Die Summe einer arithmetischen Folge. Arithmetische Folge. Lehrbuch zur Prüfung und zum GIA, wie man die Anzahl der Zahlen in der arithmetischen Folge ermittelt

Beispielsweise ist die Folge \(2\); \(5\); \(8\); \(elf\); \(14\)… ist eine arithmetische Folge, da sich jedes nächste Element um drei vom vorherigen unterscheidet (kann aus dem vorherigen durch Addition von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Verläufe nennt man zunehmend.

Allerdings kann \(d\) auch eine negative Zahl sein. Zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Verläufe werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Der Fortschritt wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

Die Zahlen, die eine Progression bilden, nennt man sie Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie die arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Lösen von Problemen auf einer arithmetischen Folge

Im Prinzip reichen die oben genannten Informationen bereits aus, um fast jedes Problem einer arithmetischen Folge (einschließlich der an der OGE angebotenen) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) gegeben. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

Antworten: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge sind angegeben: \(62; 49; 36…\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Termes dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(-3\)

Beispiel (OGE). Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge: \(...5; x; 10; 12,5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das mit dem Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Lösung:

Antworten: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die folgenden Bedingungen gegeben: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In der arithmetischen Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finden Sie den Unterschied dieser Progression.
Lösung:

Antworten: \(d=7\).

Wichtige arithmetische Progressionsformeln

Wie Sie sehen, können viele arithmetische Folgeprobleme einfach dadurch gelöst werden, dass man die Hauptsache versteht – dass eine arithmetische Folge eine Kette von Zahlen ist und jedes nächste Element in dieser Kette durch Addition derselben Zahl zur vorherigen (der Differenz) erhalten wird des Verlaufs).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen eine Lösung „auf der Stirn“ sehr umständlich ist. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Was ist es, wir \ (385 \) mal vier zu addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten dreiundsiebzig Elemente ermitteln müssen. Zählen ist verwirrend...

Daher lösen sie in solchen Fällen nicht „auf der Stirn“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Folge abgeleitet sind. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe \(n\) der ersten Terme.

Formel für das \(n\)-te Mitglied: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) das erste Mitglied der Progression ist;
\(n\) – Nummer des erforderlichen Elements;
\(a_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Mit dieser Formel können wir schnell mindestens das dreihundertste oder sogar das millionste Element finden, wobei wir nur das erste und den Fortschrittsunterschied kennen.

Beispiel. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen gegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Lösung:

Antworten: \(b_(246)=1850\).

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) ist der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen \(a_n=3,4n-0,6\) gegeben. Finden Sie die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Folge.
Lösung:

Antworten: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) anstelle von \(a_n\) ersetzen Sie die Formel dafür durch \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe \(n\) der ersten Elemente;
\(a_1\) ist der erste Term, der summiert wird;
\(d\) – Fortschrittsunterschied;
\(n\) – die Anzahl der Elemente in der Summe.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lösung:

Antworten: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Folgeprobleme

Jetzt verfügen Sie über alle Informationen, die Sie benötigen, um fast jedes arithmetische Folgeproblem zu lösen. Beenden wir das Thema mit der Betrachtung von Problemen, bei denen Sie nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken müssen (in der Mathematik kann dies nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lösung:

Antworten: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge ist durch die Bedingungen gegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis zum \(42\)-ten Element einschließlich.
Lösung:

Antworten: \(S=1683\).

Für eine arithmetische Folge gibt es noch einige weitere Formeln, die wir aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens in diesem Artikel nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

Beim Studium der Algebra an einer weiterführenden Schule (Klasse 9) ist eines der wichtigen Themen das Studium numerischer Folgen, die Progressionen umfassen – geometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Folge und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Folge?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betrachteten Fortschritt zu definieren und die Grundformeln anzugeben, die bei der Lösung von Problemen weiter verwendet werden.

Eine arithmetische oder algebraische Folge ist eine solche Menge geordneter rationaler Zahlen, deren jedes Mitglied sich um einen konstanten Betrag vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird als Differenz bezeichnet. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Nehmen wir ein Beispiel. Die nächste Zahlenfolge wird eine arithmetische Folge sein: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 beträgt (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann jedoch nicht mehr der betrachteten Progressionsart zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Wir geben nun die Grundformeln an, die benötigt werden, um Probleme mithilfe einer arithmetischen Folge zu lösen. Sei a n das n-te Glied der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Der Unterschied wird mit dem lateinischen Buchstaben d bezeichnet. Dann sind die folgenden Ausdrücke wahr:

1. Um den Wert des n-ten Termes zu bestimmen, eignet sich die Formel: a n = (n-1) * d + a 1.
2. Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n + a 1)*n/2.

Um Beispiele für eine arithmetische Folge mit einer Lösung in der 9. Klasse zu verstehen, reicht es aus, sich diese beiden Formeln zu merken, da alle Probleme der betrachteten Art auf ihrer Verwendung aufbauen. Vergessen Sie auch nicht, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel bestimmt wird: d = a n - a n-1 .

Beispiel Nr. 1: Ein unbekanntes Mitglied finden

Wir geben ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln, die zur Lösung verwendet werden müssen.

Gegeben sei die Folge 10, 8, 6, 4, ..., es müssen fünf Terme darin gefunden werden.

Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:

1. Berechnen wir zunächst die Differenz. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnte man zwei beliebige andere nebeneinander stehende Begriffe nehmen. Zum Beispiel d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d \u003d a n - a n-1, dann d \u003d a 5 - a 4, woraus wir erhalten: a 5 \u003d a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Auch die zweite Methode erfordert die Kenntnis des Unterschieds der jeweiligen Progression, daher muss dieser zunächst ermittelt werden, wie oben gezeigt (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die n-Zahl der Folge. Wir haben: a n = (n – 1) * d + a 1 = (n – 1) * (-2) + 10 = 12 – 2 * n. Wenn wir n = 5 in den letzten Ausdruck einsetzen, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führen beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Differenz d der Progression negativ ist. Solche Folgen werden als absteigend bezeichnet, da jeder nachfolgende Term kleiner ist als der vorherige.

