Площа прав треуг синус. Площа трикутника - формули і приклади розв'язання задач. Приклад завдання на використання даних теорем

Якщо в задачі дано довжини двох сторін трикутника і кут між ними, то можна застосувати формулу площі трикутника через синус.

Приклад розрахунку площі трикутника через синус. Дано сторони a \u003d 3, b \u003d 4, і кут γ \u003d 30 °. За синус кута в 30 ° дорівнює 0.5

Площа трикутника буде дорівнює 3 кв. см.

Площа буде дорівнює половині квадрата боку, помноженої на дріб. В її чисельнику знаходиться твір синусів прилеглих кутів, а в знаменнику синус протилежного кута. Тепер розраховуємо площу за такими формулами:

Наприклад, дано трикутник зі стороною a \u003d 3 і кутами γ \u003d 60 °, β \u003d 60 °. Обчислюємо третій кут:
Підставляємо дані в формулу
Отримуємо, що площа трикутника дорівнює 3,87 кв. см.

II. Площа трикутника через косинус

Щоб знайти площу трикутника, потрібно знати довжини всіх сторін. По теоремі косинусів можна знайти не відомі сторони, а вже потім використовувати.
По теоремі косинусів квадрат невідомої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута, що знаходиться між ними.

З теореми виводимо формули для пошуку довжини невідомої сторони:

Знаючи як знайти відсутню сторону, маючи дві сторони і кут між ними можна легко порахувати площу. Формула площі трикутника через косинус допомагає легко і швидко знайти рішення різних завдань.

Приклад розрахунку формули площі трикутника через косинус
Дан трикутник з відомими сторонами a \u003d 3, b \u003d 4, і кутом γ \u003d 45 °. Для початку знайдемо відсутню сторону з. За косинус 45 ° \u003d 0,7. Для цього підставимо дані в рівняння, виведене з теореми косинусів.
Тепер використовуючи формулу, знайдемо

Якщо говорити просто, то це овочі, приготовані в воді за спеціальним рецептом. Я буду розглядати два вихідних компонента (овочевий салат і воду) і готовий результат - борщ. Геометрично це можна уявити як прямокутник, в якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін буде позначати борщ. Діагональ і площа такого "борщового" прямокутника є чисто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.

У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійних кутових функціях. Але ж без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їх існування чи ні.

Лінійні кутові функції - це закони додавання. Подивіться, як алгебра перетворюється в геометрію, а геометрія перетворюється в тригонометрію.

Чи можна обійтися без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони вирішувати не вміють. Дивіться. Якщо нам відомий результат складання і один доданок, для пошуку іншого доданка ми використовуємо віднімання. Усе. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат складання і не відомі обидва доданки? В цьому випадку результат складання потрібно розкласти на два доданків за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат складання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми прекрасно обходимося без розкладання суми, нам досить віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на складові дуже може стати в нагоді.

Ще один закон складання, про який математики не люблять говорити (ще одна їх хитрість), вимагає, щоб складові мали однакові одиниці виміру. Для салату, води і борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.

На малюнку показані два рівня відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані в квадратних дужках і позначені літерою U. Цим займаються фізики. Ми ж можемо розуміти третій рівень - відмінності в області описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити на прикладі тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць виміру різних об'єктів, ми зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з плином часу або в зв'язку з нашими діями. буквою W я позначу воду, буквою S позначу салат і буквою B - борщ. Ось як будуть виглядати лінійні кутові функції для борщу.

Якщо ми візьмемо якусь частину води і якусь частину салату, разом вони перетворяться в одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу і згадати далеке дитинство. Пам'ятайте, як нас вчили складати разом зайчиків і качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звіряток вийде. Що ж нас тоді вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, одне будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це відноситься до реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують тільки одним. Більш правильно буде навчитися переходити від одних одиниць вимірювання до інших.

І зайчиків, і качечок, і звіряток можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Давайте подивимося на схожу задачу для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків і гроші? Тут можна запропонувати два варіанти вирішення.

Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства в грошовому еквіваленті.

Другий варіант. Можна кількість зайчиків скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна в штуках.

Як бачите, один і той же закон складання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що саме ми хочемо знати.

Але повернемося до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що буде відбуватися при різних значеннях кута лінійних кутових функцій.

Кут дорівнює нулю. У нас є салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути і при нулі салату (прямий кут).

