X парна та непарна функція. Парні та непарні функції. Періодичні функції. Дослідження функції на екстремум

Парність і непарність функції одна із основних її властивостей, і парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного графіка.

Визначимо парність функції. Власне кажучи, досліджувану функцію вважають парною, якщо протилежних значень незалежної змінної (x), що у її області визначення, відповідні значення y (функції) виявляться рівними.

Дамо більш суворе визначення. Розглянемо деяку функцію f(x), яка задана в області D. Вона буде парною, якщо для будь-якої точки x, що знаходиться в області визначення:

• -x (протилежна точка) також лежить у цій галузі визначення,

• f(-x) = f(x).

З наведеного визначення випливає умова, необхідна області визначення подібної функції, а саме, симетричність щодо точки Про, що є початком координат, оскільки якщо деяка точка b міститься в області визначення парної функції, то відповідна точка - b теж лежить в цій області. З вищесказаного, таким чином, випливає висновок: парна функція має симетричний до осі ординат (Oy) вигляд.

Як на практиці визначити парність функції?

Нехай задається з допомогою формули h(x)=11^x+11^(-x). Наслідуючи алгоритм, що випливає безпосередньо з визначення, досліджуємо насамперед її область визначення. Очевидно, що вона визначена для всіх значень аргументу, тобто перша умова виконана.

Наступним кроком підставимо замість аргументу (x) протилежне значення (-x).
Отримуємо:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Оскільки додавання задовольняє комутативному (переміщувальному) закону, очевидно, h(-x) = h(x) і задана функціональна залежність - парна.

Перевіримо парність функції h(x)=11^x-11^(-x). Наслідуючи той самий алгоритм, отримуємо, що h(-x) = 11^(-x) -11^x. Винісши мінус, у підсумку, маємо
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Отже, h(x) – непарна.

До речі, слід нагадати, що є функції, які неможливо класифікувати за цими ознаками, їх називають ні парними, ні непарними.

Парні функції мають низку цікавих властивостей:

• в результаті складання подібних функцій одержують парну;
• в результаті віднімання таких функцій отримують парну;
• парна, також парна;
• в результаті множення двох таких функцій одержують парну;
• в результаті множення непарної та парної функцій отримують непарну;
• в результаті поділу непарної та парної функцій отримують непарну;
• похідна такої функції – непарна;
• якщо звести непарну функцію квадрат, отримаємо парну.

Чітність функції можна використовувати під час вирішення рівнянь.

Щоб вирішити рівняння типу g(x) = 0, де ліва частина рівняння є парною функцією, буде цілком достатньо знайти її рішення для невід'ємних значень змінної. Отримані коріння рівняння необхідно поєднати з протилежними числами. Один із них підлягає перевірці.

Це успішно застосовують для вирішення нестандартних завдань з параметром.

Наприклад, чи є значення параметра a, при якому рівняння 2x^6-x^4-ax^2=1 матиме три корені?

Якщо врахувати, що змінна входить у рівняння парних ступенях, то зрозуміло, що заміна х на - х задане рівняння не змінить. Звідси випливає, що якщо деяке число є його коренем, то ним є і протилежне число. Висновок очевидний: коріння рівняння, відмінне від нуля, входить у безліч його рішень «парами».

Зрозуміло, що саме число 0 не є, тобто число коренів подібного рівняння може бути парним і, природно, ні за якого значення параметра воно не може мати трьох коренів.

І це число коренів рівняння 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може бути непарним, причому будь-якого значення параметра. Справді, легко перевірити, що багато коренів даного рівняння містить рішення «парами». Перевіримо, чи є 0 коренем. При підстановці його рівняння, отримуємо 2=2 . Таким чином, окрім «парних» 0 також є коренем, що й доводить їх непарну кількість.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• сформувати поняття парності та непарності функції, вивчати вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, побудові графіків;
• розвивати творчу активність учнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
• виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .

Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.

Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності.

Інформаційні джерела:

1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебединцева Є.А

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Постановка цілей та завдань уроку.

2. Перевірка домашнього завдання

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функція зростає при х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.

(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.

2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.

