Lineare Gleichung mit 3 Unbekannten. Lösen eines linearen Gleichungssystems mit drei Unbekannten nach der Cramer-Methode. Lösungsmethode durch Einführung einer neuen Variablen

Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse eingesetzt. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen des Produktionsmanagements und der Produktionsplanung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur im Bereich der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie bei der Lösung von Problemen zur Ermittlung der Bevölkerungsgröße verwendet.

Ein System linearer Gleichungen ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, bei der alle Gleichungen zu wahren Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert ermittelt werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Zeichnen ihres Graphen sieht wie eine gerade Linie aus, deren Punkte alle die Lösung des Polynoms sind.

Arten von linearen Gleichungssystemen

Am einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte für x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem „Gleichheitszeichen“ einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei betragen, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen unbedingt mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, was jedoch nicht der Fall ist. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulkurs Mathematik beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie die grafische und Matrixmethode, die Lösung nach der Gauß-Methode.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache besteht nicht darin, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme der 7. Klasse des allgemeinbildenden Schulprogramms ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem Mathematiklehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Studiengängen höherer Bildungseinrichtungen näher untersucht.

Lösung von Systemen durch die Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die zweite Gleichung des Systems eingesetzt wurde, trug dazu bei, eine Variable Y in der zweiten Gleichung zu erhalten . Die Lösung dieses Beispiels bereitet keine Schwierigkeiten und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu ermitteln. Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen durch die zweite Unbekannte ist für weitere Berechnungen zu umständlich. Wenn das System mehr als drei Unbekannte enthält, ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung für Systeme mit der Additionsmethode werden Term-für-Term-Addition und Multiplikation von Gleichungen mit verschiedenen Zahlen durchgeführt. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Anwendungen dieser Methode erfordern Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode zu lösen, wenn die Anzahl der Variablen 3 oder mehr beträgt. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsmethode durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss; die Anzahl der Unbekannten sollte ebenfalls nicht mehr als zwei betragen.

Die Methode wird verwendet, um eine der Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen zu vereinfachen. Die neue Gleichung wird in Bezug auf die eingegebene Unbekannte gelöst und der resultierende Wert wird zur Bestimmung der ursprünglichen Variablen verwendet.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch die Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein Standardquadrattrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante ermitteln.

Der Wert der Diskriminante muss mithilfe der bekannten Formel D = b2 - 4*a*c ermittelt werden, wobei D die gewünschte Diskriminante und b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zur Lösung von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Die Methode besteht darin, Diagramme jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse darzustellen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode weist eine Reihe von Nuancen auf. Betrachten Sie mehrere Beispiele für die visuelle Lösung linearer Gleichungssysteme.

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden im Diagramm markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel gilt es, eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0 zu finden.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer gesamten Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, beim Aufbau wird jedoch deutlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte beachtet werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, ein Diagramm zu erstellen.

Matrix und ihre Varianten

Matrizen werden verwendet, um ein System linearer Gleichungen kurz aufzuschreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrixvektor ist eine einspaltige Matrix mit einer unendlich möglichen Anzahl von Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird Identität genannt.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation sich die ursprüngliche Matrix in eine Einheitsmatrix verwandelt. Eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische Matrix.

Regeln zur Umwandlung eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterschiedlich ist, muss anstelle der fehlenden Unbekannten eine Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, der Koeffizient der Unbekannten y – nur in die zweite.

Bei der Multiplikation einer Matrix werden alle Elemente der Matrix nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Ermitteln der inversen Matrix ist recht einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist - Matrixdeterminante. |K| darf nicht gleich Null sein, dann hat das System eine Lösung.

Die Determinante lässt sich für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix leicht berechnen, es ist lediglich erforderlich, die Elemente diagonal miteinander zu multiplizieren. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich merken, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element entnehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Die Matrixlösungsmethode ermöglicht die Reduzierung umständlicher Eingaben bei der Lösung von Systemen mit einer großen Anzahl von Variablen und Gleichungen.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor, x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess der Lösungsfindung für Systeme wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um die Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gaußsche Methode ähnelt stark den Substitutions- und algebraischen Additionslösungen, ist jedoch systematischer. Im Schulunterricht wird die Gaußsche Lösung für Systeme aus 3 und 4 Gleichungen verwendet. Der Zweck der Methode besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems gefunden. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 – mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf die sequentielle Substitution bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern der 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Gaußsche Lösung wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten: 3x 3 -2x 4 =11 und 3x 3 +2x 4 =7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Der im Text erwähnte Satz 5 besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch äquivalent zum ursprünglichen ist.

Die Gaußsche Methode ist für Schüler der Mittelstufe schwer zu verstehen, stellt aber eine der interessantesten Möglichkeiten dar, den Einfallsreichtum von Kindern im fortgeschrittenen Studienprogramm im Mathematik- und Physikunterricht zu fördern.

Um die Aufzeichnung von Berechnungen zu erleichtern, ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern geben die Nummern der Gleichungen im System an.

Zuerst notieren sie die Matrix, mit der gearbeitet werden soll, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem „Pfeil“-Zeichen geschrieben und die erforderlichen algebraischen Operationen werden fortgesetzt, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, das heißt, die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, Berechnungen mit den Zahlen beider Seiten der Gleichung durchzuführen.

Diese Notation ist weniger umständlich und ermöglicht es Ihnen, sich nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter ablenken zu lassen.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege zur Lösungsfindung sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Tätigkeit vorzuziehen, während andere dem Zweck des Lernens dienen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Der Schüler hat 200 Rubel, um in der Schule zu Mittag zu essen. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee kostet 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee kann man für 200 Rubel kaufen?

Geben Sie die Anzahl der Kuchen an X, und die Anzahl der Tassen Kaffee durch j. Dann werden die Kosten für Kuchen mit dem Ausdruck 25 bezeichnet X und die Kosten für Kaffeetassen in 10 j .

25X- Preis X Kuchen
10y- Preis j Tassen Kaffee

Der Gesamtbetrag sollte 200 Rubel betragen. Dann erhalten wir eine Gleichung mit zwei Variablen X Und j

25X+ 10j= 200

Wie viele Wurzeln hat diese Gleichung?

Es hängt alles vom Appetit des Schülers ab. Wenn er 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kauft, sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen 6 und 5.

Das Wertepaar 6 und 5 soll die Wurzeln der Gleichung 25 sein X+ 10j= 200 . Geschrieben als (6; 5), wobei die erste Zahl der Wert der Variablen ist X und der zweite - der Wert der Variablen j .

