC bucağının yarısına bərabər olduğunu görürük. ∠NAB=90 o -a, buna görə də ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB və ya = BA qövsünün bucaq qiymətinin yarısı alırıq. h.t.d.

Teorem.Əgər bir nöqtədən dairəyə bir tangens və sekant çəkilirsə, onda verilmiş nöqtədən toxunma nöqtəsinə olan tangensin seqmentinin kvadratı verilmiş hissədən kəsik seqmentlərinin uzunluqlarının hasilinə bərabərdir. dairə ilə kəsişmə nöqtələrinə işarə edin.

Sübut.

Şəkildə bu teorem belə görünür: MA 2 \u003d MV * MS. Gəlin bunu sübut edək. Əvvəlki teoremə görə, MAC bucağı AC qövsünün bucaq ölçüsünün yarısına bərabərdir, həm də ABC bucağı AC qövsünün bucaq ölçüsünün yarısına bərabərdir, teoremə görə, bu bucaqlar bərabərdir bir-birinə. AMC və VMA üçbucaqlarının M təpəsində ortaq bucaq olduğunu nəzərə alaraq, bu üçbucaqların iki bucaqdakı oxşarlığını bildiririk (ikinci işarə). Bənzərlikdən bizdə var: MA / MB = MC / MA, ondan MA 2 \u003d MB * MC alırıq

Bir dairəyə toxunanların qurulması

İndi gəlin bunu anlamağa çalışaq və bir dairəyə tangens qurmaq üçün nə etmək lazım olduğunu öyrənək.

Bu zaman məsələdə bir qayda olaraq dairə və nöqtə verilir. Və siz və mən çevrəyə bir tangens qurmalıyıq ki, bu tangens verilmiş nöqtədən keçsin.

Nöqtənin yerini bilmədiyimiz halda, o zaman nöqtələrin mümkün yerləşməsi hallarını nəzərdən keçirək.

Birincisi, nöqtə verilmiş dairə ilə məhdudlaşan dairənin içərisində ola bilər. Bu halda bu çevrədən tangens qurmaq mümkün deyil.

İkinci halda nöqtə çevrə üzərindədir və bizə məlum olan nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyar xətt çəkməklə bir tangens qura bilərik.

Üçüncüsü, tutaq ki, nöqtə çevrə ilə məhdudlaşan dairədən kənardadır. Bu halda tangensi qurmazdan əvvəl çevrənin üzərindən tangensin keçməli olduğu nöqtəni tapmaq lazımdır.

Birinci halda, ümid edirəm ki, hər şeyi başa düşürsən, amma ikinci variantı həll etmək üçün radiusun yerləşdiyi düz xətt üzərində bir seqment qurmalıyıq. Bu seqment radius və dairənin əks tərəfində yerləşən seqmentə bərabər olmalıdır.

Burada görürük ki, dairənin üzərindəki nöqtə radiusun iki qatına bərabər olan seqmentin orta nöqtəsidir. Növbəti addım iki dairə çəkməkdir. Bu dairələrin radiusları ilkin dairənin radiusunun iki qatına bərabər olacaq, mərkəzləri seqmentin uclarında olmaqla, radiusun iki qatına bərabərdir. İndi biz bu çevrələrin istənilən kəsişmə nöqtəsindən və verilmiş nöqtədən düz xətt çəkə bilərik. Belə bir düz xətt əvvəlində çəkilmiş dairənin radiusuna perpendikulyar olan mediandır. Beləliklə, bu xəttin çevrəyə perpendikulyar olduğunu görürük və buradan onun çevrəyə toxunduğu nəticə çıxır.

Üçüncü variantda, dairədən kənarda yerləşən, bir dairə ilə məhdudlaşan bir nöqtəmiz var. Bu halda, ilk növbədə, verilmiş dairənin mərkəzini və verilmiş nöqtəni birləşdirəcək bir seqment qururuq. Və sonra onun ortasını tapırıq. Ancaq bunun üçün perpendikulyar bir bisektor qurmaq lazımdır. Və onu necə quracağınızı artıq bilirsiniz. Sonra bir dairəni və ya ən azı bir hissəsini çəkməliyik. İndi görürük ki, verilmiş çevrə ilə yeni qurulmuş dairənin kəsişmə nöqtəsi tangensin keçdiyi nöqtədir. O, həmçinin problemin şərti ilə müəyyən edilmiş nöqtədən keçir. Və nəhayət, artıq bildiyiniz iki nöqtə vasitəsilə bir toxunan xətt çəkə bilərsiniz.

Və nəhayət, qurduğumuz düz xəttin tangens olduğunu sübut etmək üçün çevrənin radiusunun əmələ gətirdiyi bucağa və şərtlə tanınan seqmentə diqqət yetirmək lazımdır. məsələnin şərti ilə verilən nöqtə ilə çevrələr. İndi görürük ki, yaranan bucaq yarımdairə üzərində dayanır. Və buradan belə nəticə çıxır ki, bu bucaq düzgündür. Buna görə də radius yeni qurulmuş xəttə perpendikulyar olacaq və bu xətt tangensdir.

Tangensin qurulması.

