Vektorraum: Dimension und Basis, Erweiterung eines Vektors in Bezug auf eine Basis. Lineare Abhängigkeit. Grundlage des Vektorsystems. Grundlage des Vektorsystems

Als wir die Konzepte eines n-dimensionalen Vektors analysierten und Operationen für Vektoren einführten, fanden wir heraus, dass die Menge aller n-dimensionalen Vektoren einen linearen Raum erzeugt. In diesem Artikel werden wir über die wichtigsten verwandten Konzepte sprechen – über die Dimension und die Basis eines Vektorraums. Wir betrachten auch den Satz über die Entwicklung eines beliebigen Vektors hinsichtlich einer Basis und die Verbindung zwischen verschiedenen Basen eines n-dimensionalen Raums. Lassen Sie uns die Lösungen typischer Beispiele im Detail analysieren.

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Konzept der Vektorraumdimension und -basis.

Die Konzepte der Dimension und Basis eines Vektorraums stehen in direktem Zusammenhang mit dem Konzept eines linear unabhängigen Vektorsystems. Wir empfehlen daher, bei Bedarf den Artikel Lineare Abhängigkeit eines Vektorsystems, Eigenschaften linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit zu lesen.

Definition.

Dimension des Vektorraums heißt die Zahl, die der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum entspricht.

Definition.

Vektorraumbasis ist eine geordnete Menge linear unabhängiger Vektoren dieses Raums, deren Anzahl gleich der Dimension des Raums ist.

Wir präsentieren einige Argumente, die auf diesen Definitionen basieren.

Betrachten Sie den Raum n-dimensionaler Vektoren.

Zeigen wir, dass die Dimension dieses Raums gleich n ist.

Nehmen wir ein System von n Einheitsvektoren der Form

Nehmen wir diese Vektoren als Zeilen der Matrix A. In diesem Fall ist Matrix A eine n-mal-n-Identitätsmatrix. Der Rang dieser Matrix ist n (siehe ggf. den Artikel). Daher das Vektorsystem ist linear unabhängig, und diesem System kann kein Vektor hinzugefügt werden, ohne seine lineare Unabhängigkeit zu verletzen. Da die Anzahl der Vektoren im System ist dann gleich n Die Dimension des Raums n-dimensionaler Vektoren ist n und die Einheitsvektoren sind die Grundlage dieses Raumes.

Aus der letzten Aussage und der Definition der Basis können wir das schließen Jedes System n-dimensionaler Vektoren, dessen Anzahl an Vektoren kleiner als n ist, ist keine Basis.

Lassen Sie uns nun den ersten und zweiten Vektor des Systems vertauschen . Es ist leicht zu zeigen, dass das resultierende Vektorsystem entsteht ist auch eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Lassen Sie uns eine Matrix zusammenstellen, indem wir sie als Zeilen der Vektoren dieses Systems betrachten. Diese Matrix kann aus der Identitätsmatrix durch Vertauschen der ersten und zweiten Zeile erhalten werden, daher ist ihr Rang n . Somit ein System von n Vektoren ist linear unabhängig und eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Wenn wir andere Vektoren des Systems austauschen , wir bekommen eine andere Basis.

Wenn wir ein linear unabhängiges System von Nicht-Einheitsvektoren nehmen, dann ist es auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Auf diese Weise, Ein Vektorraum der Dimension n hat so viele Basen, wie es linear unabhängige Systeme von n n -dimensionalen Vektoren gibt.

Wenn wir von einem zweidimensionalen Vektorraum (also von einer Ebene) sprechen, dann sind seine Basis zwei beliebige nichtkollineare Vektoren. Die Basis eines dreidimensionalen Raums sind drei beliebige nichtkoplanare Vektoren.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind Vektoren die Basis eines 3D-Vektorraums?

Lösung.

Untersuchen wir dieses Vektorsystem auf eine lineare Abhängigkeit. Dazu erstellen wir eine Matrix, deren Zeilen die Koordinaten der Vektoren sind, und ermitteln ihren Rang:


Somit sind die Vektoren a , b und c linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, daher sind sie die Basis dieses Raums.

Antwort:

Ja, sie sind.

Beispiel.

Kann ein Vektorsystem die Basis eines Vektorraums sein?

Lösung.

Dieses Vektorsystem ist linear abhängig, da die maximale Anzahl linear unabhängiger dreidimensionaler Vektoren drei beträgt. Daher kann dieses Vektorsystem keine Basis eines dreidimensionalen Vektorraums sein (obwohl ein Subsystem des ursprünglichen Vektorsystems eine Basis ist).

Antwort:

Nein, er kann nicht.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Vektoren

kann eine Basis eines vierdimensionalen Vektorraums sein.

Lösung.

Erstellen wir eine Matrix und nehmen sie als Zeilen der Originalvektoren:

Lass uns finden:

Somit ist das System der Vektoren a, b, c, d linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, daher sind a, b, c, d seine Basis.

Antwort:

Die ursprünglichen Vektoren sind tatsächlich die Basis eines vierdimensionalen Raums.

Beispiel.

Bilden Vektoren die Basis eines 4-dimensionalen Vektorraums?

Lösung.

Auch wenn das ursprüngliche Vektorsystem linear unabhängig ist, reicht die Anzahl der darin enthaltenen Vektoren nicht aus, um die Basis eines vierdimensionalen Raums zu bilden (die Basis eines solchen Raums besteht aus 4 Vektoren).

Antwort:

Nein, das ist nicht der Fall.

Zerlegung eines Vektors hinsichtlich einer Vektorraumbasis.

