Y x парна. Основні властивості функції: парність, непарність, періодичність, обмеженість. Дослідження функції монотонності

парної, якщо за всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=f(x)\) .

Графік парної функції симетричний щодо осі \(y\):

Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) є парною, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається непарною, якщо за всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=-f(x)\) .

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат:

Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 3 + x \) є непарною, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Функції, що не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чином подати у вигляді суми парної та непарної функції.

Наприклад, функція \(f(x)=x^2-x\) є сумою парної функції \(f_1=x^2\) і непарної \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Деякі властивості:

1) Твір і приватне двох функцій однакової парності – парна функція.

2) Твір і приватне двох функцій різної парності - непарна функція.

3) Сума та різниця парних функцій - парна функція.

4) Сума та різниця непарних функцій - непарна функція.

5) Якщо \(f(x)\) - парна функція, то рівняння \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) має єдиний корінь тоді і тільки коли, коли \(x =0\).

6) Якщо \(f(x)\) - парна або непарна функція, і рівняння \(f(x)=0\) має корінь \(x=b\) , то це рівняння обов'язково матиме другий корінь \(x =-b) .

\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається періодичною на \(X\) , якщо для деякого числа \(T\ne 0\) виконано \(f(x)=f(x+T) \) , Де \ (x, x + T \ in X \) . Найменше \(T\) , для якого виконано цю рівність, називається головним (основним) періодом функції.

У періодичної функції будь-яке число виду \(nT\) , де \(n\in \mathbb(Z)\) також буде періодом.

Приклад: будь-яка тригонометрична функція є періодичною;
у функцій \(f(x)=\sin x\) і \(f(x)=\cos x\) головний період дорівнює \(2\pi\) , у функцій \(f(x)=\mathrm( tg)\,x\) і \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) головний період дорівнює \(\pi\) .

Для того, щоб побудувати графік періодичної функції, можна побудувати її графік на будь-якому відрізку довжиною (T) (головний період); тоді графік всієї функції добудовується зрушенням побудованої частини на ціле число періодів праворуч і ліворуч:

\(\blacktriangleright\) Область визначення \(D(f)\) функції \(f(x)\) - це безліч, що складається з усіх значень аргументу \(x\), при яких функція має сенс (визначена).

Приклад: у функції \(f(x)=\sqrt x+1\) область визначення: \(x\in

Завдання 1 #6364

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

При яких значеннях параметра \(a\) рівняння

має єдине рішення?

Зауважимо, що оскільки \(x^2\) і \(\cos x\) - парні функції, якщо рівняння матиме корінь \(x_0\) , воно також матиме і корінь \(-x_0\) .
Справді, хай \(x_0\) – корінь, тобто рівність \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)вірно. Підставимо \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Таким чином, якщо \(x_0\ne 0\) , то рівняння вже матиме як мінімум два корені. Отже, \ (x_0 = 0 \) . Тоді:

Ми отримали два значення параметра \(a\). Зауважимо, що ми використовували те, що (x=0) точно є коренем вихідного рівняння. Але ми ніде не використовували те, що він єдиний. Отже, потрібно підставити значення параметра \(a\) у вихідне рівняння і перевірити, при яких саме \(a\) корінь \(x=0\) дійсно буде єдиним.

1) Якщо \(a=0\) , то рівняння набуде вигляду \(2x^2=0\) . Очевидно, що це рівняння має лише один корінь (x = 0). Отже, значення (a = 0) нам підходить.

2) Якщо \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , то рівняння набуде вигляду \ Перепишемо рівняння у вигляді \ Так як \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), то \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Отже, значення правої частини рівняння (*) належать відрізку \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Оскільки \(x^2\geqslant 0\) , то ліва частина рівняння (*) більша або дорівнює \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Таким чином, рівність (*) може виконуватися тільки тоді, коли обидві частини рівняння дорівнюють \(\mathrm(tg)^2\,1\) . А це означає, що \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Отже, значення (a = - mathrm (tg), 1) нам підходить.

Відповідь:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Завдання 2 #3923

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких графік функції \

симетричний щодо початку координат.

Якщо графік функції симетричний щодо початку координат, то така функція є непарною, тобто виконано \(f(-x)=-f(x)\) для будь-якого \(x\) з області визначення функції. Таким чином, потрібно знайти значення параметра, при яких виконано \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi a+3x)4= -\left(3\) mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ , \ dfrac (ax) 5 + 2 sin dfrac(8pi-3x)4right)quadRightarrowRightarrowquad &sindfrac(8pia+3x)4+sindfrac(8pi- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8pi a+3x)4+dfrac(8pi-3x)4right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8pi a+3x)4-dfrac(8pi-3x)4right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Останнє рівняння має бути виконане для всіх \(x\) з області визначення \(f(x)\) , отже, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Відповідь:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Завдання 3 #3069

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння має 4 рішення, де \(f\) – парна періодична з періодом \(T=\dfrac(16)3\) функція, визначена на всій числовій прямій , причому \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Завдання від передплатників)

Завдання 4 #3072

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має хоча б один корінь.

