Тригонометричні функції числового аргументу. Властивості і графіки тригонометричних функцій. Тригонометричні функції числового і кутового аргументів. Формули приведення Тригонометричні функції числового аргументу приклади рішень

Ми розглянули основні тригонометричні функції (не спокушайтеся крім синуса, косинуса, тангенса і котангенс існує ще ціла безліч інших функцій, але про них пізніше), а поки розглянемо деякі основні властивості вже вивчених функцій.

Тригонометричні функції числового аргументу

Яке б дійсне число t ні взяти, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin (t). Правда, правило відповідності досить складне і полягає в наступному.

Щоб по числу t знайти значення sin (t), потрібно:

1. розташувати числову окружність на координатної площині так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А окружності потрапила в точку (1; 0);
2. на окружності знайти точку, відповідну числу t;
3. знайти ординату цієї точки.
4. ця ордината і є шукане sin (t).

Фактично мова йде про функції s \u003d sin (t), де t - будь-яке дійсне число. Ми вміємо обчислювати деякі значення цієї функції (наприклад, sin (0) \u003d 0, \\ (Sin \\ frac (\\ pi) (6) \u003d \\ frac (1) (2) \\) і т.д.), знаємо деякі її властивості.

Точно так само ми можемо вважати, що вже отримали деякі уявлення ще про трьох функціях: s \u003d cos (t) s \u003d tg (t) s \u003d ctg (t) Всі ці функції називають тригонометричними функціями числового аргументу t.

Зв'язок тригонометричних функцій

Як ви, сподіваюся, здогадуєтеся все тригонометричні функції пов'язані між собою і навіть не знаючи значення однієї, її можна знайти через інше.

Наприклад, найголовніша формула, з усією тригонометрії - це основне тригонометричну тотожність:

\\ [Sin ^ (2) t + cos ^ (2) t \u003d 1 \\]

Як бачите, знаючи значення синуса можна знайти значення косинуса, і також навпаки. Також дуже поширені формули, що зв'язують синус і косинус з тангенсом і котангенсом:

\\ [\\ Boxed (\\ tan \\; t \u003d \\ frac (\\ sin \\; t) (\\ cos \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi k) \\]

\\ [\\ Boxed (\\ cot \\; t \u003d \\ frac (\\ cos \\;) (\\ sin \\;), \\ qquad t \\ neq \\ pi k) \\]

З двох останніх формул можна вивести ще одне трігометріческое тотожність, що зв'язує на цей раз тангенс і котангенс:

\\ [\\ Boxed (\\ tan \\; t \\ cdot \\ cot \\; t \u003d 1, \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi k) (2)) \\]

Тепер давайте подивимося, як ці формули діють на практиці.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз: а) \\ (1+ \\ tan ^ 2 \\; t \\), б) \\ (1+ \\ cot ^ 2 \\; t \\)

а) В першу чергу розпишемо тангенс, зберігаючи квадрат:

\\ [1 + \\ tan ^ 2 \\; t \u003d 1 + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

\\ [1 + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \u003d \\ sin ^ 2 \\; t + \\ cos ^ 2 \\; t + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

Тепер введемо все під загальний знаменник, і отримуємо:

\\ [\\ Sin ^ 2 \\; t + \\ cos ^ 2 \\; t + \\ frac (\\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t) \u003d \\ frac (\\ cos ^ 2 \\; t + \\ sin ^ 2 \\; t) (\\ cos ^ 2 \\; t ) \\]

Ну і нарешті, як ми бачимо чисельник можна за основним тригонометричного тотожності скоротити до одиниці, в результаті отримуємо: \\ [1 + \\ tan ^ 2 \\; \u003d \\ Frac (1) (\\ cos ^ 2 \\; t) \\]

б) З котангенсом виконуємо всі ті ж самі дії, тільки в знаменнику буде вже не косинус, а синус і відповідь вийде таким:

\\ [1 + \\ cot ^ 2 \\; \u003d \\ Frac (1) (\\ sin ^ 2 \\; t) \\]

Виконавши дане завдання ми вивели ще дві дуже важливі формули, що зв'язують наші функції, які теж потрібно знати, як свої п'ять пальців:

\\ [\\ Boxed (1+ \\ tan ^ 2 \\; \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ 2 \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi k) \\]

\\ [\\ Boxed (1+ \\ cot ^ 2 \\; \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ 2 \\; t), \\ qquad t \\ neq \\ pi k) \\]

Всі представлені в рамках формули ви повинні знати напам'ять, інакше подальше вивчення тригонометрії без них просто неможливо. Надалі будуть ще формули і їх буде дуже багато і запевняю все їх ви точно будете запам'ятовувати довго, а може і не запам'ятаєте, але ці шість штук повинні знати ВСІ!