Lassen Sie beliebige Vektoren sind die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Wenn wir ihnen einen n-dimensionalen Vektor x hinzufügen, ist das resultierende Vektorsystem linear abhängig. Aus den Eigenschaften der linearen Abhängigkeit wissen wir, dass mindestens ein Vektor eines linear abhängigen Systems durch die anderen linear ausgedrückt wird. Mit anderen Worten, mindestens einer der Vektoren eines linear abhängigen Systems wird in die übrigen Vektoren zerlegt.

Damit kommen wir zu einem sehr wichtigen Satz.

Satz.

Jeder Vektor eines n-dimensionalen Vektorraums wird anhand einer Basis eindeutig zerlegt.

Nachweisen.

Lassen - Basis des n-dimensionalen Vektorraums. Fügen wir diesen Vektoren einen n-dimensionalen Vektor x hinzu. Dann ist das resultierende Vektorsystem linear abhängig und der Vektor x kann linear durch die Vektoren ausgedrückt werden : , wo sind einige Zahlen. Wir haben also die Entwicklung des Vektors x in Bezug auf die Basis erhalten. Es bleibt zu beweisen, dass diese Zerlegung einzigartig ist.

Nehmen Sie an, dass es eine weitere Zerlegung gibt, wo - einige Zahlen. Subtrahieren Sie vom linken und rechten Teil der letzten Gleichheit jeweils den linken und rechten Teil der Gleichheit:

Seit dem System der Basisvektoren linear unabhängig ist, ist die resultierende Gleichheit nach der Definition der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems nur dann möglich, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind. Daher ist , was die Eindeutigkeit der Entwicklung des Vektors in Bezug auf die Basis beweist.

Definition.

Die Koeffizienten werden aufgerufen Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Nachdem wir uns mit dem Satz über die Entwicklung eines Vektors anhand einer Basis vertraut gemacht haben, beginnen wir, die Essenz des Ausdrucks „uns wird ein n-dimensionaler Vektor gegeben“ zu verstehen ". Dieser Ausdruck bedeutet, dass wir einen Vektor x eines n-dimensionalen Vektorraums betrachten, dessen Koordinaten auf einer bestimmten Basis angegeben sind. Gleichzeitig verstehen wir, dass derselbe Vektor x in einer anderen Basis des n-dimensionalen Vektorraums andere Koordinaten als haben wird.

Betrachten Sie das folgende Problem.

Angenommen, wir erhalten in einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums ein System von n linear unabhängigen Vektoren

und Vektor . Dann die Vektoren sind auch eine Basis dieses Vektorraums.

Wir müssen die Koordinaten des Vektors x in der Basis finden . Bezeichnen wir diese Koordinaten als .

Vektor x in Basis hat eine Idee. Wir schreiben diese Gleichheit in Koordinatenform:

Diese Gleichheit entspricht einem System von n linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen :

Die Hauptmatrix dieses Systems hat die Form

Bezeichnen wir es als A. Die Spalten der Matrix A sind Vektoren eines linear unabhängigen Vektorsystems , also ist der Rang dieser Matrix n , daher ist ihre Determinante ungleich Null. Diese Tatsache weist darauf hin, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, die beispielsweise mit jeder Methode gefunden werden kann oder .

So werden die gewünschten Koordinaten gefunden Vektor x in der Basis .

Lassen Sie uns die Theorie anhand von Beispielen analysieren.

Beispiel.

In einigen Grundlagen des dreidimensionalen Vektorraums sind die Vektoren

Stellen Sie sicher, dass das Vektorsystem auch die Basis dieses Raums ist, und ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors x in dieser Basis.

Lösung.

Damit ein Vektorsystem die Grundlage eines dreidimensionalen Vektorraums bilden kann, muss es linear unabhängig sein. Finden wir es heraus, indem wir den Rang der Matrix A bestimmen, deren Zeilen Vektoren sind. Den Rang ermitteln wir mit der Gauß-Methode


Daher ist Rank(A) = 3, was die lineare Unabhängigkeit des Vektorsystems zeigt.

Vektoren sind also die Basis. Der Vektor x soll in dieser Basis Koordinaten haben. Dann ist, wie wir oben gezeigt haben, die Beziehung der Koordinaten dieses Vektors durch das Gleichungssystem gegeben

Wenn wir die aus der Bedingung bekannten Werte hineinsetzen, erhalten wir

Lösen wir es mit der Cramer-Methode:

Somit hat der Vektor x in der Basis Koordinaten .

Antwort:

Beispiel.

In gewisser Weise Der vierdimensionale Vektorraum erhält ein linear unabhängiges Vektorsystem

Es ist bekannt, dass . Finden Sie die Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Lösung.

Da das Vektorsystem ist aufgrund der Annahme linear unabhängig, dann ist es eine Basis eines vierdimensionalen Raums. Dann die Gleichheit bedeutet, dass der Vektor x in der Basis hat Koordinaten. Bezeichnen Sie die Koordinaten des Vektors x in der Basis Wie .

Das Gleichungssystem, das die Beziehung der Koordinaten des Vektors x in Basen definiert Und hat die Form

Wir ersetzen darin die bekannten Werte und finden die gewünschten Koordinaten:

Antwort:

.

Kommunikation zwischen Stützpunkten.

Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektorsysteme auf einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums

Und

das heißt, sie sind auch Grundlagen dieses Raumes.

Wenn - Vektorkoordinaten in Basis , dann die Beziehung der Koordinaten Und ist durch ein System linearer Gleichungen gegeben (wir haben darüber im vorherigen Absatz gesprochen):

, was in Matrixform geschrieben werden kann als

Ebenso können wir für einen Vektor schreiben

Die vorherigen Matrixgleichungen können zu einer zusammengefasst werden, die im Wesentlichen die Beziehung der Vektoren zweier verschiedener Basen definiert

Ebenso können wir alle Basisvektoren ausdrücken durch die Basis :

Definition.

