Berechnung partieller Ableitungen von Funktionen online. Partielle Ableitungen erster Ordnung. volles Differenzial. Probleme mit einer trigonometrischen Funktion und einer Funktion mit drei Variablen

Und Sie müssen nichts suchen: In unserem separaten Artikel haben wir bereits alles vorbereitet, damit Sie es tun können. Lassen Sie uns nun über partielle Ableitungen sprechen.

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Funktion von zwei oder mehr Variablen

Bevor wir über partielle Ableitungen sprechen, müssen wir auf das Konzept einer Funktion mehrerer Variablen eingehen, ohne das eine partielle Ableitung keinen Sinn ergibt. In der Schule sind wir es gewohnt, mit Funktionen einer Variablen umzugehen:

Wir haben bereits Ableitungen solcher Funktionen betrachtet. Der Graph einer Funktion einer Variablen ist eine Linie auf einer Ebene: eine Gerade, eine Parabel, eine Hyperbel usw.

Was wäre, wenn wir eine weitere Variable hinzufügen würden? Sie erhalten eine Funktion wie diese:

Dies ist eine Funktion zweier unabhängiger Variablen X Und j. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum: eine Kugel, ein Hyperboloid, ein Paraboloid oder ein anderes sphärisches Pferd im Vakuum. Partielle Ableitungsfunktionen z für x bzw. y werden wie folgt geschrieben:

Es gibt auch Funktionen von drei oder mehr Variablen. Zwar ist es unmöglich, einen Graphen einer solchen Funktion zu zeichnen: Dazu wäre mindestens ein vierdimensionaler Raum erforderlich, der nicht dargestellt werden kann.

Partielle Ableitung erster Ordnung

Denken Sie an die Hauptregel:

Bei der Berechnung der partiellen Ableitung nach einer der Variablen wird die zweite Variable als Konstante angenommen. Ansonsten ändern sich die Regeln zur Berechnung der Ableitung nicht.

Das heißt, die partielle Ableitung unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der üblichen. Halten Sie also die Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen und die Regeln zur Berechnung gewöhnlicher Ableitungen vor Augen. Schauen wir uns ein Beispiel an, um es ganz deutlich zu machen. Nehmen wir an, Sie möchten die partiellen Ableitungen erster Ordnung der folgenden Funktion berechnen:

Zuerst nehmen wir die partielle Ableitung nach x und betrachten y als gewöhnliche Zahl:

Nun betrachten wir die partielle Ableitung nach y und nehmen x als Konstante:

Wie Sie sehen, ist dies nicht kompliziert und der Erfolg bei komplexeren Beispielen ist nur eine Frage der Übung.

Partielle Ableitung zweiter Ordnung

Was ist die partielle Ableitung zweiter Ordnung? Genau wie das erste. Um partielle Ableitungen zweiter Ordnung zu finden, müssen Sie lediglich die Ableitung der Ableitung erster Ordnung bilden. Kehren wir zum obigen Beispiel zurück und berechnen die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung.

Nach Spiel:

Partielle Ableitungen dritter und höherer Ordnung unterscheiden sich im Berechnungsprinzip nicht. Lassen Sie uns die Regeln organisieren:

1. Bei der Differenzierung nach einer unabhängigen Variablen wird die zweite als Konstante angenommen.
2. Die Ableitung zweiter Ordnung ist die Ableitung der Ableitung erster Ordnung. Die dritte Ordnung ist die Ableitung der zweiten Ordnung usw.

Partielle Ableitungen und totales Differential einer Funktion

Eine häufige Frage bei praktischen Aufgaben ist die Bestimmung des totalen Differentials einer Funktion. Für eine Funktion mehrerer Variablen ist das Gesamtdifferential als der lineare Hauptteil des kleinen Gesamtinkrements der Funktion in Bezug auf die Inkremente der Argumente definiert.

Die Definition klingt umständlich, aber mit Buchstaben ist alles einfacher. Das gesamte Differential erster Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen sieht folgendermaßen aus:

Wenn man weiß, wie partielle Ableitungen berechnet werden, ist die Berechnung des Gesamtdifferentials kein Problem.

Partielle Ableitungen sind kein so nutzloses Thema. Beispielsweise werden partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung häufig zur mathematischen Beschreibung realer physikalischer Prozesse verwendet.

Hier haben wir nur eine allgemeine, oberflächliche Vorstellung von partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung gegeben. Interessieren Sie sich für dieses Thema oder haben Sie konkrete Fragen? Fragen Sie sie in den Kommentaren und kontaktieren Sie die Experten des professionellen Studierendenservices für qualifizierte und schnelle Hilfe im Studium. Bei uns werden Sie mit dem Problem nicht allein gelassen!

Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , in einem bestimmten Intervall angegeben (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Argumentwechsel – Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit auf einmal herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Nehmen Sie die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Darüber hinaus muss es getan werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik in der Regel Folgendes an: Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Hier ist es wichtig, etwas über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sagen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument mit der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit bei der Lösung der schwierigsten Steuerungs- und Bewältigungsaufgaben, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

Das allgemeine Prinzip, partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion von drei Variablen zu finden, ähnelt dem Prinzip, partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion von zwei Variablen zu finden.

Um die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung zu finden, müssen Sie zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung finden oder, in einer anderen Schreibweise:

Es gibt neun partielle Ableitungen zweiter Ordnung.