Beispiel Nr. 2: Fortschrittsunterschied

Lassen Sie uns die Aufgabe nun etwas komplizieren und ein Beispiel dafür geben

Es ist bekannt, dass in einigen Fällen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Reihenfolge auf den 7. Term wiederherzustellen.

Verwenden wir die Formel, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Setzen wir darin die bekannten Daten aus der Bedingung ein, also die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 = 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie die Differenz leicht berechnen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Damit war der erste Teil der Aufgabe gelöst.

Um die Folge bis zum siebten Glied wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Folge verwenden, also a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d usw. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 und 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: Fortschritte machen

Lassen Sie uns den Zustand des Problems noch komplizierter machen. Jetzt müssen Sie die Frage beantworten, wie Sie eine arithmetische Folge finden. Wir können das folgende Beispiel geben: Es werden zwei Zahlen angegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu erstellen, damit drei weitere Terme dazwischen passen.

Bevor man mit der Lösung dieses Problems beginnt, muss man verstehen, welchen Platz die gegebenen Zahlen in der zukünftigen Entwicklung einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme liegen, dann a 1 = -4 und a 5 = 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, fahren wir mit einer Aufgabe fort, die der vorherigen ähnelt. Auch für den n-ten Term verwenden wir die Formel, wir erhalten: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Von: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Hier ist die Differenz kein ganzzahliger Wert, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression dieselben bleiben.

Nun addieren wir die gefundene Differenz zu einer 1 und stellen die fehlenden Mitglieder der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, was mit dem Zustand des Problems übereinstimmte.

Beispiel Nr. 4: Das erste Mitglied der Progression

Wir geben weiterhin Beispiele für eine arithmetische Folge mit Lösung. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten Sie nun ein Problem anderer Art: Es seien zwei Zahlen gegeben, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es gilt herauszufinden, mit welcher Zahl diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. Über diese Zahlen ist im Zustand des Problems nichts bekannt. Schreiben wir dennoch die Ausdrücke für jeden Term auf, über den wir Informationen haben: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen erhalten, in denen es zwei unbekannte Größen gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Das angegebene System lässt sich am einfachsten lösen, wenn Sie in jeder Gleichung eine 1 ausdrücken und dann die resultierenden Ausdrücke vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, woraus sich die Differenz d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 ergibt (es werden nur 3 Dezimalstellen angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie einen der beiden oben genannten Ausdrücke für a 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Wenn Zweifel am Ergebnis bestehen, können Sie es überprüfen, beispielsweise das 43. Glied der Progression ermitteln, das in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Ein kleiner Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel #5: Summe

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine numerische Folge der folgenden Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?

Dank der Entwicklung der Computertechnologie kann dieses Problem gelöst werden, indem alle Zahlen nacheinander addiert werden, was der Computer ausführt, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem kann jedoch mental gelöst werden, wenn man beachtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz 1 beträgt. Wenn wir die Formel für die Summe anwenden, erhalten wir: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist merkwürdig, dass dieses Problem „Gaussian“ genannt wird, da der berühmte Deutsche, noch im Alter von nur 10 Jahren, es zu Beginn des 18. Jahrhunderts in wenigen Sekunden in seinem Kopf lösen konnte. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer das gleiche Ergebnis erhält, wenn man Zahlenpaare an den Rändern der Folge addiert, also 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) betragen, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel Nr. 6: Summe der Terme von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das Folgende: Bei einer gegebenen Zahlenreihe: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie die Summe ihrer Terme von 8 bis 14 ermitteln.

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Begriffe von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zusammenzufassen. Da es nur wenige Begriffe gibt, ist diese Methode nicht aufwendig genug. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem mit der zweiten Methode zu lösen, die universeller ist.

Die Idee besteht darin, eine Formel für die Summe einer algebraischen Folge zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Schreiben wir für beide Fälle zwei Ausdrücke für die Summe auf:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2. Summe die erste einschließt. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen nehmen und den Term a m hinzufügen (im Falle der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn = S n – S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 – m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n – m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). In diesen Ausdruck müssen Formeln für a n und a m eingesetzt werden. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall ist a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen ersetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den obigen Lösungen hervorgeht, basieren alle Probleme auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, dass Sie die Bedingung sorgfältig lesen, klar verstehen, was Sie finden möchten, und erst dann mit der Lösung fortfahren.

Ein weiterer Tipp ist, nach Einfachheit zu streben, d. h. wenn Sie die Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers geringer ist. Beispielsweise könnte man im Beispiel einer arithmetischen Folge mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, und bleiben Teilen Sie die allgemeine Aufgabe in separate Unteraufgaben auf (in diesem Fall suchen Sie zuerst die Begriffe a n und a m).

Wenn Zweifel am erzielten Ergebnis bestehen, empfiehlt es sich, es zu überprüfen, wie dies auch in einigen der aufgeführten Beispiele der Fall war. Wie man eine arithmetische Folge findet, haben wir herausgefunden. Sobald Sie es herausgefunden haben, ist es nicht mehr so ​​schwer.

Jemand geht mit dem Wort „Progression“ mit Vorsicht um, da es sich um einen sehr komplexen Begriff aus den Bereichen der höheren Mathematik handelt. Mittlerweile ist die einfachste arithmetische Folge die Arbeit am Taxischalter (wo sie noch stehen). Und das Wesentliche (und in der Mathematik gibt es nichts Wichtigeres als „das Wesentliche zu verstehen“) einer arithmetischen Folge zu verstehen, ist nach der Analyse einiger elementarer Konzepte nicht so schwierig.

