Das Thema ist die Ableitung einer Funktion. Funktionsableitung. Die praktische Bedeutung der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion wird in der Differentialrechnung als Basiselement bezeichnet. Dieses Element ist ein bestimmtes Ergebnis der Anwendung einer bestimmten Differenzierungsoperation in Bezug auf die ursprüngliche Funktion.

Ableitungsdefinition

Um zu verstehen, was eine Ableitung ist, müssen Sie wissen, dass der Name der Funktion direkt vom Wort „produziert“ stammt, also aus einem anderen Wert gebildet wird. Gleichzeitig hat der Prozess der Bestimmung der Ableitung einer bestimmten Funktion einen Namen – „Differenzierung“.

Die gebräuchlichste Darstellungs- und Definitionsmethode ist die Verwendung der Grenzwerttheorie, obwohl sie viel später als die Differentialrechnung erschien. Nach der Definition dieser Theorie ist die Ableitung der Grenzwert in Bezug auf das Inkrement von Funktionen zum Inkrement des Arguments, wenn es einen solchen Grenzwert gibt und vorausgesetzt, dass dieses Argument gegen Null geht.

Das folgende kleine Beispiel hilft Ihnen zu veranschaulichen, was ein Derivat ist.

1. Um nach der Ableitung der Funktion f am Punkt x zu suchen, müssen wir die Werte dieser Funktion direkt am Punkt x sowie am Punkt x + Δx bestimmen. Darüber hinaus ist Δx das Inkrement des Arguments x.
2. Finden Sie das Inkrement für die Funktion y gleich f(x + Δx) - f(x).
3. Schreiben Sie die Ableitung unter Verwendung des Grenzwerts des Verhältnisses f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх auf und berechnen Sie als Δх → 0.

Normalerweise wird die Ableitung durch ein Apostroph „'“ direkt über der differenzierbaren Funktion gekennzeichnet. Die Bezeichnung in Form eines Apostrophs bezeichnet die erste Ableitung, in Form von zwei die zweite. Es ist üblich, die Ableitung höchster Ordnung mit der entsprechenden Zahl zu setzen, zum Beispiel f ^ (n) – was bedeutet die Ableitung n-ter Ordnung, wobei der Buchstabe „n“ eine ganze Zahl ist, was? 0. Die Ableitung nullter Ordnung ist die differenzierbare Funktion selbst.

Um die Differenzierung komplizierter Funktionen zu erleichtern, wurden bestimmte Regeln zur Differenzierung von Funktionen entwickelt und übernommen:

• C' = 0, wobei C die Bezeichnung einer Konstante ist;
• x' gleich 1;
• (f + g)' entspricht f' + g';
• (C*f)' entspricht C*f' und so weiter.
• Für die N-fache Differenzierung ist es bequemer, die Leibniz-Formel in der Form zu verwenden: (f * g) (n) = Σ C (n) k * f (n-k) * g k, wobei C (n) k sind die Notation für Binomialkoeffizienten.

Ableitung und Geometrie

Das geometrische Verständnis der Ableitung besteht darin, dass, wenn die Funktion f am Punkt x eine endliche Ableitung hat, der Wert dieser Ableitung gleich dem Tangens der Steigung der Tangente an die Funktion f am gegebenen Punkt ist.

Eine Funktion sei in einer Umgebung eines Punktes definiert. Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt wird als Grenzwert bezeichnet, sofern sie existiert.

Konventionelle Notation für die Ableitung einer Funktion an einem Punkt

Ableitungstabelle

Die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Betrachten Sie die Sekante AB Funktionsgraph y=f(x) so dass die Punkte A Und IN Koordinaten haben und , wobei das Inkrement des Arguments ist. Bezeichnen Sie mit dem Inkrement der Funktion. Markieren wir alles auf der Zeichnung:

Aus einem rechtwinkligen Dreieck ABC wir haben . Da per Definition eine Tangente die Grenzposition einer Sekante ist .

