Що більше соті або тисячні. Читання десяткових дробів. Запис десяткових дробів

У цій статті ми розглянемо тему « порівняння десяткових дробів». Спочатку обговоримо загальний принцип порівняння десяткових дробів. Після цього розберемося, які десяткові дроби є рівними, а які - нерівними. Далі навчимося визначати, яка десяткова дріб більше, а яка менше. Для цього вивчимо правила порівняння кінцевих, нескінченних періодичних і нескінченних неперіодичних дробів. Всю теорію забезпечимо прикладами з докладними рішеннями. На закінчення зупинимося на порівнянні десяткових дробів з натуральними числами, звичайними дробами і змішаними числами.

Відразу скажемо, що тут ми будемо говорити лише про порівняння позитивних десяткових дробів (дивіться позитивні і негативні числа). Інші випадки розібрані в статтях порівняння раціональних чисел і порівняння дійсних чисел.

Навігація по сторінці.

Загальний принцип порівняння десяткових дробів

Виходячи з цього принципу порівняння, виводяться правила порівняння десяткових дробів, що дозволяють обійтися без перекладу порівнюваних десяткових дробів в звичайні дроби. Ці правила, а також приклади їх застосування, ми розберемо в наступних пунктах.

За схожим принципом порівнюються кінцеві десяткові дроби або нескінченні періодичні десяткові дроби з натуральними числами, звичайними дробами і змішаними числами: порівнювані числа замінюються відповідними їм звичайними дробами, після чого порівнюються звичайні дроби.

Що стосується порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів, То воно зазвичай зводиться до порівняння кінцевих десяткових дробів. Для цього розглядається така кількість знаків порівнюваних нескінченних неперіодичних десяткових дробів, яке дозволяє отримати результат порівняння.

Рівні і нерівні десяткові дроби

спочатку введемо визначення рівних і нерівних кінцевих десяткових дробів.

Визначення.

Дві кінцеві десяткові дроби називаються рівними, Якщо рівні відповідні їм звичайні дроби, в іншому випадку ці десяткові дроби називаються нерівними.

На підставі цього визначення легко обґрунтувати таке твердження: якщо в кінці даної десяткового дробу приписати або відкинути кілька цифр 0, то вийде рівна їй десяткова дріб. Наприклад, 0,3 \u003d 0,30 \u003d 0,300 \u003d ..., а 140,000 \u003d 140,00 \u003d 140,0 \u003d 140.

Дійсно, дописування або відкидання в кінці десяткового дробу нуля справа відповідає множенню або поділу на 10 чисельника і знаменника відповідної звичайного дробу. А ми знаємо основну властивість дробу, де говориться, що множення або ділення чисельника і знаменника дробу на один і той же натуральне число дає дріб, що дорівнює вихідній. Цим доведено, що дописування чи відкидання нулів праворуч в дробової частини десяткового дробу дає дріб, що дорівнює вихідній.

Наприклад, десяткового дробу 0,5 відповідає звичайна дріб 5/10, після дописування нуля справа виходить десяткова дріб 0,50, якій відповідає звичайна дріб 50/100, а. Таким чином, 0,5 \u003d 0,50. Назад, якщо в десяткового дробу 0,50 відкинути справа 0, то ми отримаємо дріб 0,5, так від звичайного дробу 50/100 ми прийдемо до дробу 5/10, але . Отже, 0,50 \u003d 0,5.

переходимо до визначенню рівних і нерівних нескінченних періодичних десяткових дробів.

Визначення.

Дві нескінченні періодичні дроби рівні, Якщо рівні відповідають їм звичайні дроби; якщо ж відповідні їм звичайні дроби не рівні, то порівнювані періодичні дроби теж не рівні.