Tangenslərin qurulması diferensial hesabın yaranmasına səbəb olan problemlərdən biridir. Leybniz tərəfindən yazılmış diferensial hesabla bağlı ilk nəşr olunmuş əsər “Maksimum və minimumların, eləcə də nə kəsr, nə də irrasional kəmiyyətlərin maneə törətmədiyi tangenslərin yeni üsulu və bunun üçün xüsusi hesablama növü” adlanırdı.

Qədim misirlilərin həndəsi bilikləri.

Dəclə ilə Fərat və Kiçik Asiya arasındakı vadinin qədim sakinlərinin çox təvazökar töhfəsini nəzərə almasaq, həndəsə eramızdan əvvəl 1700-cü ildən əvvəl qədim Misirdə yaranmışdır. Tropik yağışlı mövsümdə Nil öz su ehtiyatını artırdı və su basdı. Əkin sahələrini su örtdü və vergi məqsədləri üçün nə qədər torpaq itirildiyini müəyyən etmək lazım idi. Tədqiqatçılar ölçmə aləti kimi möhkəm dartılmış kəndirdən istifadə edirdilər. Misirlilərin həndəsi biliklərin toplanması üçün başqa bir stimul onların piramidaların tikintisi və təsviri sənət kimi fəaliyyətləri idi.

Həndəsi biliklərin səviyyəsini xüsusi olaraq riyaziyyata həsr olunmuş və dərsliklərə, daha doğrusu, problem kitablarına bənzəyən, müxtəlif praktiki məsələlərin həlli yollarının verildiyi qədim əlyazmalardan mühakimə etmək olar.

Misirlilərin ən qədim riyazi əlyazması 1800-1600-cü illər arasında müəyyən bir tələbə tərəfindən köçürülmüşdür. e.ə. köhnə mətndən. Papirusu rus misirşünası Vladimir Semenoviç Qolenişev tapıb. Moskvada - A.S. adına İncəsənət Muzeyində saxlanılır. Puşkin və Moskva papirusu adlanır.

Moskvadan iki-üç yüz il sonra yazılmış başqa bir riyazi papirus Londonda saxlanılır. Bu adlanır: "Bütün qaranlıq şeylər haqqında bilik əldə etmək üçün təlimat, şeyləri özündə gizlədən bütün sirlər ... Köhnə abidələrə görə, katib Ahmes bunu yazıb." və bu papirusu Misirdə satın aldı. Ahmes papirusu praktikada lazım ola biləcək müxtəlif hesablamalar üçün 84 məsələnin həllini verir.

Transektlər, tangenslər - bütün bunları həndəsə dərslərində yüzlərlə dəfə eşitmək olardı. Amma məktəbi bitirmək başa çatır, illər keçir və bütün bu biliklər unudulur. Nəyi xatırlamaq lazımdır?

mahiyyət

"Dairəyə toxunan" termini yəqin ki, hamıya tanışdır. Ancaq çətin ki, hər kəs tez bir zamanda onun tərifini formalaşdıra bilsin. Bu arada, bir tangens onu yalnız bir nöqtədə kəsən bir dairə ilə eyni müstəvidə uzanan belə bir düz xəttdir. Onların böyük bir çeşidi ola bilər, lakin hamısı aşağıda müzakirə ediləcək eyni xüsusiyyətlərə malikdir. Təxmin etdiyiniz kimi, təmas nöqtəsi dairə ilə xəttin kəsişdiyi yerdir. Hər bir halda birdir, amma daha çox olarsa, o, bir sekant olacaqdır.

Kəşf və öyrənmə tarixi

Tangens anlayışı antik dövrdə meydana çıxdı. Bu düz xətlərin əvvəlcə dairəyə, sonra isə xətkeş və kompasın köməyi ilə ellipslərə, parabolalara və hiperbolalara çəkilməsi hətta həndəsənin inkişafının ilkin mərhələlərində də aparılmışdır. Təbii ki, tarix kəşf edənin adını qoruyub saxlamayıb, amma aydındır ki, hətta o dövrdə insanlar çevrəyə toxunmanın xüsusiyyətlərini kifayət qədər bilirdilər.

Müasir dövrdə bu fenomenə maraq yenidən alovlandı - yeni əyrilərin kəşfi ilə birlikdə bu konsepsiyanın öyrənilməsinin yeni mərhələsi başladı. Beləliklə, Qalileo sikloid anlayışını təqdim etdi və Fermat və Dekart ona bir tangens qurdular. Dairələrə gəlincə, deyəsən, bu sahədə qədimlər üçün heç bir sirr qalmayıb.