Erinnern Sie sich an die Definition der Ableitung einer Funktion an einem Punkt: die Ableitung einer Funktion y=f(x) am Punkt wird die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments at bezeichnet .

Wo ist also die Steigung der Tangente?

Also die Existenz einer Ableitung einer Funktion y=f(x) an einem Punkt entspricht der Existenz einer Tangente an den Graphen der Funktion y=f(x) am Kontaktpunkt und Die Steigung der Tangente ist gleich dem Wert der Ableitung am Punkt, also .

Wir fassen zusammen: geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt besteht darin, dass an diesem Punkt eine Tangente an den Funktionsgraphen existiert.

20 Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt. Notwendige und hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.

Das Inkrement einer an einem bestimmten Punkt differenzierbaren Funktion kann als lineare Funktion des Inkrements des Arguments bis zu Werten höherer Kleinheitsordnung dargestellt werden. Dies bedeutet, dass für ausreichend kleine Umgebungen eines bestimmten Punktes die Funktion durch eine lineare ersetzt werden kann (die Änderungsrate der Funktion kann als unverändert betrachtet werden). Der lineare Teil des Inkrements einer Funktion wird als ihr Differential (an einem bestimmten Punkt) bezeichnet.

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit der Funktion. Im Fall einer Funktion einer reellen Variablen ist die Differenzierbarkeit gleichbedeutend mit der Existenz einer Ableitung. Bei einer Funktion mehrerer reeller Variablen ist die Existenz partieller Ableitungen nach allen Variablen eine notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für die Differenzierbarkeit. Damit eine Funktion mehrerer Variablen an einem Punkt differenzierbar ist, reicht es aus, dass die partiellen Ableitungen in einer Umgebung des betrachteten Punktes existieren und an dem gegebenen Punkt stetig sind.

21 Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt. Satz über die Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion.

Satz.

Wenn eine Funktion an einem bestimmten Punkt differenzierbar ist, dann ist die Funktion an diesem Punkt stetig.

Nachweisen.

Sei die Funktion y=f(x)y=f(x) am Punkt x0x0 differenzierbar, dann ist das Inkrement dieser Funktion Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) ⋅x.

Wenn das Inkrement des Arguments der Funktion ΔxΔx gegen Null geht, tendiert auch das Inkrement der Funktion ΔyΔy gegen Null, und dies bedeutet die Kontinuität der Funktion.

Das heißt, am Ende haben wir herausgefunden, dass die Funktion y=f(x)y=f(x), die am Punkt x0x0 differenzierbar ist, an diesem Punkt auch eine stetige Funktion ist. Q.E.D.

Somit ist die Stetigkeit einer Funktion an einem bestimmten Punkt eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, dass die Funktion differenzierbar ist.

Beispiel.

Funktion y=|x|y=|x| am Punkt x0x0 ist eine stetige Funktion, aber an diesem Punkt ist die Funktion nicht differenzierbar.

Tatsächlich ist das Inkrement der Funktion gleich:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Dabei erhalten wir:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Der Grenzwert limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx existiert nicht, was bedeutet, dass die Funktion y=|x|y=|x|, die im Punkt x0x0 stetig ist, an diesem Punkt nicht differenzierbar ist.

22 Funktionsdifferenz. Die geometrische Bedeutung des Differentials.

Irgendwann Funktionsunterschied X wird der lineare Hauptteil des Inkrements der Funktion genannt.

Funktionsdifferential y=f(X) ist gleich dem Produkt seiner Ableitung und dem Inkrement der unabhängigen Variablen X(Streit).

Es ist so geschrieben:

Die geometrische Bedeutung des Differentials. Funktionsdifferential y=f(X) ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente S, die am Punkt M( an den Graphen dieser Funktion gezogen wird) X; j), wenn es sich ändert X(Argument) durch den Wert (siehe Abbildung).

23 Die Regel der Differenzierbarkeit von Summe und Produkt.

Um die zweite Differenzierungsregel zu beweisen, verwenden wir die Definition der Ableitung und die Eigenschaft des Grenzwerts einer stetigen Funktion.

