Пряма призма (чотирикутна правильна). Пряма призма (чотирикутна правильна) Комбінація кулі з круглими тілами

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Сфери, описані у багатогранників.

Визначення. Багатогранник називається вписаним у сферу (а сфера описана біля багатогранника), якщо всі вершини багатогранника належать цій сфері. Слідство. Центр описаної сфери є точка, що рівно віддалена від усіх вершин багатогранника. O O O . . .

Теорема 1. Багато точок рівновіддалених від двох даних точок, є площина, перпендикулярна до відрізка з кінцями в даних точках, що проходить через його середину (площина серединних перпендикулярів до цього відрізка). AB ┴ α AO=OB α A B O

Теорема 2. Безліч точок, рівновіддалених від n заданих точок, що лежать на одному колі, є пряма, перпендикулярна до площини цих точок, що проходить через центр описаного біля них кола. C E A B D O a. . . . . . CE A B D . . . . .

Призма вписана у сферу. OA = OB = ... = OX = R сф. O 1 . O. O сф a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . O. O 1

Наслідки. 1)У прямої трикутної призми можна описати сферу, т.к. біля трикутника завжди можна описати коло. 2) У будь-якої правильної призми можна описати сферу, т.к. правильна призма є прямою і біля правильного багатогранника завжди можна описати коло. O. O. .

Завдання №1. Куля описана біля призми, в основі якої лежить прямокутний трикутник з катетами 6 і 8. Бокове ребро призми дорівнює 24. Знайдіть радіус кулі. Дано: ∆ ABC – прямокутний; AC = 6, BC = 8, AA 1 = 24. Знайти: R ш =? Рішення: 1) OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 = AA 1 = 24. 2) ABC: AB=10. 3) O ш OB: R ш = O ш B=√OO ш 2 + OB 2 = = √144+25=13 Відповідь: 13. О 1 О. . . R ш О ш С 1 B 1 A 1 A С B

Завдання №3. Вимірювання прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 2,3 і 5. Знайдіть радіус описаної кулі. Дано: AB = a = 2; BC=b=3; CC 1 = c = 5. Знайти: R ш =? Рішення: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2 . 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Властивість діагоналей прямокутного паралелепіпеда) 3) A 1 C=√38; R ш = O ш C = √38 /2 Відповідь: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . O ш

Завдання №3. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює a, а бічне ребро дорівнює 2 a . Знайдіть радіус описаної кулі. Дано: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC; AA 1 = 2a. Знайти: R ш =? Рішення: 1) AB = AO √3; AO=a/√3. 2) R ш = √ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Відповідь: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O ш R ш. O O 1

Наслідки. 1)Біля трикутної піраміду завжди можна описати сферу, тому що біля трикутника завжди можна описати коло. 2)При правильної піраміди завжди можна описати сферу. 3) Якщо бічні ребра піраміди рівні (однаково нахилені до основи), то в такій піраміді завжди можна описати сферу. *В останніх двох випадках центр сфери лежить на прямій, що містить висоту піраміди. O. O.

Завдання (сфера, описана у піраміди). Біля піраміди PABC, основа якої – правильний трикутник ABC зі стороною 4√3, описана куля. Бокове ребро PA перпендикулярно площині основи піраміди і дорівнює 6. Знайти радіус кулі. Дано: AB=BC=AC=4 √3; PA ┴(ABC); PA=6. Знайти: R ш =? Рішення: 1) OO СФ ┴(ABC); O – центр описаного біля ∆ABC кола; K O УФ ┴ PA; KP=AK (KO СФ Один із серединних перпендикулярів до бокового ребра PA); O СФ – центр описаної кулі. 2) OO СФ ┴(ABC); OO СФ належить (AKO); PA ┴(ABC); AK належить (AKO); означає KA|| OO СФ; . O СФ. O K. P. A. B .C

Завдання (сфера, описана у піраміди). 3) KO c ф ┴AP; KO c ф належить (AOK); AO ┴AP; AO належить (AOK); означає KO c ф | AO; 4) З (2) і (3) : AOO c ф K-прямокутник, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/√3 =4; 6) ∆ AO O c ф: AO c ф = R ш =5 Відповідь: 5

Завдання (сфера, описана у піраміди). У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилено до основи під кутом 45˚. Висота піраміди дорівнює h. Знайдіть радіус описаної галузі. Дано: PABCD – правильна піраміда; (AP^(ABC))=45 ˚; PO = h. Знайти: R ш =? Рішення: 1) AO = OP = h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP ​​1 – прямокутний; PP 1 – діаметр кулі; PP 1 = 2 R ш; AP 2 = PP 1 * OP; (h √ 2) 2 = 2 R ш *h; R ш = 2h 2 / 2h = h. Відповідь: h. C. B A. .D .P .P 1 . O

Завдання (сфера, описана біля піраміди). Самостійно. Радіус сфери, описаної у правильного тетраедра дорівнює R . Знайдіть площу повної поверхні тетраедра.