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:

1. Вироблення умінь і навичок застосування тригонометричних формул для спрощення тригонометричних виразів.
2. Реалізація принципу діяльнісного підходу в навчанні учнів, розвиток комунікабельності і толерантності учнів, вміння слухати і чути інших і висловлювати свою думку.
3. Підвищення інтересу учнів до математики.

Тип уроку:тренувальний.

Вид уроку:урок відпрацювання навичок і вмінь.

Форма навчання:групова.

Тип груп: група, що сидить разом. Учні різного рівня навченості, інформованості з даного предмету, сумісні учні, що дозволяє їм взаємно доповнювати і збагачувати один одного.

устаткування: дошка; крейда; таблиця «тригонометрія»; маршрутні листи; картки з буквами (А, В, С.) для виконання тесту; таблички з назвами екіпажів; оціночні листи; таблиці з назвами етапів шляху; магніти, мультимедійний комплекс.

Хід уроку

Учні сидять по групах: 4 групи по 5-6 чоловік. Кожна група - це екіпаж машини з назвами, відповідними назвами тригонометричних функцій, на чолі з рульовим. Кожному екіпажу видається маршрутний лист і визначається мета: пройти заданий маршрут успішно, без помилок. Урок супроводжується презентацією.

I. Організаційний момент.

Учитель повідомляє тему уроку, мета уроку, хід уроку, план роботи груп, роль рульових.

Вступне слово вчителя:

– Хлопці! Запишіть число і тему уроку: «Тригонометричні функції числового аргументу».

Сьогодні на уроці ми буде вчитися:

1. Обчислювати значення тригонометричних функцій;
2. Спрощувати тригонометричні вирази.

Для цього потрібно знати:

1. Визначення тригонометричних функцій
2. Тригонометричні співвідношення (формули).

Відомо давно, що одна голова добре, а дві краще, тому ви сьогодні працюєте в групах. Відомо також, що дорогу осилить той, хто йде. Але ми живемо в століття швидкостей і час дорого, а значить можна сказати так: «Дорогу здолає той, хто їде», тому сьогодні урок у нас пройде у вигляді гри «Математичне ралі». Кожна група - це екіпаж машини, на чолі з рульовим.

Ціль гри:

• успішно пройти маршрут кожному екіпажу;
• виявити чемпіонів ралі.

Назва екіпажів відповідає марці машини, на якій ви робите пробіг.

Представляються екіпажі і їх кермові:

• Екіпаж - «синус»
• Екіпаж - «косинус»
• Екіпаж - «тангенс»
• Екіпаж - «котангенс»

Девіз гонки: «Поспішай повільно!»

Вам належить зробити пробіг по «математичної місцевості» з безліччю перешкод.

Маршрутні листи кожному екіпажу видані. Подолати перешкоди зможуть екіпажі, які знають визначення і тригонометричні формули.

Під час пробігу кожен рульової керує екіпажем, допомагаючи, і оцінюючи внесок кожного члена екіпажу в подолання маршруту в вигляді «плюсів» і «мінусів» в оціночному листі. За кожну правильну відповідь група отримує «+», неправильний «-».

Вам належить подолати наступні етапи шляху:

I етап. ПДР (правила дорожнього руху).
II етап. Техогляд.
III етап. Гонка по пересіченій місцевості.
IV етап. Раптова зупинка - аварія.
V етап. Привал.
VI етап. Фініш.
VII етап. Підсумки.

І так в путь!

I етап. ПДР (правила дорожнього руху).

1) У кожному екіпажі кермові роздають кожному члену екіпажу квитки з теоретичними питаннями:

1. Розкажіть визначення синуса числа t і його знаки по чвертях.
2. Розкажіть визначення косинуса числа t і його знаки по чвертях.
3. Назвіть найменше та найбільше значення sin t і cos t.
4. Розкажіть визначення тангенса числа t і його знаки по чвертях.
5. Розкажіть визначення котангенс числа t і його знаки по чвертях.
6. Розкажіть, як знайти значення функції sin t за відомим числу t.