Matrix angerufen Übergangsmatrix von der Basis zur Basis , dann die Gleichheit

Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung rechts mit

wir bekommen

Lassen Sie uns die Übergangsmatrix finden, während wir uns nicht mit der Suche nach der inversen Matrix und den Multiplikationsmatrizen befassen (siehe ggf. Artikel und):

Es bleibt noch die Beziehung der Koordinaten des Vektors x in den gegebenen Basen herauszufinden.

Der Vektor x soll dann Koordinaten in der Basis haben

und in der Basis hat der Vektor x dann Koordinaten

Da die linken Teile der letzten beiden Gleichungen gleich sind, können wir die rechten Teile gleichsetzen:

Wenn wir beide Seiten rechts mit multiplizieren

dann bekommen wir


Andererseits

(Finden Sie die inverse Matrix selbst).
Die letzten beiden Gleichungen geben uns die gewünschte Beziehung der Koordinaten des Vektors x in den Basen und .

Antwort:

Die Übergangsmatrix von Basis zu Basis hat die Form
;
die Koordinaten des Vektors x in Basen und sind durch die Beziehungen verbunden

oder
.

Wir haben die Konzepte von Dimension und Basis eines Vektorraums betrachtet, gelernt, wie man einen Vektor anhand einer Basis zerlegt, und eine Verbindung zwischen verschiedenen Basen eines n-dimensionalen Vektorraums durch eine Übergangsmatrix entdeckt.

Basisdefinition. Ein Vektorsystem bildet eine Basis, wenn:

1) es ist linear unabhängig,

2) Jeder durch ihn verlaufende Raumvektor wird linear ausgedrückt.

Beispiel 1 Raumbasis: .

2. Im Vektorsystem Vektoren sind die Basis: , weil linear ausgedrückt in Form von Vektoren.

Kommentar. Um die Basis eines bestimmten Vektorsystems zu finden, müssen Sie:

1) Schreiben Sie die Koordinaten der Vektoren in die Matrix,

2) Bringen Sie die Matrix mithilfe elementarer Transformationen in eine Dreiecksform.

3) Nicht-Null-Zeilen der Matrix bilden die Grundlage des Systems.

4) Die Anzahl der Vektoren in der Basis entspricht dem Rang der Matrix.

Kronecker-Capelli-Theorem

Das Kronecker-Capelli-Theorem gibt eine erschöpfende Antwort auf die Frage der Kompatibilität eines beliebigen Systems linearer Gleichungen mit Unbekannten

Kronecker-Capelli-Theorem. Ein System linearer algebraischer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang der erweiterten Matrix des Systems gleich dem Rang der Hauptmatrix ist.

Der Algorithmus zum Finden aller Lösungen eines konsistenten linearen Gleichungssystems folgt aus dem Kronecker-Capelli-Theorem und den folgenden Theoremen.

Satz. Wenn der Rang eines konsistenten Systems gleich der Anzahl der Unbekannten ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung.

Satz. Wenn der Rang eines konsistenten Systems kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten, dann hat das System unendlich viele Lösungen.

Algorithmus zur Lösung eines beliebigen linearen Gleichungssystems:

1. Finden Sie die Ränge der Haupt- und erweiterten Matrizen des Systems. Wenn sie nicht gleich sind (), ist das System inkonsistent (hat keine Lösungen). Wenn die Ränge gleich sind ( , dann ist das System konsistent.

2. Für ein kompatibles System finden wir ein Nebensystem, dessen Reihenfolge den Rang der Matrix bestimmt (ein solches Nebensystem wird Basissystem genannt). Wir stellen ein neues Gleichungssystem zusammen, in dem die Koeffizienten der Unbekannten in der Basis-Nebenrechnung enthalten sind (diese Unbekannten werden Hauptunbekannten genannt), wir verwerfen den Rest der Gleichungen. Wir belassen die Hauptunbekannten mit Koeffizienten auf der linken Seite und übertragen die verbleibenden Unbekannten (sie werden freie Unbekannte genannt) auf die rechte Seite der Gleichungen.

3. Lassen Sie uns die Ausdrücke der wichtigsten Unbekannten anhand der freien finden. Wir erhalten die allgemeine Lösung des Systems.

4. Indem wir den freien Unbekannten beliebige Werte geben, erhalten wir die entsprechenden Werte der Hauptunbekannten. Somit finden wir bestimmte Lösungen für das ursprüngliche Gleichungssystem.

Lineares Programmieren. Grundlegendes Konzept

Lineares Programmieren ist ein Zweig der mathematischen Programmierung, der Methoden zur Lösung extremer Probleme untersucht, die durch eine lineare Beziehung zwischen Variablen und ein lineares Kriterium gekennzeichnet sind.

Eine notwendige Voraussetzung für die Lösung eines linearen Programmierproblems sind Einschränkungen der Verfügbarkeit von Ressourcen, der Nachfragemenge, der Produktionskapazität des Unternehmens und anderer Produktionsfaktoren.

Der Kern der linearen Programmierung besteht darin, die Punkte mit dem größten oder kleinsten Wert einer bestimmten Funktion unter bestimmten Einschränkungen für die Argumente und Generatoren zu finden System der Beschränkungen , die normalerweise unendlich viele Lösungen hat. Jeder Satz variabler Werte (Funktionsargumente). F ), die das System der Nebenbedingungen erfüllen, heißt akzeptabler Plan Probleme der linearen Programmierung. Funktion F , dessen Maximum oder Minimum bestimmt wird, heißt Zielfunktion Aufgaben. Zulässiger Plan, bei dem das Maximum oder Minimum der Funktion erreicht wird F , wird genannt optimaler Plan Aufgaben.