Завдання (сфера, описана у піраміди). Самостійно. Дано: DABC - правильний тетраедр; R – радіус сфери. Знайти: S повн. =? Рішення: 1) Так як тетраедр правильний, центр описаної сфери належить прямий, що містить висоту піраміди; 2) S пов. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) Точки D, A, D 1 належать одному колу - перерізу сфери площиною DAD 1, значить кут DAD 1 - вписаний кут, що спирається на діаметр, DD 1; кут DAD 1 = 90?; 4) AO – висота ∆ ADD 1 проведена з вершини прямого кута. AD 2 = DO * DD 1; 5) AO=a/√3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 = 8R 2 /3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

Завдання (сфера, описана у піраміди). Самостійно. 6) S пов. = 8R 2 √ 3/3 Відповідь: 8R 2 √ 3/3

Тема "Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус і куля" є однією з найскладніших в курсі геометрії 11 класу. Перед тим, як вирішувати геометричні завдання, зазвичай вивчають відповідні розділи теорії, на які посилаються під час вирішення завдань. У підручнику С.Атанасяна та ін. на цю тему (стор. 138) можна знайти лише визначення багатогранника, описаного біля сфери, багатогранника, вписаного в сферу, сфери, вписаної в багатогранник, та сфери, описаної біля багатогранника. У методичних рекомендаціях до цього підручника (див. книгу "Вивчення геометрії в 10-11-х класах" С.М.Саакяна і В.Ф.Бутузова, стор.159) сказано, які комбінації тіл розглядаються при вирішенні завдань № 629-646 , і звертається увага, що “при вирішенні тієї чи іншої завдання передусім потрібно домогтися, щоб учні добре представляли взаємне розташування зазначених у умов тіл”. Далі наводиться вирішення завдань №638(а) та №640.

Враховуючи все вище сказане, і те, що найважчими для учнів є завдання на комбінацію кулі з іншими тілами, необхідно систематизувати відповідні теоретичні положення та повідомити їх учнів.

Визначення.

1. Куля називається вписаною в багатогранник, а багатогранник описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується всіх граней багатогранника.

2. Куля називається описаною біля багатогранника, а багатогранник вписаним у кулю, якщо поверхня кулі проходить через усі вершини багатогранника.

3. Куля називається вписаною в циліндр, усічений конус (конус), а циліндр, усічений конус (конус) - описаним біля кулі, якщо поверхня кулі стосується підстав (основи) і всіх утворюють циліндра, усіченого конуса (конуса).

(З цього визначення випливає, що в будь-який осьовий переріз цих тіл може бути вписано коло великого кола кулі).

4. Куля називається описаною біля циліндра, усіченого конуса (конуса), якщо кола основ (коло основи і вершина) належать поверхні кулі.

(З цього визначення випливає, що біля будь-якого осьового перерізу цих тіл може бути описано коло більшого кола кулі).

Загальні зауваження щодо положення центру кулі.

1. Центр кулі, вписаної в багатогранник, лежить у точці перетину бісекторних площин всіх двогранних кутів багатогранника. Він розташований лише всередині багатогранника.

2. Центр кулі, описаної біля багатогранника, лежить у точці перетину площин, перпендикулярних всім ребрам багатогранника і проходять через їх середини. Він може бути розташований усередині, на поверхні та поза багатогранником.

Комбінація кулі із призмою.

1. Куля, вписана в пряму призму.

Теорема 1. Кулю можна вписати в пряму призму в тому і тільки в тому випадку, якщо в основу призми можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить у середині висоти призми, що проходить через центр кола, вписаного в основу.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна вписати у прямі: трикутну, правильну, чотирикутну (у якої суми протилежних сторін основи рівні між собою) за умови Н = 2r, де Н – висота призми, r – радіус кола, вписаного в основу.

2. Куля, описана біля призми.

