Таблиця зворотних тригонометричних функцій повна. Зворотні тригонометричні функції, їх графіки і формули. Вирази через гіперболічні функції

Визначення та позначення

Арксинус іноді позначають так:
.

Графік функції арксинус

Графік функції y \u003d arcsin x

Графік арксинуса виходить з графіка синуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арксинуса.

Арккосинус, arccos

Визначення та позначення

Арккосинус іноді позначають так:
.

Графік функції арккосинус

Графік функції y \u003d arccos x

Графік арккосинуса виходить з графіка косинуса, якщо поміняти місцями осі абсцис і ординат. Щоб усунути багатозначність, область значень обмежують інтервалом, на якому функція монотонна. Таке визначення називають головним значенням арккосинуса.

парність

Функція арксинус є непарною:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (sin (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

Функція арккосинус не є парній або непарній:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Властивості - екстремуми, зростання, спадання

Функції арксинус і арккосинус безперервні на своїй області визначення (див. Доказ безперервності). Основні властивості арксинуса і арккосинуса представлені в таблиці.

Таблиця арксинуса і арккосинуса

В даній таблиці представлені значення арксинуса і арккосинуса, в градусах і радіанах, при деяких значеннях аргументу.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

формули

Формули суми і різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

Вирази через логарифм, комплексні числа

Вирази через гіперболічні функції

похідні

;
.
Див. Висновок похідних арксинуса і арккосинуса\u003e\u003e\u003e

Похідні вищих порядків:
,
де - многочлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
;
.

Див. Висновок похідних вищих порядків арксинуса і арккосинуса\u003e\u003e\u003e

інтеграли

Робимо підстановку x \u003d sin t. Інтегруємо частинами, враховуючи що -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Висловимо арккосинус через арксинус:
.

Розкладання в ряд

При | x |< 1 має місце наступне розкладання:
;
.

Зворотні функції

Зворотними до арксинуса і арккосинуса є синус і косинус, відповідно.

Наступні формули справедливі на всій області визначення:
sin (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .

Наступні формули справедливі тільки на безлічі значень арксинуса і арккосинуса:
arcsin (sin x) \u003d x при
arccos (cos x) \u003d x при.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.

Оскільки тригонометричні функції періодичні, то зворотні до них функції не однозначні. Так, рівняння y \u003d sin x, При заданому, має нескінченно багато коренів. Дійсно, в силу періодичності синуса, якщо x такий корінь, то й x + 2πn (Де n ціле) теж буде коренем рівняння. Таким чином, зворотні тригонометричні функції багатозначні. Щоб з ними було простіше працювати, вводять поняття їх головних значень. Розглянемо, наприклад, синус: y \u003d sin x. Якщо обмежити аргумент x інтервалом, то на ньому функція y \u003d sin x монотонно зростає. Тому вона має однозначну зворотну функцію, яку називають арксинуса: x \u003d arcsin y.

Якщо це не обумовлено, то під зворотними тригонометричними функціями мають на увазі їх головні значення, які визначаються наступними визначеннями.

арксинус ( y \u003d arcsin x) - це функція, обернена до синусу ( x \u003d sin y
арккосинус ( y \u003d arccos x) - це функція, обернена до косинусу ( x \u003d cos y), Що має область визначення і множину значень.
арктангенс ( y \u003d arctg x) - це функція, обернена до тангенсу ( x \u003d tg y), Що має область визначення і множину значень.
арккотангенс ( y \u003d arcctg x) - це функція, обернена до Котангенс ( x \u003d ctg y), Що має область визначення і множину значень.

Графіки зворотних тригонометричних функцій

Графіки зворотних тригонометричних функцій виходять з графіків тригонометричних функцій дзеркальним відображенням відносно прямої y \u003d x. Див. Розділи Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y \u003d arcsin x

y \u003d arccos x

y \u003d arctg x

y \u003d arcctg x

Основні формули

Тут слід особливо звернути увагу на інтервали, для яких справедливі формули.

arcsin (sin x) \u003d x при
sin (arcsin x) \u003d x
arccos (cos x) \u003d x при
cos (arccos x) \u003d x

arctg (tg x) \u003d x при
tg (arctg x) \u003d x
arcctg (ctg x) \u003d x при
ctg (arcctg x) \u003d x

Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції

Формули суми і різниці

при або

при і

при і

при або

при і

при і

при

при

при

при

при

при

при

при

при

при

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев, Довідник з математики для інженерів і учнів втузів, «Лань», 2009.

Зворотні тригонометричні функції (Кругові функції, аркфункцій) - математичні функції, які є зворотними до тригонометричним функціям.

