Що таке гіпотенуза і як її знайти. Як знайти боку прямокутного трикутника? Основи геометрії. Далі перетворимо формулу і отримуємо: a \u003d sin * c

У житті нам часто доводиться стикатися з математичними завданнями: в школі, в університеті, а потім допомагаючи своїй дитині з виконанням домашнього завдання. Люди певних професій будуть стикатися з математикою щодня. Тому корисно запам'ятовувати або згадувати математичні правила. У цій статті ми розберемо одне з них: перебування катета прямокутного трикутника.

Що таке прямокутний трикутник

Для початку згадаємо, що таке прямокутний трикутник. Прямокутний трикутник - це геометрична фігура з трьох відрізків, які з'єднують точки, що не лежать на одній прямій, і один з кутів цієї фігури дорівнює 90 градусам. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, яка лежить навпроти прямого кута - гіпотенузою.

Знаходимо катет прямокутного трикутника

Існує кілька способів, що дозволяють дізнатися довжину катета. Хотілося б розглянути б їх докладніше.

Теорема Піфагора, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Якщо нам відомі гіпотенуза і катет, то ми можемо знайти довжину невідомого катета по теоремі Піфагора. Звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Формула: c² \u003d a² + b², де c - гіпотенуза, a і b - катети. Перетворюємо формулу і отримуємо: a² \u003d c²-b².

Приклад. Гіпотенуза дорівнює 5 см, а катет - 3 см. Перетворювати формулу: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Далі вирішуємо: a² \u003d 5²-3²; a² \u003d 25-9; a² \u003d 16; a \u003d √16; a \u003d 4 (см).

Тригонометричні співвідношення, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Також можна знайти невідомий катет, якщо відомі будь-яка інша сторона і будь-який гострий кут прямокутного трикутника. Є чотири варіанти знаходження катета за допомогою тригонометричних функцій: По синусу, косинусу, тангенсу, котангенс. Для вирішення завдань нам допоможе таблиця, яка знаходиться трохи нижче. Розглянемо ці варіанти.

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою синуса

Синус кута (sin) - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Формула: sin \u003d a / c, де а - катет, що лежить проти даного кута, а з - гіпотенуза. Далі перетворимо формулу і отримуємо: a \u003d sin * c.

Приклад. Гіпотенуза дорівнює 10 см, кут А дорівнює 30 градусів. По таблиці обчислюємо синус кута А, він дорівнює 1/2. Потім за перетвореною формулою вирішуємо: a \u003d sin∠А * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою косинуса

Косинус кута (cos) - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Формула: cos \u003d b / c, де b - катет, прилеглий до цього кутку, а з - гіпотенуза. Перетворимо формулу і отримаємо: b \u003d cos * c.

Приклад. Кут А дорівнює 60 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо косинус кута А, він дорівнює 1/2. Далі вирішуємо: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 * 10, b \u003d 5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою тангенса

Тангенс кута (tg) - це відношення протилежного катета до прилеглого. Формула: tg \u003d a / b, де а - протилежні до кута катет, а b - прилегла. Перетворимо формулу і отримуємо: a \u003d tg * b.

Приклад. Кут А дорівнює 45 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо тангенс кута А, він дорівнює Вирішуємо: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 * 10; a \u003d 10 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою котангенс

Котангенс кута (ctg) - це відношення прилеглого катета до протилежного. Формула: ctg \u003d b / a, де b - прилегла до кута катет, а - протилежні. Інакше кажучи, котангенс - це "перевернутий тангенс". Отримуємо: b \u003d ctg * a.

Приклад. Кут А дорівнює 30 градусів, протилежний катет дорівнює 5 см. По таблиці тангенс кута А дорівнює √3. Рахуємо: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d √3 * 5; b \u003d 5√3 (см).

Отже, тепер ви знаєте, як знаходити катет в прямокутному трикутнику. Як бачите, це не так вже й складно, головне - запам'ятати формули.

Прямокутний трикутник містить в собі величезну кількість залежностей. Це робить його привабливим об'єктом для різного роду геометричних задач. Однією з найбільш часто зустрічаються завдань вважається знаходження гіпотенузи.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник - це трикутник, який містить в собі прямий кут, тобто кут в 90 градусів. Тільки в прямокутному трикутнику можна висловити тригонометричні функції через величини сторін. У довільному трикутнику доведеться виробляти додаткові побудови.
У прямокутному трикутнику дві з трьох висот збігаються зі сторонами звуться катетами. Третя сторона зветься гипотенузой. Висота, проведена до гіпотенузи єдина в цьому виді трикутника, що вимагає додаткових побудов.