6 und 5 sind nicht die einzigen Wurzeln, die Gleichung 25 umkehren X+ 10j= 200 zur Identität. Auf Wunsch kann ein Student für die gleichen 200 Rubel 4 Kuchen und 10 Tassen Kaffee kaufen:

In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 ist das Wertepaar (4; 10).

Außerdem darf ein Student überhaupt keinen Kaffee kaufen, dafür aber Kuchen für ganze 200 Rubel. Dann sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 werden die Werte 8 und 0 sein

Oder umgekehrt: Kaufen Sie keine Kuchen, sondern Kaffee für alle 200 Rubel. Dann sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 werden die Werte 0 und 20 sein

Versuchen wir, alle möglichen Wurzeln der Gleichung 25 aufzulisten X+ 10j= 200 . Lassen Sie uns die Werte vereinbaren X Und j gehören zur Menge der ganzen Zahlen. Und seien diese Werte größer oder gleich Null:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

So ist es für den Schüler selbst praktisch. Kuchen lassen sich bequemer im Ganzen kaufen als beispielsweise mehrere ganze Kuchen und einen halben Kuchen. Kaffee lässt sich auch bequemer in ganzen Tassen einnehmen als beispielsweise mehrere ganze Tassen und eine halbe Tasse.

Beachten Sie das für ungerade X Es ist unmöglich, Gleichheit unter allen zu erreichen j. Dann die Werte X Es wird die folgenden Zahlen geben: 0, 2, 4, 6, 8. Und wissend X lässt sich leicht ermitteln j

Somit haben wir die folgenden Wertepaare erhalten (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Diese Paare sind Lösungen oder Wurzeln von Gleichung 25 X+ 10j= 200. Sie verwandeln diese Gleichung in eine Identität.

Typgleichung Axt + by = c angerufen lineare Gleichung mit zwei Variablen. Eine Lösung oder Wurzeln dieser Gleichung ist ein Wertepaar ( X; j), was daraus eine Identität macht.

Beachten Sie auch, dass eine lineare Gleichung mit zwei Variablen wie folgt geschrieben wird: ax + by = c , dann sagen sie, dass es geschrieben steht kanonisch(Normal-)Form.

Einige lineare Gleichungen in zwei Variablen können auf die kanonische Form reduziert werden.

Zum Beispiel die Gleichung 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − j) kann in Erinnerung gerufen werden Axt + by = c. Öffnen wir die Klammern in beiden Teilen dieser Gleichung, erhalten wir 32X + 6j − 8 = 24 + 16X − 2j . Die Terme, die Unbekannte enthalten, werden auf der linken Seite der Gleichung gruppiert, und die Terme, die keine Unbekannten enthalten, werden auf der rechten Seite gruppiert. Dann bekommen wir 32X - 16X+ 6j+ 2j = 24 + 8 . Bringen wir in beiden Teilen ähnliche Terme ein, erhalten wir Gleichung 16 X+ 8j= 32. Diese Gleichung wird auf die Form reduziert Axt + by = c und ist kanonisch.

Gleichung 25 wurde zuvor betrachtet X+ 10j= 200 ist ebenfalls eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in kanonischer Form. In dieser Gleichung sind die Parameter A , B Und C entsprechen den Werten 25, 10 bzw. 200.

Eigentlich die Gleichung Axt + by = c hat unendlich viele Lösungen. Lösen der Gleichung 25X+ 10j= 200, Wir haben nach seinen Wurzeln nur auf der Menge der ganzen Zahlen gesucht. Als Ergebnis erhielten wir mehrere Wertepaare, die diese Gleichung in eine Identität verwandelten. Aber auf der Menge der rationalen Zahlen Gleichung 25 X+ 10j= 200 wird unendlich viele Lösungen haben.

Um neue Wertepaare zu erhalten, müssen Sie einen beliebigen Wert für annehmen X, dann ausdrücken j. Nehmen wir zum Beispiel eine Variable X Wert 7. Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 25×7 + 10j= 200 in dem man sich ausdrücken kann j

Lassen X= 15 . Dann die Gleichung 25X+ 10j= 200 wird zu 25 × 15 + 10j= 200. Von hier aus finden wir das j = −17,5

Lassen X= −3 . Dann die Gleichung 25X+ 10j= 200 wird zu 25 × (−3) + 10j= 200. Von hier aus finden wir das j = −27,5

System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Für die Gleichung Axt + by = c Sie können beliebig oft beliebige Werte dafür annehmen X und finde Werte für j. Für sich genommen wird eine solche Gleichung unendlich viele Lösungen haben.

Es kommt aber auch vor, dass die Variablen X Und j nicht durch eine, sondern durch zwei Gleichungen verbunden. In diesem Fall bilden sie die sogenannten System linearer Gleichungen mit zwei Variablen. Ein solches Gleichungssystem kann ein Wertepaar (oder anders gesagt: „eine Lösung“) haben.

Es kann auch vorkommen, dass das System überhaupt keine Lösungen hat. Ein lineares Gleichungssystem kann in seltenen Ausnahmefällen unendlich viele Lösungen haben.

Zwei lineare Gleichungen bilden ein System, wenn die Werte X Und j sind in jeder dieser Gleichungen enthalten.

Kehren wir zur allerersten Gleichung 25 zurück X+ 10j= 200 . Eines der Wertepaare für diese Gleichung war das Paar (6; 5). Dies ist der Fall, wenn man für 200 Rubel 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kaufen könnte.

Wir stellen das Problem so zusammen, dass das Paar (6; 5) die einzige Lösung für Gleichung 25 wird X+ 10j= 200 . Dazu stellen wir eine weitere Gleichung auf, die dasselbe verbinden würde X Kuchen und j Tassen Kaffee.

Lassen Sie uns den Text der Aufgabe wie folgt formulieren:

„Ein Schüler kaufte mehrere Kuchen und mehrere Tassen Kaffee für 200 Rubel. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee kostet 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee hat der Schüler gekauft, wenn bekannt ist, dass die Anzahl der Kuchen um eins größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee?

Wir haben bereits die erste Gleichung. Dies ist Gleichung 25 X+ 10j= 200 . Schreiben wir nun eine Gleichung für die Bedingung „Die Anzahl der Kuchen ist eine Einheit mehr als die Anzahl der Tassen Kaffee“ .