(Завдання від передплатників)

Перепишемо рівняння у вигляді \ і розглянемо дві функції: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) і \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Функція \(g(x)\) є парною, має точку мінімуму \(x=0\) (причому \(g(0)=49\)).
Функція \(f(x)\) при \(x>0\) є спадною, а при \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Дійсно, при \(x>0\) другий модуль розкриється позитивно (\(|x|=x\) ), отже, незалежно від того, як розкриється перший модуль, \(f(x)\) буде дорівнює \( kx+A\) , де \(A\) - вираз від \(a\) , а \(k\) дорівнює або \(-9\) , або \(-3\) . При (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Знайдемо значення \(f\) у точці максимуму: \

Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій (f) і (g) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \ Вирішуючи цю сукупність систем, отримаємо відповідь: \\]

Відповідь:

\(a\in \(-7\)\cup\)

Завдання 5 #3912

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має шість різних рішень.

Зробимо заміну \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Тоді рівняння набуде вигляду \ Поступово виписуватимемо умови, за яких вихідне рівняння матиме шість рішень.
Зауважимо, що квадратне рівняння ((*)) може максимум мати два рішення. Будь-яке кубічне рівняння (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) може мати не більше трьох рішень. Отже, якщо рівняння \((*)\) має два різні рішення (позитивних!, оскільки \(t\) має бути більше нуля) \(t_1\) і \(t_2\) , то, зробивши зворотну заміну, ми отримаємо: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4) = t_2 \ end (aligned) \ end (gathered) \ right.Так як будь-яке позитивне число можна представити як \(\sqrt2\) якоюсь мірою, наприклад, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), то перше рівняння сукупності перепишеться як \ Як ми вже говорили, будь-яке кубічне рівняння має не більше трьох рішень, отже, кожне рівняння із сукупності матиме не більше трьох рішень. А значить, і вся сукупність матиме не більше шести рішень.
Отже, щоб вихідне рівняння мало шість рішень, квадратне рівняння \((*)\) повинно мати два різні рішення, а кожне отримане кубічне рівняння (з сукупності) повинно мати три різні рішення (причому жодне рішення одного рівняння не повинно збігатися з яким або рішенням другого!)
Очевидно, якщо квадратне рівняння \((*)\) матиме одне рішення, то ми ніяк не отримаємо шість рішень у вихідного рівняння.

Таким чином, план рішення стає зрозумілим. Давайте по пунктах випишемо умови, які мають виконуватися.

1) Щоб рівняння \((*)\) мало два різні рішення, його дискримінант має бути позитивним: \

2) Також потрібно, щоб обидва корені були позитивними (оскільки \(t>0\) ). Якщо добуток двох коренів позитивний і сума їх позитивна, то і самі корені будуть позитивними. Отже, потрібно: \[\begin(cases) 12-a>0\\(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Таким чином, ми вже забезпечили собі два різні позитивні корені \(t_1\) і \(t_2\).

3) Давайте подивимося на таке рівняння \ За яких \(t\) воно матиме три різні рішення?
Розглянемо функцію \(f(x)=x^3-3x^2+4\).
Можна розкласти на множники: \ Отже, її нулі: \ (x = -1; 2 \).
Якщо визначити похідну \(f"(x)=3x^2-6x\) , ми отримаємо дві точки екстремуму \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Отже, графік виглядає так:


Ми, будь-яка горизонтальна пряма \(y=k\) , де \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)мало три різні рішення, потрібно, щоб (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Таким чином, потрібно: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Давайте також відразу зауважимо, що якщо числа \(t_1\) і \(t_2\) різні, то і числа \(\log_(\sqrt2)t_1\) і \(\log_(\sqrt2)t_2\) будуть різні, значить, і рівняння \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)і \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)матимуть коріння, що не співпадає між собою.
Систему \((**)\) можна переписати так: \[\begin(cases) 1

Таким чином, ми визначили, що обидва корені рівняння ((*)) повинні лежати в інтервалі ((1; 4)). Як записати цю умову?
У явному вигляді виписувати коріння ми не будемо.
Розглянемо функцію \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Її графік – парабола з гілками догори, яка має дві точки перетину з віссю абсцис (цю умову ми записали у пункті 1)). Як має виглядати її графік, щоб точки перетину з віссю абсцис були в інтервалі \((1;4)\)? Так:


По-перше, значення \(g(1)\) та \(g(4)\) функції в точках \(1\) і \(4\) повинні бути позитивними, по-друге, вершина параболи \(t_0\) ) повинна також перебувати в інтервалі \((1;4)\). Отже, можна записати систему: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Таким чином, нам потрібно перетнути значення параметра \(a\) , знайдені в 1-му, 2-му і 3-му пунктах, і ми отримаємо відповідь: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Парна функція.

Парнийназивається функція, знак якої не змінюється при зміні знака x.

xвиконується рівність f(–x) = f(x). Знак xне впливає на знак y.

Графік парної функції симетричний щодо осі координат (рис.1).

