Erdellipsoid. Das Konzept des Geoids, Quasi-Geoids, Erdellipsoids. Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „Krasovskys Ellipsoid“ ist

Die Oberfläche des Erdellipsoids entsteht durch Drehung der Ellipse um ihre Nebenachse und weist dieselben Parameter auf wie die Ellipse, die sie bildet. Eine Ellipse ist der Ort von Punkten, deren Summe der Abstände von zwei festen Punkten, Brennpunkte genannt, konstant und gleich der Hauptachse der Ellipse ist.

Die Ellipsengleichung im System ebener rechtwinkliger Koordinaten hat die Form

polare Kontraktion 
; (2. 2)

Exzentrizität
; (2. 3)

zweite Exzentrizität
. (2. 4)

Um die Oberfläche eines Rotationsellipsoids eindeutig zu bestimmen, müssen zwei Parameter bekannt sein, von denen einer linear sein muss. Mit den Ausdrücken (2.3) - (2.4) lassen sich leicht die Formeln für den Zusammenhang verschiedener Parameter erhalten:

) =A
=
;

;
;

;
.

Für das Krasovsky-Ellipsoid ist bekanntlich die große Halbachse A= 6 378 245 m Und polare Kontraktion  = 1: 298. 3 , was berechnet werden kann die folgenden Parameterwerte:

b = 6 356 863,0188M;

= 0. 003 352 3299;

e 2 = 0. 006 693 4216;

e /2 = 0. 006 738 5254.

Für ungefähre Berechnungen ist es hilfreich, sich die gerundeten Werte der Parameter des Erdellipsoids zu merken: A6 400 km, a - b21km,1: 300 (310 -3), e 2 e /2 21: 150 (710 -3).

1. Koordinatensysteme der höheren Geodäsie und die Beziehung zwischen ihnen

Die Gleichung der Oberfläche eines Rotationsellipsoids im räumlichen rechtwinkligen Koordinatensystem hat die Form

(3. 1)

Qn ist die Normale zur Oberfläche des Ellipsoids an diesem Punkt Q.

Wenn wir in (3.1) setzen x=0 oder y=0, erhalten wir die Gleichungen der Meridianellipsen

;
.

Wenn wir z = 0 in Gleichung (3.1) einsetzen, erhalten wir die Gleichung des geodätischen Äquators, der ein Kreis mit Radius ist A

Wenn die Oberfläche des Ellipsoids von der Ebene z = const geschnitten wird, erhalten wir Kreise mit Radius R, die als geodätische Parallelen bezeichnet werden. Daraus folgt, dass der Äquator eine Parallele mit dem größten Radius ist ( R = A).

In Abbildung 3.2 haben wir Koordinatensysteme, die die Position des Punktes Q auf der Meridianellipse bestimmen: flaches rechteckiges x, y; geodätischer Breitengrad B; geozentrischer Breitengrad Ф – der Winkel, den der geozentrische Radiusvektor OQ mit der Äquatorialebene bildet; reduzierter Breitengrad u - der Winkel, den ein gerades Liniensegment Q 1 Q 2 O mit der Äquatorebene bildet, wobei Q 1 und Q 2 die Projektionen des Punktes Q auf dem Radienkreis sind A Und B um den Punkt O als Mittelpunkt beschrieben.

Das Erdellipsoid hat drei Hauptparameter, von denen jeweils zwei seine Form eindeutig bestimmen:

• große Halbachse (Äquatorradius) des Ellipsoids, A;
• kleine Halbachse (Polarradius), B;
• geometrische (polare) Kompression, $f=\backslash frac(a-b)(a)$.

Es gibt auch andere Parameter des Ellipsoids:

• erste Exzentrizität, $e=\backslash sqrt(\backslash frac(a^2-b^2)(a^2))=\backslash frac(\backslash sqrt(a^2-b^2))(a)$;
• zweite Exzentrizität, $e"=\backslash sqrt(\backslash frac(a^2-b^2)(b^2))=\backslash frac(\backslash sqrt(a^2-b^2))(b)$.

Für die praktische Umsetzung des Erdellipsoids ist es notwendig im Körper der Erde orientieren. Dabei wird eine allgemeine Bedingung aufgestellt: Die Orientierung muss so erfolgen, dass die Unterschiede in astronomischen und geodätischen Koordinaten minimal sind.

Referenzellipsoid

Die Figur des Referenzellipsoids eignet sich am besten für das Territorium eines einzelnen Landes oder mehrerer Länder. Für die Verarbeitung geodätischer Messungen werden in der Regel Referenzellipsoide akzeptiert. per Gesetz. In Russland/UdSSR wird das Krasovsky-Ellipsoid seit 1946 verwendet.