Die erste Gruppe sind die zweiten Ableitungen nach denselben Variablen:

Oder – die zweite Ableitung nach „x“;

Oder – die zweite Ableitung nach „y“;

Oder - die zweite Ableitung nach „z“.

Die zweite Gruppe ist gemischt partielle Ableitungen 2. Ordnung, davon gibt es sechs:

Oder - gemischt Ableitung „nach x y“;

Oder - gemischt Ableitung „nach y x“;

Oder - gemischt Ableitung „von x z“;

Oder - gemischt Ableitung „po zet x“;

Oder - gemischt Ableitung „nach Spiel z“;

Oder - gemischt Ableitung „po z y“.

Wie bei einer Funktion zweier Variablen kann man sich bei der Lösung von Problemen auf die folgenden Gleichheiten gemischter Ableitungen zweiter Ordnung konzentrieren:

Hinweis: Streng genommen ist dies nicht immer der Fall. Für die Gleichheit gemischter Derivate ist es notwendig, das Erfordernis ihrer Kontinuität zu erfüllen.

Nur für den Fall, ein paar Beispiele, wie man diese Schande laut vorlesen kann:

- „zwei Schläge zweimal im Jahr“;

- „de two y po de zet quadrat“;

- „zwei Striche auf x auf z“;

- „de two y po de z po de y“.

Beispiel 10

Finden Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für eine Funktion von drei Variablen:

.

Lösung: Zunächst finden wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „y“:

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „x“:

Gleichberechtigung ist geschaffen. Bußgeld.

Wir beschäftigen uns mit dem zweiten Paar gemischter Ableitungen.

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „z“:

Wir nehmen die gefundene Ableitung

und differenziere es durch „x“:

Gleichberechtigung ist geschaffen. Bußgeld.

Ebenso befassen wir uns mit dem dritten Paar gemischter Ableitungen:

Gleichberechtigung ist geschaffen. Bußgeld.

Nach getaner Arbeit ist garantiert, dass wir erstens alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung richtig gefunden haben und zweitens auch die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung richtig gefunden haben.

Es müssen noch drei weitere partielle Ableitungen zweiter Ordnung gefunden werden. Um Fehler zu vermeiden, sollten Sie sich hier so weit wie möglich konzentrieren:

Bereit. Auch hier ist die Aufgabe weniger schwierig als vielmehr umfangreich. Die Lösung kann abgekürzt und als Gleichheit gemischter partieller Ableitungen bezeichnet werden, in diesem Fall erfolgt jedoch keine Überprüfung. Es ist also besser, sich die Zeit zu nehmen und herauszufinden Alle Ableitungen (außerdem kann dies vom Lehrer verlangt werden) oder im Extremfall eine Überprüfung auf einem Entwurf.

Beispiel 11

Finden Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für eine Funktion von drei Variablen

.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:Lösung:

Beispiel 4:Lösung: Finden wir partielle Ableitungen erster Ordnung.

Wir bilden das totale Differential erster Ordnung:

Beispiel 6:Lösung: M(1, -1, 0):

Beispiel 7:Lösung: Berechnen wir an diesem Punkt die partiellen Ableitungen erster OrdnungM(1, 1, 1):

Beispiel 9:Lösung:

Beispiel 11:Lösung: Finden wir partielle Ableitungen erster Ordnung:

Finden wir partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

.

Integrale

8.1. Unbestimmtes Integral. Detaillierte Lösungsbeispiele

Beginnen wir mit dem Studium des Themas Unbestimmtes Integral", und analysieren Sie auch im Detail Beispiele für Lösungen der einfachsten (und nicht ganz) Integrale. Wie üblich beschränken wir uns auf die Minimaltheorie, die in zahlreichen Lehrbüchern steht, unsere Aufgabe ist es zu lernen, wie man Integrale löst.

Was müssen Sie wissen, um das Material erfolgreich zu beherrschen? Um mit der Integralrechnung zurechtzukommen, muss man zumindest auf durchschnittlichem Niveau Ableitungen finden können. Es wird keine überflüssige Erfahrung sein, wenn Sie mehrere Dutzend oder besser hundert unabhängig voneinander gefundene Derivate hinter sich haben. Zumindest sollte Sie die Aufgabe, die einfachsten und gebräuchlichsten Funktionen zu unterscheiden, nicht verwirren.

Es scheint, wo sind überhaupt die Ableitungen, wenn der Artikel sich auf Integrale konzentriert?! Und hier ist die Sache. Tatsache ist, dass das Finden von Ableitungen und das Finden unbestimmter Integrale (Differenzierung und Integration) zwei zueinander inverse Vorgänge sind, wie etwa Addition/Subtraktion oder Multiplikation/Division. Ohne Geschick und Erfahrung in der Suche nach Derivaten kann man daher leider nicht weiterkommen.

In diesem Zusammenhang benötigen wir folgende methodische Materialien: Ableitungstabelle Und Tabelle der Integrale.