2) Зберіть «розсипалися» формули. На таємницею дошці таблиця (див. Нижче). Екіпажі повинні привести у відповідність формули. Відповідь кожна команда записує на дошці у вигляді рядка відповідних букв (парами).

відповідь:аб, ВГ, де, їжак, зи, йк.

II етап. Техогляд.

Усна робота: тест.

На таємницею дошці написано: завдання: спростити вираз.

Поруч записані варіанти відповідей. Екіпажі визначають правильні відповіді за1 хв. і піднімають відповідний набір букв.

Відповідь: З У А.

III етап. Гонка по пересіченій місцевості.

3 хвилини екіпажам на нараду щодо вирішення завдання, а далі представники екіпажів пишуть рішення на дошці. Коли представники екіпажів закінчать записувати рішення першого завдання, всі учні (разом з учителем) перевіряють правильність і раціональність рішень і записують в зошит. Кермові оцінюють внесок кожного члена екіпажу знаками «+» і «-» в оціночних листах.

Завдання з підручника:

• Екіпаж - «синус»: № 118 г;
• Екіпаж - «косинус»: № 122 а;
• Екіпаж - «тангенс»: № 123 г;
• Екіпаж - «котангенс»: № 125 м

IV етап. Раптова зупинка - аварія.

– Ваш автомобіль зламався. Необхідно усунути несправність вашого автомобіля.

Для кожного екіпажу приведені висловлювання, але в них допущені помилки. Знайдіть ці помилки і поясніть, чому вони були допущені. У висловлюваннях використовуються тригонометричні функції, відповідні маркам ваших машин.

V етап. Привал.

Ви втомилися і повинні відпочити. Поки екіпаж відпочиває кермові підбивають попередні підсумки: вважають «плюси» і «мінуси» у членів екіпажу і в цілому у екіпажу.

Для учнів:

3 і більше «+» - оцінка «5»;
2 «+» - оцінка «4»;
1 «+» - оцінка «3».

Для екіпажів: «+» І «-» взаємно знищуються. Вважаються тільки залишилися знаки.

Відгадайте шараду.

З чисел ви мій перший склад візьміть,
Другий - з слова «зверхники».
А третім коней ви погонах,
Четвертим буде мекання вівці.
Мій п'ятий склад такої ж, як і перший,
Останньою буквою в алфавіті є шостою,
А якщо відгадаєш ти все вірно,
То в математиці розділ отримаєш ти такий.
(Три-го-но-ме-три-я)

Слово «тригонометрія» (від грецьких слів «трігонон» - трикутник і «метрео» - вимірюю) означає «вимір трикутників». Виникнення тригонометрії пов'язано з розвитком географії та астрономії - науки про рух небесних тіл, про будову і розвиток Всесвіту.

В результаті проведених астрономічних спостережень виникла необхідність визначення положення світил, обчислення відстаней і кутів. Так як деякі відстані, наприклад, від Землі до інших планет, не можна було виміряти безпосередньо, то вчені стали розробляти прийоми знаходження взаємозв'язків між сторонами і кутами трикутника, у якого дві вершини розташовані на землі, а третю представляє планета або зірка. Такі співвідношення можна вивести, вивчаючи різні трикутники і їх властивості. Ось чому астрономічні обчислення привели до вирішення (т. Е. Знаходженню елементів) трикутника. Цим і займається тригонометрія.

Зачатки тригонометрії були виявлені в древньому Вавилоні. Вавилонські вчені вміли передбачати сонячні і місячні затемнення. Деякі відомості тригонометричного характеру зустрічаються в старовинних пам'ятках інших народів давнини.

VI етап. Фініш.

Щоб успішно перетнути лінію фінішу залишилося напружитися і зробити «ривок». Дуже важливо в тригонометрії вміти швидко визначати значення sin t, cost, tgt, ctg t, де 0 ≤ t ≤. Підручники закрити.

Екіпажі черзі називають значення функцій sin t, cost, tgt, ctg t, якщо:

VII етап. Підсумки.

Підсумки гри.

Кермові здають оціночні листи. Визначається екіпаж, який став чемпіоном «Математичного ралі» і характеризується робота інших груп. Далі називаються прізвища тих, хто отримав оцінки «5» і «4».

Підсумки уроку.

- Хлопці! Чому ви сьогодні навчилися на уроці? (Спрощувати тригонометричні вирази; знаходити значення тригонометричних функцій). А що для цього потрібно знати?