Für die Ausrichtung des Referenzellipsoids im Erdkörper gelten folgende Anforderungen:

1. Die kleine Halbachse des Ellipsoids ( B) muss parallel zur Rotationsachse der Erde sein.
2. Die Oberfläche des Ellipsoids sollte innerhalb des angegebenen Bereichs möglichst nahe an der Oberfläche des Geoids liegen.

Um das Referenzellipsoid im Erdkörper zu fixieren, ist es notwendig, die geodätischen Koordinaten festzulegen B0, L0, H0 der Startpunkt des geodätischen Netzes und der Anfangsazimut A0 zu einem benachbarten Punkt. Die Gesamtheit dieser Größen heißt ursprüngliche geodätische Daten.

Grundlegende Referenzellipsoide und ihre Parameter

Allgemeines Erdellipsoid

Das allgemeine Erdellipsoid muss im Erdkörper nach folgenden Anforderungen ausgerichtet sein:

1. Die kleine Halbachse muss mit der Rotationsachse der Erde übereinstimmen.
2. Der Mittelpunkt des Ellipsoids muss mit dem Massenschwerpunkt der Erde übereinstimmen.
3. Höhen des Geoids über dem Ellipsoid Hi(sogenannte Höhenanomalien) müssen der Kleinste-Quadrate-Bedingung genügen: $\backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; h\_i^2\; =\; \backslash min$.

Bei der Ausrichtung des allgemeinen Erdellipsoids im Erdkörper ist (im Gegensatz zum Referenzellipsoid) keine Eingabe anfänglicher geodätischer Daten erforderlich.

Da die Anforderungen an allgemeine Erdellipsoide in der Praxis mit einigen Toleranzen erfüllt werden und die Erfüllung der letzteren (3) vollständig unmöglich ist, können in der Geodäsie und verwandten Wissenschaften verschiedene Implementierungen des Ellipsoids verwendet werden, deren Parameter liegen sehr nahe beieinander, stimmen aber nicht überein (siehe unten).

Moderne allgemeine Erdellipsoide und ihre Parameter

siehe auch

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Links

• Kurze Biographie von Walbeck Walbeck) auf Englisch.)
• Le procès des etoiles 1735-1771 ASIN: B0000DTZN6
• Le Proces des etoiles ASIN: B0014LXB6O
• Le procès des étoiles 1735-1771 ISBN 978-2-232-11862-3

Ein Auszug, der das Ellipsoid der Erde charakterisiert

„Es passiert dir“, sagte Natasha zu ihrem Bruder, als sie sich ins Sofazimmer setzten, „es passiert dir, dass es dir so vorkommt, als würde nichts passieren – nichts; dass alles, was gut war, war? Und nicht nur langweilig, sondern auch traurig?
- Und wie! - er sagte. - Es passierte mir, dass alles in Ordnung war, alle waren fröhlich, aber es kam mir vor, dass das alles schon müde war und dass alle sterben mussten. Einmal ging ich nicht zum Spaziergang zum Regiment und es lief Musik ... und mir wurde plötzlich langweilig ...
„Ah, das weiß ich. Ich weiß, ich weiß, - Natasha nahm ab. „Ich war noch klein, also ist es mir passiert. Erinnerst du dich, als sie mich für Pflaumen bestraft haben und ihr alle getanzt habt, und ich im Klassenzimmer saß und schluchzte, werde ich nie vergessen: Ich war traurig und hatte Mitleid mit allen und mit mir selbst, und ich hatte Mitleid mit allen. Und vor allem war ich nicht schuld“, sagte Natascha, „erinnerst du dich?
„Ich erinnere mich“, sagte Nikolai. - Ich erinnere mich, dass ich später zu Ihnen kam und Sie trösten wollte, und ich schämte mich, wissen Sie. Wir waren furchtbar lustig. Ich hatte damals ein Wackelkopf-Spielzeug und wollte es dir schenken. Erinnerst du dich?
„Erinnerst du dich“, sagte Natasha mit einem nachdenklichen Lächeln, wie vor langer, langer Zeit, wir waren noch sehr jung, unser Onkel uns ins Büro rief, zurück in das alte Haus, und es war dunkel – wir kamen und plötzlich war es soweit Dort stehen ...
„Arap“, beendete Nikolai mit einem freudigen Lächeln, „wie kannst du dich nicht erinnern? Selbst jetzt weiß ich nicht, ob es ein Schwarzer war, ob wir es in einem Traum gesehen haben oder ob es uns gesagt wurde.
- Er war grau, erinnern Sie sich, und hatte weiße Zähne - er steht da und sieht uns an ...
Erinnerst du dich an Sonya? Nikolaus fragte...
„Ja, ja, ich erinnere mich auch an etwas“, antwortete Sonya schüchtern ...
„Ich habe meinen Vater und meine Mutter nach diesem Arap gefragt“, sagte Natasha. „Sie sagen, es gab keinen Arap. Aber du erinnerst dich!
- Wie, wie ich mich jetzt an seine Zähne erinnere.
Wie seltsam, es war wie ein Traum. Ich mag das.
- Erinnern Sie sich, wie wir im Flur Eier rollten und plötzlich zwei alte Frauen anfingen, auf dem Teppich zu drehen? War es oder nicht? Erinnern Sie sich, wie gut es war?
- Ja. Erinnern Sie sich, wie Papa im blauen Mantel auf der Veranda eine Waffe abfeuerte? - Sie sortierten die Erinnerungen, lächelten vor Vergnügen, nicht traurige alte, sondern poetische Jugenderinnerungen, diese Eindrücke aus der fernsten Vergangenheit, wo der Traum mit der Realität verschmilzt, und lachten leise und freuten sich über etwas.
Sonya blieb wie immer hinter ihnen zurück, obwohl ihre Erinnerungen gemeinsam waren.
Sonya erinnerte sich nicht an viel von dem, woran sie sich erinnerten, und was sie erinnerte, weckte in ihr nicht das poetische Gefühl, das sie erlebten. Sie genoss nur ihre Freude und versuchte, sie nachzuahmen.
Sie nahm erst teil, als sie sich an Sonyas ersten Besuch erinnerten. Sonya erzählte, dass sie Angst vor Nikolai hatte, weil er Kordeln an seiner Jacke hatte, und ihr Kindermädchen sagte ihr, dass sie sie auch in Kordeln nähen würden.
„Aber ich erinnere mich: Sie sagten mir, dass du unter Kohl geboren wurdest“, sagte Natascha, „und ich erinnere mich, dass ich es damals nicht zu glauben wagte, aber ich wusste, dass das nicht stimmte, und es war mir so peinlich.“
Während dieses Gesprächs ragte der Kopf des Dienstmädchens aus der Hintertür des Diwans. „Junge Dame, sie haben einen Hahn mitgebracht“, sagte das Mädchen flüsternd.
„Sag ihnen nicht, Polya, sie sollen es nehmen“, sagte Natasha.
Während im Sofazimmer Gespräche geführt wurden, betrat Dimmler den Raum und näherte sich der Harfe in der Ecke. Er nahm das Tuch ab und die Harfe gab einen falschen Klang von sich.

