ව්‍යුත්පන්නයක් ලෙස වේගය. භෞතික විද්‍යාවේ ව්යුත්පන්න කාලයට සාපේක්ෂව දුර ව්යුත්පන්න
කාලය සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයක ව්යුත්පන්නය වේගය වේ. x"(t)=v(t) ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය
කාලය සම්බන්ධයෙන් වේගයේ ව්යුත්පන්නය හෝ කාලය සම්බන්ධයෙන් ඛණ්ඩාංකයේ දෙවන ව්යුත්පන්නය ත්වරණය වේ. a(t)=v "(t)=x""(t)
ලක්ෂ්‍යයක් x(t)= t²+t+2 නීතියට අනුව ඛණ්ඩාංක රේඛාවක් ඔස්සේ ගමන් කරයි, එහිදී x(t) යනු t අවස්ථාවේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය වේ (කාලය තත්පර වලින්, දුර මීටර් වලින් මනිනු ලැබේ). ලක්ෂ්යයේ වේගය 5 m/s වන්නේ කුමන වේලාවකද? විසඳුම: t හි ලක්ෂ්‍යයක වේගය යනු කාලයට අදාළව ඛණ්ඩාංකයේ ව්‍යුත්පන්නයයි. v(t) = x"(t) = 2t+1 සහ v = 5 m/s බැවින්, 2t +1= 5 t=2 පිළිතුර: 2.
තිරිංග කරන විට, පියාසර රෝදය t තත්පර තුළ φ (t) = 6 t- t² රේඩියන කෝණයක් හරහා භ්‍රමණය වේ. t=1s වේලාවේදී පියාසර රෝදයේ භ්‍රමණ කෝණික වේගය ω සොයන්න. (φ (t) - රේඩියනවල කෝණය, ω (t) - රේඩ් / s හි වේගය, t - තත්පර වලින් කාලය). විසඳුම: ω (t) = φ "(t) ω (t) = 6 – 2t t = 1 s. ω (1) = 6 – 2 × 1 = 4 rad/s පිළිතුර:4.
ශරීරයක් සරල රේඛාවක ගමන් කරන විට එහි වේගය v(t) නීතියට අනුව v(t)=15+8 t -3t² (t යනු තත්පර කිහිපයකින් සිරුරේ චලනය වන කාලයයි) ත්වරණය කුමක් වේවිද? චලනය ආරම්භ වී තත්පරයකට පසු ශරීරය (m/s² වලින්) විසඳුම: v(t)=15+8t-3t² a(t)=v"(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 m/s² පිළිතුර: 2.
භෞතික ගැටළු වලදී ව්යුත්පන්න යෙදීම. සන්නායකයේ හරස්කඩ හරහා ගමන් කරන ආරෝපණය q (t) = 2t 2 -5t සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ. වත්මන් ශක්තිය t=5c හිදී සොයන්න. විසඳුම: i(t)=q"(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 A. පිළිතුර:15.
ශරීරයක් සරල රේඛාවකින් ගමන් කරන විට, M ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ සිට s(t) දුර s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 (t යනු තත්පර වලින් කාලය) නීතියට අනුව වෙනස් වේ. තත්පර 3 කට පසු ශරීරයේ ත්වරණය (m/s 2 කින්) කුමක් වේවිද? විසඳුමක්. a(t)=v "(t)=s""(t). අපි v(t)=s"(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)" =4t 3 -12t a( t )=v "(t)= s""(t)= (4t 3 -12t 2 -12)" =12t 2 -24t, a(3)=12× ×3=108-72=36m/s 2 පිළිතුර: 36.
ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය. ගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය පිළිබඳ දැනුම සහ අවබෝධය අවශ්ය වන විසඳීම සඳහා ගැටලු සමූහයක් ඇතුළත් වේ. විශේෂයෙන්, යම් ලක්ෂ්‍යයක (වස්තුවක) චලිත නියමය ලබා දී, සමීකරණයකින් ප්‍රකාශ වන අතර, චලනය වන වේලාවේ නිශ්චිත මොහොතක හෝ වස්තුවේ වේගය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන ගැටළු තිබේ. යම් නිශ්චිත වේගයක් අත්කර ගනු ඇත.කාර්යයන් ඉතා සරල ය, ඒවා එක් ක්රියාවකින් විසඳා ගත හැකිය. ඒ නිසා:
ඛණ්ඩාංක අක්ෂය දිගේ x (t) ද්රව්ය ලක්ෂ්‍යයක චලිත නියමය ලබා දෙමු, එහිදී x යනු චලනය වන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය වේ, t යනු කාලයයි.
නිශ්චිත මොහොතක ප්‍රවේගය යනු කාලයට අදාළව ඛණ්ඩාංකයේ ව්‍යුත්පන්නයයි. ව්යුත්පන්නයේ යාන්ත්රික අර්ථය මෙයයි.
එසේම, ත්වරණය යනු කාලයට සාපේක්ෂව වේගයේ ව්‍යුත්පන්නයයි:
මේ අනුව, ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය වේගය වේ. මෙය චලනය වීමේ වේගය, ක්‍රියාවලියක වෙනස් වීමේ වේගය (නිදසුනක් ලෙස, බැක්ටීරියා වර්ධනය), වැඩ කිරීමේ වේගය (සහ බොහෝ ව්‍යවහාරික ගැටළු තිබේ) විය හැකිය.