Das System der Beschränkungen, das die Gesamtheit der Pläne definiert, wird durch die Produktionsbedingungen bestimmt. Ein lineares Programmierproblem ( ZLP ) ist die Auswahl des rentabelsten (optimalen) Plans aus der Menge der realisierbaren Pläne.

Die allgemeine Formulierung des linearen Programmierproblems lautet wie folgt:

Es gibt einige Variablen x \u003d (x 1, x 2, ... x n) und die Funktion dieser Variablen f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , das den Namen trägt Ziel Funktionen. Die Aufgabe ist gestellt: das Extremum (Maximum oder Minimum) der Zielfunktion zu finden f(x) vorausgesetzt, dass die Variablen X gehören zu einem bestimmten Bereich G :

Abhängig von der Art der Funktion f(x) und Bereiche G und zwischen Abschnitten der mathematischen Programmierung unterscheiden: quadratische Programmierung, konvexe Programmierung, ganzzahlige Programmierung usw. Die lineare Programmierung zeichnet sich dadurch aus, dass
eine Funktion f(x) ist eine lineare Funktion der Variablen x 1, x 2, ... x n
b) Bereich G vom System bestimmt linear Gleichheiten oder Ungleichheiten.

In der Geometrie wird ein Vektor als gerichtetes Segment verstanden, und durch Parallelverschiebung voneinander erhaltene Vektoren werden als gleich angesehen. Alle gleichen Vektoren werden als derselbe Vektor behandelt. Der Anfang des Vektors kann an jedem beliebigen Punkt im Raum oder in der Ebene platziert werden.

Wenn die Koordinaten der Enden des Vektors im Raum angegeben sind: A(X 1 , j 1 , z 1), B(X 2 , j 2 , z 2), dann

= (X 2 – X 1 , j 2 – j 1 , z 2 – z 1). (1)

Eine ähnliche Formel gilt in der Ebene. Dies bedeutet, dass ein Vektor als Koordinatenzeichenfolge geschrieben werden kann. Operationen an Vektoren, - Addition und Multiplikation mit einer Zahl, an Strings werden Komponente für Komponente ausgeführt. Dies ermöglicht es, den Begriff eines Vektors zu erweitern und einen Vektor als eine beliebige Zahlenfolge zu verstehen. Beispielsweise kann die Lösung eines linearen Gleichungssystems sowie jeder Wertesatz der Systemvariablen als Vektor betrachtet werden.

Bei Strings gleicher Länge wird die Additionsoperation gemäß der Regel durchgeführt

(a 1 , a 2 , … , a N) + (b 1 , b 2 , … , b N) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a N+b N). (2)

Die Multiplikation einer Zeichenfolge mit einer Zahl erfolgt gemäß der Regel

l(a 1 , a 2 , … , a N) = (la 1 , la 2 , … , la N). (3)

Satz von Zeilenvektoren gegebener Länge N mit den angegebenen Operationen der Vektoraddition und Multiplikation mit einer Zahl bildet eine algebraische Struktur namens n-dimensionaler linearer Raum.

Eine Linearkombination von Vektoren ist ein Vektor , wobei λ 1 , ... , λ M sind beliebige Koeffizienten.

Ein Vektorsystem heißt linear abhängig, wenn es eine Linearkombination gleich gibt, die mindestens einen Koeffizienten ungleich Null aufweist.

Ein Vektorsystem heißt linear unabhängig, wenn in einer seiner Linearkombinationen gleich alle Koeffizienten Null sind.

Damit reduziert sich die Lösung der Frage nach der linearen Abhängigkeit des Vektorsystems auf die Lösung der Gleichung

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Wenn diese Gleichung Lösungen ungleich Null hat, ist das Vektorsystem linear abhängig. Wenn die Nulllösung eindeutig ist, ist das Vektorsystem linear unabhängig.

Um System (4) zu lösen, können die Vektoren der Übersichtlichkeit halber nicht in Form von Zeilen, sondern in Form von Spalten geschrieben werden.

Dann, nachdem wir Transformationen auf der linken Seite durchgeführt haben, gelangen wir zu einem System linearer Gleichungen, das Gleichung (4) entspricht. Die Hauptmatrix dieses Systems wird durch die in Spalten angeordneten Koordinaten der Originalvektoren gebildet. Die Spalte der freien Mitglieder wird hier nicht benötigt, da das System homogen ist.

Basis eines Vektorsystems (endlich oder unendlich, insbesondere des gesamten linearen Raums) ist sein nicht leeres linear unabhängiges Teilsystem, durch das jeder Vektor des Systems ausgedrückt werden kann.

Beispiel 1.5.2. Finden Sie die Basis des Vektorsystems = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) und andere Vektoren durch die Basis ausdrücken.

Lösung. Wir erstellen eine Matrix, in der die Koordinaten dieser Vektoren in Spalten angeordnet sind. Dies ist die Matrix des Systems X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Wir bringen die Matrix in eine Stufenform:

~ ~ ~

Die Basis dieses Vektorsystems bilden die Vektoren , , , die den führenden Elementen der mit Kreisen markierten Zeilen entsprechen. Um den Vektor auszudrücken, lösen wir die Gleichung X 1 + X 2 + X 4 = . Es wird auf ein lineares Gleichungssystem reduziert, dessen Matrix aus dem Original durch Umordnen der entsprechenden Spalte an die Stelle der Spalte der freien Terme erhalten wird. Daher werden beim Reduzieren auf eine Stufenform die gleichen Transformationen an der Matrix wie oben vorgenommen. Das bedeutet, dass wir die resultierende Matrix in abgestufter Form verwenden können, indem wir die notwendigen Permutationen der darin enthaltenen Spalten vornehmen: Die Spalten mit Kreisen werden links vom vertikalen Balken platziert, und die Spalte, die dem Vektor entspricht, wird rechts platziert der Bar.