Es ist bekannt, dass die Erde kugelförmig ist; hat nicht die Form einer perfekten Kugel. Seine Form ist unregelmäßig und wie jeder rotierende Körper an den Polen leicht abgeflacht. Darüber hinaus weist die Erde aufgrund der ungleichmäßigen Verteilung der Massen terrestrischer Materie und globaler tektonischer Verformungen ausgedehnte, wenn auch eher flache Ausbuchtungen und Konkavitäten auf. Die komplexe Gestalt unseres Planeten, begrenzt durch die ebene Meeresoberfläche, wird Geoid genannt. Es ist fast unmöglich, seine Form genau zu bestimmen, aber moderne hochpräzise Messungen von Satelliten ermöglichen es, eine ziemlich gute Vorstellung davon zu bekommen und sie sogar mit einer Gleichung zu beschreiben.

Die beste geometrische Annäherung an die reale Gestalt der Erde bietet ein Rotationsellipsoid – ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn sich eine Ellipse um ihre Nebenachse dreht. Die Ellipsoidkontraktion simuliert die Kontraktion des Planeten in der Nähe der Pole. Die Abbildung zeigt, wie unterschiedlich die Meridianschnitte des Geoids und des Erdellipsoids sind.

Die im 18. Jahrhundert begonnene Berechnung und Verfeinerung der Abmessungen des Erdellipsoids dauert bis heute an. Dafür werden nun Satellitenbeobachtungen und genaue gravimetrische Messungen genutzt. Das ist keine leichte Aufgabe: Sie müssen eine geometrisch korrekte Figur berechnen – ein Referenzellipsoid, das sich am besten an das Geoid annähert und in Bezug auf das alle geodätischen Berechnungen und Kartenprojektionen berechnet werden. Viele Forscher kommen mit unterschiedlichen Ausgangsdaten und Berechnungsmethoden zu unterschiedlichen Ergebnissen. Daher hat es sich historisch so entwickelt, dass zu verschiedenen Zeiten und in verschiedenen Ländern verschiedene Ellipsoide übernommen und gesetzlich festgelegt wurden, deren Parameter jedoch nicht miteinander übereinstimmen.

In Russland wurde das 1940 berechnete Referenzellipsoid von F. N. Krasovsky übernommen. Seine Parameter sind wie folgt:

Halbhauptachse (a) – 6.378.245 m;

Halbachse (b) – 6.356.863 m;

Komprimierung a = (a – b) / a – 1: 298,3.