• визначення і властивості sin t, cos t, tg t, ctg t;
• співвідношення, що зв'язують значення різних тригонометричних функцій;
• знаки тригонометричних функцій по чвертях числовий окружності.
• значення тригонометричних функцій першої чверті числовий окружності.

- Я думаю, що ви зрозуміли, що формули потрібно добре знати, щоб їх правильно застосовувати. Ви також зрозуміли, що тригонометрія дуже важлива частина математики, так як вона застосовується в інших науках: астрономії, географії, фізики та ін.

Домашнє завдання:

• для учнів отримали «5» і «4»: §6, №128а, 130а, 134а.
• для інших учнів: §6, №119г, №120г, №121г.

Відеоурок «Тригонометричні функції числового аргументу» представляє наочний матеріал для забезпечення наочності при поясненні теми на уроці. В ході демонстрації розглядається принцип формування значення тригонометричних функцій від числа, описується ряд прикладів, навчальних обчисленню значень тригонометричних функцій від числа. За допомогою даного посібника легше сформувати навички у вирішенні відповідних завдань, домогтися запам'ятовування матеріалу. Використання посібника підвищує ефективність уроку, сприяє швидкому досягненню цілей навчання.

На початку уроку демонструється назва теми. Потім ставиться завдання знаходження відповідного косинуса деякого числовому аргументу. Відзначається, що дана задача вирішується просто і це можна наочно продемонструвати. На екрані зображується одиничне коло з центром на початку координат. При цьому відмічено, що точка перетину кола з позитивною полуосью осі абсцис розташовується в точці А (1; 0). Наводиться приклад точки М, яка представляє аргумент t \u003d π / 3. Дана точка відзначається на одиничному колі, і від неї опускається перпендикуляр до осі абсцис. Знайдена абсциса точки і є косинусом cos t. В даному випадку абсциссой точки буде х \u003d 1/2. Тому cos t \u003d 1/2.

Узагальнюючи розглянуті факти, відзначається, що має сенс говорити про функції s \u003d cos t. Відзначається, що деякі знання про цю функцію вже є в учнів. Обчислені деякі значення косинуса cos 0 \u003d 1, cos π / 2 \u003d 0, cos π / 3 \u003d 1/2. Також пов'язаними до даної функцією є функції s \u003d sin t, s \u003d tg t, s \u003d ctg t. Відзначається, що вони мають спільне для всіх назву - тригонометричні функції.

Демонструються важливі співвідношення, які використовуються в рішенні задач з тригонометричними функціями: основне тотожність sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, вираз тангенса і котангенс через синус і косинус tg t \u003d sin t / cos t, де t ≠ π / 2 + πk для kεZ, ctg t \u003d cos t / sin t, де t ≠ πk для kεZ, а також співвідношення тангенса до котангенс tg t · ctg t \u003d 1 де t ≠ πk / 2 для kεZ.

Далі пропонується розглянути доказ співвідношення 1+ tg 2 t \u003d 1 / cos 2 t, при t ≠ π / 2 + πk для kεZ. Щоб довести тотожність, необхідно представити tg 2 t у вигляді співвідношення синуса і косинуса, а після складові в лівій частині привести до спільного знаменника 1+ tg 2 t \u003d 1 + sin 2 t / cos 2 t \u003d (sin 2 t + cos 2 t ) / cos 2 t. Використовуючи основне тригонометричну тотожність, отримуємо в чисельнику 1, тобто кінцеве вираз 1 / cos 2 t. Що і потрібно було довести.

Аналогічно доводиться тотожність 1+ ctg 2 t \u003d 1 / sin 2 t, при t ≠ πk для kεZ. Так само, як і в попередньому доказі, котангенс замінюється відповідним співвідношенням косинуса і синуса, і обидва доданків в лівій частині приводяться до спільного знаменника 1+ ctg 2 t \u003d 1 + cos 2 t / sin 2 t \u003d (sin 2 t + cos 2 t) / sin 2 t. Після застосування основного тригонометричного тотожності до чисельника отримуємо 1 / sin 2 t. Це і є шукане вираз.

