Скорочення тригонометричних виразів онлайн. Конспект уроку на тему «Тригонометричні вирази та їх перетворення

В тотожних перетвореннях тригонометричних виразів можуть бути використані наступні алгебраїчні прийоми: додавання і віднімання однакових доданків; винесення спільного множника за дужки; множення і ділення на одну і ту ж величину; застосування формул скороченого множення; виділення повного квадрата; розкладання квадратного тричлена на множники; введення нових змінних з метою спрощення перетворень.

При перетвореннях тригонометричних виразів, що містять дроби, можна використовувати властивості пропорції, скорочення дробів або приведення дробів до спільного знаменника. Крім того, можна користуватися виділенням цілої частини дробу, множенням чисельника і знаменника дробу на однакову величину, а так само по можливості враховувати однорідність чисельника або знаменника. При необхідності можна представляти дріб у вигляді суми або різниці декількох більш простих дробів.

Крім того, застосовуючи всі необхідні методи перетворення тригонометричних виразів, необхідно постійно враховувати облась допустимих значень перетворюються виразів.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1.

Обчислити А \u003d (sin (2x - π) · cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) · cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) · cos ( 2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2x) · sin (2x -5π / 2)) 2

Рішення.

З формул приведення слід:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Звідки в силу формул складання аргументів і основного тригонометричного тотожності одержуємо

А \u003d (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d Sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Відповідь: 1.

Приклад 2.

Перетворити в твір вираз М \u003d cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Рішення.

З формул складання аргументів і формул перетворення суми тригонометричних функцій у добуток після відповідної угруповання маємо

М \u003d (cos (α + β) · cos γ - sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) · cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) · cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) · cos ((α + β) / 2) · cos ((α + γ) / 2).

Відповідь: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) · cos ((α + γ) / 2) · cos ((β + γ) / 2).

приклад 3.

Показати, що вираз А \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) приймає для всіх х з R одне і те ж значення. Знайти це значення.

Рішення.

Наведемо два способи вирішення цього завдання. Застосовуючи перший спосіб, шляхом виділення повного квадрата і користуючись відповідними основними тригонометричними формулами, отримаємо

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) · cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x · sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Вирішуючи задачу другим способом, розглянемо А як функцію від х з R і обчислимо її похідну. Після перетворень отримаємо

А'\u003d -2cos (x + π / 6) · sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) · sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) · sin (x - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x · cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Звідси в силу критерію сталості дифференцируемой на проміжку функції робимо висновок, що

А (х) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Відповідь: А \u003d 3/4 для x € R.

Основними прийомами докази тригонометричних тотожностей є:

а) зведення лівої частини тотожності до правої шляхом відповідних перетворень;
б) зведення правій частині тотожності до лівої;
в) зведення правої і лівої частин тотожності до одного і того ж виду;
г) зведення до нуля різниці лівої і правої частин доказуваного тотожності.

Приклад 4.

Перевірити, що cos 3x \u003d -4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3).

Рішення.

Перетворюючи праву частину цієї тотожності за відповідними тригонометричним формулами, маємо

4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x · (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x · (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x · cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Права частина тотожності зведена до лівої.

Приклад 5.

Довести, що sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α · cos β · cos γ \u003d 2, якщо α, β, γ - внутрішні кути деякого трикутника.

Рішення.

З огляду на, що α, β, γ - внутрішні кути деякого трикутника, отримуємо, що

α + β + γ \u003d π і, отже, γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α · cos β · cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α · cos β · cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - сos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Початкове рівність доведено.

Приклад 6.

Довести, що для того, щоб один з кутів α, β, γ трикутника дорівнював 60 °, необхідно і достатньо, щоб sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Рішення.

Умова даного завдання передбачає доказ як необхідність, так і достатності.

спочатку доведемо необхідність.

Можна показати, що

sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2).

Звідси, враховуючи, що cos (3/2 · 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, отримуємо, що якщо один з кутів α, β або γ дорівнює 60 °, то

cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2) \u003d 0 і, отже, sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

доведемо тепер достатність зазначеного умови.