Wir finden nacheinander:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

Kommentar. Wenn es erforderlich ist, mehrere Vektoren durch die Basis auszudrücken, wird für jeden von ihnen das entsprechende lineare Gleichungssystem erstellt. Diese Systeme unterscheiden sich nur in den Spalten der freien Mitglieder. In diesem Fall wird jedes System unabhängig von den anderen gelöst.

ÜBUNG 1.4. Finden Sie die Basis des Vektorsystems und drücken Sie den Rest der Vektoren anhand der Basis aus:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

In einem gegebenen Vektorsystem kann eine Basis normalerweise auf unterschiedliche Weise unterschieden werden, aber alle Basen haben die gleiche Anzahl von Vektoren. Die Anzahl der Vektoren auf der Basis eines linearen Raums wird als Dimension des Raums bezeichnet. Für N-dimensionaler linearer Raum N ist die Dimension des Raums, da dieser Raum eine Standardbasis hat = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Durch diese Basis ist jeder Vektor = (a 1 , a 2 , … , a N) wird wie folgt ausgedrückt:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a N) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a N(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a N .

Somit sind die Komponenten in der Zeile des Vektors = (a 1 , a 2 , … , a N) sind seine Koeffizienten in der Entwicklung hinsichtlich der Standardbasis.

Gerade Linien in einer Ebene

Das Problem der analytischen Geometrie ist die Anwendung der Koordinatenmethode auf geometrische Probleme. Somit wird das Problem in eine algebraische Form übersetzt und mittels Algebra gelöst.

Beispiel 8

Es werden Vektoren angegeben. Zeigen Sie, dass die Vektoren eine Basis des dreidimensionalen Raums bilden und finden Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis.

Lösung: Befassen wir uns zunächst mit der Erkrankung. Durch die Bedingung sind vier Vektoren gegeben, und wie Sie sehen können, haben sie in gewisser Weise bereits Koordinaten. Was ist die Grundlage? Wir sind nicht interessiert. Und folgendes ist von Interesse: Drei Vektoren können durchaus eine neue Basis bilden. Und der erste Schritt ist völlig derselbe wie die Lösung von Beispiel 6, es muss überprüft werden, ob die Vektoren wirklich linear unabhängig sind:

Berechnen Sie die Determinante, bestehend aus den Koordinaten der Vektoren:

, daher sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis eines dreidimensionalen Raums.

! Wichtig: Vektorkoordinaten Notwendig aufschreiben in Spalten Determinante, keine Strings. Andernfalls kommt es zu Verwirrung im weiteren Lösungsalgorithmus.

Erinnern wir uns nun an den theoretischen Teil: Wenn die Vektoren eine Basis bilden, kann jeder Vektor auf einzigartige Weise in eine bestimmte Basis zerlegt werden: , wobei die Koordinaten des Vektors in der Basis sind.

Da unsere Vektoren die Basis eines dreidimensionalen Raums bilden (dies wurde bereits bewiesen), lässt sich der Vektor in dieser Basis auf einzigartige Weise erweitern:
, wo sind die Koordinaten des Vektors in der Basis .

Bedingung: Es ist erforderlich, die Koordinaten zu finden.

Der Einfachheit halber tausche ich die Teile aus: . Um sie zu finden, sollte diese Gleichheit koordinatenweise geschrieben werden:

Auf welcher Grundlage sind die Koeffizienten angeordnet? Alle Koeffizienten der linken Seite werden exakt von der Determinante übernommen , die Koordinaten des Vektors werden auf der rechten Seite geschrieben.

Das Ergebnis ist ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Es wird normalerweise von entschieden Cramers Formeln, oft besteht sogar im Zustand des Problems eine solche Anforderung.

Die Hauptdeterminante des Systems wurde bereits gefunden:
Das System verfügt also über eine einzigartige Lösung.

Als nächstes kommt die Frage der Technik:

Auf diese Weise:
ist die Entwicklung des Vektors in Bezug auf die Basis.

Antwort:

Wie ich bereits bemerkt habe, ist das Problem algebraischer Natur. Bei den betrachteten Vektoren handelt es sich nicht unbedingt um solche Vektoren, die im Raum gezeichnet werden können, sondern zunächst einmal um die abstrakten Vektoren des Kurses Lineare Algebra. Für zweidimensionale Vektoren kann ein ähnliches Problem formuliert und gelöst werden, die Lösung wird jedoch viel einfacher sein. In der Praxis ist mir eine solche Aufgabe jedoch noch nie begegnet, weshalb ich sie im vorherigen Abschnitt übersprungen habe.

Das gleiche Problem mit dreidimensionalen Vektoren für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 9

Es werden Vektoren angegeben. Zeigen Sie, dass die Vektoren eine Basis bilden und finden Sie die Koordinaten des Vektors in dieser Basis. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mit der Cramer-Methode.

Eine vollständige Lösung und ein ungefähres Beispiel für die Fertigstellung finden Sie am Ende der Lektion.