Теорема 2. Кулю можна описати біля призми в тому і тільки в тому випадку, якщо призма пряма і біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1. Центр кулі, описаної біля прямої призми, лежить на середині висоти призми, проведеної через центр кола, описаного біля основи.

Наслідок 2.Кулю, зокрема, можна описати: біля прямої трикутної призми, біля правильної призми, прямокутного паралелепіпеда, біля прямої чотирикутної призми, у якої сума протилежних кутів основи дорівнює 180 градусів.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі із призмою можна запропонувати завдання № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б).

Комбінація кулі із пірамідою.

1. Куля, описана біля піраміди.

Теорема 3. Біля піраміди можна описати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо біля її основи можна описати коло.

Наслідок 1.Центр кулі, описаної біля піраміди, лежить у точці перетину прямої, перпендикулярної основи піраміди, що проходить через центр кола, описаної біля цієї основи, і площині, перпендикулярній будь-якому бічному ребру, проведеної через середину цього ребра.

Наслідок 2.Якщо бічні ребра піраміди рівні між собою (або одно нахилені до площини основи), то біля такої піраміди можна описати кулю. бічного ребра та висоти.

Наслідок 3.Кулю, зокрема, можна описати: біля трикутної піраміди, біля правильної піраміди, біля чотирикутної піраміди, у якої сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів.

2. Куля, вписана в піраміду.

Теорема 4. Якщо бічні грані піраміди однаково нахилені до основи, то таку піраміду можна вписати кулю.

Наслідок 1.Центр кулі, вписаної в піраміду, у якої бічні грані однаково нахилені до основи, лежить у точці перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута будь-якого двогранного кута на підставі піраміди, стороною якого служить висота бічної грані, проведена з вершини піраміди.

Наслідок 2.У правильну піраміду можна вписати шар.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі з пірамідою можна запропонувати завдання № 635, 637(б), 638, 639(в),640, 641.

Комбінація кулі з усіченою пірамідою.

1. Куля, описана при правильній зрізаної піраміди.

Теорема 5. Біля будь-якої правильної зрізаної піраміди можна описати кулю. (Ця умова є достатньою, але не є необхідною)

2. Куля, вписана в правильну усічену піраміду.

Теорема 6. У правильну зрізану піраміду можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо апофема піраміди дорівнює сумі апофем основ.

На комбінацію кулі з усіченою пірамідою в підручнику Л.С.Атанасяна є лише одне завдання (№ 636).

Комбінація кулі з круглими тілами.

Теорема 7. Біля циліндра, зрізаного конуса (прямих кругових), конуса можна описати кулю.

Теорема 8. У циліндр (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо рівномірний циліндр.

Теорема 9. У будь-який конус (прямий круговий) можна вписати кулю.

Теорема 10. У зрізаний конус (прямий круговий) можна вписати кулю в тому і тільки в тому випадку, якщо його утворює дорівнює сумі радіусів основ.

З підручника Л.С.Атанасяна на комбінацію кулі із круглими тілами можна запропонувати завдання № 642, 643, 644, 645, 646.

Для успішного вивчення матеріалу цієї теми необхідно включати у хід уроків усні завдання:

1. Ребро куба дорівнює а. Знайти радіуси куль: вписаного в куб і описаного біля нього. (r = a/2, R = a3).

2. Чи можна описати сферу (кулю) близько: а) куба; б) прямокутного паралелепіпеда; в) похилого паралелепіпеда, в основі якого лежить прямокутник; г) прямого паралелепіпеда; д) похилого паралелепіпеда? (а) так; б) так; в) ні; г) ні; д) ні)

3. Чи справедливе твердження, що біля будь-якої трикутної піраміди можна описати сферу? (Так)

4. Чи можна описати сферу біля будь-якої чотирикутної піраміди? (Ні, не біля кожної чотирикутної піраміди)

5. Які властивості має піраміда, щоб біля неї можна було описати сферу? (У її основі має лежати багатокутник, біля якого можна описати коло)

6. У сферу вписана піраміда, бічне ребро якої перпендикулярно до основи. Як знайти центр сфери? (Центр сфери – точка перетину двох геометричних місць точок в просторі. Перше – перпендикуляр, проведений до площини основи піраміди, через центр кола, описаного біля нього. Друге – площина перпендикулярна даному бічному ребру і проведена через його середину)

