Сума арифметичної прогресії. Арифметична прогресія. Підручник з ЄДІ та ГІА Як знайти кількість чисел в арифметичній прогресії

Наприклад, послідовність (2); \ (5 \); \ (8 \); \ (11 \); \(14\)... є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додаванням трійки):

У цій прогресії різниця (d) позитивна (рівна (3)), і тому кожен наступний член більший за попередній. Такі прогресії називаються зростаючими.

Однак (d) може бути і негативним числом. Наприклад, в арифметичній прогресії \(16\); \ (10 ​​\); \ (4 \); \(-2\); \ (-8 \) ... Різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.

І в цьому випадку кожен наступний елемент буде меншим, ніж попередній. Ці прогресії називаються спадаючими.

Позначення арифметичної прогресії

Прогресію позначають маленькою латинською літерою.

Числа, що утворюють прогресію, називають її членами(або елементами).

Їх позначають тією ж літерою як і арифметичну прогресію, але з числовим індексом, рівним номеру елемента по порядку.

Наприклад, арифметична прогресія (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) і так далі.

Іншими словами, для прогресії (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Розв'язання задач на арифметичну прогресію

У принципі, викладеної вище інформації вже достатньо, щоб вирішувати практично будь-яке завдання на арифметичну прогресію (у тому числі з тих, що пропонують на ОДЕ).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (b_1 = 7; d = 4). Знайдіть (b_5).
Рішення:

Відповідь: \ (b_5 = 23 \)

Приклад (ОДЕ). Дано перші три члени арифметичної прогресії: \(62; 49; 36…\) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \(-3\)

Приклад (ОДЕ). Дано кілька елементів арифметичної прогресії, що йдуть поспіль: \(…5; x; 10; 12,5...\) Знайдіть значення елемента, позначеного буквою \(x\).
Рішення:

Відповідь: \(7,5\).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана такими умовами: (a_1=-11); \(a_(n+1)=a_n+5\) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (S_6 = 9 \).

Приклад (ОДЕ). В арифметичній прогресії \(a_(12)=23\); \ (a_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (d = 7 \).

Важливі формули арифметичної прогресії

Як бачите, багато завдань з арифметичної прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне – те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент у цьому ланцюжку виходить додаванням до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).

Однак часом трапляються ситуації, коли вирішувати «в лоб» дуже незручно. Наприклад, уявіть, що в першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \(b_5\), а триста вісімдесят шостий \(b_(386)\). Це що ж, нам (385) разів додавати четвірку? Або уявіть, що у передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучаєшся ...

Тому в таких випадках «у лоб» не вирішують, а використовують спеціальні формули, виведені для арифметичної прогресії. І головні їх це формула енного члена прогресії і формула суми (n) перших членів.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), де \(a_1\) - перший член прогресії;
\ (n \) - Номер шуканого елемента;
\(a_n\) - член прогресії з номером \(n\).

Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч триста, хоч мільйонний елемент, знаючи лише перший і різницю прогресії.

приклад. Арифметична прогресія задана умовами: (b_1=-159); (d = 8,2). Знайдіть \(b_(246)\).
Рішення:

Відповідь: \ (b_ (246) = 1850).

Формула суми n перших членів: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), де

\(a_n\) – останній підсумований член;

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (a_n = 3,4n-0,6 \). Знайдіть суму перших (25) членів цієї прогресії.
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).

Для суми перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в (S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\ ) замість \(a_n\) підставити формулу для нього \(a_n=a_1+(n-1)d\). Отримаємо:

Формула суми n перших членів: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), де

\ (S_n \) - Шукана сума \ (n \) перших елементів;
\(a_1\) – перший сумований член;
(d) - різниця прогресії;
\(n\) – кількість елементів у сумі.

приклад. Знайдіть суму перших (33)-їх членів арифметичної прогресії: (17); \ (15,5 \); \ (14 \) ...
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (33) = -231 \).