Was ist die Schwierigkeit beim Studium unbestimmter Integrale? Wenn es bei Ableitungen streng 5 Differenzierungsregeln, eine Ableitungstabelle und einen ziemlich klaren Aktionsalgorithmus gibt, dann ist bei Integralen alles anders. Es gibt Dutzende von Integrationsmethoden und -techniken. Und wenn die Integrationsmethode ursprünglich falsch gewählt wurde (das heißt, Sie wissen nicht, wie man sie löst), kann das Integral tagelang buchstäblich „gestochen“ werden, wie ein echter Rebus, und versucht, verschiedene Tricks und Tricks zu bemerken. Manche mögen es sogar.

Übrigens haben wir von Studenten (nicht Geisteswissenschaften) ziemlich oft eine Meinung gehört wie: „Ich hatte nie ein Interesse daran, den Grenzwert oder die Ableitung zu lösen, aber Integrale sind eine ganz andere Sache, es ist spannend, da ist immer der Wunsch da.“ „ein komplexes Integral brechen“ . Stoppen. Genug des schwarzen Humors, kommen wir zu diesen sehr unbestimmten Integralen.

Da es viele Lösungsmöglichkeiten gibt, stellt sich die Frage: Wo fängt eine Teekanne mit der Untersuchung unbestimmter Integrale an? In der Integralrechnung gibt es unserer Meinung nach drei Säulen bzw. eine Art „Achse“, um die sich alles andere dreht. Zunächst sollten Sie die einfachsten Integrale (dieser Artikel) gut verstehen.

Dann müssen Sie die Lektion im Detail ausarbeiten. Das ist der wichtigste Empfang! Vielleicht sogar der wichtigste Artikel aller Artikel zum Thema Integrale. Und drittens unbedingt lesen Integration in Teilstücken, weil es eine breite Klasse von Funktionen integriert. Wenn Sie mindestens diese drei Lektionen beherrschen, dann sind es bereits „nicht zwei“. Es kann Ihnen verziehen werden, wenn Sie es nicht wissen Integrale trigonometrischer Funktionen, Integrale von Brüchen, Integrale gebrochener rationaler Funktionen, Integrale irrationaler Funktionen (Wurzeln), aber wenn Sie bei der Ersetzungsmethode oder der Teileintegration-Methode „in eine Pfütze geraten“, dann wird es sehr, sehr schlecht sein.

Fangen wir also einfach an. Schauen wir uns die Tabelle der Integrale an. Wie bei Ableitungen bemerken wir mehrere Integrationsregeln und eine Tabelle mit Integralen einiger Elementarfunktionen. Jedes tabellarische Integral (und tatsächlich jedes unbestimmte Integral) hat die Form:

Kommen wir gleich zur Notation und den Begriffen:

- Integrales Symbol.

- Integrandenfunktion (geschrieben mit dem Buchstaben „s“).

– Differentialsymbol. Was es ist, werden wir uns sehr bald überlegen. Die Hauptsache ist, dass es beim Schreiben des Integrals und während der Lösung wichtig ist, dieses Symbol nicht zu verlieren. Es wird einen auffälligen Fehler geben.

ist der Integrand oder die „Füllung“ des Integrals.

– Stammfunktion Funktion.

– . Es besteht keine Notwendigkeit, sich mit Begriffen zu belasten. Das Wichtigste dabei ist, dass in jedem unbestimmten Integral der Antwort eine Konstante hinzugefügt wird.

Ein unbestimmtes Integral zu lösen bedeutet, zu findenSatz von Stammfunktionen aus dem gegebenen Integranden

Schauen wir uns den Eintrag noch einmal an:

Schauen wir uns die Tabelle der Integrale an.

Was ist los? Unsere linken Teile drehen sich zu anderen Funktionen: .

Vereinfachen wir unsere Definition:

Lösen Sie das unbestimmte Integral - es bedeutet, es in eine unbestimmte (bis hin zu einer konstanten) Funktion umzuwandeln , unter Verwendung einiger Regeln, Techniken und einer Tabelle.

Nehmen wir zum Beispiel das Tabellenintegral . Was ist passiert? Der symbolische Datensatz hat sich in eine Reihe von Stammfunktionen verwandelt.

Um zu lernen, wie man Integrale findet, ist es wie bei Ableitungen nicht notwendig, zu wissen, was ein Integral oder eine Stammfunktion aus theoretischer Sicht ist. Es genügt, Transformationen nach einigen formalen Regeln durchzuführen. Also für den Fall Es ist überhaupt nicht notwendig zu verstehen, warum das Integral genau wird. Sie können diese und andere Formeln als selbstverständlich betrachten. Jeder nutzt Strom, aber nur wenige Menschen denken darüber nach, wie Elektronen entlang der Drähte fließen.

Da Differentiation und Integration gegensätzliche Operationen sind, gilt für jede korrekt gefundene Stammfunktion Folgendes:

Mit anderen Worten: Wenn die richtige Antwort differenziert wird, muss der ursprüngliche Integrand erhalten werden.

Kehren wir zum gleichen Tabellenintegral zurück .

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel überprüfen. Wir bilden die Ableitung der rechten Seite:

ist der ursprüngliche Integrand.

Ganz nebenbei wurde klarer, warum einer Funktion immer eine Konstante zugeordnet wird. Beim Differenzieren geht eine Konstante immer in Null über.