Розглядається рішення прикладів, в якому застосовуються отримані знання. У першому завданні необхідно знайти значення cost, tgt, ctgt, якщо відомий синус числа sint \u003d 4/5, а t належить проміжку π / 2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Далі розглядається рішення аналогічної задачі, в якій відомий тангенс tgt \u003d -8 / 15, а аргумент обмежений значеннями 3π / 2

Щоб знайти значення синуса, використовуємо визначення тангенса tgt \u003d sint / cost. З нього знаходимо sint \u003d tgt · cost \u003d (- 8/15) · (15/17) \u003d - 8/17. Знаючи, що котангенс - функція, зворотна тангенсу, знаходимо ctgt \u003d 1 / (- 8/15) \u003d - 15/8.

Відеоурок «Тригонометричні функції числового аргументу» застосовується для підвищення ефективності уроку математики в школі. В ході дистанційного навчання даний матеріал може використовуватися як наочний посібник для формування навичок вирішення завдань, де є тригонометричні функції від числа. Для придбання цих навичок учневі може рекомендовано самостійне розгляд наочного матеріалу.

ТЕКСТОВА Розшифровка:

Тема уроку «Тригонометричні функції числового аргументу».

Будь-якому дійсному числу t можна поставити у відповідність однозначно певне число cos t. Для цього необхідно виконати наступні дії:

1) на координатної площині розташувати числову окружність так, щоб центр кола збігся з початком координат, а початкова точка А окружності потрапила в точку (1; 0);

2) на окружності знайти точку, яка відповідає числу t;

3) знайти абсциссу цієї точки. Це і є cos t.

Тому мова піде про функції s \u003d cos t (ес одно косинус ТЕ), де t - будь-яке дійсне число. Певне уявлення про цієї функції ми вже отримали:

• навчилися обчислювати деякі значення, наприклад cos 0 \u003d 1, cos \u003d 0, cos \u003d і т.д. (косинус нуля дорівнює одиниці, косинус пі на два дорівнює нулю, косинус пі на три дорівнює одній другій і так далі).
• а так як значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс взаємопов'язані, то отримали певне уявлення ще про трьох функціях: s \u003d sint; s \u003d tgt; s \u003d ctgt. (Ес одно синус ТЕ, ес одно тангенс ТЕ, ес одно котангенс ТЕ)

Всі ці функції називаються тригонометричними функціями числового аргументу t.

З визначень синуса, косинуса, тангенса і котангенс слідують деякі співвідношення:

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (синус квадрат ТЕ плюс косинус квадрат ТЕ одно одному)

2) tgt \u003d при t ≠ + πk, kεZ (тангенс ТЕ дорівнює відношенню синуса ТЕ до косинусу ТЕ при ТЕ не в рівному пі на два плюс пі ка, ка належить Зет)

3) ctgt \u003d при t ≠ πk, kεZ (котангенс ТЕ дорівнює відношенню косинуса ТЕ до синусу ТЕ при ТЕ не в рівному пі ка, ка належить Зет).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 при t ≠, kεZ (твір тангенса ТЕ на котангенс ТЕ дорівнює одному при ТЕ не в рівному пі ка, поділене на два, но належить Зет)

Доведемо ще дві важливі формули:

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Знайти cost, tgt, ctgt, якщо sint \u003d і< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Рішення. З першого співвідношення знайдемо косинус квадрат ТЕ дорівнює одиниця мінус синус квадрат ТЕ: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

Значить, cos 2 t \u003d 1 - () 2 \u003d (косинус квадрат ТЕ дорівнює дев'яти двадцять п'ятим), тобто cost \u003d (косинус ТЕ дорівнює трьом п'ятим) або cost \u003d - (косинус ТЕ дорівнює мінус трьох п'ятим). За умовою аргумент t належить другій чверті, а в ній cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Значить перекіс ТЕ дорівнює мінус трьох п'ятим, cost \u003d -.

Обчислимо тангенс ТЕ:

tgt \u003d \u003d: (-) \u003d -; (тангенс ТЕ дорівнює відношенню синуса ТЕ до косинусу ТЕ, а значить, чотирьох п'ятих до мінус трьох п'ятим і одно мінус чотирьом третім)

Відповідно обчислюємо (котангенс числа ТЕ. Так як котангенс ТЕ дорівнює відношенню косинуса ТЕ до синусу ТЕ,) ctgt \u003d \u003d -.

(Котангенс ТЕ дорівнює мінус трьох четвертим).