Мал. 1. Види трикутників.

У прямокутному трикутнику не може бути тупих кутів. Так само, як неможливо і існування другого прямого кута. У цьому випадку порушується тотожність суми кутів трикутника, яка завжди дорівнює 180 градусам.

гіпотенуза

Перейдемо безпосередньо до гіпотенузи трикутника. Гіпотенуза - це найбільша сторона трикутника. Гіпотенуза більше кожного з катетів, але при цьому завжди менше суми катетів. Це наслідок з теореми нерівності трикутника.

Теорема говорить: в трикутнику жодна зі сторін не може більше суми двох інших. Існує і друга формулювання або друга частина теореми: в трикутнику навпаки більшої сторони лежить більший кут і навпаки.

Мал. 2. Прямокутний трикутник.

У прямокутному трикутнику великим кутом є прямий кут, так як другого прямого кута або тупого кута бути не може за тим самим названі причини. Значить навпаки прямого кута завжди лежить більша сторона.

Здається незрозумілим, чому саме прямокутний трикутник заслужив окреме найменування кожної зі сторін. Насправді, в трикутник боку так само носять свої назви: бічні сторони і підстава. Але саме за катети і гіпотенузи вчителя особливо люблять ставити двійки. Чому? З одного боку це данина пам'яті древнім грекам, винахідникам математики. Саме вони вивчали прямокутні трикутники і поряд з цими знаннями залишили цілий пласт інформації, на якому будується сучасна наука. З іншого ж боку існування цих назв значно спрощує формулювання теорем і тригонометричних тотожностей.

теорема Піфагора

Якщо вчитель запитує про формулу гіпотенузи прямокутного трикутника, значить, з імовірністю 90%, він має на увазі теорему Піфагора. Теорема говорить: в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює суми квадратів катетів.

Мал. 3. Гіпотенуза прямокутного трикутника.

Зверніть увагу, як чітко і ємко формулюється теорема. Подібної простоти неможливо досягти без використання понять гіпотенузи і катета.

Теорема має наступну формулу:

$ C ^ 2 \u003d b ^ 2 + a ^ 2 $ - де с - гіпотенуза, a і b - катети прямокутного трикутника.

Що ми дізналися?

Ми поговорили про те, що таке прямокутний трикутник. Дізналися, навіщо взагалі придумали назви катетів і гіпотенузи. З'ясували деякі властивості гіпотенузи і привели формулу довжини гіпотенузи трикутника через теорему Піфагора.

Тест по темі

оцінка статті

Середня оцінка: 4.6. Всього отримано оцінок: 213.

Перед тим, як знайти гіпотенузу трикутника, необхідно розібратися, які особливості має дана фігура. Розглянемо головні з них:

У прямокутному трикутнику обидва гострих кута в сумі дорівнюватимуть 90º.
Катет, що лежить проти кута в 30º, буде дорівнює ½ від величини гіпотенузи.
Якщо катет дорівнює ½ від значення гіпотенузи, тоді другий кут матиме таку ж величину - 30º.

Знайти гіпотенузу в прямокутному трикутнику можна декількома способами. Найпростішим рішенням є обчислення через катети. Припустимо, вам відомі значення катетів сторін А і В. Тоді на виручку приходить теорема Піфагора, що оповідає нам, що якщо поставити кожну величину катета в квадрат і підсумувати отримані дані, ми дізнаємося чому дорівнює гіпотенуза. Таким чином, нам необхідно просто витягти значення квадратного кореня:

Наприклад, якщо катет А \u003d 3 см, а катет В \u003d 4 см, тоді обчислення матиме такий вигляд:

Як знайти гіпотенузу через кут?

Ще одним способом, який допоможе дізнатися, чому дорівнює гіпотенуза в прямокутному трикутнику, є обчислення через заданий кут. Для цього нам буде потрібно вивести величину через формулу синуса. Припустимо, нам відома величина катета (А) і значення протилежного кута (α). Тоді все рішення полягає в одній формулі: С \u003d А / sin (α).