Lösen Sie das unbestimmte Integral es bedeutet finden ein Haufen alle Stammfunktionen und keine einzelne Funktion. Im betrachteten tabellarischen Beispiel sind , , , usw. alle diese Funktionen die Lösung des Integrals . Es gibt unendlich viele Lösungen, deshalb schreiben sie kurz:

Daher ist jedes unbestimmte Integral leicht zu überprüfen. Dies ist eine gewisse Kompensation für eine große Anzahl von Integralen unterschiedlichen Typs.

Kommen wir zu konkreten Beispielen. Beginnen wir, wie beim Studium der Ableitung, mit zwei Integrationsregeln:

- konstant C kann (und sollte) aus dem Integralzeichen herausgenommen werden.

– Das Integral der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) zweier Integrale. Diese Regel gilt für beliebig viele Begriffe.

Wie Sie sehen, gelten grundsätzlich dieselben Regeln wie für Derivate. Manchmal werden sie aufgerufen Linearitätseigenschaften Integral.

Beispiel 1

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Lösung: Es ist bequemer, es so zu konvertieren.

(1) Anwendung der Regel . Vergessen Sie nicht, das Differentialsymbol aufzuschreiben dx unter jedem Integral. Warum unter jedem? dxist ein voller Multiplikator. Wenn Sie detailliert malen, sollte der erste Schritt wie folgt geschrieben werden:

.

(2) Gemäß der Regel Wir nehmen alle Konstanten aus den Vorzeichen der Integrale heraus. Beachten Sie das im letzten Semester tg 5 ist eine Konstante, wir nehmen sie auch heraus.

Darüber hinaus bereiten wir in diesem Schritt die Wurzeln und Grade für die Integration vor. Ebenso wie bei der Differenzierung müssen die Wurzeln in der Form dargestellt werden . Wurzeln und Grade, die im Nenner stehen, rücken nach oben.

Notiz: Im Gegensatz zu Ableitungen müssen Wurzeln in Integralen nicht immer auf die Form reduziert werden , und verschieben Sie die Gradzahl nach oben.

Zum Beispiel, - Dies ist ein vorgefertigtes tabellarisches Integral, das bereits vor Ihnen berechnet wurde, und alle möglichen chinesischen Tricks mögen völlig unnötig. Ähnlich: - Dies ist auch ein tabellarisches Integral, es macht keinen Sinn, einen Bruch in der Form darzustellen . Studieren Sie die Tabelle sorgfältig!

(3) Alle Integrale sind tabellarisch. Wir führen die Transformation anhand der Tabelle mit den Formeln durch: , Und

für eine Potenzfunktion - .

Es ist zu beachten, dass das Tabellenintegral ein Sonderfall der Formel für eine Potenzfunktion ist: .

Konstante C Fügen Sie es einfach einmal am Ende des Ausdrucks hinzu

(anstatt sie nach jedem Integral zu setzen).

(4) Wir schreiben das erhaltene Ergebnis in eine kompaktere Form, wenn alle Grade der Form vorliegen

wieder als Wurzeln darstellen, und die Potenzen mit negativem Exponenten werden auf den Nenner zurückgesetzt.

Untersuchung. Um die Prüfung durchzuführen, müssen Sie die erhaltene Antwort differenzieren:

Anfänglich Integrand, d. h. das Integral wurde korrekt gefunden. Von dem, was sie tanzten, kehrten sie dorthin zurück. Es ist gut, wenn die Geschichte mit dem Integral einfach so endet.

Von Zeit zu Zeit gibt es einen etwas anderen Ansatz zur Überprüfung des unbestimmten Integrals, wenn nicht die Ableitung, sondern das Differential aus der Antwort gebildet wird:

.

Als Ergebnis erhalten wir keinen Integranden, sondern einen Integranden.

Haben Sie keine Angst vor dem Konzept des Differentials.

Das Differential ist die Ableitung multipliziert mit dx.

Für uns sind jedoch nicht theoretische Feinheiten wichtig, sondern wie es mit dieser Differenz weitergeht. Das Differential wird wie folgt angezeigt: Symbol D entfernen, einen Strich rechts über der Klammer setzen, am Ende des Ausdrucks einen Multiplikator zuweisen dx :

Original erhalten Integrand, das heißt, das Integral wird korrekt gefunden.

Wie Sie sehen, kommt es bei der Differenzierung darauf an, die Ableitung zu finden. Die zweite Art der Überprüfung gefällt mir weniger, da ich zusätzlich große Klammern zeichnen und das Differentialsymbol ziehen muss dx bis zum Ende des Tests. Obwohl es korrekter oder „solider“ oder so ist.

Über die zweite Verifizierungsmethode konnte tatsächlich Stillschweigen bewahrt werden. Der Punkt liegt nicht in der Methode, sondern in der Tatsache, dass wir gelernt haben, das Differential zu öffnen. Noch einmal.

Der Unterschied ergibt sich wie folgt:

1) Symbol D entfernen;

2) Setzen Sie einen Strich rechts über die Klammer (die Bezeichnung der Ableitung);

3) Am Ende des Ausdrucks weisen wir einen Faktor zu dx .

Zum Beispiel:

Merk dir das. Wir werden die betrachtete Technik sehr bald brauchen.

Beispiel 2

.