Відповідь: cost \u003d -, tgt \u003d -; ctgt \u003d -. (Відповідь заповнюємо по мірі вирішення)

ПРИКЛАД 2. Відомо, що tgt \u003d - і< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Рішення. Скористаємося даними співвідношенням, підставивши значення в цю формулу отримаємо:

1 + (-) 2 \u003d (одиниця на косинус квадрат ТЕ дорівнює сумі одиниці і квадрата мінус восьми п'ятнадцятих). Звідси знаходимо cos 2 t \u003d

(Косинус квадрат ТЕ дорівнює двісті двадцять п'ять двісті вісімдесят дев'ятих). Значить, cost \u003d (косинус ТЕ дорівнює п'ятнадцять сімнадцятих) або

cost \u003d. За умовою аргумент t належить четвертої чверті, де cost\u003e 0. Тому cost \u003d. (Косенус ТЕ дорівнює п'ятнадцять сімнадцятих)

Знайдемо значення аргументу синус ТЕ. Так як із співвідношення (показати співвідношення tgt \u003d при t ≠ + πk, kεZ) синус ТЕ дорівнює добутку тангенса ТЕ на косинус ТЕ, то підставивши значення аргументу те..тангенс ТЕ дорівнює мінус вісім п'ятнадцятих .. за умовою, а косинус ТЕ дорівнює з вирішеного раніше, отримуємо

sint \u003d tgt ∙ cost \u003d (-) ∙ \u003d -, (синус ТЕ дорівнює мінус вісім сімнадцятих)

ctgt \u003d \u003d -. (Так як котангенс ТЕ, є величина зворотна тангенсу, значить, котангенс ТЕ дорівнює мінус п'ятнадцять вісімнадцятих)

Мета уроку:

освітні:

• Забезпечити повторення, узагальнення і систематизацію матеріалу теми "Тригонометричні функції числового аргументу";
• Створити умови контролю (самоконтролю) засвоєння знань і умінь.

Розвиваючі:

• Сприяти формуванню вміння застосовувати прийоми - порівняння, узагальнення, виділення головного, перенесення знань у нову ситуацію;
• Розвиток математичного кругозору, мислення, мовлення, уваги і пам'яті.

виховні:

• Сприяти вихованню інтересу до математики, активності, вміння спілкуватися, загальної культури.

Тип уроку: урок узагальнення і систематизації знань.

Методи навчання: частково-пошуковий, (евристичний).

Тестова перевірка рівня знань, рішення пізнавальних узагальнюючих завдань, самоперевірка, системні узагальнення.

План уроку.

1. Орг. момент - 2 хв.
2. Тест з самопроверкой - 10 хв.
3. Повідомлення по темі - 3 хв.
4. Систематизація теоретичного матеріалу - 15 хв.
5. Диференційована самостійна робота з самопроверкой - 10 хв.
6. Підсумок самостійної роботи - 2 хв.
7. Підведення підсумків уроку - 3 хв.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Завдання додому:

Параграф 1, пункт 1.4
- Залікові роботи (завдання були вивішені на стенді).

Французький письменник Анатоль Франс одного разу зауважив: "Вчитися можна тільки весело. Щоб перетравлювати знання, треба поглинати їх з апетитом ". Давайте сьогодні на уроці будемо слідувати цій раді письменника, будемо активні, уважні, будемо поглинати знання з великим бажанням. Адже вони знадобляться вам надалі.

Сьогодні у нас заключний урок по темі: "Тригонометричні функції числового аргументу". Повторюємо, узагальнюємо вивчений матеріал, методи і прийоми рішення тригонометричних виразів.

2. Тест з самопроверкой.

Робота проводиться в двох варіантах. Питання на екрані.

Учні відзначають неправильні кроки. Кількість правильних відповідей заноситься в листок обліку знань.

3. Повідомлення.

Повідомлення про історію розвитку тригонометрії (виступає підготовлений учень).

4. Систематизація теоретичного матеріалу.

Усні завдання.

1) Про що мова? Що особливого?

Визначте знак вираження:

а) cos (700 °) tg 380 °,
б) cos (- 1) sin (- 2)

2) Про що говорить цей блок формул? У чому помилка?

3) Розглянемо таблицю:

4) Рішення задач кожного виду тригонометричних перетворень.

Відшукання значень тригонометричних виразів.

Знаходження значення тригонометричної функції за відомим значенням даної тригонометричної функції.

Дано: sin \u003d;< <

Знайти cos2, ctg2.