Die Anzahl der Kuchen beträgt X, und die Anzahl der Tassen Kaffee beträgt j. Sie können diesen Satz mithilfe der Gleichung schreiben x − y= 1. Diese Gleichung würde bedeuten, dass der Unterschied zwischen Kuchen und Kaffee 1 beträgt.

x=y+ 1 . Diese Gleichung bedeutet, dass die Anzahl der Kuchen um eins größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee. Um Gleichheit zu erreichen, wird daher eins zur Anzahl der Tassen Kaffee addiert. Dies kann leicht verstanden werden, wenn wir das Gewichtsmodell verwenden, das wir bei der Untersuchung der einfachsten Probleme berücksichtigt haben:

Habe zwei Gleichungen: 25 X+ 10j= 200 und x=y+ 1. Da die Werte X Und j, nämlich 6 und 5 sind in jeder dieser Gleichungen enthalten, dann bilden sie zusammen ein System. Schreiben wir dieses System auf. Bilden die Gleichungen ein System, so werden sie durch das Vorzeichen des Systems eingerahmt. Das Systemzeichen ist eine geschweifte Klammer:

Lassen Sie uns dieses System lösen. Dadurch können wir sehen, wie wir zu den Werten 6 und 5 kommen. Es gibt viele Methoden zur Lösung solcher Systeme. Betrachten Sie die beliebtesten davon.

Substitutionsmethode

Der Name dieser Methode spricht für sich. Sein Wesen besteht darin, eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, nachdem zuvor eine der Variablen ausgedrückt wurde.

In unserem System muss nichts ausgedrückt werden. In der zweiten Gleichung X = j+ 1 Variable X schon geäußert. Diese Variable entspricht dem Ausdruck j+ 1 . Dann können Sie diesen Ausdruck anstelle der Variablen in die erste Gleichung einsetzen X

Nach dem Ersetzen des Ausdrucks j+ 1 stattdessen in die erste Gleichung ein X, wir erhalten die Gleichung 25(j+ 1) + 10j= 200 . Dies ist eine lineare Gleichung mit einer Variablen. Diese Gleichung ist ganz einfach zu lösen:

Wir haben den Wert der Variablen gefunden j. Jetzt setzen wir diesen Wert in eine der Gleichungen ein und ermitteln den Wert X. Hierzu ist es zweckmäßig, die zweite Gleichung zu verwenden X = j+ 1 . Lassen Sie uns Wert darauf legen j

Das Paar (6; 5) ist also eine Lösung des Gleichungssystems, wie wir es beabsichtigt haben. Wir prüfen und stellen sicher, dass das Paar (6; 5) das System erfüllt:

Beispiel 2

Ersetzen Sie die erste Gleichung X= 2 + j in die zweite Gleichung 3 X - 2j= 9 . In der ersten Gleichung die Variable X ist gleich dem Ausdruck 2 + j. Wir setzen diesen Ausdruck stattdessen in die zweite Gleichung ein X

Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln X. Ersetzen Sie dazu den Wert j in die erste Gleichung ein X= 2 + j

Die Lösung des Systems ist also der Paarwert (5; 3)

Beispiel 3. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen wird hier eine der Variablen nicht explizit ausgedrückt.

Um eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, benötigen Sie zunächst .

Es ist wünschenswert, die Variable auszudrücken, die einen Koeffizienten von eins hat. Die Koeffizienteneinheit hat eine Variable X, die in der ersten Gleichung enthalten ist X+ 2j= 11 . Lassen Sie uns diese Variable ausdrücken.

Nach einem variablen Ausdruck X, unser System wird so aussehen:

Jetzt setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein und ermitteln den Wert j

Ersatz j X

Die Lösung des Systems ist also ein Wertepaar (3; 4)

Natürlich können Sie auch eine Variable ausdrücken j. Die Wurzeln werden sich nicht ändern. Aber wenn Sie es ausdrücken ja, Das Ergebnis ist keine sehr einfache Gleichung, deren Lösung mehr Zeit in Anspruch nehmen wird. Es wird so aussehen:

Das sehen wir in diesem Beispiel zum Ausdruck bringen X viel bequemer als auszudrücken j .

Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Drücken Sie in der ersten Gleichung aus X. Dann nimmt das System die Form an:

j

Ersatz j in die erste Gleichung einsetzen und finden X. Sie können die ursprüngliche Gleichung 7 verwenden X+ 9j= 8 oder verwenden Sie die Gleichung, in der die Variable ausgedrückt wird X. Wir werden diese Gleichung verwenden, weil sie praktisch ist:

Die Lösung des Systems ist also das Wertepaar (5; −3)

Additionsmethode

Bei der Additionsmethode werden die im System enthaltenen Gleichungen Term für Term addiert. Diese Addition führt zu einer neuen Gleichung mit einer Variablen. Und es ist ziemlich einfach, diese Gleichung zu lösen.

Lösen wir das folgende Gleichungssystem:

Addiere die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. Wir erhalten die folgende Gleichheit:

Hier sind ähnliche Begriffe:

Als Ergebnis haben wir die einfachste Gleichung 3 erhalten X= 27, deren Wurzel 9 ist. Den Wert kennen X Sie können den Wert finden j. Ersetzen Sie den Wert X in die zweite Gleichung x − y= 3 . Wir erhalten 9 − j= 3 . Von hier j= 6 .

Die Lösung des Systems ist also ein Wertepaar (9; 6)

Beispiel 2

Addiere die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. In der resultierenden Gleichheit präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Als Ergebnis erhielten wir die einfachste Gleichung 5 X= 20, dessen Wurzel 4 ist. Den Wert kennen X Sie können den Wert finden j. Ersetzen Sie den Wert X in die erste Gleichung 2 x+y= 11 . Lass uns 8+ bekommen j= 11 . Von hier j= 3 .

Die Lösung des Systems ist also das Wertepaar (4;3)

Der Additionsprozess wird nicht im Detail beschrieben. Es muss im Kopf geschehen. Beim Addieren müssen beide Gleichungen auf die kanonische Form zurückgeführt werden. Das heißt ac+by=c .

Aus den betrachteten Beispielen ist ersichtlich, dass das Hauptziel des Hinzufügens von Gleichungen darin besteht, eine der Variablen zu entfernen. Allerdings ist es nicht immer möglich, das Gleichungssystem sofort mit der Additionsmethode zu lösen. Meistens wird das System vorab in eine Form gebracht, in der es möglich ist, die in diesem System enthaltenen Gleichungen hinzuzufügen.

Zum Beispiel das System kann direkt durch die Additionsmethode gelöst werden. Bei der Addition beider Gleichungen ergeben sich die Terme j Und −y verschwinden, weil ihre Summe Null ist. Als Ergebnis wird die einfachste Gleichung gebildet 11 X= 22 , dessen Wurzel 2 ist. Dann wird es möglich sein, zu bestimmen j gleich 5.

Und das Gleichungssystem Die Additionsmethode kann nicht sofort gelöst werden, da dies nicht zum Verschwinden einer der Variablen führt. Die Addition führt zu Gleichung 8 X+ j= 28 , das unendlich viele Lösungen hat.