ඊට අමතරව, ඔබ ව්යුත්පන්න වගුව (ඔබ එය ගුණ කිරීමේ වගුව මෙන් දැන සිටිය යුතුය) සහ අවකලනය පිළිබඳ නීති දැන සිටිය යුතුය. නිශ්චිතවම, නිශ්චිත ගැටළු විසඳීම සඳහා, පළමු ව්යුත්පන්න හය පිළිබඳ දැනුම අවශ්ය වේ (වගුව බලන්න):
අපි කාර්යයන් සලකා බලමු:
x (t) = t 2 - 7t - 20
මෙහි x t යනු චලනය ආරම්භයේ සිට මනිනු ලබන තත්පර වල කාලයයි. එහි වේගය (තත්පරයට මීටර් වලින්) t = 5 s වේලාවේදී සොයා ගන්න.
ව්‍යුත්පන්නයක භෞතික අර්ථය වන්නේ වේගය (චලනයේ වේගය, ක්‍රියාවලියක වෙනස් වීමේ වේගය, වැඩ කිරීමේ වේගය යනාදිය) වේ.
වේගය වෙනස් කිරීමේ නියමය සොයා ගනිමු: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.
t = 5 දී අපට ඇත්තේ:
පිළිතුර: 3
ඔබම තීරණය කරන්න:
ද්රව්ය ලක්ෂ්යය x (t) = 6t 2 – 48t + 17 නීතියට අනුව සෘජුකෝණාශ්‍රය ලෙස චලනය වේ. x- මීටර් වලින් යොමු ලක්ෂ්යයේ සිට දුර, ටී- චලනය ආරම්භයේ සිට තත්පර වලින් කාලය මනිනු ලැබේ. එහි වේගය (තත්පරයට මීටර් වලින්) t = 9 s වේලාවේදී සොයා ගන්න.
ද්රව්ය ලක්ෂ්යය x (t) = 0.5t නීතියට අනුව සෘජුකෝණාශ්‍රය ලෙස චලනය වේ 3 - 3t 2 + 2t, කොහෙද xටී- චලනය ආරම්භයේ සිට තත්පර වලින් කාලය මනිනු ලැබේ. එහි වේගය (තත්පරයට මීටර් වලින්) t = 6 s වේලාවේදී සොයා ගන්න.
ද්රව්යමය ලක්ෂ්‍යයක් නීතියට අනුව සෘජුකෝණාස්රාකාරව ගමන් කරයි
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
කොහෙද x- මීටර් වලින් යොමු ලක්ෂ්යයේ සිට දුර,ටී- චලනය ආරම්භයේ සිට තත්පර වලින් කාලය මනිනු ලැබේ. එහි වේගය (තත්පරයට මීටර් වලින්) t = 3 s වේලාවේදී සොයා ගන්න.
ද්රව්යමය ලක්ෂ්‍යයක් නීතියට අනුව සෘජුකෝණාස්රාකාරව ගමන් කරයි
x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28
මෙහි x යනු මීටර වලින් සමුද්දේශ ලක්ෂ්යයේ සිට ඇති දුරයි, t යනු චලනයේ ආරම්භයේ සිට මනිනු ලබන තත්පර වල කාලයයි. එහි වේගය 6 m/s ට සමාන වූයේ කුමන අවස්ථාවේදීද (තත්පර වලින්)?
වේගය වෙනස් කිරීමේ නීතිය සොයා ගනිමු:
කුමන වේලාවකදැයි සොයා බැලීම සඳහාටීවේගය 3 m / s විය, එය සමීකරණය විසඳීමට අවශ්ය වේ:
පිළිතුර: 3
ඔබම තීරණය කරන්න:
ද්රව්ය ලක්ෂ්යය x (t) = t 2 – 13t + 23 නීතියට අනුව සෘජුකෝණාශ්‍රය ලෙස චලනය වේ. x- මීටර් වලින් යොමු ලක්ෂ්යයේ සිට දුර, ටී- චලනය ආරම්භයේ සිට තත්පර වලින් කාලය මනිනු ලැබේ. එහි වේගය 3 m/s ට සමාන වූයේ කුමන අවස්ථාවේදීද (තත්පර වලින්)?
ද්රව්යමය ලක්ෂ්‍යයක් නීතියට අනුව සෘජුකෝණාස්රාකාරව ගමන් කරයි
x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3
කොහෙද x- මීටර් වලින් යොමු ලක්ෂ්යයේ සිට දුර, ටී- චලනය ආරම්භයේ සිට තත්පර වලින් කාලය මනිනු ලැබේ. එහි වේගය 2 m/s ට සමාන වූයේ කුමන වේලාවක (තත්පර වලින්) ද?
ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේදී ඔබ මේ ආකාරයේ කාර්යයන් කෙරෙහි පමණක් අවධානය යොමු නොකළ යුතු බව මම සටහන් කිරීමට කැමැත්තෙමි. ඔවුන් සම්පූර්ණයෙන්ම අනපේක්ෂිත ලෙස ඉදිරිපත් කරන ලද ගැටළු වලට ප්රතිවිරුද්ධ ගැටළු හඳුන්වා දිය හැකිය. වේගය වෙනස් කිරීමේ නීතිය ලබා දුන් විට සහ ප්රශ්නය වන්නේ චලිත නීතිය සොයා ගැනීමයි.
ඉඟිය: මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ වේග ශ්රිතයේ අනුකලනය සොයා ගත යුතුය (මෙය ද එක්-පියවර ගැටළුවකි). ඔබට නිශ්චිත වේලාවක ගමන් කළ දුර සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, ඔබට ලැබෙන සමීකරණයට කාලය ආදේශ කර දුර ගණනය කළ යුතුය. කෙසේ වෙතත්, අපි එවැනි ගැටළු විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු, එය අතපසු නොකරන්න!මම ඔබට සාර්ථක වේවා!