Більш складні завдання на арифметичну прогресію

Тепер у вас є вся необхідна інформація для вирішення практично будь-якого завдання на арифметичну прогресію. Завершимо тему розглядом завдань, у яких треба не просто застосовувати формули, але й трохи думати (в математиці це корисно ☺)

Приклад (ОДЕ). Знайдіть суму всіх негативних членів прогресії: (-19,3); \ (-19 \); \ (-18,7 \) ...
Рішення:

Відповідь: \ (S_ (65) = -630,5 \).

Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами: (a_1=-33); \(a_(n+1)=a_n+4\). Знайдіть суму від \(26\)-го до \(42\) елемента включно.
Рішення:

Відповідь: (S = 1683).

Для арифметичної прогресії існує ще кілька формул, які ми не розглядали в цій статті через їхню малу практичну корисність. Однак ви легко можете знайти їх .

При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких належать прогресії – геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію та приклади з рішеннями.

Що являє собою арифметична прогресія?

Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення прогресії, що розглядається, а також навести основні формули, які далі будуть використані при вирішенні завдань.

Арифметична чи алгебраїчна прогресія - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на певну постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел та різницю, можна відновити всю арифметичну прогресію.

Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде арифметичною прогресією: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А от набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важливі формули

Наведемо тепер основні формули, які знадобляться вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n член послідовності, де n - ціле число. Різницю позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:

1. Для визначення значення n-го члена підійде формула: n = (n-1) * d + a 1 .
2. Для визначення суми перших n доданків: S n = (a n +a 1) * n/2.

Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, достатньо запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання типу, що розглядається. Також слід пам'ятати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = a n - a n-1 .

Приклад №1: знаходження невідомого члена

Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.

Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно знайти п'ять членів.

З умови завдання вже випливає, що перші 4 доданки відомі. П'яте можна визначити двома способами:

1. Обчислимо для початку різницю. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члени, що стоять поряд один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = a n - a n-1 тоді d = a 5 - a 4 , звідки отримуємо: a 5 = a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Другий спосіб вимагає знання різниці аналізованої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a 1 = 10, скористаємося формулою для числа n послідовності. Маємо: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Підставляючи останній вираз n = 5, отримуємо: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Як видно, обидва способи рішення привели до того самого результату. Зазначимо, що у цьому прикладі різниця d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються спадними, оскільки кожен наступний член менший за попередній.

Приклад №2: різниця прогресії

Тепер ускладнимо трохи завдання, наведемо приклад, як

Відомо, що деякий 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.

Скористаємося формулою визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Підставимо до неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7 маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Отже, відповіли першу частину завдання.

Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням прогресу алгебри, тобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. У результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.

Приклад №3: складання прогресії

Ускладнимо ще сильніша умова завдання. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести наступний приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти алгебраїчну прогресію так, щоб між цими містилося ще три члени.

Перш ніж розпочинати вирішувати це завдання, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа у майбутній прогресії. Оскільки між ними будуть ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до завдання, яке аналогічне попередньому. Знову для n-го члена скористаємося формулою, отримаємо: a 5 = a 1 + 4*d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, тому формули для прогресу алгебри залишаються тими ж самими.

Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо члени прогресії, що бракують. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою задачі.

Приклад №4: перший член прогресії

Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії із рішенням. У всіх попередніх завданнях було відоме перше число прогресу алгебри. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дані два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.

Формули, якими користувалися досі, припускають знання a 1 і d. За умови завдання про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вирази для кожного члена, про який є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, у яких 2 невідомі величини (a 1 та d). Це означає, що завдання зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь.

Вказану систему найпростіше вирішити, якщо виразити у кожному рівнянні a 1 , а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).

Знаючи d, можна скористатися будь-яким із 2 наведених вище виразів для a 1 . Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язані з тим, що з обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.

Приклад №5: сума

Тепер розглянемо кілька прикладів із рішеннями на суму арифметичної прогресії.

Нехай дано числова прогресія наступного виду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?

Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна це завдання вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в умі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є алгебраїчною прогресією, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100)/2 = 5050.