Якщо sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0, то cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2) \u003d 0, і тому

або cos (3α / 2) \u003d 0, або cos (3β / 2) \u003d 0, або cos (3γ / 2) \u003d 0.

отже,

або 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, тобто α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

або 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, тобто β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

або 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

тобто γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, де k ε Z.

З того, що α, β, γ - це кути трикутника, маємо

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Тому для α \u003d π / 3 + 2πk / 3 або β \u003d π / 3 + 2πk / 3 або

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 з усіх kεZ підходить тільки k \u003d 0.

Звідки випливає, що або α \u003d π / 3 \u003d 60 °, або β \u003d π / 3 \u003d 60 °, або γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Затвердження доведено.

Залишилися питання? Не знаєте, як спрощувати тригонометричні вирази?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
Перший урок - безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

розділи: Математика

клас: 11

заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії і рішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Устаткування до уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання на будинок.

1. Оргмомент. (2 хв.)

Учитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку, нагадує про те, що раніше було дано завдання повторити формули тригонометрії і налаштовує учнів на тестування.

2. Тестування. (15хв + 3хв. Обговорення)

Мета - перевірити знання тригонометричних формул і вміння їх застосовувати. У кожного учня на парті ноутбук в якому варіант тесту.

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

I варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твори в суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x / 7);

Учні на ноутбуці навпроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані до загального огляду.

Також після закінчення роботи показуються на ноутбуках учнів правильні відповіді. Кожен учень бачить, де зроблена помилка, і які формули йому потрібно повторити.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Мета - повторити, відпрацювати і закріпити застосування основних формул тригонометрії. Рішення задач В7 з ЄДІ.

На даному етапі клас доцільно розбити на групи сильних (працюють самостійно з подальшою перевіркою) і слабких учнів, які працюють з учителем.

Завдання для сильних учнів (заздалегідь підготовлені на друкованій основі). Основний упор зроблений на формули приведення та подвійного кута, згідно ЄДІ 2011 року.

Спростити вирази (для сильних учнів):

Паралельно вчитель працює зі слабкими учнями, обговорюючи і вирішуючи під диктовку учнів завдання на екрані.

обчислити:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

На екрані з'являються відповіді, а також, за допомогою відеокамери виводяться роботи 5-ти різних учнів (по одному завданню у кожного).

Слабка група бачить умова і метод вирішення. Йде обговорення і аналіз. З використанням технічних засобів це відбувається швидко.

4. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Мета - повторити, систематизувати та узагальнити рішення найпростіших тригонометричних рівнянь, запис їх коренів. Рішення завдання В3.

Будь-яке тригонометрическое рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

При виконанні завдання слід звертати увагу учнів на запис коренів рівнянь окремих випадків і загального вигляду і на відбір коренів в останньому рівнянні.

Вирішити рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета - перевірка отриманих навичок, виявлення проблем, помилок і шляхів їх усунення.

Пропонується разноуравневая робота на вибір учня.

Варіант на «3»

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на «4»

1) Знайти значення виразу

2) Вирішити рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на «5»

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Учитель підводить підсумки про те, що на уроці повторили і закріпили тригонометричні формули, вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Здається домашнє завдання (підготовлене на друкованій основі заздалегідь) з вибірковою перевіркою на наступному уроці.

Вирішити рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи рішень тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

цілі:

Узагальнити і систематизувати знання за рішенням тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Спонукати учнів до подолання труднощів в процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Устаткування до уроку: КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку:

Оргмомент
Обговорення д / з та самот. роботи минулого уроку
Повторення методів рішень тригонометричних рівнянь.
Рішення тригонометричних рівнянь
Відбір коренів в тригонометричних рівняннях.
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Домашнє завдання.

1. Оргмомент (2 хв.)

Учитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку і план роботи.

2. а) Розбір домашнього завдання (5 хв.)

Мета - перевірити виконання. Одна робота за допомогою відео камери видається на екран, інші вибірково збираються на перевірку вчителя.