Wenn beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine der angegebenen Gleichung äquivalente Gleichung. Diese Regel gilt auch für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Eine der Gleichungen (oder beide Gleichungen) kann mit einer Zahl multipliziert werden. Das Ergebnis ist ein äquivalentes System, dessen Wurzeln mit dem vorherigen übereinstimmen.

Kehren wir zum allerersten System zurück, in dem beschrieben wurde, wie viele Kuchen und Tassen Kaffee der Schüler gekauft hat. Die Lösung dieses Systems war ein Wertepaar (6; 5).

Wir multiplizieren beide in diesem System enthaltenen Gleichungen mit einigen Zahlen. Nehmen wir an, wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3

Das Ergebnis ist ein System
Die Lösung dieses Systems ist immer noch das Wertepaar (6; 5)

Dies bedeutet, dass die im System enthaltenen Gleichungen auf eine für die Anwendung der Additionsmethode geeignete Form reduziert werden können.

Zurück zum System , was wir mit der Additionsmethode nicht lösen konnten.

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit −2

Dann erhalten wir das folgende System:

Wir fügen die in diesem System enthaltenen Gleichungen hinzu. Hinzufügen von Komponenten 12 X und -12 X ergibt 0, Addition 18 j und 4 j wird 22 geben j, und die Addition von 108 und −20 ergibt 88. Dann erhält man die Gleichung 22 j= 88, also j = 4 .

Wenn Ihnen das Hinzufügen von Gleichungen zunächst schwer fällt, können Sie aufschreiben, wie die linke Seite der ersten Gleichung zur linken Seite der zweiten Gleichung und die rechte Seite der ersten Gleichung zur rechten Seite hinzugefügt wird die zweite Gleichung:

Wissen, dass der Wert der Variablen j 4 ist, können Sie den Wert finden X. Ersatz j in eine der Gleichungen, zum Beispiel in die erste Gleichung 2 X+ 3j= 18 . Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 2 X+ 12 = 18 . Wir übertragen 12 auf die rechte Seite, ändern das Vorzeichen und erhalten 2 X= 6, also X = 3 .

Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit −1. Dann nimmt das System die folgende Form an:

Addieren wir beide Gleichungen. Hinzufügen von Komponenten X Und −x ergibt 0, Addition 5 j und 3 j gebe 8 j und die Addition von 7 und 1 ergibt 8. Das Ergebnis ist Gleichung 8 j= 8, dessen Wurzel 1 ist. Wissen, dass der Wert j 1 ist, können Sie den Wert finden X .

Ersatz j in die erste Gleichung erhalten wir X+ 5 = 7 also X= 2

Beispiel 5. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Es ist wünschenswert, dass die Begriffe, die dieselben Variablen enthalten, untereinander stehen. Daher sind in der zweiten Gleichung die Terme 5 j und −2 X Plätze tauschen. Als Ergebnis wird das System die Form annehmen:

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 3. Dann nimmt das System die Form an:

Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition erhalten wir Gleichung 8 j= 16 , dessen Wurzel 2 ist.

Ersatz j In die erste Gleichung erhalten wir 6 X− 14 = 40 . Wir übertragen den Term −14 auf die rechte Seite, ändern das Vorzeichen und erhalten 6 X= 54 . Von hier X= 9.

Beispiel 6. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Lassen Sie uns Brüche loswerden. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 36 ​​und die zweite mit 12

Im resultierenden System Die erste Gleichung kann mit −5 und die zweite mit 8 multipliziert werden

Fügen wir die Gleichungen zum resultierenden System hinzu. Dann erhalten wir die einfachste Gleichung −13 j= −156 . Von hier j= 12 . Ersatz j in die erste Gleichung einsetzen und finden X

Beispiel 7. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Wir bringen beide Gleichungen in die Normalform. Hier bietet es sich an, die Proportionsregel in beiden Gleichungen anzuwenden. Wenn in der ersten Gleichung die rechte Seite als dargestellt wird und die rechte Seite der zweiten Gleichung als , dann nimmt das System die Form an:

Wir haben einen Anteil. Wir multiplizieren seine Extrem- und Mittelterme. Dann nimmt das System die Form an:

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit −3 und öffnen die Klammern in der zweiten:

Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition dieser Gleichungen erhalten wir eine Gleichheit, in deren beiden Teilen Null steht:

Es stellt sich heraus, dass das System unendlich viele Lösungen hat.

Aber wir können nicht einfach beliebige Werte vom Himmel nehmen X Und j. Wir können einen der Werte angeben, der andere wird abhängig von dem von uns angegebenen Wert bestimmt. Lassen Sie zum Beispiel X= 2 . Ersetzen Sie diesen Wert im System:

Als Ergebnis der Lösung einer der Gleichungen wird der Wert für j, was beide Gleichungen erfüllt:

Das resultierende Wertepaar (2; −2) erfüllt das System:

Suchen wir ein anderes Wertepaar. Lassen X= 4. Setzen Sie diesen Wert in das System ein:

Das kann man mit dem Auge feststellen j gleich Null. Dann erhalten wir ein Wertepaar (4; 0), das unserem System genügt:

Beispiel 8. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit 12

Schreiben wir um, was noch übrig ist:

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit −1. Dann nimmt das System die Form an:

Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition wird Gleichung 6 gebildet B= 48 , dessen Wurzel 8 ist. Ersatz B in die erste Gleichung einsetzen und finden A

System linearer Gleichungen mit drei Variablen

Eine lineare Gleichung mit drei Variablen enthält drei Variablen mit Koeffizienten sowie einen Achsenabschnitt. In kanonischer Form kann es wie folgt geschrieben werden:

ax + by + cz = d

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Indem man zwei Variablen unterschiedliche Werte zuweist, kann ein dritter Wert gefunden werden. Die Lösung ist in diesem Fall das Wertetripel ( X; y; z), was die Gleichung in eine Identität umwandelt.

Wenn Variablen x, y, z durch drei Gleichungen miteinander verbunden sind, dann entsteht ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Variablen. Um ein solches System zu lösen, können Sie dieselben Methoden anwenden, die auch für lineare Gleichungen mit zwei Variablen gelten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.

Beispiel 1. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Wir drücken in der dritten Gleichung aus X. Dann nimmt das System die Form an:

Jetzt machen wir die Substitution. Variable X ist gleich dem Ausdruck 3 − 2j − 2z . Setzen Sie diesen Ausdruck in die erste und zweite Gleichung ein:

Öffnen wir die Klammern in beiden Gleichungen und geben ähnliche Terme an:

Wir sind zu einem System linearer Gleichungen mit zwei Variablen gekommen. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Additionsmethode anzuwenden. Als Ergebnis die Variable j verschwindet und wir können den Wert der Variablen finden z

Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln j. Hierzu ist es zweckmäßig, die Gleichung − zu verwenden j+ z= 4. Ersetzen Sie den Wert z

Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln X. Hierzu ist es zweckmäßig, die Gleichung zu verwenden X= 3 − 2j − 2z . Ersetzen Sie die Werte darin j Und z

Somit ist das Wertetripel (3; −2; 2) die Lösung unseres Systems. Durch die Prüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:

Beispiel 2. Lösen Sie das System mit der Additionsmethode

Addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten multipliziert mit −2.

