Найпростіші задачі з прямою на площині. Взаємне розміщення прямих. Кут між прямими. Координати і вектори. Вичерпний гід (2020) Відстань від точки до прямої заданої рівнянням

Відстань від точки до прямої - це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. У нарисної геометрії вона визначається графічним шляхом за наведеним нижче алгоритмом.

алгоритм

1. Пряму переводять в положення, в якому вона буде паралельна будь-якої площини проекції. Для цього застосовують методи перетворення ортогональних проекцій.
2. З точки проводять перпендикуляр до прямої. В основі даного побудови лежить теорема про проектування прямого кута.
3. Довжина перпендикуляра визначається шляхом перетворення його проекцій або з використанням способу прямокутного трикутника.

На наступному малюнку представлений комплексний креслення точки M і прямий b, заданої відрізком CD. Потрібно знайти відстань між ними.

Згідно з нашим алгоритмом, перше, що необхідно зробити, це перевести пряму в положення, паралельне площині проекції. При цьому важливо розуміти, що після проведених перетворень фактичне відстань між точкою і прямою не повинно змінитися. Саме тому тут зручно використовувати метод заміни площин, яка не передбачає переміщення фігур в просторі.

Результати першого етапу побудов показані нижче. На малюнку видно, як паралельно b введена додаткова фронтальна площину П 4. У новій системі (П 1, П 4) точки C "" 1, D "" 1, M "" 1 знаходяться на тому ж відстані від осі X 1, що і C "", D "", M "" від осі X.

Виконуючи другу частину алгоритму, з M "" 1 опускаємо перпендикуляр M "" 1 N "" 1 на пряму b "" 1, оскільки прямий кут MND між b і MN проектується на площину П 4 в натуральну величину. По лінії зв'язку визначаємо положення точки N "і проводимо проекцію M" N "відрізка MN.

На заключному етапі потрібно визначити величину відрізка MN по його проекція M "N" і M "" 1 N "" 1. Для цього будуємо прямокутний трикутник M "" 1 N "" 1 N 0, у якого катет N "" 1 N 0 дорівнює різниці (Y M 1 - Y N 1) видалення точок M "і N" від осі X 1. Довжина гіпотенузи M "" 1 N 0 трикутника M "" 1 N "" 1 N 0 відповідає шуканого відстані від M до b.

Другий спосіб вирішення

• Паралельно CD вводимо нову фронтальну площину П 4. Вона перетинає П 1 по осі X 1, причому X 1 ∥C "D". Відповідно до методу заміни площин визначаємо проекції точок C "" 1, D "" 1 і M "" 1, як це зображено на малюнку.
• Перпендикулярно C "" 1 D "" 1 будуємо додаткову горизонтальну площину П 5, на яку пряма b проектується в точку C "2 \u003d b" 2.
• Величина відстані між точкою M і прямий b визначається довжиною відрізка M "2 C" 2, позначеного червоним кольором.

Схожі завдання:

Дана стаття розповідає про тему « відстані від точки до прямої », розглядаються визначення відстані від точки до прямої з ілюстрованими прикладами методом координат. Кожен блок теорії в кінці має показані приклади розв'язання подібних задач.

Відстань від точки до прямої знаходиться через визначення відстані від точки до точки. Розглянемо детальніше.

Нехай є пряма a і крапка М 1, яка не належить заданій прямій. Через неї проведемо пряму b, розташовану перпендикулярно відносно прямої a. Точка перетину прямих візьмемо за Н 1. Отримаємо, що М 1 Н 1 є перпендикуляром, який опустили з точки М 1 до прямої a.

визначення 1

Відстанню від точки М 1 до прямої a називається відстань між точками М 1 і Н 1.

Бувають записи визначення з фігуруванні довжини перпендикуляра.

визначення 2

Відстанню від точки до прямої називають довжину перпендикуляра, проведеного з даної точки до даної прямої.

Визначення еквівалентні. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Відомо, що відстань від точки до прямої є найменшим з усіх можливих. Розглянемо це на прикладі.