7. За яких умов можна описати сферу біля призми, на основі якої – трапеція? (По-перше, призма має бути прямою, і, по-друге, трапеція має бути рівнобедреною, щоб біля неї можна було описати коло)

8. Яким умовам має задовольняти призма, щоб у неї можна було описати сферу? (Призма має бути прямою, і її основою повинен бути багатокутник, біля якого можна описати коло)

9. Біля трикутної призми описана сфера, центр якої лежить поза призмою. Який трикутник є основою призми? (Тупокутний трикутник)

10. Чи можна описати сферу біля похилої призми? (Ні, не можна)

11. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, буде на одній із бічних граней призми? (В основі лежить прямокутний трикутник)

12. Основа піраміди – рівнобедрена трапеція. Ортогональна проекція вершини піраміди на площину основи – точка, розташована поза трапецією. Чи можна при такій трапеції описати сферу? (Так, можна. Те, що ортогональна проекція вершини піраміди розташована поза її основою, не має значення. Важливо, що в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція – багатокутник, біля якого можна описати коло)

13. При правильної піраміди описана сфера. Як розташований її центр щодо елементів піраміди? (Центр сфери знаходиться на перпендикулярі, проведеному до площини основи через його центр)

14. За якої умови центр сфери, описаної біля прямої трикутної призми, лежить: а) усередині призми; б) поза призмою? (В основі призми: а) гострокутний трикутник; б) тупокутний трикутник)

15. Біля прямокутного паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1 дм, 2 дм та 2 дм, описана сфера. Обчисліть радіус сфери. (1,5 дм)

16. У який зрізаний конус можна вписати сферу? (У усічений конус, в осьовий переріз якого можна вписати коло. Осьовим перетином конуса є рівнобедрена трапеція, сума її підстав повинна дорівнювати сумі її бічних сторін. Інакше кажучи, у конуса сума радіусів підстав повинна дорівнювати твірної)

17. У усічений конус вписано сферу. Під яким кутом утворююча конуса видно з центру сфери? (90 градусів)

18. Яка властивість повинна мати пряму призму, щоб у неї можна було вписати сферу? (По-перше, в основі прямої призми повинен лежати багатокутник, в який можна вписати коло, і, по-друге, висота призми повинна дорівнювати діаметру вписаного в основу кола)

19. Наведіть приклад піраміди, куди не можна вписати сферу? (Наприклад, чотирикутна піраміда, в основі якої лежить прямокутник або паралелограм)

20. В основі прямої призми лежить ромб. Чи можна до цієї призму вписати сферу? (Ні, не можна, тому що біля ромба в загальному випадку не можна описати коло)

21. За якої умови у пряму трикутну призму можна вписати сферу? (Якщо висота призми вдвічі більша за радіус кола, вписаного в основу)

22. За якої умови у правильну чотирикутну усічену піраміду можна вписати сферу? (Якщо перетином даної піраміди площиною, що проходить через середину сторони основи перпендикулярно до неї, є рівнобедрена трапеція, в яку можна вписати коло)

23. У трикутну усічену піраміду вписано сферу. Яка точка піраміди є осередком сфери? (Центр вписаної в цю піраміду сфери знаходиться на перетині трьох біссектральних площин кутів, утворених бічними гранями піраміди з основою)

24. Чи можна описати сферу біля циліндра прямого кругового? (Так можна)

25. Чи можна описати сферу біля конуса, усіченого конуса (прямих кругових)? (Так, можна, в обох випадках)

26. У будь-який циліндр можна вписати сферу? Якими властивостями повинен мати циліндр, щоб у нього можна було вписати сферу? (Ні, не у всякий: осьовий переріз циліндра має бути квадратом)

27. Чи можна в будь-який конус вписати сферу? Як визначити положення центру сфери, вписаної у конус? (Так, у всякий. Центр вписаної сфери знаходиться на перетині висоти конуса і бісектриси кута нахилу, що утворює до площини основи)

Автор вважає, що з трьох уроків, які відводяться за плануванням на тему “Різні завдання на багатогранники, циліндр, конус та кулю”, два уроки доцільно відвести на вирішення задач на комбінацію кулі з іншими тілами. Теореми, наведені вище, через недостатню кількість часу під час уроків доводити не рекомендується. Можна запропонувати учням, які володіють достатніми для цього навичками, довести їх, вказавши (за смиренням вчителя) перебіг чи план доказу.

2. Сторона заснування

Завдання

1. Знайдіть площу поверхні прямої призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями, рівними 3 і 4, і бічним ребром, рівним 5.