Наприклад, якщо довжина катета 40 см, а кут складає 45 °, тоді довжину гіпотенузи можна вивести наступним чином:

Визначити потрібну величину можна також через косинус заданого кута. Припустимо, нам відомо значення одного катета (В) і гострого прилеглого кута (α). Тоді для вирішення завдання знадобиться одна формула: С \u003d В / cos (α).

Наприклад, якщо довжина катета має значення 50 см, а кут складає 45 °, тоді гіпотенузу можна обчислити таким чином:

Таким чином, ми розглянули основні способи як дізнатися гіпотенузу в трикутнику. В ході вирішення завдання важливо сконцентрувати увагу на наявних даних, тоді знайти невідому величину буде досить просто. Необхідно знати всього пару формул і процес вирішення завдань стане простим і приємним.

Знаючи один з катетів в прямокутному трикутнику, можна знайти другий катет і гіпотенузу використовуючи тригонометричні відносини - синус і тангенс відомого кута. Так як відношення протилежного кутку катета до гіпотенузи дорівнює синусу цього кута, отже, щоб знайти гіпотенузу потрібно катет розділити на синус кута. a / c \u003d sin\u2061α c \u003d a / sin\u2061α

Другий катет можна знайти з тангенса відомого кута, як відношення відомого катета до тангенсу. a / b \u003d tan\u2061α b \u003d a / tan\u2061α

Щоб обчислити невідомий кут в прямокутному трикутнику потрібно з 90 градусів відняти величину кута α. β \u003d 90 ° -α

Периметр і площа прямокутного трикутника через катет і протилежний йому кут можна висловити, підставивши отримані раніше вирази для другого катета і гіпотенузи в формули. P \u003d a + b + c \u003d a + a / tan\u2061α + a / sin\u2061α \u003d a tan\u2061α sin\u2061α + a sin\u2061α + a tan\u2061α S \u003d ab / 2 \u003d a ^ 2 / ( 2 tan\u2061α)

Обчислити висоту також можна через тригонометричні відносини, але вже у внутрішньому прямокутному трикутнику зі стороною a, який вона утворює. Для цього потрібно сторону a, як гіпотенузу такого трикутника помножити на синус кута β або косинус α, так як згідно з тригонометричним тотожностям вони рівнозначні. (Рис. 79.2) h \u003d a cos\u2061α

Медіана гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи або відомому катету a, поділеній на два синуса α. Щоб знайти медіани катетів, наведемо формули до виду для відомої сторони і кути. (Ріс.79.3) m_с \u003d c / 2 \u003d a / (2 sin\u2061α) m_b \u003d √ (2a ^ 2 + 2c ^ 2b ^ 2) / 2 \u003d √ (2a ^ 2 + 2a ^ 2 + 2b ^ 2-b ^ 2) / 2 \u003d √ (4a ^ 2 + b ^ 2) / 2 \u003d √ (4a ^ 2 + a ^ 2 / tan ^ 2\u2061α) / 2 \u003d (a√ (4 tan ^ 2\u2061 α + 1)) / (2 tan\u2061α) m_a \u003d √ (2c ^ 2 + 2b ^ 2a ^ 2) / 2 \u003d √ (2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2b ^ 2a ^ 2) / 2 \u003d √ (4b ^ 2 + a ^ 2) / 2 \u003d √ (4b ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2) / 2 \u003d √ (3 a ^ 2 / tan ^ 2\u2061α + a ^ 2 / sin ^ 2\u2061α) / 2 \u003d √ ((3a ^ 2 sin ^ 2\u2061α + a ^ 2 tan ^ 2\u2061α) / (tan ^ 2\u2061α sin ^ 2\u2061α)) / 2 \u003d (a√ ( 3 sin ^ 2\u2061α + tan ^ 2\u2061α)) / (2 tan\u2061α sin\u2061α)