Якщо взяти точку Q, що лежить на прямій a, не збігається з точкою М 1, тоді отримаємо, що відрізок М 1 Q називається похилій, опущеною з М 1 до прямої a. Необхідно позначити, що перпендикуляр з точки М 1 є менше, ніж будь-яка інша похила, проведена з точки до прямої.

Щоб довести це, розглянемо трикутник М 1 Q 1 Н 1, де М 1 Q 1 є гіпотенузою. Відомо, що її довжина завжди більше довжини будь-якого з катетів. Значущий, маємо, що M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Вихідні дані для знаходження від точки до прямої дозволяють використовувати різні способи вирішення: через теорему Піфагора, визначення синуса, косинуса, тангенса кута і іншими. Більшість завдань такого типу вирішують в школі на уроках геометрії.

Коли при знаходженні відстані від точки до прямої можна ввести прямокутну систему координат, то застосовують метод координат. В даному пункті розглянемо основних два методу знаходження шуканого відстані від заданої точки.

Перший спосіб має на увазі пошук відстані як перпендикуляра, проведеного з М 1 до прямої a. У другому способі використовується нормальне рівняння прямої а для знаходження шуканого відстані.

Якщо на площині є точка з координатами M 1 (x 1, y 1), розташована в прямокутній системі координат, пряма a, а необхідно знайти відстань M 1 H 1, можна зробити обчислення двома способами. Розглянемо їх.

перший спосіб

Якщо є координати точки H 1, рівні x 2, y 2, тоді відстань від точки до прямої обчислюється за координатами з формули M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Тепер перейдемо до знаходження координат точки Н 1.

Відомо, що пряма лінія в о м о с у відповідає рівняння прямої на площині. Візьмемо спосіб завдання прямої a через написання спільного рівняння прямої або рівняння з кутовим коефіцієнтом. Складаємо рівняння прямої, яка проходить через точку М 1 перпендикулярно заданої прямої a. Пряму позначимо букової b. Н 1 є точкою перетину прямих a і b, значить для визначення координат необхідно скористатися статтею, в якій йде мова про координати точок перетину двох прямих.

Видно, що алгоритм знаходження відстані від заданої точки M 1 (x 1, y 1) до прямої a проводиться згідно з пунктами:

визначення 3

• знаходження спільної рівняння прямої a, що має вигляд A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, або рівняння з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y \u003d k 1 x + b 1;
• отримання загального рівняння прямої b, що має вигляд A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом y \u003d k 2 x + b 2, якщо пряма b перетинає точку М 1 і є перпендикулярної до заданої прямої a;
• визначення координат x 2, y 2 точки Н 1, що є точкою перетину a і b, для цього проводиться рішення системи лінійних рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 або y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• обчислення шуканого відстані від точки до прямої, використовуючи формулу M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

другий спосіб

Теорема здатна допомогти відповісти на питання про знаходження відстані від заданої точки дот заданої прямої на площині.

теорема

Прямокутна система координат має Про х у має точку M 1 (x 1, y 1), з якої проведена пряма а до площини, що задається нормальним рівнянням площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p \u003d 0, так само по модулю значенням, що отримується в лівій частині нормального рівняння прямої, обчислюваному при x \u003d x 1, y \u003d y 1, значить, що M 1 H 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Доведення

Прямий а відповідає нормальне рівняння площині, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p \u003d 0, тоді n → \u003d (cos α, cos β) вважається нормальним вектором прямої a при відстані від початку координат до прямої a з p одиницями . Необхідно зобразити всі дані на малюнку, додати точку з координатами M 1 (x 1, y 1), де радіус-вектор точки М 1 - O M 1 → \u003d (x 1, y 1). Необхідно провести пряму від точки до прямої, яке позначимо M 1 H 1. Необхідно показати проекції М 2 і Н 2 точок М 1 і Н 2 на пряму, що проходить через точку O з напрямних вектором виду n → \u003d (cos α, cos β), а числову проекцію вектора позначимо як OM 1 → \u003d (x 1, y 1) до напрямку n → \u003d (cos α, cos β) як npn → OM 1 →.