Wenn die zweite Gleichung mit −2 multipliziert wird, nimmt sie die Form an −6X+ 6y- 4z = −4 . Fügen Sie es nun zur ersten Gleichung hinzu:

Wir sehen, dass als Ergebnis elementarer Transformationen der Wert der Variablen bestimmt wurde X. Es ist gleich eins.

Kehren wir zum Hauptsystem zurück. Addieren wir die zweite Gleichung mit der dritten multipliziert mit −1. Wenn die dritte Gleichung mit −1 multipliziert wird, nimmt sie die Form an −4X + 5j − 2z = −1 . Fügen Sie es nun zur zweiten Gleichung hinzu:

Habe die Gleichung verstanden X - 2j= −1 . Setzen Sie den Wert darin ein X was wir früher gefunden haben. Dann können wir den Wert ermitteln j

Wir kennen jetzt die Werte X Und j. Dadurch können Sie den Wert ermitteln z. Wir verwenden eine der im System enthaltenen Gleichungen:

Somit ist das Wertetripel (1; 1; 1) die Lösung unseres Systems. Durch die Prüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:

Aufgaben zur Erstellung linearer Gleichungssysteme

Die Aufgabe, Gleichungssysteme aufzustellen, wird durch die Einführung mehrerer Variablen gelöst. Als nächstes werden Gleichungen basierend auf den Bedingungen des Problems zusammengestellt. Aus den aufgestellten Gleichungen bilden sie ein System und lösen es. Nachdem das System gelöst wurde, muss überprüft werden, ob seine Lösung die Bedingungen des Problems erfüllt.

Aufgabe 1. Ein Wolga-Wagen verließ die Stadt in Richtung Kolchose. Sie kehrte auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste. Insgesamt legte das Auto 35 km in beide Richtungen zurück. Wie viele Kilometer ist jede Straße lang?

Lösung

Lassen X- Länge der ersten Straße, j- die Länge der Sekunde. Wenn das Auto 35 km in beide Richtungen zurückgelegt hat, kann die erste Gleichung wie folgt geschrieben werden: X+ j= 35. Diese Gleichung beschreibt die Summe der Längen beider Straßen.

Es wird gesagt, dass das Auto auf der Straße zurückfuhr, die um 5 km kürzer war als die erste. Dann kann die zweite Gleichung geschrieben werden als X− j= 5. Diese Gleichung zeigt, dass der Unterschied zwischen den Straßenlängen 5 km beträgt.

Oder die zweite Gleichung kann geschrieben werden als X= j+ 5 . Wir werden diese Gleichung verwenden.

Da die Variablen X Und j in beiden Gleichungen die gleiche Zahl bezeichnen, dann können wir daraus ein System bilden:

Lassen Sie uns dieses System mit einer der zuvor untersuchten Methoden lösen. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Substitutionsmethode zu verwenden, da in der zweiten Gleichung die Variable X schon geäußert.

Setze die zweite Gleichung in die erste ein und finde j

Ersetzen Sie den gefundenen Wert j in die zweite Gleichung X= j+ 5 und finden X

Die Länge der ersten Straße wurde durch die Variable angegeben X. Jetzt haben wir seine Bedeutung gefunden. Variable X ist 20. Die Länge der ersten Straße beträgt also 20 km.

Und die Länge der zweiten Straße wurde durch angegeben j. Der Wert dieser Variablen beträgt 15. Die Länge der zweiten Straße beträgt also 15 km.

Machen wir einen Check. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:

Prüfen wir nun, ob die Lösung (20; 15) die Bedingungen des Problems erfüllt.

Insgesamt soll das Auto 35 km in beide Richtungen gefahren sein. Wir addieren die Längen beider Straßen und stellen sicher, dass die Lösung (20; 15) diese Bedingung erfüllt: 20 km + 15 km = 35 km

Nächste Bedingung: Das Auto fuhr auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste . Wir sehen, dass die Lösung (20; 15) auch diese Bedingung erfüllt, da 15 km um 5 km kürzer als 20 km sind: 20 km − 15 km = 5 km

Bei der Zusammenstellung eines Systems ist es wichtig, dass die Variablen in allen in diesem System enthaltenen Gleichungen die gleichen Zahlen bezeichnen.

Unser System enthält also zwei Gleichungen. Diese Gleichungen enthalten wiederum die Variablen X Und j, die in beiden Gleichungen die gleichen Zahlen bezeichnen, nämlich die Straßenlängen von 20 km und 15 km.

Aufgabe 2. Auf den Bahnsteig wurden Eichen- und Kiefernschwellen geladen, insgesamt 300 Schwellen. Es ist bekannt, dass alle Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als alle Kiefernschwellen. Bestimmen Sie, wie viele Eichen- und Kiefernschwellen es getrennt gab, wenn jede Eichenschwelle 46 kg und jede Kiefernschwelle 28 kg wog.

Lösung

Lassen X Eiche und j Kiefernschwellen wurden auf den Bahnsteig geladen. Wenn es insgesamt 300 Schwellen gäbe, kann die erste Gleichung wie folgt geschrieben werden: x+y = 300 .

Alle Eichenschwellen wogen 46 X kg und Kiefer wogen 28 j kg. Da Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als Kiefernschwellen, kann die zweite Gleichung wie folgt geschrieben werden: 28y- 46X= 1000 . Diese Gleichung zeigt, dass der Massenunterschied zwischen Eichen- und Kiefernschwellen 1000 kg beträgt.

Tonnen wurden in Kilogramm umgerechnet, da die Masse von Eichen- und Kiefernschwellen in Kilogramm gemessen wird.

Als Ergebnis erhalten wir zwei Gleichungen, die das System bilden

Lassen Sie uns dieses System lösen. Drücken Sie in der ersten Gleichung aus X. Dann nimmt das System die Form an:

Setze die erste Gleichung in die zweite ein und finde j

Ersatz j in die Gleichung ein X= 300 − j und finden Sie heraus, was X

Das bedeutet, dass 100 Eichen- und 200 Kiefernholzschwellen auf den Bahnsteig geladen wurden.

