Область визначення функції з коренем. Як знайти область визначення функції

У кожній функції є дві змінні - незалежна змінна і залежна змінна, значення якої залежать від значень незалежної змінної. Наприклад, в функції y = f(x) = 2x + y незалежної змінної є «х», а залежною - «у» (іншими словами, «у» - це функція від «х»). Допустимі значення незалежної змінної «х» називаються областю визначення функції, а допустимі значення залежної змінної «у» називаються областю значень функції.

кроки

Частина 1

Визначте тип даної вам функції. Областю значень функції є всі допустимі значення «х» (відкладаються по горизонтальній осі), яким відповідають допустимі значення «у». Функція може бути квадратичної або містити дробу або коріння. Для знаходження області визначення функції спочатку необхідно визначити тип функції.

1. Виберіть відповідний запис для області визначення функції. Область визначення записується в квадратних і / або круглих дужках. Квадратна скобка застосовується в тому випадку, коли значення входить в область визначення функції; якщо значення не входить в область визначення, використовується кругла дужка. Якщо у функції кілька несуміжних областей визначення, між ними ставиться символ «U».

   • Наприклад, область визначення [-2,10) U (10,2] включає значення -2 і 2, але не включає значення 10.

2. побудуйте графік квадратичної функції. Графік такої функції є параболу, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Так як парабола зростає або убуває на всій осі Х, то областю визначення квадратичної функції є всі дійсні числа. Іншими словами, областю визначення такої функції є безліч R (R позначає всі дійсні числа).

   • Для кращого з'ясування поняття функції виберіть будь-яке значення «х», підставте його в функцію і знайдіть значення «у». Пара значень «х» і «у» представляють собою точку з координатами (х, у), яка лежить на графіку функції.
   • Нанесіть цю точку на площину координат і виконайте описаний процес з іншим значенням «х».
   • Завдавши на площину координат кілька точок, ви отримаєте загальне уявлення про форму графіка функції.

3. Якщо функція містить дріб, прирівняти її знаменник до нуля. Пам'ятайте, що ділити на нуль не можна. Тому, прирівнявши знаменник до нуля, ви знайдете значення «х», які не входять в область визначення функції.

   • Наприклад, знайдіть область визначення функції f (x) \u003d (x + 1) / (x - 1).
   • Тут знаменник: (х - 1).
   • Прирівняти знаменник до нуля і знайдіть «х»: х - 1 \u003d 0; х \u003d 1.
   • Запишіть область визначення функції. Область визначення не включає 1, тобто включає всі дійсні числа за винятком 1. Таким чином, область визначення функції: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • Запис (-∞, 1) U (1, ∞) читається так: безліч всіх дійсних чисел за винятком 1. Символ нескінченності ∞ означає всі дійсні числа. У нашому прикладі всі дійсні числа, які більше 1 і менше 1, включені в область визначення.

4. Якщо функція містить квадратний корінь, то подкоренное вираз має бути більше або дорівнює нулю. Пам'ятайте, що квадратний корінь з від'ємних чисел не витягується. Тому будь-яке значення «х», при якому подкоренное вираз стає негативним, потрібно виключити з області визначення функції.

   • Наприклад, знайдіть область визначення функції f (x) \u003d √ (x + 3).
   • Подкоренное вираз: (х + 3).
   • Подкоренное вираз має бути більше або дорівнює нулю: (х + 3) ≥ 0.
   • Знайдіть «х»: х ≥ -3.
   • Область визначення цієї функції включає безліч всіх дійсних чисел, які більші або рівні -3. Таким чином, область визначення: [-3, ∞).

Частина 2

1. Переконайтеся, що вам дана квадратична функція. Квадратична функція має вигляд: ax 2 + bx + c: f (x) \u003d 2x 2 + 3x + 4. Графік такої функції є параболу, гілки якої спрямовані або вгору, або вниз. Існують різні методи знаходження області значень квадратичної функції.

   • Найпростіший спосіб знайти область значень функції, що містить корінь або дріб, - це побудувати графік такої функції за допомогою графічного калькулятора.