Варіації залежать від розташування самої точки М 1. Розглянемо на малюнку, наведеному нижче.

Результати фіксуємо за допомогою формули M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p. Після чого наводимо рівність до такого виду M 1 H 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, щоб отримати n p n → O M → 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1.

Скалярний добуток векторів в результаті дає перетворену формулу виду n →, OM → 1 \u003d n → · npn → OM 1 → \u003d 1 · npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 →, яка є твором в координатної формі виду n →, OM 1 → \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1. Значить, отримуємо, що n p n → O M 1 → \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1. Звідси випливає, що M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Теорема доведена.

Отримуємо, що для знаходження відстані від точки M 1 (x 1, y 1) до прямої a на площині необхідно виконати декілька дій:

визначення 4

• отримання нормального рівняння прямої a cos α · x + cos β · y - p \u003d 0, за умови, що його немає в завданні;
• обчислення виразу cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, де отримане значення приймає M 1 H 1.

Застосуємо дані методи на вирішенні завдань з перебуванням відстані від точки до площини.

приклад 1

Знайти відстань від точки з координатами M 1 (- 1, 2) до прямої 4 x - 3 y + 35 \u003d 0.

Рішення

Застосуємо перший спосіб для вирішення.

Для цього необхідно знайти загальне рівняння прямої b, яка проходить через задану точку M 1 (- 1, 2), перпендикулярно прямий 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. З умови видно, що пряма b є перпендикулярної прямої a, тоді її направляючий вектор має координати, рівні (4, - 3). Таким чином маємо можливість записати канонічне рівняння прямої b на площині, так як є координати точки М 1, належить прямій b. Визначимо координати направляючого вектора прямої b. Отримаємо, що x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3. Отримане канонічне рівняння необхідно перетворити до загального. Тоді отримуємо, що

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) \u003d 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Зробимо знаходження координат точок перетину прямих, яке приймемо за позначення Н 1. Перетворення виглядають таким чином:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 · 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

З вище написаного маємо, що координати точки Н 1 рівні (- 5; 5).

Необхідно обчислити відстань від точки М 1 до прямої a. Маємо, що координати точок M 1 (- 1, 2) і H 1 (- 5, 5), тоді підставляємо в формулу для знаходження відстані і отримуємо, що

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Другий спосіб вирішення.

Для того, щоб вирішити іншим способом, необхідно отримати нормальне рівняння прямої. Обчислюємо значення нормує множника і множимо обидві частини рівняння 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. Звідси отримаємо, що нормує множник дорівнює посилання - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d посилання - 1 5, а нормальне рівняння буде виду посилання - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 \u003d посилання - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0.

За алгоритмом обчислення необхідно отримати нормальне рівняння прямої і обчислити його зі значеннями x \u003d - 1, y \u003d 2. Тоді отримуємо, що

4 5 · - 1 +3 5 · 2 - 7 \u003d - 5

Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (- 1, 2) до заданої прямої 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 має значення - 5 \u003d 5.

відповідь: 5 .

Видно, що в даному методі важливо використання нормального рівняння прямої, так як такий спосіб є найбільш коротким. Але перший метод зручний тим, що послідовний і логічний, хоча має більше пунктів обчислення.

приклад 2

На площині є прямокутна система координат Про х у з точкою M 1 (8, 0) і прямий y \u003d 1 2 x + 1. Знайти відстань від заданої точки до прямої.

Рішення

Рішення першим способом має на увазі приведення заданого рівняння з кутовим коефіцієнтом до рівняння загального вигляду. Для спрощення можна зробити інакше.

Якщо твір кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих мають значення - 1, значить кутовий коефіцієнт прямої перпендикулярної заданої y \u003d 1 2 x + 1 має значення 2. Тепер отримаємо рівняння прямої, що проходить через точку з координатами M 1 (8, 0). Маємо, що y - 0 \u003d - 2 · (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16.