Заповніть таблицю
	Область визначення	Нулі функції	Проміжки знакостійності		Координати точок перетину графіка з Оу
		х = -5, х = 2	x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ∞ -5, х ≠ 2		x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ≠ -5, х ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Актуалізація знань

– Дано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких із даних функцій у галузі визначення виконуються рівність f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд

4. Новий матеріал

- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одну властивість функції, незнайому вам, але не менш важливу, ніж інші - це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та непарні функції», наше завдання – навчитися визначати парність та непарність функції, з'ясувати значущість цієї властивості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд

Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.

Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f(х). Наведіть приклади.

Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n– непарному та функція парна при n- парному.
– Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд

У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при - х.

Опр 3.Якщо числова множина разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то множина Хназивають симетричним безліччю.

Приклади:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.

– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
– Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Таким чином, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же дослідити функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.

Слайд

Алгоритм дослідження функції на парність

1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму.

2. Скласти вираз для f(–х).

3. Порівняти f(–х).і f(х):

• якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
• якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
• якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.

Приклади:

Дослідити на парність функцію а) у= х 5 +; б) у=; в) у= .

Рішення.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.

2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),

3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.

б) у =,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Варіант 2

1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =

Взаємоперевірка з слайд.

6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;

Доказ геометричного змісту якості парності.

***(Завдання варіанта ЄДІ).

1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.

7. Підбиття підсумків

Визначення 1. Функція називається парної (непарною ), якщо разом з кожним значенням змінної
значення – хтакож належить
і виконується рівність

Таким чином, функція може бути парною або непарною тільки тоді, коли її область визначення симетрична щодо початку координат на числовій прямій (числа хі – ходночасно належать
). Наприклад, функція
не є парною і непарною, оскільки її область визначення
не симетрична щодо початку координат.

Функція
парна, оскільки
симетрична щодо початку координат і.

Функція
непарна, оскільки
і
.

Функція
не є парною і непарною, тому що хоча
та симетрична щодо початку координат, рівності (11.1) не виконуються. Наприклад.

Графік парної функції симетричний щодо осі Оу, так як якщо точка

теж належить графіку. Графік непарної функції симетричний щодо початку координат, оскільки якщо
належить графіку, то й точка
теж належить графіку.

За доказом парності чи непарності функції бувають корисні такі твердження.

Теорема 1. а) Сума двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна).

б) Добуток двох парних (непарних) функцій є функція парна.

в) Добуток парної та непарної функцій є функція непарна.

г) Якщо f– парна функція на множині Х, а функція g визначено на безлічі
, то функція
– парна.

д) Якщо f- непарна функція на безлічі Х, а функція g визначено на безлічі
і парна (непарна), то функція
– парна (непарна).

Доведення. Доведемо, наприклад, б) та г).

б) Нехай
і
– парні функції. Тоді тому. Аналогічно розглядається випадок непарних функцій
і
.

г) Нехай f – парна функція. Тоді.

Інші твердження теореми доводяться аналогічно. Теорему доведено.

Теорема 2. Будь-яку функцію
, задану на безлічі Х, симетричному щодо початку координат, можна подати у вигляді суми парної та непарної функцій.

Доведення. функцію
можна записати у вигляді

.

Функція
– парна, оскільки
, а функція
- Непарна, оскільки. Таким чином,
, де
– парна, а
- Непарна функції. Теорему доведено.

Визначення 2. Функція
називається періодичної якщо існує число
, таке, що за будь-якого
числа
і
також належать області визначення
та виконуються рівності

Таке число Tназивається періодом функції
.

З визначення 1 випливає, що якщо Т– період функції
, те й число - Ттеж є періодом функції
(оскільки при заміні Тна – Трівність зберігається). За допомогою методу математичної індукції можна показати, що якщо Т– період функції f, то й
, також є періодом. Звідси випливає, що й функція має період, вона має нескінченно багато періодів.

Визначення 3. Найменший із позитивних періодів функції називається її основним періодом.

Теорема 3. Якщо Т- Основний період функції f, то інші періоди кратні йому.

Доведення. Припустимо неприємне, тобто що існує період функції f (>0), не кратний Т. Тоді, розділивши на Тіз залишком, отримаємо
, де
. Тому

тобто – період функції f, причому
, а це суперечить тому, що Т- Основний період функції f. З отриманого протиріччя випливає твердження теореми. Теорему доведено.

Добре відомо, що тригонометричні функції є періодичними. Основний період
і
дорівнює
,
і
. Знайдемо період функції
. Нехай
- Період цієї функції. Тоді

(так як
.

абоилиили
.

