Cara mencari luas jajaran genjang. Jajaran genjang dalam masalah. Rumus mencari luas jajaran genjang

Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya sejajar berpasangan.

Pada gambar ini, sisi dan sudut yang berlawanan sama satu sama lain. Diagonal-diagonal jajaran genjang berpotongan di satu titik dan membaginya menjadi dua. Rumus area genjang memungkinkan Anda menemukan nilai melalui sisi, tinggi, dan diagonal. Jajaran genjang juga dapat direpresentasikan dalam kasus khusus. Mereka dianggap persegi panjang, persegi dan belah ketupat.
Pertama, mari kita pertimbangkan contoh menghitung luas jajaran genjang dengan tinggi dan sisi yang diturunkan.

Kasus ini dianggap klasik dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut. Lebih baik mempertimbangkan rumus untuk menghitung luas melalui dua sisi dan sudut di antara keduanya. Metode yang sama digunakan dalam perhitungan. Jika sisi dan sudut di antaranya diberikan, maka luasnya dihitung sebagai berikut:

Misalkan kita diberi jajargenjang dengan sisi a = 4 cm, b = 6 cm, sudut antara keduanya adalah α = 30°. Mari kita cari luasnya:

Area jajaran genjang dalam hal diagonal

Rumus luas jajaran genjang dalam bentuk diagonal memungkinkan Anda menemukan nilainya dengan cepat.
Untuk perhitungan, Anda memerlukan nilai sudut yang terletak di antara diagonal.

Pertimbangkan contoh menghitung luas jajaran genjang melalui diagonal. Diketahui jajargenjang dengan diagonal D = 7 cm, d = 5 cm, sudut antara keduanya adalah α = 30°. Gantikan data dalam rumus:

Contoh menghitung luas jajaran genjang melalui diagonal memberi kami hasil yang sangat baik - 8,75.

Mengetahui rumus luas jajaran genjang dalam bentuk diagonal, Anda dapat memecahkan banyak masalah menarik. Mari kita lihat salah satunya.

Tugas: Diberikan sebuah jajaran genjang dengan luas 92 sq. lihat Titik F terletak di tengah sisinya SM. Mari kita temukan luas ADFB trapesium, yang akan terletak pada jajaran genjang kita. Untuk memulainya, mari menggambar semua yang kami terima sesuai dengan kondisinya.
Mari kita ke solusinya:

Menurut kondisi kami, ah \u003d 92, dan karenanya, luas trapesium kami akan sama dengan

Seperti dalam geometri Euclidean, titik dan garis lurus adalah elemen utama dari teori bidang, sehingga jajaran genjang adalah salah satu figur kunci dari segiempat cembung. Dari situ, seperti benang dari bola, mengalir konsep "persegi panjang", "persegi", "belah ketupat", dan besaran geometris lainnya.

Berhubungan dengan

Definisi jajaran genjang

segi empat cembung, terdiri dari segmen-segmen, yang masing-masing pasangannya sejajar, dikenal dalam geometri sebagai jajaran genjang.

Bentuk jajaran genjang klasik adalah segiempat ABCD. Sisi-sisinya disebut alas (AB, BC, CD dan AD), garis tegak lurus yang ditarik dari sembarang titik ke sisi berlawanan dari titik ini disebut tinggi (BE dan BF), garis AC dan BD adalah diagonal.

Perhatian! Persegi, belah ketupat, dan persegi panjang adalah kasus khusus dari jajaran genjang.

Sisi dan sudut: fitur rasio

Properti utama, pada umumnya, ditentukan oleh penunjukan itu sendiri, dibuktikan dengan teorema. Karakteristik ini adalah sebagai berikut:

1. Sisi yang berlawanan identik berpasangan.
2. Sudut yang berlawanan satu sama lain sama berpasangan.

Bukti: perhatikan ∆ABC dan ∆ADC, yang diperoleh dengan membagi segiempat ABCD dengan garis AC. ∠BCA=∠CAD dan ∠BAC=∠ACD, karena AC adalah umum bagi mereka (sudut vertikal untuk BC||AD dan AB||CD, masing-masing). Ini mengikuti dari ini: ∆ABC = ∆ADC (kriteria kedua untuk persamaan segitiga).

Ruas AB dan BC pada ∆ABC berhubungan berpasangan dengan garis CD dan AD pada ∆ADC, yang berarti keduanya identik: AB = CD, BC = AD. Jadi, ∠B sesuai dengan ∠D dan keduanya sama. Karena ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, yang juga berpasangan identik, maka ∠A = ∠C. Khasiatnya sudah terbukti.