Переходимо до знаходження координат точки Н 1, тобто точках перетину y \u003d - 2 x + 16 і y \u003d 1 2 x + 1. Складаємо систему рівнянь і отримуємо:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 · 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Звідси випливає, що відстань від точки з координатами M 1 (8, 0) до прямої y \u003d 1 2 x + 1 дорівнює відстані від точки початку і точки кінця з координатами M 1 (8, 0) і H 1 (6, 4) . Обчислимо і отримаємо, що M 1 H 1 \u003d 6 - 8 2+ (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5.

Рішення другим способом полягає в переході від рівняння з коефіцієнтом до нормального його виду. Тобто отримаємо y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, тоді значення нормує множники буде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. Звідси випливає, що нормальне рівняння прямої набирає вигляду - 2 5 · 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x +2 5 y - 2 +5 \u003d 0. Зробимо обчислення від точки M 1 8, 0 до прямої виду посилання - 1 5 x +2 5 y - 2 +5 \u003d 0. отримуємо:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 +5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

відповідь: 2 5 .

приклад 3

Необхідно обчислити відстань від точки з координатами M 1 (- 2, 4) до прямих 2 x - 3 \u003d 0 і y + 1 \u003d 0.

Рішення

Отримуємо рівняння нормального вигляду прямої 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 \u003d 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

Після чого переходимо до обчислення відстані від точки M 1 - 2, 4 до прямої x - 3 2 \u003d 0. отримуємо:

M 1 H 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Рівняння прямої y + 1 \u003d 0 має нормирующий множник зі значенням рівним -1. Це означає, що рівняння набуде вигляду - y - 1 \u003d 0. Переходимо до обчислення відстані від точки M 1 (- 2, 4) до прямої - y - 1 \u003d 0. Отримаємо, що воно дорівнює - 4 - 1 \u003d 5.

відповідь: 3 1 2 і 5.

Детально розглянемо знаходження відстані від заданої точки площині до координатним осях Про х і Про у.

У прямокутній системі координат у осі Про у є рівняння прямої, що є неповним має виду х \u003d 0, а о м о с - y \u003d 0. Рівняння є нормальними для осей координат, тоді необхідно знайти відстань від точки з координатами M 1 x 1, y 1 до прямих. Це здійснюється, виходячи з формул M 1 H 1 \u003d x 1 і M 1 H 1 \u003d y 1. Розглянемо на малюнку, наведеному нижче.

приклад 4

Знайти відстань від точки M 1 (6 - 7) до координатних прямих, розташованих в площині Про х у.

Рішення

Так як рівняння у \u003d 0 відноситься до прямої Про х, можна знайти відстань від M 1 з заданими координатами, до цієї прямої, використовуючи формулу. Отримуємо, що 6 \u003d 6.

Так як рівняння х \u003d 0 відноситься до прямої Про у, то можна знайти відстань від М 1 до цієї прямої за формулою. Тоді отримаємо, що - 7 \u003d 7.

відповідь:відстань від М 1 до Про х має значення 6, а від М 1 до Про у має значення 7.

Коли в тривимірному просторі маємо точку з координатами M 1 (x 1, y 1, z 1), необхідно знайти відстань від точки A до прямої a.

Розглянемо два способи, які дозволяють виробляти обчислення відстань від точки до прямої a, розташованої в просторі. Перший випадок розглядає відстань від точки М 1 до прямої, де точка на прямій називається Н 1 і є підставою перпендикуляра, проведеного з точки М 1 на пряму a. Другий випадок говорить про те, що точки цієї площини необхідно шукати в якості висоти паралелограма.

перший спосіб

З визначення маємо, що відстань від точки М 1, розташованої на прямий а, є довжиною перпендикуляра М 1 Н 1, тоді отримаємо, що при знайдених координатах точки Н 1, тоді знайдемо відстань між M 1 (x 1, y 1, z 1 ) і H 1 (x 1, y 1, z 1), виходячи з формули M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Отримуємо, що все рішення йде до того, щоб знайти координати підстави перпендикуляра, проведеного з М 1 на пряму a. Це робиться таким чином: Н 1 є точкою, де перетинаються пряма a з площиною, яка проходить через задану точку.