Überprüfen wir, ob die Lösung (100; 200) die Bedingungen des Problems erfüllt. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:

Es hieß, es seien insgesamt 300 Schläfer gewesen. Wir addieren die Anzahl der Eichen- und Kiefernschwellen und stellen sicher, dass die Lösung (100; 200) diese Bedingung erfüllt: 100 + 200 = 300.

Nächste Bedingung: Alle Eichenschwellen wogen 1 Tonne weniger als alle Kiefernholzschwellen . Wir sehen, dass die Lösung (100; 200) auch diese Bedingung erfüllt, da 46 × 100 kg Eichenschwellen leichter sind als 28 × 200 kg Kiefernschwellen: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Aufgabe 3. Wir haben drei Stücke einer Legierung aus Kupfer und Nickel im Gewichtsverhältnis 2:1, 3:1 und 5:1 genommen. Davon wurde ein 12 kg schweres Stück mit einem Verhältnis von Kupfer- und Nickelgehalt von 4:1 verschmolzen. Ermitteln Sie die Masse jedes Originalstücks, wenn die Masse des ersten Stücks doppelt so groß ist wie die Masse des zweiten.

LÖSUNG EINES SYSTEMS AUS 3 LINEAREN GLEICHUNGEN

MIT DREI VARIABLEN

Ziel:

Entwickeln Sie die Fähigkeit, Matrizen zu transformieren;

Bauen Sie Fähigkeiten zur Systemlösung auf3 lineare Gleichungen mit drei Variablen nach der Cramer-Methode;

Festigung des Wissens über die Eigenschaften von Determinanten 2. und 3. Ordnung;

Logistik und technischer Support: methodische Hinweise zur Arbeitsdurchführung;

Vorlaufzeit: 2 akademische Stunden;

Unterrichtsfortschritt:

Studieren Sie kurze theoretische Informationen;

Erledige Aufgaben;

Machen Sie eine Schlussfolgerung zur Arbeit;

Bereiten Sie eine Verteidigung der Arbeit zu Kontrollfragen vor.

Kurze theoretische Informationen:

Eine Matrix ist eine quadratische oder rechteckige Tabelle., gefüllt mit Zahlen. Diese Zahlen werden Matrixelemente genannt..

Matrixelemente, horizontal angeordnet, bilden die Zeilen der Matrix. Matrixelemente, vertikal angeordnet, bilden die Spalten der Matrix.

Die Zeilen werden von links nach rechts nummeriert, beginnend mit der Zahl1, Die Spalten sind von oben nach unten nummeriert, beginnend mit der Zahl1.

MatrixA , habenM Linien undN Säulen, wird als Matrix bezeichnetGrößeM AnN und bezeichnetA m∙n . ElementA ich j MatrizenA = { A ij } steht an der Kreuzungich - oh Linie undJ- Spalte.

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix ist die Diagonale, die von der oberen linken Ecke der Matrix zur unteren rechten Ecke führt.Die Seitendiagonale einer quadratischen Matrix ist die Diagonale, die von der unteren linken Ecke der Matrix zur oberen rechten Ecke führt.

Zwei Matrizen gelten als gleich, wenn sie die gleiche Dimension haben und ihre entsprechenden Elemente gleich sind.

Jede Matrix kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden, und wennk - Nummer alsok ∙ A ={ k ∙ A ij }.

Matrizen gleicher GrößeA m∙n UndB m∙n kann hinzugefügt werden, undA m∙n + B m∙n = { A ij + B ich J }.

Die Operation der Matrixaddition hat die EigenschaftenA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Beispiel 1 Durchführen von Operationen an Matrizen, Finden Sie die Matrix С= 2A - B, wobei, .

Lösung.

Berechnen Sie die 3x3-Matrix 2A:

Berechnen wir die Matrix C = 2A – in der 3x3-Dimension:

C = 2 A - B .

Die Determinante einer Matrix dritter Ordnung die durch die Gleichheit definierte Zahl heißt:

.

Diese Zahl stellt eine algebraische Summe dar, die aus sechs Termen besteht. Jeder Term enthält genau ein Element aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix. Jeder Term besteht aus dem Produkt von drei Faktoren.

Abb.1.1. Abb.1.2.

Die Vorzeichen, mit denen die Terme der Determinante in die Formel zur Ermittlung der Determinante dritter Ordnung eingehen, können nach dem obigen Schema bestimmt werden, das als Dreiecksregel oder Sarrus-Regel bezeichnet wird. Die ersten drei Terme werden mit einem Pluszeichen genommen und aus Abbildung (1.1.) bestimmt, und die nächsten drei Terme werden mit einem Minuszeichen genommen und aus Abbildung (1.2) bestimmt.

Beispiel 2 Berechnen Sie die Determinante dritter Ordnung mithilfe der Sarrus-Regel:

Lösung:

Beispiel 3 Berechnen Sie die Determinante dritter Ordnung mithilfe der Entwicklung über die Elemente der ersten Zeile:

Lösung:

Wir verwenden die Formel:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Betrachten Sie die Haupteigenschaften von Determinanten:

Eine Determinante mit einer Nullzeile (Spalte) ist gleich Null.

Wenn Sie eine beliebige Zeile (eine beliebige Spalte) einer Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren, wird die Determinante der Matrix mit dieser Zahl multipliziert.

Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Matrix transponiert wird.

Die Determinante ändert das Vorzeichen, wenn zwei beliebige Zeilen (Spalten) der Matrix vertauscht werden.

Die Determinante einer Matrix mit zwei identischen Zeilen (Spalten) ist Null.

Die Determinante ändert sich nicht, wenn eine Zeile zu einer anderen Zeile multipliziert mit einer beliebigen Zahl addiert wird. Eine ähnliche Aussage gilt für Spalten.

Die Eigenschaften von Matrizen und Determinanten werden häufig bei der Lösung eines Systems aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten verwendet:

,

wo x 1 , X 2 , X 3 sind Variablen und 11 , A 12 ,…, A 33 - numerische Koeffizienten. Es ist zu beachten, dass bei der Lösung des Systems eine von drei möglichen Antworten möglich ist:

1) Das System hat eine eindeutige Lösung - (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) das System hat unendlich viele Lösungen (nicht definiert);

3) Das System hat keine Lösungen (inkompatibel).

Betrachten Sie die Lösung eines Systems aus drei linearen Gleichungen mit drei UnbekanntenCramers Methode, dieermöglicht Ihnen das Findendie einzige Lösung für das System, basierend auf der Fähigkeit, Determinanten dritter Ordnung zu berechnen:

Beispiel 3 Finden Sie eine Lösung für ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Formeln:

Lösung. Wir finden Determinanten dritter Ordnung mitSarrus-Regel oder Erweiterung um Elemente der ersten Reihe:

Wir finden die Lösung des Systems durch die Formeln:

Antwort: (- 152; 270; -254)

Aufgaben zur Selbstverwirklichung:

ICH. Finden Sie die Transformationsmatrix.