Цікаво відзначити, що це завдання носить назву "гаусової", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще у віці всього 10 років, зміг вирішити її в умі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він помітив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки цих сум буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді достатньо помножити 50 на 101.

Приклад №6: сума членів від n до m

Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнюватиме сума його членів з 8 по 14.

Завдання вирішується двома способами. Перший передбачає перебування невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків небагато, такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити це завдання другим методом, який є більш універсальним.

Ідея полягає в отриманні формули для суми прогресу алгебри між членами m і n, де n > m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:

1. S m = m*(a m + a 1)/2.
2. S n = n*(a n + a 1)/2.

Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає першу. Останній висновок означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (у разі взяття різниці він віднімається із суми S n), то отримаємо необхідну відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1-m/2). У цей вираз необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа отримаємо: S mn = 301.

Як видно з наведених рішень, всі завдання ґрунтуються на знанні виразу для n-го члена та формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якого з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і потім приступати до вирішення.

Ще одна порада полягає у прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m і розбити загальне завдання на окремі завдання (у разі спочатку знайти члени a n і a m).

Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, це не так складно.

Хтось до слова «прогресія» ставиться насторожено, як дуже складний термін з розділів вищої математики. А тим часом найпростіша арифметична прогресія – робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а математиці немає нічого важливіше, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності негаразд складно, розібравши кілька елементарних понять.

Математична числова послідовність

Числовою послідовністю прийнято називати якийсь ряд чисел, кожне з яких має власний номер.

а 1 - перший член послідовності;

а 2 - другий член послідовності;

а 7 – сьомий член послідовності;

а n - n-ний член послідовності;

Проте чи будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов'язане з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є функцією від n.

a - значення члена числової послідовності;

n – його порядковий номер;

f(n) - функція, де порядковий номер числової послідовності n є аргументом.

Визначення

Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, у якій кожен наступний член більше (менше) попереднього одне й те число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає так:

a n – значення поточного члена арифметичної прогресії;

a n+1 - формула наступного числа;

d - різниця (певне число).

Неважко визначити, якщо різниця позитивна (d>0), кожен наступний член аналізованого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.

На поданому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовність отримала назву "зростаюча".

У випадках, коли різниця негативна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значення заданого члена

Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена an арифметичної прогресії. Можна це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, необхідно знайти значення п'ятитисячного чи восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться за часом. Однак конкретна арифметична прогресія може бути вивчена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії можна визначити як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.

Формула універсальна для зростаючої та спадної прогресії.

Приклад розрахунку значення заданого члена

Розв'яжемо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.

Умова: є арифметична прогресія з параметрами:

Перший член послідовності дорівнює 3;

Різниця числового ряду дорівнює 1,2.

Завдання: потрібно знайти значення 214 члена

Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:

а(n) = а1 + d(n-1)

Підставивши у вираз дані з умови завдання маємо:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Відповідь: 214 член послідовності рівні 258,6.

Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає трохи більше 2 рядків.

Сума заданої кількості членів

Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень його відрізка. Для цього також не потрібно обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо кількість членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися такою формулою.

Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого та n-ного членів, помноженої на номер члена n та діленої надвоє. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз із попереднього пункту статті, отримаємо:

Приклад розрахунку

Наприклад вирішимо задачу з наступними умовами:

Перший член послідовності дорівнює нулю;

Різниця дорівнює 0,5.

У завданні потрібно визначити суму членів ряду з 56 по 101.

Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши у формулу дані їх умови нашого завдання:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S 101 відібрати S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким чином, сума арифметичної прогресії для даного прикладу:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1 782,5

Приклад практичного застосування арифметичної прогресії

Наприкінці статті повернемося наприклад арифметичної послідовності, наведеному у першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.

Посадка в таксі (до якої входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується із розрахунку 22 руб./км. Відстань подорожі 30 км. Розрахувати вартість подорожі.

1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.

30 – 3 = 27 км.

2. Подальший розрахунок - не що інше як аналіз арифметичного числового ряду.