Відповідь: 62.

2. В основі прямої призми лежить ромб з діагоналями, рівними 6 і 8. Площа її поверхні дорівнює 248. Знайдіть бічне ребро цієї призми.

Відповідь: 10.

3. Знайдіть бічне ребро правильної чотирикутної призми, якщо сторони її основи дорівнюють 3, а площа поверхні дорівнює 66.

Відповідь: 4.

4. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи та висота якого дорівнюють 2. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Відповідь: 32.

5. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи якого дорівнює 2. Площа бічної поверхні призми дорівнює 48. Знайдіть висоту циліндра.

Пряма призма (правильна шестикутна)

Призма, у якої бічні ребра перпендикулярні основам, а основи – рівні квадрати.

1. Бічні грані – рівні прямокутники

2. Сторона заснування

Завдання

1. Знайдіть об'єм правильної шестикутної призми, сторони основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра дорівнюють .

Відповідь: 4,5.

2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторони основи якої дорівнюють 3, а висота дорівнює 6.

Відповідь: 108.

3. Знайдіть об'єм правильної шестикутної призми, усі ребра якої дорівнюють √3.

Відповідь: 13.5

4. Знайдіть об'єм багатогранника, вершинами якого є точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильної шестикутної призми ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площа основи якої дорівнює 6, а бічне ребро дорівнює 2.

Пряма призма (довільна n-вугільна)

Призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до основ, а основи – рівні n-кутники.

1. Якщо основою є правильний багатокутник, то бічні грані – рівні прямокутники.

2. Сторона заснування .

Піраміда

Піраміда - багатогранник, складений з n-кутника A1A2 ... AnA1 і n трикутників (A1A2P, A1A3P і т.д.).

1. Перетин, паралельний основі піраміди, являє собою багатокутник, подібний до основи. Площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней до вершини піраміди.

2. Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а вершина проектується до центру основи.

3. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні, а бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

4. Висота бічної грані правильної піраміди називається апофемою.

5. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему.

Завдання

1. У скільки разів збільшиться об'єм правильного тетраедра, якщо його ребра збільшити вдвічі?

Відповідь: 8.

2. Сторони основи правильної шестикутної піраміди дорівнюють 10, бічні ребра дорівнюють 13. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Відповідь: 360.

5. Знайдіть об'єм піраміди, зображеної на малюнку. Її основою є багатокутник, сусідні сторони якого перпендикулярні, а одне з бічних ребер перпендикулярно площині основи і 3.

Відповідь: 27.

6. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 1, а висота дорівнює .

Відповідь: 0,25.

7. Бічні ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні, кожне з них дорівнює 3. Знайдіть об'єм піраміди.

Відповідь: 4,5.

8. Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8. Бокове ребро дорівнює 5. Знайдіть об'єм піраміди.

Відповідь: 32.

9. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12, об'єм дорівнює 200. Знайдіть бічне ребро піраміди.

Відповідь: 13.

10. Сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 6, бічні ребра дорівнюють 5. Знайдіть площу поверхні піраміди.

Відповідь: 84.

11. Об'єм правильної шестикутної піраміди 6. Сторона основи дорівнює 1. Знайдіть бічне ребро.

12. У скільки разів збільшиться площа поверхні правильного тетраедра, якщо його ребра збільшити вдвічі?

Відповідь: 4.

13. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12. Знайдіть об'єм піраміди, що відсікається від неї площиною, що проходить через діагональ основи та середину протилежного бічного ребра.

Відповідь: 3.

14. У скільки разів зменшиться обсяг октаедра, якщо всі його ребра зменшити вдвічі?

Відповідь: 8.

15. Об'єм трикутної піраміди дорівнює 15. Площина проходить через бік основи цієї піраміди і перетинає протилежне бічне ребро в точці, що ділить його щодо 1: 2, рахуючи від вершини піраміди. Знайдіть більший об'єм пірамід, на які площина розбиває вихідну піраміду.

Відповідь: 10.

16. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 2, а об'єм дорівнює .

Відповідь: 3.

17. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6, бічне ребро дорівнює 10. Знайдіть її об'єм.

Відповідь: 256.

18. Від трикутної піраміди, обсяг якої дорівнює 12, відсічена трикутна піраміда площиною, що проходить через вершину піраміди та середню лінію основи. Знайдіть об'єм відсіченої трикутної піраміди.