Особисто для мене, це основне математичне доказ того факту, що. Нуль не змінює число при додаванні. Це відбувається тому, що саме складання неможливо, якщо є тільки один доданок але не містять другого доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - все математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубрите визначення, придумані математиками: "розподіл на нуль неможливо", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколи точки нуль" і іншу маячню. Досить один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом то, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те ж саме, що фарбувати фарбою, яка не має. Сухий пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.

Кут більше нуля, але менше сорока п'яти градусів. У нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.

Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду і салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мене кухаря, це просто математика).

Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води і мало салату. Вийде рідкий борщ.

Прямий кут. У нас є вода. Від салату залишилися тільки спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись позначала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. В такому випадку, тримайтеся і пийте воду, поки вона є)))

Ось. Якось так. Я можу тут розповісти і інші історії, які будуть тут більш ніж доречні.

Двоє друзів мали свої частки в спільному бізнесі. Після вбивства одного з них, все дісталося іншому.

Поява математики на нашій планеті.

Всі ці історії на мові математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Як-небудь іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій в структурі математики. А поки, повернемося до тригонометрії борщу і розглянемо проекції.

субота, 26 жовтня 2019 р

Переглянув цікаве видио про ряд Гранді Один мінус один плюс один мінус один - Numberphile . Математики брешуть. Вони не виконали перевірку рівності в ході своїх міркувань.

Це перегукується з моїми міркуваннями о.

Давайте більш детально розглянемо ознаки обману нас математиками. На самому початку міркувань, математики кажуть, що сума послідовності ЗАЛЕЖИТЬ від того, парна кількість елементів в ній чи ні. Це ОБ'ЄКТИВНО ВСТАНОВЛЕНИЙ ФАКТ. Що відбувається далі?

Далі математики з одиниці віднімають послідовність. До чого це призводить? Це призводить до зміни кількості елементів послідовності - парна кількість змінюється на парне, непарне змінюється на парне. Адже ми додали до послідовності один елемент, що дорівнює одиниці. Незважаючи на всю зовнішню схожість, послідовність до перетворення не дорівнює послідовності після перетворення. Навіть якщо ми розмірковуємо про безкінечною послідовності, необхідно пам'ятати, що нескінченна послідовність з непарною кількістю елементів не дорівнює нескінченної послідовності з парною кількістю елементів.

Ставлячи знак рівності між двома різними за кількістю елементів послідовностями, математики стверджують, що сума послідовності НЕ ЗАЛЕЖИТЬ від кількості елементів в послідовності, що суперечить об'єктивності встановлення ФАКТУ. Подальші міркування про суму нескінченної послідовності є помилковими, оскільки засновані на помилковому рівність.

Якщо ви бачите, що математики в ході доказів розставляють дужки, переставляють місцями елементи математичного виразу, що-небудь додають або прибирають, будьте дуже уважні, швидше за все вас намагаються обдурити. Як карткові фокусники, математики різними маніпуляціями з виразом відволікають вашу увагу, щоб в результаті підсунути вам помилковий результат. Якщо картковий фокус ви не можете повторити, не знаючи секрету обману, то в математиці все набагато простіше: ви навіть нічого не підозрюєте про обман, але повторення всіх маніпуляцій з математичним виразом дозволяє вам переконати інших у правильності отриманого результату, точно так само, як колись -то переконали вас.

Питання із залу: А нескінченність (як кількість елементів в послідовності S), вона парна або непарна? Як можна поміняти парність у того, що парності не має?

Нескінченність для математиків, як Царство Небесне для попів - ніхто ніколи там не був, але все точно знають, як там все влаштовано))) Згоден, після смерті вам буде абсолютно байдуже, парне або непарна кількість днів ви прожили, але ... Додавши всього один день в початок вашого життя, ми отримаємо зовсім іншу людину: прізвище, ім'я та по батькові у нього точно такі ж, тільки дата народження зовсім інша - він народився за один день до вас.

А тепер по суті))) Припустимо, кінцева послідовність, що має парність, втрачає цю парність при переході до нескінченності. Тоді і будь-який кінцевий відрізок нескінченної послідовності повинен втратити парність. Ми цього не спостерігаємо. Те, що ми не можемо точно сказати, парне або непарна кількість елементів у нескінченній послідовності, зовсім не означає, що парність зникла. Не може парність, якщо вона є, безслідно зникнути в нескінченності, як в рукаві шулера. Для цього випадку є дуже хороша аналогія.