Номер члена – число км пробігу (мінус перші три).

Значення члена – сума.

Перший член у цій задачі дорівнюватиме a 1 = 50 р.

Різниця прогресії d = 22 р.

цікавить нас число - значення (27 +1)-ого ​​члена арифметичної прогресії - показання лічильника наприкінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на скільки завгодно тривалий період. В астрономії у геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються у статистиці та інших прикладних розділах математики.

Інший вид числової послідовності – геометрична

Геометрична прогресія характеризується більшими, порівняно з арифметичною, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині найчастіше, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається у геометричній прогресії.

N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – значення поточного члена геометричної прогресії;

b n+1 - формула наступного члена геометричної прогресії;

q – знаменник геометричної прогресії (постійне число).

Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:

Як і у випадку арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якийсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступені n зменшеного на одиницю:

приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сума заданого числа членів розраховується за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці добутку n-ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеної на зменшений на одиницю знаменник:

Якщо b n замінити користуючись розглянутою вище формулою, значення суми n перших членів розглянутого числового ряду набуде вигляду:

приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, що дорівнює 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Арифметична прогресія - це ряд чисел, у якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну й ту саму величину.

Ця тема часто представляється складною і незрозумілою. Індекси у літер, n-й член прогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичної прогресії і все відразу налагодиться.)

Концепція арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія - поняття дуже просте та чітке. Сумніваєтесь? Даремно.) Дивіться самі.

Я напишу незакінчений ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен... е-е-е..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 тощо.

Ускладнимо завдання. Даю незакінчений ряд чисел:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьомеЧисло ряду?

Якщо зрозуміли, що це число 20 – я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моменти арифметичної прогресії,але й успішно вжили їх у справу! Якщо не зрозуміли – читаємо далі.

А тепер переведемо ключові моменти із відчуттів у математику.)

Перший ключовий момент.

Арифметична прогресія має справу з рядами чисел.Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше... А тут продовжити ряд, знайти число ряду...

Нічого страшного. Просто прогресії – це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел та виразів. Звикайте.)

Другий ключовий момент.

В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.

У першому прикладі ця різниця – одиниця. Яке число не візьми, воно більше попереднього на один. У другому – трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.

Третій ключовий момент.

Цей момент не впадає у вічі, так... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть своєму місці.Є перше число, є сьоме, є сорок п'яте і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне й арифметична прогресія. Залишиться просто ряд чисел.

Ось і вся суть.

Зрозуміло, у новій темі з'являються нові терміни та позначення. Їх треба знати. Інакше й завдання не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:

Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.

Вселяє?) Літери, індекси якісь... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти зміст термінів та позначень. Зараз ми цю справу опануємо і повернемося до завдання.

Терміни та позначення.

Арифметична прогресія- це ряд чисел, у якому кожне число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.

Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.

Різниця арифметичної прогресії.

Різниця арифметичної прогресії- це величина, на яку будь-яке число прогресії більшепопереднього.

Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше".Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додаткомрізниці арифметичної прогресії до попереднього числа.

Для розрахунку, скажімо, другогочисла ряду, треба до першомучислу додатицю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого- Різниця треба додатидо четвертому,ну і т.п.

Різниця арифметичної прогресіїможе бути позитивною,тоді кожне число ряду вийде реально більше за попередній.Така прогресія називається зростаючою.Наприклад:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тут кожне число виходить додаткомпозитивного числа +5 до попереднього.

Різниця може бути і негативною,тоді кожне число ряду вийде менше за попередній.Така прогресія називається (ви не повірите!) спадаючою.

Наприклад:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тут кожне число виходить теж додаткомдо попереднього, але негативного числа, -5.

До речі, під час роботи з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, чи спадна. Це чудово допомагає зорієнтуватися у вирішенні, засікти свої помилки та виправити їх, поки не пізно.

Різниця арифметичної прогресіїпозначається, як правило, літерою d.

Як знайти d? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відібрати попереднєчисло. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)

Визначимо, наприклад, dдля зростаючої арифметичної прогресії:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число,тобто. 8:

Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.