අවංකවම, ඇලෙක්සැන්ඩර් Krutitskikh.
P.S: ඔබ සමාජ ජාල වල වෙබ් අඩවිය ගැන මට පැවසුවහොත් මම කෘතඥ වෙනවා.
වීජ ගණිතය ත්යාගශීලී ය. ඇය බොහෝ විට ඇයගෙන් ඉල්ලන දේට වඩා වැඩි යමක් ලබා දෙයි.
J. d'Alembert
අන්තර් විනය සම්බන්ධතා යනු විද්‍යාත්මක කොන්දේසියක් වන අතර පාසලේදී විද්‍යාවේ මූලික කරුණු පිළිබඳ ගැඹුරු සහ පුළුල් ප්‍රගුණ කිරීමේ මාධ්‍යයකි.
ඊට අමතරව, ඔවුන් සිසුන්ගේ විද්‍යාත්මක දැනුම වැඩිදියුණු කිරීමට, තාර්කික චින්තනය සහ ඔවුන්ගේ නිර්මාණාත්මක හැකියාවන් වර්ධනය කිරීමට උපකාරී වේ. අන්තර් විනය සම්බන්ධතා ක්රියාත්මක කිරීම ද්රව්ය අධ්යයනය කිරීමේදී අනුපිටපත් ඉවත් කිරීම, කාලය ඉතිරි කිරීම සහ සිසුන්ගේ සාමාන්ය අධ්යාපනික කුසලතා වර්ධනය කිරීම සඳහා හිතකර කොන්දේසි නිර්මානය කරයි.
භෞතික විද්‍යා පාඨමාලාවක අන්තර් විනය සම්බන්ධතා ඇති කර ගැනීම පොලිටෙක්නික් සහ ප්රායෝගික පුහුණුවේ සඵලතාවය වැඩි කරයි.
ගණිතය ඉගැන්වීමේදී අභිප්‍රේරණ පැත්ත ඉතා වැදගත් වේ. ගණිතමය ගැටලුවක් සිසුන්ට වඩා හොඳින් වටහා ගන්නේ එය ඔවුන්ගේ ඇස් ඉදිරිපිට මෙන් පැන නගින අතර සමහර භෞතික සංසිද්ධි හෝ තාක්ෂණික ගැටළු සලකා බැලීමෙන් පසුව සකස් කර ඇත.
භෞතික විද්‍යාව හැදෑරීමට හා තාක්‍ෂණයේ දියුණුවට ගණිතයේ ඇති වැදගත්කම සහ ගණිතයේ ප්‍රගතියෙහි ප්රායෝගික භූමිකාව ගැන ගුරුවරයෙකු කෙතරම් කතා කළත්, ගණිතයේ වර්ධනයට භෞතික විද්‍යාව බලපාන ආකාරය සහ ගණිතය උපකාරී වන ආකාරය නොපෙන්වයි. එහි ගැටළු විසඳීමට පුරුදු වන්න, එවිට භෞතිකවාදී ලෝක දර්ශනයක් වර්ධනය කිරීම බරපතල හානියක් වනු ඇත. නමුත් ගණිතය එහි ගැටළු විසඳීමට උපකාරී වන ආකාරය පෙන්වීමට, අපට ක්‍රමවේද අරමුණු සඳහා සොයා නොගත් නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම ප්රායෝගික මානව ක්‍රියාකාරකම්වල විවිධ ක්ෂේත්‍රවල පැන නගින ගැටළු අවශ්ය වේ.
ඓතිහාසික තොරතුරු
17 වන ශතවර්ෂයේ අවසානයේ නිව්ටන් සහ ලයිබ්නිස් විසින් ගැටළු දෙකක් මත පදනම්ව අවකල කලනය නිර්මාණය කරන ලදී:
- අත්තනෝමතික රේඛාවකට ස්පර්ශකයක් සොයා ගැනීම ගැන;
- අත්තනෝමතික චලිත නීතියක් යටතේ වේගය සොයා ගැනීම මත.
මීට පෙර පවා, ඉතාලි ගණිතඥ නිකොලෝ ටාටැග්ලියාගේ (1500 - 1557 දී පමණ) කෘතිවල ව්යුත්පන්න සංකල්පය හමු විය - තුවක්කුවක නැඹුරුවීමේ කෝණය පිළිබඳ ගැටළුව අධ්යයනය කිරීමේදී ස්පර්ශකය මෙහි දර්ශනය වූ අතර එය විශාලතම පරාසය විය. ප්‍රක්ෂේපණයේ සහතික කර ඇත.
17 වන ශතවර්ෂයේදී, චලිතය පිළිබඳ G. ගැලීලියෝගේ ඉගැන්වීම් මත පදනම්ව, ව්යුත්පන්නයේ චාලක සංකල්පය ක්රියාකාරීව වර්ධනය විය.
සුප්‍රසිද්ධ විද්යාඥ ගැලීලියෝ ගැලීලි ගණිතයේ ව්‍යුත්පන්නයන්ගේ භූමිකාව පිළිබඳ සම්පූර්ණ නිබන්ධනයක් කැප කරයි. Descartes, ප්රංශ ගණිතඥ Roberval සහ ඉංග්රීසි විද්යාඥ L. Gregory ගේ කෘතිවල විවිධ ඉදිරිපත් කිරීම් සොයා ගැනීමට පටන් ගත්තේය. L'Hopital, Bernoulli, Lagrange, Euler සහ Gauss අවකල කලනය අධ්‍යයනයට විශාල දායකත්වයක් ලබා දුන්හ.
