Luas jajar genjang berdasarkan alas dan tingginya. Bagaimana cara mencari luas jajar genjang? Rumus mencari luas jajar genjang

Pengertian jajar genjang

Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

Kalkulator daring

Jajargenjang memiliki beberapa sifat berguna yang memudahkan penyelesaian masalah yang melibatkan gambar ini. Misalnya, salah satu sifat-sifatnya adalah sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang adalah sama besar.

Mari kita pertimbangkan beberapa metode dan rumus yang diikuti dengan penyelesaian contoh sederhana.

Rumus luas jajar genjang berdasarkan alas dan tinggi

Cara mencari luas ini mungkin salah satu yang paling dasar dan sederhana, karena hampir sama dengan rumus mencari luas segitiga dengan beberapa pengecualian. Pertama, mari kita lihat kasus umum tanpa menggunakan angka.

Biarkan jajaran genjang sembarang dengan alas diberikan A A A, samping bb B dan tinggi badan h h H, dibawa ke markas kami. Maka rumus luas jajar genjang ini adalah:

S = a ⋅ jam S=a\cdot h S=sebuah ⋅H

A A A- basis;
h h H- tinggi.

Mari kita lihat satu masalah mudah untuk berlatih memecahkan masalah umum.

Contoh

Hitunglah luas jajar genjang yang diketahui alasnya 10 (cm) dan tingginya 5 (cm).

Larutan

SEBUAH=10 dan=10 sebuah =1 0
jam=5 jam=5 jam =5

Kami menggantinya ke dalam formula kami. Kita mendapatkan:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (lihat persegi)

Jawaban: 50 (lihat persegi)

Rumus luas jajar genjang berdasarkan dua sisi dan sudut di antara keduanya

Dalam hal ini, nilai yang diperlukan ditemukan sebagai berikut:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=sebuah ⋅b ⋅dosa(α)

A, b a, b a, b- sisi jajaran genjang;
α\alfa α - sudut antar sisi A A A Dan bb B.

Sekarang mari kita selesaikan contoh lain dan gunakan rumus yang dijelaskan di atas.

Contoh

Temukan luas jajar genjang jika sisinya diketahui A A A, yaitu alas dan panjangnya 20 (cm) serta kelilingnya hal P, secara numerik sama dengan 100 (cm), sudut antara sisi-sisi yang berdekatan ( A A A Dan bb B) sama dengan 30 derajat.

Larutan

SEBUAH = 20 dan=20 sebuah =2 0
p = 100 p=100 p=1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Untuk mencari jawabannya, kita hanya mengetahui sisi kedua segi empat ini. Mari kita temukan dia. Keliling jajar genjang diberikan dengan rumus:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=sebuah+sebuah+b+B
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+B
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2b
b = 30 b=30 b=3 0

Bagian tersulit telah selesai, yang tersisa hanyalah mengganti nilai sisi dan sudut di antara keduanya:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ dosa(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (lihat persegi)

Jawaban: 300 (lihat persegi)

Rumus luas jajar genjang berdasarkan diagonal dan sudut diantara keduanya

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D⋅d⋅dosa(α)

DD D- diagonal besar;
DD D- diagonal kecil;
α\alfa α - sudut lancip antar diagonal.

Contoh

Diketahui diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan 10 (cm) dan 5 (cm). Sudut antara keduanya adalah 30 derajat. Hitung luasnya.

Larutan

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ dosa(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (lihat persegi)

Sebelum kita mempelajari cara mencari luas jajar genjang, kita perlu mengingat kembali apa itu jajar genjang dan apa yang disebut dengan tingginya. Jajar genjang adalah segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan (terletak pada garis sejajar). Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik sembarang pada sisi yang berhadapan dengan garis yang memuat sisi tersebut disebut tinggi jajar genjang.

Persegi, persegi panjang, dan belah ketupat adalah kasus khusus dari jajar genjang.

Luas jajar genjang dilambangkan dengan (S).

Rumus mencari luas jajar genjang

S=a*h, dengan a adalah alas, h adalah tinggi yang ditarik ke alas.

S=a*b*sinα, dengan a dan b adalah alasnya, dan α adalah sudut antara alas a dan b.