Xüsusiyyətlər

kəsişmə nöqtəsinə çəkilmiş radius olacaq

çevrəyə toxunan əsas, lakin yeganə xüsusiyyət deyil. Digər mühüm xüsusiyyət artıq iki düz xətt daxildir. Beləliklə, dairədən kənarda yerləşən bir nöqtə vasitəsilə iki tangens çəkilə bilər, onların seqmentləri bərabər olacaqdır. Bu mövzuda başqa bir teorem var, lakin bəzi problemlərin həlli üçün son dərəcə əlverişli olsa da, standart bir məktəb kursu çərçivəsində nadir hallarda əhatə olunur. Bu belə səslənir. Dairədən kənarda yerləşən bir nöqtədən ona bir tangens və sekant çəkilir. AB, AC və AD seqmentləri formalaşır. A xətlərin kəsişməsi, B təmas nöqtəsi, C və D kəsişmə nöqtələridir. Bu halda, aşağıdakı bərabərlik etibarlı olacaq: dairəyə toxunan uzunluğu, kvadratı, AC və AD seqmentlərinin hasilinə bərabər olacaqdır.

Yuxarıdakıların mühüm nəticəsi var. Dairənin hər nöqtəsi üçün bir tangens qura bilərsiniz, ancaq yalnız bir. Bunun sübutu olduqca sadədir: nəzəri olaraq radiusdan ona bir perpendikulyar saldıqda, əmələ gələn üçbucağın mövcud ola bilməyəcəyini öyrənirik. Və bu o deməkdir ki, tangens unikaldır.

bina

Həndəsədəki digər tapşırıqlar arasında, bir qayda olaraq, xüsusi bir kateqoriya var

tələbələr və tələbələr tərəfindən bəyənilir. Bu kateqoriyadan olan vəzifələri həll etmək üçün sizə yalnız bir kompas və bir hökmdar lazımdır. Bunlar tikinti işləridir. Tangensin qurulması üsulları da var.

Beləliklə, bir dairə və onun hüdudlarından kənarda yerləşən bir nöqtə verilir. Və onların arasından bir tangens çəkmək lazımdır. Bunu necə etmək olar? Əvvəlcə O dairəsinin mərkəzi ilə verilmiş nöqtə arasında bir seqment çəkmək lazımdır. Sonra kompasdan istifadə edərək onu yarıya bölün. Bunu etmək üçün radiusu təyin etməlisiniz - orijinal dairənin mərkəzi ilə verilən nöqtə arasındakı məsafənin yarısından bir qədər çox. Bundan sonra, kəsişən iki qövs qurmaq lazımdır. Üstəlik, kompasın radiusunun dəyişdirilməsinə ehtiyac yoxdur və dairənin hər bir hissəsinin mərkəzi müvafiq olaraq başlanğıc nöqtəsi və O olacaqdır. Qövslərin kəsişmələri birləşdirilməlidir, bu da seqmenti yarıya böləcəkdir. Kompasda bu məsafəyə bərabər bir radius təyin edin. Sonra, mərkəz kəsişmə nöqtəsində olmaqla başqa bir dairə çəkin. Həm başlanğıc nöqtəsi, həm də O onun üzərində uzanacaq.Bu halda məsələdə verilmiş dairə ilə daha iki kəsişmə olacaq. Onlar ilkin verilən nöqtə üçün əlaqə nöqtələri olacaqlar.

Doğuşa səbəb olan dairəyə toxunanların qurulması idi

diferensial hesablama. Bu mövzuda ilk əsər məşhur alman riyaziyyatçısı Leybnits tərəfindən nəşr edilmişdir. O, kəsr və irrasional qiymətlərdən asılı olmayaraq maksimal, minimum və tangensləri tapmaq imkanını təmin etmişdir. Yaxşı, indi bir çox başqa hesablamalar üçün də istifadə olunur.

Bundan əlavə, çevrəyə toxunan tangensin həndəsi mənası ilə bağlıdır. Onun adı buradan gəlir. Latın dilindən tərcümədə tangens "tangens" deməkdir. Beləliklə, bu anlayış təkcə həndəsə və diferensial hesabla deyil, həm də triqonometriya ilə bağlıdır.

İki dairə

Tangens həmişə yalnız bir rəqəmə təsir etmir. Bir dairəyə çoxlu sayda düz xətt çəkmək olarsa, niyə əksinə olmasın? Bacarmaq. Ancaq bu vəziyyətdə tapşırıq ciddi şəkildə mürəkkəbdir, çünki iki dairəyə toxunan heç bir nöqtədən keçməyə bilər və bütün bu rəqəmlərin nisbi mövqeyi çox ola bilər.

fərqli.

Növlər və çeşidlər

Söhbət iki çevrə və bir və ya bir neçə düz xəttdən gedirsə, bunların tangens olduğu məlum olsa belə, bütün bu fiqurların bir-birinə münasibətdə necə yerləşdiyi dərhal aydınlaşmır. Buna əsaslanaraq, bir neçə növ var. Beləliklə, dairələrin bir və ya iki ümumi nöqtəsi ola bilər və ya ümumiyyətlə olmaya bilər. Birinci halda, onlar kəsişəcək, ikincidə isə toxunacaqlar. Və burada iki növ var. Bir dairə, sanki, ikinciyə yerləşdirilibsə, toxunma daxili, deyilsə, xarici adlanır. Fiqurların nisbi mövqeyini yalnız rəsmə əsaslanaraq deyil, həm də onların radiuslarının cəmi və mərkəzləri arasındakı məsafə haqqında məlumat əldə edə bilərsiniz. Bu iki kəmiyyət bərabərdirsə, dairələr toxunur. Birincisi daha böyükdürsə, kəsişir, azdırsa, ortaq nöqtələri yoxdur.