Mathematische Zahlenfolge

Es ist üblich, eine Zahlenfolge als eine Reihe von Zahlen zu bezeichnen, von denen jede ihre eigene Nummer hat.

und 1 ist das erste Mitglied der Sequenz;

und 2 ist das zweite Mitglied der Sequenz;

und 7 ist das siebte Mitglied der Folge;

und n ist das n-te Mitglied der Sequenz;

Allerdings interessiert uns nicht irgendein beliebiges Zahlenwerk. Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf eine Zahlenfolge richten, in der der Wert des n-ten Elements durch eine mathematisch eindeutig formulierbare Abhängigkeit mit seiner Ordnungszahl zusammenhängt. Mit anderen Worten: Der Zahlenwert der n-ten Zahl ist eine Funktion von n.

a - Wert eines Mitglieds der Zahlenfolge;

n ist seine Seriennummer;

f(n) ist eine Funktion, bei der die Ordnungszahl in der Zahlenfolge n das Argument ist.

Definition

Eine arithmetische Folge wird üblicherweise als Zahlenfolge bezeichnet, in der jeder nachfolgende Term um dieselbe Zahl größer (kleiner) als der vorherige ist. Die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet wie folgt:

a n – der Wert des aktuellen Mitglieds der arithmetischen Folge;

a n+1 – die Formel der nächsten Zahl;

d - Differenz (eine bestimmte Zahl).

Es lässt sich leicht feststellen, dass bei positiver Differenz (d>0) jedes nachfolgende Mitglied der betrachteten Reihe größer als das vorherige ist und eine solche arithmetische Folge zunimmt.

In der folgenden Grafik ist leicht zu erkennen, warum die Zahlenfolge „steigend“ genannt wird.

In Fällen, in denen die Differenz negativ ist (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Der Wert des angegebenen Mitglieds

Manchmal ist es notwendig, den Wert eines beliebigen Termes a n einer arithmetischen Folge zu bestimmen. Sie können dies tun, indem Sie nacheinander die Werte aller Mitglieder der arithmetischen Folge berechnen, vom ersten bis zum gewünschten. Dieser Weg ist jedoch nicht immer akzeptabel, wenn es beispielsweise darum geht, den Wert des fünftausendsten oder achtmillionsten Termes zu ermitteln. Die herkömmliche Berechnung wird lange dauern. Mit bestimmten Formeln lässt sich jedoch eine bestimmte arithmetische Folge untersuchen. Es gibt auch eine Formel für den n-ten Term: Der Wert eines beliebigen Glieds einer arithmetischen Folge kann als Summe des ersten Glieds der Folge mit der Differenz der Folge, multipliziert mit der Nummer des gewünschten Glieds minus eins, bestimmt werden .

Die Formel ist universell für zunehmende und abnehmende Progression.

Ein Beispiel für die Berechnung des Wertes eines bestimmten Mitglieds

Lösen wir das folgende Problem, den Wert des n-ten Elements einer arithmetischen Folge zu ermitteln.

Bedingung: Es liegt eine arithmetische Folge mit Parametern vor:

Das erste Mitglied der Sequenz ist 3;

Der Unterschied in der Zahlenreihe beträgt 1,2.

Aufgabe: Es gilt, den Wert von 214 Begriffen zu ermitteln

Lösung: Um den Wert eines bestimmten Elements zu bestimmen, verwenden wir die Formel:

a(n) = a1 + d(n-1)

Wenn wir die Daten aus der Problemstellung in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Antwort: Das 214. Glied der Folge ist gleich 258,6.

Die Vorteile dieser Berechnungsmethode liegen auf der Hand – die gesamte Lösung benötigt nicht mehr als 2 Zeilen.

Summe einer bestimmten Anzahl von Termen

Sehr oft ist es in einer bestimmten arithmetischen Reihe erforderlich, die Summe der Werte einiger ihrer Segmente zu bestimmen. Es ist auch nicht erforderlich, die Werte jedes Termes zu berechnen und sie dann zusammenzufassen. Diese Methode ist anwendbar, wenn die Anzahl der Terme, deren Summe gefunden werden muss, gering ist. In anderen Fällen ist es bequemer, die folgende Formel zu verwenden.

Die Summe der Elemente einer arithmetischen Folge von 1 bis n ist gleich der Summe des ersten und n-ten Elements, multipliziert mit der Elementnummer n und dividiert durch zwei. Wenn in der Formel der Wert des n-ten Elements durch den Ausdruck aus dem vorherigen Absatz des Artikels ersetzt wird, erhalten wir:

Berechnungsbeispiel

Lassen Sie uns beispielsweise ein Problem mit den folgenden Bedingungen lösen:

Der erste Term der Folge ist Null;

Der Unterschied beträgt 0,5.

In der Aufgabe ist es erforderlich, die Summe der Terme der Reihe von 56 bis 101 zu bestimmen.

Lösung. Verwenden wir die Formel zur Bestimmung der Summe der Progression:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Zunächst ermitteln wir die Summe der Werte von 101 Mitgliedern der Progression, indem wir die gegebenen Bedingungen unseres Problems in die Formel einsetzen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Um die Summe der Terme der Progression vom 56. zum 101. herauszufinden, ist es natürlich notwendig, S 55 von S 101 zu subtrahieren.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Die Summe der arithmetischen Folge für dieses Beispiel ist also:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Beispiel für die praktische Anwendung der arithmetischen Folge

Kehren wir am Ende des Artikels zum Beispiel der arithmetischen Folge aus dem ersten Absatz zurück – einem Taxameter (Taxameter). Betrachten wir ein solches Beispiel.

Die Fahrt mit dem Taxi (die 3 km zurücklegt) kostet 50 Rubel. Jeder weitere Kilometer wird mit 22 Rubel/km vergütet. Reisestrecke 30 km. Berechnen Sie die Kosten der Reise.

1. Lassen Sie uns die ersten 3 km wegwerfen, deren Preis in den Landekosten enthalten ist.

30 - 3 = 27 km.

2. Die weitere Berechnung ist nichts anderes als das Parsen einer arithmetischen Zahlenreihe.

Die Mitgliedsnummer ist die Anzahl der zurückgelegten Kilometer (abzüglich der ersten drei).