S =p*r, dimana p adalah setengah keliling, r adalah jari-jari lingkaran yang terdapat pada jajar genjang.

Luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b sama dengan modulus hasil kali vektor-vektor tersebut, yaitu:

Mari kita perhatikan contoh no 1: Diberikan sebuah jajar genjang yang panjang sisinya 7 cm dan tingginya 3 cm.Cara mencari luas jajar genjang kita memerlukan rumus penyelesaiannya.

Jadi S= 7x3. S = 21. Jawaban: 21 cm 2.

Perhatikan contoh no. 2: Diketahui alasnya berukuran 6 dan 7 cm, dan diberi sudut antar alas sebesar 60 derajat. Bagaimana cara mencari luas jajar genjang? Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan:

Jadi, pertama-tama kita cari sinus sudutnya. Sinus 60 = 0,5, masing-masing S = 6 * 7 * 0,5 = 21 Jawaban: 21 cm 2.

Saya harap contoh-contoh ini akan membantu Anda dalam memecahkan masalah. Dan ingat, yang utama adalah pengetahuan tentang rumus dan perhatian

Saat memecahkan masalah pada topik ini, kecuali sifat dasar genjang dan rumus terkait, Anda dapat mengingat dan menerapkan hal berikut:

Garis bagi sudut dalam jajar genjang memotong segitiga sama kaki darinya
Garis bagi sudut dalam yang berdekatan dengan salah satu sisi jajar genjang saling tegak lurus
Garis-bagi yang datang dari sudut-sudut dalam jajar genjang yang berhadapan adalah sejajar satu sama lain atau terletak pada satu garis lurus
Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya
Luas jajar genjang sama dengan setengah hasil kali diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara keduanya

Mari kita pertimbangkan permasalahan yang menggunakan properti ini.

Tugas 1.

Garis bagi sudut C jajar genjang ABCD memotong sisi AD di titik M dan lanjutan sisi AB di luar titik A di titik E. Hitunglah keliling jajar genjang jika AE = 4, DM = 3.

Larutan.

1. Segitiga CMD sama kaki. (Properti 1). Jadi CD = MD = 3 cm.

2. Segitiga EAM sama kaki.
Jadi, AE = AM = 4 cm.

3. IKLAN = AM + MD = 7 cm.

4. Keliling ABCD = 20 cm.

Menjawab. 20 cm

Tugas 2.

Diagonal digambar pada segi empat ABCD cembung. Diketahui luas segitiga ABD, ACD, BCD adalah sama besar. Buktikan bahwa segiempat yang diberikan adalah jajar genjang.

Larutan.

1. Misalkan BE adalah tinggi segitiga ABD, CF adalah tinggi segitiga ACD. Karena menurut kondisi soal, luas segitiga-segitiga itu sama dan mempunyai alas yang sama AD, maka tinggi segitiga-segitiga itu adalah sama. MENJADI = CF.

2. BE, CF tegak lurus AD. Titik B dan C terletak pada sisi yang sama pada garis AD. MENJADI = CF. Oleh karena itu, garis lurus BC || IKLAN. (*)

3. Misalkan AL adalah tinggi segitiga ACD, BK adalah tinggi segitiga BCD. Karena menurut kondisi soal, luas segitiga-segitiga itu sama dan mempunyai alas CD yang sama, maka tinggi segitiga-segitiga itu adalah sama. AL = BK.

4. AL dan BK tegak lurus CD. Titik B dan A terletak pada sisi yang sama terhadap garis lurus CD. AL = BK. Oleh karena itu, garis lurus AB || CD(**)

5. Dari kondisi (*), (**) maka ABCD adalah jajar genjang.

Menjawab. Terbukti. ABCD adalah jajar genjang.

Tugas 3.

Pada sisi BC dan CD jajar genjang ABCD diberi tanda berturut-turut titik M dan H sehingga ruas BM dan HD berpotongan di titik O;<ВМD = 95 о,

Larutan.

1. Dalam segitiga DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Pada segitiga siku-siku DHC
(
Kemudian<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Karena pada segitiga siku-siku, kaki yang berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring).

Tapi CD = AB. Maka AB:HD = 2:1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
Jawaban : AB : HD = 2 : 1,<А = <С = 30 о, <В =

Tugas 4.