Düz xətlərlə eynidir. Ortaq nöqtələri olmayan hər hansı iki dairə üçün biri ola bilər

dörd tangens qurun. Onlardan ikisi rəqəmlər arasında kəsişəcək, onlara daxili deyilir. Digər bir neçəsi xaricidir.

Bir ortaq nöqtəsi olan dairələrdən danışırıqsa, tapşırıq çox sadələşdirilmişdir. Fakt budur ki, bu vəziyyətdə hər hansı bir qarşılıqlı tənzimləmə üçün yalnız bir tangens olacaq. Və onların kəsişdiyi nöqtədən keçəcək. Beləliklə, tikinti çətinliyinə səbəb olmayacaq.

Rəqəmlərin iki kəsişmə nöqtəsi varsa, onlar üçün həm bir, həm də ikinci, ancaq xarici olan dairəyə toxunan bir düz xətt çəkilə bilər. Bu problemin həlli aşağıda müzakirə ediləcəklərə bənzəyir.

Problemin həlli

İki dairənin həm daxili, həm də xarici tangentləri tikintidə o qədər də sadə deyil, baxmayaraq ki, bu problem həll edilə bilər. Fakt budur ki, bunun üçün köməkçi bir rəqəm istifadə olunur, buna görə də bu üsulu özünüz düşünün

olduqca problemlidir. Beləliklə, müxtəlif radiuslu və mərkəzləri O1 və O2 olan iki dairə verilmişdir. Onlar üçün iki cüt tangens qurmaq lazımdır.

Hər şeydən əvvəl, daha böyük dairənin mərkəzinə yaxın bir köməkçi qurmaq lazımdır. Bu halda, iki ilkin rəqəmin radiusları arasındakı fərq kompasda müəyyən edilməlidir. Köməkçi dairəyə tangentlər kiçik dairənin mərkəzindən qurulur. Bundan sonra O1 və O2-dən bu xətlərə ilkin fiqurlarla kəsişənə qədər perpendikulyarlar çəkilir. Tangensin əsas xassəsindən göründüyü kimi, hər iki dairədə arzu olunan nöqtələr tapılır. Problem, heç olmasa, birinci hissəsi həll olunur.

Daxili tangensləri qurmaq üçün praktiki olaraq həll etmək lazımdır

oxşar vəzifə. Yenə köməkçi rəqəm lazımdır, lakin bu dəfə onun radiusu orijinal olanların cəminə bərabər olacaq. Verilmiş dairələrdən birinin mərkəzindən ona tangentlər qurulur. Həllin sonrakı gedişatını əvvəlki nümunədən başa düşmək olar.

Bir dairəyə, hətta iki və ya daha çoxuna toxunmaq o qədər də çətin iş deyil. Əlbəttə ki, riyaziyyatçılar bu cür problemləri əl ilə həll etməyi çoxdan dayandırıblar və hesablamaları xüsusi proqramlara etibar edirlər. Ancaq düşünməyin ki, indi bunu özünüz edə bilmək lazım deyil, çünki kompüter üçün bir tapşırığı düzgün formalaşdırmaq üçün çox şey etmək və anlamaq lazımdır. Təəssüf ki, biliyə nəzarətin test formasına son keçiddən sonra tikinti tapşırıqlarının tələbələr üçün getdikcə daha çox çətinlik yaradacağına dair qorxular var.

Daha çox dairələr üçün ümumi tangenslərin tapılmasına gəlincə, onlar eyni müstəvidə olsalar belə, bu həmişə mümkün olmur. Ancaq bəzi hallarda belə bir xətt tapmaq mümkündür.

Real həyat nümunələri

Təcrübədə tez-tez iki dairəyə ümumi toxunuşla rast gəlinir, baxmayaraq ki, bu həmişə nəzərə çarpmır. Konveyerlər, blok sistemləri, kasnağın ötürücü kəmərləri, tikiş maşınındakı iplərin gərginliyi və hətta sadəcə velosiped zənciri - bütün bunlar həyatdan nümunələrdir. Odur ki, həndəsi problemlərin yalnız nəzəri olaraq qaldığını düşünməyin: mühəndislik, fizika, tikinti və bir çox başqa sahələrdə onlar praktik tətbiq tapırlar.

Həndəsi konstruksiyalar

Dairələrə toxunanların qurulması

Dairələrə toxunanların çəkilməsi ilə bağlı digər məsələlərin həllinin əsasını təşkil edən məsələni nəzərdən keçirin.

Nöqtədən edəkA(şək. 1) nöqtədə mərkəzləşmiş çevrəyə tangenslər çəkmək lazımdırHAQQINDA.

Tangensləri dəqiq qurmaq üçün xətlərin dairəyə toxunma nöqtələrini müəyyən etmək lazımdır. Bu baxımdanAnöqtə ilə birləşdirilməlidirHAQQINDAvə seqmenti bölünOAyarısında. Bu seqmentin ortasından - nöqtələrİLƏ, diametri seqmentə bərabər olan mərkəzdən bir dairəni necə təsvir etmək olarOA. xalTO1 VəTO2 bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş dairələrin kəsişmələriİLƏvə bir nöqtədə mərkəzləşmişdirHAQQINDAxətlərin təmas nöqtələridirAK1 VəAK2 verilmiş dairəyə.