Auf ähnliche Weise kann man beweisen, dass die Ableitung der Summe (Differenz) N Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) N Derivate

Beweisen wir die Differenzierungsregel des Produkts zweier Funktionen.

Schreiben wir den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements des Funktionsprodukts zum Inkrement des Arguments auf. Wir werden das berücksichtigen und (das Inkrement der Funktion tendiert gegen Null, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert).

Q.E.D.

24 Invarianz des Form-1-Differentials.

Invarianz der Form des ersten Differentials

Wenn X ist also eine unabhängige Variable dx = X - X 0 (feste Schrittweite). In diesem Fall haben wir

df(X 0) = F"(X 0)dx. (3)

Wenn X = φ (T) ist also eine differenzierbare Funktion dx = φ" (T 0)dt. Somit,

Das heißt, das erste Differential hat die Eigenschaft der Invarianz unter der Änderung des Arguments.

25 Satz von Rolle.

Satz von Rolle (Nullableitungssatz) Besagt, dass

Nachweisen

Wenn die Funktion im Intervall konstant ist, ist die Aussage offensichtlich, da die Ableitung der Funktion an jedem Punkt des Intervalls gleich Null ist.

Wenn nicht, da die Werte der Funktion an den Randpunkten des Segments gleich sind, nimmt sie nach dem Weierstrass-Theorem an einem bestimmten Punkt des Intervalls ihren Maximal- oder Minimalwert an, d. h. sie hat ein lokales Extremum an diesem Punkt und gemäß Fermats Lemma ist die Ableitung an diesem Punkt gleich 0 .

geometrischer Sinn

Der Satz besagt, dass, wenn die Ordinaten beider Enden einer glatten Kurve gleich sind, es einen Punkt auf der Kurve gibt, an dem die Tangente an die Kurve parallel zur x-Achse verläuft.

26 Satz von Lagrange und seine Folgerungen.

Formel für endliches Inkrement oder Lagrange-Mittelwertsatz besagt, dass es einen solchen Punkt gibt, wenn eine Funktion auf einem Segment stetig und auf einem Intervall differenzierbar ist

.

Geometrisch Dies kann wie folgt umformuliert werden: Es gibt einen Punkt auf dem Segment, an dem die Tangente parallel zur Sehne verläuft, die durch die Punkte des Diagramms verläuft, die den Enden des Segments entsprechen.

Mechanische Interpretation: Let - der Abstand des Punktes im Moment von der Ausgangsposition. Dann gibt es die von Moment zu Moment zurückgelegte Strecke, das Verhältnis ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Intervall. Das heißt, wenn die Geschwindigkeit des Körpers zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt wird, entspricht sie irgendwann ihrem Durchschnittswert in diesem Abschnitt.

Nachweisen

Für eine einzelne Variablenfunktion:

Lassen Sie uns eine Funktion einführen. Es erfüllt die Bedingungen des Satzes von Rolle: An den Enden des Segments sind seine Werte gleich Null. Mit dem genannten Satz erhalten wir, dass es einen Punkt gibt, an dem die Ableitung der Funktion gleich Null ist:

Q.E.D.

Konsequenzen und Verallgemeinerungen

Der endliche Inkrementsatz von Lagrange ist einer der wichtigsten und wichtigsten Sätze im gesamten System der Differentialrechnung. Es gibt viele Anwendungen in der Computermathematik, und die wichtigsten Theoreme der mathematischen Analyse sind auch ihre Konsequenzen.

Konsequenz 1. Eine auf einem Intervall differenzierbare Funktion mit einer Ableitung gleich Null ist eine Konstante.

Nachweisen. Für irgendein und gibt es einen Punkt, so dass .

Daher gilt für alle und die Gleichheit.