භෞතික විද්‍යාවේ ව්යුත්පන්න සමහර යෙදුම්
ව්යුත්පන්න- අවකල ගණනය කිරීමේ මූලික සංකල්පය, ගුනාංගීකරනය කාර්යය වෙනස් වීමේ අනුපාතය.
තීරණය කර ඇතශ්‍රිතයක වර්ධකයේ අනුපාතය එහි තර්කයේ වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව ලෙස, එවැනි සීමාවක් තිබේ නම්, තර්කයේ වර්ධක ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ.
මේ අනුව, 
එබැවින්, ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීමට f(x)ලක්ෂ්යයේ x 0නිර්වචනය අනුව, ඔබට අවශ්ය:
මෙම යෝජනා ක්රමය භාවිතා කරන භෞතික ගැටළු කිහිපයක් අපි සලකා බලමු.
ක්ෂණික ප්‍රවේග ගැටළුව. ව්යුත්පන්නයේ යාන්ත්රික අර්ථය
චලනය වීමේ වේගය තීරණය කළ ආකාරය අපි සිහිපත් කරමු. ද්රව්ය ලක්ෂ්‍යයක් ඛණ්ඩාංක රේඛාවක් ඔස්සේ ගමන් කරයි. මෙම ලක්ෂ්යයේ x ඛණ්ඩාංකය දන්නා ශ්‍රිතයකි x(t)කාලය ටී.සිට කාල සීමාව තුළ t 0කලින් t 0+ ලක්ෂ්යයේ විස්ථාපනය වේ x(t 0 +)
– x(t 0) -සහ එහි සාමාන්ය වේගය: 
.
සාමාන්යයෙන් ව්යාපාරයේ ස්වභාවය කුඩා අගයන්හිදී, සාමාන්ය වේගය ප්රායෝගිකව නොවෙනස්ව පවතී, i.e. චලනය ඉහළ නිරවද්‍යතාවයකින් ඒකාකාර ලෙස සැලකිය හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සාමාන්ය වේගයේ අගය යම් නිශ්චිත අගයකට නැඹුරු වේ, එය ක්ෂණික වේගය ලෙස හැඳින්වේ. v(t 0)කාලය තුළ මොහොතක ද්රව්යමය ලක්ෂ්යය t 0.
ඒ නිසා, 
නමුත් නිර්වචනය අනුව 
එමනිසා, කාලය මොහොතේ ක්ෂණික වේගය බව විශ්වාස කෙරේ t 0
ඒ හා සමානව තර්ක කිරීම, කාලය සම්බන්ධයෙන් වේගයේ ව්යුත්පන්නය ත්වරණය බව අපට පෙනී යයි, i.e.
ශරීරයේ තාප ධාරිතාව පිළිබඳ ගැටළුව
ග්රෑම් 1 ක් බරැති සිරුරක උෂ්ණත්වය අංශක 0 සිට වැඩි කිරීම සඳහා ටීඅංශක, ශරීරය යම් තාප ප්රමාණයක් ලබා දීමට අවශ්ය වේ ප්රශ්නය. අදහස්, ප්‍රශ්නයඋෂ්ණත්ව කාර්යයක් ඇත ටී, ශරීරය රත් කරන ලද: Q = Q(t). සිට ශරීර උෂ්ණත්වය ඉහළ යාමට ඉඩ දෙන්න t 0කලින් ටී.මෙම උණුසුම සඳහා වැය වන තාප ප්රමාණය සමාන වේ අනුපාතය යනු උෂ්ණත්වය වෙනස් වන විට අංශක 1 කින් ශරීරය උණුසුම් කිරීමට සාමාන්යයෙන් අවශ්ය තාප ප්‍රමාණයයි.
උපාධි. මෙම අනුපාතය දී ඇති ශරීරයේ සාමාන්ය තාප ධාරිතාව ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය දැක්වේ බදාදා සිට.
නිසා සාමාන්ය තාප ධාරිතාව T ඕනෑම උෂ්ණත්වයක් සඳහා තාප ධාරිතාව පිළිබඳ අදහසක් ලබා නොදේ, එවිට දී ඇති උෂ්ණත්වයකදී තාප ධාරිතාව පිළිබඳ සංකල්පය හඳුන්වා දෙනු ලැබේ t 0(මෙම මොහොතේ දී t 0).
උෂ්ණත්වයේ තාප ධාරිතාව t 0(දී ඇති අවස්ථාවක) සීමාව ලෙස හැඳින්වේ
දණ්ඩක රේඛීය ඝනත්වය පිළිබඳ ගැටළුව
ඒකාකාර නොවන සැරයටියක් සලකා බලමු.
එවැනි සැරයටියක් සඳහා, එහි දිග මත පදනම්ව ස්කන්ධය වෙනස් වීමේ අනුපාතය පිළිබඳ ප්රශ්නය පැන නගී.
සාමාන්ය රේඛීය ඝනත්වය 
සැරයටියේ ස්කන්ධය එහි දිග අනුව ශ්‍රිතයකි x.
මේ අනුව, දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ඒකාකාර නොවන දණ්ඩක රේඛීය ඝනත්වය පහත පරිදි තීරණය වේ:
සමාන ගැටළු සලකා බැලීමෙන්, බොහෝ භෞතික ක්රියාවලීන් සඳහා සමාන නිගමන ලබා ගත හැකිය. ඒවායින් සමහරක් වගුවේ දක්වා ඇත.
කාර්යය |
සූත්රය |
නිගමනය |
| m (t) - නියමිත වේලාවට පරිභෝජනය කරන ඉන්ධන ස්කන්ධය මත යැපීම. |  |
ව්යුත්පන්න කාලයත් සමඟ ස්කන්ධඅර තියෙන්නේ වේගයඉන්ධන පරිභෝජනය. |
| T (t) - නියමිත වේලාවට රත් වූ ශරීරයේ උෂ්ණත්වය මත යැපීම. |  |
ව්යුත්පන්න කාලයත් සමඟ උෂ්ණත්වයඅර තියෙන්නේ වේගයශරීරය උණුසුම් කිරීම. |
| m (t) - නියමිත වේලාවට විකිරණශීලී ද්රව්යයක් ක්ෂය වීමේදී ස්කන්ධය මත යැපීම. |  |
ව්යුත්පන්න කාලයත් සමඟ විකිරණශීලී ද්රව්යයේ ස්කන්ධයඅර තියෙන්නේ වේගයවිකිරණශීලී ක්ෂය වීම. |
| q (t) - නියමිත වේලාවට සන්නායකය හරහා ගලා යන විදුලි ප්රමාණය මත යැපීම |  |
ව්යුත්පන්න කාලයත් සමඟ විදුලිය ප්රමාණයඅර තියෙන්නේ වත්මන් ශක්තිය. |
| A (t) - නියමිත වේලාවට වැඩ මත යැපීම |  |
ව්යුත්පන්න වෙලාවට වැඩඅර තියෙන්නේ බලය. |
ප්රායෝගික කාර්යයන්:
කාලතුවක්කුවකින් වෙඩි තබන ලද ප්‍රක්ෂේපණයක් x(t) = – 4t 2 + 13t (m) නීතියට අනුව චලනය වේ. තත්පර 3 අවසානයේ ප්‍රක්ෂේපණයේ වේගය සොයන්න.
t = 0 s වේලාවෙන් ආරම්භ වන සන්නායකය හරහා ගලා යන විදුලි ප්රමාණය q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Kul) සූත්‍රයෙන් ලබා දී ඇත (Kul) පස්වන තත්පරය අවසානයේ වත්මන් ශක්තිය සොයන්න.
0 o සිට t o C දක්වා ජලය කිලෝග්‍රෑම් 1 ක් රත් කිරීමට අවශ්ය Q (J) තාප ප්රමාණය තීරණය වන්නේ Q(t) = t + 0.00002t 2 + 0.0000003t 3 සූත්රය මගිනි. t = 100 o නම් ජලයේ තාප ධාරිතාව ගණනය කරන්න.
x (t) = 3 + 2t + t 2 (m) නීතියට අනුව ශරීරය සෘජුකෝණාස්රාකාරව ගමන් කරයි. තත්පර 1 සහ තත්පර 3 කදී එහි වේගය සහ ත්වරණය තීරණය කරන්න.
x (t) = t 2 - 4t 4 (m), t = 3 s දී නීතියට අනුව චලනය වන m ස්කන්ධ ලක්ෂ්‍යයක් මත ක්‍රියා කරන F බලයේ විශාලත්වය සොයා ගන්න.
m = 0.5 kg ස්කන්ධයක් ඇති ශරීරයක් x(t) = 2t 2 + t – 3 (m) නීතියට අනුව සෘජුකෝණාශ්‍රය ලෙස චලනය වේ. චලනය ආරම්භයේ සිට තත්පර 7 කට පසු ශරීරයේ චාලක ශක්තිය සොයා ගන්න.
නිගමනය
කෙනෙකුට තවත් බොහෝ තාක්ෂණික ගැටළු පෙන්වා දිය හැකි අතර, ඒවාට විසඳුම සඳහා අනුරූප ශ්රිතයේ වෙනස් වීමේ වේගය සොයා ගැනීම ද අවශ්ය වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, භ්‍රමණය වන ශරීරයක කෝණික ප්‍රවේගය, රත් වූ විට ශරීර ප්‍රසාරණය වීමේ රේඛීය සංගුණකය, යම් අවස්ථාවක දී රසායනික ප්‍රතික්‍රියාවක වේගය සොයා ගැනීම.
ශ්රිතයක වෙනස් වීමේ වේගය ගණනය කිරීමට හෝ, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, තර්කයේ වර්ධකයට ශ්රිතයක වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව ගණනය කිරීමට තුඩු දෙන ගැටලු බහුල වීම හේතුවෙන්, දෙවැන්න නැඹුරු වන විට බිංදුවට, අත්තනෝමතික කාර්යයක් සඳහා එවැනි සීමාවක් හුදකලා කිරීම සහ එහි මූලික ගුණාංග අධ්යයනය කිරීම අවශ්ය විය. මෙම සීමාව හැඳින්වූයේය ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය.
එබැවින්, උදාහරණ ගණනාවක් භාවිතා කරමින්, ගණිතමය ගැටළු භාවිතා කරමින් විවිධ භෞතික ක්රියාවලීන් විස්තර කරන්නේ කෙසේද, විසඳුම් විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් ක්‍රියාවලීන්ගේ ගමන් මග පිළිබඳ නිගමන සහ අනාවැකි ලබා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මේ ආකාරයේ උදාහරණ ගණන විශාල වන අතර, ඔවුන්ගෙන් සෑහෙන කොටසක් උනන්දුවක් දක්වන සිසුන්ට තරමක් ප්රවේශ විය හැකිය.