Wenn wir ein unbestimmtes Integral finden, versuchen wir IMMER, es zu überprüfen Darüber hinaus besteht hierfür eine große Chance. Unter diesem Gesichtspunkt sind nicht alle Arten von Problemen in der höheren Mathematik ein Geschenk. Es spielt keine Rolle, dass bei Kontrollaufgaben oft keine Überprüfung erforderlich ist, niemand und nichts hindert sie daran, sie anhand eines Entwurfs durchzuführen. Eine Ausnahme kann nur gemacht werden, wenn die Zeit nicht ausreicht (z. B. bei der Prüfung, Prüfung). Persönlich überprüfe ich Integrale immer und halte die fehlende Überprüfung für einen Hack und eine schlecht erledigte Aufgabe.

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral:

. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Lösung: Wenn wir das Integral analysieren, sehen wir, dass wir unter dem Integral das Produkt zweier Funktionen und sogar die Potenzierung des gesamten Ausdrucks haben. Leider im Bereich der integralen Schlacht Nein gut und komfortabel Formeln zur Integration des Produkts und des Quotienten als: oder .

Wenn also ein Produkt oder ein Quotient vorliegt, ist es immer sinnvoll zu prüfen, ob es möglich ist, den Integranden in eine Summe umzuwandeln. Das betrachtete Beispiel ist der Fall, wenn es möglich ist.

Zuerst geben wir die vollständige Lösung, die Kommentare folgen unten.

(1) Wir verwenden die gute alte Formel für das Quadrat der Summe für alle reellen Zahlen und verzichten dabei auf den Grad über der gemeinsamen Klammer. außerhalb der Klammern und Anwendung der abgekürzten Multiplikationsformel in die entgegengesetzte Richtung: .

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung. Antwort und vollständige Lösung am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral

. Führen Sie eine Überprüfung durch.

In diesem Beispiel ist der Integrand ein Bruch. Wenn wir einen Bruch im Integranden sehen, sollte der erste Gedanke die Frage sein: „Ist es möglich, diesen Bruch irgendwie loszuwerden oder ihn zumindest zu vereinfachen?“

Wir stellen fest, dass der Nenner eine einzelne Wurzel von „x“ enthält. Einer auf dem Feld ist kein Krieger, was bedeutet, dass Sie den Zähler Term für Term in den Nenner dividieren können:

Wir kommentieren Aktionen mit gebrochenen Potenzen nicht, da sie in Artikeln zur Ableitung einer Funktion wiederholt diskutiert wurden.

Wenn Sie immer noch durch ein Beispiel wie verwirrt sind

und niemand bekommt die richtige Antwort,

Beachten Sie auch, dass die Lösung einen Schritt überspringt, nämlich die Anwendung der Regeln , . Normalerweise werden diese Regeln mit einer gewissen Erfahrung in der Lösung von Integralen als offensichtliche Tatsache angesehen und nicht im Detail beschrieben.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung. Antwort und vollständige Lösung am Ende der Lektion.

Im allgemeinen Fall ist bei Brüchen in Integralen nicht alles so einfach, zusätzliches Material zur Integration von Brüchen einiger Typen finden Sie im Artikel: Integration einiger Brüche. Bevor Sie jedoch mit dem obigen Artikel fortfahren, müssen Sie die Lektion lesen: Ersetzungsmethode im unbestimmten Integral. Tatsache ist, dass das Summieren einer Funktion unter einer Differential- oder Variablenänderungsmethode erfolgt Kernpunkt in der Auseinandersetzung mit dem Thema, da es nicht nur „in reinen Aufgaben für die Ersetzungsmethode“, sondern auch in vielen anderen Integralarten vorkommt.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung:

Beispiel 4: Lösung:

In diesem Beispiel haben wir die reduzierte Multiplikationsformel verwendet

Beispiel 6: Lösung:

Die Methode zum Ändern einer Variablen in einem unbestimmten Integral. Lösungsbeispiele

In dieser Lektion lernen wir einen der wichtigsten und gebräuchlichsten Tricks kennen, der bei der Lösung unbestimmter Integrale verwendet wird – die Methode zum Ändern der Variablen. Für eine erfolgreiche Beherrschung des Stoffes sind Vorkenntnisse und Integrationsfähigkeiten erforderlich. Wenn Sie in der Integralrechnung das Gefühl einer leeren vollen Teekanne haben, sollten Sie sich zunächst mit dem Material vertraut machen Unbestimmtes Integral. Lösungsbeispiele, wo in verständlicher Form erklärt wird, was ein Integral ist und grundlegende Beispiele für Anfänger im Detail analysiert werden.

Technisch gesehen wird die Methode zum Ändern einer Variablen in einem unbestimmten Integral auf zwei Arten implementiert:

– Bringen der Funktion unter das Vorzeichen des Differentials.

– Die tatsächliche Änderung der Variablen.

Tatsächlich ist es dasselbe, aber das Design der Lösung sieht anders aus. Beginnen wir mit einem einfacheren Fall.

Betrachten Sie eine Funktion zweier Variablen:

Da die Variablen $x$ und $y$ unabhängig sind, können wir für eine solche Funktion das Konzept einer partiellen Ableitung einführen:

Die partielle Ableitung der Funktion $f$ am Punkt $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ in Bezug auf die Variable $x$ ist das Limit

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Ebenso können wir die partielle Ableitung nach der Variablen $y$ definieren:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Mit anderen Worten: Um die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen zu finden, müssen Sie alle anderen Variablen außer der gewünschten Variablen festlegen und dann die gewöhnliche Ableitung nach dieser gewünschten Variablen ermitteln.