In den USA und Kanada wurde bis vor kurzem das Clark-Ellipsoid verwendet, das bereits 1866 berechnet wurde. Seine Hauptachse ist 39 m kürzer als beim russischen Ellipsoid und die Kompression wird mit 1:295,0 definiert. In vielen Ländern Westeuropas und einigen asiatischen Staaten wird das 1909 berechnete Hayford-Ellipsoid übernommen, und in den ehemaligen britischen Kolonien – in Indien und den Ländern Südasiens – wird das 1830 von den Briten berechnete Everest-Ellipsoid verwendet. 1984 wurde auf Basis von Satellitenmessungen das internationale Ellipsoid WGS-84 (World Geodetic System) berechnet. Insgesamt gibt es auf der Welt etwa eineinhalb Dutzend verschiedene Ellipsoide.

Karten, die auf der Grundlage verschiedener Ellipsoide erstellt wurden, werden in leicht unterschiedlichen Koordinatensystemen erhalten, was zu Unannehmlichkeiten führt. Um jedoch ein einziges internationales Ellipsoid zu übernehmen, ist es notwendig, die Koordinaten neu zu berechnen und alle Karten neu zusammenzustellen, und das ist eine langwierige, komplizierte und vor allem teure Angelegenheit.

Abweichungen fallen vor allem auf großmaßstäblichen Karten auf, wenn daraus die genauen Koordinaten von Objekten ermittelt werden. Auf Karten mittleren und kleinen Maßstabs, die von Geographen häufig verwendet werden, sind solche Unterschiede jedoch nicht sehr empfindlich. Außerdem wird manchmal eine Kugel anstelle eines Ellipsoids genommen und dann der Wert R = 6367,6 km als durchschnittlicher Erdradius angenommen. Die Fehler beim Ersetzen des Ellipsoids durch eine Kugel erweisen sich als so gering, dass sie auf den meisten geografischen Karten überhaupt nicht auftauchen.

§ 1. Die Form und Abmessungen der Erde

Durch zahlreiche Studien und Messungen konnte festgestellt werden, dass die Erde die Form eines mathematisch unregelmäßigen Körpers namens Geoid hat. Die Oberfläche, die das Geoid bildet, ist im Gegensatz zur physischen Erdoberfläche mit ihren Unregelmäßigkeiten (Berge, Senken etc.) an allen ihren Punkten horizontal, d. h. sie fällt mit der Normalen zur Schwerkraftrichtung zusammen und ist als ebene Fläche definiert. In der Natur entspricht eine solche ebene Oberfläche dem durchschnittlichen Wasserstand der Ozeane und offenen Meere in einem ruhigen Zustand (ohne Wellen, Strömungen, Gezeiten und andere Störfaktoren), gedanklich fortgesetzt unter allen Kontinenten. Die Unregelmäßigkeit des Geoids ist auf die ungleichmäßige Massenverteilung in der Erddicke zurückzuführen, von deren Anziehungswirkung die Richtung der Schwerkraft abhängt.
Theoretische Studien und die Ergebnisse der Verarbeitung astronomisch-geodätischer und gravimetrischer Messungen sowie die Ergebnisse der Beobachtung künstlicher Erdsatelliten zeigen, dass das Geoid einer mathematisch korrekten Figur nahe kommt – einem Rotationsellipsoid, das durch die Rotation eines entsteht Ellipse um ihre Nebenachse. Daher wird bei der Erstellung geodätischer, kartografischer und anderer Arbeiten, die eine hohe Genauigkeit erfordern, ein Rotationsellipsoid als Erdfigur verwendet.
Die Höhenabweichung der Geoidoberfläche von der Oberfläche des Erdellipsoids, die in der UdSSR übernommen wurde und im Erdkörper richtig dimensioniert und ausgerichtet ist, überschreitet nicht 100–150 m. Ein Rotationsellipsoid wird praktisch mit einem Sphäroid identifiziert. stellt die Gleichgewichtsfigur einer rotierenden homogenen flüssigen Masse dar. Die Höhenabweichung der Flächen des Rotationsellipsoids und des Sphäroids beträgt nicht mehr als 2–3 m.