Так як биссектрисой прямого кута в трикутнику є твір двох сторін і кореня з двох, поділене на суму цих сторін, то замінивши один з катетів на ставлення відомого катета до тангенсу, отримуємо такий вираз. Аналогічно, підставивши ставлення в другу і третю формули, можна обчислити бісектриси кутів α і β. (Ріс.79.4) l_с \u003d (aa / tan\u2061α √2) / (a \u200b\u200b+ a / tan\u2061α) \u003d (a ^ 2 √2) / (a \u200b\u200btan\u2061α + a) \u003d (a√2) / (tan\u2061α + 1) l_a \u003d √ (bc (a + b + c) (b + ca)) / (b + c) \u003d √ (bc ((b + c) ^ 2-a ^ 2)) / (b + c) \u003d √ (bc (b ^ 2 + 2bc + c ^ 2-a ^ 2)) / (b + c) \u003d √ (bc (b ^ 2 + 2bc + b ^ 2)) / (b + c) \u003d √ (bc (2b ^ 2 + 2bc)) / (b + c) \u003d (b√ (2c (b + c))) / (b + c) \u003d (a / tan\u2061α √ (2c (a / tan\u2061α + c))) / (a \u200b\u200b/ tan\u2061α + c) \u003d (a√ (2c (a / tan\u2061α + c))) / (a \u200b\u200b+ c tan\u2061α) l_b \u003d √ (ac (a + b + c) (a + cb)) / (a \u200b\u200b+ c) \u003d (a√ (2c (a + c))) / (a \u200b\u200b+ c) \u003d (a√ (2c (a + a / sin\u2061α))) / (a \u200b\u200b+ a / sin\u2061α) \u003d (a sin\u2061α √ (2c (a + a / sin\u2061α))) / (a \u200b\u200bsin\u2061α + a)

Середня лінія проходить паралельно одній із сторін трикутника, при цьому створюючи ще один подібний прямокутний трикутник з такими ж за величиною кутами, в якому всі сторони в два рази менше, ніж у першого. Виходячи з цього, середні лінії можна знайти за наступними формулами, знаючи тільки катет і протилежний йому кут. (Ріс.79.7) M_a \u003d a / 2 M_b \u003d b / 2 \u003d a / (2 tan\u2061α) M_c \u003d c / 2 \u003d a / (2 sin\u2061α)

Радіус вписаного кола дорівнює різниці катетів і гіпотенузи, поділеній на два, а щоб знайти радіус описаного кола, потрібно розділити на два гіпотенузи. Замінюємо другий катет і гіпотенузу на відносини катета a до синусу і тангенсу відповідно. (Рис. 79.5, 79.6) r \u003d (a + bc) / 2 \u003d (a + a / tan\u2061α -a / sin\u2061α) / 2 \u003d (a tan\u2061α sin\u2061α + a sin\u2061α-a tan\u2061α) / (2 tan\u2061α sin\u2061α) R \u003d c / 2 \u003d a / 2sin\u2061α

Інструкція

Кути, протилежні катетам a і b позначимо відповідно через A і B. Гіпотенуза, за визначенням, це сторона прямокутного трикутника, яка протилежна прямого кута (При цьому з іншими сторонами трикутника гіпотенуза утворює гострі кути). Довжину гіпотенузи позначимо через с.

Вам знадобиться:
Калькулятор.

Скористайтеся для катета наступним виразом: a \u003d sqrt (c ^ 2-b ^ 2), в тому випадку, якщо вам відомі величини гіпотенузи й іншого катета. Цей вислів виходить з теореми Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Оператор sqrt позначає витяг квадратного кореня. Знак "^ 2" означає зведення в другу ступінь.

Використовуйте формулу a \u003d c * sinA, якщо вам відома гіпотенуза (c) і кут, протилежний шуканого катета (цей кут ми позначили, як A).
Вираз a \u003d c * cosB використовуйте для знаходження катета, якщо вам відома гіпотенуза (c) і кут, прилегла шуканого катета (цей кут ми позначили як B).
Обчисліть катет за формулою a \u003d b * tgA в разі, коли заданий катет b і кут, протилежний шуканого катета (цей кут ми домовилися позначати A).

Зверніть увагу:
Якщо ж у вашій задачі катет чи не знаходиться ні одним з описаних способів, швидше за все, її можна звести до якогось з них.

Корисні поради:
Всі ці вирази виходять із загальновідомих визначень тригонометричних функцій, тому, навіть якщо ви забули якесь із них, ви завжди зможете шляхом нескладних операцій його швидко вивести. Також, корисно знати значення тригонометричних функцій для найбільш типових кутів 30, 45, 60, 90, 180 градусів.