Məsələnin həllinin düzgünlüyü təmas nöqtəsinə çəkilmiş çevrənin radiusunun çevrənin toxunuşuna perpendikulyar olması ilə təsdiqlənir. künclərtamam1 AVətamam2 Adüzdürlər, çünki onlar diametrinə əsaslanırlarASCbir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş dairəİLƏ.

düyü. 1.

İki dairəyə tangenslər qurarkən tangenslər fərqləndirilirdaxiliVəxarici. Əgər verilmiş çevrələrin mərkəzləri tangensin bir tərəfində yerləşirsə, o, xarici, çevrələrin mərkəzləri isə tangensin əks tərəflərindədirsə, daxili hesab olunur.

HAQQINDA1 VəHAQQINDA2 R1 VəR2 . Verilmiş dairələrə xarici tangenslər çəkmək tələb olunur.

Dəqiq tikinti üçün xətlər və verilmiş dairələr arasında təmas nöqtələrini müəyyən etmək lazımdır. Mərkəzləri olan dairələrin radiusları varsaHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 ardıcıl olaraq eyni dəyərlə azalmağa başlayın, sonra daha kiçik diametrli bir sıra konsentrik dairələr əldə edə bilərsiniz. Üstəlik, radiusun hər bir azalması halında, kiçik dairələrə toxunanlar arzu olunanlara paralel olacaqdır. Hər iki radiusu kiçik radiusun ölçüsü ilə azaltdıqdan sonraR2 mərkəzi olan dairəHAQQINDA2 nöqtəyə və mərkəzi olan bir dairəyə çevriləcəkHAQQINDA1 radiuslu konsentrik dairəyə çevriləcəkR3 , radiuslar fərqinə bərabərdirR1 VəR2 .

Daha əvvəl təsvir edilən metoddan istifadə edərək, nöqtədənHAQQINDA2 radiuslu bir dairəyə xarici tangenslər çəkinR3 , nöqtələri birləşdirinHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 , nöqtə ilə bölünürİLƏxətt seqmentiHAQQINDA1 HAQQINDA2 yarıya bölün və bir radius çəkinBELƏ Kİ1 verilmiş dairə ilə kəsişməsi xətlərin təmas nöqtələrini təyin edəcək qövsHAQQINDA2 TO1 VəHAQQINDA2 TO2 .

NöqtəA1 VəA2 istədiyiniz xətlərin daha böyük dairə ilə təması xətlərin davamında yerləşirHAQQINDA1 TO1 VəHAQQINDA1 TO2 . xalIN1 VəIN2 kiçik dairəsi olan xətlərin tangensləri bazaya perpendikulyardırHAQQINDA2 müvafiq olaraq köməkçi tangenslərəHAQQINDA2 TO1 VəHAQQINDA2 TO2 . Əlaqə nöqtələrinə sahib olmaqla, istədiyiniz xətləri çəkə bilərsinizA1 IN1 VəA2 IN2 .

düyü. 2.

Mərkəzləri nöqtələrində olan iki dairə olsunHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 (Şəkil 2), müvafiq olaraq radiuslara malikdirR1 VəR2 . Verilmiş dairələrə daxili tangenslər çəkmək tələb olunur.

Xətlər və dairələr arasında təmas nöqtələrini müəyyən etmək üçün əvvəlki problemin həllində verilən arqumentlərə oxşar arqumentlərdən istifadə edirik. Radiusu azaltsaqR2 sıfıra, sonra mərkəzi olan dairəHAQQINDA2 nöqtəyə çevirin. Lakin bu halda köməkçi tangenslərin tələb olunanlarla paralelliyini qorumaq üçün radiusR1 genişləndirilməlidirR2 və radiuslu bir dairə çəkinR3 , radiusların cəminə bərabərdirR1 VəR2 .

Bir nöqtədənHAQQINDA2 radiuslu bir dairəyə toxunanları çəkinR3 , bunun üçün nöqtələri birləşdiririkHAQQINDA1 VəHAQQINDA2 , nöqtə ilə bölünürİLƏxətt seqmentiHAQQINDA1 HAQQINDA2 yarıya bölün və bir nöqtədə mərkəzləşdirilmiş bir dairənin qövsünü çəkinİLƏvə radiusBELƏ Kİ1 . Qövsün radiuslu dairə ilə kəsişməsiR3 nöqtələrin yerini müəyyən edəcəkTO1 VəTO2 köməkçi xətlərin toxunuşuHAQQINDA2 TO1 VəHAQQINDA2 TO2 .