Die Bestimmung der Abmessungen des Erdellipsoids, das der Figur der Erde als Ganzes am nächsten kommt, ist nach wie vor eine der Hauptaufgaben der höheren Geodäsie. Daher wird in verschiedenen Ländern die Verarbeitung der Ergebnisse geodätischer und topografischer Arbeiten als mathematische Hilfsfläche bezeichnet, die das Ellipsoid der Erde mit den für ein bestimmtes Land angenommenen Abmessungen darstellt. Ein Ellipsoid mit einer bestimmten Größe, auf dessen Oberfläche alle Ergebnisse geodätischer und topographischer Arbeiten im Staat bezogen werden, wird als Referenzellipsoid bezeichnet.
Die Hauptelemente, die die Abmessungen des Erdellipsoids bestimmen, sind seine Halbachsen: große a und kleine b. Darüber hinaus werden zur Charakterisierung des Erdellipsoids sowie für einige Berechnungen die folgenden Konzepte verwendet: Polarkompression α des Erdellipsoids, ausgedrückt durch die Formel
α \u003d a - b / a, (1 Formel)
und seine Exzentrizität (e), bestimmt durch den Ausdruck
e \u003d √ a 2 - b 2 / a (2 Formel)
Seit 1946 wird für alle geodätischen und kartografischen Arbeiten auf dem Territorium der UdSSR das Referenzellipsoid von F. N. Krasovsky mit den Abmessungen übernommen:
- große Halbachse a = 6 378 245 m;
- Halbachse b = 6 356 863 m;
- polare Kompression α = 1:298,3;
- Quadrat der Exzentrizität e 2 =1:149,15.

Bei der Ableitung der Abmessungen des Referenzellipsoids arbeitete eine Gruppe von Wissenschaftlern, Geodäten, Topographen und Rechnern unter der Leitung von Professor F.N. Länder. Die Abmessungen von Krasovskys Referenzellipsoid werden auch durch die Ergebnisse der in den letzten Jahren durchgeführten Verarbeitungsbeobachtungen künstlicher Erdsatelliten bestätigt.
Die Ausrichtung des Erdellipsoids im Erdkörper mit den entsprechenden Abmessungen der Halbachsen und Kompression wird durch die sogenannten geodätischen Anfangsdaten charakterisiert. Anfängliche geodätische Daten sind die Koordinaten des Startpunkts der Triangulation, die dessen Breitengrad B 0 , Längengrad L 0 , Azimut A 0 zu jedem benachbarten Punkt und Höhe h 0 der Geoidoberfläche relativ zur Oberfläche des Referenzellipsoids bestimmen.
Diese Daten werden als Startdaten bei der Berechnung der Koordinaten aller anderen Punkte auf der Erdoberfläche verwendet.
Bei Verwendung von Fremdsprachen Bei der Erstellung von Karten ist zu bedenken, dass verschiedene Länder unterschiedliche anfängliche geodätische Daten übernommen haben. Daher können dieselben Punkte auf in verschiedenen Ländern veröffentlichten Karten unterschiedliche Koordinaten haben. Obwohl dieser Unterschied gering sein mag, muss er bei der Navigation berücksichtigt werden und die Übertragung des Schiffsortes von einer Karte auf eine andere sollte beim Segeln in Küstennähe nicht nach geografischen Koordinaten, sondern nach Richtung und Entfernung erfolgen der nächstgelegene Stützpunkt auf beiden Karten.
Die Annahme der Erde als Rotationsellipsoid ist im Wesentlichen die zweite Näherung zur Bestimmung der Gestalt der Erde. Bei der Lösung einiger Probleme der praktischen Navigation, die keine hohe Genauigkeit erfordern, beschränkt man sich bei der Bestimmung der Form der Erde auf die erste Näherung – die Erde für eine Kugel zu halten. Zu diesen Aufgaben gehören die Berechnung der Sichtweite von Orientierungspunkten im Meer, Berechnungen für die Navigation auf kürzester Distanz, analytische Berechnungen bei der Positionsbestimmung mithilfe von Funkpeilungen, Berechnungen mithilfe analytischer Berechnungsformeln und einige andere.
Um den Radius der Erde zu bestimmen, gehen wir normalerweise von einigen zusätzlichen Bedingungen aus.
Eine davon ist die Bedingung, dass die Länge einer Minute des Meridianbogens (oder eines beliebigen Großkreises auf der Kugel) 1852 m entsprechen muss, d. h. der Länge einer Standard-Seemeile. In diesem Fall ist der Radius des Balls, der die angegebene Bedingung erfüllt, gleich
R \u003d 1852 * 60 * 360 / 2 π \u003d 6 366 707 m.
Bei der Lösung einer Reihe kartografischer Probleme wird die Bedingung gestellt, dass das Volumen des Globus gleich dem Volumen des Erdellipsoids ist oder dass die Oberfläche der Kugel gleich der Oberfläche des Ellipsoids ist. Die Länge des Radius R der Kugel, die das gleiche Volumen wie das Ellipsoid der Erde hat, ist gleich
R = Kubikwurzel √ (a 2 * b) = 6371109,7 m.
Wenn die Bedingung gestellt wird, dass die Oberfläche der Kugel gleich der Oberfläche des Ellipsoids ist, wird der Radius einer solchen Kugel gleich angenommen

wobei M der Krümmungsradius des Meridians ist; N ist der Krümmungsradius der ersten Vertikalen an einem bestimmten Punkt.

