Sifat fungsi eksponen. Kerja bebas "fungsi eksponen" Fungsi eksponen kerja bebas 1

Kerja bebas mengenai topik"Fungsi eksponen". Kerja bebas mengandungi 2 pilihan dengan tiga tugas setiap satu. Teks pembelajaran sendiri dibahagikan kepada tiga tahap kesukaran. Setiap tugas pilihan sepadan dengan tahap kesukarannya sendiri. Mencipta kerja bebas dalam editor teks Microsoft Word. Untuk kemudahan, jawapan yang betul diberikan.

Lihat kandungan dokumen
“Kerja bebas “Fungsi eksponen””

Republik Belarus

Institusi pendidikan negeri "Lyceum of Novopolotsk"

Kerja bebas dalam matematik, bahagian algebra

Topik: Fungsi eksponen

Disediakan oleh: Konovalyonok

Olga Vladimirovna,

guru matematik yang lebih tinggi

Pilihan 1

1. Bandingkan:

1) dan

2)
Dan

a) nilai a;

b) domain definisi;

Pilihan2

1. Bandingkan:

1) Dan

2)
Dan

2. Rajah menunjukkan graf bagi fungsi yang diberikan oleh formula
pada set D. Nyatakan untuknya:

a) nilai a;

b) domain definisi;

c) set (luas) nilai;

d) selang peningkatan (penurunan);

e) koordinat titik persilangan graf dengan paksi Oy;

f) nilai pada titik x1= -1 dan x2= 1;

g) nilai terbesar dan terkecil.

3. Nyatakan domain semula jadi takrif ungkapan (a1):

Pilihan 1

1. 1) ; 2)

Menyediakan data rujukan tentang fungsi eksponen - sifat asas, graf dan formula. Topik berikut dipertimbangkan: domain definisi, set nilai, monotonisitas, fungsi songsang, derivatif, kamiran, pengembangan siri kuasa dan perwakilan dengan nombor kompleks.

Sifat Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen y = a x mempunyai sifat berikut pada set nombor nyata ():
(1.1) ditakrifkan dan berterusan, untuk , untuk semua ;
(1.2) untuk ≠ 1 mempunyai banyak makna;
(1.3) meningkat dengan ketat pada , menurun dengan ketat pada ,
adalah malar pada ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula lain yang berguna.
.
Formula untuk menukar kepada fungsi eksponen dengan asas eksponen yang berbeza:

Apabila b = e, kita memperoleh ungkapan fungsi eksponen melalui eksponen:

Nilai peribadi

, , , , .

Rajah menunjukkan graf bagi fungsi eksponen
y (x) = kapak
untuk empat nilai asas ijazah: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 dan a = 1/8 . Ia boleh dilihat bahawa untuk > 1 fungsi eksponen meningkat secara monoton. Semakin besar asas darjah a, semakin kuat pertumbuhannya. Pada 0 < a < 1 fungsi eksponen menurun secara monotoni. Semakin kecil eksponen a, semakin kuat penurunannya.

Menaik menurun

Fungsi eksponen untuk adalah monotonik dan oleh itu tidak mempunyai ekstrem. Ciri-ciri utamanya dibentangkan dalam jadual.

Fungsi songsang

Songsangan bagi fungsi eksponen dengan asas a ialah logaritma kepada asas a.

Jika , maka
.
Jika , maka
.

Pembezaan fungsi eksponen

Untuk membezakan fungsi eksponen, asasnya mesti dikurangkan kepada nombor e, gunakan jadual derivatif dan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks.

Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan sifat logaritma
dan formula daripada jadual terbitan:
.

Biarkan fungsi eksponen diberikan:
.
Kami membawanya ke pangkalan e:

Mari kita gunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks. Untuk melakukan ini, perkenalkan pembolehubah

Kemudian

Daripada jadual derivatif kita ada (gantikan pembolehubah x dengan z):
.
Oleh kerana ialah pemalar, terbitan z berkenaan dengan x adalah sama dengan
.
Mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks:
.