Відповідь:.< < 2

Знайти: cos2, tg2

Третій рівень складності:

Дано: sin \u003d;< <

Знайти: sin2; sin (60 ° -); tg (45 ° +)

Додаткове завдання.

Доведіть тотожність:

4 sin 4 - 4 sin 2 \u003d cos 2 2 - 1

6. Підсумок самостійної роботи.

Учні перевіряють роботу і заносять результати в листок обліку знань.

7. Підводиться підсумок уроку.

Урок і презентація на тему: "Тригонометрична функція числового аргументу, визначення, тотожності"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу
Алгебраїчні задачі з параметрами, 9-11 класи
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що будемо вивчати:
1. Визначення числового аргументу.
2. Основні формули.
3. Тригонометричні тотожності.
4. Приклади і завдання для самостійного рішення.

Визначення тригонометричної функції числового аргументу

Згадаймо основні формули:
$ Sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) \u003d 1 $. До речі, як називається ця формула?

$ Tg (t) \u003d \\ frac (sin (t)) (cos (t)) $, при $ t ≠ \\ frac (π) (2) + πk $.
$ Ctg (t) \u003d \\ frac (cos (t)) (sin (t)) $, при $ t ≠ πk $.

Давайте виведемо нові формули.

тригонометричні тотожності

Тепер розділимо обидві частини тотожності на $ sin ^ 2 (t) $.
Отримаємо: $ \\ frac (sin ^ 2 (t)) (sin ^ 2 (t)) + \\ frac (cos ^ 2 (t)) (sin ^ 2 (t)) \u003d \\ frac (1) (sin ^ 2 (t)) $.
Перетворимо: $ 1 + (\\ frac (cos (t)) (sin (t))) ^ 2 \u003d \\ frac (1) (sin ^ 2 (t)). $
У нас виходить нове тотожність, яке варто запам'ятати:
$ Ctg ^ 2 (t) + 1 \u003d \\ frac (1) (sin ^ 2 (t)) $, при $ t ≠ πk $.

Нам вдалося отримати дві нових формули. Запам'ятайте їх.
Ці формули використовуються, якщо по якомусь відомому значенню тригонометричної функції потрібно обчислити значення іншої функції.

Рішення прикладів на тригонометричні функції числового аргументу

$ Cos (t) \u003d \\ frac (5) (7) $, знайти $ sin (t) $; $ Tg (t) $; $ Ctg (t) $ для всіх t.

Рішення:

$ Sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) \u003d 1 $.
Тоді $ sin ^ 2 (t) \u003d 1-cos ^ 2 (t) $.
$ Sin ^ 2 (t) \u003d 1 - (\\ frac (5) (7)) ^ 2 \u003d 1 \\ frac (25) (49) \u003d \\ frac (49-25) (49) \u003d \\ frac (24) (49) $.
$ Sin (t) \u003d ± \\ frac (\\ sqrt (24)) (7) \u003d ± \\ frac (2 \\ sqrt (6)) (7) $.
$ Tg (t) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (\\ frac (25) (49)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (49) (25) -1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (24) (25)) \u003d ± \\ frac (\\ sqrt (24)) (5) $.
$ Ctg (t) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (sin ^ 2 (t)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (\\ frac (24) (49)) - 1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (49) (24) -1) \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (25) (24)) \u003d ± \\ frac (5) (\\ sqrt (24)) $.

Приклад 2.

$ Tg (t) \u003d \\ frac (5) (12) $, знайти $ sin (t) $; $ Cos (t) $; $ Ctg (t) $, при всіх $ 0

Рішення:
$ Tg ^ 2 (t) + 1 \u003d \\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) $.
Тоді $ \\ frac (1) (cos ^ 2 (t)) \u003d 1 + \\ frac (25) (144) \u003d \\ frac (169) (144) $.
Отримуємо, що $ cos ^ 2 (t) \u003d \\ frac (144) (169) $.
Тоді $ cos ^ 2 (t) \u003d ± \\ frac (12) (13) $, але $ 0 Косинус в першій чверті позитивний. Тоді $ cos (t) \u003d \\ frac (12) (13) $.
Отримуємо: $ sin (t) \u003d tg (t) * cos (t) \u003d \\ frac (5) (12) * \\ frac (12) (13) \u003d \\ frac (5) (13) $.
$ Ctg (t) \u003d \\ frac (1) (tg (t)) \u003d \\ frac (12) (5) $.

Завдання для самостійного рішення