б) Розбір самостійної роботи (3 хв.)

Мета - розібрати помилки, вказати способи їх подолання.

На екрані відповіді і рішення, в учнів заздалегідь видані їх роботи. Швидко йде аналіз.

3. Повторення методів вирішення тригонометричних рівнянь (5 хв.)

Мета - згадати методи рішення тригонометричних рівнянь.

Запитати в учнів, які методи рішень тригонометричних рівнянь вони знають. Акцентувати на те, що є так звані основні (часто використовувані) методи:

заміна змінної,
розкладання на множники,
однорідний рівняння,

і є прикладні методи:

за формулами перетворення суми в добуток і добутку в суму,
за формулами зниження ступеня,
універсальна тригонометрическая підстановка
введення допоміжного кута,
множення на деяку тригонометричну функцію.

Також потрібно нагадати, що одне рівняння можна розв'язувати різними способами.

4. Рішення тригонометричних рівнянь (30 хв.)

Мета - Обощая і закріпити знання і навички з даної теми, підготуватися до вирішення С1 з ЄДІ.

Вважаю за доцільне прорешать разом з учнями рівняння на кожен метод.

Учень диктує рішення, учитель записує на планшет, весь процес відображається на екрані. Це дозволить швидко і ефективно відновити в пам'яті раніше пройдений матеріал.

Вирішити рівняння:

1) заміна змінної 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) розкладання на множники 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) однорідні рівняння sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) перетворення суми в добуток cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) перетворення твори в суму 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) зниження ступеня sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) універсальна тригонометрическая підстановка sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Вирішуючи це рівняння, слід зазначити, що використання даного методу веде до звуження області визначення, так як синус і косинус замінюється на tg (x / 2). Тому, перш ніж виписувати відповідь, потрібно зробити перевірку, чи є числа з безлічі π + 2πn, n Z кіньми даного рівняння.

8) введення допоміжного кута √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) множення на деяку тригонометричну функцію cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь (20 хв.)

Так як в умовах жорсткої конкуренції під час вступу до ВНЗ рішення однієї першої частини іспиту недостатньо, то слід більшості учнів звертати увагу на завдання другої частини (С1, С2, С3).

Тому мета цього етапу заняття - згадати раніше вивчений матеріал, підготуватися до вирішення завдання С1 з ЄДІ 2011 року.

Існують тригонометричні рівняння, в яких потрібно проводити відбір коренів при виписці відповіді. Це пов'язано з деякими обмеженнями, наприклад: знаменник дробу не дорівнює нулю, вираз під коренем парного степеня неотрицательно, вираз під знаком логарифма позитивно і т.д.

Такі рівняння вважаються рівняннями підвищеної складності і в варіанті ЄДІ знаходяться в другій частині, а саме С1.

Розв'язати рівняння:

Дріб дорівнює нулю, якщо тоді за допомогою одиничної окружності зробимо відбір коренів (див. малюнок 1)

Малюнок 1.

отримаємо x \u003d π + 2πn, n Z

Відповідь: π + 2πn, n Z

На екрані відбір коренів показується на окружності в кольоровому зображенні.

Добуток дорівнює нулю коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а дугою, при цьому, не втрачає сенсу. тоді

За допомогою одиничної окружності відберемо коріння (див. Рисунок 2)

розділи: Математика

клас: 11

заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії і рішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Устаткування до уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання на будинок.

1. Оргмомент. (2 хв.)

2. Тестування. (15хв + 3хв. Обговорення)

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

I варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твори в суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x / 7);

Учні на ноутбуці навпроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані до загального огляду.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Спростити вирази (для сильних учнів):

Паралельно вчитель працює зі слабкими учнями, обговорюючи і вирішуючи під диктовку учнів завдання на екрані.

обчислити:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

4. Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Будь-яке тригонометрическое рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

Вирішити рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета - перевірка отриманих навичок, виявлення проблем, помилок і шляхів їх усунення.

Пропонується разноуравневая робота на вибір учня.