Terbitan bagi fungsi eksponen

.
Terbitan urutan ke-n:
.
Rumus terbitan > > >

Contoh membezakan fungsi eksponen

Cari terbitan bagi suatu fungsi
y = 3 5 x

Penyelesaian

Mari kita nyatakan asas fungsi eksponen melalui nombor e.
3 = e ln 3
Kemudian
.
Masukkan pembolehubah
.
Kemudian

Daripada jadual derivatif kita dapati:
.
Kerana ia 5ln 3 ialah pemalar, maka terbitan z berkenaan dengan x adalah sama dengan:
.
Menurut peraturan pembezaan fungsi kompleks, kita mempunyai:
.

Jawab

kamiran

Ungkapan menggunakan nombor kompleks

Pertimbangkan fungsi nombor kompleks z:
f (z) = a z
di mana z = x + iy; i 2 = - 1 .
Mari kita nyatakan pemalar kompleks a dalam sebutan modulus r dan hujah φ:
a = r e i φ
Kemudian


.
Hujah φ tidak ditakrifkan secara unik. Secara umum
φ = φ 0 + 2 πn,
di mana n ialah integer. Oleh itu fungsi f (z) juga tidak jelas. Kepentingan utamanya sering dipertimbangkan
.

Fungsi kuasa

Tentukan sendiri.

Senaman. Bina graf fungsi: y = ; y = ; y=-1

bentuk kawalan: menyemak nota dan penyoalan lisan.

Kerja bebas No. 13

Topik 4.3. Fungsi logaritma. Hartanah dan jadual.

Kerja bebas (2 jam)

· mengkaji sifat-sifat fungsi logaritma.

· merancang fungsi logaritma.

Fungsi logaritma

Fungsi y=, (x) dipanggil fungsi logaritma.

Fungsi logaritma y= ialah songsangan bagi fungsi eksponen y = (x). Oleh itu, graf mereka adalah simetri berbanding pembahagi dua sudut koordinat I dan III (Rajah 8).

Berikut adalah sifat utama fungsi logaritma:

1) Domain definisi: D(y) =R + .

2) Julat fungsi: E(y) =R.

3) Logaritma satu sama dengan sifar, logaritma asas adalah sama dengan satu: =0, =0, .

4) Fungsi y= bertambah dalam selang (Rajah 8 a). Dalam kes ini, logaritma nombor yang lebih besar daripada satu adalah positif, dan yang kurang daripada satu adalah negatif.

5) Fungsi y=, (x, penurunan dalam selang. Dalam kes ini, logaritma nombor kurang daripada satu adalah positif, dan yang lebih besar daripada satu adalah negatif.

4. Cari domain takrifan fungsi: y=

Penyelesaian. Oleh kerana fungsi logaritma ditakrifkan hanya untuk nombor positif, dan punca kuasa dua untuk nombor bukan negatif, masalahnya berkurangan kepada menyelesaikan sistem ketaksamaan:

Mari kita faktorkan bahagian kiri ketaksamaan pertama, dan pada bahagian kedua kita gantikan 1 dengan:

Oleh kerana asas logaritma8 >1, maka, mengikut sifat logaritma, kita beralih kepada sistem: mereka.

Sistem terakhir adalah bersamaan dengan ketaksamaan: ,

yang diselesaikan dengan kaedah selang (dan x≠3, dan x ≠ 1). Menggunakan Rajah. 9 kita mendapat jawapan: [-1;1) (3;5].

Soalan kawalan.

1. Takrifkan fungsi logaritma.

2. Apakah domain takrifan dan domain nilai bagi fungsi y = log a x?

3. Dalam kes yang manakah fungsi y = log a x meningkat dan dalam mana menurun?

4. Pada nilai x apakah fungsi y = log a x mengambil nilai positif, dan pada nilai apakah mereka mengambil nilai negatif?

Ujian kendiri. (Pilihan jawapan: ya tidak)