Значення T, що визначається з першої рівності, не може бути періодом, оскільки залежить від х, тобто. є функцією від х, а чи не постійним числом. Період визначається з другої рівності:
. Періодів нескінченно багато, при
найменший позитивний період виходить за
:
. Це – основний період функції
.

Прикладом складнішої періодичної функції є функція Діріхле

Зауважимо, що якщо T- Раціональне число, то
і
є раціональними числами при раціональному хта ірраціональними при ірраціональному х. Тому

за будь-якого раціонального числа T. Отже, будь-яке раціональне число Tє періодом функції Діріхле. Ясно, що основного періоду цієї функції немає, оскільки є позитивні раціональні числа, скільки завгодно близькі до нуля (наприклад, раціональне число можна зробити вибором nяк завгодно близьким до нуля).

Теорема 4. Якщо функція f задана на безлічі Хі має період Т, а функція g задана на безлічі
, то складна функція
теж має період Т.

Доведення. Маємо, тому

тобто твердження теореми підтверджено.

Наприклад, оскільки cos x має період
, то й функції
мають період
.

Визначення 4. Функції, що не є періодичними, називаються неперіодичними .

Дослідження функції.

1) D(y) – Область визначення: безліч усіх тих значень змінної х. при яких вирази алгебри f(x) і g(x) мають сенс.

Якщо функція задана формулою, область визначення складається з усіх значень незалежної змінної, при яких формула має сенс.

2) Властивості функції: парність/непарність, періодичність:

Непарнимиі парниминазиваються функції, графіки яких мають симетрію щодо зміни знака аргументу.

Непарна функція- функція, що змінює значення на протилежне зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо центру координат).

Парна функція- функція, яка не змінює свого значення при зміні знака незалежної змінної (симетрична щодо осі ординат).

Ні парна ні непарна функція (функція загального вигляду)- функція, що не має симетрії. До цієї категорії відносять функції, що не підпадають під попередні 2 категорії.

Функції, що не належать жодній із категорій вище, називаються ні парними ні непарними(або функціями загального вигляду).

Непарні функції

Непарний ступінь де - довільне ціле число.

Чітні функції

парний ступінь де - довільне ціле число.

Періодична функція― функція, що повторює свої значення через деякий регулярний інтервал аргументу, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргументу деякого фіксованого ненульового числа ( періодуфункції) по всій області визначення.

3) Нулі (коріння) функції - точки, де вона перетворюється на нуль.

Знаходження точки перетину графіка з віссю Ой. Для цього потрібно обчислити значення f(0). Знайти також точки перетину графіка з віссю Ox, для чого знайти коріння рівняння f(x) = 0 (або переконатися у відсутності коріння).

Точки, в яких графік перетинає вісь, називають нулями функції. Щоб знайти нулі функції потрібно вирішити рівняння, тобто знайти ті значення «ікс», у яких функція перетворюється на нуль.

4) Проміжки сталості знаків, знаки у яких.

Проміжки, де функція f(x) зберігає знак.

Інтервал знаковості - це інтервал, у кожній точці якогофункція позитивна чи негативна.

Вище осі абсцис.

НИЖЧЕ ОСІ.

5) Безперервність (точки розриву, характер розриву, асимптоти).

Безперервна функція- функція без «стрибків», тобто така, у якої малі зміни аргументу призводять до малих змін значення функції.

Усунуті точки розриву

Якщо межа функції існує, Але функція не визначена в цій точці, або межа не збігається зі значенням функції цієї точки:

,

то точка називається точкою усуненого розривуфункції (у комплексному аналізі -усувна особлива точка).

Якщо «поправити» функцію в точці розриву, що усувається, і покласти , то вийде функція, безперервна у цій точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до безперервноїабо довизначенням функції безперервності, що і доводить назву точки, як точки усувногорозриву.

Точки розриву першого та другого роду

Якщо функція має розрив у цій точці (тобто межа функції у цій точці відсутня чи збігається зі значенням функції у цій точці), то числових функцій виникає два можливі варіанти, що з існуванням у числових функцій односторонніх меж:

якщо обидва односторонні межі існують і кінцеві, то таку точку називають точкою розриву першого роду. Крапки усуненого розриву є точками розриву першого роду;

якщо хоча б одна з односторонніх меж не існує або не є кінцевою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду.

Асимптота - пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від точки кривої до цієї прямийпрагне до нуля при видаленні точки вздовж гілки внескінченність.