§ 2. Geographisches Koordinatensystem

Die Position eines Punktes auf einer beliebigen Oberfläche oder im Raum wird durch eine Reihe spezifischer Größen, sogenannte Koordinaten, bestimmt. Koordinaten können sowohl in linearen als auch in Winkelmaßen ausgedrückt werden; Sie bestimmen die Lage der Koordinatenlinien relativ zu den Koordinaten, die als Ursprung der Achsen dienen. Um die Position von Punkten auf der Erdoberfläche zu bestimmen, können verschiedene Koordinatensysteme verwendet werden: geografische, rechteckige, polare usw. Am gebräuchlichsten ist das System der geografischen Koordinaten.
Die Nebenachse des Ellipsoids schneidet dessen Oberfläche an zwei Punkten, die als Nord- und Südpol bezeichnet werden. Die durch die Rotationsachse der Erde verlaufenden Ebenen werden als Ebenen der Erdmeridiane bezeichnet, die im Querschnitt mit der Erdoberfläche große Kreise, sogenannte Meridiane, bilden. Die Ebene senkrecht zur Erdachse, die durch den Mittelpunkt des Ellipsoids verläuft, wird Äquatorialebene genannt. Der Großkreis, der sich aus dem Schnittpunkt dieser Ebene mit der Oberfläche des Ellipsoids bildet, wird Erdäquator genannt. Ebenen parallel zur Ebene des Erdäquators bilden im Querschnitt mit der Erdoberfläche kleine Kreise, die Erdparallelitäten genannt werden.

Die Koordinatenachsen des geografischen Koordinatensystems sind: der Äquator und einer der Meridiane, der als Anfangsmeridian gilt; Die Koordinatenlinien sind die Parallelen und Meridiane der Erde und die Größen, die die Position der Punkte bestimmen, d. h. die Koordinaten, die geografische Breite und die geografische Länge.
Die geografische Breite eines Punktes auf der Erdoberfläche ist der Winkel zwischen der Flächennormalen des Ellipsoids an diesem Punkt und der Äquatorebene. Die geografische Breite in der Navigation wird durch den griechischen Buchstaben φ (phi) angegeben. Die Breitengrade werden vom Äquator bis zu den Polen von 0 bis 90° gezählt. Die Breitengrade der Nordhalbkugel gelten als positiv und werden in analytischen Berechnungen mit einem Pluszeichen versehen. Nördliche Breitengrade werden mit dem Buchstaben N bezeichnet. Die Breitengrade von Punkten auf der Südhalbkugel, die mit dem Buchstaben S bezeichnet werden, gelten als negativ und erhalten ein Minuszeichen.
Der geografische Breitengrad bestimmt die Position der Breite, auf der sich der zu bestimmende Punkt befindet.
Die geografische Länge eines Punktes ist der Diederwinkel, der zwischen der Ebene des Anfangsmeridians und der Ebene des Meridians, die durch diesen Punkt verläuft, gebildet wird. Der Diederwinkel wird durch den sphärischen Winkel am Pol zwischen dem Anfangsmeridian und dem Meridian des bestimmten Punktes oder dem diesem numerisch gleichen Äquatorbogen gemessen, der zwischen den genannten Meridianen eingeschlossen ist.
Als Anfangsmeridian kann grundsätzlich jeder Erdmeridian gelten. Gemäß dem internationalen Abkommen von 1884 akzeptierten die meisten Länder der Welt, einschließlich der Sowjetunion, den durch das Greenwich Observatory in der Nähe von London verlaufenden Meridian als Anfangsmeridian.
Geografische Längengrade werden östlich und westlich des Greenwich-Meridians von 0 bis 180° gezählt. Die geografische Länge wird in der Navigation mit dem griechischen Buchstaben λ (Lambda) angegeben. Längengrade von Punkten auf der Osthalbkugel gelten als positiv (Pluszeichen), westliche Längengrade gelten als negativ (Minuszeichen). Bei der Bestimmung des Längengrads eines bestimmten Punktes auf der Erdoberfläche ist die Angabe seines Namens erforderlich: Ost - Ost oder, wie heute üblich, E, West - W. Abhängig von der Methode zur Berechnung geografischer Koordinaten, geodätischer und astronomischer Koordinaten Werden unterschieden.
Bei der geometrischen Definition geodätischer Koordinaten, die durch geodätische Messungen (Triangulation, Polygonometrie) gewonnen werden, gibt es keinen Unterschied zur allgemeinen Formulierung geografischer Koordinaten. Die durch geodätische Breite und geodätische Länge festgelegten Standorte von Punkten beziehen sich ebenfalls auf eine mathematisch korrekte ellipsoide Rotationsfigur.
Bei der astronomischen Ortsbestimmung hat der Beobachter es mit einer Lotlinie zu tun, die mit der Richtung der Schwerkraft zusammenfällt und nicht mit der Normalen zur Oberfläche des Ellipsoids. Daher wird im astronomischen Koordinatensystem der Breitengrad als der Winkel zwischen der Äquatorebene und der Richtung der Lotlinie an einem bestimmten Punkt definiert. Der mit einer astronomischen Methode bestimmte Längengrad eines Ortes ist der Diederwinkel zwischen der Ebene des Nullmeridians (Greenwich-Meridian) und der Ebene des astronomischen Meridians des gegebenen Punktes. Der verwendete Begriff - astronomischer Meridian - muss als Spur des Abschnitts der Erdoberfläche durch eine Ebene verstanden werden, die durch ein Lot an einem bestimmten Punkt und parallel zur Weltachse verläuft. Aus der Definition astronomischer Koordinaten ist ersichtlich, dass sie im Gegensatz zu geodätischen Koordinaten die Position von Punkten relativ zur Oberfläche der realen Figur des Erdgeoids festlegen.