Відповідь: 3.

Циліндр

Циліндр - тіло, обмежене циліндричною поверхнею та двома колами з межами.

Об'єм тіла	Площа бічної поверхні	Площа основи	Площа повної поверхні

1. Утворювальні циліндри - відрізки утворюючих, укладені між основами.

2. Висота циліндра – довжина утворює.

3. Осьовий переріз – прямокутник, дві сторони якого утворюють, а дві інші – діаметри основ циліндра.

4. Круговий переріз – перетин, січна площина якого перпендикулярна до осі циліндра.

5. Розгортка бічної поверхні циліндра - прямокутник, що являє собою два краї розрізу бічної поверхні циліндра утворює.

6. Площа бічної поверхні циліндра – площа її розгортки.

7. Площа повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні та двох підстав.

8. Біля циліндра завжди можна описати кулю. Його центр лежить на середині висоти. , де R - радіус кулі, r - радіус основи циліндра, H - висота циліндра.

9. У циліндр можна вписати кулю, якщо діаметр основи циліндра дорівнює його висоті, .

Завдання

1. У циліндричний посуд, у якому знаходиться 6 літрів води, опущена деталь. При цьому рівень рідини у посудині піднявся в 1,5 рази. Чому дорівнює обсяг деталі?

Відповідь: 3.

2. Знайдіть об'єм циліндра, площа основи якого дорівнює 1, а твірна дорівнює 6 і нахилена до площини основи під кутом 30о.

Відповідь: 3.

3. Циліндр та конус мають загальні підстави та висоту. Знайдіть об'єм циліндра, якщо об'єм конуса дорівнює 50.

Відповідь: 150.

4. Воду, що знаходиться в циліндричній посудині на рівні 12 см, перелили в циліндричний посуд, вдвічі більшого діаметра. На якій висоті буде рівень води у другій посудині?

5. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

Відповідь: 2.

6. Правильна чотирикутна призма описана біля циліндра, радіус основи та висота якого дорівнюють 2. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

Відповідь: 32.

7. Довжина кола основи циліндра дорівнює 3. Площа бічної поверхні дорівнює 6. Знайдіть висоту циліндра.

8. Один циліндричний кружок удвічі вищий за другий, зате другий у півтора рази ширший. Знайдіть відношення об'єму другого гуртка до об'єму першого.

Відповідь: 1,125.

9. У циліндричній посудині рівень рідини досягає 18 см. На якій висоті перебуватиме рівень рідини, якщо її перелити в другу посудину, діаметр якої в 3 рази більша за першу?

Відповідь: 2.

Конус

Конус - тіло, обмежене конічною поверхнею та кругом.

Об'єм тіла	Площа бічної поверхні	Площа основи	Площа повної поверхні

1. Площа бічної поверхні конуса – площа її розгортки.

2. Зв'язок між кутом розгортки та кутом при вершині осьового перерізу .

1. Циліндр та конус мають загальні підстави та висоту. Знайдіть об'єм циліндра, якщо об'єм конуса дорівнює 50.

Відповідь: 150.

2. Знайдіть обсяг конуса, площа основи якого дорівнює 2, а твірна дорівнює 6 і нахилена до площини основи під кутом 30о.

Відповідь: 2.

3. Об'єм конуса дорівнює 12. Паралельно підставі конуса проведено переріз, що ділить висоту навпіл. Знайдіть об'єм відсіченого конуса.

Відповідь: 1,5.

4. У скільки разів обсяг конуса, описаного біля правильної чотирикутної піраміди, більший за обсяг конуса, вписаного в цю піраміду?

Відповідь: 2.

5. Висота конуса дорівнює 6, що утворює дорівнює 10. Знайдіть його об'єм, поділений на .

Відповідь: 128.

6. Циліндр і конус мають загальну основу та висоту. Знайдіть об'єм конуса, якщо об'єм циліндра дорівнює 48.

Відповідь: 16.

7. Діаметр основи конуса дорівнює 6, а кут при вершині осьового перерізу дорівнює 90 °. Обчисліть обсяг конуса, поділений на .

8. Конус описаний біля правильної чотирикутної піраміди зі стороною основи 4 і висотою 6. Знайдіть його об'єм, поділений на .

9. Конус виходить при обертанні рівнобедреного прямокутного трикутника навколо катета, що дорівнює 6. Знайдіть його об'єм, поділений на .