Korollar 2 (Taylors Formel mit einem Restterm in der Lagrange-Form). Wenn die Funktion in einer Umgebung des Punktes mal differenzierbar ist, dann gilt für kleine (d. h. diejenigen, für die das Segment in der angegebenen Umgebung liegt) die Taylor-Formel:

Wo ist eine Zahl aus dem Intervall?

Konsequenz 3. Wenn die Funktion von Variablen in einer Umgebung des Punktes O zweimal differenzierbar ist und alle ihre zweiten gemischten Ableitungen im Punkt O stetig sind, dann gilt an diesem Punkt die Gleichheit:

Beweis für . Lassen Sie uns die Werte von und festlegen und die Differenzoperatoren betrachten

Nach dem Satz von Lagrange gibt es Zahlen , so dass

bei aufgrund der Stetigkeit der zweiten Ableitungen der Funktion .

Ebenso ist es bewiesen .

Aber da , (was direkt überprüft wird), fallen diese Grenzen zusammen.

Folgerung 4 (Newton-Leibniz-Formel). Wenn eine Funktion auf einer Strecke differenzierbar ist und ihre Ableitung auf dieser Strecke Riemann-integrierbar ist, dann gilt die Formel: .

Nachweisen. Sei eine beliebige Partition des Segments. Unter Anwendung des Satzes von Lagrange finden wir auf jedem der Segmente einen Punkt mit .

Wenn wir diese Gleichheiten zusammenfassen, erhalten wir:

Links ist die Riemannsche Integralsumme für das Integral und die gegebene markierte Partition. Wenn wir zur Grenze des Durchmessers der Trennwand übergehen, erhalten wir die Newton-Leibniz-Formel.

Folgerung 5 (Satz zur Schätzung endlicher Inkremente). Die Abbildung sei in einem konvexen kompakten Raumbereich stetig differenzierbar. Dann .

27 Satz von Kashi.

Cauchy-Mittelwertsatz.

Es seien zwei Funktionen und gegeben, so dass: 1. und auf dem Intervall definiert und stetig seien; 2. Ableitungen und sind auf dem Intervall endlich; 3. Ableitungen und verschwinden nicht gleichzeitig im Intervall 4. ; dann gibt es für was gilt: . (Wenn wir Bedingung 4 entfernen, dann ist es beispielsweise notwendig, Bedingung 3 zu verstärken: g "(x) darf nirgendwo im Intervall verschwinden.)

Geometrisch lässt sich dies wie folgt umformulieren: Wenn und das Bewegungsgesetz auf der Ebene festgelegt ist (d. h. Abszisse und Ordinate werden durch den Parameter bestimmt), dann auf jedem Segment einer solchen Kurve, das durch die Parameter und angegeben ist, Es gibt einen Tangentenvektor, der kollinear zum Verschiebungsvektor von bis ist.

Der Inhalt des Artikels

DERIVAT-Ableitung der Funktion j = F(X) definiert in einem bestimmten Intervall ( A, B) am Punkt X Dieses Intervall wird als Grenze bezeichnet, zu der das Verhältnis des Inkrements der Funktion tendiert F an diesem Punkt zum entsprechenden Inkrement des Arguments, wenn sich das Inkrement des Arguments Null nähert.

Die Ableitung wird üblicherweise wie folgt bezeichnet:

Auch andere Notationen sind weit verbreitet:

Sofortige Geschwindigkeit.

Lassen Sie den Punkt M bewegt sich in einer geraden Linie. Distanz S Bewegungspunkt, gezählt von einer Anfangsposition M 0 , hängt von der Zeit ab T, d.h. S ist eine Funktion der Zeit T: S= F(T). Irgendwann mal lassen T beweglicher Punkt M war in einiger Entfernung S von der Ausgangsposition aus M 0, und irgendwann im nächsten Moment T+ D T war in der Lage M 1 - auf Distanz S+ D S von der Ausgangsposition ( siehe Bild.).