1. Fungsi logaritma y = log a x ditakrifkan untuk sebarang x

2. Fungsi y = log a x ditakrifkan untuk a > 0, a =/= 1, x > 0.

3. Domain takrifan fungsi logaritma ialah set nombor nyata.

4. Julat nilai fungsi logaritma ialah set nombor nyata.

5. Fungsi logaritma – genap.

6. Fungsi logaritma – ganjil.

7. Fungsi y = log a x – bertambah apabila a >1.

8. Fungsi y = log a x dengan asas positif, tetapi kurang daripada satu, semakin meningkat.

9. Fungsi logaritma mempunyai ekstrem pada titik (1; 0).

10. Graf fungsi y = log a x bersilang dengan paksi OX.

11. Graf bagi fungsi logaritma berada pada separuh satah atas.

12. Graf bagi fungsi logaritma adalah simetri berkenaan dengan OX.

13. Graf fungsi logaritma bersilang OX pada titik (1; 0).

14. Graf bagi fungsi logaritma adalah pada suku pertama dan suku keempat.

15. Terdapat logaritma bagi nombor negatif.

16. Terdapat logaritma bagi nombor positif pecahan.

17. Graf fungsi logaritma melalui titik (0; 0).

Kerja bebas No. 14

gred ke-10" lebar="271" tinggi="129 src="/>

Kerja bebas mengenai topik "Menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan (pengulangan)."

Pilihan 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image006_16.gif" width="99" height="24 src=">.gif" width="179" height="44 src=" >.gif" width="99" height="51 src=">

Kerja bebas mengenai topik "Menyelesaikan ketaksamaan." Pengulangan.

Pilihan 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image012_10.gif" width="64" height="27 src=">.gif" width="100" height="41 src=" >.gif" width="72" height="27 src=">.gif" width="52" height="41 src=">.gif" width="189" height="24 src=">.

Pilihan 1.

Fungsi diberikan https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src =" >.gif" width="171" height="51 src=">

a) Cari https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src= ">.

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi". Pengulangan.

Pilihan 3.

Fungsi diberikan https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src =" >.gif" width="156" height="51 src=">

a) Cari https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src= ">.

b) Plotkan graf bagi fungsi ini.

c) Nyatakan untuk fungsi ini D(y), E(y), selang kenaikan dan penurunan.

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi". Pengulangan.

Pilihan 5.

Fungsi diberikan https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src =" >, DIV_ADBLOCK535">

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi". Pengulangan.

Pilihan 6.

Fungsi diberikan https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src =" >.gif" width="131" height="24">.

2. Cari domain takrifan fungsi https://pandia.ru/text/78/476/images/image035_4.gif" width="89 height=53" height="53">

4. Selesaikan satu set ketaksamaan:

Tugas tambahan. Selesaikan sistem persamaan:

VII - IX kelas"

Pilihan 2.

1. Selesaikan persamaan .

2. Cari domain takrifan fungsi https://pandia.ru/text/78/476/images/image040_3.gif" width="91 height=53" height="53">

4. Selesaikan sistem ketaksamaan:

Tugas tambahan. Selesaikan sistem persamaan:

Ujian pada topik “Pengulangan bahan kursus algebra VII - IX kelas"

Pilihan 3.

1. Selesaikan persamaan .

2. Cari domain takrifan fungsi https://pandia.ru/text/78/476/images/image044_3.gif" width="89" height="75">

4. Selesaikan satu set ketaksamaan: https://pandia.ru/text/78/476/images/image037_4.gif" width="137 height=48" height="48">

Ujian pada topik “Pengulangan bahan kursus algebra VII - IX kelas"

Pilihan 4.

1. Selesaikan persamaan .

2. Cari domain takrifan fungsi https://pandia.ru/text/78/476/images/image048_3.gif" width="108" height="56">

4. Selesaikan sistem ketaksamaan:

Tugas tambahan. Selesaikan sistem persamaan:

Pilihan 1.

1. Bandingkan nombor: a) dan ; b) dan ; c) dan https://pandia.ru/text/78/476/images/image056_2.gif" width="48" height="24 src=">.gif" width="107" height="43 src= ">.

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi eksponen"

Pilihan 2.

1. Bandingkan nombor: a) dan ; b) dan ; c) dan https://pandia.ru/text/78/476/images/image068_2.gif" width="65" height="49 src=">.gif" width="107" height="43 src= ">.

3. Bina graf fungsi: a); b); V).

Kerja bebas mengenai topik "Persamaan Eksponen"

Pilihan 1.