"සංගීතයට ආත්මය නඟා සිටුවීමට හෝ සැනසීමට හැකිය
පින්තාරු කිරීම ඇසට ප්‍රියජනකයි,
කවිය යනු හැඟීම් අවදි කිරීමයි
දර්ශනය යනු මනසෙහි අවශ්‍යතා සපුරාලීමයි.
ඉංජිනේරු විද්‍යාව යනු මිනිසුන්ගේ ජීවිතයේ ද්රව්යමය පැත්ත වැඩිදියුණු කිරීමයි.
තවද ගණිතයට මෙම සියලු අරමුණු සාක්ෂාත් කරගත හැකිය.
ඇමරිකානු ගණිතඥයා පැවසුවේ එයයි මොරිස් ක්ලයින්.
ග්රන්ථ නාමාවලිය :
- Abramov A.N., Vilenkin N.Ya.සහ අනෙකුත් ගණිතය පිළිබඳ තෝරාගත් ප්රශ්න. 10 ශ්‍රේණිය. – එම්: බුද්ධත්වය, 1980.
- Vilenkin N.Ya., Shibasov A.P.ගණිතය පොතක පිටු පිටුපස. – එම්: බුද්ධත්වය, 1996.
- Dobrokhotova M.A., Safonov A.N.. කාර්යය, එහි සීමාව සහ ව්යුත්පන්නය. – එම්: බුද්ධත්වය, 1969.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M.වීජ ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය. – එම්: අධ්‍යාපනය, 2010.
- කොලොසොව් ඒ.ඒ.ගණිතය පිළිබඳ විෂය බාහිර කියවීම සඳහා පොතක්. - එම්: උච්පෙඩ්ගිස්, 1963.
- ෆික්ටෙන්ගෝල්ට්ස් ජී.එම්.ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ මූලික කරුණු, 1 කොටස - M: Nauka, 1955.
- යාකොව්ලෙව් ජී.එන්.තාක්ෂණික පාසල් සඳහා ගණිතය. වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය, 1 කොටස - M: Nauka, 1987.
භෞතික ගැටළු හෝ ගණිතයේ උදාහරණ විසඳීම ව්යුත්පන්නය සහ එය ගණනය කිරීමේ ක්‍රම පිළිබඳ දැනුමකින් තොරව සම්පූර්ණයෙන්ම කළ නොහැක්කකි. ව්යුත්පන්නය යනු ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ වැදගත්ම සංකල්පයකි. අද ලිපිය මෙම මූලික මාතෘකාවට කැප කිරීමට අපි තීරණය කළෙමු. ව්‍යුත්පන්නයක් යනු කුමක්ද, එහි භෞතික හා ජ්යාමිතික අර්ථය කුමක්ද, ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්නේ කෙසේද? මෙම සියලු ප්රශ්න එකකට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය: ව්යුත්පන්නය තේරුම් ගන්නේ කෙසේද?
ව්යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික සහ භෞතික අර්ථය
කාර්යයක් වේවා f(x) , යම් කාල පරතරයක් තුළ නිශ්චිතව දක්වා ඇත (අ, ආ) . x සහ x0 ලක්ෂ්‍ය මෙම අන්තරයට අයත් වේ. x වෙනස් වන විට ශ්‍රිතයම වෙනස් වේ. තර්කය වෙනස් කිරීම - එහි අගයන්හි වෙනස x-x0 . මෙම වෙනස ලෙස ලියා ඇත ඩෙල්ටා x සහ තර්ක වර්ධක ලෙස හැඳින්වේ. ශ්රිතයක වෙනසක් හෝ වැඩිවීමක් යනු ලක්ෂ්‍ය දෙකක ශ්රිතයක අගයන් අතර වෙනසයි. ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම:
ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය යනු දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව ශුන්‍යයට නැඹුරු වන විට තර්කයේ වර්ධන අනුපාතයයි.
එසේ නොමැතිනම් එය මෙසේ ලිවිය හැක.
එවැනි සීමාවක් සොයා ගැනීමේ තේරුම කුමක්ද? සහ මෙන්න එය කුමක්ද:
ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය OX අක්ෂය සහ දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශක අතර කෝණයේ ස්පර්ශයට සමාන වේ.
ව්යුත්පන්නයේ භෞතික අර්ථය: කාලය සම්බන්ධයෙන් මාර්ගයේ ව්යුත්පන්නය සෘජුකෝණාස්‍ර චලිතයේ වේගයට සමාන වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, පාසල් කාලයේ සිටම වේගය යනු විශේෂිත මාර්ගයක් බව කවුරුත් දනිති x=f(t) හා වේලාව ටී . නිශ්චිත කාලයක් තුළ සාමාන්ය වේගය:
මොහොතකට චලනය වන වේගය සොයා ගැනීමට t0 ඔබ සීමාව ගණනය කළ යුතුය:
පළමු රීතිය: නියතයක් සකසන්න
නියතය ව්යුත්පන්න ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැක. එපමණක්ද නොව, මෙය කළ යුතුය. ගණිතයේ උදාහරණ විසඳන විට, එය රීතියක් ලෙස ගන්න - ඔබට ප්‍රකාශනයක් සරල කළ හැකි නම්, එය සරල කිරීමට වග බලා ගන්න .
උදාහරණයක්. ව්යුත්පන්න ගණනය කරමු:
දෙවන රීතිය: ශ්‍රිතවල එකතුවේ ව්යුත්පන්නය
ශ්රිත දෙකක එකතුවේ ව්යුත්පන්නය මෙම ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නවල එකතුවට සමාන වේ. ශ්‍රිතවල වෙනසෙහි ව්යුත්පන්නය සඳහා ද එයම වේ.