II. Determinante berechnenIIIBefehl.

III. Lösen Sie das System mit der Cramer-Methode.

Variante 1.

1. C = A +3 B , Wenn, . 2..

Option 2.

1. C =2 A - B ,Wenn, . 2..

Option 3.

1. C = 3 A + B , Wenn, . 2. .

Option 4.

1. C = A - 4 B , Wenn, . 2..

Option 5.

1. C = 4 A - B , Wenn, . 2..

Option 6.

1. C = A +2 B , Wenn, . 2..

Option 7.

1. C =2 A + B , Wenn, . 2..

Option 8.

1. C =3 A - B , Wenn, . 2..

Option 9.

1. C = A - 3 B , Wenn, . 2..

Option 10.

1. C = A - 2 B , Wenn, . 2..

Option 11.

1. C = A +4 B , Wenn, . 2..

Option 12.

1. C =4 A + B , Wenn, . 2..

Option 13.

1. C = A +3 B , Wenn, . 2..

Option 14.

1. C =2 A - B , Wenn, . 2..

Option 15.

1. C =3 A + B , Wenn, . 2..

Fragen zur Selbstkontrolle:

Was ist eine Matrix?

Regeln zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung?

Schreiben Sie Cramers Formeln zur Lösung eines Systems aus drei linearen Gleichungen in drei Variablen auf.

Betrachten Sie ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten

a 11 , a 12 , …, a 33 sind die Koeffizienten für die Unbekannten,

b 1 , b 2 , b 3- kostenlose Mitglieder.

System (2.4) zu lösen bedeutet, ein solches geordnetes Zahlentripel zu finden x 1 = c 1, x 2 = c 2, x 3 = c 3, wenn man sie in die Gleichungen des Systems einsetzt, werden diese zu Identitäten.

Ein Gleichungssystem, das Lösungen (einzelne oder unendliche Menge) hat, heißt gemeinsam, ein Gleichungssystem, das keine Lösungen hat, unvereinbar.

Lassen Sie uns drei Methoden zur Lösung des Systems (2.4) vorstellen.

Cramers Regel

Stellen Sie die Determinante des Systems aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammen

(2.5)

Wenn , dann hat das System (2.4) eine eindeutige Lösung, die durch die Cramer-Formeln gefunden wird:

wobei , , aus der Determinante erhalten werden, indem die erste, zweite und dritte Spalte jeweils durch eine Spalte mit freien Termen des Systems (2.4) ersetzt werden.

(2.7)

Beispiel 7 Lösen Sie das System

Wir berechnen die Determinante des Systems (2.5) und die Determinanten , , (2.6).

Daher verfügt das System über eine einzigartige Lösung.

Mit Cramers Formeln (2.6) finden wir:

Sie können eine Überprüfung durchführen, indem Sie die Werte der Unbekannten in die Gleichungen des Systems einsetzen.

Also, x 1 = x 2 = x 3 = 1 ist die Lösung des Systems.

Gauß-Methode

Betrachten Sie System (2.4):

Die Gauß-Methode, ansonsten die Methode der sequentiellen Eliminierung von Unbekannten, ist wie folgt. Lassen Sie aus der 2. und 3. Gleichung des Systems ausschließen x 1. Wir erhalten das System:

Wir erhalten ein Dreieckssystem. Aus der 3. Gleichung finden wir x 3, indem wir es in die 2. Gleichung einsetzen, finden wir x2, dann finden wir aus der 1. Gleichung x 1, hineinsetzen x2 Und x 3.

Beispiel 8 Lösen Sie das System

Wir ordnen die 3. und 1. Gleichung so um, dass in der 1. Gleichung der Koeffizient bei liegt x 1 war gleich 1.

Ausschließen x 1 aus der 2. und 3. Gleichung. Multiplizieren Sie dazu die 1. Gleichung mit (-4) und addieren Sie sie zur 2. Gleichung; Dann multiplizieren Sie die 1. Gleichung mit (-6) und addieren Sie sie zur 3. Gleichung. Wir erhalten das System:

Ausschließen x2 aus der 3. Gleichung. Multiplizieren Sie dazu die 2. Gleichung mit (-13/10) und addieren Sie sie zur 3. Gleichung. Wir erhalten das System:

Aus der letzten Gleichung finden wir x 3= -1 setzen wir in die 2. Gleichung ein:

10x2 - 13(-1) = -7, -10x2 = - 20, x2 = 2.

Ersetzen x2 Und x 3 in die 1. Gleichung erhalten wir

Die Lösung des Systems lautet also: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = -1.

Lösung des Systems mit der inversen Matrix

Gegebenes System: (2.8)

Lassen Sie uns eine Matrix erstellen A aus den Koeffizienten der Unbekannten die Spaltenmatrix X– aus Unbekannten, Matrixspalte IN- von kostenlosen Mitgliedern.

,

System (2.8) kann in Matrixform wie folgt geschrieben werden:

Entscheidungsmatrix X wird nach der Formel gefunden:

A -1 ist die Umkehrung der Matrix A Es besteht aus algebraischen Komplementen von Matrixelementen A nach Formel (2.3):

– Determinante oder Matrixdeterminante A, .

Beispiel 9 Lösungssystem:

Wir führen Matrizen ein: ,

Die inverse Matrix wurde in Beispiel 6 berechnet. Mit Formel (2.9) finden wir eine Lösung des Systems

Also, x 1=1, x2=1, x 3=1.

Elemente der Vektoralgebra

Vektor- gerichtetes Segment; bezeichnet mit oder . A ist der Anfang des Vektors, IN- Ende.

Länge oder Modul Der Vektor wird mit bezeichnet.

Reis. 21.

Im 0xyz-Koordinatenraum kann der Vektor dargestellt werden als:

(3.1)

Diese Formel gibt Erweiterung eines Vektors in Bezug auf eine Basis Vektoren , , ; , , - rechteckige kartesische Koordinaten des Vektors (ansonsten Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen).

Formel (3.1) kann wie folgt geschrieben werden:

– Vektor hat die Koordinaten , , .

Länge(Modul) des Vektors wird durch die Formel ermittelt:

. (3.2)

Wenn der Vektor durch die Ursprungskoordinaten gegeben ist A(x1,y1,z1) und Ende B(x2,y2,z2), dann werden die Koordinaten durch die Formeln ermittelt:

Wenn die Erweiterungen von Vektoren und entlang der Koordinatenachsen bekannt sind, werden beim Addieren (Subtrahieren) von Vektoren deren gleichnamige Koordinaten addiert (subtrahiert), beim Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl werden die Koordinaten des Vektors mit multipliziert diese Zahl, d.h.