Варіант на «3»

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на «4»

1) Знайти значення виразу

2) Вирішити рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на «5»

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Вирішити рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи рішень тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

цілі:

Узагальнити і систематизувати знання за рішенням тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Спонукати учнів до подолання труднощів в процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Устаткування до уроку: КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку:

Оргмомент
Обговорення д / з та самот. роботи минулого уроку
Повторення методів рішень тригонометричних рівнянь.
Рішення тригонометричних рівнянь
Відбір коренів в тригонометричних рівняннях.
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Домашнє завдання.

1. Оргмомент (2 хв.)

Учитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку і план роботи.

2. а) Розбір домашнього завдання (5 хв.)

б) Розбір самостійної роботи (3 хв.)

Мета - розібрати помилки, вказати способи їх подолання.

На екрані відповіді і рішення, в учнів заздалегідь видані їх роботи. Швидко йде аналіз.

3. Повторення методів вирішення тригонометричних рівнянь (5 хв.)

Мета - згадати методи рішення тригонометричних рівнянь.

заміна змінної,
розкладання на множники,
однорідний рівняння,

і є прикладні методи:

за формулами перетворення суми в добуток і добутку в суму,
за формулами зниження ступеня,
універсальна тригонометрическая підстановка
введення допоміжного кута,
множення на деяку тригонометричну функцію.

Також потрібно нагадати, що одне рівняння можна розв'язувати різними способами.

4. Рішення тригонометричних рівнянь (30 хв.)

Мета - Обощая і закріпити знання і навички з даної теми, підготуватися до вирішення С1 з ЄДІ.

Вважаю за доцільне прорешать разом з учнями рівняння на кожен метод.

Вирішити рівняння:

1) заміна змінної 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) розкладання на множники 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) однорідні рівняння sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) перетворення суми в добуток cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) перетворення твори в суму 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) зниження ступеня sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) універсальна тригонометрическая підстановка sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

8) введення допоміжного кута √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) множення на деяку тригонометричну функцію cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь (20 хв.)

Розв'язати рівняння:

Дріб дорівнює нулю, якщо тоді за допомогою одиничної окружності зробимо відбір коренів (див. малюнок 1)

Малюнок 1.

отримаємо x \u003d π + 2πn, n Z

Відповідь: π + 2πn, n Z

На екрані відбір коренів показується на окружності в кольоровому зображенні.

Добуток дорівнює нулю коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а дугою, при цьому, не втрачає сенсу. тоді

За допомогою одиничної окружності відберемо коріння (див. Рисунок 2)

Малюнок 2.

Переходимо до системи:

У першому рівнянні системи зробимо заміну log 2 (sinx) \u003d y, отримаємо рівняння тоді , Повернемося до системи

за допомогою одиничної окружності відберемо коріння (див. рисунок 5),

Малюнок 5.

6. Самостійна робота (15 хв.)

Мета - закріпити і перевірити засвоєння матеріалу, виявити помилки, намітити шляхи їх виправлення.

Робота пропонується в трьох варіантах, заготовлених заздалегідь на друкованій основі, на вибір учнів.

Вирішувати рівняння можна будь-яким способом.

Варіант на «3»

Вирішити рівняння:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3cosx

Варіант на «4»

Вирішити рівняння:

1) cos2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) log 8 (cosx) \u003d 0

Варіант на «5»

Вирішити рівняння:

1) 2sinx - 3cosx \u003d 2

7. Підсумок уроку, домашнє завдання (5 хв.)

Учитель підводить підсумок уроку, ще раз звертається увага на те, що тригонометрическое рівняння можна вирішити кількома способами. Найкращий спосіб для досягнення швидкого результату це той, який найкраще засвоєний конкретним учнем.

При підготовці до іспиту потрібно систематично повторювати формули і методи вирішення рівнянь.

Домашнє завдання (приготовлено заздалегідь на друкованій основі) лунає і коментуються способи рішень деяких рівнянь.

Вирішити рівняння:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5sin (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)