Luas jajar genjang tanpa rumus tinggi. Cara mencari luas jajar genjang, segitiga, trapesium. Fitur sudut yang berdekatan
Sama seperti dalam geometri Euclidean, titik dan garis lurus merupakan elemen utama teori bidang, demikian pula jajaran genjang adalah salah satu figur kunci dari segi empat cembung. Dari situ, seperti benang dari bola, mengalir konsep “persegi panjang”, “persegi”, “belah ketupat” dan besaran geometris lainnya.
Dalam kontak dengan
Definisi jajaran genjang
segi empat cembung, terdiri dari segmen-segmen yang masing-masing pasangnya sejajar, dalam geometri dikenal sebagai jajar genjang.
Bentuk jajar genjang klasik digambarkan oleh segi empat ABCD. Sisi-sisinya disebut alas (AB, BC, CD dan AD), garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke sisi yang berhadapan dengan titik tersebut disebut tinggi (BE dan BF), garis AC dan BD disebut diagonal.
Perhatian! Persegi, belah ketupat, dan persegi panjang adalah kasus khusus dari jajar genjang.
Sisi dan sudut: ciri-ciri hubungan
Properti utama, pada umumnya, ditentukan sebelumnya oleh penunjukan itu sendiri, mereka dibuktikan dengan teorema. Ciri-ciri tersebut adalah sebagai berikut:
- Sisi-sisi yang berhadapan adalah berpasangan identik.
- Sudut-sudut yang berhadapan sama besar berpasangan.
Bukti: Perhatikan ∆ABC dan ∆ADC yang diperoleh dengan membagi segi empat ABCD dengan garis lurus AC. ∠BCA=∠CAD dan ∠BAC=∠ACD, karena AC adalah persekutuan bagi keduanya (masing-masing sudut vertikal untuk BC||AD dan AB||CD). Maka dari ini: ∆ABC = ∆ADC (tanda kedua persamaan segitiga).
Ruas AB dan BC di ∆ABC bersesuaian berpasangan dengan garis CD dan AD di ∆ADC, yang berarti keduanya identik: AB = CD, BC = AD. Jadi, ∠B sama dengan ∠D dan keduanya setara. Karena ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, yang juga identik berpasangan, maka ∠A = ∠C. Properti telah terbukti.
Ciri-ciri diagonal suatu bangun datar
Fitur utama dari garis-garis jajar genjang ini: titik potong membaginya menjadi dua.
Bukti: Misalkan adalah titik potong diagonal AC dan BD pada gambar ABCD. Mereka membentuk dua segitiga sepadan - ∆ABE dan ∆CDE.
AB=CD karena keduanya berlawanan. Menurut garis dan garis potong, ∠ABE = ∠CDE dan ∠BAE = ∠DCE.
Berdasarkan kriteria persamaan kedua, ∆ABE = ∆CDE. Artinya unsur-unsur ∆ABE dan ∆CDE: AE = CE, BE = DE dan sekaligus merupakan bagian proporsional dari AC dan BD. Properti telah terbukti.
Fitur sudut yang berdekatan
Sisi-sisi yang berdekatan mempunyai jumlah sudut sebesar 180°, karena keduanya terletak pada sisi yang sama pada garis sejajar dan garis transversal. Untuk segi empat ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Sifat-sifat garis bagi:
- , diturunkan ke satu sisi, tegak lurus;
- simpul-simpul yang berlawanan mempunyai garis-bagi paralel;
- segitiga yang diperoleh dengan menggambar garis bagi adalah segitiga sama kaki.
Penentuan ciri-ciri jajar genjang menggunakan teorema
Ciri-ciri gambar ini mengikuti teorema utamanya yang menyatakan sebagai berikut: segiempat dianggap jajar genjang jika diagonal-diagonalnya berpotongan, dan titik ini membaginya menjadi segmen-segmen yang sama.