Daraus folgt die Haupttechnik zur Berechnung solcher Ableitungen: Gehen Sie einfach davon aus, dass alle Variablen außer der angegebenen konstant sind, und differenzieren Sie dann die Funktion so, wie Sie die „normale“ differenzieren würden – mit einer Variablen. Zum Beispiel:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Offensichtlich liefern partielle Ableitungen nach verschiedenen Variablen unterschiedliche Antworten – das ist normal. Es ist viel wichtiger zu verstehen, warum wir beispielsweise im ersten Fall ruhig 10y$ unter dem Vorzeichen der Ableitung entfernt haben und im zweiten Fall den ersten Term vollständig aufgehoben haben. All dies ist darauf zurückzuführen, dass alle Buchstaben mit Ausnahme der Variablen, nach der die Differenzierung erfolgt, als Konstanten gelten: Sie können herausgenommen, „verbrannt“ usw. werden.

Was ist eine „partielle Ableitung“?

Heute werden wir über Funktionen mehrerer Variablen und ihre partiellen Ableitungen sprechen. Was ist zunächst eine Funktion mehrerer Variablen? Bisher waren wir es gewohnt, uns eine Funktion als $y\left(x \right)$ oder $t\left(x \right)$ oder eine beliebige Variable und eine einzelne Funktion daraus vorzustellen. Jetzt haben wir eine Funktion und mehrere Variablen. Wenn sich $y$ und $x$ ändern, ändert sich der Wert der Funktion. Wenn sich beispielsweise $x$ verdoppelt, ändert sich der Wert der Funktion, während sich der Wert der Funktion auf die gleiche Weise ändert, wenn sich $x$ ändert und $y$ sich nicht ändert.

Natürlich kann eine Funktion mehrerer Variablen ebenso wie eine Funktion einer Variablen differenziert werden. Da es jedoch mehrere Variablen gibt, ist eine Differenzierung nach verschiedenen Variablen möglich. In diesem Fall ergeben sich spezifische Regeln, die bei der Differenzierung einer Variablen nicht existierten.

Wenn wir die Ableitung einer Funktion einer beliebigen Variablen betrachten, müssen wir zunächst angeben, von welcher Variablen wir die Ableitung betrachten – dies wird als partielle Ableitung bezeichnet. Zum Beispiel haben wir eine Funktion aus zwei Variablen und können sie sowohl in $x$ als auch in $y$ berechnen – zwei partielle Ableitungen jeder der Variablen.

Zweitens gelten alle anderen in dieser Funktion enthaltenen Variablen als Konstanten, sobald wir eine der Variablen festgelegt haben und beginnen, die partielle Ableitung nach ihr zu berechnen. Wenn wir beispielsweise in $z\left(xy \right)$ die partielle Ableitung nach $x$ betrachten, dann betrachten wir es überall dort, wo wir auf $y$ stoßen, als Konstante und behandeln es genau als Konstante. Insbesondere können wir bei der Berechnung der Ableitung eines Produkts $y$ aus der Klammer herausnehmen (wir haben eine Konstante) und bei der Berechnung der Ableitung der Summe, wenn wir irgendwo die Ableitung eines Ausdrucks erhalten, der $y$ enthält und nicht $x$ enthält, dann ist die Ableitung dieses Ausdrucks gleich „Null“ als Ableitung der Konstante.

Auf den ersten Blick scheint es, als würde ich über etwas Komplexes sprechen, und viele Studierende sind zunächst verwirrt. Partielle Ableitungen haben jedoch nichts Übernatürliches, und wir werden dies nun am Beispiel konkreter Probleme sehen.

Probleme mit Radikalen und Polynomen

Aufgabe 1

Um keine Zeit umsonst zu verschwenden, beginnen wir gleich zu Beginn mit seriösen Beispielen.

Lassen Sie mich mit der folgenden Formel beginnen:

Dies ist der Standard-Tabellenwert, den wir aus dem Standardkurs kennen.

In diesem Fall wird die Ableitung $z$ wie folgt berechnet:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Machen wir es noch einmal, da die Wurzel nicht $x$ ist, sondern ein anderer Ausdruck, in diesem Fall $\frac(y)(x)$, dann verwenden wir zuerst den Standardtabellenwert und dann, da die Wurzel ist nicht $x $ und ein anderer Ausdruck, wir müssen unsere Ableitung mit einem weiteren Ausdruck dieses Ausdrucks in Bezug auf dieselbe Variable multiplizieren. Beginnen wir mit Folgendem:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)")_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Wir kehren zu unserem Ausdruck zurück und schreiben:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Im Grunde ist das alles. Es ist jedoch falsch, es in dieser Form zu belassen: Eine solche Konstruktion ist für weitere Berechnungen unpraktisch, also wandeln wir sie ein wenig um:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Antwort gefunden. Kommen wir nun zu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Schreiben wir separat:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Jetzt schreiben wir:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Erledigt.