Der Wert des Mitglieds ist die Summe.

Der erste Term in dieser Aufgabe ist a 1 = 50 Rubel.

Progressionsunterschied d = 22 p.

die für uns interessante Zahl - der Wert des (27 + 1)-ten Glieds der arithmetischen Folge - der Zählerstand am Ende des 27. Kilometers - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Berechnungen von Kalenderdaten für einen beliebig langen Zeitraum basieren auf Formeln, die bestimmte Zahlenfolgen beschreiben. In der Astronomie ist die Länge der Umlaufbahn geometrisch abhängig von der Entfernung des Himmelskörpers zum Himmelskörper. Darüber hinaus werden verschiedene Zahlenreihen erfolgreich in der Statistik und anderen angewandten Teilgebieten der Mathematik eingesetzt.

Eine andere Art von Zahlenfolge ist geometrisch

Ein geometrischer Verlauf ist im Vergleich zu einem arithmetischen Verlauf durch eine große Änderungsrate gekennzeichnet. Es ist kein Zufall, dass in Politik, Soziologie und Medizin oft gesagt wird, dass sich der Prozess exponentiell entwickelt, um die hohe Geschwindigkeit der Ausbreitung eines bestimmten Phänomens, beispielsweise einer Krankheit während einer Epidemie, aufzuzeigen.

Das N-te Mitglied der geometrischen Zahlenreihe unterscheidet sich vom vorherigen dadurch, dass es mit einer konstanten Zahl multipliziert wird – der Nenner ist zum Beispiel das erste Mitglied 1, der Nenner ist 2 bzw. dann:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – der Wert des aktuellen Mitglieds der geometrischen Folge;

b n+1 – die Formel des nächsten Mitglieds der geometrischen Folge;

q ist der Nenner einer geometrischen Folge (konstante Zahl).

Wenn der Graph einer arithmetischen Folge eine Gerade ist, dann zeichnet der geometrische ein etwas anderes Bild:

Wie bei der Arithmetik gibt es auch bei einer geometrischen Folge eine Formel für den Wert eines beliebigen Elements. Jeder n-te Term einer geometrischen Folge ist gleich dem Produkt aus dem ersten Term und dem Nenner der Folge hoch n reduziert um eins:

Beispiel. Wir haben eine geometrische Folge mit dem ersten Term gleich 3 und dem Nenner der Folge gleich 1,5. Finden Sie das 5. Glied der Progression

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Die Summe einer bestimmten Anzahl von Mitgliedern wird ebenfalls nach einer speziellen Formel berechnet. Die Summe der ersten n Mitglieder einer geometrischen Folge ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt des n-ten Mitglieds der Folge und seinem Nenner und dem ersten Mitglied der Folge geteilt durch den um eins reduzierten Nenner:

Wenn b n mit der oben diskutierten Formel ersetzt wird, nimmt der Wert der Summe der ersten n Mitglieder der betrachteten Zahlenreihe die Form an:

Beispiel. Die geometrische Folge beginnt mit dem ersten Term gleich 1. Der Nenner wird gleich 3 gesetzt. Lassen Sie uns die Summe der ersten acht Terme ermitteln.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Material im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die stark „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr ...“

Eine arithmetische Folge ist eine Reihe von Zahlen, bei der jede Zahl um den gleichen Betrag größer (oder kleiner) als die vorherige ist.

Dieses Thema ist oft schwierig und unverständlich. Buchstabenindizes, das n-te Glied der Progression, die Differenz der Progression – das alles ist irgendwie verwirrend, ja ... Lassen Sie uns die Bedeutung der arithmetischen Progression herausfinden und alles wird sofort klappen.)

Das Konzept der arithmetischen Progression.

Die arithmetische Progression ist ein sehr einfaches und klares Konzept. Zweifeln? Vergebens.) Überzeugen Sie sich selbst.

Ich schreibe eine unvollendete Zahlenreihe:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Können Sie diese Zeile erweitern? Welche Zahlen kommen als nächstes nach der Fünf? Jeder ... äh ..., kurz gesagt, jeder wird herausfinden, dass die Zahlen 6, 7, 8, 9 usw. weitergehen.

Machen wir die Aufgabe komplizierter. Ich gebe eine unvollendete Zahlenreihe:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sie können das Muster erfassen, die Serie erweitern und benennen siebte Zeilennummer?

Wenn Sie herausgefunden haben, dass diese Zahl 20 ist, gratuliere ich Ihnen! Du hast nicht nur gefühlt Schlüsselpunkte einer arithmetischen Folge, sondern auch erfolgreich im Geschäftsleben eingesetzt! Wenn Sie es nicht verstehen, lesen Sie weiter.

Lassen Sie uns nun die wichtigsten Punkte aus den Empfindungen in die Mathematik übersetzen.)

Erster wichtiger Punkt.

Die arithmetische Progression beschäftigt sich mit Zahlenreihen. Das ist zunächst verwirrend. Wir sind es gewohnt, Gleichungen zu lösen, Graphen zu erstellen und all das ... Und dann die Reihe erweitern, die Nummer der Reihe finden ...

Macht nichts. Es ist nur so, dass Progressionen die erste Bekanntschaft mit einem neuen Zweig der Mathematik sind. Der Abschnitt heißt „Reihe“ und arbeitet mit Reihen von Zahlen und Ausdrücken. An etwas gewöhnen.)

Zweiter wichtiger Punkt.

In einer arithmetischen Folge unterscheidet sich jede Zahl von der vorherigen um den gleichen Betrag.

Im ersten Beispiel ist dieser Unterschied eins. Welche Zahl Sie auch nehmen, es ist eins mehr als die vorherige. Im zweiten - drei. Jede Zahl ist dreimal größer als die vorherige. Tatsächlich ist es dieser Moment, der uns die Möglichkeit gibt, das Muster zu erkennen und die nachfolgenden Zahlen zu berechnen.

Dritter wichtiger Punkt.