NöqtəA1 VəA2 R1 bu dairənin seqmentlə kəsişməsindədirHAQQINDA1 TO1 VəHAQQINDA1 TO2 . Nöqtələri müəyyən etmək üçün1-dəVəAT 2radius dairəsi ilə istədiyiniz xətlərin toxunuşuR2 nöqtəsindən irəli gəlirO2köməkçi xətlərə perpendikulyarlar qurunO2K1VəO2K2verilmiş dairə ilə kəsişənə qədər. İstədiyiniz xətlərin və verilmiş dairələrin tangens nöqtələrinə sahib olaraq, xətləri çəkirikA1B1VəA2B2.

düyü. 3.

Dairəyə toxunan düz xətt təmas nöqtəsinə çəkilmiş radiusla 90  bucaq yaradır. Beləliklə, verilmiş nöqtədə çevrəyə toxunan düz xətt qurmaq üçün radiusa perpendikulyar tələb olunan xətti çəkmək lazımdır.

Tangens və konyuqasiyaların qurulmasına dair bəzi nümunələri nəzərdən keçirək.

NÜMUNƏ 1

A nöqtəsi vasitəsilə mərkəzi O 1 olan dairəyə toxunan bir xətt çəkin

Problemi həll etmək üçün aşağıdakı konstruksiyaları yerinə yetiririk:

1) O 1 və A nöqtələrini düz xətt ilə birləşdirin;

2) O 2 nöqtəsindən - O 1 A seqmentinin ortasından - B nöqtəsində verilmiş dairə ilə kəsişənə qədər radiusu O 2 A olan köməkçi dairə çəkin.

Sonuncu təmas nöqtəsidir, çünki ABO 1 bucağı 90 -ə bərabərdir (buna əsaslanır

AO 1 diametrində), buna görə də O 1 B radiusu B nöqtəsində düz xəttin və dairəvi qövsün ümumi normalıdır.

NÜMUNƏ 2

Radiusları R 1 və R 2 olan iki çevrəyə ümumi tangens qurun (şək. 3.4).

Problemi həll etmək üçün aşağıdakı konstruksiyaları yerinə yetiririk:

1) böyük dairənin mərkəzindən O 1 radiusu R 1 və R 2, yəni R 1 - R 2 arasındakı fərqə bərabər olan köməkçi bir dairə çəkirik;

2) O 2 nöqtəsindən bu dairəyə 1-ci misalda olduğu kimi O 2 K tangensi çəkirik;

3) O 1 K düz xəttini verilmiş böyük dairə ilə kəsişənə qədər davam etdiririk, təmas nöqtəsi olan B nöqtəsini alırıq. O 2 nöqtəsindən O 1 B-yə paralel düz xətt çəkirik ki, xətt AB tangensinin ikinci təmas nöqtəsi olan A nöqtəsində dairə ilə kəsişir.

düyü. 3.3. Tangensin qurulması

dairəyə xətt

düyü. 3.4. Tangensin qurulması

iki dairəyə

3.3. İki xəttin birləşməsi

NÜMUNƏ 3

Radiuslu iki kəsişən m və n xəttinin birləşməsini qurun

konjuqasiya R c (şək. 3.5).

düyü. 3.5. İki kəsişən xəttin birləşməsinin qurulması

verilmiş xətlərə perpendikulyarları atıb A və B konyuqasiya nöqtələrini alaq; radiusu R c olan O nöqtəsindən A və B nöqtələri arasında birləşmə qövsü çəkirik.

3.4. Dairə ilə xəttin konjuqasiyası (daxili və xarici)

NÜMUNƏ 4

Radiusu R c olan çevrənin xarici və daxili konyuqasiyalarını qurun

mərkəzi O 1 ilə, verilmiş birləşmə radiusunun düz xətti t qövsü ilə.

D

düyü. 3.6. Xarici tikinti

bir dairənin və düz xəttin konjuqasiyası

Rusiya Federasiyasının Təhsil və Elm Nazirliyi

Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi

Novosibirsk şəhəri "4 nömrəli gimnaziya"

Bölmə: riyaziyyat

ARAŞDIRMA

bu mövzuda:

İKİ TOXUNMA DƏVRƏSİNİN XÜSUSİYYƏTLƏRİ

10-cu sinif şagirdləri:

Xaziaxmetov Radik İldaroviç

Zubarev Yevgeni Vladimiroviç

Nəzarətçi:

L.L. Barinova

Riyaziyyat müəllimi

Ən yüksək ixtisas kateqoriyası

§ 1.Giriş………..…………………………………………………………………………………3

§ 1.1 İki dairənin qarşılıqlı düzülüşü…………………………………………………3

§ 2 Xüsusiyyətlər və onların sübutları………………………………………………………………………4

§ 2.1 Əmlak 1………………………………………………………………………………………4

§ 2.2 Əmlak 2…………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Əmlak 3………………………………………………………………………………………6

§ 2.4 Əmlak 4…………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Əmlak 5………………………………………………………………………………………8

§ 2.6 Əmlak 6…………………………………………………………………………………………9

§ 3 Tapşırıqlar………………………………………………………………………………………………11

İstinadlar……………………………………………………………….………….13

§ 1. Giriş

İki tangens çevrəni əhatə edən bir çox məsələ daha qısa və sadə şəkildə, sonra təqdim olunacaq bəzi xassələri bilməklə həll edilə bilər.

