Складові елементи циліндра. Визначення та властивості циліндра. Актуалізація опорних знань

Назва науки «геометрія» перекладається як "вимірювання землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок хліборобів, а нові кордони могли збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися в казну фараона пропорційно величині земельного наділу. Виміром площ ріллі в нових межах після розливу займалися спеціальні люди. Саме в результаті їх діяльності і виникла нова наука, яка розвинулася в Стародавній Греції. Там вона і назву отримала, і придбала практично сучасний вигляд. Надалі термін став інтернаціональним назвою науки про плоских і об'ємних фігурах.

Планиметрия - розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, яка розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких постатей належить і описувана в цій статті - циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми в повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше - конічну) форму мають майже всі деталі обертання - вали, втулки, шийки, осі і т.д. Циліндр широко використовується і в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. А крім того посуд, деякі види упаковки, труби всіляких діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які стали надовго символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола і є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, отримали назву «утворюють».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, що-небудь інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. Відрізки ж, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної кількості утворюють - не що інше, як бокова поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова - розглянуті вище кола. Називаються вони підставами.

види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - кругової. Його утворюють два правильних кола, які виступають в ролі підстав. Але замість них можуть бути і інші фігури.

Підстави циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати не обов'язково замкнуту форму. Наприклад підставою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим або розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до підстав циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині підстави. Якщо даний кут відрізняється від 90 °, циліндр - похилий.

Що таке поверхню обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву - найпоширеніша поверхню обертання, яка використовується в техніці. Іноді з технічних показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх обертових валів, осей і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того щоб краще усвідомити, що таке поверхню обертання, можна розглянути, як же утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, Розташована вертикально. ABCD - прямокутник, одна зі сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як це показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H \u003d AB \u003d DC і радіусом R \u003d AD \u003d BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури - прямокутника - виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - куля і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні звичайного прямого кругового циліндра, необхідно підрахувати площі підстав і бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Цей твір довжини окружності на висоту циліндра. Довжина кола, в свою чергу, дорівнює подвоєному добутку універсального числа П на радіус кола.

Площа круга, як відомо, дорівнює добутку П на квадрат радіуса. Отже, склавши формули для площі визначення бічній поверхні з подвоєним виразом площі підстави (їх адже два) і провівши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточний вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Обсяг циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні підстави множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі на квадрат радіусу підстави.

Отримана формула, треба сказати, може бути застосована для вирішення найнесподіваніших завдань. Точно так же, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це буває необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра варто поділена надвоє діаметр жили проводки і в вираженні з'являється число жив в проводі N. Також замість висоти використовується довжина проводу. Таким чином розраховується обсяг «циліндра» не одного, а по числу дротів в оболонці.

Такі розрахунки часто потрібні на практиці. Адже значна частина ємностей для води виготовлена \u200b\u200bу формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто буває потрібно навіть в домашньому господарстві.

Однак, як уже говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм циліндра похилого.

Відмінність в тому, що площа поверхні підстави множать на довжину утворює, як у випадку з прямим циліндром, а на відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований між ними.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює на синус кута нахилу твірної до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, за якими будується заготовка для виготовлення циліндра з заданими заввишки і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведено без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярної утворюючим. А ось площину, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна утворюючим і не паралельна першої площині.

На малюнку представлений скошений циліндр. площина а під певним кутом, відмінним від 90 ° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма частіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліна). Але бувають навіть будівлі, побудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил одній з площин скошеного циліндра злегка змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її обсягу.

Тема уроку: Циліндр, його елементи.

Мета уроку:

Закріплення в учнів знань про тіло обертання - циліндрі (елементи циліндра, формули площі бічної і повної поверхні циліндра).

Мета учня:вміти вирішувати типові завдання на циліндр в завданнях ЕНТ.

Завдання уроку:

1. сформувати навички вирішення типових задач;

2. розвивати просторові уявлення на прикладі круглих тіл;

3. Продовжити формування логічних і графічних умінь.

Тип урокуКомбінований.

Методи навчання:словесний, практична діяльність, робота з книгою, проблемний.

устаткування: дошка, таблиця №3, набір моделей.

Хід уроку

1. Організаційний момент:

1. цілепокладання

2. психологічний настрой.

2. Актуалізація опорних знань.

1) Робота за картками.

Учням пропонується заповнити лист із завданнями.

Можливий варіант роботи із застосуванням копировки (в такому випадку один примірник здається вчителю, а другий учень перевіряє в ході подальшої роботи на уроці).

Картка.

1. Нанесіть на малюнок основні елементи циліндра.

2

.Ізобразіте а) осьовий переріз циліндра; б) перетин циліндра площиною, що проходить перпендикулярно осі циліндра; в) перетин циліндра площиною, що проходить паралельно осі циліндра. Яка фігура виходить в кожному випадку?

3. Запишіть формули для обчислення площі поверхні циліндра.