2. Знайдіть координату «х» вершини графіка функції. У разі квадратичної функції знайдіть координату «х» вершини параболи. Пам'ятайте, що квадратична функція має вигляд: ax 2 + bx + c. Для обчислення координати «х» скористайтеся наступним рівнянням: х \u003d -b / 2a. Це рівняння є похідною від основної квадратичної функції і описує дотичну, кутовий коефіцієнт якої дорівнює нулю (дотична до вершини параболи паралельна осі Х).

   • Наприклад, знайдіть область значень 3x 2 + 6x -2.
   • Обчисліть координату «х» вершини параболи: x \u003d -b / 2a \u003d -6 / (2 * 3) \u003d -1

3. Знайдіть координату «у» вершини графіка функції. Для цього в функцію підставте знайдену координату «х». Шукана координата «у» являє собою граничне значення області значень функції.

   • Обчисліть координату «у»: y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 \u003d -5
   • Координати вершини параболи цієї функції: (-1, -5).

4. Визначте напрям параболи, підставивши в функцію принаймні одне значення «х». Виберіть будь-яке інше значення «х» і підставте його в функцію, щоб обчислити відповідне значення «у». Якщо знайдене значення «у» більше координати «у» вершини параболи, то парабола спрямована вгору. Якщо ж знайдене значення «у» менше координати «у» вершини параболи, то парабола спрямована вниз.

   • Підставте в функцію х \u003d -2: y \u003d 3x 2 + 6x - 2 \u003d y \u003d 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 \u003d 12 -12 -2 \u003d -2.
   • Координати точки, що лежить на параболі: (-2, -2).
   • Знайдені координати свідчать про те, що гілки параболи спрямовані вгору. Таким чином, область значень функції включає всі значення «у», які більше або дорівнюють -5.
   • Область значень цієї функції: [-5, ∞)

5. Область значень функції записується аналогічно області визначення функції. Квадратна дужка застосовується в тому випадку, коли значення входить в область значень; якщо значення не входить в область значень, використовується кругла дужка. Якщо у функції кілька несуміжних областей значень, між ними ставиться символ «U».

   • Наприклад, область значень [-2,10) U (10,2] включає значення -2 і 2, але не включає значення 10.
   • З символом нескінченності ∞ завжди використовуються круглі дужки.

Дуже часто при виконанні завдань виникає проблема, як знайти область визначення функції? Без цього ніяк не обійтися при побудові графіків і при подальшому дослідженні значень функції.

Поняття про область визначення функції

Область визначення функції це безліч значень змінної функції Х, при яких функція f (Х) має сенс. А точніше буде сказати значення змінної функції Х, при яких f (X) може існувати в реальності. Для прикладу пропонується розглянути випадок, коли функція взагалі не може існувати. Перший випадок, який ми розглянемо, коли в вираженні. У варіанті, коли має місце дріб, знаменник повинен бути не дорівнює нулю, з простої причини, що подібних дрібних виразів просто не існує, так як вони в підсумку призводять до значення нуль, та й одне із золотих правил арифметики - не можна ділити на нуль.

З нулем розібралися, давайте розбиратися з самої дробом. Що знайти область визначення функції, приклади з тієї ж дробом, і визначити значення змінної Х нам потрібно прирівняти дріб до нуля, і, вирішивши дане рівняння, ми отримаємо значення змінної Х, яке і буде виключено з області рішення. Другий приклад, коли наша функція містить корінь парного степеня. Тут у нас повна свобода дії, так як при вирішенні такої функції ми при будь-якому варіанті подкоренного числа отримуємо позитивну відповідь, який і буде далі видалений з області визначення функції. Чого не можна сказати про корінь непарного степеня, коли нас влаштує тільки позитивно підкореневе число.