Dieser Moment ist nicht auffällig, ja ... Aber sehr, sehr wichtig. Da ist er: Jede Fortschrittsnummer ist an ihrer Stelle. Es gibt die erste Zahl, es gibt die siebte, es gibt die fünfundvierzigste und so weiter. Wenn Sie sie willkürlich verwechseln, verschwindet das Muster. Auch die arithmetische Folge wird verschwinden. Es ist nur eine Reihe von Zahlen.

Das ist der springende Punkt.

Natürlich tauchen im neuen Thema auch neue Begriffe und Notationen auf. Sie müssen es wissen. Sonst verstehst du die Aufgabe nicht. Sie müssen zum Beispiel etwas entscheiden wie:

Schreiben Sie die ersten sechs Terme der arithmetischen Folge (a n) auf, wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiriert es?) Briefe, einige Register ... Und die Aufgabe könnte übrigens nicht einfacher sein. Sie müssen lediglich die Bedeutung der Begriffe und die Notation verstehen. Jetzt werden wir diese Angelegenheit meistern und zur Aufgabe zurückkehren.

Begriffe und Bezeichnungen.

Arithmetische Folge ist eine Zahlenreihe, bei der sich jede Zahl von der vorherigen unterscheidet um den gleichen Betrag.

Dieser Wert wird aufgerufen . Schauen wir uns dieses Konzept genauer an.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied ist der Betrag, um den jede Fortschrittszahl mehr Der vorherige.

Ein wichtiger Punkt. Bitte achten Sie auf das Wort "mehr". Mathematisch bedeutet dies, dass jede Fortschrittszahl erhalten wird hinzufügen die Differenz einer arithmetischen Folge zur vorherigen Zahl.

Zum Berechnen sagen wir mal zweite Zahlen der Zeile, ist es notwendig Erste Nummer hinzufügen genau dieser Unterschied einer arithmetischen Folge. Zur Berechnung fünfte- Der Unterschied ist notwendig hinzufügen Zu vierte na ja, usw.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied kann sein positiv dann wird sich herausstellen, dass jede Zahl der Reihe echt ist mehr als der vorherige. Dieser Fortschritt wird aufgerufen zunehmend. Zum Beispiel:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Hier steht jede Zahl hinzufügen positive Zahl, +5 zur vorherigen.

Der Unterschied kann sein Negativ dann wird jede Zahl in der Reihe sein weniger als der vorherige. Dieser Fortschritt heißt (Sie werden es nicht glauben!) abnehmend.

Zum Beispiel:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Auch hier wird jede Zahl ermittelt hinzufügen zur vorherigen, aber bereits negativen Zahl, -5.

Übrigens ist es bei der Arbeit mit einer Progression sehr nützlich, sofort deren Natur zu bestimmen – ob sie zu- oder abnimmt. Es hilft sehr, sich bei der Entscheidung zurechtzufinden, Fehler zu erkennen und zu korrigieren, bevor es zu spät ist.

Arithmetischer Fortschrittsunterschied normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D.

Wie findet man D? Sehr einfach. Es ist notwendig, von jeder beliebigen Zahl der Reihe zu subtrahieren vorherige Nummer. Subtrahieren. Das Ergebnis der Subtraktion heißt übrigens „Differenz“.)

Definieren wir zum Beispiel: D für eine aufsteigende arithmetische Folge:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Wir nehmen eine beliebige Zahl der gewünschten Zeile, zum Beispiel 11. Subtrahieren Sie davon die vorherige Nummer diese. 8:

Das ist die richtige Antwort. Für diese arithmetische Folge beträgt die Differenz drei.

Du kannst es einfach nehmen beliebig viele Verläufe, Weil für einen bestimmten Verlauf D-immer gleich. Zumindest irgendwo am Anfang der Reihe, zumindest in der Mitte, zumindest irgendwo. Sie können nicht nur die allererste Zahl nehmen. Nur weil die allererste Zahl Keine vorherige.)

Übrigens, das weiß ich d=3, ist es sehr einfach, die siebte Zahl dieser Folge zu finden. Wir addieren 3 zur fünften Zahl – wir erhalten die sechste, es wird 17 sein. Wir addieren drei zur sechsten Zahl, wir erhalten die siebte Zahl – zwanzig.

Definieren wir D für eine abnehmende arithmetische Folge:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ich erinnere Sie daran, unabhängig von den Anzeichen, zu bestimmen D benötigt von einer beliebigen Nummer nimm den vorherigen weg. Wir wählen eine beliebige Progressionszahl, zum Beispiel -7. Seine bisherige Zahl ist -2. Dann:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Die Differenz einer arithmetischen Folge kann eine beliebige Zahl sein: ganzzahlig, gebrochen, irrational, beliebig.

Andere Begriffe und Bezeichnungen.

Jede Zahl in der Reihe wird aufgerufen Mitglied einer arithmetischen Folge.

Jedes Mitglied der Progression hat seine Nummer. Die Zahlen sind streng geordnet, ohne Tricks. Erster, zweiter, dritter, vierter usw. Zum Beispiel ist in der Folge 2, 5, 8, 11, 14, ... zwei das erste Glied, fünf das zweite, elf das vierte, nun, Sie verstehen ...) Bitte verstehen Sie es klar - die Zahlen selbst kann absolut beliebig sein, ganz, gebrochen, negativ, was auch immer, aber Nummerierung- unbedingt in Ordnung!

Wie schreibe ich eine Progression in allgemeiner Form? Kein Problem! Jede Zahl in der Reihe wird als Buchstabe geschrieben. Zur Bezeichnung einer arithmetischen Folge wird in der Regel der Buchstabe verwendet A. Die Mitgliedsnummer wird durch den Index unten rechts angezeigt. Mitglieder werden durch Kommas (oder Semikolons) getrennt geschrieben, etwa so:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

eine 1 ist die erste Zahl eine 3- Dritter usw. Nichts Schwieriges. Sie können diese Serie kurz so schreiben: (ein).