До них зазвичай відносять 6 функцій:

• арксинус (Позначення: arcsin x; arcsin x - це кут, sin якого дорівнює x),
• арккосинус (Позначення: arccos x; arccos x - це кут, косинус якого дорівнює x і так далі),
• арктангенс (Позначення: arctg x або arctan x),
• арккотангенс (Позначення: arcctg x або arccot \u200b\u200bx або arccotan x),
• арксеканс (Позначення: arcsec x),
• арккосеканс (Позначення: arccosec x або arccsc x).

арксинус (y \u003d arcsin x) - зворотна функція до sin (x \u003d sin y . Іншими словами повертає кут за значенням його sin.

арккосинус (y \u003d arccos x) - зворотна функція до cos (x \u003d cos y cos.

арктангенс (y \u003d arctg x) - зворотна функція до tg (x \u003d tg y), Яка має область визначення і множину значень . Іншими словами повертає кут за значенням його tg.

арккотангенс (y \u003d arcctg x) - зворотна функція до ctg (x \u003d ctg y), Яка має область визначення і множину значень. Іншими словами повертає кут за значенням його ctg.

arcsec - арксеканс, повертає кут за значенням його секанса.

arccosec - арккосеканс, повертає кут за значенням його косеканс.

Коли зворотна тригонометрическая функція не визначається в зазначеній точці, значить, її значення не з'явиться в підсумковій таблиці. функції arcsec і arccosec не визначаються на відрізку (-1,1), а arcsin і arccos визначаються тільки на відрізку [-1,1].

Назва зворотного тригонометричної функції утворюється від назви відповідної їй тригонометричної функції додатком приставки «арк-» (від лат. arc us - дуга). Це пов'язано з тим, що геометрично значення зворотної тригонометричної функції пов'язують з довжиною дуги одиничному колі (або кутом, який стягує цю дугу), яка відповідає тому або іншому відрізку.

Іноді в зарубіжній літературі, як і в наукових / інженерних калькуляторах, використовують позначеннями на кшталт sin -1, cos -1 для арксинуса, арккосинуса тощо, - це вважається не повністю точним, тому що імовірна плутанина зі зведенням функції в ступінь −1 (« −1 »(Мінус перша ступінь) визначає функцію x \u003d f -1 (y), Зворотний функції y \u003d f (x)).

Основні співвідношення обернених тригонометричних функцій.

Тут важливо звернути увагу на інтервали, для яких справедливі формули.

Формули, що зв'язують зворотні тригонометричні функції.

Позначимо будь-яке з значень обернених тригонометричних функцій через Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot \u200b\u200bx і збережемо позначення: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot \u200b\u200bx для їх головних значень, тоді зв'язок між ними виражається такими співвідношеннями.

Уроки 32-33. Зворотні тригонометричні функції

мета: розглянути зворотні тригонометричні функції, їх використання для запису рішень тригонометричних рівнянь.

I. Повідомлення теми і мети уроків

II. Вивчення нового матеріалу

1. Зворотні тригонометричні функції

Розгляд цієї теми почнемо з наступного прикладу.

приклад 1

Вирішимо рівняння:a) sin x \u003d 1/2; б) sin x \u003d а.

а) На осі ординат відкладемо значення 1/2 і побудуємо кутиx 1 і х2, для якихsin x \u003d 1/2. При цьому х1 + х2 \u003d π, звідки х2 \u003d π -x 1 . По таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо величину х1 \u003d π / 6, тодіВрахуємо періодичність функції синуса і запишемо вирішення даного рівняння:де k ∈ Z.

б) Очевидно, що алгоритм рішення рівнянняsin х \u003d а такий же, як і в попередньому пункті. Зрозуміло, тепер по осі ординат відкладається величина а. Виникає необхідність якимось чином позначити кут х1. Домовилися такий кут позначати символомarcsin а. Тоді рішення даного рівняння можна записати у виглядіЦі дві формули можна об'єднати в одну:при цьому

Аналогічним чином вводяться і інші зворотні тригонометричні функції.

Дуже часто буває необхідно визначити величину кута за відомим значенням його тригонометричної функції. Таке завдання є багатозначною - існує незліченна безліч кутів, тригонометричні функції яких дорівнюють одному і тому ж значенню. Тому, виходячи з монотонності тригонометричних функцій, для однозначного визначення кутів вводять такі зворотні тригонометричні функції.

Арксинус числа a (arcsin , Синус якого дорівнює а, т. Е.

арккосинус числаa (arccos а) - такий кут а з проміжку, косинус якого дорівнює а, т. е.

арктангенс числаa (arctg а) - такий кут а з проміжкутангенс якого дорівнює а, т. е.tg а \u003d а.

арккотангенс числаa (arcctg а) - такий кут а з проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а, т. е.ctg а \u003d а.