(3.4)

Skalarprodukt Vektoren und , bezeichnet mit , ist die Zahl, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht

. (3.5)

Wenn, dann

. (3.6)

Wenn Vektoren und kollinear(parallel) dann

. (3.7)

Wenn Vektoren und senkrecht(senkrecht), dann

Oder (3.8)

Beispiel 10 Punkte vergeben Eine 1(1,0,-1), A2(2,-1,1), Eine 3(0,1,-2). Mit Hilfe der Vektoralgebra ist Folgendes zu finden:

1) Koordinaten von Vektoren und .

Wir verwenden Formel (3.3):

2) Vektorkoordinaten

Mit den Formeln (3.4) und (3.5) erhalten wir

Oder 1.2. Nach der Dreiecksregel: und der Länge des Vektors. Antwort:

3. Punkte A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5) sind gegeben. Finden:

a) Koordinaten (Projektionen) von Vektoren und

b) Vektorkoordinaten

c) Vektorlänge

4. Es werden Vektoren angegeben. Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren.

5. Beweisen Sie, dass die Vektoren und kollinear sind.

6. Beweisen Sie, dass die Vektoren orthogonal sind.

Lineare Gleichungen (Gleichungen ersten Grades) mit zwei Unbekannten

Definition 1 . Lineare Gleichung (Gleichung ersten Grades) mit zwei Unbekannten x und y benennen eine Gleichung, die wie folgt aussieht

Lösung . Drücken wir aus Gleichung (2) die Variable y durch die Variable x aus:

Aus Formel (3) folgt, dass alle Zahlenpaare der Form

wobei x eine beliebige Zahl ist.

Anmerkung . Wie aus der Lösung von Beispiel 1 ersichtlich ist, gilt Gleichung (2). unendlich viele Lösungen. Es ist jedoch wichtig, dies zu beachten nicht irgendein Zahlenpaar (X; j) ist eine Lösung dieser Gleichung. Um eine Lösung für Gleichung (2) zu erhalten, kann die Zahl x als beliebige Zahl angenommen werden und die Zahl y kann dann mithilfe der Formel (3) berechnet werden.

Systeme aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten

Definition 3 . Ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y werden als Gleichungssystem der Form bezeichnet

Wo A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 werden mit Zahlen versehen.

Definition 4 . Im Gleichungssystem (4) sind die Zahlen A 1 , B 1 , A 2 , B 2 werden aufgerufen und die Zahlen C 1 , C 2 – kostenlose Mitglieder.

Definition 5 . Durch Lösen des Gleichungssystems (4) Nennen Sie ein Zahlenpaar X; j) , was eine Lösung sowohl für die eine als auch für die andere Gleichung des Systems (4) ist.

Definition 6 . Die beiden Gleichungssysteme werden aufgerufen gleichwertig (äquivalent), wenn alle Lösungen des ersten Gleichungssystems Lösungen des zweiten Systems sind und alle Lösungen des zweiten Systems Lösungen des ersten Systems sind.

Die Äquivalenz von Gleichungssystemen wird mit dem Symbol „“ bezeichnet.

Mithilfe von Beispielen werden lineare Gleichungssysteme gelöst.

Beispiel 2 . Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung . System (5) lösen Wir eliminieren die Unbekannte aus der zweiten Gleichung des Systems X .

Zu diesem Zweck transformieren wir zunächst das System (5) in eine Form, in der die Koeffizienten für das unbekannte x in der ersten und zweiten Gleichung des Systems gleich werden.

Wenn die erste Gleichung von System (5) mit dem Koeffizienten bei x in der zweiten Gleichung (Nummer 7) multipliziert wird und die zweite Gleichung mit dem Koeffizienten bei x in der ersten Gleichung (Nummer 2) multipliziert wird, dann ist System (5) wird das Formular annehmen

Führen wir nun die folgenden Transformationen auf System (6) durch:

• Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten Gleichung und ersetzen Sie die zweite Gleichung des Systems durch die resultierende Differenz.

Dadurch wird System (6) in ein äquivalentes System umgewandelt

Aus der zweiten Gleichung finden wir j= 3 und wenn wir diesen Wert in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir

Antwort . (-2 ; 3) .

Beispiel 3 . Finden Sie alle Werte des Parameters p, für den das Gleichungssystem gilt

A) hat eine einzigartige Lösung;

B) hat unendlich viele Lösungen;

V) hat keine Lösungen.

Lösung . Wenn wir x durch y aus der zweiten Gleichung von System (7) ausdrücken und den resultierenden Ausdruck anstelle von x in die erste Gleichung von System (7) einsetzen, erhalten wir:

Lassen Sie uns die Lösungen des Systems (8) in Abhängigkeit von den Werten des Parameters p untersuchen. Dazu betrachten wir zunächst die erste Gleichung des Systems (8):

Wenn , dann hat Gleichung (9) eine eindeutige Lösung

Also für den Fall, dass , System (7) hat die einzige Lösung

Wenn P= - 2 , dann nimmt Gleichung (9) die Form an

und seine Lösung ist eine beliebige Zahl . Daher lautet die Lösung für System (7). unendliche Menge alle Zahlenpaare

,

wobei y eine beliebige Zahl ist.

Wenn P= 2 , dann nimmt Gleichung (9) die Form an

und hat keine Lösungen, woraus dieses System folgt (7) hat keine Lösungen.

Systeme aus drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten

Definition 7 . Ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten x , y und z nennen das Gleichungssystem der Form

Wo A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , A 3 , B 3 , C 3 , D 3 werden mit Zahlen versehen.

Definition 8 . Im Gleichungssystem (10) sind die Zahlen A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 , A 3 , B 3 , C 3 angerufen Koeffizienten bei unbekannt, und die Zahlen D 1 , D 2 , D 3 – kostenlose Mitglieder.

Definition 9 . Durch Lösen des Gleichungssystems (10) Nennen Sie ein Zahlentrio (X; j ; z) , Wenn man sie in jede der drei Gleichungen des Systems (10) einsetzt, erhält man die richtige Gleichheit.

Beispiel 4 . Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung . Wir werden System (11) mit lösen Methode zur sukzessiven Eliminierung von Unbekannten.

Hierzu zunächst einmal Wir eliminieren das Unbekannte aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems y durch Ausführen der folgenden Transformationen auf System (11):

• wir lassen die erste Gleichung des Systems unverändert;
• Addiere die erste Gleichung zur zweiten Gleichung und ersetze die zweite Gleichung des Systems durch die resultierende Summe;
• Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der dritten Gleichung und ersetzen Sie die dritte Gleichung des Systems durch die resultierende Differenz.

Dadurch wird System (11) umgewandelt in