Що можна знайти за цими формулами? Що повинно бути відомо в цих випадках?

Учні здають листи із завданням.

3. Усна робота за моделями. (З метою узагальнення знань та перевірки виконаної роботи)

1) Яка фігура називається циліндром?

циліндр - це геометричне тіло, що складається з двох рівних кіл, розташованих в паралельних площинах і безлічі відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл.

2) Чому циліндр називають тілом обертання?

Циліндр можна отримати обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін.

3) Назвіть види циліндрів?

Похилі циліндри, прямі циліндри, циліндричні поверхні.

4) Назвіть елементи циліндра.

підстави циліндра - рівні кола, розташовані в паралельних площинах.

Висота циліндра - це відстань між площинами його основ.

радіус циліндра - це радіус його заснування.

ось циліндра - це пряма, що проходить через центри підстави циліндра (вісь циліндра є віссю обертання циліндра).

утворює циліндра - це відрізок з'єднує точку кола верхнього підстави з відповідною точкою кола нижньої основи. Все що утворюють паралельні осі обертання і мають однакову довжину, рівну висоті циліндра.

Утворює циліндра при обертанні навколо осі утворює бічну (циліндричну) поверхню циліндра .

5) Що являє собою розгортка циліндра?

6) Як знайти площу бічної поверхні циліндра?

S б = H · C = 2 π RH

7) Як знайти площу повної поверхні циліндра?

S п = S б + 2 S = 2 π R (R + H ).

8) Назвіть основні види перетинів циліндра. Яка фігура виходить в кожному випадку?

Осьовий переріз циліндра - перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра (осьовий переріз циліндра є площиною симетрії циліндра). Всі осьові перетину циліндра - рівні прямокутники.

Перетин площиною, паралельної осі циліндра. У перетині - прямокутники.

перетин площиною перпендикулярній осі циліндра. У перетині кола, рівні основи.

9) Наведіть приклади використання циліндрів.

Циліндрична гастрономія. Циліндрична архітектура. Циліндри фараона (виступ учня 1-2 хв).

4. Закріплення матеріалу. Розв'язання задач.

У ченікі бачать список завдань для класної роботи. За бажанням учні мають можливість вирішувати з випередженням на оцінку.

№ 2 . Осьовий переріз циліндра - квадрат, діагональ якого дорівнює 20 см. Знайдіть: а) висоту циліндра; б) So циліндра.

№3 Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 10 м 2, а площа підстави - 5 м 2. Знайдіть висоту циліндра.

№4 Кінці відрізка АВ лежать на різних підставах циліндра. Радіус циліндра дорівнює r, Його висота - h, Відстань між прямою АВ і віссю циліндра одно d. Знайдіть: a) Висоту, якщо r = 10, d \u003d 8, AB \u003d 13.

№5* Через творчу АА 1 циліндра проведено дві січні площині, одна з яких проходить через вісь циліндра. Знайдіть відношення площ перерізів циліндра цими площинами, якщо кут між ними дорівнює j.

Площина g, паралельна осі циліндра, відтинає від кола основи дугу A mD з градусної мірою a. Радіус циліндра дорівнює a, Висота дорівнює h, Відстань між віссю циліндра ГО 1 і площиною g одно d.

Чого ви навчилися?

Яке у вас настрій в кінці уроку?

Чи можете ви пояснити рішення даних завдань однокласника, який пропустив урок сьогодні?

циліндром (Точніше круговим циліндром) називається тіло, яке складається з двох кіл, що лежать в паралельних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. кола називаються підставами циліндра, А відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл, - утворюють.

Циліндр має такі властивості, наступними з того факту, що підстави циліндра поєднуються паралельним перенесенням:

1. Підстави циліндра рівні.

2. Утворюють циліндра паралельні і рівні.

циліндр називається прямим якщо його твірні перпендикулярні площинах підстав. Надалі будемо розглядати в основному прямі циліндри, тому, якщо не зазначено інше, під циліндром будемо розуміти прямий циліндр.

радіусомциліндра називається радіус його заснування. висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Для прямого циліндра висота дорівнює утворюючим. віссю циліндра назевается пряма, що проходить через центри основ.

Циліндр є тілом обертання, так як можна отримати обертанням прямокутника навколо своєї осі.

завдання

18.1Висота циліндра 6, радіус підстави 5. Кінці відрізка, рівного 10, лежать на колах обох підстав. Знайти найкоротшу відстань від цього відрізка до осі циліндра.

18.2В рівнобічному циліндрі (діаметр дорівнює висоті циліндра) точка окружності верхньої основи з'єднана з точкою кола нижньої основи. Кут між радіусами, проведеними в ці точки, дорівнює 60 о. Знайти кут між проведеним відрізком і віссю циліндра.

конус

визначення конуса

конусом (Точніше круговим конусом) називається тіло, яке складається з круга - підстави конуса, Точки, що не лежить в площині підстави, - вершини конуса і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи. Відрізки, що з'єднують вершини конуса з точками кола основи, називаються утворюють конуса.