Die Normale zur Oberfläche des Erdellipsoids verläuft im Allgemeinen nicht durch den Erdmittelpunkt. Gleichzeitig wird es bei der Lösung astronomischer Probleme sowie einer Reihe spezieller Probleme der mathematischen Kartographie erforderlich, die Position von Punkten auf der Erdoberfläche relativ zum Erdmittelpunkt zu bestimmen. In diesem Fall wird der Längengrad eines beliebigen Punktes K auf die gleiche Weise wie im geografischen Koordinatensystem bestimmt und der Breitengrad als Winkel zwischen der Äquatorialebene und der Geraden erhalten, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt verbindet Ellipsoid. Ein solcher Breitengrad wird als geozentrischer Breitengrad bezeichnet und mit φ" bezeichnet. Die Abbildung zeigt, dass der geozentrische Breitengrad im Allgemeinen um die Verringerung r des Breitengrads, die mit der Formel berechnet werden kann, kleiner als der geografische Breitengrad ist
r "" \u003d φ - φ" \u003d α sin 2 φ / arc 1 "" (3. Formel)
Für Punkte am Äquator und am Pol beträgt die Breitengradverringerung Null. Die Reduzierung erreicht ihren größten Wert (11,5") bei einem Breitengrad von 45°.
In Fällen, in denen die Form der Erde als Kugel angenommen wird, wird die Position von Punkten auf der Erdkugel auf die gleiche Weise wie auf der Oberfläche eines Ellipsoids durch ihre geografischen Koordinaten, d. h. Breiten- und Längengrad, bestimmt. Aber die Normale auf dem Erdball stimmt mit seinem Radius überein.
Daher ist die geografische Breite φ eines Punktes M auf dem Globus der Winkel im Mittelpunkt der Kugel zwischen der Äquatorialebene und dem Radius, der durch den zu bestimmenden Punkt verläuft. Aus einem Vergleich der Breitengraddefinitionen lässt sich erkennen, dass der geozentrische Breitengrad nur ein Sonderfall des sphärischen Breitengrads ist.