Брати можна саме будь-яке число прогресії,т.к. для конкретної прогресії d -завжди одне й те саме.Хоч десь на початку ряду, хоч у середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки перше число. Просто тому, що у першого числа немає попереднього.)

До речі, знаючи, що d = 3знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримаємо шосте, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме - двадцять.

Визначимо dдля спадної арифметичної прогресії:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Нагадую, що, незалежно від символів, для визначення dтреба від будь-якого числа відібрати попереднє.Вибираємо будь-яку кількість прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього – число -2. Тоді:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дрібним, ірраціональним, всяким.

Інші терміни та позначення.

Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.

Кожен член прогресії має свій номер.Номери йдуть строго по порядку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, у прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли...) Прошу чітко усвідомити - самі числаможуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які завгодно, але нумерація чисел- суворо по порядку!

Як записати прогресію у загальному вигляді? Не питання! Кожне число ряду записується як букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, літера a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- це перше число, a 3- третє, тощо. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (a n).

Прогресії бувають кінцеві та нескінченні.

Кінцевапрогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, скільки завгодно. Але – кінцеве число.

Нескінченнапрогресія - має безліч членів, як можна здогадатися.)

Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени та крапка в кінці:

a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

Або так, якщо членів багато:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

У короткому записі доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:

(a n), n = 20

Нескінченну прогресію можна дізнатися по трьома крапками в кінці ряду, як у прикладах цього уроку.

Тепер можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто розуміння сенсу арифметичної прогресії.

Приклади завдань з арифметичної прогресії.

Розберемо детально завдання, що наведено вище:

1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.

Перекладаємо завдання зрозумілою мовою. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відоме друге число цієї прогресії: a 2 = 5.Відома різниця прогресії: d = -2,5.Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий та шостий члени цієї прогресії.

Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член – п'ятірка:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Підставляємо у вираз a 2 = 5і d = -2,5. Не забуваймо про мінус!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третій член вийшов меншим за другий. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативнувеличину, отже, саме число вийде менше попереднього. Прогресія – спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Так, члени з третього до шостого вирахували. Вийшов такий ряд:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Залишається знайти перший член a 1за відомим другим. Це крок в інший бік, вліво.) Отже, різниця арифметичної прогресії dтреба не додати до a 2, а відібрати:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ось і всі справи. Відповідь завдання:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Принагідно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентнимспособом. Це страшне слово означає, лише, пошук члена прогресії за попереднім (сусіднім) числом.Інші методи роботи з прогресією ми розглянемо далі.

З цього простого завдання можна зробити один важливий висновок.

Запам'ятовуємо:

Якщо нам відомий хоча б один член та різниця арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.

Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсу на цю тему. Всі завдання крутяться навколо трьох основних параметрів: член арифметичної прогресії, різницю прогресії, номер члена прогресії.Всі.

Зрозуміло, вся попередня алгебра не скасовується.) До прогресії причіплюються і нерівності, і рівняння, та інші речі. Але по самій прогресії- все крутиться довкола трьох параметрів.

Наприклад розглянемо деякі популярні завдання з цієї теми.

2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n=5, d = 0,4 та a 1 = 3,6.

Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважаються члени арифметичної прогресії, порахувати та й записати. Бажано не пропустити слова за умови завдання: "кінцеву" і " n=5". Щоб не рахувати до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Залишається записати відповідь:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ще завдання:

3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 4,1; d = 1,2.

Хм... Хто ж його знає? Як визначити?

Як-не-як... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! Вважаємо:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочилиміж 6,5 та 7,7! Не потрапила сімка до нашого ряду чисел, і, отже, сімка не буде членом заданої прогресії.

Відповідь: ні.

А ось завдання на основі реального варіанту ГІА:

4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15; х; 9; 6; ...

Тут записаний ряд без кінця та початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого страшного. Аби вирішити завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і розуміємо, що можна дізнатисяіз цього ряду? Які параметри із трьох головних?