Ви ніколи не запитували у зозулі, що сидить в годиннику, в якому напрямку обертається стрілка годинника? Для неї стрілка обертається в зворотному напрямку того, яке ми називаємо "за годинниковою стрілкою". Як це не парадоксально звучить, але напрямок обертання залежить виключно від того, з якого боку ми обертання спостерігаємо. І так, у нас є одне колесо, яке обертається. Ми не можемо сказати, в якому напрямку відбувається обертання, оскільки ми його можемо спостерігати як з одного боку площини обертання, так і з іншого. Ми можемо тільки засвідчити факт, що обертання є. Повна аналогія з парністю нескінченної послідовності S.

Тепер додався другий колесо, що обертається, площину обертання якого паралельна площині обертання першого обертового колеса. Ми як і раніше не можемо точно сказати, в якому напрямку обертаються ці колеса, але ми абсолютно точно можемо сказати, обертаються обидва колеса в одну сторону або в протилежні. Порівнюючи дві нескінченні послідовності S і 1-S, Я за допомогою математики показав, що у цих послідовностей різна парність і ставити знак рівності між ними - це помилка. Особисто я вірю математики, я не довіряю математикам))) До речі, для повного розуміння геометрії перетворень нескінченних послідовностей, необхідно вводити поняття "Одночасність". Це потрібно буде намалювати.

середовище, 7 серпня 2019 р

Завершуючи розмову про, потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Трепетний жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:

Першоджерело знаходиться. Альфа позначає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така ж нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна уявити в такому вигляді:

Для наочного доказу своєї правоти математики придумали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів з бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або до того, що частина відвідувачів викидають в коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Білявці. На чому грунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів вимагає нескінченно багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один з відвідувачів завжди буде йти по коридору зі свого номера в сусідній до кінця віку. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії або навпаки.

Що ж таке "нескінченна готель"? Нескінченна готель - це готель, в якій завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо все номера в нескінченному коридорі "для відвідувачів" зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами "для гостей". Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченної готелю" нескінченну кількість поверхів в нескінченній кількості корпусів на нескінченну кількість планет в нескінченній кількості всесвітів, створених безліччю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда - завжди тільки один, готель - вона одна, коридор - тільки один. Ось математики і намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впихнути невпіхуемое".

Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної кількості натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте питання: скільки множин натуральних чисел існує - одне або багато? Правильної відповіді на це питання не існує, оскільки числа придумали ми самі, в Природі чисел не існує. Так, Природа відмінно вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, що не звичні для нас. Як Природа вважає, я вам розповім іншим разом. Оскільки числа придумали ми, то ми самі будемо вирішувати, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і личить справжнім вченим.

Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх ніде. Ми не можемо до цього безлічі додати одиницю, оскільки вона у нас вже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятого нами безлічі і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що у нас залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:

Я записав дії в алгебраїчній системі позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним переліком елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що безліч натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо з нього відняти одиницю і додати цю ж одиницю.

Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Підкреслюю - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одне з цих множин. Потім з іншого безлічі натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятому нами безлічі. Ми можемо навіть скласти два безлічі натуральних чисел. Ось що у нас вийде:

Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченного безлічі додати одиницю, в результаті вийде теж безліч, але воно не буде таким же, як початкове безліч. Якщо до одного нескінченного безлічі додати інше безліч, в результаті вийде нове безліч, що складається з елементів перших двох множин.

Безліч натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювання. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, що не рівна початкової.

Ви можете приймати чи не приймати мої міркування - це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, задумайтеся, чи не йдете ви по стежці помилкових міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою, перш за все, формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).

pozg.ru

неділю, 4 серпня 2019 р

Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:

Читаємо: "... багата теоретична основа математики Вавилона не мала цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи і доказової бази."

Вау! Які ми розумні і як добре можемо бачити недоліки інших. А слабо нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Трохи перефразуючи наведений текст, особисто у мене вийшло наступне:

Багата теоретична основа сучасної математики не має цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи і доказової бази.

За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову і умовні позначення, відмінні від мови і умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні і ті ж назви в різних розділах математики можуть мати різний зміст. Найбільш очевидним ляпів сучасної математики я хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.

субота, 3 серпня 2019 р

Як розділити безліч на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню у частині елементів обраного безлічі. Розглянемо приклад.

Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох осіб. Сформовано це безліч за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, Нижній індекс з цифрою буде вказувати на порядковий номер кожної людини в цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статева ознака" і позначимо її буквою b. Оскільки статеві ознаки притаманні всім людям, множимо кожен елемент безлічі А на статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наше безліч "люди" перетворилося в безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bm і жіночі bw статеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один з цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо він присутній у людини, тоді множимо його на одиницю, якщо такої ознаки немає - множимо його на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.

Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали два підмножини: підмножина чоловіків Bm і підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосована математика в викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, досить знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Як-небудь іншим разом я вам про це розповім.

Що стосується надбезліччю, то об'єднати два безлічі в одне надмножество можна, підібравши одиницю виміру, присутню у елементів цих двох множин.

Як бачите, одиниці виміру і звичайна математика перетворюють теорію множин в пережиток минулого. Ознакою того, що з теорією множин не все в порядку, є те, що для теорії множин математики придумали власну мову і власні позначення. Математики надійшли так, як колись поступали шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знань" вони навчають нас.

На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з
Припустимо, Ахіллес біжить в десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані в тисячу кроків. За той час, за яке Ахіллес пробіжить це відстань, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і так далі. Процес буде продовжуватися до безкінечності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Це міркування стало логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт ... Всі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії тривають і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки не вдалося ... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні і філософські підходи; жоден з них не став загальновизнаним вирішенням питання ..."[Вікіпедія," Апорії Зенона "]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З точки зору математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини к. Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць вимірювання або ще не розроблений, або його не застосовували до апорії Зенона. Застосування ж нашої звичайної логіки призводить нас в пастку. Ми, по інерції мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до зворотного величиною. З фізичної точки зору це виглядає, як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахіллес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахіллес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху в десять разів коротшим від попереднього. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, в десять разів менше попереднього. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" в цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і не переходити до зворотних величин. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за яке Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, рівний першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно описує реальність без всяких логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На зеноновських апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про нездоланність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити і вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава Апорія Зенона оповідає про що летить стрілі:

Летюча стріла нерухома, так як в кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожен момент часу летить стріла спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут потрібно відзначити інший момент. За однією фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити ні факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але по ним не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але по ним не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, так це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пупиришку" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а є без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.

А тепер зробимо маленьку капость. Візьмемо "тверде в пупиришку з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" по колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоне". Тепер питання на засипку: отримані безлічі "з бантиком" і "червоне" - це одне і те ж безліч або два різних безлічі? Відповідь знають тільки шамани. Точніше, самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.

Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли мова заходить про реальність. У чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пупиришку з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (в пупиришку), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць вимірювання дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти на мові математики. Ось як це виглядає.

Буква "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділені одиниці виміру, за якими виділяється "ціле" на попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, за якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування безлічі, тоді результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів з бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці вимірювання не входять в їх "науковий" арсенал.

За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одне або об'єднати декілька множин в одне надмножество. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.

Можна знайти, знаючи підставу і висоту. Вся простота схеми полягає в тому, що висота ділить підставу a на дві частини a 1 і a 2, а сам трикутник - на два прямокутних трикутника, площа яких виходить і. Тоді площа всього трикутника буде сумою двох зазначених площ, і якщо ми винесемо половину висоти за дужку, то в сумі ми отримаємо назад підставу:

Більш складний для розрахунків спосіб - це формула Герона, для якої необхідно знати всі три сторони. Для цієї формули потрібно обчислити спочатку напівпериметр трикутника: Сама формула Герона увазі квадратний корінь з напівпериметр, помноженого черзі на різницю його з кожної зі сторін.

Наступний спосіб, також актуальний для будь-якого трикутника, дозволяє знайти площу трикутника через дві сторони і кут між ними. Доказ цьому виникає з формули з висотою - проводимо висоту на будь-яку з відомих сторін і через синус кута α отримуємо, що h \u003d a⋅sinα. Для обчислення площі помножимо половину висоти на другу сторону.

Інший спосіб - знайти площу трикутника, знаючи 2 кута і сторону між ними. Доказ цієї формули досить просте, і наочно видно зі схеми.

Опускаємо з вершини третього кута висоту на відому сторону і називаємо отримані відрізки x відповідно. З прямокутних трикутників видно, що перший відрізок x дорівнює добутку

Площа трикутника дорівнює половині твори його сторін на синус кута між ними.

Доведення:

Розглянемо довільний трикутник ABC. Нехай в ньому сторона BC \u003d a, сторона CA \u003d b і S - площа цього трикутника. Необхідно довести, що S \u003d (1/2) * a * b * sin (C).