Es gibt Fortschritte endlich und unendlich.

ultimativ Die Progression hat eine begrenzte Anzahl von Mitgliedern. Fünf, achtunddreißig, was auch immer. Aber es ist eine endliche Zahl.

Endlos Progression – hat, wie Sie vielleicht vermuten, eine unendliche Anzahl von Mitgliedern.)

Sie können einen abschließenden Fortschritt durch eine Serie wie folgt schreiben, alle Mitglieder und einen Punkt am Ende:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Oder so, wenn es viele Mitglieder gibt:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Bei einem Kurzeintrag müssen Sie zusätzlich die Anzahl der Mitglieder angeben. Zum Beispiel (für zwanzig Mitglieder) so:

(a n), n = 20

Eine unendliche Folge erkennt man an den Auslassungspunkten am Ende der Zeile, wie in den Beispielen dieser Lektion.

Jetzt können Sie bereits Aufgaben lösen. Die Aufgaben sind einfach und dienen lediglich dem Verständnis der Bedeutung der arithmetischen Folge.

Beispiele für Aufgaben zur Rechenprogression.

Schauen wir uns die obige Aufgabe genauer an:

1. Notieren Sie die ersten sechs Mitglieder der arithmetischen Folge (a n), wenn a 2 = 5, d = -2,5.

Wir übersetzen die Aufgabe in eine verständliche Sprache. Gegeben sei eine unendliche arithmetische Folge. Die zweite Zahl dieser Progression ist bekannt: ein 2 = 5. Bekannter Verlaufsunterschied: d = -2,5. Wir müssen das erste, dritte, vierte, fünfte und sechste Mitglied dieser Progression finden.

Der Übersichtlichkeit halber werde ich eine Reihe entsprechend dem Zustand des Problems aufschreiben. Die ersten sechs Mitglieder, wobei das zweite Mitglied fünf ist:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

eine 3 = eine 2 + D

Wir ersetzen im Ausdruck ein 2 = 5 Und d=-2,5. Vergessen Sie nicht das Minus!

eine 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Der dritte Term ist kleiner als der zweite. Alles ist logisch. Wenn die Zahl größer als die vorherige ist Negativ Wert, sodass die Zahl selbst kleiner als die vorherige sein wird. Der Fortschritt nimmt ab. Okay, berücksichtigen wir es.) Wir betrachten das vierte Mitglied unserer Serie:

eine 4 = eine 3 + D

eine 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

eine 5 = eine 4 + D

eine 5=0+(-2,5)= - 2,5

eine 6 = eine 5 + D

eine 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Somit wurden die Terme vom dritten bis zum sechsten berechnet. Daraus entstand eine Serie:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Es bleibt der erste Begriff zu finden eine 1 nach dem bekannten zweiten. Dies ist ein Schritt in die andere Richtung, nach links.) Daher der Unterschied der arithmetischen Folge D sollte nicht hinzugefügt werden eine 2, A wegbringen:

eine 1 = eine 2 - D

eine 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Das ist alles dazu. Aufgabenantwort:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Nebenbei stelle ich fest, dass wir diese Aufgabe gelöst haben wiederkehrend Weg. Dieses schreckliche Wort bedeutet nur die Suche nach einem Mitglied der Progression durch die vorherige (benachbarte) Nummer. Andere Möglichkeiten, mit der Progression zu arbeiten, werden später besprochen.

Aus dieser einfachen Aufgabe lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen.

Erinnern:

Wenn wir mindestens ein Glied und die Differenz einer arithmetischen Folge kennen, können wir jedes Glied dieser Folge finden.

Erinnern? Mit dieser einfachen Schlussfolgerung können wir die meisten Probleme des Schulkurses zu diesem Thema lösen. Alle Aufgaben drehen sich um drei Hauptparameter: Glied einer arithmetischen Folge, Differenz einer Folge, Zahl eines Glieds einer Folge. Alle.

Natürlich wird nicht die gesamte vorherige Algebra aufgehoben.) Ungleichungen, Gleichungen und andere Dinge sind mit der Progression verbunden. Aber entsprechend dem Verlauf- Alles dreht sich um drei Parameter.

Betrachten Sie beispielsweise einige beliebte Aufgaben zu diesem Thema.

2. Schreiben Sie die endgültige arithmetische Folge als Reihe, wenn n=5, d=0,4 und a 1=3,6.

Hier ist alles einfach. Alles ist bereits gegeben. Sie müssen sich daran erinnern, wie die Mitglieder einer arithmetischen Folge berechnet, gezählt und aufgeschrieben werden. Es ist ratsam, die Wörter in der Aufgabenbedingung nicht zu überspringen: „final“ und „ n=5". Um nicht zu zählen, bis Sie völlig blau im Gesicht sind.) Es gibt nur 5 (fünf) Mitglieder in dieser Progression:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

eine 4 = eine 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

eine 5 = eine 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Es bleibt die Antwort aufzuschreiben:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Eine weitere Aufgabe:

3. Bestimmen Sie, ob die Zahl 7 ein Mitglied einer arithmetischen Folge (a n) sein wird, wenn a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Wer weiß? Wie definiert man etwas?

Wie-wie ... Ja, schreiben Sie den Verlauf in Form einer Reihe auf und sehen Sie, ob es eine Sieben gibt oder nicht! Wir glauben:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

eine 4 = eine 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nun ist deutlich zu erkennen, dass wir erst sieben sind durchgerutscht zwischen 6,5 und 7,7! Die Sieben sind nicht in unsere Zahlenreihe aufgenommen worden und daher wird die Sieben kein Mitglied der gegebenen Reihe sein.

Antwort: Nein.

Und hier ist eine Aufgabe, die auf einer echten Version des GIA basiert:

4. Mehrere aufeinanderfolgende Mitglieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:

...; 15; X; 9; 6; ...