Номери членів? Немає тут жодного номера.

Зате є три числа і – увага! - Слово "послідовних"за умови. Це означає, що числа йдуть по порядку, без перепусток. А чи є в цьому ряду два сусідніхвідомі числа? Так є! Це 9 і 6. Отже, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднєчисло, тобто. дев'ятку:

Залишилися дрібниці. Яка кількість буде попередньою для ікса? П'ятнадцять. Отже, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:

От і все. Відповідь: х = 12

Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - не так на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимось і розуміємо.

5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 = -3; d = 1,1.

6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 1,6; d = 1,3. Визначте номер n цього члена.

7. Відомо, що у арифметичній прогресії a 2 = 4; a 5 = 15,1. Знайдіть a3.

8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15,6; х; 3,4; ...

Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.

9. Потяг почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів за хвилину. Якою буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте за км/год.

10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 5; a 6 = -5. Знайдіть a 1.

Відповіді (безладно): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію на рівні, у наступних уроках.

Чи не все вийшло? Не біда. У Особливому розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує вирішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!

До речі, у завданні про поїзд є дві проблемки, на яких нерідко спотикається народ. Одна – чисто за прогресією, а друга – загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізики теж. Це переклад розмірності з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.

У цьому вся уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії та її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. Додай dдо числа, пиши ряд, все і вирішиться.

Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як у прикладах цього уроку. Якщо ряд довше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 у питанні замінити "п'ять хвилин"на "тридцять п'ять хвилин",завдання стане значно зліше.)

А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.

І що, будемо багато разів додавати по 1/6?! Це ж убитися можна!

Можна.) Якщо не знати просту формулу, за якою вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде у наступному уроці. І завдання ця там вирішена. За хвилину.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Цілі уроку:

• розширення та поглиблення уявлень учнів про завдання, які вирішуються з використанням арифметичної прогресії; організація пошукової діяльності учнів під час виведення формули суми перших n членів арифметичної прогресії;
• розвиток умінь самостійно набувати нових знань, використовувати для досягнення поставленого завдання вже отримані знання;
• вироблення бажання та потреби узагальнювати отримані факти, розвиток самостійності.

Завдання:

• узагальнити та систематизувати наявні знання на тему “Арифметична прогресія”;
• вивести формули для обчислення суми n перших членів арифметичної прогресії;
• навчити застосовувати отримані формули під час вирішення різних завдань;
• звернути увагу учнів на порядок дій при знаходженні значення числового виразу.

Обладнання:

• картки із завданнями для роботи в групах та парах;
• оцінний лист;
• презентація"Арифметична прогресія".

I. Актуалізація опорних знань.

1. Самостійна робота у парах.

1-й варіант:

Дайте визначення арифметичної прогресії. Запишіть рекурентну формулу, за допомогою якої задається арифметична прогресія. Привіт приклад арифметичної прогресії та вкажіть її різницю.

2-й варіант:

Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії. Знайдіть 100-й член арифметичної прогресії ( a n}: 2, 5, 8 …
У цей час два учні на зворотному боці дошки готують відповіді на ці питання.
Учні оцінюють роботу партнера, звіряючи з дошкою. (Листочки з відповідями здають).

2. Ігровий момент.

Завдання 1.

Вчитель.Я задумала деяку арифметичну прогресію. Поставте мені лише два питання, щоб після відповідей ви швидко змогли б назвати 7-й член цієї прогресії. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Запитання учнів.

1. Чому дорівнює шостий член прогресії і чому дорівнює різниця?
2. Чому дорівнює восьмий член прогресії і чому дорівнює різниця?

Якщо питань більше не піде, то вчитель може стимулювати їх - "заборона" на d (різницю), тобто не дозволяється запитувати чому дорівнює різниця. Можна поставити запитання: чому дорівнює 6-й член прогресії та чому дорівнює 8-й член прогресії?

Завдання 2.

На дошці записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Вчитель стоїть спиною до дошки. Учні називають номер числа, а вчитель миттєво називає саме число. Поясніть, як це мені вдається?