приклади рішень

Ще приклад, коли треба знайти область визначення даних функції, заданої логарифмом. Тут вже зовсім просто, область визначення логарифма - все позитивні числа. І для знаходження значень змінної, треба вирішувати нерівність для даного логарифма. Де подлагоріфміческое вираз буде негативним. Треба враховувати і зворотні тригонометричні функції, А саме арксинус і арккосинус, які визначаються на проміжку [-1: 1]. Для цього треба простежити, щоб значення виразу, позначене цими функціями потрапляло в заздалегідь нам відомий проміжок, а все інше сміливо виключаємо зі значень змінної.

Один приклад, як знайти область визначення функції, якщо функція містить, наприклад, сложносоставленную дріб. Де, наприклад, знаменник буде виглядати як корінь з арксинуса. В такому випадку треба виділити тільки ті значення змінної, при яких арксинус може існувати, а вже з них прибираємо значення арксинуса що дорівнює нулю (так як воно доводиться в даному прикладі знаменником), наступним кроком виключаємо всі негативні значення, з тієї простої причини, що вони не влаштовують умова функції подкоренного значення. Все решта значення і є шуканими.

Припустимо, наша функція має вигляд y \u003d a / b, її областю визначення є все значення за винятком нуля. Значення числа А може бути абсолютно будь-яким. Наприклад, знайти область визначення даних функції y \u003d 3 / 2х-1, нам необхідно знайти ті значення Х, при яких знаменник даної нам дріб не може бути рівнятися нулю. Для цього прирівнюємо знаменник до нуля і знаходимо рішення, після чого у на с виходить відповідь рівний 0,5 (х: 2х - 1 \u003d 0; 2х \u003d 1; х \u003d ½; х \u003d 0,5) Слідуючи з цього, з області визначення функції слід виключити значення 0,5. Для того, щоб знайти область визначення функції, рішення повинно враховувати що цей вислів має бути або позитивним або дорівнювати нулю.

Потрібно знайти область визначення функції приклади у \u003d √3х-9, грунтуючись на вищенаведеному умови, перетворимо наше вираз в вид нерівності 3х ≥ 9; х ≥ 3; 0, після рішення, якого ми прийдемо до значення, що х більше або дорівнює 3, і виключаємо всі ці значення з області функції При визначенні області визначення функції подкоренного вираження з непарним показником, треба брати до уваги, що в даному випадку значення Х може бути , якщо подкоренное вираз не є дробовим, і Х не в знаменнику. приклад: у \u003d ³√2х-5, можна просто вказати, що змінна Х може бути абсолютно будь-яким дійсним числом. У тому, як знайти область визначення функції ні в якому разі не варто забувати про те, що дане число під логарифмом повинно бути позитивним.

Приклад: Необхідно знайти область визначення даних функції у \u003d log2 (4х - 1). З огляду на вищенаведене умова, знаходження значення даної функції слід обчислювати так, 4х - 1\u003e 0; з цього випливає 4х\u003e 1; х\u003e 0,25. І область визначення даної нам функції буде, дорівнює всім значень більше 0,25.

Деякі сайти пропонують знайти область визначення функції онлайн і заощадити час на пошуку рішень. Дуже зручна послуга, особливо для студентів і учнів.

Функція з квадратним коренем визначена тільки при тих значеннях «ікс», коли подкоренное вираз неотрицательно:. Якщо корінь розташувався в знаменнику, то умова очевидним чином посилюється:. Аналогічні викладки справедливі для будь-якого кореня позитивної парному ступеня: , Правда, корінь вже 4-го ступеня в дослідженнях функцій не пригадую.

приклад 5

Рішення: Подкоренное вираз має бути невід'ємним:

Перш ніж продовжити рішення, нагадаю основні правила роботи з нерівностями, відомі ще зі школи.

Звертаю особливу увагу! Зараз розглядаються нерівності з однією змінною - тобто для нас існує тільки одна розмірність по осі. Будь ласка, не плутайте з нерівностями двох змінних, Де геометрично задіяна вся координатна площину. Однак є і приємні збіги! Отже, для нерівності рівносильні такі перетворення:

1) Складові можна переносити з частини в частину зі зміною знака.