Aufgabe Nr. 2

Dieses Beispiel ist sowohl einfacher als auch komplexer als das vorherige. Schwieriger, weil es mehr Aktionen gibt, aber einfacher, weil es keine Wurzel gibt und außerdem die Funktion symmetrisch bezüglich $x$ und $y$ ist, d. h. Wenn wir $x$ und $y$ vertauschen, ändert sich die Formel nicht. Diese Bemerkung vereinfacht die Berechnung der partiellen Ableitung weiter, d.h. Es reicht aus, einen davon zu berechnen und im zweiten einfach $x$ und $y$ zu vertauschen.

Kommen wir zur Sache:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Lass uns zählen:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Allerdings verstehen viele Studierende einen solchen Datensatz nicht, deshalb schreiben wir ihn so:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Somit sind wir einmal mehr von der Universalität des partiellen Ableitungsalgorithmus überzeugt: Egal wie wir sie betrachten, wenn alle Regeln richtig angewendet werden, wird die Antwort dieselbe sein.

Befassen wir uns nun mit einer weiteren partiellen Ableitung unserer großen Formel:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Wir setzen die resultierenden Ausdrücke in unsere Formel ein und erhalten:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ rechts)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

$x$ gezählt. Und um $y$ aus demselben Ausdruck zu berechnen, führen wir nicht dieselbe Abfolge von Aktionen aus, sondern verwenden die Symmetrie unseres ursprünglichen Ausdrucks – wir ersetzen einfach alle $y$ in unserem ursprünglichen Ausdruck durch $x$ und umgekehrt:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Aufgrund der Symmetrie haben wir diesen Ausdruck viel schneller berechnet.

Nuancen der Lösung

Für partielle Ableitungen funktionieren alle Standardformeln, die wir für gewöhnliche verwenden, nämlich die Ableitung des Privaten. In diesem Fall ergeben sich jedoch eigene Besonderheiten: Wenn wir die partielle Ableitung von $x$ betrachten, dann betrachten wir sie, wenn wir sie von $x$ erhalten, als Konstante, und daher ist ihre Ableitung gleich „ null".

Wie bei gewöhnlichen Derivaten kann der (gleiche) Quotient auf verschiedene Arten berechnet werden. Dieselbe Konstruktion, die wir gerade berechnet haben, kann beispielsweise wie folgt umgeschrieben werden:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Andererseits können Sie jedoch auch die Formel aus der Ableitungssumme verwenden. Wie wir wissen, ist es gleich der Summe der Ableitungen. Schreiben wir zum Beispiel Folgendes:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Wenn wir das alles wissen, versuchen wir nun, mit ernsteren Ausdrücken zu arbeiten, da reelle partielle Ableitungen nicht nur auf Polynome und Wurzeln beschränkt sind: Es gibt Trigonometrie, Logarithmen und eine Exponentialfunktion. Jetzt machen wir das.

Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Logarithmen

Aufgabe 1

Wir schreiben die folgenden Standardformeln:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Mit diesem Wissen bewaffnet, versuchen wir Folgendes zu lösen:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Schreiben wir eine Variable separat:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Zurück zu unserem Design:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Wir haben alles für $x$ gefunden, jetzt machen wir die Berechnungen für $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Betrachten Sie noch einmal einen Ausdruck:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

Wir kehren zum ursprünglichen Ausdruck zurück und setzen die Lösung fort:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Erledigt.

Aufgabe Nr. 2

Schreiben wir die Formel, die wir brauchen:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Jetzt zählen wir mit $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Gefunden von $x$. Zählen nach $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problem gelöst.

Nuancen der Lösung

Unabhängig davon, welche Funktion wir partiell ableiten, bleiben die Regeln dieselben, unabhängig davon, ob wir mit Trigonometrie, mit Wurzeln oder mit Logarithmen arbeiten.

Die klassischen Regeln für die Arbeit mit Standardableitungen bleiben unverändert, nämlich die Ableitung von Summe und Differenz, der Quotient und die komplexe Funktion.

Die letzte Formel findet man am häufigsten bei der Lösung von Problemen mit partiellen Ableitungen. Wir treffen sie fast überall. Es gab bisher keine einzige Aufgabe, auf die wir dort nicht gestoßen sind. Unabhängig davon, welche Formel wir verwenden, fügen wir jedoch noch eine weitere Anforderung hinzu, nämlich die Funktion, mit partiellen Ableitungen zu arbeiten. Sobald wir eine Variable festlegen, sind alle anderen Konstanten. Wenn wir insbesondere die partielle Ableitung des Ausdrucks $\cos \frac(x)(y)$ nach $y$ betrachten, dann ist $y$ die Variable und $x$ bleibt überall konstant. Das Gleiche funktioniert auch umgekehrt. Es kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden, und die Ableitung der Konstante selbst ist gleich „Null“.

All dies führt dazu, dass partielle Ableitungen desselben Ausdrucks, jedoch in Bezug auf unterschiedliche Variablen, völlig unterschiedlich aussehen können. Betrachten Sie beispielsweise die folgenden Ausdrücke:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Probleme mit Exponentialfunktionen und Logarithmen

Aufgabe 1

Beginnen wir mit dem Schreiben der folgenden Formel:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Wenn wir diese Tatsache sowie die Ableitung einer komplexen Funktion kennen, versuchen wir zu berechnen. Ich werde es nun auf zwei verschiedene Arten lösen. Das erste und offensichtlichste ist die Ableitung des Produkts:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Lassen Sie uns den folgenden Ausdruck separat lösen:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Wir kehren zu unserem ursprünglichen Design zurück und setzen die Lösung fort:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

Alles, $x$ zählte.