приклад 2

знайдемо:

З огляду на визначення зворотних тригонометричних функцій отримаємо:

приклад 3

обчислимо

Нехай кут а \u003d arcsin 3/5, тоді по визначеннюsin a \u003d 3/5 і . Отже, треба знайтиcos а. Використовуючи основне тригонометричну тотожність, отримаємо:Враховано, що і cos a ≥ 0. Отже,

Наведемо ще ряд типових прикладів, пов'язаних з визначеннями і основними властивостями зворотних тригонометричних функцій.

приклад 4

Знайдемо область визначення функції

Для того щоб функція у була визначена, необхідно виконання нерівностіяке еквівалентно системі нерівностейРішенням першого нерівності є проміжок х∈ (-∞; + ∞), другого -цей проміжок і є рішенням системи нерівностей, а отже, і областю визначення функції

приклад 5

Знайдемо область зміни функції

Розглянемо поведінку функціїz \u003d 2х - х2 (див. Малюнок).

Видно, що z ∈ (-∞; 1]. З огляду на, що аргументz функції арккотангенса змінюється в зазначених межах, з даних таблиці отримаємо, щоТаким чином, область зміни

приклад 6

Доведемо, що функція у \u003darctg х непарна. нехайТоді tg а \u003d х або х \u003d - tg а \u003d tg (- a), причому Отже, - a \u003d arctg х або а \u003d - arctg х. Таким чином, бачимо, щот. е. у (х) - функція непарна.

приклад 7

Висловимо через все зворотні тригонометричні функції

нехай Очевидно, що Тоді Так як

введемо кут Так як то

аналогічно тому і

Отже,

приклад 8

Побудуємо графік функції у \u003dcos (arcsin х).

Позначимо а \u003d arcsin x, тоді Врахуємо, що х \u003d sin а й у \u003d cos а, т. Е. X 2 + У2 \u003d 1, і обмеження на х (х∈ [-1; 1]) і у (у ≥ 0). Тоді графіком функції у \u003dcos (arcsin х) є півколо.

приклад 9

Побудуємо графік функції у \u003darccos (cos x).

Так як функція cos х змінюється на відрізку [-1; 1], то функція у визначена на всій числовій осі і змінюється на відрізку. Будемо мати на увазі, що у \u003darccos (cos x) \u003d Х на відрізку; функція у є парною і періодичної з періодом 2π. З огляду на, що цими властивостями володіє функціяcos x, тепер легко побудувати графік.

Відзначимо деякі корисні рівності:

приклад 10

Знайдемо найменше та найбільше значення функціїпозначимо тоді отримаємо функцію Ця функція має мінімум в точціz \u003d π / 4, і він дорівнює Найбільше значення функції досягається в точціz \u003d -π / 2, і воно дорівнює Таким чином, і

приклад 11

вирішимо рівняння

Врахуємо, що Тоді рівняння має вигляд: або звідки За визначенням арктангенса отримаємо:

2. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь

Аналогічно прикладу 1 можна отримати рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

приклад 12

вирішимо рівняння

Так як функція синус непарна, то запишемо рівняння у виглядіРішення цього рівняння:звідки знаходимо

приклад 13

вирішимо рівняння

За наведеною формулою запишемо рішення рівняння:і знайдемо

Зауважимо, що в окремих випадках (а \u003d 0; ± 1) при вирішенні рівняньsin х \u003d а і cos х \u003d а простіше і зручніше використовувати не загальні формули, а записувати рішення на підставі одиничному колі:

для рівняння sin х \u003d 1 рішення

для рівняння sin х \u003d 0 рішення х \u003d π k;

для рівняння sin х \u003d -1 рішення

для рівняння cos х \u003d 1 рішення х \u003d 2πk;

для рівняння cos х \u003d 0 рішення

для рівняння cos х \u003d -1 рішення

приклад 14

вирішимо рівняння

Так як в даному прикладі є окремий випадок рівняння, то за відповідною формулою запишемо рішення:звідки знайдемо

III. Контрольні питання (фронтальне опитування)

1. Дайте визначення і наведіть основні властивості зворотних тригонометричних функцій.

2. Наведіть графіки обернених тригонометричних функцій.

3. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

IV. Завдання на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Завдання додому

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. творчі завдання

1. Знайдіть область визначення функції:

відповіді:

2. Знайдіть область значень функції:

відповіді:

3. Побудуйте графік функції:

VII. Підведення підсумків уроків

Функції sin, cos, tg і ctg завжди супроводжуються арксинуса, арккосинуса, арктангенсом і арккотангенса. Одне є наслідком іншого, а пари функцій однаково важливі для роботи з тригонометричними виразами.

Розглянемо малюнок одиничному колі, на якому графічно відображено значень тригонометричних функцій.

Якщо обчислити arcs OA, arcos OC, arctg DE і arcctg MK, то всі вони будуть дорівнюють значенню кута α. Формули, наведені нижче, відображають взаємозв'язок основних тригонометричних функцій і відповідних їм АРКОВ.