Salah satu diagonal jajar genjang yang panjangnya 4√6 membentuk sudut 60° dengan alasnya, dan diagonal kedua membentuk sudut 45° dengan alas yang sama. Temukan diagonal kedua.

Larutan.

1.AO = 2√6.

2. Kita terapkan teorema sinus pada segitiga AOD.

AO/dosa D = OD/dosa A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Jawaban: 12.

Tugas 5.

Untuk jajar genjang dengan sisi 5√2 dan 7√2, sudut terkecil antara diagonal-diagonalnya sama dengan sudut jajar genjang yang lebih kecil. Temukan jumlah panjang diagonalnya.

Larutan.

Misalkan d 1, d 2 adalah diagonal-diagonal jajar genjang, dan sudut antara diagonal-diagonal tersebut dengan sudut terkecil jajar genjang sama dengan φ.

1. Mari kita hitung dua hal yang berbeda
cara wilayahnya.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Kita peroleh persamaan 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f atau

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Dengan menggunakan hubungan antara sisi dan diagonal jajar genjang, kita tuliskan persamaannya

(AB 2 + IKLAN 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Mari kita buat sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Mari kalikan persamaan kedua sistem dengan 2 dan tambahkan ke persamaan pertama.

Kita peroleh (d 1 + d 2) 2 = 576. Jadi Id 1 + d 2 I = 24.

Karena d 1, d 2 adalah panjang diagonal-diagonal jajar genjang, maka d 1 + d 2 = 24.

Jawaban: 24.

Tugas 6.

Sisi-sisi jajar genjang adalah 4 dan 6. Sudut lancip antara diagonal-diagonalnya adalah 45 derajat. Temukan luas jajaran genjang.

Larutan.

1. Dari segitiga AOB, dengan menggunakan teorema kosinus, kita tuliskan hubungan antara sisi jajar genjang dan diagonalnya.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Demikian pula, kita menulis relasi segitiga AOD.

Mari kita pertimbangkan hal itu<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Kita mendapatkan persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Kami memiliki sistem
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan 2d 1 · d 2 √2 = 80 atau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Catatan: Dalam soal ini dan soal sebelumnya tidak perlu menyelesaikan sistem secara menyeluruh, karena dalam soal ini kita memerlukan hasil kali diagonal untuk menghitung luas.

Jawaban: 10.

Tugas 7.

Luas jajar genjang adalah 96 dan sisi-sisinya 8 dan 15. Tentukan luas diagonal yang lebih kecil.

Larutan.

1. S ABCD = AB · IKLAN · sin ВAD. Mari kita lakukan substitusi pada rumusnya.

Kita peroleh 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Jadi sin ВAD = 4/5.

2. Carilah cos VAD. dosa 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Berdasarkan kondisi soal, kita mencari panjang diagonal yang lebih kecil. Diagonal ВD akan lebih kecil jika sudut ВАD lancip. Maka cos VAD = 3/5.

3. Dari segitiga ABD, dengan menggunakan teorema kosinus, kita mencari kuadrat diagonal BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Jawaban: 145.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan soal geometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya sejajar berpasangan.
Pada gambar ini, sisi-sisi dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan di satu titik dan membagi dua titik tersebut. Rumus luas jajar genjang memungkinkan Anda mencari nilai menggunakan sisi, tinggi, dan diagonal. Jajargenjang juga dapat disajikan dalam kasus-kasus khusus. Mereka dianggap persegi panjang, persegi dan belah ketupat.
Pertama, mari kita lihat contoh menghitung luas jajar genjang berdasarkan tinggi dan sisi turunnya.

Kasus ini tergolong klasik dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut. Lebih baik mempertimbangkan rumus menghitung luas melalui dua sisi dan sudut di antara keduanya. Metode yang sama digunakan dalam perhitungan. Jika diketahui sisi-sisinya dan sudut antara keduanya, maka luasnya dihitung sebagai berikut:

Misalkan kita diberi jajar genjang dengan sisi a = 4 cm, b = 6 cm, sudut antara keduanya adalah α = 30°. Mari kita cari luasnya:

Luas jajar genjang melalui diagonal

Rumus luas jajar genjang menggunakan diagonal memungkinkan Anda menemukan nilainya dengan cepat.
Untuk perhitungannya, Anda memerlukan ukuran sudut yang terletak di antara diagonal.