Selesaikan persamaan:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image075_2.gif" width="136" height="24 src=">.gif" width="147" height="33 src=" >.gif" width="161" height="24 src="> .

Kerja bebas mengenai topik "Ketaksamaan eksponen"

Pilihan 1.

Selesaikan ketaksamaan:

1) https://pandia.ru/text/78/476/images/image081_2.gif" width="144" height="21 src=">.gif" width="61" height="48 src=" >.gif" width="88" height="28 src=">.

Pilihan 1.

1. Bina graf bagi fungsi tersebut.

2. Selesaikan persamaan: a), b).

3. Selesaikan ketaksamaan: a); b) .

4. Selesaikan sistem persamaan:

Uji pada topik "Fungsi eksponen"

Pilihan 2.

1. Bina graf bagi fungsi tersebut.

2. Selesaikan persamaan: a), b).

3. Selesaikan ketaksamaan: a) ; b) .

4. Selesaikan sistem persamaan:

Pilihan 1.

1. Kira: a); b); V); G).

2..gif" width="147" height="24 src=">.

Kerja bebas mengenai topik "Konsep logaritma"

Pilihan 2.

1. Kira: a); b); V); G).

2..gif" width="161" height="27 src=">.

Pilihan 1.

2..gif" width="87" height="44 src=">.

Kerja bebas mengenai topik "Sifat asas logaritma"

Pilihan 2.

1. Cari jika diketahui bahawa .

2..gif" width="113" height="45 src=">.

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi logaritma"

Pilihan 1.

Cari domain definisi bagi setiap fungsi:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image118_0.gif" width="97" height="27 src=">.gif" width="147" height="28 src=" >.gif" width="192" height="31 src=">.

Pilihan 1.

Graf fungsi:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image124_0.gif" width="81" height="27 src=">.gif" width="75" height="27 src=" >.

Kerja bebas mengenai topik "Graf fungsi logaritma"

Pilihan 2.

Graf fungsi:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image128_0.gif" width="99" height="28 src=">.gif" width="81" height="29 src=" >.

Pilihan 1.

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi songsang"

Pilihan 2.

a) Cari fungsi songsang bagi yang diberi,

b) Nyatakan domain takrifan dan julat nilai bagi fungsi songsang,

c) Bina graf bagi fungsi ini dan songsangannya dalam sistem koordinat yang sama.

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi songsang"

Pilihan 3.

a) Cari fungsi songsang bagi yang diberi,

b) Nyatakan domain takrifan dan julat nilai bagi fungsi songsang,

c) Bina graf bagi fungsi ini dan songsangannya dalam sistem koordinat yang sama.

Kerja bebas mengenai topik "Fungsi songsang"

Pilihan 4.

a) Cari fungsi songsang bagi yang diberi,

b) Nyatakan domain takrifan dan julat nilai bagi fungsi songsang,

c) Bina graf bagi fungsi ini dan songsangannya dalam sistem koordinat yang sama.

Pilihan 1.

1. Kira: a); b); V) ; G); d) ; e).

2. Cari X, Jika .

3..gif" width="93" height="27">.

Uji pada topik: "Logaritma".

Pilihan 2.

1. Kira: a); b); V) ; G); d) ; e).

2. Cari X, Jika .

3..gif" width="91" height="27">.

5. Cari fungsi songsang kepada fungsi , . Nyatakan domain definisi dan julat nilai bagi fungsi songsang.

Pilihan 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image168_0.gif" width="117" height="24 src=">.gif" width="131" height="48 src=" >.

Kerja bebas mengenai topik "Persamaan logaritma"

Pilihan 2.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image172_0.gif" width="125" height="41 src=">.gif" width="133" height="40 src=" >.

Pilihan 1.

1), 2), 3),

4) https://pandia.ru/text/78/476/images/image179_0.gif" width="93 height=20" height="20">.

Kerja bebas mengenai topik "Ketaksamaan logaritma"

Pilihan 2.

4) https://pandia.ru/text/78/476/images/image184.gif" width="92 height=20" height="20">.

Uji pada topik "persamaan logaritma dan ketaksamaan"

Pilihan 1.