Also für einen Zeitraum D T Distanz S um den Wert D verändert S. In diesem Fall sagen wir das während des Zeitintervalls D T Größe S Inkrement D erhalten S.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann nicht in allen Fällen die Geschwindigkeit der Bewegung eines Punktes genau charakterisieren. M zu der Zeit T. Wenn zum Beispiel der Körper am Anfang des Intervalls D T Wenn Sie sich sehr schnell und am Ende sehr langsam bewegen, kann die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht die angegebenen Merkmale der Bewegung des Punktes widerspiegeln und keine Vorstellung von der wahren Geschwindigkeit seiner Bewegung im Moment geben T. Um die wahre Geschwindigkeit anhand der Durchschnittsgeschwindigkeit genauer auszudrücken, müssen Sie einen kürzeren Zeitraum D nehmen T. Es charakterisiert am besten die Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes im Moment T die Grenze, zu der die Durchschnittsgeschwindigkeit bei D tendiert T® 0. Diese Grenze wird als Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bezeichnet:

Somit ist die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt die Grenze des Verhältnisses der Inkremente des Pfades D S zum Zeitinkrement D T wenn das Zeitinkrement gegen Null tendiert. Als

Der geometrische Wert der Ableitung. Tangente an den Graphen einer Funktion.

Die Konstruktion von Tangenten ist eines der Probleme, die zur Geburt der Differentialrechnung führten. Die erste von Leibniz verfasste veröffentlichte Arbeit zur Differentialrechnung trug den Titel Eine neue Methode der Maxima und Minima sowie Tangenten, für die weder gebrochene noch irrationale Größen ein Hindernis darstellen, und eine besondere Art der Analysis dafür.

Die Kurve sei der Graph der Funktion j =F(X) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ( cm. Reis.).

Für einen gewissen Wert X Funktion ist wichtig j =F(X). Diese Werte X Und j Punkt auf der Kurve M 0(X, j). Wenn das Argument X geben Inkrement D X, dann der neue Wert des Arguments X+ D X entspricht dem neuen Wert der Funktion y+ D j = F(X + D X). Der entsprechende Punkt der Kurve wird der Punkt sein M 1(X+ D X,j+ D j). Wenn wir eine Sekante zeichnen M 0M 1 und bezeichnen mit j Winkel, der durch eine Sekante mit positiver Achsenrichtung gebildet wird Ochse, das ist direkt aus der Abbildung ersichtlich.

Wenn jetzt D X tendiert gegen Null, dann der Punkt M 1 bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt M 0 und Winkel J ändert sich mit Änderung D X. Bei Dx® 0 der Winkel j tendiert zu einer gewissen Grenze a und der Linie, die durch den Punkt geht M 0 und die Komponente mit der positiven Richtung der Abszissenachse, Winkel a, ist die gewünschte Tangente. Seine Steigung:

Somit, F´( X) = tga

diese. Ableitungswert F´( X) für einen gegebenen Wert des Arguments X entspricht dem Tangens des Winkels, den die Tangente an den Funktionsgraphen bildet F(X) an der entsprechenden Stelle M 0(X,j) mit positiver Achsrichtung Ochse.

Differenzierbarkeit von Funktionen.

Definition. Wenn die Funktion j = F(X) hat an diesem Punkt eine Ableitung X = X 0, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Stetigkeit einer Funktion, die eine Ableitung hat. Satz.

Wenn die Funktion j = F(X) ist irgendwann differenzierbar X = X 0, dann ist es an dieser Stelle stetig.

Daher kann die Funktion an Unstetigkeitspunkten keine Ableitung haben. Die umgekehrte Schlussfolgerung ist falsch, d. h. aus der Tatsache, dass irgendwann X = X 0 Funktion j = F(X) stetig ist, folgt daraus nicht, dass es an dieser Stelle differenzierbar ist. Zum Beispiel die Funktion j = |X| kontinuierlich für alle X(–Ґ x x = 0 hat keine Ableitung. An diesem Punkt gibt es keine Tangente an den Graphen. Es gibt eine Rechtstangente und eine Linkstangente, aber sie fallen nicht zusammen.