вистій конуса називається перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину підстави. Якщо основа висоти збігається з центром кола основи, конус називається прямим. Далі під конусом будемо зазвичай розуміти прямий конус.

віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту. Такий конус можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів.

Усічений конус

Площина, паралельна основі конуса, відсікає від нього подібний конус. Частина, що залишилася називається усіченим конусом.

завдання

19.1Две утворюють конуса, що спираються на кінці діаметра підстави, укладають між собою кут 60 о. Радіус конуса дорівнює 3. Знайти утворить конуса і його висоту.

19.2Через середину висоти конуса проведена пряма, паралельна утворює. Знайти довжину відрізка прямої, яка є всередині конуса.

19.3Образующая конуса дорівнює 13, висота 12. Конус пересічений прямий, паралельної підставі; відстань від неї до підстави дорівнює 6, а до висоти - 2. Знайти відрізок прямої, укладений всередині конуса.

19.4Радіуси підстав усіченого конуса дорівнюють 3 і 6, висота - 4. Знайти утворить.

визначення кулі

кулею називається тіло, яке складається з усіх точок простору, які знаходяться на відстані, що не більше даного від деякої точки, званої центром кулі. Дане відстань називається радіусом кулі.

Кордон кулі називається кульової поверхнею або сферою. Таким чином, точками сфери є всі точки кулі, віддалені від центру кулі на відстань, рівну радіусу.

Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром кулі.

Куля, так само як циліндр і конус, є тілом обертання. Він виходить при обертанні півкола навколо її діаметра.

завдання

20.1На поверхні кулі дано три точки. Прямолінійні відстані між ними 6, 8 і 10. Радіус кулі 13. Знайти відстань від центру кулі до площини, що проходить через ці три точки.

20.2 Діаметр кулі 25. На його поверхні дані точка і коло, всі крапки якої вилучені (по прямій) від на 15. Знайти радіус цієї окружності.

20.3Радіус кулі дорівнює 7. На його поверхні дано дві окружності, що мають загальну хорду довжиною 2. Знайти радіуси кіл, знаючи, що їх площині перпендикулярні.

У мережі почнемо нову тему, а коли приїду проведемо залік і контрольну роботу по темі "Рух і вектора".

• Ми починаємо знайомство з новим класом геометричних тіл - тіла обертання. Перший представник цього класу, з яким ми знайомимося - це циліндр.
• Чому циліндр називають тілом обертання?

Ц іліндр, виходить в результаті обертання прямокутника навколо однієї з його сторін.

• Циліндр складається з двох кіл і безлічі відрізків.
• циліндр - це геометричне тіло, що складається з двох рівних кіл, розташованих в паралельних площинах і безлічі відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл.
• Визначення елементів циліндра:

підстави циліндра - рівні кола, розташовані в паралельних площинах

Висота циліндра - це відстань між площинами його основ.

ось циліндра - це пряма, що проходить через центри підстави циліндра (вісь циліндра є віссю обертання циліндра).

Осьовий переріз циліндра- перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра (осьовий переріз циліндра є площиною симетрії циліндра). Всі осьові перетину циліндра - рівні прямокутники

утворює циліндра- це відрізок з'єднує точку кола верхнього підстави з відповідною точкою кола нижньої основи. Все що утворюють паралельні осі обертання і мають однакову довжину, рівну висоті циліндра.

Утворює циліндра при обертанні навколо осі утворюєбічну (циліндричну) поверхню циліндра.

радіус циліндра- це радіус його заснування.

прямий циліндр- це циліндр, що утворюють якого перпендикулярні основі.

рівновеликий циліндр - циліндр, у якого висота дорівнює діаметру (показати рівновеликий циліндр: кнопкою із позначкою руки перевести модель назад в інтерактивний режим і змінити значення висоти і радіусу у запропонованій моделі так, щоб).

• Висновок формули площі бічної поверхні.

  Розгорткою бічній поверхні циліндра є прямокутник зі сторонамиH і C, де H - висота циліндра, аC - довжина кола основи. Отримаємо формули для обчислення площ бічноїS б і повної S п поверхонь: S б \u003d H · C \u003d 2π RH, S п \u003d S б + 2 S \u003d 2π R(R + H).

закріплення

Завдання № 1. Обчислити площу бічної і повної поверхні циліндра, у якого радіус дорівнює 3 см, а висота 5 см (число пі і відповідь округлити до цілих).

2. Висота циліндра дорівнюєh, Радіус підставиR. Знайти площу перерізу площиною, проведеної паралельно осі циліндра на, відстаніa від неї.

Домашнє завдання: 522, 524, 526.

• Р.S / кому цікаво попрбуйте пройти по посиланню і подивитися електронний ресурс про циліндр для початку на сторінці встановіть у себе на ПК модуль ОМS і закачайте модуль. На вискочила таблиці клікніть відтворити. А далі по порядку перегляньте всі сторінки.
• ДЯКУЮ ВСІМ.