Bukti: Misalkan garis AC dan BD pada segiempat ABCD berpotongan di yaitu. Karena ∠AED = ∠BEC, dan AE+CE=AC BE+DE=BD, maka ∆AED = ∆BEC (sesuai kriteria pertama persamaan segitiga). Artinya, ∠EAD = ∠ECB. Mereka juga merupakan sudut silang internal dari garis potong AC untuk garis AD dan BC. Jadi, menurut definisi paralelisme - AD || SM Sifat serupa dari garis BC dan CD juga diturunkan. Teorema tersebut telah terbukti.
Menghitung luas suatu bangun
Luas gambar ini ditemukan dengan beberapa metode salah satu yang paling sederhana: mengalikan tinggi dan alas gambarnya.
Bukti: tariklah garis tegak lurus BE dan CF dari titik B dan C. ∆ABE dan ∆DCF adalah sama, karena AB = CD dan BE = CF. ABCD sama besarnya dengan persegi panjang EBCF, karena terdiri dari bangun-bangun yang sepadan: S ABE dan S EBCD, serta S DCF dan S EBCD. Oleh karena itu luas bangun geometri ini sama dengan luas persegi panjang:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Untuk menentukan rumus umum luas jajar genjang, mari kita nyatakan tingginya sebagai hb, dan samping - B. Masing-masing:
Cara lain untuk mencari luas
Perhitungan luas melalui sisi jajar genjang dan sudut, yang mereka bentuk, adalah metode kedua yang diketahui.
,
Spr-ma - luas;
a dan b adalah sisi-sisinya
α adalah sudut antara segmen a dan b.
Metode ini secara praktis didasarkan pada yang pertama, tetapi bagaimana cara kerjanya tidak diketahui. selalu memotong segitiga siku-siku yang parameternya ditentukan oleh identitas trigonometri, yaitu. Mentransformasi relasinya, kita peroleh. Pada persamaan metode pertama, kita mengganti tinggi badan dengan hasil kali ini dan memperoleh bukti validitas rumus ini.
Melalui diagonal-diagonal jajar genjang dan sudutnya, yang mereka buat saat berpotongan, Anda juga dapat menemukan luasnya.
Bukti: AC dan BD berpotongan membentuk empat segitiga: ABE, BEC, CDE dan AED. Jumlahnya sama dengan luas segi empat ini.
Luas masing-masing ∆ ini dapat dicari dengan persamaan , dimana a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Karena , perhitungannya menggunakan nilai sinus tunggal. Itu adalah . Karena AE+CE=AC= d 1 dan BE+DE=BD= d 2, rumus luasnya menjadi:
.
Penerapan dalam aljabar vektor
Ciri-ciri bagian-bagian penyusun segi empat ini telah diterapkan dalam aljabar vektor, yaitu penjumlahan dua vektor. Aturan jajaran genjang menyatakan bahwa jika diberikan vektorDanBukanadalah segaris, maka jumlahnya akan sama dengan diagonal gambar ini, yang alasnya bersesuaian dengan vektor-vektor ini.
Bukti: dari awal yang dipilih secara sewenang-wenang - mis. - membangun vektor dan . Selanjutnya kita buat jajar genjang OASV, dimana ruas OA dan OB adalah sisinya. Jadi, OS terletak pada vektor atau penjumlahan.
Rumus untuk menghitung parameter jajar genjang
Identitas diberikan dengan ketentuan sebagai berikut:
- a dan b, α - sisi dan sudut di antara keduanya;
- d 1 dan d 2, γ - diagonal dan pada titik perpotongannya;
- h a dan h b - ketinggian diturunkan ke sisi a dan b;
| Parameter | Rumus |
| Menemukan sisinya | |
| sepanjang diagonal dan kosinus sudut di antara keduanya | 
|
| sepanjang diagonal dan sisinya | 
|
| melalui tinggi dan titik sudut yang berhadapan | |
| Mencari panjang diagonalnya | |
| di sisi dan ukuran puncak di antara mereka | |
| sepanjang sisi dan salah satu diagonalnya | 
KesimpulanJajar genjang, sebagai salah satu tokoh kunci geometri, digunakan dalam kehidupan, misalnya dalam konstruksi saat menghitung luas suatu situs atau pengukuran lainnya. Oleh karena itu, pengetahuan tentang ciri khas dan metode penghitungan berbagai parameternya dapat berguna kapan saja dalam hidup. |
Definisi jajaran genjang
Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
Kalkulator daring
Jajargenjang memiliki beberapa sifat berguna yang memudahkan penyelesaian masalah yang melibatkan gambar ini. Misalnya, salah satu sifat-sifatnya adalah sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang adalah sama besar.