Einige Sätze über differenzierbare Funktionen. Satz über die Wurzeln der Ableitung (Roll-Theorem). Wenn die Funktion F(X) ist auf dem Segment kontinuierlich [A,B], ist an allen inneren Punkten dieses Segments und an den Enden differenzierbar X = A Und X = B verschwindet ( F(A) = F(B) = 0), dann innerhalb des Segments [ A,B] gibt es mindestens einen Punkt X= Mit, A c b, in dem die Ableitung Fў( X) verschwindet, d.h. Fў( C) = 0.

Satz des endlichen Inkrements (Satz von Lagrange). Wenn die Funktion F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] und ist an allen inneren Punkten dieses Segments differenzierbar, dann innerhalb des Segments [ A, B] gibt es mindestens einen Punkt Mit, A c b das

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

Satz über das Verhältnis der Inkremente zweier Funktionen (Satz von Cauchy). Wenn F(X) Und G(X) sind zwei auf dem Segment stetige Funktionen [A, B] und an allen inneren Punkten dieses Segments differenzierbar, und Gў( X) verschwindet nirgendwo innerhalb dieses Segments, dann innerhalb des Segments [ A, B] Es gibt so einen Punkt X = Mit, A c b das

Derivate verschiedener Ordnungen.

Lassen Sie die Funktion j =F(X) ist in einem bestimmten Intervall differenzierbar [ A, B]. Abgeleitete Werte F ў( X), im Allgemeinen, hängen davon ab X, d.h. Derivat F ў( X) ist auch eine Funktion von X. Bei der Differenzierung dieser Funktion erhält man die sogenannte zweite Ableitung der Funktion F(X), was bezeichnet wird F ўў ( X).

Derivat N- Reihenfolge der Funktion F(X) heißt die Ableitung (erster Ordnung) der Ableitung N- 1- th und ist mit dem Symbol gekennzeichnet j(N) = (j(N– 1))ў.

Differentiale verschiedener Ordnungen.

Funktionsdifferential j = F(X), Wo X ist eine unabhängige Variable, ist dy = F ў( X)dx, einige Funktion von X, aber von X Nur der erste Faktor kann davon abhängen F ў( X), während der zweite Faktor ( dx) ist das Inkrement der unabhängigen Variablen X und hängt nicht vom Wert dieser Variablen ab. Als dy Es gibt eine Funktion von X, dann können wir das Differential dieser Funktion bestimmen. Das Differential des Differentials einer Funktion wird als Differential zweiter oder zweiter Ordnung dieser Funktion bezeichnet und bezeichnet D 2j:

D(dx) = D 2j = F ўў( X)(dx) 2 .

Differential N- Ordnung heißt das erste Differential des Differentials N- 1- Befehl:

dnj = D(d n–1j) = F(N)(X)dx(N).

Privates Derivat.

Wenn die Funktion nicht von einem, sondern von mehreren Argumenten abhängt x i(ich wechselt von 1 auf N,ich= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… x n), dann wird in der Differentialrechnung das Konzept einer partiellen Ableitung eingeführt, das die Änderungsrate einer Funktion mehrerer Variablen charakterisiert, wenn sich beispielsweise nur ein Argument ändert, x i. Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x i als gewöhnliche Ableitung definiert ist, wird davon ausgegangen, dass alle Argumente außer x i, konstante Werte beibehalten. Für partielle Ableitungen führen wir die Notation ein

So definierte partielle Ableitungen 1. Ordnung (als Funktionen derselben Argumente) können wiederum auch partielle Ableitungen haben, das sind partielle Ableitungen zweiter Ordnung usw. Bezogen auf verschiedene Argumente werden solche Ableitungen als gemischt bezeichnet. Stetige gemischte Ableitungen gleicher Ordnung hängen nicht von der Differenzierungsordnung ab und sind einander gleich.

Anna Chugainova

Die Funktion sei an einem Punkt und in einer Umgebung davon definiert. Geben wir dem Argument ein Inkrement, sodass der Punkt in den Bereich der Funktion fällt. Die Funktion wird dann inkrementiert.