Hier ist eine Serie ohne Ende und Anfang. Keine Mitgliedsnummern, kein Unterschied D. Macht nichts. Um das Problem zu lösen, reicht es aus, die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen. Mal sehen und sehen, was wir können wissen aus dieser Zeile? Was sind die Parameter der drei Hauptparameter?

Mitgliedsnummern? Hier gibt es keine einzige Zahl.

Aber es gibt drei Zahlen und – Achtung! - Wort "aufeinanderfolgenden" im Zustand. Das bedeutet, dass die Zahlen streng geordnet und lückenlos sind. Gibt es zwei in dieser Reihe? benachbart bekannte Zahlen? Ja, gibt es! Das sind 9 und 6. Damit können wir die Differenz einer arithmetischen Folge berechnen! Wir subtrahieren von der Sechs vorherige Zahl, d.h. neun:

Es sind noch freie Plätze übrig. Welche Zahl wird die vorherige für x sein? Fünfzehn. x kann also leicht durch einfache Addition gefunden werden. Addiere zu 15 die Differenz einer arithmetischen Folge:

Das ist alles. Antworten: x=12

Wir lösen die folgenden Probleme selbst. Hinweis: Bei diesen Rätseln handelt es sich nicht um Formeln. Nur um die Bedeutung einer arithmetischen Folge zu verstehen.) Wir schreiben einfach eine Reihe von Zahlen-Buchstaben auf, schauen und denken.

5. Finden Sie den ersten positiven Term der arithmetischen Folge, wenn a 5 = -3; d = 1,1.

6. Es ist bekannt, dass die Zahl 5,5 ein Mitglied der arithmetischen Folge (a n) ist, wobei a 1 = 1,6; d = 1,3. Bestimmen Sie die Anzahl n dieses Mitglieds.

7. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 4; a 5 \u003d 15,1. Finden Sie eine 3.

8. Mehrere aufeinanderfolgende Mitglieder der arithmetischen Folge werden ausgeschrieben:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Finden Sie den Term der Progression, der mit dem Buchstaben x bezeichnet wird.

9. Der Zug setzte sich vom Bahnhof in Bewegung und erhöhte seine Geschwindigkeit schrittweise um 30 Meter pro Minute. Wie schnell wird der Zug in fünf Minuten sein? Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

10. Es ist bekannt, dass in einer arithmetischen Folge a 2 = 5; a 6 = -5. Finden Sie eine 1.

Antworten (in Unordnung): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Es hat alles geklappt? Toll! In den folgenden Lektionen können Sie das Rechnen auf einem höheren Niveau erlernen.

Hat nicht alles geklappt? Kein Problem. Im Sonderteil 555 werden alle diese Rätsel Stück für Stück aufgelöst.) Und natürlich wird eine einfache praktische Technik beschrieben, die die Lösung solcher Aufgaben sofort klar, deutlich, wie in der Handfläche, hervorhebt!

Übrigens gibt es beim Rätsel um den Zug zwei Probleme, über die man oft stolpert. Eines – rein durch Progression, und das zweite – gemeinsam für alle Aufgaben in der Mathematik und auch in der Physik. Dies ist eine Übersetzung von Dimensionen von einer in eine andere. Es zeigt, wie diese Probleme gelöst werden sollten.

In dieser Lektion haben wir die elementare Bedeutung einer arithmetischen Folge und ihrer Hauptparameter untersucht. Dies reicht aus, um fast alle Probleme zu diesem Thema zu lösen. Hinzufügen D zu den Zahlen, schreibe eine Serie, alles wird entschieden.

Die Fingerlösung eignet sich gut für sehr kurze Teile der Serie, wie in den Beispielen dieser Lektion. Je länger die Reihe ist, desto komplizierter werden die Berechnungen. Wenn beispielsweise Problem 9 in der Frage steht, ersetzen Sie "fünf Minuten" An „fünfunddreißig Minuten“ das Problem wird noch viel schlimmer.)

Und es gibt auch Aufgaben, die im Kern einfach, aber rechnerisch völlig absurd sind, zum Beispiel:

Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n). Finden Sie eine 121, wenn a 1 =3 und d=1/6.

Und was, wir werden viele, viele Male 1/6 hinzufügen?! Kann man sich umbringen!?

Sie können.) Wenn Sie keine einfache Formel kennen, mit der Sie solche Aufgaben in einer Minute lösen können. Diese Formel finden Sie in der nächsten Lektion. Und dieses Problem ist dort gelöst. In einer Minute.)

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Unterrichtsart: neues Material lernen.

Lernziele:

• Erweiterung und Vertiefung der Vorstellungen der Studierenden über Aufgaben, die mittels arithmetischer Progression gelöst werden; Organisation der Suchaktivität der Studierenden bei der Ableitung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge;
• Entwicklung von Fähigkeiten, sich selbstständig neues Wissen anzueignen, bereits erworbenes Wissen zur Lösung der Aufgabe zu nutzen;
• Entwicklung des Wunsches und Bedürfnisses, die gewonnenen Fakten zu verallgemeinern, Entwicklung der Unabhängigkeit.

Aufgaben:

• das vorhandene Wissen zum Thema „Arithmetische Progression“ verallgemeinern und systematisieren;
• Formeln zur Berechnung der Summe der ersten n Elemente einer arithmetischen Folge ableiten;
• lehren, wie man die erhaltenen Formeln zur Lösung verschiedener Probleme anwendet;
• Machen Sie die Schüler auf das Verfahren zum Ermitteln des Werts eines numerischen Ausdrucks aufmerksam.

Ausrüstung:

• Karten mit Aufgaben für die Arbeit in Gruppen und Paaren;
• Bewertungspapier;
• Präsentation„Arithmetische Folge“.

I. Aktualisierung des Grundwissens.

1. Unabhängige Arbeit zu zweit.

1. Möglichkeit:

Definieren Sie eine arithmetische Folge. Schreiben Sie eine rekursive Formel auf, die eine arithmetische Folge definiert. Geben Sie ein Beispiel für eine arithmetische Folge und geben Sie deren Unterschied an.