Allerdings werden wir nun, wie versprochen, versuchen, dieselbe partielle Ableitung auf andere Weise zu berechnen. Beachten Sie dazu Folgendes:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Schreiben wir es so:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Als Ergebnis erhielten wir genau die gleiche Antwort, allerdings fiel der Rechenaufwand geringer aus. Dazu genügte die Feststellung, dass bei der Multiplikation des Produkts die Exponenten addiert werden können.

Jetzt zählen wir mit $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Lassen Sie uns die Lösung unserer ursprünglichen Konstruktion fortsetzen:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Natürlich könnte die gleiche Ableitung auch auf die zweite Art berechnet werden, die Antwort wäre dieselbe.

Aufgabe Nr. 2

Zählen wir mit $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Zählen wir einen Ausdruck separat:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Fahren wir mit der Lösung der ursprünglichen Konstruktion fort: $$

Hier ist die Antwort.

Es bleibt durch Analogie zu $y$ zu finden:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Zählen wir wie immer einen Ausdruck separat:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Wir setzen die Lösung der Hauptstruktur fort:

Alles wird gezählt. Wie Sie sehen, fallen die Antworten völlig unterschiedlich aus, je nachdem, welche Variable zur Differenzierung herangezogen wird.

Nuancen der Lösung

Hier ist ein anschauliches Beispiel dafür, wie die Ableitung derselben Funktion auf zwei verschiedene Arten berechnet werden kann. Schau hier:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ left(1+\frac(1)(y)\right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Bei der Auswahl unterschiedlicher Pfade kann die Anzahl der Berechnungen unterschiedlich sein, aber die Antwort wird, wenn alles richtig gemacht wird, dieselbe sein. Dies gilt sowohl für klassische als auch für partielle Ableitungen. Gleichzeitig erinnere ich Sie noch einmal daran: Je nachdem, von welcher Variablen die Ableitung übernommen wird, d. h. Differenzierung kann die Antwort völlig anders ausfallen. Sehen:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Um das gesamte Material zu konsolidieren, versuchen wir abschließend, zwei weitere Beispiele zu zählen.

Probleme mit einer trigonometrischen Funktion und einer Funktion mit drei Variablen

Aufgabe 1

Schreiben wir diese Formeln:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Lösen wir nun unseren Ausdruck:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Betrachten Sie separat die folgende Konstruktion:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Wir lösen weiterhin den ursprünglichen Ausdruck:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Dies ist die endgültige Antwort auf die private Variable für $x$. Jetzt zählen wir mit $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Wir lösen unsere Konstruktion bis zum Ende:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Aufgabe Nr. 2

Auf den ersten Blick mag dieses Beispiel recht kompliziert erscheinen, da es drei Variablen gibt. Tatsächlich ist dies eine der einfachsten Aufgaben im heutigen Video-Tutorial.

Suchen nach $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Kommen wir nun zu $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Wir haben die Antwort gefunden.

Jetzt muss noch nach $z$ gefunden werden:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Wir haben die dritte Ableitung berechnet, mit der die Lösung des zweiten Problems vollständig abgeschlossen ist.

Nuancen der Lösung

Wie Sie sehen, gibt es in diesen beiden Beispielen nichts Kompliziertes. Das Einzige, was wir gesehen haben, ist, dass häufig die Ableitung einer komplexen Funktion verwendet wird und wir je nachdem, welche partielle Ableitung wir betrachten, unterschiedliche Antworten erhalten.

In der letzten Aufgabe wurden wir gebeten, uns mit einer Funktion von drei Variablen gleichzeitig zu befassen. Daran ist nichts auszusetzen, aber ganz am Ende haben wir darauf geachtet, dass sie sich alle deutlich voneinander unterscheiden.

Wichtige Punkte

Die abschließenden Schlussfolgerungen aus dem heutigen Video-Tutorial lauten wie folgt:

1. Partielle Ableitungen werden auf die gleiche Weise wie gewöhnliche Ableitungen betrachtet. Um die partielle Ableitung nach einer Variablen zu berücksichtigen, nehmen wir alle anderen in dieser Funktion enthaltenen Variablen als Konstanten.
2. Bei der Arbeit mit partiellen Ableitungen verwenden wir dieselben Standardformeln wie bei gewöhnlichen Ableitungen: die Summe, die Differenz, die Ableitung von Produkt und Quotient und natürlich die Ableitung einer komplexen Funktion.

Natürlich reicht es nicht aus, dieses Video-Tutorial allein anzuschauen, um dieses Thema vollständig zu verstehen. Deshalb gibt es auf meiner Website zu diesem speziellen Video derzeit eine Reihe von Aufgaben, die dem heutigen Thema gewidmet sind – gehen Sie, laden Sie diese Aufgaben herunter, lösen Sie sie und überprüfen Sie die Antwort. Und danach werden Sie weder in Prüfungen noch im selbstständigen Arbeiten Probleme mit partiellen Ableitungen haben. Natürlich ist dies noch lange nicht die letzte Lektion in höherer Mathematik, also besuchen Sie unsere Website, fügen Sie VKontakte hinzu, abonnieren Sie YouTube, geben Sie Likes und bleiben Sie bei uns!