Mari kita perhatikan contoh menghitung luas jajar genjang menggunakan diagonal. Misalkan terdapat jajar genjang dengan diagonal D = 7 cm, d = 5 cm, sudut antara keduanya adalah α = 30°. Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:

Contoh menghitung luas jajaran genjang melalui diagonal memberi kita hasil yang sangat baik - 8,75.

Mengetahui rumus luas jajar genjang melalui diagonal, Anda dapat memecahkan banyak masalah menarik. Mari kita lihat salah satunya.

Tugas: Diberikan sebuah jajar genjang dengan luas 92 meter persegi. lihat Titik F terletak di tengah-tengah sisi BC. Mari kita cari luas ADFB trapesium yang terletak pada jajar genjang kita. Pertama, mari kita gambar semua yang kita terima sesuai dengan kondisi.
Mari kita ke solusinya:

Menurut kondisi kita, ah =92, dan luas trapesium kita akan sama dengan

Luas jajar genjang
Teorema 1

Luas jajar genjang didefinisikan sebagai hasil kali panjang sisinya dan tinggi yang ditarik ke sana.

dimana $a$ adalah sisi jajar genjang, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi tersebut.

Bukti.

Misalkan kita diberi jajar genjang $ABCD$ dengan $AD=BC=a$. Mari kita menggambar tinggi $DF$ dan $AE$ (Gbr. 1).

Gambar 1.

Jelas sekali, angka $FDAE$ adalah persegi panjang.
\[\sudut BAE=(90)^0-\sudut A,\ \] \[\sudut CDF=\sudut D-(90)^0=(180)^0-\sudut A-(90)^0 =(90)^0-\sudut A=\sudut BAE\]
Akibatnya, karena $CD=AB,\ DF=AE=h$, dengan kriteria $I$ untuk persamaan segitiga $\triangle BAE=\triangle CDF$. Kemudian
Jadi, menurut teorema luas persegi panjang:
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema 2

Luas jajar genjang didefinisikan sebagai hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dengan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.

Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
di mana $a,\ b$ adalah sisi-sisi jajar genjang, $\alpha $ adalah sudut di antara keduanya.

Bukti.

Misalkan kita diberikan jajar genjang $ABCD$ dengan $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Mari kita menggambar tinggi $DF=h$ (Gbr. 2).

Gambar 2.

Berdasarkan definisi sinus, kita peroleh
Karena itu
Jadi, berdasarkan Teorema $1$:
Teorema tersebut telah terbukti.

Luas segitiga
Teorema 3

Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah hasil kali panjang sisinya dan tinggi yang ditarik ke sana.

Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
dimana $a$ adalah salah satu sisi segitiga, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi tersebut.

Bukti.

Gambar 3

Jadi, berdasarkan Teorema $1$:
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema 4

Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.

Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
dimana $a,\b$ adalah sisi-sisi segitiga, $\alpha$ adalah sudut di antara keduanya.

Bukti.

Misalkan kita diberi segitiga $ABC$ dengan $AB=a$. Carilah tinggi $CH=h$. Mari kita buat menjadi jajar genjang $ABCD$ (Gbr. 3).

Jelasnya, berdasarkan kriteria $I$ untuk persamaan segitiga, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Kemudian
Jadi, berdasarkan Teorema $1$:
Teorema tersebut telah terbukti.

Luas trapesium
Teorema 5

Luas trapesium didefinisikan sebagai setengah hasil kali jumlah panjang alas dan tingginya.

Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
Bukti.

Misalkan kita diberi trapesium $ABCK$, dimana $AK=a,\ BC=b$. Mari kita gambarkan tinggi $BM=h$ dan $KP=h$, serta diagonal $BK$ (Gbr. 4).

Gambar 4
Dengan Teorema $3$, kita peroleh
Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh tugas
Contoh 1

Hitunglah luas segitiga sama sisi jika panjang sisinya $a.$

Larutan.

Karena segitiga sama sisi, semua sudutnya sama dengan $(60)^0$.

Kemudian, berdasarkan Teorema $4$, kita punya
Menjawab:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Perhatikan bahwa hasil soal ini dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sama sisi dengan sisi tertentu.