Kapitel 1

§ 3. Breitengradunterschied und Längengradunterschied

Geografische Koordinaten – Breiten- und Längengrad – bestimmen eindeutig die Position eines bestimmten Punktes auf der Erdoberfläche. Der Übergang von einem Punkt auf der Erdoberfläche zu einem anderen geht mit einer Änderung ihrer geografischen Koordinaten einher. Punkte, die auf derselben Parallele liegen, haben den gleichen Breitengrad und unterschiedliche Längengrade. Punkte, die auf demselben Meridian liegen, haben den gleichen Längengrad und unterschiedliche Breitengrade. Im Allgemeinen haben zwei Punkte, die nicht auf demselben Meridian oder auf derselben Parallele liegen, unterschiedliche Breiten- und Längengrade. In der Navigationspraxis ist es oft notwendig zu wissen, wie sich geografische Koordinaten bei der Bewegung von einem Punkt auf der Erdoberfläche zu einem anderen geändert haben oder ändern werden, und diese Änderungen berechnen zu können. Die Werte, die die Änderung der geografischen Koordinaten beim Übergang von einem Punkt auf der Erdoberfläche zu einem anderen charakterisieren, sind der Breitengradunterschied und der Längengradunterschied.
Der Breitengradunterschied (RS) zweier Punkte auf der Erdoberfläche ist der zwischen den Parallelen dieser Punkte eingeschlossene Meridianbogen.
Um den Breitengradunterschied zu berechnen, verwenden Sie die Formel
RSh \u003d φ 2 - φ 1,
unter Berücksichtigung der Zeichen + und - bzw. ihres Namens. Tatsächlich zeigt die Abbildung, dass die Änderung der Breite (RL) während des Übergangs des Schiffes von Punkt A zu Punkt B durch den Bogen A „B“ gekennzeichnet ist, der numerisch gleich der Differenz zwischen den Bögen der Meridiane der Ankunftspunkte ist B und Abfahrt A, jeweils bestimmt durch die Breiten φ B und φ A.
Dem nach Formel (4) berechneten Breitengradunterschied wird ein Pluszeichen zugewiesen, wenn er auf N eingestellt wird, und ein Minuszeichen, wenn der Breitengradunterschied auf S festgelegt wird. Der Breitengradunterschied kann zwischen 0 und ±180° variieren.
Der Längengradunterschied (RD), der die Längengradänderung charakterisiert, ist, wie aus der Abbildung ersichtlich, der Mittelpunktswinkel zwischen den Meridianen zweier Punkte. Dieser Winkel wird durch den Äquatorbogen zwischen den angegebenen Meridianen gemessen. Auf dieser Grundlage ist der Unterschied zwischen den Längengraden zweier Punkte auf der Erdoberfläche der kleinste der Äquatorbögen, die zwischen den Meridianen dieser Punkte eingeschlossen sind. Aus dieser Definition folgt, dass der Längengradunterschied Werte von 0 bis ±180° annehmen kann. Unter Berücksichtigung der zuvor akzeptierten Notation (Pluszeichen für östlichen Längengrad und Minuszeichen für westlichen Längengrad) können wir eine Formel zur Berechnung der RD zweier Punkte schreiben:
RD \u003d λ 2 - λ 1
Der Längengradunterschied hat ein Pluszeichen, wenn er auf Ost ausgerichtet ist, und ein Minuszeichen, wenn er auf W ausgerichtet ist. Diese Regel hat die folgende geometrische Bedeutung: Wenn der Meridian des Ankunftspunkts λ 2 östlich des Meridians liegt des Ausgangspunkts λ 1, dann wird die Längendifferenz zu Оst gemacht und ihr ein Pluszeichen zugewiesen. Wenn umgekehrt der Meridian des Ankunftspunkts westlich des Meridians des Ausgangspunkts liegt, wird der Längengradunterschied zu W gemacht und ihm ein Minuszeichen zugewiesen.

Bei der Lösung des Problems der Berechnung des RD mithilfe der Formel kann ein Ergebnis über 180° erhalten werden. Um in diesen Fällen den kleineren der Äquatorbögen zu finden, sollte das erhaltene Ergebnis von 360° subtrahiert und sein Vorzeichen (Name) umgekehrt werden.

Parameter des Erdellipsoids

Das Erdellipsoid hat drei Hauptparameter, von denen jeweils zwei seine Form eindeutig bestimmen:

Es gibt auch andere Parameter des Ellipsoids:

Für die praktische Umsetzung des Erdellipsoids ist es notwendig im Körper der Erde orientieren. Dabei wird eine allgemeine Bedingung aufgestellt: Die Orientierung muss so erfolgen, dass die Unterschiede in astronomischen und geodätischen Koordinaten minimal sind.

Referenzellipsoid

Die Figur des Referenzellipsoids eignet sich am besten für das Territorium eines einzelnen Landes oder mehrerer Länder. Für die Verarbeitung geodätischer Messungen werden in der Regel Referenzellipsoide akzeptiert. per Gesetz. In Russland/UdSSR wird seit dem Jahr das Krasovsky-Ellipsoid verwendet.

Für die Ausrichtung des Referenzellipsoids im Erdkörper gelten folgende Anforderungen:

1. Die kleine Halbachse des Ellipsoids ( B) muss parallel zur Rotationsachse der Erde sein.
2. Die Oberfläche des Ellipsoids sollte innerhalb des angegebenen Bereichs möglichst nahe an der Oberfläche des Geoids liegen.

Um das Referenzellipsoid im Erdkörper zu fixieren, ist es notwendig, die geodätischen Koordinaten festzulegen B0, L0, H0 der Startpunkt des geodätischen Netzes und der Anfangsazimut A0 zu einem benachbarten Punkt. Die Gesamtheit dieser Größen heißt ursprüngliche geodätische Daten.

Grundlegende Referenzellipsoide und ihre Parameter

Allgemeines Erdellipsoid

Das allgemeine Erdellipsoid muss im Erdkörper nach folgenden Anforderungen ausgerichtet sein:

Bei der Ausrichtung des allgemeinen Erdellipsoids im Erdkörper ist (im Gegensatz zum Referenzellipsoid) keine Eingabe anfänglicher geodätischer Daten erforderlich.

Da die Anforderungen an allgemeine Erdellipsoide in der Praxis mit einigen Toleranzen erfüllt werden und die Erfüllung der letzteren (3) vollständig unmöglich ist, können in der Geodäsie und verwandten Wissenschaften verschiedene Implementierungen des Ellipsoids verwendet werden, deren Parameter liegen sehr nahe beieinander, stimmen aber nicht überein (siehe unten).

Moderne allgemeine Erdellipsoide und ihre Parameter