Вчитель пам'ятає формулу n-го члена a n = 3n - 2і, підставляючи значення n, знаходить відповідні значення a n.

ІІ. Постановка навчальної задачі.

Пропоную вирішити старовинне завдання, що відноситься до II тисячоліття до нашої ери, знайдену в єгипетських папірусах.

Завдання:“Нехай тобі сказано: розділи 10 заходів ячменю між 10 людьми, різниця між кожною людиною та її сусідом дорівнює 1/8 міри”.

• Як це завдання пов'язані з темою арифметична прогресія? (Кожен наступний отримує на 1/8 міри більше, значить різницю d=1/8, 10 чоловік, отже n=10.)
• А що, на вашу думку, означає число 10 заходів? (Сума всіх членів прогресії.)
• Що ще необхідно знати, щоб було легко та просто розділити ячмінь згідно з умовою завдання? (Перший член прогресії.)

Завдання уроку- Отримання залежності суми членів прогресії від їх числа, першого члена і різниці, і перевірка того, чи правильно в давнину вирішували поставлене завдання.

Перш ніж зробити висновок формули, подивимося, як вирішували завдання давні єгиптяни.

А вирішували її так:

1) 10 мір: 10 = 1 міра – середня частка;
2) 1 міра ∙ = 2 заходи – подвоєна середнячастка.
Подвоєна середнячастка – це сума часток 5-го та 6-го чоловік.
3) 2 заходи – 1/8 міри = 1 7/8 міри – подвоєна частка п'ятої людини.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - частка п'ятого; і так далі можна знайти частку кожної попередньої та наступної людини.

Отримаємо послідовність:

ІІІ. Розв'язання поставленого завдання.

1. Робота у групах

Перша група:Знайти суму 20 послідовних натуральних чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Загалом

Друга група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 100 (Легенда про маленького Гаусса).

S 100 = (1+100) ∙ 50 = 5050

Висновок:

ІІІ-я група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 21.

Рішення: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Висновок:

IV-я група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 101.

Висновок:

Цей спосіб вирішення розглянутих завдань називається “Метод Гаусса”.

2. Кожна група представляє розв'язання задачі на дошці.

3. Узагальнення запропонованих рішень для довільної арифметичної прогресії:

a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + an-2 + an-1 + an .

Знайдемо цю суму розмірковуючи аналогічно:

4. Вирішили ми поставлене завдання?(Так.)

IV. Первинне осмислення та застосування отриманих формул під час вирішення завдань.

1. Перевірка розв'язання старовинної задачі за формулою.

2. Застосування формули під час вирішення різних задач.

3. Вправи формування вміння застосування формули під час вирішення задач.

А) №613

Дано: ( а n) -арифметична прогресія;

(а n): 1, 2, 3, …, 1500

Знайти: S 1500

Рішення: , а 1 = 1, а 1500 = 1500,

Б) Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Знайти: n
Рішення:

V. Самостійна робота із взаємоперевіркою.

Денис вступив на роботу кур'єром. У перший місяць його зарплата становила 200 рублів, кожен наступний вона підвищувалася на 30 рублів. Скільки всього він заробив за рік?

Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
а 1 = 200, d = 30, n = 12
Знайти: S 12
Рішення:

Відповідь: 4380 рублів отримав Денис протягом року.

VI. Інструктаж за домашнім завданням.

1. п. 4.3 - вивчити висновок формули.
2. №№ 585, 623 .
3. Скласти завдання, яке вирішувалося б з використанням формули суми n перших членів арифметичної прогресії.

VII. Підбиття підсумків уроку.

1. Оціночний лист

2. Продовжи пропозиції

• Сьогодні на уроці я дізнався…
• Вивчені формули …
• Я вважаю що …

3. Чи зможеш знайти суму чисел від 1 до 500? Яким методом вирішуватимеш це завдання?

Список літератури.

1. Алгебра, 9-й клас. Підручник для загальноосвітніх установ. За ред. Г.В. Дорофєєва.М.: "Освіта", 2009.