Mari kita pertimbangkan beberapa metode dan rumus yang diikuti dengan penyelesaian contoh sederhana.
Rumus luas jajar genjang berdasarkan alas dan tingginya
Cara mencari luas ini mungkin salah satu yang paling dasar dan sederhana, karena hampir sama dengan rumus mencari luas segitiga dengan beberapa pengecualian. Pertama, mari kita lihat kasus umum tanpa menggunakan angka.
Biarkan jajaran genjang sembarang dengan alas diberikan A A A, samping bb B dan tinggi badan h h H, dibawa ke markas kami. Maka rumus luas jajar genjang ini adalah:
S = a ⋅ jam S=a\cdot h S=sebuah ⋅H
A A A- basis;
h h H- tinggi.
Mari kita lihat satu masalah mudah untuk berlatih memecahkan masalah umum.
ContohHitunglah luas jajar genjang yang diketahui alasnya 10 (cm) dan tingginya 5 (cm).
Larutan
SEBUAH = 10 dan=10 sebuah =1
0
jam = 5 jam=5 jam =5
Kami menggantinya ke dalam formula kami. Kita mendapatkan:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1
0
⋅
5
=
5
0
(lihat persegi)
Jawaban: 50 (lihat persegi)
Rumus luas jajar genjang berdasarkan dua sisi dan sudut di antara keduanya
Dalam hal ini, nilai yang diperlukan ditemukan sebagai berikut:
S = a ⋅ b ⋅ sin (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=sebuah ⋅b ⋅dosa(α)
A, b a, b a, b- sisi jajaran genjang;
α\alfa α
- sudut antar sisi A A A Dan bb B.
Sekarang mari kita selesaikan contoh lain dan gunakan rumus yang dijelaskan di atas.
ContohTemukan luas jajar genjang jika sisinya diketahui A A A, yaitu alas dan panjangnya 20 (cm) serta kelilingnya hal P, secara numerik sama dengan 100 (cm), sudut antara sisi-sisi yang berdekatan ( A A A Dan bb B) sama dengan 30 derajat.
Larutan
SEBUAH = 20 dan=20 sebuah =2
0
p = 100 p=100 hal =1
0
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Untuk mencari jawabannya, kita hanya mengetahui sisi kedua segi empat ini. Mari kita temukan dia. Keliling jajar genjang diberikan dengan rumus:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b hal =sebuah+sebuah+b+B
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1
0
0
=
2
0
+
2
0
+
b+B
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1
0
0
=
4
0
+
2b
60 = 2b 60=2b 6
0
=
2b
b = 30 b=30 b =3
0
Bagian tersulit telah selesai, yang tersisa hanyalah mengganti nilai sisi dan sudut di antara keduanya:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2
0
⋅
3
0
⋅
dosa(3 0
∘
)
=
3
0
0
(lihat persegi)
Jawaban: 300 (lihat persegi)
Rumus luas jajar genjang berdasarkan diagonal dan sudut diantara keduanya
S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D⋅d⋅dosa(α)
DD D- diagonal besar;
DD D- diagonal kecil;
α\alfa α
- sudut lancip antar diagonal.
Diketahui diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan 10 (cm) dan 5 (cm). Sudut antara keduanya adalah 30 derajat. Hitung luasnya.
Larutan
D=10 D=10 D=1
0
d = 5 d=5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ dosa(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (lihat persegi)
Luas bangun geometri- karakteristik numerik suatu bangun geometri yang menunjukkan ukuran bangun tersebut (bagian permukaan yang dibatasi oleh kontur tertutup bangun tersebut). Luas suatu wilayah dinyatakan dengan banyaknya satuan persegi yang terdapat di dalamnya.