Для початку введемо прямокутну систему координат і помістимо початок координат в точку С. Розташуємо нашу систему координат так, щоб точка B лежала на позитивному напрямку осі Сх, а точка А мала б позитивну ординату.

Якщо все виконати правильно, то повинен вийде наступний рисунок.

Площа даного трикутника можна обчислити за такою формулою: S \u003d (1/2) * a * h, Де h - це висота трикутника. У нашому випадку висота трикутника h дорівнює ординате точки А, тобто h \u003d b * sin (C).

З огляду на отримані результат, формулу площі трикутника можна переписати таким чином: S \u003d (1/2) * a * b * sin (C). Що і потрібно було довести.

Розв'язання задач

Завдання 1. Знайти площу трикутника ABC, якщо а) AB \u003d 6 * √8 см, АС \u003d 4 см, кут А \u003d 60 градусів б) BC \u003d 3 см, AB \u003d 18 * √2 см, кут B \u003d 45 градусів в ) AC \u003d 14 см, CB \u003d 7 см, кут C \u003d 48 градусів.

За доведеною вище теоремі площа S трикутника ABC дорівнює:

S \u003d (1/2) * AB * AC * sin (A).

Зробимо обчислення .:

а) S \u003d ((1/2) * 6 * √8 * 4 * sin (60˚)) \u003d 12 * √6 см ^ 2.

б) S \u003d (1/2) * BC * BA * sin (B) \u003d ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2 / 2)) \u003d 27 см ^ 2.

в) S \u003d (1/2) * CA * CB * sin (C) \u003d ½ * 14 * 7 * sin48˚ см ^ 2.

Значення синуса кута вважаємо на калькуляторі або використовуємо значення з таблиці значень тригонометричних кутів. відповідь:

а) 12 * √6 см ^ 2.

в) приблизно 36.41 см ^ 2.

Завдання 2. Площа трикутника ABC дорівнює 60 см ^ 2. Знайдіть сторону AB, якщо AC \u003d 15 см, кут А \u003d 30˚.

Покладемо S - площа трикутника ABC. По теоремі про площі трикутника маємо:

S \u003d (1/2) * AB * AC * sin (A).

Підставами в неї наявні у нас значення:

60 \u003d (1/2) * AB * 15 * sin30˚ \u003d (1/2) * 15 * (1/2) * AB \u003d (15/4) * AB.

Звідси висловлюємо довжину сторони AB: AB \u003d (60 * 4) / 15 \u003d 16.

Теорема про площу трикутника

теорема 1

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між цими сторонами.

Доведення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. Позначимо довжини сторін цього трикутника як $ BC \u003d a $, $ AC \u003d b $. Введемо декартову систему координат, так, що точка $ C \u003d (0,0) $, точка $ B $ лежить на правій півосі $ Ox $, а точка $ A $ лежить в першій координатної чверті. Проведемо висоту $ h $ з точки $ A $ (рис. 1).

Малюнок 1. Ілюстрація теореми 1

Висота $ h $ дорівнює ординате точки $ A $, отже

теорема синусів

теорема 2

Сторони трикутника пропорційні синусів протилежних кутів.

Доведення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. Позначимо довжини сторін цього трикутника як $ BC \u003d a $, $ AC \u003d b, $ $ AC \u003d c $ (рис. 2).

Малюнок 2.

Доведемо, що

По теоремі 1, маємо

Прирівнюючи їх попарно, і отримаємо, що

теорема косинусів

теорема 3

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між цими сторонами.

Доведення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. Позначимо довжини його сторін як $ BC \u003d a $, $ AC \u003d b, $ $ AB \u003d c $. Введемо декартову систему координат, так, що точка $ A \u003d (0,0) $, точка $ B $ лежить на позитивній півосі $ Ox $, а точка $ C $ лежить в першій координатної чверті (рис. 3).

Малюнок 3.

Доведемо, що

У цій системі координат, отримуємо, що

Знайдемо довжину сторони $ BC $ за формулою відстані між точками

Приклад завдання на використання даних теорем

приклад 1

Довести, що діаметр описаного кола довільного трикутника дорівнює відношенню будь-якого боку трикутника до синуса протилежного цій стороні кута.

Рішення.

Нехай нам дано довільний трикутник $ ABC $. $ R $ - радіус описаного кола. Проведемо діаметр $ BD $ (Рис. 4).