අපි මෙම ප්‍රමේයය පිළිබඳ සාක්ෂියක් ලබා නොදෙනු ඇත, නමුත් ප්රායෝගික උදාහරණයක් සලකා බලමු.
ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
තුන්වන රීතිය: ශ්‍රිතවල නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය
වෙනස් කළ හැකි ශ්රිත දෙකක නිෂ්පාදනයේ ව්යුත්පන්නය සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ:
උදාහරණය: ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය සොයන්න:
විසඳුමක්: 
මෙහිදී සංකීර්ණ ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් ගණනය කිරීම ගැන කතා කිරීම වැදගත් වේ. සංකීර්ණ ශ්රිතයක ව්යුත්පන්නය අතරමැදි තර්කයට හා ස්වාධීන විචල්‍යයට අදාළව අතරමැදි තර්කයේ ව්‍යුත්පන්නයට අදාළව මෙම ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නයේ ගුණිතයට සමාන වේ.
ඉහත උදාහරණයේ දී අපට ප්‍රකාශනය හමු වේ:
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අතරමැදි තර්කය පස්වන බලයට 8x වේ. එවැනි ප්‍රකාශනයක ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි පළමුව අතරමැදි තර්කයට අදාළව බාහිර ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ගණනය කරමු, පසුව ස්වාධීන විචල්‍යයට අදාළව අතරමැදි තර්කයේ ව්‍යුත්පන්නයෙන් ගුණ කරමු.
හතරවන රීතිය: ශ්රිත දෙකක ප්‍රමාණයේ ව්යුත්පන්නය
ශ්රිත දෙකක ප්‍රමාණයේ ව්යුත්පන්නය නිර්ණය කිරීමේ සූත්රය:
අපි මුල සිටම ඩමි සඳහා ව්‍යුත්පන්නයන් ගැන කතා කිරීමට උත්සාහ කළෙමු. මෙම මාතෘකාව පෙනෙන තරම් සරල නැත, එබැවින් අවවාද කරන්න: උදාහරණ වල බොහෝ විට අන්තරායන් ඇත, එබැවින් ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමේදී ප්රවේශම් වන්න.
මෙම සහ වෙනත් මාතෘකා පිළිබඳ ඕනෑම ප්‍රශ්නයක් සමඟ, ඔබට ශිෂ්‍ය සේවය හා සම්බන්ධ විය හැකිය. කෙටි කාලයක් තුළ, ඔබ මීට පෙර කිසි විටෙක ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීම් සිදු කර නොමැති වුවද, වඩාත් දුෂ්කර පරීක්ෂණය විසඳීමට සහ කාර්යයන් තේරුම් ගැනීමට අපි ඔබට උදව් කරන්නෙමු.
මෙතෙක්, අපි ව්යුත්පන්න සංකල්පය ශ්රිතයක ප්‍රස්ථාරයේ ජ්යාමිතික නිරූපණය සමඟ සම්බන්ධ කර ඇත්තෙමු. කෙසේ වෙතත්, ව්යුත්පන්න සංකල්පයේ කාර්යභාරය ගැටලුවට පමණක් සීමා කිරීම බරපතල වැරැද්දකි
දී ඇති වක්‍රයකට ස්පර්ශකයේ බෑවුම තීරණය කිරීම. ඊටත් වඩා වැදගත් කාර්යයක්, විද්‍යාත්මක දෘෂ්ටි කෝණයකින්, කාලයත් සමඟ වෙනස් වන ඕනෑම ප්‍රමාණයක වෙනස් වීමේ වේගය ගණනය කිරීමයි. නිව්ටන් අවකල්‍ය කලනයට ළං වූයේ මේ පැත්තෙන් ය. විශේෂයෙන්ම, නිව්ටන් වේගයේ සංසිද්ධිය විශ්ලේෂණය කිරීමට උත්සාහ කළේ කාලය සහ චලනය වන අංශුවක පිහිටීම විචල්‍යයන් ලෙස සලකා බැලීමෙනි (නිව්ටන්ගේ වචන වලින්, “චල ලෙස”). අංශුවක් x අක්ෂය දිගේ ගමන් කරන විට, ඕනෑම අවස්ථාවක t x අංශුවේ පිහිටීම පෙන්නුම් කරන ශ්රිතයක් ලබා දී ඇති බැවින්, එහි චලනය සම්පූර්ණයෙන්ම නිර්වචනය වේ. x අක්ෂය දිගේ නියත වේගයක් සහිත “ඒකාකාර චලිතය” තීරණය වන්නේ රේඛීය ශ්‍රිතයකින් වන අතර එහිදී a යනු ආරම්භක මොහොතේ අංශුවේ පිහිටීමයි.
තලයක අංශුවක චලිතය ශ්රිත දෙකකින් විස්තර කෙරේ
කාලය ශ්රිතයක් ලෙස එහි ඛණ්ඩාංක තීරණය කරයි. විශේෂයෙන්ම, රේඛීය ශ්රිත දෙකක් ඒකාකාර චලිතයට අනුරූප වේ
එහිදී නියත වේගයේ “සංරචක” දෙකක් සහ a සහ c යනු අංශුවේ ආරම්භක ස්ථානයේ ඛණ්ඩාංක වේ (අංශු පථය සරල රේඛාවක් වන අතර, එහි සමීකරණය වන්නේ
ඉහත සම්බන්ධතා දෙක ඉවත් කිරීමෙන් ලබා ගනී.