Значить, алгоритм визначення відстані від точки M 1 (x 1, y 1, z 1) до прямої a простору має на увазі кілька пунктів:

визначення 5

• складання рівняння площини χ як рівняння площини, що проходить через задану точку, що знаходиться перпендикулярно прямий;
• визначення координат (x 2, y 2, z 2), що належали точці Н 1, яка є точкою перетину прямої a і площині χ;
• обчислення відстані від точки до прямої за допомогою формули M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

другий спосіб

З умови маємо пряму a, тоді можемо визначити спрямовує вектор a → \u003d a x, a y, a z з координатами x 3, y 3, z 3 і певної точки М 3, що належить прямій a. При наявності координат точок M 1 (x 1, y 1) і M 3 x 3, y 3, z 3 можна зробити обчислення M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Слід відкласти вектори a → \u003d a x, a y, a z і M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 з точки М 3, з'єднаємо і отримаємо фігуру паралелограма. М 1 Н 1 є висотою паралелограма.

Розглянемо на малюнку, наведеному нижче.

Маємо, що висота М 1 Н 1 є шуканим відстанню, тоді необхідно знайти його за формулою. Тобто шукаємо M 1 H 1.

Позначимо площу паралелограма за букву S, знаходиться за формулою, використовуючи вектор a → \u003d (a x, a y, a z) і M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формула площі має вигляд S \u003d a → × M 3 M 1 →. Також площа фігури дорівнює добутку довжин його сторін на висоту, отримаємо, що S \u003d a → · M 1 H 1 з a → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, що є довжиною вектора a → \u003d (ax, ay, az), що є рівною стороні паралелограма. Значить, M 1 H 1 є відстанню від точки до прямої. Її перебування здійснюється за формулою M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Для знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1, y 1, z 1) до прямої a в просторі, необхідно виконати кілька пунктів алгоритму:

визначення 6

• визначення направляючого вектора прямої a - a → \u003d (a x, a y, a z);
• обчислення довжини направляє вектора a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• отримання координат x 3, y 3, z 3, що належали точці М 3, що знаходиться на прямій а;
• обчислення координат вектора M 3 M 1 →;
• знаходження векторного добутку векторів a → (ax, ay, az) і M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 в якості a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для отримання довжини за формулою a → × M 3 M 1 →;
• обчислення відстані від точки до прямої M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Рішення задач на знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої в просторі

Знайти відстань від точки з координатами M 1, 2, - 4, - 1 до прямої x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5.

Рішення

Перший спосіб починається з запису рівняння площини χ, що проходить через М 1 і перпендикулярно заданій точці. Отримуємо вираз виду:

2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Потрібно знайти координати точки H 1, що є точкою перетину з площиною χ до заданої за умовою прямий. Слід переходити від канонічного виду до перетинати. Тоді отримуємо систему рівнянь виду:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) \u003d 2 · y 5 · (x + 1) \u003d 2 · (z + 5) 5 · y \u003d - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

Необхідно обчислити систему x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3 за методом Крамера, тоді отримуємо, що:

Δ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 + 2 - 1 5 \u003d - 60 Δ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d Δ x Δ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 Δ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d Δ y Δ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 Δ z \u003d 1 2 - 1 5 0 Попереднє 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d Δ z Δ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Звідси маємо, що H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 + 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 | 2 \u003d 11

Другий спосіб необхідно почати з пошуку координат в канонічному рівнянні. Для цього необхідно зверне увагу на знаменники дробу. Тоді a → \u003d 2, - 1, 5 є напрямних вектором прямої x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5. Необхідно обчислити довжину за формулою a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 +5 2 \u003d 30.