Вертикальна

Вертикальна асимптота - пряма межа .

Як правило, при визначенні вертикальної асимптоти шукають не одну межу, а дві односторонні (ліву та праву). Це робиться з метою визначити, як функція поводиться в міру наближення до вертикальної асимптоти з різних боків. Наприклад:

Горизонтальна

Горизонтальна асимптота прямавиду за умови існування межі

.

Похила

Похила асимптота - прямавиду за умови існування меж

Зауваження: функція може мати не більше двох похилих (горизонтальних) асимптотів.

Зауваження: якщо хоча б одна з двох згаданих вище меж не існує (або дорівнює), то похилої асимптоти при (або) не існує.

якщо в п. 2.), то і межа знаходиться за формулою горизонтальної асимптоти, .

6) Знаходження проміжків монотонності.Знайти інтервали монотонності функції f(x) (Тобто інтервали зростання та спадання). Це робиться за допомогою дослідження похідного знака f(x). Для цього знаходять похідну f(x) і вирішують нерівність f(x)0. На проміжках, де ця нерівність виконана, функція f(x) Зростає. Там, де виконано зворотну нерівність f(x)0, функція f(x) Зменшується.

Знаходження локального екстремуму.Знайшовши інтервали монотонності, ми можемо відразу визначити точки локального екстремуму там, де зростання змінюється зменшенням, розташовуються локальні максимуми, а там, де зменшення змінюється зростанням - локальні мінімуми. Обчислити значення функції у цих точках. Якщо функція має критичні точки, які є точками локального екстремуму, то корисно обчислити значення функції й у цих точках.

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції y = f(x) на відрізку(продовження)

7) Знаходження інтервалів опуклості та увігнутості. Це робиться за допомогою дослідження знаку другої похідної f(x). Знайти точки перегину на стиках інтервалів опуклості та увігнутості. Обчислити значення функції у точках перегину. Якщо функція має інші точки безперервності (крім точок перегину), у яких друга похідна дорівнює 0 чи немає, то цих точках також корисно обчислити значення функції. Знайшовши f(x) , ми вирішуємо нерівність f(x)0. На кожному інтервалі рішення функція буде опуклою вниз. Вирішуючи зворотну нерівність f(x)0, ми знаходимо інтервали, на яких функція опукла вгору (тобто увігнута). Визначаємо точки перегину як точки, у яких функція змінює напрям опуклості (і безперервна).

Точка перегину функції- Це точка, в якій функція безперервна і при переході через яку функція змінює напрям опуклості.

Умови існування

Необхідна умова існування точки перегину:якщо функція двічі диференційована в деякій виколотий околиці точки, то або .

Парна функція.

Парнийназивається функція, знак якої не змінюється при зміні знака x.

xвиконується рівність f(–x) = f(x). Знак xне впливає на знак y.

Графік парної функції симетричний щодо осі координат (рис.1).

Приклади парної функції:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Пояснення:
Візьмемо функцію y = x 2 або y = –x 2 .
За будь-якого значення xфункція позитивна. Знак xне впливає на знак y. Графік симетричний щодо осі координат. Це парна функція.

Непарна функція.

Непарноюназивається функція, знак якої змінюється при зміні знака x.

Інакше кажучи, для будь-якого значення xвиконується рівність f(–x) = –f(x).

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат (рис.2).

Приклади непарної функції:

y= sin x

y = x 3

y = –x 3

Пояснення:

Візьмемо функцію y = - x 3 .
Усі значення уу ній будуть зі знаком мінус. Тобто знак xвпливає на знак y. Якщо незалежна змінна – позитивне число, те й функція позитивна, якщо незалежна змінна – негативне число, те й функція негативна: f(–x) = –f(x).
Графік функції симетричний щодо початку координат. Це непарна функція.

Властивості парної та непарної функцій:

ПРИМІТКА:

Не всі функції є парними чи непарними. Є функції, які не підкоряються такій градації. Наприклад, функція кореня у = √хне належить ні до парних, ні до непарних функцій (рис.3). При перерахуванні властивостей подібних функцій слід давати відповідний опис: ні парна, ні непарна.

Періодичні функції.

Як ви знаєте, періодичність – це повторюваність певних процесів із певним інтервалом. Функції, що описують ці процеси, називають періодичними функціями. Тобто це функції, у графіках яких є елементи, що повторюються з певними числовими інтервалами.