İki dairənin qarşılıqlı təşkili

Başlamaq üçün biz iki dairənin mümkün qarşılıqlı təşkilini müzakirə edəcəyik. 4 fərqli hal ola bilər.

1. Dairələr kəsişməyə bilər.

2. Xaç.

3. Xaricdə bir nöqtəyə toxunun.

4. İçəridə bir nöqtəyə toxunun.

§ 2. Xüsusiyyətlər və onların sübutları

Birbaşa xassələrin sübutuna keçək.

§ 2.1 Mülkiyyət 1

Tangenslərin dairələrlə kəsişmə nöqtələri arasındakı seqmentlər bir-birinə bərabərdir və bu çevrələrin iki həndəsi orta radiusuna bərabərdir.

Sübut 1. O 1 A 1 və O 2 V 1 - təmas nöqtələrinə çəkilmiş radiuslar.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (1-ci bəndə uyğun olaraq)

1. ▲O 1 O 2 D - düzbucaqlı, çünki O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. Pifaqor teoremi ilə А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (oxşar sübut edilmişdir)

1) Çevrələrlə tangenslərin kəsişmə nöqtələrinə radiuslar çəkin.

2) Bu radiuslar tangenslərə perpendikulyar və bir-birinə paralel olacaq.

3) Kiçik dairənin mərkəzindən böyük dairənin radiusuna perpendikulyar çəkin.

4) Yaranan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası çevrələrin radiuslarının cəminə bərabərdir. Ayaq onların fərqinə bərabərdir.

5) Pifaqor teoremi ilə biz istənilən əlaqəni əldə edirik.

§ 2.2 Mülkiyyət 2

Dairələrin toxunma nöqtəsini kəsən və onların heç birində olmayan xəttin kəsişmə nöqtələri, toxunma nöqtələri ilə məhdudlaşan xarici tangenslərin seqmentlərini hər biri bərabər olan hissələrə bölür. bu dairələrin radiuslarının həndəsi ortası.

Sübut 1.Xanım= MA 1 (tangens seqmentləri kimi)

2.MS = MV 1 (tangens seqmentləri kimi)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (1 və 2-ci bəndlərə uyğun olaraq) )

Sübutda istifadə olunan ifadələr Bir nöqtədən hansısa dairəyə çəkilmiş tangenslərin seqmentləri bərabərdir. Bu xassədən hər iki verilmiş dairə üçün istifadə edirik.

§ 2.3 Mülkiyyət 3

Xarici tangenslər arasında qapalı olan daxili tangensin seqmentinin uzunluğu təmas nöqtələri arasındakı xarici tangensin seqmentinin uzunluğuna bərabərdir və bu dairələrin iki həndəsi orta radiusuna bərabərdir.

Sübut Bu nəticə əvvəlki əmlakdan irəli gəlir.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Mülkiyyət 4

Tangens dairələrinin mərkəzlərindən və toxunma nöqtələrinə çəkilmiş radiuslar arasındakı tangens seqmentinin orta nöqtəsindən əmələ gələn üçbucaq düzbucaqlıdır. Onun ayaqlarının nisbəti bu dairələrin radiuslarının köklərinin nisbətinə bərabərdir.

Sübut 1.MO 1 A 1 MC bucağının bissektorudur, MO 2 B 1 MC bucağının bissektorudur, çünki Bucaq içərisinə daxil edilmiş dairənin mərkəzi həmin bucağın bissektrisasında yerləşir.

2. 1-ci bəndə əsasən РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - düz. MS - üçbucağın hündürlüyü O 1 MO 2, çünki MN tangensi təmas nöqtələrinə çəkilmiş radiuslara perpendikulyardır → О 1 МС və MO 2 С üçbucaqları oxşardır.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (oxşarlıqla)

Sübutda istifadə olunan ifadələr 1) Bucaq içərisinə daxil edilmiş dairənin mərkəzi həmin bucağın bissektrisasında yerləşir. Üçbucağın ayaqları bucaqların bissektrisalarıdır.

2) Bu şəkildə əmələ gələn bucaqların bərabər olmasından istifadə edərək, axtardığımız bucağın düz bucaq olduğunu alırıq. Bu üçbucağın həqiqətən düzbucaqlı olduğu qənaətinə gəlirik.

3) Hündürlüyün (tangens təmas nöqtələrində çəkilmiş radiuslara perpendikulyar olduğu üçün) düz üçbucağı böldüyü üçbucaqların oxşarlığını sübut edirik və oxşarlıqla istədiyimiz nisbəti əldə edirik.

§ 2.5 Mülkiyyət 5

Dairələrin bir-biri ilə təmas nöqtəsi və çevrələrin tangensi ilə kəsişmə nöqtələrindən əmələ gələn üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır. Onun ayaqlarının nisbəti bu dairələrin radiuslarının köklərinin nisbətinə bərabərdir.

Sübut

1. ▲А 1 МС və ▲СМВ 1 ikitərəflidir → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 MS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Lakin RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - birbaşa → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS və ▲CO 2 B 1 oxşardır → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Sübutda istifadə olunan ifadələr 1) Üçbucaqların ikitərəfli olmasından istifadə edərək onların bucaqlarının cəmini rəngləyirik. Tangens seqmentlərinin bərabərliyi xassəsindən istifadə etməklə ikitərəfli üçbucaqlar sübut edilmişdir.