DEFINITION. Ableitung einer Funktion an einem Punkt heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an dieser Stelle zum Inkrement des Arguments, bei (sofern diese Grenze existiert und endlich ist), d.h.

Benennen: ,,,.

Ableitung einer Funktion an einem Punkt rechts (links) angerufen

(sofern diese Grenze existiert und endlich ist).

Bezeichnen: , - Ableitung am Punkt rechts,

, ist die Ableitung am Punkt links.

Offensichtlich ist der folgende Satz wahr.

SATZ. Eine Funktion hat genau dann eine Ableitung an einem Punkt, wenn die rechte und die linke Ableitung der Funktion existieren und an diesem Punkt gleich sind. Und

Der folgende Satz stellt einen Zusammenhang zwischen der Existenz einer Ableitung einer Funktion an einem Punkt und der Stetigkeit der Funktion an diesem Punkt her.

THEOREM (eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Ableitung einer Funktion an einem Punkt). Wenn eine Funktion an einem Punkt eine Ableitung hat, dann ist die Funktion an diesem Punkt stetig.

NACHWEISEN

Lass es existieren. Dann

,

wo ist ein Infinitesimal?

Kommentar

Ableitungsfunktion und bezeichnen

Funktionsdifferenzierung .

GEOMETRISCHE UND PHYSIKALISCHE BEDEUTUNG

1) Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Wenn die Funktion und ihr Argument physikalische Größen sind, ist die Ableitung die Änderungsrate der Variablen in Bezug auf die Variable an dem Punkt. Wenn es sich beispielsweise um die zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Strecke handelt, dann ist ihre Ableitung die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn die Strommenge ist, die zu einem Zeitpunkt durch den Querschnitt des Leiters fließt, dann ist die Änderungsrate der Strommenge zu einem Zeitpunkt, d. h. aktuelle Stärke auf einmal.

2) Die geometrische Bedeutung der Ableitung.

Sei eine Kurve, sei ein Punkt auf der Kurve.

Jede Gerade, die mindestens zwei Punkte schneidet, heißt Sekante .

Tangente an eine Kurve an einem Punkt wird als Grenzposition der Sekante bezeichnet, wenn der Punkt dazu neigt, sich entlang der Kurve zu bewegen.

Aus der Definition geht hervor, dass eine Tangente an eine Kurve eindeutig ist, wenn sie an einem Punkt existiert.

Betrachten Sie eine Kurve (d. h. einen Graphen einer Funktion). Lassen Sie es an einem Punkt eine nicht vertikale Tangente haben. Seine Gleichung: (die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft und eine Steigung hat).

Per Definition der Steigung

wo ist der Neigungswinkel der Geraden zur Achse.

Sei der Neigungswinkel der Sekante zur Achse, wo. Da ist also Tangente

Somit,

So haben wir es verstanden ist die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen am Punkt(geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt). Daher kann die Gleichung der Tangente an die Kurve an einem Punkt wie folgt geschrieben werden:

Kommentar . Eine gerade Linie, die durch einen Punkt senkrecht zur Tangente verläuft, die an der Kurve an diesem Punkt gezogen wird, wird aufgerufen die Normale zur Kurve am Punkt . Da die Steigungen der senkrechten Linien durch die Beziehung zusammenhängen, sieht die Gleichung der Normalen zur Kurve am Punkt wie folgt aus

, Wenn .

Wenn , dann hat die Tangente an die Kurve am Punkt die Form

und normal.

Tangenten- und Normalgleichungen

Tangentengleichung

Die Funktion sei durch die Gleichung gegeben j=F(X), müssen Sie eine Gleichung schreiben Tangente am Punkt X 0. Aus der Definition der Ableitung:

j/(X)=limΔ X→0Δ jΔ X

Δ j=F(X+Δ X)−F(X).