З даного визначення випливають три висновки:

• Якщо записи періодичних десяткових дробів повністю збігаються, то такі нескінченні періодичні десяткові дроби рівні. Наприклад, періодичні десяткові дроби 0,34 (2987) і 0,34 (2987) рівні.
• Якщо періоди порівнюваних десяткових періодичних дробів починаються з однакової позиції, перша дріб має період 0, друга - період 9, і значення розряду, що передує періоду 0 на одиницю більше, ніж значення розряду, що передує періоду 9, то такі нескінченні періодичні десяткові дроби рівні. Наприклад, періодичні дроби 8,3 (0) і 8,2 (9) рівні, є рівними дробу 141, (0) і 140, (9).
• Дві будь-які інші періодичні дроби не є рівними. Наведемо приклади нерівних нескінченних періодичних десяткових дробів: 9,0 (4) і 7, (21), 0, (12) і 0, (121), 10, (0) і 9,8 (9).

Залишилося розібратися з рівними і нерівними нескінченними непериодическими десятковими дробами. Як відомо, такі десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (такі десяткові дроби представляють ірраціональні числа), тому порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів можна звести до порівняння звичайних дробів.

Визначення.

Дві нескінченні неперіодичні десяткові дроби рівні, Якщо їх записи повністю збігаються.

Але є один нюанс: неможливо побачити «закінчену» запис нескінченних неперіодичних десяткових дробів, отже, неможливо переконатися і в повному збігу їх записів. Як же бути?

При порівнянні нескінченних неперіодичних десяткових дробів розглядають лише кінцеве число знаків порівнюваних дробів, яке дозволяє зробити необхідні висновки. Таким чином, порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів зводиться до порівняння кінцевих десяткових дробів.

При такому підході можна говорити про рівність нескінченних неперіодичних десяткових дробів лише з точністю до розглянутого розряду. Наведемо приклади. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби 5,45839 ... і 5,45839 ... рівні з точністю до стотисячних, так як рівні кінцеві десяткові дроби 5,45839 і 5,45839; неперіодичні десяткові дроби 19,54 ... і +19,54810375 ... рівні з точністю до сотих, так як рівні дроби 19,54 і 19,54.

Нерівність нескінченних неперіодичних десяткових дробів при такому підході встановлюється з упевненістю. Наприклад, нескінченні неперіодичні десяткові дроби 5,6789 ... і 5,67732 ... нерівні, так як очевидні відмінності в їх записах (не рівні кінцеві десяткові дроби 5,6789 і 5,6773). Нескінченні десяткові дроби 6,49354 ... і 7,53789 ... теж не рівні.

Правила порівняння десяткових дробів, приклади, рішення

Після встановлення факту нерівності двох десяткових дробів, часто потрібно дізнатися, яка з цих дробів більше, а яка - менше іншого. Зараз ми розберемо правила порівняння десяткових дробів, що дозволяють відповісти на поставлене запитання.

У багатьох випадках буває досить порівняти цілі частини порівнюваних десяткових дробів. справедливо наступне правило порівняння десяткових дробів: Більше та десяткова дріб, ціла частина якої більше, і менше та десяткова дріб, ціла частина якої менше.

Це правило відноситься як до кінцевих десятковим дробям, так і до нескінченних. Розглянемо рішення прикладів.

Приклад.

Порівняйте десяткові дроби 9,43 і 7,983023 ....

Рішення.

Очевидно, дані десяткові дроби не рівні. Ціла частина кінцевої десяткового дробу 9,43 дорівнює 9, а ціла частина нескінченної неперіодичної дробу 7,983023 ... дорівнює 7. Так як 9\u003e 7 (дивіться порівняння натуральних чисел), то 9,43\u003e 7,983023.

відповідь:

9,43>7,983023 .

Приклад.

Яка з десяткових дробів 49,43 (14) і 1 045,45029 ... менше?

Рішення.

Ціла частина періодичної дробу 49,43 (14) менше, ніж ціла частина нескінченної неперіодичної десяткового дробу 1 045,45029 ..., отже, 49,43 (14)<1 045,45029… .

відповідь:

49,43(14) .

Якщо цілі частини порівнюваних десяткових дробів рівні, то для з'ясування, яка з них більше, а яка - менше, доводиться порівнювати дробові частини. Порівняння дрібних частин десяткових дробів проводиться поразрядно - від розряду десятих до більш молодшим.

Для початку розглянемо приклад порівняння двох кінцевих десяткових дробів.