Ebenso kann man vierdimensional, fünfdimensional usw. betrachten. Vektorräume, in denen die Vektoren jeweils 4, 5 oder mehr Koordinaten haben. Für diese Vektorräume gibt es auch das Konzept der linearen Abhängigkeit, der linearen Unabhängigkeit von Vektoren, es gibt eine Basis, einschließlich einer Orthonormalen, die Entwicklung eines Vektors hinsichtlich einer Basis. Ja, solche Räume können nicht geometrisch gezeichnet werden, aber alle Regeln, Eigenschaften und Theoreme zwei- und dreidimensionaler Fälle funktionieren in ihnen – reine Algebra. Eigentlich war ich bereits in dem Artikel gezwungen, über philosophische Themen zu sprechen Partielle Ableitungen von Funktionen dreier Variablen, das vor dieser Lektion erschien.

Liebe Vektoren und Vektoren werden dich lieben!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Aus den entsprechenden Koordinaten der Vektoren einen Anteil zusammensetzen:

Antwort: bei

Beispiel 4: Nachweisen: Trapez Als Viereck bezeichnet man ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind.
1) Überprüfen Sie die Parallelität der gegenüberliegenden Seiten und .
Finden wir die Vektoren:


, also sind diese Vektoren nicht kollinear und die Seiten sind nicht parallel.
2) Überprüfen Sie die Parallelität der gegenüberliegenden Seiten und .
Finden wir die Vektoren:

Berechnen Sie die Determinante, bestehend aus den Koordinaten der Vektoren:
, also sind diese Vektoren kollinear, und .
Abschluss: Zwei Seiten eines Vierecks sind parallel, die anderen beiden Seiten sind jedoch nicht parallel, sodass es sich per Definition um ein Trapez handelt. Q.E.D.

Beispiel 5: Lösung:
b) Prüfen Sie, ob es einen Proportionalitätskoeffizienten für die entsprechenden Koordinaten der Vektoren gibt:

Das System hat keine Lösung, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.
Einfacheres Design:
- Die zweiten und dritten Koordinaten sind nicht proportional, was bedeutet, dass die Vektoren nicht kollinear sind.
Antwort: die Vektoren sind nicht kollinear.
c) Wir untersuchen die Vektoren auf Kollinearität . Lassen Sie uns ein System erstellen:

Die entsprechenden Koordinaten der Vektoren sind also proportional
Hier funktioniert die „foppige“ Designmethode einfach nicht.
Antwort:

Beispiel 6: Lösung: b) Berechnen Sie die Determinante, bestehend aus den Koordinaten der Vektoren (die Determinante wird in der ersten Zeile entwickelt):

, was bedeutet, dass die Vektoren linear abhängig sind und keine Basis eines dreidimensionalen Raums bilden.
Antwort : Diese Vektoren bilden keine Basis

Beispiel 9: Lösung: Berechnen Sie die Determinante, bestehend aus den Koordinaten der Vektoren:


Somit sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.
Stellen wir den Vektor als lineare Kombination von Basisvektoren dar:

Koordinate:

Wir lösen das System mit den Formeln von Cramer:
Das System verfügt also über eine einzigartige Lösung.

Antwort:Die Vektoren bilden eine Basis,

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Vektorprodukt von Vektoren.
Gemischtes Produkt von Vektoren

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren. Es ist in Ordnung, es kommt manchmal vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Man könnte den Eindruck gewinnen, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum schwieriger als dasselbe Skalarprodukt, auch wenn es weniger typische Aufgaben geben wird. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU VERFEHLEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen. Ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die häufig in der praktischen Arbeit zu finden sind

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt besteht überhaupt kein Grund mehr zu jonglieren, da wir darüber nachdenken nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Schon einfacher!

Im Artikel über n-dimensionale Vektoren sind wir auf das Konzept eines linearen Raums gekommen, der durch eine Menge n-dimensionaler Vektoren erzeugt wird. Jetzt müssen wir nicht weniger wichtige Konzepte berücksichtigen, wie zum Beispiel die Dimension und Basis eines Vektorraums. Sie stehen in direktem Zusammenhang mit dem Konzept eines linear unabhängigen Vektorsystems, daher empfiehlt es sich zusätzlich, sich auch an die Grundlagen dieses Themas zu erinnern.

Lassen Sie uns einige Definitionen vorstellen.

Definition 1

Dimension des Vektorraums ist die Zahl, die der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum entspricht.

Definition 2

Vektorraumbasis- eine Menge linear unabhängiger Vektoren, geordnet und in ihrer Anzahl gleich der Raumdimension.

Betrachten Sie einen bestimmten Raum von n -Vektoren. Seine Dimension ist jeweils gleich n . Nehmen wir ein System von n-Einheitsvektoren:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Lassen Sie uns diese Vektoren als Komponenten der Matrix A verwenden: Sie wird eine Einheit mit der Dimension n mal n sein. Der Rang dieser Matrix ist n. Daher ist das Vektorsystem e (1), e (2), . . . , e(n) ist linear unabhängig. In diesem Fall ist es unmöglich, einen einzelnen Vektor zum System hinzuzufügen, ohne seine lineare Unabhängigkeit zu verletzen.

Da die Anzahl der Vektoren im System gleich n ist, ist die Dimension des Raums der n-dimensionalen Vektoren gleich n und die Einheitsvektoren e (1), e (2), . . . , e (n) sind die Basis des angegebenen Raumes.

Aus der erhaltenen Definition schließen wir: Jedes System n-dimensionaler Vektoren, in dem die Anzahl der Vektoren kleiner als n ist, ist keine Raumbasis.