Сфера та куля

Сфера – поверхня, що складається з усіх точок простору, що розташовані на даній відстані від цієї точки. Куля – тіло, обмежене сферою.

1. Перетин сфери площиною є коло, якщо відстань від центру сфери до площини менша за радіус сфери.

2. Перетин кулі площиною є коло.

3. Дотична площина до сфери – площина, що має зі сферою лише одну загальну точку.

4. Радіус сфери, проведений у точку торкання сфери та площини, перпендикулярний до дотичної площини.

5. Якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, що проходить через його кінець, що лежить на сфері, ця площина є дотичною до сфери.

6. Багатогранник називається описаним біля сфери, якщо сфера стосується всіх його граней.

7. Відрізки дотичних до сфери, проведені з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямої, що проходить через цю точку та центр сфери.

8. Сфера вписана в циліндричну поверхню, якщо вона стосується всіх її утворюючих.

9. Сфера вписана в конічну поверхню, якщо стосується всіх її утворюючих.

Завдання

1. Радіуси двох куль рівні 6 і 8. Знайдіть радіус кулі, площа поверхні якої дорівнює сумі площ їх поверхонь.

Відповідь: 10.

2. Площа великого кола кулі дорівнює 1. Знайдіть площу поверхні кулі.

3. У скільки разів збільшиться площа поверхні кулі, якщо її радіус збільшити вдвічі?

4. Радіуси трьох куль дорівнюють 3, 4 і 5. Знайдіть радіус кулі, об'єм якої дорівнює сумі їх об'ємів.

Відповідь: 6.

5. Прямокутний паралелепіпед описаний біля сфери радіуса 2. Знайдіть площу його поверхні.

Відповідь: 96.

6. Куб вписаний у кулю радіуса. Знайдіть площу поверхні куба.

Відповідь: 24.

7. Прямокутний паралелепіпед описаний біля сфери радіуса 2. Знайдіть його об'єм.

8. Об'єм прямокутного паралелепіпеда, описаного біля сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.

Відповідь: 3.

9. Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда, описаного біля сфери, дорівнює 96. Знайдіть радіус сфери.

Відповідь: 2.

10. Біля кулі описано циліндр, площа бічної поверхні якого дорівнює 9. Знайдіть площу поверхні кулі.

Відповідь: 9.

11. У скільки разів площа поверхні кулі, описаної біля куба, більша за площу поверхні кулі, вписаної в цей же куб?

Відповідь: 3.

12. Куб вписаний у кулю радіуса. Знайдіть об'єм куба.

Відповідь: 8.

Складові багатогранники

Завдання

1. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть відстань між вершинами A і C2.

Відповідь: 3.

2. Знайдіть кут CAD2 багатогранника, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі. Відповідь дайте у градусах.

Відповідь: 60.

3. Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).

Відповідь: 18.

4. Знайдіть площу поверхні багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).

Відповідь: 132

5. Знайдіть площу поверхні просторового хреста, зображеного на малюнку та складеного з одиничних кубів.

Відповідь: 30

6. Знайдіть об'єм багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).

Відповідь:8

7. Знайдіть обсяг багатогранника, зображеного на малюнку (усі двогранні кути прямі).

Відповідь: 78

8. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть тангенс кута ABB3.

Відповідь: 2

10. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть тангенс кута C3D3B3.

Відповідь: 3

11. Через середню лінію основи трикутної призми проведено площину, паралельну бічному ребру. Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо площа бічної поверхні відсіченої трикутної призми дорівнює 37.

Відповідь: 74.

12. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть квадрат відстані між вершинами B2 та D3 .

Відповідь: 11.