Приклад.

Виконайте порівняння кінцевих десяткових дробів 0,87 і 0,8521.

Рішення.

Цілі частини даних десяткових дробів рівні (0 \u003d 0), тому переходимо до порівняння дрібних частин. Значення розряду десятих рівні (8 \u003d 8), а значення розряду сотих дробу 0,87 більше, ніж значення розряду сотих дробу 0,8521 (7\u003e 5). Отже, 0,87\u003e 0,8521.

відповідь:

0,87>0,8521 .

Іноді, щоб виконати порівняння кінцевих десяткових дробів з різною кількістю десяткових знаків, до дробу з меншою кількістю десяткових знаків доводиться дописувати кілька нулів праворуч. Досить зручно зрівнювати кількість десяткових знаків до початку порівняння кінцевих десяткових дробів, дописавши до однієї з них деяку кількість нулів праворуч.

Приклад.

Порівняйте кінцеві десяткові дроби 18,00405 і 18,0040532.

Рішення.

Очевидно, дані дроби нерівні, так як їх записи відрізняються, але при цьому вони мають рівні цілі частини (18 \u003d 18).

Перед порозрядним порівнянням дрібних частин даних дробів зрівняємо кількість десяткових знаків. Для цього пріпішем дві цифри 0 в кінці дробу 18,00405, при цьому отримаємо рівну їй десяткову дріб 18,0040500.

Значення десяткових розрядів дробів 18,0040500 і 18,0040532 рівні аж до стотисячних, а значення розряду мільйонних дробу 18,0040500 менше значення відповідного розряду дробу 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

відповідь:

18,00405<18,0040532 .

При порівнянні кінцевої десяткового дробу з нескінченної, кінцева дріб замінюється рівною їй нескінченного періодичного дробом з періодом 0, після чого проводиться порівняння за розрядами.

Приклад.

Порівняйте кінцеву десяткову дріб 5,27 з нескінченної неперіодичної десятковим дробом 5,270013 ....

Рішення.

Цілі частини даних десяткових дробів рівні. Значення розрядів десятих і сотих даних дробів рівні, і щоб виконати подальше порівняння, кінцеву десяткову дріб замінюємо рівної їй нескінченного періодичного дробом з періодом 0 виду 5,270000 .... До п'ятого знака після коми значення розрядів десяткових дробів 5,270000 ... і 5,270013 ... рівні, а на п'ятому знаку маємо 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

відповідь:

5,27<5,270013… .

Порівняння нескінченних десяткових дробів також проводиться поразрядно, І закінчується після того, як тільки значення якогось розряду виявляються різними.

Приклад.

Порівняйте нескінченні десяткові дроби 6,23 (18) і 6,25181815 ....

Рішення.

Цілі частини даних дробів рівні, є рівними значення розряду десятих. А значення розряду сотих періодичної дробу 6,23 (18) менше розряду сотих нескінченної неперіодичної десяткового дробу 6,25181815 ..., отже, 6,23 (18)<6,25181815… .

відповідь:

6,23(18)<6,25181815… .

Приклад.

Яка з нескінченних періодичних десяткових дробів 3, (73) і 3, (737) більше?

Рішення.

Зрозуміло, що 3, (73) \u003d 3,73737373 ... і 3, (737) \u003d 3,737737737 .... На четвертому знаку після коми поразрядное порівняння закінчується, так як там маємо 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

відповідь:

3,(737) .

Порівняння десяткових дробів з натуральними числами, звичайними дробами і змішаними числами.

Отримати результат порівняння десяткового дробу з натуральним числом дозволяє порівняння цілої частини даної дробу з даними натуральним числом. При цьому періодичні дроби з періодами 0 або 9 потрібно попередньо замінити рівними їм кінцевими десятковими дробами.

справедливо наступне правило порівняння десяткового дробу і натурального числа: Якщо ціла частина десяткового дробу менше даного натурального числа, то і вся дріб менше цього натурального числа; якщо ціла частина дробу більше або дорівнює даним натуральному числу, то дріб більше даного натурального числа.

Розглянемо приклади застосування цього правила порівняння.

Приклад.