Зрозуміло, що пряма x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 перетинає точку M 3 (- 1, 0, - 5), звідси маємо, що вектор з початком координат M 3 (- 1, 0, - 5) і його кінцем в точці M 1, 2, - 4, - 1 є M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4. Знаходимо векторний добуток a → \u003d (2, - 1, 5) і M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4).

Ми отримуємо вираз виду a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → \u003d 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

отримуємо, що довжина векторного твори дорівнює a → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

Є всі дані для використання формули обчислення відстані від точки для прямлой, тому застосуємо її і отримаємо:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

відповідь: 11 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

О-о-о-о-о ... ну і жерсть, немов вам сам собі вирок зачитав \u003d) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше, сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними:;

3) або перетинатися в єдиній точці:.

Довідка для чайників : Будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину, він буде зустрічатися дуже часто. Запис означає, що пряма перетинається з прямою в точці.

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти пропорційні, Тобто, існує таке число «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі і складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів:. З кожного рівняння слід, що, отже, дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде одне і те ж рівняння:.

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що.

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти при змінних НЕ пропорційні, Тобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувалися рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння слід, що, а з другого рівняння:, значить, система несумісна (Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти при змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використовувати тільки що розглянуту схему вирішення. Вона, до речі, вельми нагадує алгоритм перевірки векторів на коллинеарность, який ми розглядали на уроці Поняття лінійної (не) залежності векторів. базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішення засноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

, Значить, вектори НЕ колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь з покажчиками:

Решта перестрибують камінь і слідують далі, прямо до Кащею Безсмертному \u003d)

б) Знайдемо направляючі вектори прямих:

Прямі мають один і той же спрямовує вектор, значить, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник вважати не треба.

Очевидно, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, при цьому.

З'ясуємо, чи справедливо рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо направляючі вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений з координат даних векторів:
, Отже, направляючі вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо зі співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедливо рівність. Обидва вільних члена нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє взагалі будь-яке число).

Таким чином, прямі співпадають.

відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуту задачу усно буквально в лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати що-небудь для самостійного рішення, краще закладемо ще один важливий цегла в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішої завдання суворо карає Соловей-Розбійник.

приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку.

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою. Що про неї сказано в умови? Пряма проходить через точку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що спрямовує вектор прямої «це» підійде і для побудови прямої «де».

Витягуємо спрямовує вектор з рівняння:

відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає в наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих один і той же спрямовує вектор (якщо рівняння прямій не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння.

Аналітичну перевірку в більшості випадків легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначать паралельність прямих без жодного креслення.

Приклади для самостійного рішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться змагатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну прямий, якщо

Існує раціональний і не дуже раціональний спосіб вирішення. Найкоротший шлях - в кінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них ще повернемося. Випадок співпадаючих прямих малоцікавий, тому розглянемо задачу, яка добре знайома вам зі шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

якщо прямі перетинаються в точці, то її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими - це дві пересічні (найчастіше) прямі на площині.

приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи вирішення - графічний і аналітичний.

Графічний спосіб полягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка:. Для перевірки слід підставити її координати в кожне рівняння прямої, вони повинні підійти і там, і там. Іншими словами, координати точки є рішенням системи. По суті, ми розглянули графічний спосіб вирішення системи лінійних рівнянь з двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але існує помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і ТОЧНИЙ креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так-то просто, та й сама точка перетину може перебувати де-небудь в тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використаний метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як вирішити систему рівнянь?

відповідь:

Перевірка тривіальна - координати точки перетину повинні задовольняти кожному рівняння системи.

приклад 5

Знайти точку перетину прямих у тому випадку, якщо вони перетинаються.

Це приклад для самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних задач, і я на цьому буду неодноразово загострювати увагу.

Повне рішення і відповідь в кінці уроку:

Ще не стоптані і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні прямі. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типовою і дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даної?

приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що. Непогано б знайти спрямовує вектор прямої. Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі:, який і буде напрямних вектором прямої.