Wenn wir den ersten und zweiten Vektor vertauschen, erhalten wir ein Vektorsystem e (2), e (1), . . . , e(n) . Es wird auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums sein. Lassen Sie uns eine Matrix zusammenstellen, indem wir die Vektoren des resultierenden Systems als Zeilen verwenden. Die Matrix kann aus der Identitätsmatrix durch Vertauschen der ersten beiden Zeilen erhalten werden, ihr Rang ist gleich n . System e (2) , e (1) , . . . , e (n) ist linear unabhängig und eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Wenn wir andere Vektoren im ursprünglichen System neu anordnen, erhalten wir eine weitere Basis.

Wir können ein linear unabhängiges System von Nicht-Einheitsvektoren annehmen, und dies stellt auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums dar.

Definition 3

Ein Vektorraum mit der Dimension n hat so viele Basen, wie es linear unabhängige Systeme n-dimensionaler Vektoren mit der Nummer n gibt.

Die Ebene ist ein zweidimensionaler Raum – ihre Basis sind zwei beliebige nichtkollineare Vektoren. Drei beliebige nichtkoplanare Vektoren dienen als Basis des dreidimensionalen Raums.

Betrachten Sie die Anwendung dieser Theorie auf konkrete Beispiele.

Beispiel 1

Ausgangsdaten: Vektoren

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Es muss festgestellt werden, ob die angegebenen Vektoren die Basis eines dreidimensionalen Vektorraums sind.

Lösung

Um das Problem zu lösen, untersuchen wir das gegebene Vektorsystem auf eine lineare Abhängigkeit. Erstellen wir eine Matrix, in der die Zeilen die Koordinaten der Vektoren sind. Bestimmen wir den Rang der Matrix.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Folglich sind die durch die Problembedingung gegebenen Vektoren linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums – sie sind die Basis des Vektorraums.

Antwort: Diese Vektoren sind die Basis des Vektorraums.

Beispiel 2

Ausgangsdaten: Vektoren

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Es muss festgestellt werden, ob das angegebene Vektorsystem die Grundlage eines dreidimensionalen Raums sein kann.

Lösung

Das in der Problemstellung angegebene Vektorsystem ist linear abhängig, da die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren beträgt 3. Daher kann dieses Vektorsystem nicht als Grundlage für einen dreidimensionalen Vektorraum dienen. Es ist jedoch erwähnenswert, dass das Teilsystem des ursprünglichen Systems a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) eine Basis ist.

Antwort: Das angegebene Vektorsystem ist keine Basis.

Beispiel 3

Ausgangsdaten: Vektoren

a = (1, 2, 3, 3) ​​b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Können sie die Grundlage eines vierdimensionalen Raums sein?

Lösung

Erstellen Sie eine Matrix, indem Sie die Koordinaten der angegebenen Vektoren als Zeilen verwenden

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Mit der Gauß-Methode bestimmen wir den Rang der Matrix:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Daher ist das System gegebener Vektoren linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums – sie sind die Basis des vierdimensionalen Vektorraums.

Antwort: Die angegebenen Vektoren sind die Basis des vierdimensionalen Raums.

Beispiel 4

Ausgangsdaten: Vektoren

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Bilden sie die Grundlage eines 4-dimensionalen Raums?

Lösung

Das ursprüngliche Vektorsystem ist linear unabhängig, aber die Anzahl der darin enthaltenen Vektoren reicht nicht aus, um die Grundlage eines vierdimensionalen Raums zu bilden.

Antwort: Nein, das tun sie nicht.

Zerlegung eines Vektors anhand einer Basis

Wir akzeptieren, dass beliebige Vektoren e (1), e (2), . . . , e (n) sind die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Fügen wir ihnen einen n-dimensionalen Vektor x → hinzu: Das resultierende Vektorsystem wird linear abhängig. Die Eigenschaften der linearen Abhängigkeit besagen, dass mindestens einer der Vektoren eines solchen Systems durch die anderen linear ausgedrückt werden kann. Um diese Aussage umzuformulieren, können wir sagen, dass mindestens einer der Vektoren eines linear abhängigen Systems durch andere Vektoren erweitert werden kann.

Damit sind wir zur Formulierung des wichtigsten Theorems gekommen:

Definition 4

Jeder Vektor eines n-dimensionalen Vektorraums wird anhand einer Basis eindeutig zerlegt.

Beweis 1

Beweisen wir diesen Satz:

Legen Sie die Basis des n-dimensionalen Vektorraums fest - e (1), e (2), . . . , e(n) . Machen wir das System linear abhängig, indem wir ihm einen n-dimensionalen Vektor x → hinzufügen. Dieser Vektor kann durch die ursprünglichen Vektoren e linear ausgedrückt werden:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , wobei x 1 , x 2 , . . . , x n - einige Zahlen.

Wir beweisen nun, dass eine solche Zerlegung einzigartig ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall und es gibt eine weitere ähnliche Erweiterung:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , wobei x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - einige Zahlen.

Subtrahieren Sie vom linken bzw. rechten Teil dieser Gleichung den linken bzw. rechten Teil der Gleichung x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Wir bekommen:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

System der Basisvektoren e (1), e (2), . . . , e (n) ist linear unabhängig; Gemäß der Definition der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems ist die obige Gleichheit nur möglich, wenn alle Koeffizienten (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), ... sind. . . , (x ~ n - x n) wird gleich Null sein. Daraus wird es fair sein: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . Und dies erweist sich als die einzige Möglichkeit, einen Vektor in Bezug auf eine Basis zu entwickeln.

In diesem Fall sind die Koeffizienten x 1 , x 2 , . . . , x n heißen Koordinaten des Vektors x → in der Basis e (1) , e (2) , . . . , e(n) .