Порівняйте натуральне число 7 з десятковим дробом 8,8329 ....

Рішення.

Оскільки дане натуральне число менше, ніж ціла частина даної десяткового дробу, то це число менше даної десяткового дробу.

відповідь:

7<8,8329… .

Приклад.

Порівняйте натуральне число 7 і десяткову дріб 7,1.

3.4 Правильний порядок
У попередньому розділі ми порівнювали числа по їх положенню на числовій прямій. Це хороший спосіб порівнювати величини чисел в десяткового запису. Цей спосіб працює завжди, але це занадто багато роботи і незручно робити щоразу, коли потрібно порівняти два числа. Існує інший хороший спосіб з'ясувати, яке з двох чисел більше.

Приклад A.

Розглянемо числа з попереднього розділу і порівняємо 0,05 і 0,2.

Щоб з'ясувати, яке число більше, порівняємо спочатку їх цілі частини. Обидва числа в нашому прикладі мають рівну кількість цілих - 0. Порівняємо тоді їх десяті частини. Число 0,05 має 0 десятих, а число 0,2 має 2 десятих. Те, що число 0,05 має 5 сотих, ні має значення, оскільки десяті частки визначають, що число 0,2 більше. Ми можемо, таким чином, записати:

Обидва числа мають 0 цілих і 6 десятих, і ми поки не можемо визначити, яке з них більше. Однак, число 0,612 має всього 1 соту частину, а число 0,62 - дві. Тоді, ми можемо визначити, що

0,62 > 0,612

Те, що число 0,612 має 2 тисячних, не грає ролі, воно все одно менше, ніж 0,62.

Ми можемо це проілюструвати на зображенні:

		0,612
		0,62

Для того, щоб визначити, яке з двох чисел в десяткового запису більше, потрібно зробити наступне:

1. Порівняти цілі частини. Те число, у якого ціла частина більше і буде більше.

2 . Якщо цілі частини рівні, порівняти десяті частини. Те число, у якого десятих частин більше, і буде більше.

3 . Якщо десяті частини рівні, порівняти соті частини. Те число, у якого сотих частин більше, і буде більше.

4 . Якщо соті частини рівні, порівняти тисячні частини. Те число, у якого тисячних частин більше, і буде більше.

Десяткова дріб в обов'язковому порядку містить кому. Та числова частина дробу, яка розташовується лівіше коми, називається цілої; правіше - дробової:

5,28 5 - ціла частина 28 - дрібна частина

Дрібна частина десяткового дробу складається з десяткових знаків (Десяткових розрядів):

• десяті - 0,1 (одна десята);
• соті - 0,01 (одна сота);
• тисячні - 0,001 (одна тисячна);
• десятитисячні - 0,0001 (одна десятитисячна);
• стотисячні - 0,00001 (одна стотисячна);
• мільйонні - 0,000001 (одна мільйонна частина);
• десятимільйонна - 0,0000001 (одна десятимільйонна);
• стомільйонні - 0,00000001 (одна стомільйонна);
• мільярдні - 0,000000001 (одна мільярдна) і т. д.

• прочитати число, яке складає цілу частину дробу і додати слово " цілих";
• прочитати число, яке складає дробову частину дробу і додати назву молодшого розряду.

наприклад:

• 0,25 - нуль цілих двадцять п'ять сотих;
• 9,1 - дев'ять цілих одна десята;
• 18,013 - вісімнадцять цілих тринадцять тисячних;
• 100,2834 - сто аж дві тисячі вісімсот тридцять чотири десятитисячних.

Запис десяткових дробів

Щоб записати десяткову дріб, необхідно:

• записати цілу частину дробу і поставити кому (число, що означає цілу частину дробу завжди закінчується словом " цілих");
• записати дробову частину дробу таким чином, щоб остання цифра потрапила в потрібний розряд (при відсутності значущих цифр в певних десяткових розрядах вони замінюються нулями).