1. Selesaikan persamaan: a); b); V) .

2. Selesaikan sistem persamaan:

3. Selesaikan ketaksamaan: a) ; b) .

4..gif" width="159" height="29">; b); c) .

2. Selesaikan sistem persamaan:

3. Selesaikan ketaksamaan: a) ; b) .

4..gif" width="25" height="41 src=">.gif" width="77" height="41">; b).

4..gif" width="109" height="21 src=">..gif" width="36" height="19 src=">.

Pilihan 2.

1. Ungkapkan magnitud sudut 560 dalam ukuran radian; 1700.

2..gif" width="37" height="41 src=">.

3. Nyatakan tanda nombor: a); b).

4..gif" width="100" height="21 src=">..gif" width="29" height="19 src=">.

Kerja bebas mengenai topik "Asas trigonometri"

Pilihan 3.

1. Ungkapkan magnitud sudut 720 dalam ukuran radian; 1400.

2..gif" width="36" height="41 src=">.

3. Nyatakan tanda nombor: a) ; b).

4..gif" width="29" height="19 src=">, jika diketahui bahawa https://pandia.ru/text/78/476/images/image221.gif" width="27" ketinggian ="41 src=">.gif" lebar="123" tinggi="48">; b).

4..gif" width="36" height="19 src=">, jika diketahui bahawa https://pandia.ru/text/78/476/images/image226.gif" width="497" ketinggian ="24">.

2. Permudahkan ungkapan: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Permudahkan ungkapan: .

3..gif" width="497" height="24">.

2. Permudahkan ungkapan: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Permudahkan ungkapan: .

3..gif" width="192" height="24">.

2. Buktikan identiti: .

Pilihan 2.

1. Kira: .

2. Buktikan identiti:.

3. Tukar kepada produk:.

Kerja bebas mengenai topik "Jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri"

Pilihan 3.

1. Kira: .

2. Buktikan identiti: .

3. Tukar kepada produk: .

Kerja bebas mengenai topik "Jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri"

Pilihan 4.

1. Kira: .

2. Buktikan identiti:.

3. Tukar kepada produk: .

Pilihan 1.

1. Permudahkan ungkapan: .

2. Kira .

3. Kira .

4. Kira.

5. Tukar menjadi karya https://pandia.ru/text/78/476/images/image255.gif" width="109" height="17 src=">..gif" width="16 height=13" height = "13">.

2. Lukiskan graf bagi fungsi tersebut .

Uji pada topik "Transformasi trigonometri"

Pilihan 2.

1. Permudahkan ungkapan: .

2. Permudahkan ungkapan: .

3. Kira .

4. Kira.

5. Tukar kerja .

Tugas pilihan.

1..gif" width="43" height="17 src=">dan nilai terkecil.

2. Lukiskan graf bagi fungsi tersebut .

Uji pada topik "Transformasi trigonometri"

Pilihan 3.

1. Kira.

2. Kira.

3. Kira .

4. Kira.

5. Tukar kerja .

Tugas pilihan.

1..gif" width="43" height="17 src=">dan nilai terbesar.

2. Lukiskan graf bagi fungsi tersebut .

Uji pada topik "Transformasi trigonometri"

Pilihan 4.

1. Kira.

2. Ringkaskan ungkapan: https://pandia.ru/text/78/476/images/image274.gif" width="280" height="47">.

4. Kira.

5. Tukar ke tempat kerja: .

Tugas pilihan.

1..gif" width="43" height="17 src=">dan nilai terkecil.

2. Lukiskan graf bagi fungsi tersebut .

Pilihan 1.

Selesaikan persamaan:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image278.gif" width="153" height="21 src=">.gif" width="109" height="45 src=" >.gif" width="284" height="48 src=">

Kerja bebas mengenai topik "Persamaan cosx=a"

Pilihan 3.

Selesaikan persamaan: , berkala dengan kala utama 6. Selain itu, tergolong dalam selang

5. Tulis semua penyelesaian kepada persamaan , kepunyaan selang.

6. Tulis semua penyelesaian kepada ketaksamaan , kepunyaan selang.