Правильна чотирикутна призма, об'єм якої 65 дм 3 описана біля кулі. Обчисліть відношення площі повної поверхні призми та об'єму кулі
Призма називається правильною, якщо її основами є правильні багатокутники, а бічні ребра перпендикулярні до основи. Правильним чотирикутником є ​​квадрат. Точка перетину діагоналей квадрата є його центром, а також центром вписаного в нього кола. Доведемо цей факт. хоча цей доказ навряд чи будуть запитувати і його можна опустити
Як приватний вид паралеограма, прямокутника і ромба квадрат має їх властивості: діагоналі рівні і діляться точкою перетину навпіл, і є бісектрисами кутів квадрата. Через точку Е проведемо пряму ТК паралельно АВ. АВ перпендикулярна ВС, значить і ТК теж перпендикулярна ВС (якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до будь-якої третини прямої, то і друга паралельна пряма перпендикулярна цій (третій) прямій). Так само проведемо пряму МР. Прямокутні трикутники до ВЕТ і АЕК рівні по гіпотенузі та гострому куту (ВЕ = АЕ - половини діагоналей, ∠ ЕВТ = ∠ ЕАК - половини прямого кута), значить, ЕТ = ЕК. Так само доведемо, що ЕМ=ЕР. З рівності трикутників СЕР і СЕТ (та сама ознака) побачимо, що ЕТ=ЕР, тобто. ЕТ=ЕР=ЕК=ЕМ або просто сказати, що точка М рівновіддалена від сторін квадрата, а це і є необхідна умова для того, щоб визнати її центром, вписаною в цей квадрат кола.
Розглянемо прямокутник АВТК (цей чотирикутник є прямокутником, тому всі кути в ньому прямі за побудовою). У прямокутнику протилежні сторони рівні - АВ = КТ (потрібно відзначити, що КТ - діаметр основи) - це означає, що сторона основи дорівнює діаметру вписаного кола.
Проведемо площини через паралельні (дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, паралельні) АА 1 , СС 1 і ВВ 1 і DD 1 відповідно (паралельні прямі визначають площину притому тільки одну). Площини АА 1 З 1 З ВВ 1 D 1 D перпендикулярні підставі ABCD, т.к. проходять через прямі (бічні ребра) перпендикулярні до нього.
З точки Н (перетину діагоналей) у площині АА 1 С 1 С перпендикуляр до основи ABCD. Потім зробимо те саме в площині ВР 1 D 1 D. З теореми: якщо з точки, що належить одній з двох перпендикулярних площин, провести перпендикуляр до іншої площини, то це перпендикуляр повністю лежить в першій площині, - отримуємо, що цей перпендикуляр повинен лежати і в площині АА 1 З 1 З і в площині ВР 1 D 1 D. Це можливо лише в тому випадку, якщо цей перпендикуляр збігається з лінією перетину цих площин - НЕ. Тобто. відрізок НЕ є прямою, на якій лежить центр вписаного кола (бо не рівновіддалена від площин бічних граней, а це в свою чергу випливає з рівновіддаленості точок Е і Н від вершин відповідних підстав (за доведеним: точка перетину діагоналей рівновіддалена від сторін квадрата). ), а з того, що НЕ перпендикулярна основам можна зробити висновок, що НЕ - діаметр кулі. куля, значить її висота дорівнює діаметру кола, вписаного в основу. а, а висоту призми за h, то користуючись цією теоремою, укладаємо а=h і тоді обсяг призми знайдеться так:

Далі використовуючи те, що висота дорівнює діаметру вписаної кулі та стороні підстави призми, знайдемо радіус кулі, а потім його об'єм:

Потрібно сказати, що бічні ребра рівні висоті (відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами рівні), а якщо висота дорівнює стороні основи, то всі ребра призми рівні між собою, а всі грані по суті є квадратами з площею а 2 . По суті така фігура називається кубом - окремим випадком паралелепіпеда. Залишилося знайти повну поверхню куба та співвіднести її з об'ємом кулі:

Біля піраміди можна описати кулю тоді і лише тоді, коли біля її основи можна описати коло.

Щоб побудувати центр Про цю кулю, потрібно:

1. Знайти центр О, кола, описаного біля основи.

2. Через точку Про провести пряму, перпендикулярну площині основи.

3. Через середину будь-якого бічного ребра піраміди провести площину, перпендикулярну до цього ребра.

4. Знайти точку Про перетину побудованих прямої та площини.

Частковий випадок: бічні ребра піраміди рівні. Тоді:

кулю описати можна;

центр Про кулі лежить на висоті піраміди;

Де – радіус описаної кулі; - бічне ребро; Н – висота піраміди.

5.2. Куля та призма

Біля призми можна описати кулю тоді і лише тоді, коли призма пряма і біля її основи можна описати коло.

Центром кулі служить середина відрізка, що з'єднує центри описаних біля основ кіл.

де - радіус описаної кулі; - радіус описаної біля основи кола; Н – висота призми.

5.3. Куля та циліндр

Біля циліндра шар можна описати завжди. Центром кулі служить центр симетрії осьового перерізу циліндра.

5.4. Куля та конус

Біля конуса шар можна описати завжди. Центром кулі; служить центр кола, описаного біля осьового перерізу конуса.