наприклад:

• двадцять цілих дев'ять десятих - 20,9 - в цьому прикладі все просто;
• п'ять цілих одна сота - 5,01 - слово "сота" означає, що після коми повинні стояти дві цифри, але, оскільки в числі 1 немає розряду десятих, він замінюється нулем;
• нуль цілих вісімсот вісім тисячних - 0,808;
• три цілих п'ятнадцять десятих - таку десяткову дріб записати неможливо, тому, що у вимові дробової частини допущена помилка - число 15 містить два розряду, а слово "десятих" має на увазі тільки один. Правильно буде три цілих п'ятнадцять сотих (або тисячних, десятитисячних і т. Д.).

Порівняння десяткових дробів

Порівняння десяткових дробів проводиться аналогічно порівнянні натуральних чисел.

1. спочатку порівнюються цілі частини дробів - більше буде та десяткова дріб у якій більше її ціла частина;
2. якщо цілі частини дробів рівні, порівнюють поразрядно дробові частини, зліва направо, починаючи від коми: десяті, соті, тисячні і т.д. Порівняння ведуть до першого розбіжності - більше буде та десяткова дріб у якій буде більше нерівна цифра у відповідному розряді дробової частини. Наприклад: 1,2 8 3 > 1,27 9, т. К. В сотих розрядах у першого дробу коштує 8, а у другій 7.

Десяткова дріб відрізняється від звичайного дробу тим, що знаменник у неї - це розрядна одиниця.

наприклад:

Десяткові дроби виділені з звичайних дробів в окремий вид, що призвело до власними правилами порівняння, додавання, віднімання, множення і ділення цих дробів. В принципі, з десятковими дробами можна працювати і за правилами звичайних дробів. Власні правила перетворення десяткових дробів спрощують обчислення, а правила перетворення звичайних дробів на десяткові, і навпаки, служать зв'язкою між цими видами дробу.

Запис і читання десяткових дробів дозволяє їх записувати, порівнювати і робити дії над ними за правилами, дуже схожим на правила дій з натуральними числами.

Вперше система десяткових дробів і дій над ними була викладена в XV в. самаркандським математиком і астрономом Джемшид ібн-Масудаль-Каші в книзі «Ключ до мистецтва рахунки».

Ціла частина десяткового дробу відокремлена від дробової частини коми, в деяких країнах (США) ставлять крапку. Якщо в десяткового дробу немає цілої частини, то перед коми ставлять число 0.

До дробової частини десяткового дробу праворуч можна дописувати будь-яку кількість нулів, це величину дробу не змінює. Дрібна частина десяткового дробу читається за останнім значущому розряду.

наприклад:
0,3 - три десятих
0,75 - сімдесят п'ять сотих
0,000005 - п'ять мільйонних.

Читання цілої частини десяткового дробу таке ж, як і натуральних чисел.

наприклад:
27,5 - двадцять сім ...;
1,57 - одна ...

Після цілої частини десяткового дробу вимовляється слово «цілих».

наприклад:
10.7 - десять цілих сім десятих

0,67 - нуль цілих шістдесят сім сотих.

Десяткові знаки - це цифри дробової частини. Дрібна частина читається не за розрядами (на відміну від натуральних чисел), а цілком, тому дрібна частина десяткового дробу визначається останнім справа значущим розрядом. Розрядний дробової частини десяткового дробу дещо інша, ніж у натуральних чисел.

• 1-й розряд після зайнятої - розряд десятих
• 2-й розряд після коми - розряд сотих
• 3-й розряд після коми - розряд тисячних
• 4-й розряд після коми - розряд десятитисячних
• 5-й розряд після коми - розряд стотисячних
• 6-й розряд після коми - розряд мільйонних
• 7-й розряд після коми - розряд десятимільйонних
• 8-й розряд після коми - розряд стомільйонний

В обчисленнях найчастіше використовуються перші три розряди. Велика розрядність дробової частини десяткових дробів використовується тільки в специфічних галузях знань, де обчислюються нескінченно малі величини.

Переклад десяткового дробу в змішану дріб складається н наступному: число, що стоїть до коми записати цілою частиною змішаної дробу; число, що стоїть після коми - чисельником її дробової частини, а в знаменнику дробової частини записати одиницю зі стількома нулями, скільки цифр варто після коми.