Рівняння прямої складемо по точці і направляючої вектору:

відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да ... Помаранчеве небо, помаранчеве море, жовтогарячий верблюд.

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори і за допомогою скалярного твори векторів приходимо до висновку, що прямі дійсно перпендикулярні:.

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це навіть простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад для самостійного рішення. У задачі кілька дій, тому рішення зручно оформити по пунктам.

Наше захоплюючу подорож триває:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух по перпендикуляру. Тобто, відстань від точки до прямої - це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань в геометрії зазвичай позначають грецькою буквою «ро», наприклад: - відстань від точки «ем» до прямої «де».

Відстань від точки до прямої виражається формулою

приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: Все що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдене відстань від точки до прямої - це в точності довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатій папері в масштабі 1 од. \u003d 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайної лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж кресленням:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки, яка симетрична точці відносно прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна прямій.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидва дії детально розібрані в рамках даного уроку.

3) Точка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини і одного з кінців. за формулами координат середини відрізка знаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань теж одно 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути в обчисленнях, але в вишці здорово виручає мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу і знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це черговий приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут нескінченно багато способів вирішення. Розбір польотів у кінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, думаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що не кут, то косяк:


В геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не рахується кутом між пересічними прямими. А вважається таким його «зелений» сусід або протилежно орієнтований «Малиновий» кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який з 4 кутів.

Чим відрізняються кути? Орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокрутки» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком «мінус», наприклад, якщо.

Навіщо я це розповів? Начебто можна обійтися й звичайним поняттям кута. Справа в тому, що в формулах, за якими ми будемо знаходити кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірше, і має цілком конкретний геометричний сенс. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими? Існують дві робочі формули:

приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішення і спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями в загальному вигляді:

якщо прямі нЕ перпендикулярні, то орієнтований кут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найбільш пильну увагу звернемо на знаменник - це в точності скалярний твір напрямних векторів прямих:

Якщо, то знаменник формули наближається до нуля, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярності прямих в формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити в два етапи:

1) Обчислимо скалярний твір напрямних векторів прямих:
, Значить, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотного функції легко знайти і сам кут. При цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки і властивості елементарних функцій):

відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене значення (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, так мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтації, адже в умові завдання першим номером йде пряма і «откруткі» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , А коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати необхідно з прямою .

Розглянемо застосування розібраних методів для знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої на площині при вирішенні прикладу.

Знайдіть відстань від точки до прямої:

Спочатку вирішимо завдання першим способом.

В умові задачі нам дано загальне рівняння прямої a виду:

Знайдемо загальне рівняння прямої b, яка проходить через задану точку перпендикулярно прямий:

Так як пряма b перпендикулярна прямий a, то спрямовує вектор прямої b є нормальний вектор заданої прямої:

тобто, спрямовує вектор прямої b має координати. Тепер ми можемо записати канонічне рівняння прямої b на площині, так як знаємо координати точки М 1, через яку проходить пряма b, і координати направляючого вектора прямої b:

Від отриманого канонічного рівняння прямої b перейдемо до загального рівняння прямої:

Тепер знайдемо координати точки перетину прямих a і b (позначимо її H 1), вирішивши систему рівнянь, складену із загальних рівнянь прямих a і b (при необхідності звертайтеся до статті рішення систем лінійних рівнянь):

Таким чином, точка H 1 має координати.

Залишилося обчислити шукане відстань від точки М 1 до прямої a як відстань між точками і:

Другий спосіб вирішення завдання.

Будемо мати нормальну рівняння заданої прямої. Для цього обчислимо значення нормує множники і помножимо на нього обидві частини вихідного загального рівняння прямої:

(Про це ми говорили в розділі приведення загального рівняння прямої до нормального вигляду).