Rumus luas segitiga
- Rumus luas segitiga menurut sisi dan tingginya
Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang salah satu sisi segitiga dan panjang tinggi yang ditarik ke sisi tersebut - Rumus luas segitiga berdasarkan tiga sisi dan jari-jari lingkaran luar
- Rumus luas segitiga berdasarkan ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran yang tertulis
Luas segitiga sama dengan hasil kali setengah keliling segitiga dan jari-jari lingkaran yang tertulis. dimana S adalah luas segitiga,
- panjang sisi-sisi segitiga,
- tinggi segitiga,
- sudut antara sisi dan,
- jari-jari lingkaran yang tertulis,
R - jari-jari lingkaran yang dibatasi,
Rumus luas persegi
- Rumus luas persegi menurut panjang sisinya
Daerah persegi sama dengan kuadrat panjang sisinya. - Rumus luas persegi sepanjang diagonalnya
Daerah persegi sama dengan setengah kuadrat panjang diagonalnya.S= 1 2 2 dimana S adalah luas persegi,
- panjang sisi persegi,
- panjang diagonal persegi.
Rumus luas persegi panjang
- Luas persegi panjang sama dengan hasil kali panjang kedua sisi yang berdekatan
dimana S adalah luas persegi panjang,
- panjang sisi persegi panjang.
Rumus luas jajar genjang
- Rumus luas jajar genjang berdasarkan panjang sisi dan tinggi
Luas jajar genjang - Rumus luas jajar genjang berdasarkan dua sisi dan sudut di antara keduanya
Luas jajar genjang sama dengan hasil kali panjang sisi-sisinya dikalikan sinus sudut antara keduanya.ab dosa α
dimana S adalah luas jajar genjang,
- panjang sisi jajar genjang,
- panjang tinggi jajaran genjang,
- sudut antara sisi-sisi jajar genjang.
Rumus luas belah ketupat
- Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang sisi dan tinggi
Luas belah ketupat sama dengan hasil kali panjang sisinya dan panjang tinggi yang diturunkan ke sisi tersebut. - Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang sisi dan sudutnya
Luas belah ketupat sama dengan hasil kali kuadrat panjang sisinya dan sinus sudut antara sisi belah ketupat. - Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang diagonalnya
Luas belah ketupat sama dengan setengah hasil kali panjang diagonal-diagonalnya. dimana S adalah luas belah ketupat,
- panjang sisi belah ketupat,
- panjang tinggi belah ketupat,
- sudut antara sisi belah ketupat,
1, 2 - panjang diagonal.
Rumus luas trapesium
- Rumus Heron untuk trapesium
Dimana S adalah luas trapesium,
- panjang alas trapesium,
- panjang sisi trapesium,
Luas jajar genjang
Teorema 1
Luas jajar genjang didefinisikan sebagai hasil kali panjang sisinya dan tinggi yang ditarik ke sana.
dimana $a$ adalah sisi jajar genjang, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi tersebut.
Bukti.
Misalkan kita diberi jajar genjang $ABCD$ dengan $AD=BC=a$. Mari kita menggambar tinggi $DF$ dan $AE$ (Gbr. 1).
Gambar 1.
Jelas sekali, angka $FDAE$ adalah persegi panjang.
\[\sudut BAE=(90)^0-\sudut A,\ \] \[\sudut CDF=\sudut D-(90)^0=(180)^0-\sudut A-(90)^0 =(90)^0-\sudut A=\sudut BAE\]
Akibatnya, karena $CD=AB,\ DF=AE=h$, dengan kriteria $I$ untuk persamaan segitiga $\triangle BAE=\triangle CDF$. Kemudian
Jadi, menurut teorema luas persegi panjang:
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema 2
Luas jajar genjang didefinisikan sebagai hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dengan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.
Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
di mana $a,\ b$ adalah sisi-sisi jajar genjang, $\alpha $ adalah sudut di antara keduanya.
Bukti.