Die gleichung Tangente zum Graphen der Funktion: j=kx+B (k,B=const). Aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung: F/(X 0)=tgα= k Weil X 0 und F(X 0)∈ eine Gerade, dann die Gleichung Tangente wird geschrieben als: j−F(X 0)=F/(X 0)(X−X 0) , oder

j=F/(X 0)· X+F(X 0)−F/(X 0)· X 0.

Normale Gleichung

Normal ist senkrecht zu Tangente(siehe Bild). Basierend auf:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 F/(X 0)

Weil die Steigung der Normalen der Winkel β1 ist, dann gilt:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 F/(X).

Punkt ( X 0,F(X 0))∈ normal, die Gleichung hat die Form:

j−F(X 0)=−1F/(X 0)(X−X 0).

NACHWEISEN

Lass es existieren. Dann

,

wo ist ein Infinitesimal?

Dies bedeutet aber, dass es an einem Punkt kontinuierlich ist (siehe die geometrische Definition der Kontinuität). ∎

Kommentar . Die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt ist keine hinreichende Bedingung für die Existenz einer Ableitung dieser Funktion an einem Punkt. Beispielsweise ist eine Funktion stetig, hat aber an einem Punkt keine Ableitung. Wirklich,

und existiert daher nicht.

Offensichtlich ist die Korrespondenz eine Funktion, die auf einer Menge definiert ist. Sie rufen Sie an Ableitungsfunktion und bezeichnen

Die Operation, die Ableitung einer Funktion für eine Funktion zu finden, wird aufgerufen Funktionsdifferenzierung .

Ableitung von Summe und Differenz

Gegeben seien Funktionen f(x) und g(x), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

(f + g)' = f' + g'

(f − g)' = f ' − g '

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel (f + g + h) ’ = f ’ + g ’ + h ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher kann die Differenz f − g als Summe f + (−1) g umgeschrieben werden, und dann bleibt nur eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

Wenn wir der Definition folgen, ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, mit dieser Formel beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterschieden werden können. Dabei handelt es sich um relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen wurden. Solche Funktionen und ihre Ableitungen sind leicht zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alles, was unten aufgeführt ist. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Natürlich können Elementarfunktionen addiert, multipliziert, dividiert und vieles mehr werden. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr ganz elementar, aber nach bestimmten Regeln differenzierbar. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + sinx; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2+ Sünde X)’ = (X 2)' + (Sünde X)’ = 2X+ cosx;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antwort:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen"\u003e gleich dem Produkt der Ableitungen. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist ein Produkt zweier Elementarfunktionen, daher ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Multiplikator ist etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich dadurch nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antwort:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht allein berechnet, sondern zur Erkundung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zu zerlegen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der für uns interessanten Menge, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eine der komplexesten Formeln – ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es anhand konkreter Beispiele zu studieren.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Im Zähler und Nenner jedes Bruchs gibt es Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell zerlegen wir den Zähler in Faktoren – das vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2+ln X. Es stellt sich heraus F(X) = Sünde ( X 2+ln X) ist eine komplexe Funktion. Sie hat auch eine Ableitung, aber es wird nicht funktionieren, sie nach den oben besprochenen Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen hilft der Ersatz einer Variablen und die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären und jeden Schritt detailliert zu beschreiben.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2+ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Muss offensichtlich ersetzt werden. X 2+ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (Sünde T)’ · T' = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2+ln X. Dann:

G ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das gesamte Problem auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antwort:
F ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil ( X 2+ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Schlaganfall“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das klarer? Das ist gut.

Daher kommt es bei der Berechnung der Ableitung darauf an, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln zu beseitigen. Als letztes Beispiel kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige in der Rolle N kann durchaus eine Bruchzahl sein. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5 . Was aber, wenn unter der Wurzel etwas Kniffliges steckt? Auch hier wird sich eine komplexe Funktion herausstellen – solche Konstruktionen geben sie gerne in Tests und Prüfungen vor.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung nach der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T−0,5 T ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln: