Lorentz und deterministische nichtperiodische Bewegung. Abstract zur Mathematik zum Thema „Lorenz-Attraktor“. Werkzeuge zur Chaostheorie

Izv. Universitäten „PND“, V. 15, Nr. 1, 2007 UDC 517.9

LORENTZ-ATTRAKTOR IN SCHERFLÜSSEN

BIN. Muchamedow

Im Rahmen des zuvor vorgeschlagenen Modells der chaotischen Dynamik eines kontinuierlichen Mediums wird eine Realisierung des dreidimensionalen Regimes von Strömerhalten, die einem Attraktor vom Lorentz-Typ entsprechen. Die Lösung ist eine Reihe von Strukturen, die die Geometrie der geschichteten Mannigfaltigkeit bestimmen, reduziert auf den dreidimensionalen Fall, gebildet durch Pulsationen der mittleren Strömungsgeschwindigkeiten. Die Dynamik des Lorentz-Attraktors selbst manifestiert sich in Form einer Zeitabhängigkeit von Geschwindigkeitsschwankungen entlang der Stromlinien der mittleren Strömung.

Bekanntlich wurde eines der klassischen Beispiele für deterministisches Chaos, der Lorentz-Attraktor, der als Ergebnis der angewandten hydrodynamischen Forschung entdeckt wurde, im Formalismus der bestehenden turbulenten Mechanik noch nicht ausreichend reproduziert. In den Werken des Autors wurde die Hypothese geäußert, dass die klassische hydrodynamische Lösung dieses Problems grundsätzlich nicht erreicht werden kann, und eine Begründung für eine solche Schlussfolgerung vorgeschlagen. Es basierte auf der Erkenntnis, dass Attraktormodelle chaotischer Dynamik das mesoskopische Bewegungsniveau eines kontinuierlichen Mediums beeinflussen und dass dieses Niveau in den klassischen Navier-Stokes-Gleichungen nicht repräsentiert ist. Dies führte zu dem Vorschlag, die Lösungen des Problems des Lorentz-Attraktors durch die explizite Einbeziehung zusätzlicher Mesostrukturen in den mathematischen Formalismus der Hydrodynamik zu erweitern, was den Apparat dieser Theorie über den Rahmen klassischer Operationen mit den Navier-Stokes-Gleichungen hinausführen würde.

Gegenwärtig werden die Attraktormodi der Dynamik kontinuierlicher Medien im Rahmen von Modellen konstruiert, die weitreichende Abstraktionen der Bewegung eines kontinuierlichen Mediums darstellen, fast ohne das Konzept der mechanischen Wechselwirkungen der Partikel des Mediums untereinander zu nutzen . In einigen Fällen spiegeln diese Abstraktionen die Eigenschaften evolutionärer Operatoren wider, die in einer Hierarchie verschachtelter Hilbert-Räume agieren. In anderen Fällen spiegeln sie die Dynamik endlichdimensionaler Systeme wider, die Änderungen in den Zuständen der Umgebung reproduzieren. In diesem Fall wird jedoch jeder der Zustände tatsächlich nur durch einen Punkt der entsprechenden Phasenmannigfaltigkeit dargestellt. Eine solche Modellierung entspricht nicht dem Anwendungszweck der Hydromechanik, die die Reproduktion aller wesentlichen Strukturen direkt, also im Raum, der von einem kontinuierlichen Medium eingenommen wird, erfordert. Wenn wir die Argumente theoretischer und experimenteller Daten dafür berücksichtigen

Wenn eine solche Repräsentation existiert, scheint die Reproduktion von Attraktoren im Kontext der Dynamik der Raum-Zeit-Eigenschaften der Umgebung ein dringendes Bedürfnis zu sein.

In diesem Artikel wird der Lorentz-Attraktor im Rahmen der im Modell vorgeschlagenen turbulenten Dynamik konstruiert. Nach diesem Modell sind die Phasenräume turbulenter Regime Schichtungen von Jets von Schwankungen hydrodynamischer Größen. Es wird angenommen, dass die Geometrie fluktuierender Bündel a priori willkürlich ist und durch die modellierten Merkmale der entsprechenden chaotischen Regime bestimmt wird. Das Hauptziel der Modellierung ist eine chaotische Struktur, bei der es sich um einen Komplex instabiler Bewegungsbahnen von Punkten im Medium handelt. Es wird angenommen, dass jedes etablierte turbulente Regime einer genau definierten chaotischen Struktur entspricht. In der Trajektorie einer chaotischen Struktur wurden sie mit der Menge der Integralkurven einer nicht integrierbaren (nicht holonomen) Verteilung vom Pfaff-Typ identifiziert, die auf einem Bündel von Fluktuationen dynamischer Variablen definiert ist.

Ein charakteristisches Merkmal des vorgeschlagenen Modells ist die Lagrange-Methode zur Beschreibung der Bewegung eines Mediums, die sich im Allgemeinen nicht auf die Beschreibung der Bewegung anhand der Euler-Variablen beschränkt. Gleichzeitig stellte sich heraus, dass Lagranges Beschreibung hervorragend geeignet ist, die Dynamik von Systemen mit seltsamen Attraktoren widerzuspiegeln. Anstelle der starren Einschränkungen des Euler-Paradigmas schreibt Lagranges Beschreibung viel weichere Bedingungen vor, die dazu dienen, die geometrischen Objekte der entsprechenden nichtholonomen Verteilungen zu definieren. Eine solche Änderung der Modellierungsschwerpunkte ermöglicht es, verschiedene Attraktoren in der Dynamik von Teilchenstrahlen in Kontinuumsmedien zu reproduzieren.

1. Stellen wir die Gleichungen für die Dynamik der Pulsationen des Dreimodenregimes auf

(yi + 4 (x, y!) (xk = Ar(x, y^)(U (1,3,k = 1,2,3), (1)

wobei xk und yz Sätze räumlicher und dynamischer Koordinaten der Pulsationsschichtung bilden und die Objekte mkk(x, yt)(xk und Ar(x, yt)M die Art der Intermode-Wechselwirkungen des Regimes bestimmen. Diese Objekte und Gleichung (1) selbst kann als Regeln für die Bildung von Ableitungen dynamischer Koordinaten in Bezug auf Raumkoordinaten und Zeit betrachtet werden, die durch die reale turbulente Entwicklung bestimmt werden. Die invariante geometrische Bedeutung dieser Objekte besteht darin, dass sie im Pulsationsbündel die bestimmen Objekt der internen Verbindung bzw. das vertikale Vektorfeld.

Nehmen wir an, dass die oben eingeführten dynamischen Koordinaten Schwankungen in der Strömungsgeschwindigkeit des Mediums bedeuten, das heißt, die tatsächliche Geschwindigkeit des Mediums kann gemäß der Formel in das Geschwindigkeitsfeld der mittleren Strömung und Schwankungen erweitert werden

u (x, y) = u0 (x) + y. (2)

Wir werden die Massen- und Impulsgleichungen in Form der Standardkontinuitätsgleichung und der Navier-Stokes-Gleichung verwenden

Chr + udi. (4)

Dieses Gleichungssystem ist noch nicht vollständig, da Gleichung (4) den Druck einschließt, der eine thermodynamische Größe ist, deren Dynamik im allgemeinen Fall über den Rahmen der Kinematik hinausgeht. Um Druckschwankungen zu beschreiben, sind neue dynamische Koordinaten erforderlich, was die Anzahl der notwendigen Freiheitsgrade zur Beschreibung des entsprechenden turbulenten Bewegungsregimes erhöht. Wir führen eine neue dynamische Variable ein, die Druckschwankungen bedeutet, das heißt, wir nehmen

p(x,y)= po(x) + y4. (5)

Somit ist der anfängliche Satz erforderlicher dynamischer Koordinaten zur Darstellung der Bewegung eines kontinuierlichen Mediums vierdimensional.

Die Möglichkeit der Reduktion auf ein dreidimensionales System mit einer Dynamik ähnlich der Dynamik des Lorentz-Systems liegt darin, dass der Druck in Form eines Gradienten in Gleichung (4) eingeht. Daraus folgt, dass die Reduktion auf die dreidimensionale Dynamik von Geschwindigkeitsschwankungen durchgeführt werden kann, wenn der Druckgradient in Gleichung (4) nur die ersten drei dynamischen Koordinaten enthält. Dazu genügt es, dies in den Dynamikgleichungen für die vierte Koordinate zu fordern

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

Die Koeffizienten der Verbindungsformen w4(x,yj)dxk hingen nur von den ersten drei dynamischen Koordinaten ab. Beachten Sie, dass sich das dreidimensionale Regime aus der Sicht einer umfassenderen Beschreibung, die die Berücksichtigung aller angeregten Freiheitsgrade umfasst, als instabil erweisen kann. Wir beschränken uns jedoch darauf, genau diese a priori mögliche Dynamik zu modellieren.

Betrachten wir die Bedingungen, die die Bilanzgleichungen (3), (4) den Ausdrücken für die unbekannten Größen wk(x,yj)dxk und Ai(x,yj)dt auferlegen, die in der dynamischen Gleichung (1) enthalten sind. Dazu ersetzen wir (2) und (5) durch (3) und (4) und verwenden die Gleichungen (1) und (6). Um die resultierenden Ausdrücke zu vereinfachen, gehen wir davon aus, dass die Raumkoordinaten xk kartesisch sind. In diesem Fall können Sie nicht zwischen hochgestellten und tiefgestellten Zeichen unterscheiden und diese nach Bedarf erhöhen und senken, um kovariante Ausdrücke zu schreiben. Dann erhalten wir die folgenden Gleichungen für die Koeffizienten von Gleichung (1)

dkuk - wj = 0, (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)

wobei die Notation Dj = dj - wk^y eingeführt wird.

Im Folgenden konkretisieren wir die Problemstellung. Wir betrachten ein Regime, dessen mittleres Geschwindigkeitsfeld die Strömung einer einfachen Scherung beschreibt

uk = Ax3à\. (9)

Darüber hinaus machen wir Annahmen über die Geometrie des Faserpulsationsraums. Wir gehen davon aus, dass das Bündel als lineare Funktion in dynamischen Koordinaten verbunden ist, d. h. w^ = waj (x)yj (a = 1,..., 4). In diesem Fall folgt aus Gleichung (8) unmittelbar, dass das zweite Objekt eine in dynamischen Koordinaten polynomielle Struktur annimmt. Das vertikale Vektorfeld wird nämlich zu einem Polynom zweiter Ordnung in dynamischen Koordinaten, d. h.

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

Somit sind die unbekannten Funktionen, die die Gleichung für die Dynamik von Pulsationen des betrachteten Dreimodenregimes bestimmen, die Koeffizienten waak(x), Ar0(x), Ark(x) und A3k(x), für die wir haben Gleichungen (3) und (4). Beachten Sie, dass sich Gleichung (4) im Wesentlichen auf die Bestimmung der Koeffizienten des vertikalen Vektorfelds reduziert, während die Wahl der Verbindungskoeffizienten nur die Kontinuitätsgleichung (3) einschränkt. Diese Gleichung lässt eine erhebliche Willkür bei der Bestimmung der Konnektivitätskoeffizienten zu, sodass die Breite der Modellierung der räumlichen Struktur der Pulsationsdynamik mit dem gewählten mittleren Fluss übereinstimmt.

2. Betrachten Sie die Möglichkeit, in diesem Problem einen Attraktor vom Lorentz-Typ zu erhalten. Dazu gehen wir zunächst auf die Ausweitung der Istwerte der Geschwindigkeit auf die Durchschnittsgeschwindigkeit und Schwankungen um den Durchschnitt ein.

Gemäß der Bedeutung von Pulsationen sollte ihr zeitlicher Mittelwert gleich Null sein, d.h.

(y)t - 0. (10)

Gleichzeitig werden Pulsationen als Abweichungen der tatsächlichen Geschwindigkeitswerte vom Durchschnittswert definiert. Geht man davon aus, dass der mittlere Fluss gegeben ist, dann erlaubt uns der geschilderte Umstand nicht, ein beliebiges Gleichungssystem mit chaotischer Dynamik als Modell-Chaosgleichung zu wählen. Damit die Variablen des Modellgleichungssystems als Pulsationen realer hydromechanischer Größen betrachtet werden können, müssen die Bedingungen (10) erfüllt sein. Wenn (10) nicht erfüllt ist, bedeutet dies, dass eine unerklärliche Drift in der Pulsationsdynamik vorliegt. Dementsprechend erweist sich das angenommene Modellsystem als inkonsistent entweder mit den berücksichtigten Wirkfaktoren oder mit der Struktur des zulässigen mittleren Durchflusses.

Darüber hinaus handelt es sich bei Gleichung (1) im allgemeinen Fall um ein nicht vollständig integrierbares System vom Pfaff-Typ. Die Eigenschaft der Nichtintegrierbarkeit dieser Gleichung ist von grundlegender Bedeutung und entspricht einem Merkmal, das für turbulente Bewegungen charakteristisch ist. Bei der Bewegung verlieren nämlich alle makroskopisch kleinen turbulenten Gebilde, Partikel, Motten, Kügelchen ihre Individualität. Diesem Merkmal wird durch die Nichtintegrierbarkeit von Gleichung (1) Rechnung getragen. Im Wesentlichen beschreibt (1) ein Ensemble möglicher Bewegungsbahnen der Punkte eines Kontinuums, das durch ein kontinuierliches Medium gebildet wird. Diese Trajektorien werden im Schwankungsbündel definiert. Ihre Projektionen auf den von einem kontinuierlichen Medium eingenommenen Raum bestimmen die Dynamik der Schwankungsentwicklung entlang der entsprechenden Raumkurven. Beachten Sie, dass Letzteres beliebig gewählt werden kann, wodurch die Möglichkeit besteht, die Dynamik von Schwankungen entlang einer beliebigen räumlichen Kurve zu berücksichtigen.

Betrachten wir der Eindeutigkeit halber die Dynamik der Schwankungen entlang der Stromlinien des mittleren Flusses. Dann haben wir die folgenden dynamischen Gleichungen:

xr = u0, (11)

y + w) k y3 4 \u003d Ar. (12)

Bevor wir dieses System betrachten, transformieren wir es in dimensionslose Variablen. Dazu führen wir in der ursprünglichen Gleichung (4) anstelle des Viskositätskoeffizienten ein

Reynolds Nummer. Entfernen Sie dann die explizite Abhängigkeit von dieser Zahl durch Ersetzen

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

Wenn wir den Unterstrich über den Variablen weglassen, erhalten wir aus (12).

y \u003d DiO - und! kdkiO - dgro + y3 (-dziO +<г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

Lassen Sie uns (13) analysieren. Beachten Sie, dass das verwendete Modell von einer entwickelten Turbulenz ausgeht, d. h. die Reynolds-Zahl sollte als ausreichend groß angesehen werden. Wenn dann die dimensionslosen Größen Werte in der Größenordnung von Eins haben, dann geben die realen Dimensionsgrößen gemäß (13) den Maßstab der Manifestation der Dynamik an. Insbesondere folgt aus (13), dass die räumlichen Skalen klein ausfallen. Daher ist das verwendete Modell zunächst als Modell turbulenter Mischprozesse auf der mesoskopischen Auflösungsebene eines kontinuierlichen Mediums zu betrachten.

Wenden wir uns nun der Analyse von (11) und (12) zu. Es ist leicht zu erkennen, dass Gleichung (11) für den gewählten mittleren Durchfluss einfache Integrale hat. Die entsprechenden Stromliniengleichungen für den mittleren Strom sind Geraden parallel zur x1-Koordinatenachse. Eliminiert man räumliche Koordinaten, erhält man aus (12) im allgemeinen Fall ein System nichtautonomer Differentialgleichungen. Wenn in diesem Fall die Konnektivitätskoeffizienten und der Druckgradient nicht von der x1-Koordinate abhängen, wird das System (14) autonom und enthält die verbleibenden Raumkoordinaten x2 und x3 als Parameter. In diesem Fall eröffnet sich ein realer Weg zur direkten Modellierung der räumlich inhomogenen quasistationären Pulsationsdynamik. Nachfolgend wird ein Beispiel für eine solche Simulation gegeben.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die Entstehung einer durch das Pfaff-System (1), (6) gegebenen nichtholonomen Verteilung eine Folge der Annahme ist, dass im Zustand stetig starker Turbulenz die Klasse möglicher Bewegungstrajektorien von Die Partikel des Mediums bilden eine stabile Formation. Eine notwendige Voraussetzung für diese neue Stabilität ist die Forderung nach Instabilität der Bewegungsbahnen von Punkten, was wiederum große Werte der Reynolds-Zahl impliziert. Ein Versuch, den Ansatz auf kleine Werte der Zahl Re auszudehnen, ist unbegründet.

3. Wenden wir uns der Konstruktion eines Beispiels zu, in dem die Geschwindigkeitsschwankungen entlang der Trajektorien der mittleren Strömung durch ein kanonisches System vom Lorentz-Typ beschrieben werden. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass alle Verbindungskoeffizienten konstant sind. In diesem Fall erhalten wir eine Dynamik, die entlang der Stromlinien der mittleren Strömung räumlich homogen ist, jedoch entlang beliebiger Linien nicht räumlich homogen ist. Wir nennen diese Annahme die quasihomogene Näherung.

Unsere Aufgabe ist es, Gleichung (14) die Form des kanonischen Lorentz-Systems zu geben. Das erste sichtbare Hindernis hierfür ist die Unsicherheit bei der Identifizierung der dynamischen Koordinaten und der entsprechenden Variablen

aus dem kanonischen System. Unter der Annahme, dass verschiedene Arten von Mechanismen intermodaler Wechselwirkungen es ermöglichen, jede dieser Identifikationen zu simulieren, wählen wir die folgende Option. Die Struktur der Gleichung (14) habe die folgende Form:

y1 = a(-y1 + y2), (15)

y2 = (r - (r))y1 - y2 - y1y3, (16)

y3 = -y(y3 + (r)) + y1y2, (17)

Dabei wird ausdrücklich der reguläre Begriff herausgegriffen, der gemäß den Ausführungen in Abschnitt 2 aus dem Ausdruck für Pulsationen ausgeschlossen werden muss.

x \u003d o (-x + y), y \u003d rx - y - xr, r \u003d -y r + xy. (18)

Dabei gehen wir davon aus, dass Zeitmittelwerte für die Variablen des Systems (18) vorliegen. Basierend auf der Invarianz dieses Systems gegenüber Transformationen

x ^ -x, y ^ -y, z ^ z (19)

Es ist natürlich zu erwarten, dass die Mittelwerte für die ersten beiden Variablen Null sein sollten. Dann die Auswechslung

x ⩽ x, y ⩽ y, z ⩽ z + (z) (20)

in (18) ergibt sich das Gleichungssystem (15) - (17).

In diesem Zusammenhang stellen wir fest, dass für verschiedene Werte der Parameter des Lorentz-Systems Lösungen mit Durchschnittswerten der ersten beiden Variablen sowohl Null als auch Nicht-Null möglich sind. Vor diesem Hintergrund beschränken wir unsere weitere Betrachtung auf die erste dieser Möglichkeiten. Darüber hinaus stellen wir fest, dass die Substitution (20) auch dann durchgeführt werden kann, wenn der Term im dritten Ausdruck (20) nicht die Bedeutung des Zeitmittels hat. In diesem Fall kann für die spätere Interpretation eine Neudefinition des Mittelungsverfahrens erforderlich sein. Im Allgemeinen erfordert eine geeignete Definition eine Verfeinerung der Zeitskalen der betrachteten Phänomene. Es ist klar, dass solche Neudefinitionen eine detailliertere Betrachtung sowohl der Ausgangsdaten als auch der Variationen der Systemparameter erfordern werden. Der bekannte Effekt der Wechselwirkung chaotischer Attraktoren zeigt, wie bei kleinen Variationen der Bewegungsparameter Unklarheiten bei der Bestimmung der Mittelwerte auftreten können.

Kehren wir zu unserer Überlegung zurück. Wenn wir die Koeffizienten des Systems (15) – (17) und (14) vergleichen, erhalten wir:

(DiO - u£dki0 - c/ro) =

(-3]u0 + - dkyu] + u^) =

V -U (g)) (-o

g - (g) -1 0 V 0 0 -y

Darüber hinaus gilt aus (7).

dk u0 = 0, 0.

Betrachten Sie (21) und (24). Setzt man den Ausdruck (9) ein, erkennt man leicht, dass (24) identisch erfüllt ist und (21) sich nur auf die Bestimmung des durchschnittlichen Druckgradienten reduziert. In diesem Fall stellt sich heraus, dass der Gradient senkrecht zur mittleren Strömungsgeschwindigkeit verläuft, was eine Folge der gewählten Identifizierung der Variablen des Lorentz-Kanonischen Systems und der Geschwist.

Wenden wir uns den Gleichungen (23) und (25) zu. Aus (23) erhalten wir einwertige Ausdrücke für die tiefgestellten Komponenten des Verbindungsobjekts. Der antisymmetrische Teil wird mit einiger Willkür aus (25) bestimmt. Die allgemeine Lösung dieser Gleichungen ergibt sich aus folgendem Ausdruck:

/ ae,x2 - bxx - aix1 + sd,x3 bx1 - cx2 \

eix2 - /dix3 -eix1 + bix3 (/ - 1)dix1 - bix2 V ra1x2 - eix3 (-p + 1)dix1 + aix3 eix1 - aix2)

Wenden wir uns der verbleibenden Gleichung (22) zu. Diese Matrixgleichung ist ein System aus 9 quadratischen algebraischen Gleichungen

b2 - c(p + /) +

ae - bp + Yur = r - (r),

eb - a/ + o43 = 0,

ae - bp + b + 1021 = o,

C/ + e2 + b2 - (1 - /) (1 - p) + o42 \u003d -1,

Ec + ab + u43 = 0,

A/ + eb + a - A + u31 = 0,

Ec + ab + u42 = 0,

Cp - (1 - /) (1 - p) + e2 + a2 + u33 \u003d -y.

Die darin enthaltenen Unbekannten sind 6 Konnektivitätskoeffizienten (26), 9 Komponenten des Drucktensors, 1 Koeffizient, der den Wert der Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmt, und 3 Parameter des Lorentz-Systems. Daraus folgt, dass die Lösung dieses Systems mit erheblicher parametrischer Willkür bestimmt wird. Im betrachteten dreidimensionalen Regime ist der Druckgradiententensor ω > 4r willkürlich und aufgrund seiner Konkretisierung ist es möglich, die gewünschte Dynamik für jede vorab festgelegte Wahl von Konnektivitätskoeffizienten zu simulieren. Bei mehrdimensionalen Regimen werden die Komponenten des Drucktensors in ein vollständigeres Gleichungssystem einbezogen, das die Dynamik aller angeregten Freiheitsgrade berücksichtigt. In diesem Fall kann der Drucktensor nicht mehr beliebig sein. In diesem Zusammenhang ist es interessant, verschiedene besondere Möglichkeiten zur Bestimmung des Drucktensors zu betrachten, wobei davon ausgegangen wird, dass physikalisch sinnvolle Annahmen ihre Darstellung in vollständigeren Gleichungen finden sollten, die die mehrdimensionale Dynamik berücksichtigen. Wir gehen davon aus, dass der Druckgradiententensor diagonal ist und eine Nullkomponente hat, die der y2-Koordinate entspricht. In diesem Fall hat (22) die folgende exakte analytische Lösung:

o!1 = .1 - a, o43 = .1 - y + 1, .1 = (K - a) a - A2, K = r - (r), (27)

K – a t Ka, K – a AK

a = A, b = a - K, c = - -.1, p = -, f = - K, e = - - -. (28)

Betrachten Sie die erhaltene Lösung (27), (28). Die Größen A, r, a, y, die die Größe des mittleren Stromgeschwindigkeitsgradienten bestimmen, und drei Parameter des Lorentz-Modellsystems blieben darin willkürlich. Alle anderen Bewegungsmerkmale werden als Funktionen des oben genannten Mengensatzes ausgedrückt. Durch die Wahl bestimmter Werte dieser Größen ist es möglich, die Dynamik von Schwankungen zu variieren und mithilfe der Formeln (26), (27) die entsprechenden Werte der Komponenten des Konnektivitätsobjekts zu ermitteln. Wenn wir berücksichtigen, dass jedes Objekt die Art der Wechselwirkungen von Pulsationen bestimmt, wird es möglich, die verschiedenen Arten von Wechselwirkungen selbst zu variieren. Insbesondere soll die Größe der Drucktensorkomponenten variiert werden. Es ist zu beachten, dass diese Komponenten in einigen Fällen identisch auf Null gedreht werden können. Ein Merkmal der Lösungen (27), (28) besteht darin, dass es sich als unmöglich erweist, die Komponenten des Drucktensors auf Null zu bringen und dabei im Bereich derjenigen Werte der Systemparameter zu bleiben, für die die Lorentz-Dynamik entsteht . (Dies ist jedoch im Bereich derjenigen Parameterwerte durchaus möglich, für die die Pulsationsdynamik regelmäßig ist.)

Lassen Sie uns einige Schätzungen vornehmen. Die Parameter des Modellsystems sollen dem Lorentz-Attraktor mit den Parametern a = 10, r = 28, y = 8/3 entsprechen. In diesem Fall zeigen Berechnungen, dass die Pulsationen eine charakteristische Zeit t ~ 0,7 haben. Innerhalb des berechneten Zeitintervalls b = 0 + 50 gehören die Pulsationswerte zu den Intervallen y1 = -17,3 + 19,8, y2 = -22,8 + 27,2 und y3 = -23,2 + 23,7.

Vergleichen wir die Absolutwerte der Geschwindigkeitsschwankungen und den durchschnittlichen Geschwindigkeitsgradienten. Aus (13) folgt, dass die Pulsationen durch Division der relativen Werte durch die Zahl l/d erhalten werden, während der durchschnittliche Geschwindigkeitsgradient unverändert bleibt. Nehmen wir also für den Geschwindigkeitsgradienten einen Wert gleich eins in der Größenordnung an

ist A ~ 1. Dann erhalten wir beim Wert von Re = 2000, also beim unteren kritischen Wert von , für Pulsationen eine Größenordnung von 50 % des Gradientenwerts. Für den Fall Re=40000 erreichen die Geschwindigkeitsschwankungen nur 10 % des akzeptierten Wertes des durchschnittlichen Geschwindigkeitsgradienten. Dies zeigt, dass vernünftige Verhältnisse zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit und Pulsationen nur in einem bestimmten Bereich der Re-Zahlen gewährleistet werden können.

4. Bei der Betrachtung der Bewegung von Punkten im Medium ergeben sich neue Daten. Für die Lorentz-Dynamik in der quasihomogenen Näherung haben die Bewegungsgleichungen der Punkte die Form

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

Dieses System erweist sich als linear mit konstanten Koeffizienten. Seine allgemeine Lösung kann leicht durch elementare Integration erhalten werden. Daher notieren wir nur die qualitativen Merkmale der Bewegungsbahnen von Punkten. Aus der charakteristischen Gleichung für die Bewegungsgeschwindigkeiten finden wir, dass es zwei negative und eine positive Wurzel gibt. Somit werden an jedem Punkt im Raum zwei Druck- und eine Zugrichtung unterschieden. Diese Merkmale der Dynamik sind invariante Merkmale, die zur Klassifizierung von Attraktoren verwendet werden können, die Strömungen mit derselben Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen.

Wie aus der allgemeinen Lösung des Systems (29) und (30) hervorgeht, sind die möglichen Verschiebungen von Medienpunkten in Richtungen quer zu den mittleren Strömungslinien nicht begrenzt. Es kommt nämlich zu einer regelmäßigen Drift in der Projektion auf die x3-Achse. In diesem Fall fallen die Punkte, die sich senkrecht zu den Stromlinien der mittleren Strömung bewegen, in den Bereich hoher Geschwindigkeiten. In diesem Fall nimmt die Zahl Re zu, was zu einer Verringerung der relativen Größe der Schwankungen führt. Dieser Effekt führt im Rahmen der vorgenommenen quasi-homogenen Näherung zu einer relativen Abnahme der Schwankungen und letztlich zu deren Degeneration in Schwankungen.

Bibliographische Liste

1. Mukhamedov A.M. Turbulente Modelle: Probleme und Lösungen //17 IMACS-Kongress, Vortrag T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.

2. Mukhamedov A.M. Auf dem Weg zu einer Eichtheorie der Turbulenz // Chaos, Solitonen und Fraktale. 2006 Bd. 29. S. 253.

3. Ruelle D., Takens F. Über die Natur von Turbulenzen // Commun. Mathematik. Physik. 1971 Bd. 20. S. 167.

4. Babin A.V., Vishik M.I. Attraktoren von Evolutionsgleichungen. M.: Nauka, 1989. 296 S.

5. Mandelbrot B. Die fraktale Geometrie der Natur. Freeman. San Francisco, 1982.

6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. Zur multifraktalen Natur voll entwickelter Turbulenzen und chaotischer Systeme // J. Phys. A. 1984. Band 17. S.3521.

7 Elnaschie M.S. Die Feynman-Pfadintegrale und die E-Infinity-Theorie aus dem Zweispalt-Gedanken-Experiment // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulations. 2005 Bd. 6(4). S. 335.

8. Mukhamedov A.M. Ensemble-Turbulenzregime in Scherströmungen // Bulletin der KSTU im. A. N. Tupolew. 2003, Nr. 3. S. 36.

9. Yudovich V.I. Asymptotik der Grenzzyklen des Lorentz-Systems für große Rayleigh-Zahlen // VINITI. 31.07.78. Nr. 2611-78.

10. Anishchenko V.S. Komplexe Schwingungen in einfachen Systemen. M.: Nauka, 1990. 312 S.

11. Loitsyansky L.G. Mechanik von Flüssigkeiten und Gasen. M.: Nauka, 1987. 840 S.

Staatliche Universität Kasan, eingegangen am 23. Januar 2006

Technische Universität, überarbeitet am 15.08.2006

LORENZ-ATTRAKTOR IN FLÜSSEN EINFACHER VERSCHIEBUNG

Im Rahmen eines zuvor vorgestellten Modells zur Simulation der chaotischen Dynamik des Kontinuumsmediums wird der Lorenz-Attraktor dargestellt. Die Simulation wird mit Hilfe der Strukturen durchgeführt, die die Geometrie eines Faserbündels definieren, das mit einem dreidimensionalen Regime von Geschwindigkeitspulsationen verbunden ist. Die Lorenz-Dynamik erscheint als Zeitabhängigkeit von Pulsationen entlang der Linien der durchschnittlichen Strömung.

Mukhamedov Alfarid Mavievich – wurde 1953 in Kasan geboren. Abschluss an der Fakultät für Physik der Staatlichen Universität Kasan in der Abteilung für Schwerkraft und Relativitätstheorie (1976). Doktorand der Abteilung für Theoretische und Angewandte Mechanik der Staatlichen Technischen Universität Kasan, benannt nach V.I. A. N. Tupolew. Autor von 12 Artikeln zu diesem Thema sowie der Monographie „Wissenschaftliche Suche und Methodik der Mathematik“ (Kasan: KSTU Publishing House, 2005, gemeinsam mit G.D. Tarzimanova verfasst). Wissenschaftlicher Interessenbereich – mathematische Modelle der chaotischen Dynamik, Geometrie faseriger Mannigfaltigkeiten, Methodik der modernen Mathematik.

Normalerweise sagen sie das Chaos ist eine höhere Form der Ordnung, aber es ist richtiger, Chaos als eine andere Form der Ordnung zu betrachten – in jedem dynamischen System folgt zwangsläufig auf Ordnung im üblichen Sinne Chaos, und Ordnung folgt auf Chaos. Wenn wir Chaos als Unordnung definieren, dann werden wir in dieser Unordnung durchaus unsere eigene, besondere Form der Ordnung erkennen können. Zum Beispiel, Rauch von Zigaretten Zunächst erhebt es sich unter dem Einfluss der äußeren Umgebung in Form einer geordneten Säule, nimmt immer bizarrere Umrisse an und seine Bewegungen werden chaotisch. Ein weiteres Beispiel für Zufälligkeit in der Natur ist Blatt von jedem Baum. Man kann argumentieren, dass es viele ähnliche Blätter gibt, wie zum Beispiel Eiche, aber kein einziges Paar identischer Buchstaben. Der Unterschied wird neben rein internen Ursachen (z. B. genetischer Unterschied) durch Temperatur, Wind, Luftfeuchtigkeit und viele andere äußere Faktoren bestimmt.

Chaostheorie

Geschichte der Chaostheorie

Werkzeuge zur Chaostheorie

Lorenz-Attraktor

1961 gab der am 16. April 2008 verstorbene Meteorologe und Mathematiker Edward Lorenz Daten in das von ihm erstellte Computer-Wettermodell ein und rundete sie nicht auf die sechste, sondern auf die dritte Dezimalstelle. Als Ergebnis wurde der Schmetterlingseffekt formuliert, einer der seltsamen Attraktoren entdeckt, die Unvorhersehbarkeit des Verhaltens vieler deterministischer Systeme entdeckt und schließlich die Theorie des Chaos geschaffen.

Hintergrund: Laplaces Dämon

Frage: Ist ein solcher Dämon überhaupt theoretisch denkbar? Die Erfolge der modernen Wissenschaft legten dies nahe: Die Umlaufbahnen der Planeten wurden berechnet, das Erscheinen von Kometen vorhergesagt, zufällige Ereignisse wurden durch die Wahrscheinlichkeitstheorie beschrieben.

Anschließend wurde Laplaces Dämon jedoch heftig kritisiert. Nach der Entwicklung der Quantenmechanik und der Entdeckung der Heisenbergschen Unschärferelation (es ist unmöglich, die Geschwindigkeit und die Koordinaten eines Teilchens gleichzeitig genau zu messen) wurde klar, dass Quantensysteme nicht dem Dämon unterliegen: Sie haben fundamentale Unvorhersehbarkeit.

Anschließend wurde auch festgestellt, dass die Existenz eines Dämons den Gesetzen der Thermodynamik widersprechen würde, die im Prinzip nicht ausreichen würden, um die Informationskapazitäten zu kennen und zu berechnen, selbst wenn er alle Ressourcen des Universums nutzen würde.

Der Dämon gab jedoch nicht ganz auf. Stellen Sie sich tatsächlich ein vollständig deterministisches (vorbestimmtes, ohne Zufälligkeit) System (klassisch, ohne Quanteneffekte) vor. Wenn wir alle Gesetze kennen, die sein Verhalten bestimmen (egal wie komplex sie sind), wir alle notwendigen Parameter kennen und über die nötige Rechenleistung verfügen (das heißt, wir haben den Laplace-Dämon zur Hand – sprich: Supercomputer), dann für In diesem und jenem System können wir das Verhalten vollständig vorhersagen?

Es gibt eine Einschränkung. Alle unsere Messungen können Fehler enthalten. Im Computerspeicher gespeicherte Variablen haben eine begrenzte Genauigkeit. Das heißt, Sie müssen ungefähre Daten verwenden. Nun gut: Wir brauchen keine unendliche Genauigkeit, ungefähre Vorhersagen reichen aus. Enthalten die Originaldaten einen Fehler in der fünften Ziffer? Ein Vorhersagefehler im fünften Zeichen wird uns gut tun.

Ist es also beispielsweise möglich, das Wetter vorherzusagen? Zumindest ungefähr? Zumindest in einem begrenzten Bereich, aber für einen mehr oder weniger angemessenen Zeitraum?

Drei Dezimalstellen

Ihm stand ein Royal-McBee-Computer zur Verfügung. 1960 erstellte Lorenz ein vereinfachtes Wettermodell. Das Modell bestand aus einer Reihe von Zahlen, die den Wert mehrerer Variablen (Temperatur, Luftdruck, Windgeschwindigkeit) zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben. Lorentz wählte zwölf Gleichungen, die die Beziehung zwischen diesen Variablen beschreiben. Der Wert der Variablen zum nächsten Zeitpunkt hing von ihrem Wert zum vorherigen Zeitpunkt ab und wurde anhand dieser Gleichungen berechnet. Somit war das Modell vollständig deterministisch.

Die Kollegen von Lorenz waren von dem Modell begeistert. Der Maschine wurden mehrere Zahlen zugeführt, sie begann, Zahlenreihen auszugeben (später brachte Lorenz ihr bei, einfache Diagramme zu zeichnen), die das Wetter in einer imaginären Welt beschreiben. Die Zahlen wiederholten sich nicht – sie wiederholten sich manchmal fast, das System schien seinen alten Zustand zu reproduzieren, aber nicht vollständig, es gab keine Zyklen. Mit einem Wort, das künstliche Wetter war schlecht vorhersehbar, und die Art dieser Unvorhersehbarkeit (Aperiodizität) war ungefähr die gleiche wie die des Wetters außerhalb des Fensters. Schüler und Lehrer schlossen Wetten ab und versuchten zu erraten, wie der Zustand des Modells im nächsten Moment sein würde.

Im Winter 1961 beschloss Lorenz, sich den Graphen einer der bereits von der Maschine aufgezeichneten Variablen genauer anzusehen. Als Ausgangsdaten gab er die Werte der Variablen aus der Mitte des Diagramms ein und ging zur Ruhe. Die Maschine müsste die zweite Hälfte des Diagramms genau reproduzieren und weiter aufbauen. Als Lorenz jedoch zurückkam, fand er eine völlig andere Grafik vor. Wenn er am Anfang mehr oder weniger das Erste wiederholte, hatte er am Ende nichts mehr mit ihm gemeinsam.

Die Divergenz zweier Wetterdiagramme, die vom selben Punkt ausgehen. Lorenz' Ausdruck von 1961, wiedergegeben in James Gleicks Buch „Chaos: The Creation of a New Science“ (St. Petersburg, „Amphora“, 2001).

Es stellte sich heraus, dass ein Modell, bei dem der Zufall vollständig eliminiert ist, bei gleichen Ausgangswerten völlig andere Ergebnisse liefert. Die Maschine ging nicht kaputt und zählte alles richtig, Lorenz hat sich bei der Dateneingabe nicht vertippt.

Die Lösung war recht schnell gefunden: Der Speicher der Maschine speicherte die Werte der Variablen mit einer Genauigkeit von sechs Dezimalstellen (...,506217), und nur drei (...,506) wurden ausgedruckt. Lorentz hat natürlich gerundete Werte eingeführt, wobei er vernünftigerweise davon ausgeht, dass eine solche Genauigkeit völlig ausreichend ist.

Es stellte sich heraus, dass dies nicht der Fall war. „... kleine Dominosteine ​​fielen umher ... große Dominosteine ​​... riesige Dominosteine, verbunden durch eine Kette unzähliger Jahre, aus denen die Zeit besteht“, schrieb Ray Bradbury 1952 in der berühmten Geschichte „Thunder Came Out“. Ungefähr das Gleiche geschah im Lorenz-Modell. Es stellte sich heraus, dass das System äußerst empfindlich auf kleinste Stöße reagierte.

Schmetterling-Effekt

Woher kommen Chaos und Unvorhersehbarkeit in einem deterministischen System? Von starker Sensibilität bis hin zu Ausgangsbedingungen. Der kleinste Einfluss, der nicht beseitigt werden kann – die Rundung einer Variablen (wenn es sich um ein theoretisches Modell handelt), Messfehler (wenn es sich um eine Studie eines realen Systems handelt) – und das System verhält sich völlig anders.

Lorenz gab ein gutes Beispiel: Wenn das Wetter tatsächlich zur Klasse solch sensibler Systeme gehört (natürlich sind nicht alle Systeme so), dann kann der Flügelschlag einer Möwe spürbare Wetterveränderungen verursachen. Anschließend wurde die Möwe durch einen Schmetterling ersetzt und 1972 erschien das Werk „Vorhersagbarkeit: Kann der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas verursachen?“.

So entstand der berühmte Begriff „Schmetterlingseffekt“, der sich sowohl auf Bradburys Geschichte als auch überraschenderweise auf Lorenz‘ nächste Entdeckung bezieht – einen seltsamen Attraktor, der nach ihm benannt wurde.

Unerwartete Struktur

Lorentz erstellte ein ähnliches, aber einfacheres Drei-Gleichungs-Modell in drei Variablen. Das Modell beschrieb die Konvektion in Gas und Flüssigkeit sowie das Verhalten eines einfachen mechanischen Geräts – des Lorentz-Wasserrades (siehe Abbildung). Unter dem Druck des Wassers, das die Behälter füllt (und durch kleine Löcher aus ihnen herausfließt), verhält sich das Rad überraschend komplex: Es wird langsamer, beschleunigt es, beginnt sich in die andere Richtung zu drehen, stoppt – im Allgemeinen wie passt zu einem chaotischen System mit Selbstachtung.

Die Gleichungen sahen so aus
dx/dt = s(y - x)
dy/dt = x(r – z) – y
dz/dt = xy - bz
s=10, r=28, b=8/3. Sie können andere Werte der Parameter annehmen, aber das System zeigt nicht immer chaotisches Verhalten.

Um das Verhalten des Systems visuell darzustellen, verwendete Lorenz nicht das übliche Zeitdiagramm, sondern ein Phasenporträt. Drei Zahlen, die den Zustand des Systems beschreiben, bezeichneten die Koordinaten eines Punktes im dreidimensionalen Raum. Mit jedem Schritt erschien ein neuer Punkt auf dem Phasenporträt.

Wenn das System früher oder später die volle Stabilität erreichen würde, würde die Addition von Punkten früher oder später ganz aufhören. Bei periodischen Schwingungen würde die Punktlinie einen Ring bilden. Wenn schließlich überhaupt keine Muster im Verhalten des Systems vorhanden wären, könnte alles auf dem Phasenporträt erscheinen.

Das Ergebnis war völlig unerwartet. Das im Porträt erscheinende Objekt (siehe Hauptabbildung) befand sich innerhalb bestimmter Grenzen, ohne diese zu überschreiten. Es hatte eine bestimmte Struktur – es sah aus wie zwei Flügel eines Schmetterlings –, aber darin war es völlig ungeordnet. Es hörte nicht auf, sich zu „entwickeln“: Kein einziger neuer Punkt fiel mit dem vorherigen zusammen, das Phasenporträt konnte auf unbestimmte Zeit aufgebaut werden. Der Übergang von einem Flügel zum anderen entsprach dem Beginn der Drehung des Rades in die andere Richtung.

Solche Objekte – seltsame Attraktoren – haben in der fraktalen Geometrie und der Chaostheorie eine große Rolle gespielt. „Schmetterlingsflügel“ werden „Lorenz-Attraktor“ genannt.

Schmetterlingseffekt: Phasenporträts für drei Momente. Die gelben und blauen Linien stellen die Trajektorien dar, die den ursprünglichen Datensätzen entsprechen, in denen sich die x-Werte um 10 –5 unterschieden. Zunächst fallen die Linien fast zusammen (Gelb schließt mit

Chaostheorie

Der zweite Schock ist, dass in diesem Chaos, wie sich herausstellt, die Ordnung verborgen ist. Unerwartet, seltsam, kaum verstanden, stellt „eine feine Struktur dar, die in einem chaotischen Informationsfluss lauert“ (J. Gleick), aber umso interessanter. Der Lorenz-Attraktor löst das Problem der Vorhersage nicht, aber seine bloße Existenz ist eine Untersuchung wert.

Mit der Suche nach solchen Erscheinungsformen der Ordnung im Chaos beschäftigt sich eine relativ junge Wissenschaft, die Chaostheorie. Es ist nicht sofort entstanden und hat keinen einzigen Schöpfer. Seine Grundlagen wurden in den Werken von Poincare, Kolmogorov, Arnold, Lyapunov, Landau, Smale, Mandelbrot, Feigenbaum und Dutzenden anderer talentierter Wissenschaftler gelegt, die entweder sahen, was noch niemand zuvor gesehen hatte, oder es schafften zu beschreiben, was andere sahen.

Einer der Schlüsselmomente (übrigens nicht sofort gewürdigt) in seinem Auftreten gilt als der Tag, an dem Edward Norton Lorenz, ein Wetterliebhaber und hartnäckiger Sucher des Fremden, auf drei Dezimalstellen gerundete Variablenwerte einführte Plätze in seinem Modell.

Das Lorentz-System ist ein dreidimensionales System nichtlinearer autonomer Differentialgleichungen. Das dynamische System wurde 1963 von Edward Lorenz untersucht. Der Hauptgrund für das große Interesse am Lorentz-Gleichungssystem ist sein chaotisches Verhalten. Das Gleichungssystem wird geschrieben als

wobei q, r, b > 0. Als Ergebnis der Integration des Systems wurden die folgenden Gesetzmäßigkeiten aufgedeckt.

Für r>0 und r<1 система имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Любое начальное состояние приближается к началу координат при t стремящемся к бесконечности (рис.1).

Reis. 1. Stabiler Attraktor, r>0 und r<1

Wenn r nahe bei 1 liegt, kommt es zu einer kritischen Verzögerung. Wenn r größer als 1 ist, erfolgt die erste Bifurkation. Der Koordinatenursprung verliert an Stabilität und von ihm zweigen zwei Attraktoren ab (Abb. 2), die sowohl global als auch lokal stabil sind.

Reis. 2.Zwei stabile Attraktoren, r>1

Im Fall r<1,345 точки равновесия представляются узлами (рис.3), а при r>1.345 - Brennpunkte (Abb. 4).

Reis. 3. Zwei Knoten, r=1,3

Reis. 4. Zwei Schwerpunkte, r=10

Wenn r auf 13,926 ansteigt, kehren zwei instabile Trajektorien, die vom Ursprung ausgehen, zum Ursprung zurück, da t gegen Unendlich tendiert, und in diesem Fall sind sie keine globalen Attraktoren mehr.

Im Fall von r=13,927 kann der Punkt von einer Nachbarschaft zur anderen und zurück oszillieren. Dieses Verhalten wird als metastabiles Chaos oder homokline Schleife bezeichnet (Abb. 5).

Reis. 5. Homokline Schleife, r=13,927

Für r>13,927 erreicht die Flugbahn je nach Richtung einen von zwei stabilen Punkten. Homokline Schleifen werden zu instabilen Grenzzyklen wiedergeboren, und es entsteht auch eine Familie komplex strukturierter Trajektorien, die kein Attraktor sind. Es kommt zu einer Gabelung homokliner Trajektorien mit der Bildung zweier instabiler Zyklen (Abb. 6).

Reis. 6.Zwei instabile Zyklen, r>13,927

Bei einem Wert von r=24,06 führen die Trajektorien nicht zu stabilen Punkten, sondern nähern sich asymptotisch instabilen Grenzzyklen an – der eigentliche Lorentz-Attraktor erscheint (Abb. 7).

Reis. 7.Lorentz-Attraktor, r=24,06

Bei r>24,06 kommt es zu einer weiteren Bifurkation. Beide stabilen Punkte bleiben jedoch bis r=24,74 bestehen.

Bei r=24,74 kommt es zu einer Umkehrung der Hopf-Bifurkation, bei r>24,74 bleibt ein „seltsamer Attraktor“ (Abb. 8).

Reis. 8.Seltsamer Lorentz-Attraktor, r>24,74

Bei einem Anstieg von r auf 100 wird ein selbstoszillierendes Regime beobachtet (Abb. 9).

Reis. 9.Selbstoszillierender Modus, r=100

Wenn r auf 225 ansteigt, kommt es zu einer Kaskade von Zyklusverdoppelungsgabelungen (Abb. 10).

Reis. 10.Zyklusverdoppelung, r=225

Reis. elf.Zwei asymmetrische periodische Lösungen, r=300

Für große Werte von r gibt es einen symmetrischen Kreis im System (Abb. 12).

Reis. 12.Symmetrischer Zyklus, r=400

Mit dem in der Entwicklungsumgebung Turbo C++ implementierten Programm „Lorenz – ein Programm zum Studium des Lorentz-Systems“ können Sie das Lorenz-System simulieren. Die Erstellung von Phasenporträts und einem Diagramm der Abhängigkeit von Lösungen von der Zeit t basiert auf der Runge-Kutta-Methode dritter Ordnung. Die Programmoberfläche ist in Abbildung 13 dargestellt.

Reis. 13.

Die Modellierung des Verhaltens des Lorenz-Systems mit dem Lorenz-Programm umfasst die folgenden Schritte (Abb. 14):

• Bestimmen Sie die Anfangskoordinaten (x0,y0,z0);
• Legen Sie den Integrationsschritt h und die Anzahl der Iterationen i fest.
• Legen Sie den Wert der Koeffizienten q, r, b fest;
• (optional) Setzen Sie das Kennzeichen „Details“, um die Details der Lösung zu erhalten;
• Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“;
• (optional) Doppelklicken Sie auf die resultierenden Bilder, um sie in die Zwischenablage zu kopieren.

Reis. 14.

Beispiele für die Modellierung des Verhaltens des Lorentz-Systems durch das Lorenz-Programm sind in Abb. 15 dargestellt.

Reis. 15.

Literatur

1. Archangelsky A.Ya. Programmierung im C++ Builder. – M.: Binom-Press, 2010. – 1304 S.
2. Kiryanov D. Mathcad 15/Mathcad Prime 1.0. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012. - 432 S.
3. Arnold V.I. Gewöhnliche Differentialgleichungen. – M.: MTsNMO, 2012. – 344 S.

Liste der Programme

1. MassTextReplacer – ein Programm zur Massenänderung von Textdateien;
2. Lorenz – ein Programm zum Studium des Lorentz-Systems;

Lösung des Systems bei R=24,06

Lösung des Systems bei R=28 – tatsächlich ist dies der Lorentz-Attraktor

Lösung des Systems bei R=100 - der Modus der Selbstschwingungen im System ist sichtbar

Beim Konvektionsproblem entsteht das Modell, wenn Strömungsgeschwindigkeit und Temperatur in zweidimensionale Fourier-Reihen entwickelt und anschließend mit einer Genauigkeit der ersten und zweiten Harmonischen „geschnitten“ werden. Darüber hinaus wird das reduzierte vollständige System hydrodynamischer Gleichungen in der Boussinesq-Näherung geschrieben. Das Beschneiden der Reihen ist bis zu einem gewissen Grad gerechtfertigt, da Soltzman in seiner Arbeit das Fehlen interessanter Merkmale im Verhalten der meisten Harmonischen nachgewiesen hat.

Anwendbarkeit und Übereinstimmung mit der Realität

Bezeichnen wir die physikalische Bedeutung der Variablen und Parameter im Gleichungssystem in Bezug auf die genannten Probleme.

• Konvektion in einer flachen Schicht. Hier X verantwortlich für die Drehzahl der Wasserschächte, j Und z- für die Temperaturverteilung horizontal und vertikal, R- normalisierte Rayleigh-Zahl, σ - Prandtl-Zahl (das Verhältnis des Koeffizienten der kinematischen Viskosität zum Koeffizienten der thermischen Diffusivität), B enthält Informationen über die Geometrie der Konvektionszelle.
• Konvektion im geschlossenen Kreislauf. Hier X- Strömungsgeschwindigkeit, j- Temperaturabweichung vom Durchschnitt an einem Punkt, der 90° vom unteren Punkt der Schleife entfernt ist, z- das Gleiche, aber am untersten Punkt. Die Wärmezufuhr erfolgt am tiefsten Punkt.
• Drehung des Wasserrades. Betrachtet wird das Problem eines Rades, an dessen Rand Körbe mit Löchern im Boden befestigt sind. Oben auf dem Rad symmetrisch ein kontinuierlicher Wasserstrom fließt um die Rotationsachse. Die Aufgabe entspricht der vorherigen, „auf den Kopf gestellt“ und ersetzt die Temperatur durch die Verteilungsdichte der Wassermasse in den Körben entlang des Randes.
• Singlemode-Laser. Hier X ist die Amplitude der Wellen im Laserhohlraum, j- Polarisation, z- Populationsumkehr der Energieniveaus, B und σ sind die Verhältnisse der Inversions- und Feldrelaxationskoeffizienten zum Polarisationsrelaxationskoeffizienten, R- Pumpintensität.

Es ist erwähnenswert, dass das Lorentz-Modell, wenn es auf das Konvektionsproblem angewendet wird, eine sehr grobe Näherung darstellt, die sehr weit von der Realität entfernt ist. Eine mehr oder weniger ausreichende Entsprechung besteht im Bereich regulärer Regime, wo stabile Lösungen qualitativ das experimentell beobachtete Bild gleichmäßig rotierender Konvektionsrollen (Benard-Zellen) widerspiegeln. Das dem Modell innewohnende chaotische Regime beschreibt aufgrund der erheblichen Kürzung der ursprünglichen trigonometrischen Reihe keine turbulente Konvektion.

Interessant ist die deutlich höhere Genauigkeit des Modells mit einigen Modifikationen, die insbesondere zur Beschreibung der Konvektion in einer Schicht verwendet werden, die Vibrationen in vertikaler Richtung oder variablen thermischen Effekten ausgesetzt ist. Solche Änderungen der äußeren Bedingungen führen zu einer Modulation der Koeffizienten in den Gleichungen. In diesem Fall werden die hochfrequenten Fourier-Komponenten von Temperatur und Geschwindigkeit deutlich unterdrückt, wodurch die Übereinstimmung zwischen dem Lorentz-Modell und dem realen System verbessert wird.

Bemerkenswert ist Lorenz‘ Glück bei der Wahl des Parameterwerts r (\displaystyle r), da das System erst bei Werten größer 24,74 zum seltsamen Attraktor kommt, ist das Verhalten bei kleineren Werten völlig anders.

Systemlösungsverhalten

Betrachten wir Änderungen im Verhalten der Lösung des Lorentz-Systems für verschiedene Werte des Parameters r. Die Abbildungen zum Artikel zeigen die Ergebnisse der numerischen Simulation für Punkte mit den Anfangskoordinaten (10,10,10) und (-10,-10,10). Die Modellierung wurde mit dem folgenden Programm durchgeführt, das in der Fortran-Sprache geschrieben war, und die Darstellung gemäß den resultierenden Tabellen erfolgte – aufgrund der schwachen grafischen Fähigkeiten von Fortran unter Verwendung des Compaq Array Viewer.

• R<1 - Der Koordinatenursprung ist der Attraktor, es gibt keine anderen stabilen Punkte.

• 1<R<13,927 - Die Flugbahnen nähern sich spiralförmig (dies entspricht dem Vorhandensein gedämpfter Schwingungen) zwei Punkten, deren Position durch die Formeln bestimmt wird:

( x = ± b (r − 1) y = ± b (r − 1) z = r − 1 (\displaystyle (\begin(cases)x=\pm (\sqrt (b(r-1)))\ \y=\pm (\sqrt (b(r-1)))\\z=r-1\end(cases)))

Diese Punkte bestimmen die Zustände des stationären Konvektionsregimes, wenn sich in der Schicht eine Struktur aus rotierenden Flüssigkeitsrollen bildet.

• R≈13,927 - Wenn die Flugbahn den Ursprung verlässt, kehrt sie nach einer vollständigen Umdrehung um einen der stabilen Punkte zum Ausgangspunkt zurück - es erscheinen zwei homokline Schleifen. Konzept homokline Flugbahn bedeutet, dass es herauskommt und die gleiche Gleichgewichtsposition erreicht.

• R>13,927 - Je nach Richtung erreicht die Flugbahn einen von zwei stabilen Punkten. Homokline Schleifen werden zu instabilen Grenzzyklen wiedergeboren, und es entsteht auch eine Familie komplex angeordneter Trajektorien, die kein Attraktor ist, sondern im Gegenteil Trajektorien von sich selbst abstößt. In Analogie dazu wird diese Struktur manchmal als „seltsamer Repeller“ (dt. abstoßen- abstoßen).

• R≈24,06 - die Trajektorien führen nicht mehr zu stabilen Punkten, sondern nähern sich asymptotisch instabilen Grenzzyklen - der eigentliche Lorentz-Attraktor tritt auf. Allerdings bleiben beide stabilen Punkte bis zu den Werten erhalten R≈24,74.

Bei großen Werten des Parameters erfährt die Flugbahn gravierende Änderungen. Shilnikov und Kaplan haben das im Großen und Ganzen gezeigt R Das System geht in den Selbstoszillationsmodus über, und wenn der Parameter verringert wird, wird ein Übergang ins Chaos durch eine Folge von Verdoppelungen der Schwingungsperiode beobachtet.

Modellbedeutung

Das Lorentz-Modell ist ein reales physikalisches Beispiel für dynamische Systeme mit chaotischem Verhalten, im Gegensatz zu verschiedenen künstlich konstruierten Abbildungen („Sägezahn“, „Markise“, Baker-Transformation, Feigenbaum-Abbildung usw.).

Programme, die das Verhalten des Lorenz-Systems simulieren

#enthalten #enthalten void main() ( double x = 3.051522 , y = 1.582542 , z = 15.62388 , x1 , y1 , z1 ; double dt = 0.0001 ; int a = 5 , b = 15 , c = 1 ; int gd = DETECT , gm ; initgraph (& gd , & gm , "C:\\BORLANDC\\BGI" ); do ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; x = x1 ; y = y1 ; z = z1 ; putpixel ((int )(19.3 * (y - x * 0.292893 ) + 320 ), (int )(- 11 * (z + x * 0,292893 ) + 392 ), 9 ); ) while (! kbhit ()); closegraph (); )

data = Table [ With [( N = 1000 , dt = 0.01 , a = 5 , b = 1 + j , c = 1 ), NestList [ Module [( x , y , z , x1 , y1 , z1 ), ( x , y , z ) = # ; x1 = x + a (- x + y) dt ; y1 = y + (b x - y - z x ) dt ; z1 = z + (- c z + x y ) dt ; ( x1 , y1 , z1 )] & , ( 3.051522 , 1.582542 , 15.62388 ), N ] ], ( j , 0 , 5 )]; Graphics3D @ MapIndexed [( Hue [ 0.1 First [ # 2 ]], Point [ # 1 ]) & , data ]

< html > < body > < canvas height = "500" width = "500" id = "cnv" > < script >var cnv = document . getElementById("cnv"); var cx = cnv . getContext("2d"); var x = 3,051522, y = 1,582542, z = 15,62388, x1, y1, z1; vardt = 0,0001 ; var a = 5 , b = 15 , c = 1 ; var h = parseInt(cnv . getAttribute("height" )); var w = parseInt(cnv . getAttribute("width" )); var id = cx . createImageData(w , h ); varrd = Mathe. runden; var idx = 0 ; i = 1000000 ; while (i -- ) ( x1 = x + a * (- x + y ) * dt ; y1 = y + (b * x - y - z * x ) * dt ; z1 = z + (- c * z + x * y ) * dt ; ) + 392 ) * w );id .data [ idx + 3 ] = 255 ; ) cx . putImageData(id, 0, 0);