Karakteristik diagonal sosok itu

Fitur utama garis jajaran genjang ini: titik perpotongan membagi dua garis tersebut.

Bukti: misalkan m.E titik potong diagonal AC dan BD pada gambar ABCD. Mereka membentuk dua segitiga sepadan - ∆ABE dan ∆CDE.

AB=CD karena berlawanan. Menurut garis dan garis potong, ∠ABE = ∠CDE dan ∠BAE = ∠DCE.

Menurut tanda persamaan kedua, ∆ABE = ∆CDE. Ini berarti bahwa elemen-elemen ∆ABE dan ∆CDE adalah: AE = CE, BE = DE dan, selain itu, merupakan bagian yang sepadan dari AC dan BD. Khasiatnya sudah terbukti.

Fitur sudut yang berdekatan

Pada sisi-sisi yang berdekatan, jumlah sudutnya adalah 180°, karena mereka terletak di sisi yang sama dari garis sejajar dan garis potong. Untuk segi empat ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Properti garis tengah:

1. , dijatuhkan ke satu sisi, tegak lurus;
2. simpul yang berlawanan memiliki garis bagi paralel;
3. segitiga yang diperoleh dengan menggambar garis bagi akan menjadi sama kaki.

Menentukan fitur karakteristik jajaran genjang dengan teorema

Ciri-ciri dari gambar ini mengikuti dari teorema utamanya, yang berbunyi sebagai berikut: segi empat dianggap jajaran genjang jika diagonalnya berpotongan, dan titik ini membaginya menjadi segmen yang sama.

Bukti: Misalkan garis AC dan BD dari segiempat ABCD berpotongan di t. Karena ∠AED = ∠BEC, dan AE+CE=AC BE+DE=BD, maka ∆AED = ∆BEC (dengan tanda pertama persamaan segitiga). Artinya, ∠EAD = ∠ECB. Mereka juga merupakan sudut penyeberangan interior dari garis potong AC untuk garis AD dan BC. Jadi, menurut definisi paralelisme - AD || SM. Sifat serupa dari garis BC dan CD juga diturunkan. Teorema telah terbukti.

Menghitung luas suatu bangun

Area gambar ini ditemukan dalam beberapa cara salah satu yang paling sederhana: mengalikan tinggi dan alas yang ditarik.

Bukti: Gambar garis tegak lurus BE dan CF dari simpul B dan C. ∆ABE dan ∆DCF sama karena AB = CD dan BE = CF. ABCD sama dengan persegi panjang EBCF, karena juga terdiri dari angka proporsional: S ABE dan S EBCD, serta S DCF dan S EBCD. Oleh karena itu, luas bangun geometris ini sama dengan luas persegi panjang:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Untuk menentukan rumus umum luas jajaran genjang, kami menunjukkan tingginya sebagai hb, dan sisi B. Masing-masing:

Cara lain untuk menemukan area

Perhitungan luas melalui sisi jajaran genjang dan sudut, yang mereka bentuk, adalah metode kedua yang diketahui.

,

Spr-ma - area;

a dan b adalah sisinya

α - sudut antara segmen a dan b.

Metode ini secara praktis didasarkan pada yang pertama, tetapi jika tidak diketahui. selalu memotong segitiga siku-siku yang parameternya ditemukan dengan identitas trigonometri, yaitu . Mengubah rasio, kita mendapatkan . Dalam persamaan metode pertama, kami mengganti tinggi dengan hasil kali ini dan mendapatkan bukti validitas rumus ini.

Melalui diagonal jajaran genjang dan sudut, yang mereka buat saat berpotongan, Anda juga dapat menemukan area tersebut.

Bukti: AC dan BD berpotongan membentuk empat segitiga: ABE, BEC, CDE dan AED. Jumlahnya sama dengan luas segiempat ini.

Luas masing-masing ∆ ini dapat ditemukan dari ekspresi , di mana a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Karena , maka satu nilai sinus digunakan dalam perhitungan. Itu adalah . Karena AE+CE=AC= d 1 dan BE+DE=BD= d 2 , rumus luas dikurangi menjadi:

.

Aplikasi dalam aljabar vektor

Ciri-ciri bagian penyusun segi empat ini telah menemukan aplikasinya dalam aljabar vektor, yaitu: penjumlahan dua vektor. Aturan jajaran genjang menyatakan bahwa jika diberikan vektorDanBukanadalah kolinear, maka jumlahnya akan sama dengan diagonal dari gambar ini, yang alasnya sesuai dengan vektor ini.