Приклади парної функції:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Пояснення:
Візьмемо функцію y = x 2 або y = –x 2 .
За будь-якого значення xфункція позитивна. Знак xне впливає на знак y. Графік симетричний щодо осі координат. Це парна функція.

Непарна функція.

Непарноюназивається функція, знак якої змінюється при зміні знака x.

Інакше кажучи, для будь-якого значення xвиконується рівність f(–x) = –f(x).

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат (рис.2).

Приклади непарної функції:

y= sin x

y = x 3

y = –x 3

Пояснення:

Візьмемо функцію y = - x 3 .
Усі значення уу ній будуть зі знаком мінус. Тобто знак xвпливає на знак y. Якщо незалежна змінна – позитивне число, те й функція позитивна, якщо незалежна змінна – негативне число, те й функція негативна: f(–x) = –f(x).
Графік функції симетричний щодо початку координат. Це непарна функція.

Властивості парної та непарної функцій:

ПРИМІТКА:

Не всі функції є парними чи непарними. Є функції, які не підкоряються такій градації. Наприклад, функція кореня у = √хне належить ні до парних, ні до непарних функцій (рис.3). При перерахуванні властивостей подібних функцій слід давати відповідний опис: ні парна, ні непарна.

Періодичні функції.

Як ви знаєте, періодичність – це повторюваність певних процесів із певним інтервалом. Функції, що описують ці процеси, називають періодичними функціями. Тобто це функції, у графіках яких є елементи, що повторюються з певними числовими інтервалами.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• сформувати поняття парності та непарності функції, вивчати вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, побудові графіків;
• розвивати творчу активність учнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
• виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .

Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.

Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності.

Інформаційні джерела:

1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебединцева Є.А

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

Постановка цілей та завдань уроку.

2. Перевірка домашнього завдання

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функція зростає при х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.

(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.

2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.

Заповніть таблицю
	Область визначення	Нулі функції	Проміжки знакостійності		Координати точок перетину графіка з Оу
		х = -5, х = 2	x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ∞ -5, х ≠ 2		x € (–5;3) U U (2; ∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	х ≠ -5, х ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Актуалізація знань

– Дано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких із даних функцій у галузі визначення виконуються рівність f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд

4. Новий матеріал

- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одну властивість функції, незнайому вам, але не менш важливу, ніж інші - це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та непарні функції», наше завдання – навчитися визначати парність та непарність функції, з'ясувати значущість цієї властивості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд

Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.

Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f(х). Наведіть приклади.

Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n– непарному та функція парна при n- парному.
– Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд

У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при - х.

Опр 3.Якщо числова множина разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то множина Хназивають симетричним безліччю.

Приклади:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.

– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
– Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Таким чином, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же дослідити функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.

Слайд

Алгоритм дослідження функції на парність

1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму.

2. Скласти вираз для f(–х).

3. Порівняти f(–х).і f(х):

• якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
• якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
• якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.

Приклади:

Дослідити на парність функцію а) у= х 5 +; б) у=; в) у= .

Рішення.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.

2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),

3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.

б) у =,

у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.

в) f(х) = , у = f (х),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Варіант 2

1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =

Взаємоперевірка з слайд.

6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;

Доказ геометричного змісту якості парності.

***(Завдання варіанта ЄДІ).

1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.

7. Підбиття підсумків

• У функцію підставте позитивні числові значення x (\displaystyle x)та відповідні негативні числові значення. Наприклад, дана функція f(x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Підставте до неї такі значення x (\displaystyle x):

Перевірте, чи симетричний графік функції щодо осі Y.Під симетрією мається на увазі дзеркальне відображення графіка щодо осі ординат. Якщо частина графіка праворуч від осі Y (позитивні значення незалежної змінної) збігається з частиною графіка ліворуч від осі Y (негативні значення незалежної змінної), графік симетричний щодо осі Y. Якщо функція симетрична щодо осі ординат, така функція парна.

Перевірте, чи симетричний графік функції щодо початку координат.Початок координат – точка з координатами (0,0). Симетрія щодо початку координат означає, що позитивне значення y (\displaystyle y)(при позитивному значенні x (\displaystyle x)) відповідає негативне значення y (\displaystyle y)(при негативному значенні x (\displaystyle x)), і навпаки. Непарні функції мають симетрію щодо початку координат.

- (матем.) Функція у = f(x) називається парною, якщо вона не змінюється, коли незалежне змінне змінює тільки знак, тобто якщо f(x) = f(x). Якщо ж f(x) = f(x), то функція f(x) називається непарною. Наприклад, у = cosx, у = x2 ...

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

Функція, що задовольняє рівність f(x) = f(x). Див. парні та непарні функції … Велика Радянська Енциклопедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

Спеціальні функції, введені французьким математиком Е. Матьє (E. Mathieu) у 1868 р. при вирішенні завдань про коливання еліптичної мембрани. М. ф. застосовуються також при вивченні поширення електромагнітних хвиль в еліптичному циліндрі. Велика Радянська Енциклопедія

Запит "sin" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія