Zwei Äquivalent. Äquivalente Gleichungen. Theorems an der Gleichheit der Gleichungen. o Schlussfolgerung, um Probleme zu lösen

Definition. Zwei Gleichungen F 1 (X) \u003d G 1 (X) und F 2 (X) \u003d G 2 (X) werden gleichwertig bezeichnet, wenn die Sätze ihrer Wurzeln übereinstimmen.

Beispielsweise, Gleichungen x 2 -9 \u003d 0 und (2 H. + 6)( H. - 3) \u003d 0 sind gleichwertig, da beide ihre Wurzeln von Zahlen 3 und -3 haben. Gleichwertige und Gleichungen (3 h. + 1)-2 = x 2.- + 1 und x 2. + 1 \u003d 0, da beide nicht root sind, d. H. Viele ihrer Wurzeln stimmen überein.

Definition. Der Austausch der darin äquivalenden Gleichung wird als äquivalente Transformation bezeichnet.

Soweit nun, welche Transformationen ermöglichen, äquivalente Gleichungen zu erhalten.

Theorem 1.Lass die Gleichung f (x) und g (x)auf dem Set eingestellt und h.(x.) - Ausdruck auf demselben Satz definiert. Dann Gleichungen f (x) \u003d g (x)(1) und f (x) + h(x.) = G (x) + h(x.) (2) sind gleichwertig.

Beweise. Bezeichnen mit T 1 -viele Lösungen der Gleichung (1) und durch T 2 -viele Lösungen der Gleichung (2). Die Gleichungen (1) und (2) sind dann gleichwertig, wenn T 1 \u003d t 2.Um sicherzustellen, dass es notwendig ist, zeigen Sie, dass jede Wurzel von T 1.ist die Wurzel der Gleichung (2) und im Gegenteil, jede Wurzel von T 2.es ist die Wurzel der Gleichung (1).

Lass die Nummer. aber- die Wurzel der Gleichung (1). Dann eIN.? T 1,und während der Substitution zur Gleichung (1) wird es in echte numerische Gleichheit f (a) \u003d g (a)und Ausdruck h (x)zieht zu einem numerischen Ausdruck h.(eIN.) mit einer Bedeutung des Sets X.Fügen Sie beiden Teilen der wahren Gleichheit hinzu f (a) \u003d g (a)numerischer Ausdruck h.(eIN.). Wir erhalten entsprechend den Eigenschaften echter numerischer Gleichungen, echte numerische Gleichheit f (a) + h(eIN.) = G (a) + h(eIN.), was zeigt an, dass die Anzahl aberes ist die Wurzel der Gleichung (2).

Es ist jedoch bewiesen, dass jede Wurzel der Gleichung (1) die Wurzel- und Gleichung (2) ist, d. H. T 1.von T 2..

Lass jetzt aber -wurzelgleichung (2). Dann aber? T 2. und während der Substitution zur Gleichung (2) wird es in echte numerische Gleichheit f (a) + h(eIN.) = G (a) + h(eIN.). Wir fügen zu beiden Teilen dieses numerischen Gleichheitsausdrucks hinzu - h.(eIN.), Wir bekommen wahre numerische Gleichheit f (x) \u003d g (x),was zeigt an, dass die Anzahl aber -wurzelgleichung (1).

Es ist also bewiesen, dass jede Wurzel der Gleichung (2) die Wurzel der Gleichung (1) ist, d. H. T 2. von T 1.

Als T 1.von T 2.und T 2.von T 1,dann per Definition von gleichen Sets T 1.= T 2.Also sind Gleichungen (1) und (2) gleichwertig.

Dieser Satz kann sonst formuliert werden: Wenn die Gleichung mit dem Bereich der Bestimmung beobachtet wird X.fügen Sie den gleichen Ausdruck mit einer auf demselben Set definierten Variablen hinzu, wir erhalten eine neue Gleichung, die dies entspricht.

Die Konsequenzen, die bei der Lösung von Gleichungen von diesem Theorem verwendet werden:

1. Wenn die Gleichung zu beiden Teilen der Gleichung hinzugefügt wird, erhalten wir die Gleichung, die dies entspricht.

2. Wenn ein Begriff (numerischer Ausdruck oder Expression mit einer Variablen) von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen wird, wechselt das Zeichen des Bauteils auf das Gegenteil, dann erhalten wir die Gleichung dazu.

Theorem 2 Lass die Gleichung f (x) \u003d g (x)auf dem Set eingestellt X.und h (x) -der Ausdruck, der auf demselben Satz ermittelt wird und unter keinen Werten an Null anspricht h. Von Set. X.Dann Gleichungen f (x) \u003d g (x)und f (x) · h(x.) = G (x) · h(x.) sind gleichwertig.

Der Beweis dieses Satzes ist dem Beweis von Theorem 1 ähnlich.

Theorem 2 kann sonst formuliert werden: wenn beide Teile der Gleichung mit dem Definitionsfeld X.multiplizieren Sie mit demselben Ausdruck, der auf demselben Satz bestimmt wird, und gilt nicht für ihn in Null, erhalten wir eine neue Gleichung, die diesem entspricht.

Von diesem Theorem fließt die Untersuchung: wenn beide Teile der Gleichung (oder geteilt) auf derselben Anzahl von anderen als Null auf Multiplikation (oder geteilt) sind, erhalten wir die Gleichung davon.

Lösung von Gleichungen mit einer Variablen

Ich löse Gleichung 1- x./3 = x./6, x. ? R. Und rechtfertigen Sie alle Transformationen, die wir während der Lösung ausführen werden.

Da alle Transformationen, die wir ausgeführt haben, um diese Gleichung zu lösen, gleichwertig war, kann argumentiert werden, dass 2 die Wurzel dieser Gleichung ist.

Wenn beim Lösen der Gleichung die Bedingungen der Thene 1 und 2 nicht erfüllt sind, kann der Verlust der Wurzeln auftreten, oder der Verlust der Wurzeln kann auftreten oder Fremdwurzeln können erscheinen. Daher ist es wichtig, die Gleichung umzuwandeln, um eine einfachere zu erhalten, sicherzustellen, dass sie zu der entsprechenden Gleichung führten.

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x (x -1) = 2x, x.? R.. Wir teilen beide Teile auf h.Ich bekomme die Gleichung x -1 \u003d 2, von wo h.\u003d 3, d. H. Diese Gleichung hat die einzige Root-Nummer 3. Aber ist es wahr? Es ist leicht zu sehen, dass, wenn diese Gleichung anstelle einer Variablen ist h.ersatz 0, es wird zu einer echten numerischen Gleichheit 0 · (0 - 1) \u003d 2 · 0. Und das bedeutet, dass 0 die Wurzel dieser Gleichung ist, die wir verloren haben, um die Umwandlung durchführen. Lass uns analysieren. Das erste, was wir getan haben, ist beide Teile der Gleichung aufgeteilt x,jene. multipliziert mit dem Ausdruck1 / x., aber für h. \u003d Oh, es macht keinen Sinn. Folglich erfüllten wir den Zustand des Satzes 2 nicht, der zum Verlust der Wurzel führte.

Um sicherzustellen, dass der Satz von Wurzeln dieser Gleichung aus zwei Zahlen 0 und 3 besteht, geben wir eine andere Lösung. Wir übertragen den Ausdruck 2. h. Von der rechten Seite nach links: x (H.- 1) - 2x \u003d 0. Ich bringe den linken Teil der Gleichung für Klammern mit h. und geben ähnliche Mitglieder: x (x -3) = 0. Die Arbeit von zwei Faktoren ist dabei Null und nur in dem Fall, wenn mindestens einer von ihnen Null ist, so x.\u003d 0 oder h. - 3 \u003d 0 Von hier aus bekommen wir, dass die Wurzeln dieser Gleichung 0 und 3 sind.

Im ersten Kurs der Mathematik ist die theoretische Basis zur Lösung der Gleichungen die Beziehung zwischen den Komponenten und den Ergebnissen der Aktionen. Zum Beispiel die Lösung der Gleichung ( h.· 9): 24 \u003d 3 rechtfertigt wie folgt. Da sich das Unbekannte in Delima befindet, um eine Kluft zu finden, ist es notwendig, den Teiler an den privaten Multit zu multiplizieren: h.· 9 \u003d 24 · 3 oder h.· 9 \u003d 72.

Um einen unbekannten Multiplikator zu finden, sollte eine Arbeit in einen bekannten Multiplikator unterteilt werden: x \u003d72: 9 oder x \u003d8, daher ist die Wurzel dieser Gleichung die Zahl 8.

Übungen

1 . Installieren Sie, welche der folgenden Datensätze Gleichungen mit einer Variablen sind:

aber) ( h.-3) · 5 \u003d 12 h.; d) 3 + (12-7) · 5 \u003d 16;

b) ( H.-3) · 5 \u003d 12; e) ( h.-3) · y. =12h.;

beim) ( h.-3) · 17 + 12; e) x 2 - 2x +5 = 0.

2. Gleichung 2. H. 4 + 4 H. 2 -6 \u003d 0 auf den Satz von natürlichen Zahlen eingestellt. Erklären Sie, warum die Zahl 1 die Wurzel dieser Gleichung ist, und 2 und -1 sind keine Wurzeln.

3. In Gleichung ( h.+ ...)(2 H. + 5) - (h. - 3)(2 H. + 1) \u003d 20 Eine Nummer gelöscht und durch Punkte ersetzt. Finden Sie eine gelöschte Nummer, wenn bekannt ist, dass die Wurzel dieser Gleichung Nummer 2 ist.

4. Wort die Bedingungen, unter denen:

a) Nummer 5 ist die Wurzel der Gleichung f (x) \u003d g (x);

b) Nummer 7 ist nicht die Wurzel der Gleichung f (x) \u003d g (x).

5. Stellen Sie ein, welcher der folgenden Gleichungenpaare gleich dem Satz gültiger Nummern ist:

a) 3 + 7 H. \u003d -4 und 2 (3 + 7l H.) = -8;

6)3 + 7 H. \u003d -4 und 6 + 7 H. = -1;

c) 3 + 7 H. \u003d -4 und l H. + 2 = 0.

6. Word Die Eigenschaften des äquivalenten Gleichungsverhältnisses. Welcher von ihnen wird dabei verwendet, um die Gleichung zu lösen?

7. Bestimmen Sie Gleichungen (alle von ihnen werden auf einer Vielzahl gültiger Nummern eingestellt) und rechtfertigen alle während ihrer Vereinfachung ausgeführten Transformationen:

a) (7 x.+4)/2 – x. = (3x.-5)/2;

b) x. –(3x.-2)/5 = 3 – (2x.-5)/3;

um 2- h.)2- H. (h. + 1,5) = 4.

8. Der Student hat die Gleichung 5 gelöst H. + 15 = 3 h. + 9 Wie folgt: Lieferung für Klammern in der linken Teilenummer 5, und in der rechten Nummer 3 erhielt eine Gleichung 5 (H.+ 3) = 3(h. + 3) und dann beide Teile auf den Ausdruck unterteilt h. + 3. Gleichheit 5 \u003d 3 empfangen und abgeschlossen - Diese Gleichung hat nicht die Wurzeln. Ist der Schüler richtig?

9. Entscheiden Sie die Gleichung 2 / (2- x.) - ½ \u003d 4 / ((2- x.)x.); h.? R.. Ist die Nummer 2 der Wurzel dieser Gleichung?

10. Bestimmen Sie Gleichungen mit der Beziehung zwischen Komponenten und Ergebnissen der Aktionen:

aber) ( h. + 70) · 4 \u003d 328; c) (85 H. + 765): 170 = 98;

b) 560: ( h. + 9) - 56; d) ( h. - 13581):709 = 306.

11. Bestimmen Sie die Aufgaben von arithmetischen und algebraischen Methoden:

a) auf dem ersten Regal auf 16 Büchern mehr als am zweiten. Wenn Sie 3 Bücher aus jedem Regal entfernen, dann werden Bücher auf dem ersten Regal eineinhalb Mal mehr als der zweite sein. Wie viele Bücher in jedem Regal?

b) den ganzen Weg von der Touristenstation zu einer Station, gleich 26 km, fuhr der Radfahrer 1 h 10 min. Die ersten 40 Minuten dieser Zeit fuhr er mit einer Geschwindigkeit und der Rest der Zeit - mit einer Geschwindigkeit von 3 km / h weniger. Finden Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers am ersten Teil des Pfads.

1. Zwei gleichwertige Spieler spielen ein Spiel, das ausgeschlossen ist. Was ist die Wahrscheinlichkeit für den ersten Spieler zu gewinnen: a) eine Charge von zwei? b) zwei der vier? c) drei von sechs?

Antworten: aber) ; b); im)

3. Schneiden Au. geteilt durch Punkt. VON In Bezug auf 2: 1. In diesem Segment wurden vier Punkte geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen links von dem Punkt C und zwei nach rechts sind.

Antworten:

4. Erhöhen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis in 243 Tests genau 70-mal ist, wenn die Wahrscheinlichkeit des Erscheinungsbildes dieses Ereignisses in jedem Test 0,25 beträgt.

Antworten: .

5. Die Konsistenz der Geburt eines Jungen beträgt 0,515. Finden Sie die Chance, dass unter 100 neugeborenen Jungen und Mädchen gleich sein werden.

Antworten: 0,0782

6. Der Laden erhielt 500 Flaschen in einem Glasbehälter. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Transport eines der Flaschen um 0,003 gebrochen wird, gleich 0,003. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Laden gebrochene Flaschen erhält: a) genau zwei; b) weniger als zwei; c) mindestens zwei; d) mindestens eins.

Antworten: a) 0,22; b) 0,20; c) 0.80; d) 0,95.

7. Die Automobilanlage produziert 80% der Autos ohne wesentliche Mängel. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 600 Autos von der Anlage am Automobilaustausch mindestens 500 Autos ohne signifikante Mängel betragen wird?

Antworten: 0,02.

8. Wie oft müssen Sie eine Münze werfen, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 es ist, zu erwarten, dass die relative Häufigkeit der Auftritte des Emblems von der Wahrscheinlichkeit abweicht r.\u003d 0,5 Das Erscheinungsbild des Wappens mit einem Wurf der Münze ist nicht mehr als 0,02?

Antwort: N. ≥ 2401.

9. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in jedem der 100 unabhängigen Ereignisse ist konstant und gleich p.\u003d 0,8. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis erscheint: a) mindestens 75 mal und nicht mehr als 90 Mal; b) mindestens 75 mal; c) nicht mehr als 74 mal.

Antworten: a b c).

10. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in jedem der unabhängigen Tests beträgt 0,2. Um zu finden, welche Abweichung der relativen Häufigkeit des Ereignisses von seiner Wahrscheinlichkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9128 bei 5000 Tests erwartet werden kann.

Antworten:

11. Wie oft müssen Sie eine Münze werfen, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 möglich sein könnte, dass die Abweichung der relativen Frequenz der Erscheinungen der Wappen aus der Wahrscheinlichkeit p.\u003d 0.5 wird von sein absolutwert Nicht mehr als 0,01.

Antwort: N. = 1764.

12. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in jedem der 10000 unabhängigen Tests beträgt 0,75. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit des Ereignisses von seiner Wahrscheinlichkeit durch den absoluten Wert von nicht mehr als 0,01 abweichen wird.

Antworten: .

13. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in jedem der unabhängigen Tests beträgt 0,5. Finden Sie die Anzahl der Tests n., in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7698 erwartet werden kann, dass die relative Häufigkeit des Erscheinungsbildes eines Ereignisses von seiner Wahrscheinlichkeit um einen absoluten Wert von nicht mehr als 0,02 abweicht.

Definition.Zwei Formeln Logic Algebra A und B.namens gleichwertigwenn sie die gleichen logischen Werte für alle Werte von Werten der in der Formel enthaltenen Elementarabsätzen einnehmen.

Die Gleichheit der Formeln wird unterschrieben und aufgenommen EIN. IMbedeutet diese Formeln. A und B.gleichwertig.

Zum Beispiel sind die Formeln gleichwertig:

Formel A heißt aufgerufen identisch wahr (oder Tautologie)Wenn der Wert von 1 mit allen Werten der darin enthaltenen Variablen erforderlich ist.

Zum Beispiel die Formel , .

Formel ABERnamens identisch falschwenn es einen Wert von 0 für alle Werte der darin enthaltenen Variablen benötigt.

Zum Beispiel ist die Formel identisch falsch.

Es ist klar, dass das Verhältnis der Gleichstellfähigkeit reflexiv, symmetrisch und breits.

Zwischen den Konzepten der Äquivalenz und der Gleichwertigkeit und der Gleichwertigkeit gibt es folgende Verbindung: Wenn Formeln ABERund IMÄquivalent, dann Formel ABER IM- Tautologie und Rücken, wenn die Formel ABER IM- Tautologie, dann Formeln ABERund IMgleichwertig.

Die wichtigste Äquivalenz der logischen Algebra kann in drei Gruppen unterteilt werden.

1. Basisgleichwertigkeit:

Wir beweisen einen der Gesetze der Absorption. Betrachten Sie die Formel . Wenn in dieser Formel aber\u003d 1, dann offensichtlich als die Verbindung von zwei echten Anweisungen. Jetzt lass es formulieren Und x \u003d.0. Dann ist der Konjunktionvorgang jedoch per Definition falsch und konjunktural . Also in allen Fällen die Werte der Formel ABERmit Werten zusammenfallen aber,und deshalb ABER x..

2. Ausrüstung, die einige logische Operationen durch andere ausdrücken:

Es ist klar, dass die Äquivalenz 5 und 6 aus der Äquivalenz 3 bzw. 4, falls von beiden Teilen des letzteren erlangt sind, um Ablehnungen zu nehmen und die Berechtigungen der doppelten Negation zu nutzen. Somit braucht die erste vier Equivagivität den Nachweis. Wir werden uns von ihnen beweisen: den ersten und dritten.

Da mit den gleichen logischen Werten h.und w.wahre Formeln ,,, dann wird es eine echte Konjunktion geben . In diesem Fall haben in diesem Fall beide Gleichwertigkeit dieselben wahren Werte.

Lass jetzt h.und w.haben verschiedene logische Werte. Dann wird es falsche Äquivalenz und eine von zwei Auswirkungen oder. Das ist

wird falsch und konjunktur sein . Somit haben in diesem Fall beide Teile der Äquivalenz die gleichen logischen Werte.

Betrachten Sie Tantaminity 3. Wenn h.und w.wahre Werte werden gleichzeitig angenommen, es wird echte Konjunktion geben x & w.und falsche Negation der Verbindung. Gleichzeitig wird falsch sein und und daher wird es falsch und diskutiert sein .

Machen Sie jetzt mindestens eine der Variablen h.oder w.nimmt den Wert von FALSE an. Dann wird es falsche Verbindung geben x & w.und seine wahre Ablehnung. Gleichzeitig ist die Ablehnung von mindestens einem der Variablen wahr, und ist daher wahr und Disjunktion .

In allen Fällen nutzen in allen Fällen beide Teile der Äquivalenz 3 die gleichen logischen Werte.

In ähnlicher Weise ist die Äquivalenz von 2 und 4 nachgewiesen.

Von der Gleichheit dieser Gruppe folgt, dass alle Formel der logischen Algebra durch eine Formel ersetzt werden kann, die nur zwei logische Operationen enthält: Konjunktion und Ablehnung oder Disjunktion und Ablehnung.

Eine weitere Beseitigung logischer Operationen ist unmöglich. Wenn wir also nur Konjunktion verwenden, ist eine solche Formel wie die Ablehnung h.kann nicht mit dem Konjunktionvorgang ausgedrückt werden.

Es gibt jedoch Vorgänge, mit denen alle der fünf logischen Operationen, die wir verwenden, ausgedrückt werden können. Eine solche Operation ist beispielsweise der Schaffenbetrieb. Dieser Vorgang wird durch ein Symbol angezeigt. x | W.und wird von der folgenden Wahrheitstabelle bestimmt:

Offensichtlich gibt es gleichwertig zu:

2) x & w. (x | y) | (x | y).

Von diesen beiden Equivals folgt, dass jede Formel der logischen Algebra durch eine äquivalente Formel ersetzt werden kann, die nur den "Stream Barcode" enthält.

Beachten Sie, dass.

In ähnlicher Weise kann eine Operation eingeführt werden .

3. Ausrüstung, die Grundgesetze ausdrücken Logic Algebra:

1. x & w. u & x -kommunikation Kommutativität.

2. x. w. y. h.- Kommutativer Disjunktion.

3. x & (y & d) (x & y) & z- assoziative Konjunktion.

4. h. (Y Z. ) (H. y) Z-Assoziativität der Disjunktion.

5. x & (u z) (x & y) (x & z)- Verteilung der Verbindung relativ zur Disjunktion.

6. h. (Y & z) (H. y) & (x Z. ) - Verteilung der Diskussion relativ zur Verbindung.

Wir beweisen die letzten der börsennotierten Gesetze. Wenn ein h.\u003d 1, dann gibt es wahre Formeln h. (U & &z) h. u, x. Z. . Aber dann wird es wahr und Konjunktion geben (H. y) & (x Z. ). Also wann h.\u003d 1 Beide Teile der Äquivalenz 6 nehmen die gleichen logischen Werte (true).

Lass jetzt x \u003d0. Dann h. (U & Z) y & z, x w. w.und x. z z. , und daher Konjunktion. h. (Y & z) y & z.. Folglich entsprechen beide Teile der Äquivalenz 6 der gleichen Formel. u & z,und nehmen Sie daher die gleichen logischen Werte an.

§ 5. Äquivalente Transformationen von Formeln

Mit Gleichwertigkeit I, II- und III-Gruppen kann er Teil der Formel oder Formel sein, die durch die entsprechende Formel ersetzt werden soll. Solche Umwandlungen von Formeln werden genannt gleichwertig.

Die Umwandlungen des Geräts werden zur Nachweisgleichsäquivalenz verwendet, um Formeln in eine gegebene Form zu bringen, um die Formeln zu vereinfachen.

Formel ABERes wird als leichter zu äquivalenten Formeln angesehen BEIM,wenn es weniger Buchstaben enthält, weniger logische Operationen. In diesem Fall werden die Äquivalenz und Implikationen in der Regel durch Disjunkt- und Konjunktionvorgänge ersetzt, und Ablehnungen beziehen sich auf Elementaraussagen. Betrachten Sie eine Reihe von Beispielen.

1. Äquivalent beweisen .

Verwenden von Äquivalenz I, II- und III-Gruppen

2. Vereinfachen .

Wir schreiben die Kette der attraktiven Formeln:

3. Beweisen Sie die identische Wahrheit der Formel

Wir schreiben die Kette der attraktiven Formeln:

Algebra Bul.

Die Äquivalenz der III-Gruppe legt nahe, dass die logische Algebra kommutative und assoziative Gesetze in Bezug auf Konjunktion und Diskussionsgeschäfte sowie das Verteilungsgesetz der Verbindung in Bezug auf Disjunktion, die gleichen Gesetze in der Algebra von Zahlen erfolgen. Daher können oberhalb der Formeln der logischen Algebra die gleichen Transformationen erzeugen, die in der Algebra der Zahlen (Offenbarung der Klammern, der Schlussfolgerung in Klammern, einem gemeinsamen Faktor geführt werden).

In der Algebra der Logik sind jedoch andere Transformationen, die auf der Verwendung von Äquivalenz basieren, möglich:

Mit dieser Funktion können Sie zu weitreichenden Verallgemeinerungen kommen.

Betrachten Sie ein nicht leeres Set M.elemente jeder Natur ( x, y, z, ...} , in dem die Beziehung "\u003d" (gleich) und drei Operationen definiert sind: "+" (Addition), "" (Multiplikation) und "-" (Denial), unterliegen den folgenden Axiomen:

Kommutative Gesetze:

1a. x + y \u003d u + x,1b. h. y \u003d u. x.

Assoziative Gesetze:

2a. x + (y + d)= (x + y) + z,2b. h. (U. z) \u003d (x y) z.

Verteilungsgesetze:

3a. (x + y) z \u003d (x Z. ) + (y d)3b. (x y) + z \u003d (X + z) (y + z).

LawspeTency-Gesetze:

4a. x + x \u003d x,4b. h. x \u003d x.

Dual-Denial-Gesetz:

De Morgana-Gesetze:

6a. , 6b. . .

Absorptionsgesetze:

7a. x + x)= h., 7b. h. (u + x) \u003d x.

So viel M.namens boolsche Algebra.

Wenn unter den Hauptelementen x, y, z, ...erfüllen Sie die Aussagen, unter den Operationen "+", "," - "Disjunktion, Konjunktion, Ablehnung, und das Zeichen der Gleichheit gilt als Zeichen der Äquivalenz, dann wie folgt aus den Gleichwertigen I, II- und III-Gruppen, Alle Axiome der Milchalgebra werden durchgeführt.

In Fällen, in denen das Axiom für einiges System, ist es möglich, bestimmte Objekte und bestimmte Beziehungen zwischen ihnen auszuwählen, sodass alle Axiome ausgeführt werden, sagen sie das gefunden interpretation(oder modell)dieses System-Axiom.

Die logische Algebra ist also die Interpretation der booleschen Algebra. Die Bul-Algebra hat andere Interpretationen. Beispielsweise, wenn unter den Hauptelementen x, y, z, ...einstellen M.treffen Sie das Set, unter Operationen, "+", "," - "Assoziation, Kreuzung, Zusatz bzw. unter dem Zeichen der Gleichheit - ein Zeichen der Gleichheit von Sets, dann kommen wir in die Algebra von Sets. Es ist leicht, sicherzustellen, dass in der Algebra von Sets alle Axiome der Bul-Algebra durchgeführt werden.

Zu den verschiedenen Interpretationen der booleschen Algebra sind Interpretation und technische Natur. Einer von ihnen wird unten diskutiert. Wie gezeigt wird, spielt es eine wichtige Rolle in der modernen Automatisierung.

Funktionen Logic Algebra.

Wie bereits erwähnt, hängt der Wert der Formel der logischen Algebra vollständig von den Werten der in dieser Formel enthaltenen Anweisungen ab. Daher ist die Formel der logischen Algebra die Funktion der darin enthaltenen Elementarabsätze.

Zum Beispiel ist die Formel eine Funktion

drei Variablen f (x, y, z).Ein Merkmal dieser Funktion ist, dass ihre Argumente einen von zwei Werten dauern: Null oder Einheit, und die Funktion dauert auch eine von zwei Werten: Null oder Einheit.

Definition. Die Funktion der Logikalgebraha variablen (oder bulfunktion)die Funktion der Genvariablen wird aufgerufen, wenn jede Variable zwei Werte annimmt: 0 und 1, und die Funktion kann nur einen von zwei Werten dauern: 0 oder 1.

Es ist klar, dass identisch wahre und identisch falsche Formeln der logischen Algebra konstante Funktionen sind, und zwei äquivalente Formeln drücken dieselbe Funktion aus.

Wir erfahren heraus, was die Anzahl der Funktion n Variablen ist. Natürlich kann jede Funktion der logischen Algebra (sowie der Formel der logischen Algebra) unter Verwendung einer Wahrheitstabelle eingestellt werden, die 2 N-Saiten enthält. Folglich dauert jede Funktion von n Variablen 2 N-Werte, die aus Nullen und Einheiten bestehen. Somit wird die Funktion n von Variablen vollständig durch den Satz von Werten von Nullen und Einheiten der Länge 2 N bestimmt. (Die Gesamtzahl der Sätze bestehend aus Nullen und Einheiten, die Länge 2 n ist gleich. So die Anzahl der verschiedenen Funktionen der logischen Algebra p.variablen entsprechen.

Insbesondere die verschiedenen Funktionen einer Variablen vier und verschiedene Funktionen von zwei Variablen sechzehn. Trinken Sie alle Funktionen der Algebra-Logik eins undzwei Variablen.

Betrachten Sie die Wahrheitstabelle für verschiedene Funktionen einer Variablen. Es hat offensichtlich das Formular:

Es folgt aus dieser Tabelle, dass die beiden Funktionen einer Variablen permanent sind: f 1 (x) \u003d1, f 4 (x) \u003d0, A. f 2 (x) x,und f 3 (x) .

Die Wahrheitstabelle für alle möglichen Funktionen von zwei Variablen hat das Formular:

f i \u003d f i (x, y)

Es ist klar, dass die analytischen Ausdrücke dieser Funktionen wie folgt aufgenommen werden können.

Lässt sich von der gelösten Gleichung bis zum sogenannten bewegen äquivalente Gleichungen. und gleichungen-Folgen, auf denen es möglich ist, die Lösung der ursprünglichen Gleichung zu bestimmen. In diesem Artikel werden wir detailliert analysieren, welche Gleichungen entsprechen Gleichung.

Äquivalente Gleichungen, Definition, Beispiele

Wir geben die Definition von äquivalenten Gleichungen an.

Definition

Äquivalente Gleichungen. - Dies sind Gleichungen mit den gleichen Wurzeln oder Wurzeln.

Dasselbe im Sinne der Entschlossenheit, aber im Wortlaut etwas anders, werden in verschiedenen Lehrbüchern der Mathematik angegeben, zum Beispiel,

Definition

Zwei Gleichungen f (x) \u003d g (x) und r (x) \u003d s (x) genannt gleichwertigWenn sie die gleichen Wurzeln (oder insbesondere, wenn beide Gleichungen keine Wurzeln haben).

Definition

Gleichungen mit den gleichen Wurzeln nannten äquivalente Gleichungen.. Gleichungen, die keine Wurzeln haben, gelten ebenfalls als gleichwertig.

Unter den gleichen Wurzeln werden wie folgt verstanden: Wenn einige Nummer die Wurzel eines der äquivalenten Gleichungen ist, dann ist es die Wurzel eines anderen dieser Gleichungen, und es ist nicht eine der äquivalenten Gleichungen, die nicht, dass keine Wurzel auftreten kann Wurzel irgendjemanden dieser Gleichungen.

Wir geben Beispiele für äquivalente Gleichungen an. Beispielsweise sind drei Gleichungen 4 · x \u003d 8, 2 · x \u003d 4 und x \u003d 2 gleichwertig. In der Tat hat jeder von ihnen die einzige Wurzel 2, sodass sie per Definition gleichwertig sind. Ein anderes Beispiel: Zwei Gleichungen x · 0 \u003d 0 und 2 + x \u003d x + 2 sind gleichwertig, die Sätze ihrer Lösungen übereinstimmen: Die Wurzel und der erste und der zweite von ihnen sind beliebig viele. Zwei Gleichungen x \u003d x + 5 und x 4 \u003d -1 sind auch ein Beispiel von äquivalenten Gleichungen, beide haben keine echten Lösungen.

Für die Vollständigkeit sollte das Bild Beispiele für nicht äquivalente Gleichungen gegeben werden. Beispielsweise sind die Gleichungen x \u003d 2 und x 2 \u003d 4 nicht äquivalent, da die zweite Gleichung eine Wurzel -2 aufweist, die nicht die Wurzel der ersten Gleichung ist. Gleichungen und sind auch nicht gleichwertig, da die Wurzeln der zweiten Gleichung beliebige Zahlen sind und die Anzahl von Null nicht die Wurzel der ersten Gleichung ist.

Die stimmhafte Definition von äquivalenten Gleichungen betrifft sowohl den Gleichungen mit einer Variablen als auch in Gleichungen mit einer großen Anzahl von Variablen. Für Gleichungen mit zwei, drei usw. Das Wort "Roots" in der Definition sollte durch das Wort "Lösungen" ersetzt werden. Damit,

Definition

Äquivalente Gleichungen. - Dies sind Gleichungen mit den gleichen Lösungen oder haben sie.

Zeigen Sie ein Beispiel von äquivalenten Gleichungen mit mehreren Variablen. x 2 + y 2 + Z 2 \u003d 0 und 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 \u003d 0 - Hier ist ein Beispiel von eigentlich äquivalalen Gleichungen mit drei Variablen x, y und z, beide haben eine einzige Lösung ( 0, 0, 0). Die Gleichungen mit zwei Variablen x + y \u003d 5 und x y \u003d 1 sind jedoch nicht äquivalent, da zum Beispiel ein Wertepaar X \u003d 2, y \u003d 3 eine Lösung der ersten Gleichung ist (wenn diese ersetzt werden Werte, die erste Gleichung wird echte Gleichheit 2 + 3 \u003d 5 erhalten), ist jedoch keine zweite Lösung (wenn diese Werte in der zweiten Gleichung ersetzt, erhalten wir falsche Gleichheit 2 · 3 \u003d 1).

Gleichungen-Corification.

Wir präsentieren die Definitionen von Gleichungen - Folgen aus Schullehrbüchern:

Definition

Wenn jede Wurzel der Gleichung f (x) \u003d g (x) gleichzeitig die Wurzel der Gleichung p (x) \u003d h (x) ist, wird die Gleichung p (x) \u003d h (x) aufgerufen folge Gleichungen f (x) \u003d g (x).

Definition

Wenn alle Wurzeln der ersten Gleichung die Wurzeln der zweiten Gleichung sind, wird die zweite Gleichung aufgerufen folge Die erste Gleichung.

Wir geben ein Paar Beispiele für Folgen. Gleichung x 2 \u003d 3 2 ist eine Folge der Gleichung x - 3 \u003d 0. In der Tat hat die zweite Gleichung die einzige Wurzel x \u003d 3, diese Wurzel ist und die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d 3 2, daher ist die Gleichung x 2 \u003d 3 2 daher eine Folge der Gleichung X-3 \u003d 0. Ein anderes Beispiel: Gleichung (x-2) · (x-3) · (x-4) \u003d 0 ist eine Folge der Gleichung Da alle Wurzeln der zweiten Gleichung (ihre beiden, 2 und 3) offensichtlich die Wurzeln der ersten Gleichung sind.

Aus der Definition der Gleichung bedeutet die Untersuchung, dass absolut jede Gleichung eine Folge von Equalation ist, die keine Wurzeln hat.

Es lohnt sich, mehrere eher offensichtliche Auswirkungen von der Ermittlung von äquivalenten Gleichungen zu erwecken und die Gleichungserforation zu bestimmen:

• Wenn zwei Gleichungen gleichwertig sind, ist jeder von ihnen eine Folge eines anderen.
• Wenn jede der beiden Gleichungen eine Folge der anderen ist, sind diese Gleichungen gleichwertig.
• Zwei Gleichungen sind dann gleichwertig und nur, wenn jeder von ihnen eine Folge eines anderen ist.