Bukti: dari awal yang dipilih secara sewenang-wenang - yaitu, tentang. - kami membangun vektor dan . Selanjutnya, kami membuat jajaran genjang OASV, di mana segmen OA dan OB adalah sisi. Jadi, OS terletak pada vektor atau penjumlahan.

Rumus untuk menghitung parameter jajaran genjang

Identitas diberikan dengan ketentuan sebagai berikut:

1. a dan b, α - sisi dan sudut di antara keduanya;
2. d 1 dan d 2 , γ - diagonal dan pada titik perpotongannya;
3. h a dan h b - ketinggian diturunkan ke sisi a dan b;

Parameter	Rumus
Menemukan sisi
sepanjang diagonal dan cosinus sudut di antara mereka
diagonal dan ke samping
melalui ketinggian dan titik berlawanan
Mencari panjang diagonal
di sisi dan ukuran bagian atas di antara mereka
sepanjang sisi dan salah satu diagonal	 Kesimpulan Jajar genjang, sebagai salah satu figur kunci geometri, digunakan dalam kehidupan, misalnya dalam konstruksi saat menghitung luas suatu situs atau pengukuran lainnya. Oleh karena itu, pengetahuan tentang ciri-ciri pembeda dan cara menghitung berbagai parameternya dapat berguna kapan saja dalam hidup.

Sebelum kita mempelajari cara mencari luas jajaran genjang, kita perlu mengingat apa itu jajaran genjang dan apa yang disebut tingginya. Jajaran genjang adalah segiempat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan (berada pada garis sejajar). Garis tegak lurus yang ditarik dari sembarang titik di sisi yang berlawanan dengan garis yang memuat sisi ini disebut tinggi jajaran genjang.

Persegi, persegi panjang, dan belah ketupat adalah kasus khusus jajaran genjang.

Area jajaran genjang dilambangkan sebagai (S).

Rumus mencari luas jajaran genjang

S=a*h, di mana a adalah alas, h adalah tinggi yang ditarik ke alas.

S=a*b*sinα, dengan a dan b adalah alas, dan α adalah sudut antara alas a dan b.

S \u003d p * r, di mana p adalah setengah keliling, r adalah jari-jari lingkaran yang tertulis di jajaran genjang.

Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b sama dengan modulus perkalian vektor yang diberikan, yaitu:

Perhatikan contoh No.1: Diberikan jajar genjang yang sisinya 7 cm, dan tingginya 3 cm Cara mencari luas jajaran genjang, kita membutuhkan rumus penyelesaiannya.

Jadi S = 7x3. S=21. Jawab: 21 cm2.

Perhatikan contoh No. 2: Alasnya berukuran 6 dan 7 cm, dan sudut antara alasnya adalah 60 derajat. Bagaimana menemukan luas jajaran genjang? Formula yang digunakan untuk menyelesaikan:

Jadi, pertama-tama kita menemukan sinus sudut. Sinus 60 \u003d 0,5, masing-masing S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Jawab: 21 cm 2.

Saya harap contoh-contoh ini akan membantu Anda dalam memecahkan masalah. Dan ingat, yang utama adalah pengetahuan tentang formula dan perhatian

daerah jajaran genjang

Teorema 1

Luas jajaran genjang didefinisikan sebagai hasil kali panjang sisinya dengan tinggi yang ditarik ke sana.

di mana $a$ adalah sisi jajaran genjang, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi ini.

Bukti.

Misalkan kita diberikan jajaran genjang $ABCD$ dengan $AD=BC=a$. Mari menggambar ketinggian $DF$ dan $AE$ (Gbr. 1).

Gambar 1.

Jelas bahwa angka $FDAE$ adalah persegi panjang.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\sudut A=\sudut BAE\]

Oleh karena itu, sejak $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, dengan $I$ tes kesetaraan segitiga. Kemudian

Jadi menurut teorema luas persegi panjang:

Teorema telah terbukti.

Teorema 2

Luas jajaran genjang didefinisikan sebagai hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dengan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut

di mana $a,\ b$ adalah sisi jajaran genjang, $\alpha $ adalah sudut di antara keduanya.

Bukti.

Misalkan kita diberikan jajaran genjang $ABCD$ dengan $BC=a,\CD=b,\ \angle C=\alpha $. Gambarlah tingginya $DF=h$ (Gbr. 2).