Нормуючий множник дорівнює

тоді нормальне рівняння прямої має вигляд:

Тепер беремо вираз, що стоїть в лівій частині отриманого нормального рівняння прямої, і обчислюємо його значення при:

Шукане відстань від заданої точки до заданої прямої:

дорівнює абсолютній величині отриманого значення, тобто, п'яти ().

відстань від точки до прямої:

Очевидно, перевагою методу знаходження відстані від точки до прямої на площині, заснованого на використанні нормального рівняння прямої, є порівняно менший обсяг обчислювальної роботи. У свою чергу перший спосіб знаходження відстані від точки до прямої інтуїтивно зрозумілий і відрізняється послідовністю і логічністю.

На площині зафіксована прямокутна система координат Oxy, задана точка і пряма:

Знайдіть відстань від заданої точки до заданої прямої.

Перший спосіб.

Можна від заданого рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом перейти до загального рівняння цієї прямої і діяти так само, як в розібраному вище прикладі.

Але можна зробити й інакше.

Ми знаємо, що твір кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих дорівнює 1 (дивіться статтю перпендикулярні прямі, перпендикулярність прямих). Тому кутовий коефіцієнт прямої, яка перпендикулярна заданій прямій:

дорівнює 2. Тоді рівняння прямої, перпендикулярної заданої прямої і проходить через точку, має вигляд:

Тепер знайдемо координати точки H 1 - точки перетину прямих:

Таким чином, шукане відстань від точки до прямої:

дорівнює відстані між точками і:

Другий спосіб.

Перейдемо від заданого рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом до нормального рівняння цієї прямої:

нормирующий множник дорівнює:

отже, нормальне рівняння заданої прямої має вигляд:

Тепер обчислюємо необхідну відстані від точки до прямої:

Обчисліть відстань від точки до прямої:

і до прямої:

Будемо мати нормальну рівняння прямої:

Тепер обчислимо відстань від точки до прямої:

Нормуючий множник для рівняння прямої виду:

дорівнює 1. Тоді нормальне рівняння цієї прямої має вигляд:

Тепер ми можемо обчислити відстань від точки до прямої:

воно дорівнює.

Відповідь: і 5.

У висновку окремо розглянемо, як знаходиться відстань від заданої точки площині до координатних прямих Ox і Oy.

У прямокутній системі координат Oxy координатну пряму Oy задає неповну загальну рівняння прямої x \u003d 0, а координатну пряму Ox - рівняння y \u003d 0. Ці рівняння є нормальними рівняннями прямих Oy і Ox, отже, відстань від точки до цих прямих обчислюються за формулами:

відповідно.

малюнок 5

На площині введена прямокутна система координат Oxy. Знайдіть відстані від точки до координатних прямих.

Відстань від заданої точки М 1 до координатної прямої Ox (вона задається рівнянням y \u003d 0) дорівнює модулю ординати точки М 1, тобто,.

Відстань від заданої точки М 1 до координатної прямої Oy (їй відповідає рівняння x \u003d 0) дорівнює абсолютній величині абсциси точки М 1:.

Відповідь: відстань від точки М 1 до прямої Ox дорівнює 6, а відстань від заданої точки до координатної прямої Oy одно.

Кут між прямими на площині.

Визначення.

Висновок формули відстані від точки до прямої

Варіант 1

Нехай на площині дана пряма l: ax + by + c \u003d 0 і точка M 1(x 1;y 1), Яка не належить цій прямій. Знайдемо відстань від точки до прямої. Під відстанню ρ від точки M 1до прямої l розуміють довжину відрізка M 0M 1⏊ l.

Для визначення відстані зручно використовувати одиничний вектор, колінеарний нормальному вектору прямий.

пояснення:оскільки точка M 0 лежить в на прямий l, То її координати повинні задовольняти рівняння даної прямої, тобто ax 0 + by 0 + c= 0Варіант 2

Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С \u003d 0 визначається як .

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - підстава перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М і М 1: (1) Координати x 1 і у 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь: Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М 0 перпендикулярно заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду: A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C \u003d 0, то, вирішуючи, отримаємо: Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо: . Теорема доведена.