2) Обидві частини нерівності можна помножити на позитивне число.

3) Якщо обидві частини нерівності помножити на негативне число, то необхідно змінити знак самого нерівності. Наприклад, якщо було «більше», то стане «менше»; якщо було «менше або дорівнює», то стане «більше або дорівнює».

У нерівності перенесемо «трійку» в праву частину зі зміною знака (правило №1):

Помножимо обидві частини нерівності на -1 (правило №3):

Помножимо обидві частини нерівності на (правило №2):

відповідь: область визначення:

Відповідь також можна записати еквівалентної фразою: «функція визначена при».
Геометрично область визначення зображується штрихуванням відповідних інтервалів на осі абсцис. В даному випадку:

Ще раз нагадую геометричний сенс області визначення - графік функції існує тільки на заштрихованном ділянці і відсутня при.

У більшості випадків годиться чисто аналітичне знаходження області визначення, але коли функція сильно заморочені, слід креслити вісь і робити позначки.

приклад 6

Знайти область визначення функції

Це приклад для самостійного рішення.

Коли під квадратним коренем знаходиться квадратний двочлен або тричлен, ситуація трохи ускладнюється, і зараз ми детально розберемо техніку рішення:

приклад 7

Знайти область визначення функції

Рішення: Подкоренное вираз має бути строго позитивним, тобто нам необхідно вирішити нерівність. На першому кроці намагаємося розкласти квадратний тричлен на множники:

Дискримінант позитивний, шукаємо корені:

Таким чином, парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, а це значить, що частина параболи розташована нижче осі (нерівність), а частина параболи - вище осі (потрібне нам нерівність).

Оскільки коефіцієнт, то гілки параболи дивляться вгору. З вищесказаного випливає, що на інтервалах виконано нерівність (гілки параболи йдуть вгору на нескінченність), а вершина параболи розташована на проміжку нижче осі абсцис, що відповідає нерівності:

! Примітка: якщо вам не до кінця зрозумілі пояснення, будь ласка, накресліть другу вісь і параболу цілком! Доцільно повернутися до статті Графіки і властивості елементарних функцій і методичке Гарячі формули шкільного курсу математики.

Зверніть увагу, що самі точки виколоті (не входять до рішення), оскільки нерівність у нас суворе.

відповідь: область визначення:

Взагалі, багато нерівності (в тому числі розглянуте) вирішуються універсальним методом інтервалів, Відомим знову ж з шкільної програми. Але у випадках квадратних дво- і тричлен, на мій погляд, набагато зручніше і швидше проаналізувати розташування параболи відносно осі. А основний спосіб - метод інтервалів ми детально розберемо в статті Нулі функції. інтервали знакопостоянства.

приклад 8

Знайти область визначення функції

Це приклад для самостійного рішення. У зразку детально закоментований логіка міркувань + другий спосіб вирішення і ще одне важливе перетворення нерівності, без знання якого студент буде кульгати на одну ногу ..., ... хмм ... на рахунок ноги, мабуть, погарячкував, скоріше - на один палець. Великий палець.

Чи може функція з квадратним коренем бути визначена на всій числовій прямій? Звісно. Знайомі все обличчя:. Або аналогічна сума з експонентою:. Дійсно, для будь-яких значення «ікс» і «ка»:, тому поготів і .. Наприклад, функція визначена на всій числовій прямій. Однак у функції єдина точка все ж не входить в область визначення, оскільки звертають знаменник в нуль. З тієї ж причини для функції виключаються точки.

Деяким відвідувачам сайту розглянуті приклади здадуться елементарними і примітивними, але в цьому немає випадковості - по-перше, я намагаюся «заточити» матеріал для нубов, а по-друге, підбираю реалістичні речі під прийдешні завдання: повне дослідження функції, знаходження області визначення функції двох зміннихі деякі інші. Все в математиці чіпляється одне за одного. Хоча любителі труднощів теж не залишаться обділеними, більш солідні завдання зустрінуться і тут, і на уроці
про метод інтервалів.