Gambar 2.

Menurut definisi sinus, kita dapatkan

Karena itu

Oleh karena itu, dengan Teorema $1$:

Teorema telah terbukti.

Luas segitiga

Teorema 3

Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah produk dari panjang sisinya dan tinggi yang ditarik ke sana.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut

di mana $a$ adalah sisi segitiga, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi ini.

Bukti.

Gambar 3

Jadi dengan Teorema $1$:

Teorema telah terbukti.

Teorema 4

Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah produk dari panjang sisi yang berdekatan dikalikan dengan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut

di mana $a,\ b$ adalah sisi-sisi segitiga, $\alpha $ adalah sudut di antara keduanya.

Bukti.

Mari kita diberi segitiga $ABC$ dengan $AB=a$. Gambarlah tingginya $CH=h$. Mari kita bangun menjadi jajaran genjang $ABCD$ (Gbr. 3).

Jelas, $\triangle ACB=\triangle CDB$ oleh $I$. Kemudian

Jadi dengan Teorema $1$:

Teorema telah terbukti.

daerah trapesium

Teorema 5

Luas trapesium didefinisikan sebagai setengah produk dari jumlah panjang alasnya dikali tingginya.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut

Bukti.

Mari kita diberi trapesium $ABCK$, di mana $AK=a,\BC=b$. Mari kita menggambar ketinggian $BM=h$ dan $KP=h$ di dalamnya, serta diagonal $BK$ (Gbr. 4).

Gambar 4

Dengan Teorema $3$, kita dapatkan

Teorema telah terbukti.

Contoh tugas

Contoh 1

Temukan luas segitiga sama sisi jika panjang sisinya adalah $a.$

Larutan.

Karena segitiga sama sisi, semua sudutnya sama dengan $(60)^0$.

Kemudian, dengan Teorema $4$, kita punya

Menjawab:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Perhatikan bahwa hasil soal ini dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sama sisi dengan sisi tertentu.

Jajar genjang - sosok geometris, sering ditemukan dalam tugas kursus geometri (bagian planimetri). Fitur utama dari segi empat ini adalah persamaan sudut yang berlawanan dan adanya dua pasang sisi berlawanan yang sejajar. Kasus khusus jajaran genjang adalah belah ketupat, persegi panjang, persegi.

Perhitungan luas poligon jenis ini dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita pertimbangkan masing-masing.

Temukan luas jajaran genjang jika sisi dan tingginya diketahui

Untuk menghitung luas jajaran genjang, Anda dapat menggunakan nilai sisinya, serta panjang tinggi yang diturunkan ke atasnya. Dalam hal ini, data yang diperoleh akan dapat diandalkan baik untuk kasus sisi yang diketahui - alas gambar, dan jika Anda memiliki sisi gambar yang Anda inginkan. Dalam hal ini, nilai yang diinginkan akan diperoleh dengan rumus:

S = a * h(a) = b * h(b),

• S adalah luas yang akan ditentukan,
• a, b - sisi yang diketahui (atau dihitung),
• h adalah ketinggian yang diturunkan di atasnya.

Contoh: nilai alas jajargenjang adalah 7 cm, panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari simpul yang berlawanan adalah 3 cm.

Solusi: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Temukan luas jajaran genjang jika diketahui 2 sisi dan sudut di antaranya

Pertimbangkan kasus ketika Anda mengetahui besarnya dua sisi gambar, serta ukuran derajat sudut yang mereka bentuk satu sama lain. Data yang diberikan juga dapat digunakan untuk mencari luas jajaran genjang. Dalam hal ini, ekspresi rumus akan terlihat seperti ini:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

• a - sisi,
• c adalah basis yang diketahui (atau dihitung),
• α, β adalah sudut antara sisi a dan c.

Contoh: alas jajar genjang 10 cm, sisinya lebih kecil 4 cm. Sudut tumpul gambar tersebut adalah 135°.

Solusi: tentukan nilai sisi kedua: 10 - 4 \u003d 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Temukan luas jajaran genjang jika diagonal dan sudut di antara keduanya diketahui

Kehadiran nilai diagonal yang diketahui dari poligon tertentu, serta sudut yang dibentuknya sebagai hasil perpotongannya, memungkinkan untuk menentukan luas gambar.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S adalah luas yang akan ditentukan,
d1, d2 dikenal (atau dihitung) diagonal,
γ, φ adalah sudut antara diagonal d1 dan d2.