Misalkan kita diberikan jajar genjang $ABCD$ dengan $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Mari kita menggambar tinggi $DF=h$ (Gbr. 2).
Gambar 2.
Berdasarkan definisi sinus, kita peroleh
Karena itu
Jadi, berdasarkan Teorema $1$:
Teorema tersebut telah terbukti.
Luas segitiga
Teorema 3
Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah hasil kali panjang sisinya dan tinggi yang ditarik ke sana.
Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
dimana $a$ adalah salah satu sisi segitiga, $h$ adalah tinggi yang ditarik ke sisi tersebut.
Bukti.
Gambar 3.
Jadi, berdasarkan Teorema $1$:
Teorema tersebut telah terbukti.
Teorema 4
Luas segitiga didefinisikan sebagai setengah hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut.
Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
dimana $a,\b$ adalah sisi-sisi segitiga, $\alpha$ adalah sudut di antara keduanya.
Bukti.
Misalkan kita diberi segitiga $ABC$ dengan $AB=a$. Carilah tinggi $CH=h$. Mari kita buat menjadi jajar genjang $ABCD$ (Gbr. 3).
Jelasnya, berdasarkan kriteria $I$ untuk persamaan segitiga, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Kemudian
Jadi, berdasarkan Teorema $1$:
Teorema tersebut telah terbukti.
Luas trapesium
Teorema 5
Luas trapesium didefinisikan sebagai setengah hasil kali jumlah panjang alas dan tingginya.
Secara matematis hal ini dapat ditulis sebagai berikut
Bukti.
Misalkan kita diberi trapesium $ABCK$, dimana $AK=a,\ BC=b$. Mari kita gambarkan tinggi $BM=h$ dan $KP=h$, serta diagonal $BK$ (Gbr. 4).
Gambar 4.
Dengan Teorema $3$, kita peroleh
Teorema tersebut telah terbukti.
Contoh tugas
Contoh 1
Hitunglah luas segitiga sama sisi jika panjang sisinya $a.$
Larutan.
Karena segitiga sama sisi, semua sudutnya sama dengan $(60)^0$.
Kemudian, berdasarkan Teorema $4$, kita punya
Menjawab:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.
Perhatikan bahwa hasil soal ini dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sama sisi dengan sisi tertentu.
Sebelum kita mempelajari cara mencari luas jajar genjang, kita perlu mengingat kembali apa itu jajar genjang dan apa yang disebut dengan tingginya. Jajar genjang adalah segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan (terletak pada garis sejajar). Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik sembarang pada sisi yang berhadapan dengan garis yang memuat sisi tersebut disebut tinggi jajar genjang.
Persegi, persegi panjang, dan belah ketupat adalah kasus khusus dari jajar genjang.
Luas jajar genjang dilambangkan dengan (S).
Rumus mencari luas jajar genjang
S=a*h, dengan a adalah alas, h adalah tinggi yang ditarik ke alas.
S=a*b*sinα, dengan a dan b adalah alasnya, dan α adalah sudut antara alas a dan b.
S =p*r, dimana p adalah setengah keliling, r adalah jari-jari lingkaran yang terdapat pada jajar genjang.
Luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b sama dengan modulus hasil kali vektor-vektor tersebut, yaitu:
Mari kita perhatikan contoh no 1: Diberikan sebuah jajar genjang yang panjang sisinya 7 cm dan tingginya 3 cm.Cara mencari luas jajar genjang kita memerlukan rumus penyelesaiannya.
Jadi S= 7x3. S = 21. Jawaban: 21 cm 2.
Perhatikan contoh no. 2: Diketahui alasnya berukuran 6 dan 7 cm, dan diberi sudut antar alas sebesar 60 derajat. Bagaimana cara mencari luas jajar genjang? Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan:
Jadi, pertama-tama kita cari sinus sudutnya. Sinus 60 = 0,5 berturut-turut S = 6*7*0,5=21 Jawaban: 21 cm 2.
Saya harap contoh-contoh ini akan membantu Anda dalam memecahkan masalah. Dan ingat, yang utama adalah pengetahuan tentang rumus dan perhatian