Щоб більше зрозуміти про властивості арксинуса, необхідно розглянути його функцію. Графік має вигляд асиметричною кривої, що проходить через центр координат.

Властивості арксинуса:

Якщо зіставити графіки sin і arcsin, У двох тригонометричних функцій можна знайти загальні закономірності.

арккосинус

Arccos числа а - це значення кута α, косинус якого дорівнює а.

крива y \u003d arcos x дзеркально відображає графік arcsin x, з тією лише різницею, що проходить через точку π / 2 на осі OY.

Розглянемо функцію арккосинуса більш докладно:

1. Функція визначена на відрізку [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos -.
3. Графік цілком розташований в I і II чвертях, а сама функція не є ні парною, ні непарною.
4. Y \u003d 0 при x \u003d 1.
5. Крива убуває на всій своїй протяжності. Деякі властивості арккосинуса збігаються з функцією косинуса.

Деякі властивості арккосинуса збігаються з функцією косинуса.

Можливо, школярам здасться зайвим таке «докладний» вивчення «АРКОВ». Однак, в іншому випадку, деякі елементарні типові завдання ЄДІ можуть ввести учнів в глухий кут.

Завдання 1. Вкажіть функції зображені на малюнку.

відповідь: Мал. 1 - 4, рис.2 - 1.

В даному прикладі упор зроблений на дрібницях. Зазвичай учні дуже неуважно ставляться до побудови графіків і зовнішнім виглядом функцій. Дійсно, навіщо запам'ятовувати вигляд кривої, якщо її завжди можна побудувати за розрахунковими точкам. Не варто забувати, що в умовах тесту час, витрачений на малюнок для простого завдання, потрібно для вирішення більш складних завдань.

арктангенс

Arctg числа a - це таке значення кута α, що його тангенс дорівнює а.

Якщо розглянути графік арктангенса, можна виділити наступні властивості:

1. Графік нескінченний і визначено на проміжку (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс непарна функція, отже, arctg (- x) \u003d - arctg x.
3. Y \u003d 0 при x \u003d 0.
4. Крива зростає на всій області визначення.

Наведемо короткий порівняльний аналіз tg x і arctg x у вигляді таблиці.

арккотангенс

Arcctg числа a - приймає таке значення α з інтервалу (0; π), що його котангенс дорівнює а.

Властивості функції арккотангенса:

1. Інтервал визначення функції - нескінченність.
2. Область допустимих значень - проміжок (0; π).
3. F (x) не є ні парною, ні непарною.
4. На всьому своєму протязі графік функції убуває.

Зіставити ctg x і arctg x дуже просто, потрібно лише зробити два малюнки і описати поведінку кривих.

Завдання 2. Співвіднести графік і форму запису функції.

Якщо міркувати логічно, з графіків видно, що обидві функції зростаючі. Отже, обидва малюнки відображають якусь функцію arctg. З властивостей арктангенса відомо, що y \u003d 0 при x \u003d 0,

відповідь: Мал. 1 - 1, рис. 2 - 4.

Тригонометричні тотожності arcsin, arcos, arctg і arcctg

Раніше нами вже був виявлений взаємозв'язок між арками і основними функціями тригонометрії. Дана залежність може бути виражена поруч формул, що дозволяють виразити, наприклад, синус аргументу, через його арксинус, арккосинус або навпаки. Знання подібних тотожностей буває корисним при вирішенні конкретних прикладів.

Також існують співвідношення для arctg і arcctg:

Ще одна корисна пара формул, встановлює значення для суми значень arcsin і arcos, а також arcctg і arcctg одного і того ж кута.

Приклади розв'язання задач

Завдання з тригонометрії можна умовно розділити на чотири групи: обчислити числове значення конкретного вираження, побудувати графік даної функції, знайти її область визначення або ОДЗ і виконати аналітичні перетворення для вирішення прикладу.

При вирішенні першого типу задач необхідно дотримуватися наступного плану дій:

При роботі з графіками функцій головне - це знання їх властивостей і зовнішнього вигляду кривої. Для вирішення тригонометричних рівнянь і нерівностей необхідні таблиці тотожностей. Чим більше формул пам'ятає школяр, тим простіше знайти відповідь завдання.

Припустимо в ЄДІ необхідно знайти відповідь для рівняння типу:

Якщо правильно перетворити вираз і привести до потрібного вигляду, то вирішити його дуже просто і швидко. Для початку, перенесемо arcsin x в праву частину рівності.

Якщо згадати формулу arcsin (sin α) \u003d α, То можна звести пошук відповідей до рішення системи з двох рівнянь:

Обмеження на модель x виникло, знову таки з властивостей arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠ 0, частина Системи проектування являє собою квадратне рівняння з корінням x1 \u003d 1 і x2 \u003d - 1 / a. При a \u003d 0, x буде дорівнює 1.