2. Möglichkeit:

Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf. Finden Sie das 100. Glied einer arithmetischen Folge ( ein}: 2, 5, 8 …
Zu diesem Zeitpunkt bereiten zwei Schüler auf der Rückseite der Tafel Antworten auf dieselben Fragen vor.
Die Studierenden bewerten die Arbeit des Partners durch Vergleich mit der Tafel. (Flugblätter mit Antworten werden ausgehändigt).

2. Spielmoment.

Übung 1.

Lehrer. Ich habe mir eine arithmetische Folge ausgedacht. Stellen Sie mir nur zwei Fragen, damit Sie nach den Antworten schnell das 7. Mitglied dieser Progression benennen können. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Fragen von Studierenden.

1. Was ist das sechste Glied der Progression und was ist der Unterschied?
2. Was ist das achte Glied der Progression und was ist der Unterschied?

Wenn es keine weiteren Fragen gibt, kann der Lehrer sie anregen – ein „Verbot“ von d (Unterschied), das heißt, es darf nicht gefragt werden, was der Unterschied ist. Sie können Fragen stellen: Was ist das 6. Semester der Progression und was ist das 8. Semester der Progression?

Aufgabe 2.

Auf der Tafel stehen 20 Zahlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Der Lehrer steht mit dem Rücken zur Tafel. Die Schüler sagen die Nummer der Nummer und der Lehrer ruft sofort die Nummer selbst an. Erklären Sie, wie ich das machen kann?

Der Lehrer erinnert sich an die Formel des n-ten Semesters a n \u003d 3n - 2 und findet durch Ersetzen der gegebenen Werte von n die entsprechenden Werte ein .

II. Darstellung der pädagogischen Aufgabe.

Ich schlage vor, ein altes Problem aus dem 2. Jahrtausend v. Chr. zu lösen, das in ägyptischen Papyri gefunden wurde.

Aufgabe:„Lass euch sagen: Verteilt 10 Maß Gerste auf 10 Personen, der Unterschied zwischen jedem und seinem Nachbarn beträgt 1/8 des Maßes.“

• In welcher Beziehung steht dieses Problem zum Thema arithmetische Progression? (Jede nächste Person erhält 1/8 des Maßes mehr, der Unterschied beträgt also d=1/8, 10 Personen, also n=10.)
• Was bedeutet Ihrer Meinung nach die Zahl 10? (Die Summe aller Mitglieder der Progression.)
• Was müssen Sie sonst noch wissen, um die Aufteilung der Gerste entsprechend dem Problemzustand einfach und unkompliziert zu gestalten? (Das erste Glied der Progression.)

Unterrichtsziel- Ermittlung der Abhängigkeit der Summe der Progressionsglieder von ihrer Zahl, dem ersten Glied und der Differenz und Prüfung, ob das Problem in der Antike richtig gelöst wurde.

Bevor wir die Formel herleiten, wollen wir uns ansehen, wie die alten Ägypter das Problem gelöst haben.

Und sie haben es so gelöst:

1) 10 Maßnahmen: 10 = 1 Maßnahme – durchschnittlicher Anteil;
2) 1 Takt ∙ = 2 Takte – verdoppelt Durchschnitt Aktie.
verdoppelt Durchschnitt Der Anteil ist die Summe der Anteile der 5. und 6. Person.
3) 2 Takte – 1/8 Takt = 1 7/8 Takte – doppelter Anteil der fünften Person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - der Anteil der Quinte; usw. Sie können den Anteil jeder vorherigen und nachfolgenden Person ermitteln.

Wir erhalten die Reihenfolge:

III. Die Lösung der Aufgabe.

1. Arbeiten Sie in Gruppen

1. Gruppe: Finden Sie die Summe von 20 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Allgemein

II. Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 (Legende vom kleinen Gauß).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Abschluss:

III-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 21.

Lösung: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Abschluss:

IV-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 101.

Abschluss:

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Probleme wird als „Gauss-Methode“ bezeichnet.

2. Jede Gruppe präsentiert die Lösung des Problems an der Tafel.

3. Verallgemeinerung der vorgeschlagenen Lösungen für eine beliebige arithmetische Folge:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Wir finden diese Summe, indem wir ähnlich argumentieren:

4. Haben wir die Aufgabe gelöst?(Ja.)

IV. Primäres Verständnis und Anwendung der erhaltenen Formeln bei der Lösung von Problemen.

1. Überprüfung der Lösung eines alten Problems anhand der Formel.

2. Anwendung der Formel bei der Lösung verschiedener Probleme.

3. Übungen zur Ausbildung der Fähigkeit, die Formel bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

A) Nr. 613

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Finden: S 1500

Lösung: , und 1 = 1 und 1500 = 1500,

B) Gegeben: ( und n) - arithmetische Folge;
(und n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Finden: N
Lösung:

V. Unabhängiges Arbeiten mit gegenseitiger Überprüfung.

Denis arbeitete als Kurier. Im ersten Monat betrug sein Gehalt 200 Rubel, in jedem weiteren Monat erhöhte es sich um 30 Rubel. Wie viel hat er in einem Jahr verdient?

Gegeben :( und n) - arithmetische Folge;
a 1 = 200, d=30, n=12
Finden: S 12
Lösung:

Antwort: Denis erhielt für das Jahr 4380 Rubel.

VI. Hausaufgabenunterricht.

1. S. 4.3 - Lernen Sie die Ableitung der Formel.
2. №№ 585, 623 .
3. Verfassen Sie ein Problem, das mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge gelöst werden würde.

VII. Zusammenfassung der Lektion.

1. Punkteblatt

2. Setzen Sie die Sätze fort

• Heute im Unterricht habe ich gelernt...
• Gelernte Formeln...
• Ich glaube, dass …

3. Können Sie die Summe der Zahlen von 1 bis 500 ermitteln? Mit welcher Methode werden Sie dieses Problem lösen?

Referenzliste.

1. Algebra, 9. Klasse. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskau: Aufklärung, 2009.