2) Bucaqların cəmini bu şəkildə rənglədikdən sonra əldə edirik ki, nəzərdən keçirilən üçbucaqda düz bucaq var, ona görə də düzbucaqlıdır. Bəyanatın birinci hissəsi sübut edilmişdir.

3) Üçbucaqların oxşarlığına görə (onu əsaslandırarkən iki bucaqda oxşarlıq işarəsindən istifadə edirik) düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının nisbətini tapırıq.

§ 2.6 Mülkiyyət 6

Dairələrin tangenslə kəsişmə nöqtələrindən əmələ gələn dördbucaqlı, çevrənin daxil oluna biləcəyi trapesiyadır.

Sübut 1.▲A 1 RA 2 və ▲B 1 RV 2 ikitərəflidir, çünki A 1 P \u003d RA 2 və B 1 P \u003d PB 2 tangens seqmentləri kimi → ▲A 1 RA 2 və ▲B 1 PB 2 oxşardır.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, çünki sekant A 1 B 1 kəsişməsində əmələ gələn müvafiq açılar bərabərdir.

1. MN - xassə görə orta xətt 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → trapesiyada A 2 A 1 B 1 B 2 cəmi əsaslar tərəflərin cəminə bərabərdir və bu, həkk olunmuş çevrənin mövcudluğu üçün zəruri və kafi şərtdir.

Sübutda istifadə olunan ifadələr 1) Təzə seqmentlərin xassəsindən istifadə edək. Onun köməyi ilə tangenslərin və toxunan nöqtələrin kəsişmə nöqtəsi ilə əmələ gələn ikitərəfli üçbucaqları sübut edəcəyik.

2) Bundan bu üçbucaqların oxşarlığı və əsaslarının paralelliyi əmələ gələcək. Buna əsaslanaraq, bu dördbucağın trapesiya olduğu qənaətinə gəlirik.

3) Əvvəllər sübut etdiyimiz (2) xassəsinə görə trapesiyanın median xəttini tapırıq. Bu dairələrin iki orta həndəsi radiusuna bərabərdir. Alınan trapezoiddə əsasların cəmi tərəflərin cəminə bərabərdir və bu, yazılan çevrənin olması üçün zəruri və kafi şərtdir.

§ 3. Tapşırıqlar

Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək məsələnin həllini necə sadələşdirməyin mümkün olduğunu praktiki nümunə üzərində nəzərdən keçirək.

Tapşırıq 1

ABC üçbucağında AC tərəfi = 15 sm.Üçbucaqda çevrə yazılmışdır. İkinci dairə birinciyə və AB və BC tərəflərinə toxunur. F nöqtəsi AB tərəfində, M nöqtəsi isə BC tərəfində seçilir ki, FM seqmenti çevrələrə ümumi tangens olsun. FM 4 sm-dirsə və M nöqtəsi bir dairənin mərkəzindən digərinin mərkəzindən iki dəfə uzaqdırsa, BFM üçbucağının və dördbucaqlı AFMC-nin sahələrinin nisbətini tapın.

Verildi: FM ümumi tangensi AC=15sm FM=4sm O 2 M=2O 1 M

S BFM /S AFMC tapın

Həll:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P və ▲BO 2 Q oxşardır → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0.25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

Tapşırıq 2

Ümumi D nöqtəsi və bu nöqtədən keçən ümumi tangensi FK olan iki tangens çevrə ABC ikitərəfli üçbucağına yazılmışdır. Üçbucağın əsası AC = 9 sm, dairələrin təmas nöqtələri arasında qapalı olan üçbucağın yan tərəfinin seqmenti isə 4 sm olarsa, bu dairələrin mərkəzləri arasındakı məsafəni tapın.

Verildi: ABC ikitərəfli üçbucaqdır; FK, yazılmış dairələrin ümumi tangensidir. AC = 9 sm; NE = 4 sm

Həll:

AB və CD xətləri O nöqtəsində kəsilsin. Onda OA = OD, OB = OC, belə ki, CD = AB = 2√Rr

O 1 və O 2 nöqtələri AOD bucağının bissektorunda yerləşir. AOD ikitərəfli üçbucağının bissektrisasının hündürlüyü olduğu üçün AD ┴ O 1 O 2 və BC ┴ O 1 O 2, deməli

AD ║ BC və ABCD ikitərəfli trapesiyadır.

MN seqmenti onun orta xəttidir, ona görə də AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Buna görə də, bu trapesiyaya bir dairə yazıla bilər.

AP trapesiyanın hündürlüyü olsun, ARВ və О 1 FO 2 düzbucaqlı üçbucaqları oxşardır, ona görə də АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

Buradan biz bunu tapırıq

Biblioqrafiya

• “Birinci sentyabr” qəzetinin əlavəsi “Riyaziyyat” № 43, 2003-cü il.
• İSTİFADƏ 2010. Riyaziyyat. Tapşırıq C4. Gordin R.K.