අංශුවක් ගුරුත්වාකර්ෂණයේ බලපෑම යටතේ පමණක් x, y සිරස් තලයේ චලනය වන්නේ නම්, එහි චලිතය (මෙය ප්‍රාථමික භෞතික විද්‍යාවෙන් සනාථ වේ) සමීකරණ දෙකකින් තීරණය වේ.
ආරම්භක මොහොතේ අංශුවේ තත්වය අනුව නියතයන් කොහිද, කාලය තත්පර වලින් සහ දුර මීටර වලින් මනින්නේ නම් ගුරුත්වාකර්ෂණය හේතුවෙන් ත්වරණය ආසන්න වශයෙන් 9.81 වේ. මෙම සමීකරණ දෙක ඉවත් කිරීමෙන් ලැබෙන ගමන් පථය පරාවලයකි
වෙනත් ආකාරයකින් ගමන් පථය සිරස් අක්ෂයේ කොටසක් නොවේ නම්.
අංශුවකට දී ඇති වක්‍රයක් දිගේ චලනය වීමට බල කෙරෙන්නේ නම් (දුම්රියක් රේල් පීලි මත ගමන් කරන ආකාරය හා සමාන), එවිට එහි චලනය ශ්රිතයක් මගින් තීරණය කළ හැකිය (දී ඇති වක්‍රයක් ඔස්සේ ගණනය කරන ලද චාපයේ දිගට සමාන කාල ශ්‍රිතයකි. නිශ්චිත ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයක් එම මොහොතේ P ලක්ෂ්යයේ අංශුවෙහි පිහිටීමට උදාහරණයක් ලෙස, අපි ඒකක කවයක් ගැන කතා කරන්නේ නම්, ශ්‍රිතය c වේගය සමඟ මෙම කවය මත ඒකාකාර භ්‍රමණ චලිතය තීරණය කරයි.
ව්‍යායාම කරන්න. සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති තල චලිතයේ ගමන් පථ අඳින්න: ඉහත විස්තර කර ඇති පරාවලයික චලිතයේදී, අංශුවේ ආරම්භක ස්ථානය උපකල්පනය කරන්න (සම්භවයේදී සහ පථයේ ඉහළම ස්ථානයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න. කාලය සහ x අගය සොයා ගන්න. අක්ෂය සමඟ ගමන් පථයේ ද්විතියික ඡේදනය
නිව්ටන් විසින්ම තැබූ පළමු ඉලක්කය වූයේ අසමාන ලෙස චලනය වන අංශුවක වේගය සොයා ගැනීමයි. සරල බව සඳහා, ශ්‍රිතය මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇති යම් සරල රේඛාවක් ඔස්සේ අංශුවක චලනය සලකා බලමු, චලනය ඒකාකාරී නම්, එනම් නියත වේගයකින් සිදු වූයේ නම්, මෙම වේගය තත්පර දෙකක් ගත කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය. අංශුවල අනුරූප ස්ථාන සහ අනුපාතය සෑදීම
උදාහරණයක් ලෙස, පැය වලින් මනිනු ලැබුවහොත්, සහ ; කිලෝමීටර වලින්, එවිට වෙනස වනුයේ පැය 1 කින් ගමන් කළ කිලෝමීටර් ගණන, වේගය (පැයට කි.මී.). වේගය නියත ප්රමාණයක් යැයි කී විට, ඔවුන් අදහස් කරන්නේ වෙනස අනුපාතය බව පමණි
කිසිදු අගයක් සඳහා වෙනස් නොවේ, නමුත් චලනය අසමාන නම් (උදාහරණයක් ලෙස, ශරීරයේ නිදහස් වැටීමකදී, එය වැටෙන විට වේගය වැඩි වේ), එවිට සම්බන්ධතාවය (3) හි අගය ලබා නොදේ මේ මොහොතේ වේගය සහ සාමාන්යයෙන් සාමාන්ය වේගය ලෙස හඳුන්වනුයේ සිට දක්වා කාල පරතරය තුළ වේගය ලබා ගැනීම සඳහා ඔබ සාමාන්ය සීමාව ගණනය කළ යුතුය
නැඹුරුවන විට වේගය මෙසේ නිව්ටන් සමඟ එක්ව අපි වේගය පහත පරිදි නිර්වචනය කරමු:
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, වේගය යනු කාලයට සාපේක්ෂව “ගමන් කළ මාවතේ” (සරල රේඛාවක අංශුවේ ඛණ්ඩාංක) ව්යුත්පන්නය වේ, නැතහොත් කාලයට සාපේක්ෂව මාර්ගයේ “ක්ෂණික වෙනස් වීමේ වේගය” - ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධව සූත්රය (3) මගින් තීරණය කරනු ලබන සාමාන්ය වෙනස්වීම් අනුපාතය.
ප්‍රවේගය වෙනස් වීමේ වේගයම ත්වරණය ලෙස හැඳින්වේ. ත්වරණය යනු හුදෙක් ව්යුත්පන්නයේ ව්‍යුත්පන්නයයි; එය සාමාන්යයෙන් සංකේතයෙන් දැක්වෙන අතර ශ්රිතයේ දෙවන ව්යුත්පන්නය ලෙස හැඳින්වේ
කාලයාගේ ඇවෑමෙන් සිරුරේ නිදහස් වැටීමකදී සිරස් දුර x සූත්‍රයෙන් ප්‍රකාශ වන බව ගැලීලියෝ දුටුවේය.