Die bewährte Theorie verdeutlicht den Ausdruck „ein n-dimensionaler Vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) ist gegeben“: Es wird ein Vektor x → n-dimensionaler Vektorraum betrachtet und seine Koordinaten werden in angegeben eine gewisse Grundlage. Es ist auch klar, dass derselbe Vektor in einer anderen Basis des n-dimensionalen Raums unterschiedliche Koordinaten haben wird.

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Nehmen Sie an, dass in einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums ein System von n linear unabhängigen Vektoren gegeben ist

und auch der Vektor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) ist gegeben.

Vektoren e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) sind in diesem Fall auch die Basis dieses Vektorraums.

Angenommen, es ist notwendig, die Koordinaten des Vektors x → in der Basis e 1 (1), e 2 (2) , zu bestimmen. . . , e n (n) , bezeichnet als x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Der Vektor x → wird wie folgt dargestellt:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Wir schreiben diesen Ausdruck in Koordinatenform:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))

Die resultierende Gleichheit entspricht einem System von n linearen algebraischen Ausdrücken mit n unbekannten linearen Variablen x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Die Matrix dieses Systems sieht folgendermaßen aus:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Dies sei eine Matrix A und ihre Spalten seien Vektoren eines linear unabhängigen Vektorsystems e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Der Rang der Matrix ist n und ihre Determinante ist ungleich Null. Dies weist darauf hin, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, die auf jede geeignete Weise bestimmt werden kann: zum Beispiel durch die Cramer-Methode oder durch die Matrixmethode. Auf diese Weise können wir die Koordinaten x ~ 1 , x ~ 2 , bestimmen. . . , x ~ n des Vektors x → in der Basis e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Wenden wir die betrachtete Theorie auf ein konkretes Beispiel an.

Beispiel 6

Ausgangsdaten: Vektoren werden auf der Grundlage des dreidimensionalen Raums angegeben

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Es ist notwendig, die Tatsache zu bestätigen, dass das Vektorsystem e (1), e (2), e (3) auch als Basis des gegebenen Raums dient, und auch die Koordinaten des Vektors x in der gegebenen Basis zu bestimmen .

Lösung

Das Vektorsystem e (1) , e (2) , e (3) wird die Grundlage des dreidimensionalen Raums sein, wenn es linear unabhängig ist. Lassen Sie uns diese Möglichkeit herausfinden, indem wir den Rang der Matrix A bestimmen, deren Zeilen die gegebenen Vektoren e (1), e (2), e (3) sind.

Wir verwenden die Gauß-Methode:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Somit ist das Vektorsystem e (1), e (2), e (3) linear unabhängig und eine Basis.

Der Vektor x → in der Basis habe die Koordinaten x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Der Zusammenhang dieser Koordinaten wird durch die Gleichung bestimmt:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Wenden wir die Werte entsprechend den Bedingungen des Problems an:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Wir lösen das Gleichungssystem nach der Cramer-Methode:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Der Vektor x → in der Basis e (1), e (2), e (3) hat also die Koordinaten x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Antwort: x = (1 , 1 , 1)

Verbindung zwischen Basen

Nehmen wir an, dass in einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums zwei linear unabhängige Vektorsysteme gegeben sind:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Diese Systeme sind auch Grundlagen des gegebenen Raumes.

Sei c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), . . . , c ~ n (1) – Koordinaten des Vektors c (1) in der Basis e (1), e (2), . . . , e (3) , dann wird die Koordinatenbeziehung durch ein lineares Gleichungssystem gegeben:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

In Form einer Matrix lässt sich das System wie folgt darstellen:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Machen wir die gleiche Notation für den Vektor c (2) analog:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Matrixgleichungen werden zu einem Ausdruck zusammengefasst:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Es bestimmt die Beziehung der Vektoren zweier verschiedener Basen.

Nach dem gleichen Prinzip ist es möglich, alle Basisvektoren e (1), e (2), ... auszudrücken. . . , e (3) durch die Basis c (1), c (2), . . . , c(n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Wir geben die folgenden Definitionen:

Definition 5

Matrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) ist die Übergangsmatrix von der Basis e (1), e (2), . . . , e(3)

zur Basis c (1), c (2), . . . , c(n) .

Definition 6

Matrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) ist die Übergangsmatrix aus der Basis c (1), c (2), . . . ,c(n)

zur Basis e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Aus diesen Gleichheiten geht hervor, dass

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

diese. Übergangsmatrizen sind zueinander invers.

Betrachten wir die Theorie an einem konkreten Beispiel.

Beispiel 7

Ausgangsdaten: Es ist notwendig, die Übergangsmatrix von der Basis zu finden

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) ​​c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Sie müssen auch die Beziehung der Koordinaten eines beliebigen Vektors x → in den angegebenen Basen angeben.

Lösung

1. Sei T die Übergangsmatrix, dann gilt die Gleichheit:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

und bekomme:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definieren Sie die Übergangsmatrix:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definieren Sie die Beziehung der Koordinaten des Vektors x → :

Nehmen wir an, dass in der Basis c (1), c (2), . . . , c (n) Vektor x → hat Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 , dann:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

und in der Basis e (1), e (2), . . . , e (3) hat die Koordinaten x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , dann:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Weil die linken Teile dieser Gleichungen gleich sind, können wir auch die rechten Teile gleichsetzen:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Multiplizieren Sie beide Seiten rechts mit

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

und bekomme:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Andererseits

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Die letzten Gleichungen zeigen die Beziehung der Koordinaten des Vektors x → in beiden Basen.

Antwort:Übergangsmatrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Die Koordinaten des Vektors x → in den angegebenen Basen hängen durch die Beziehung zusammen:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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