Baxışlarda nöqtələrin proyeksiyasını təyin edin. Nöqtələrin ortoqonal proyeksiyalarının qurulması
Bu yazıda bir nöqtənin müstəviyə proyeksiyasını necə yaratmaq və bu proyeksiyanın koordinatlarını necə təyin etmək barədə suallara cavab tapacağıq. Nəzəri hissədə biz proyeksiya anlayışına istinad edəcəyik. Biz şərtləri müəyyənləşdirəcəyik və illüstrasiyalarla məlumat verəcəyik. Əldə edilmiş bilikləri nümunələr həll etməklə möhkəmləndirək.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Proyeksiya, proyeksiya növləri
Məkan fiqurlarına baxmaq rahatlığı üçün bu fiqurları əks etdirən rəsmlərdən istifadə olunur.
Tərif 1
Fiqurun təyyarəyə proyeksiyası- fəza fiqurunun çəkilməsi.
Aydındır ki, proyeksiya qurmaq üçün istifadə olunan bir sıra qaydalar var.
Tərif 2
Proyeksiya– tikinti qaydalarından istifadə etməklə müstəvidə fəza fiqurunun rəsminin qurulması prosesi.
Proyeksiya müstəvisi- bu, təsvirin qurulduğu müstəvidir.
Müəyyən qaydaların istifadəsi proyeksiyanın növünü müəyyənləşdirir: mərkəzi və ya paralel.
Paralel proyeksiyanın xüsusi halı perpendikulyar proyeksiya və ya ortoqonaldır: həndəsədə əsasən istifadə olunur. Bu səbəbdən nitqdə “perpendikulyar” sifətinin özü çox vaxt buraxılır: həndəsədə sadəcə olaraq “fiqurun proyeksiyası” deyirlər və bununla da perpendikulyar proyeksiya üsulu ilə proyeksiyanın qurulması nəzərdə tutulur. Xüsusi hallarda, əlbəttə ki, başqa bir şey razılaşdırıla bilər.
Qeyd edək ki, fiqurun müstəviyə proyeksiyası mahiyyətcə bu fiqurun bütün nöqtələrinin proyeksiyasıdır. Buna görə də rəsmdə fəza fiqurunu öyrənə bilmək üçün bir nöqtəni müstəviyə proyeksiya etmək kimi əsas bacarıqlara yiyələnmək lazımdır. Aşağıda nə haqqında danışacağıq.
Yada salaq ki, həndəsədə ən çox müstəviyə proyeksiyadan danışarkən perpendikulyar proyeksiyadan istifadəni nəzərdə tuturlar.
Nöqtənin müstəviyə proyeksiyasının tərifini əldə etməyə imkan verəcək konstruksiyalar edək.
Tutaq ki, üçölçülü fəza verilib və orada α müstəvisi və α müstəvisinə aid olmayan M 1 nöqtəsi var. Verilmiş M nöqtəsindən düz xətt çəkin A verilmiş α müstəvisinə perpendikulyar. a düz xətti ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsini H 1 kimi qeyd edirik; konstruksiyaya görə o, M 1 nöqtəsindən α müstəvisinə enmiş perpendikulyarın əsası kimi xidmət edəcəkdir.
Əgər verilmiş α müstəvisinə aid olan M 2 nöqtəsi verilirsə, M 2 özünün α müstəvisinə proyeksiyası kimi xidmət edəcəkdir.
Tərif 3
- bu ya nöqtənin özüdür (əgər o, verilmiş müstəviyə aiddirsə), ya da verilmiş nöqtədən verilmiş müstəviyə düşmüş perpendikulyarın əsasıdır.
Nöqtənin müstəviyə proyeksiyasının koordinatlarının tapılması, nümunələr
Üçölçülü fəzada aşağıdakılar verilsin: düzbucaqlı koordinat sistemi O x y z, müstəvi α, M 1 (x 1, y 1, z 1) nöqtəsi. M 1 nöqtəsinin verilmiş müstəviyə proyeksiyasının koordinatlarını tapmaq lazımdır.
Həll nöqtənin müstəviyə proyeksiyasının yuxarıda verilmiş tərifindən açıq şəkildə irəli gəlir.
M 1 nöqtəsinin α müstəvisinə proyeksiyasını H 1 kimi işarə edək. Tərifə görə, H 1 verilmiş α müstəvisi ilə M 1 nöqtəsindən (müstəviyə perpendikulyar) çəkilmiş a düz xəttinin kəsişmə nöqtəsidir. Bunlar. Bizə lazım olan M1 nöqtəsinin proyeksiyasının koordinatları a düz xətti ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarıdır.
Beləliklə, bir nöqtənin müstəviyə proyeksiyasının koordinatlarını tapmaq üçün lazımdır:
α müstəvisinin tənliyini əldə edin (əgər bu göstərilməyibsə). Müstəvi tənliklərin növləri haqqında məqalə burada sizə kömək edəcək;
M 1 nöqtəsindən keçən və α müstəvisinə perpendikulyar a xəttinin tənliyini müəyyən edin (verilmiş nöqtədən verilmiş müstəviyə perpendikulyar keçən xəttin tənliyi haqqında mövzunu öyrənin);
a düz xətti ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın (məqalə - müstəvi ilə xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması). Alınan məlumatlar M 1 nöqtəsinin α müstəvisinə proyeksiyası üçün lazım olan koordinatlar olacaqdır.
Nəzəriyyəyə praktiki nümunələrlə baxaq.
Misal 1
M 1 (- 2, 4, 4) nöqtəsinin 2 x – 3 y + z - 2 = 0 müstəvisinə proyeksiyasının koordinatlarını təyin edin.
Həll
Gördüyümüz kimi, təyyarənin tənliyi bizə verilir, yəni. tərtib etməyə ehtiyac yoxdur.
M 1 nöqtəsindən keçən və verilmiş müstəviyə perpendikulyar a düz xəttinin kanonik tənliklərini yazaq. Bu məqsədlər üçün a düz xəttinin istiqamətləndirici vektorunun koordinatlarını təyin edirik. a xətti verilmiş müstəviyə perpendikulyar olduğundan a xəttinin istiqamət vektoru 2 x - 3 y + z - 2 = 0 müstəvisinin normal vektorudur. Beləliklə, a → = (2, - 3, 1) – a düz xəttinin istiqamət vektoru.
İndi fəzada M 1 (- 2, 4, 4) nöqtəsindən keçən və istiqamət vektoru olan xəttin kanonik tənliklərini tərtib edək. a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Tələb olunan koordinatları tapmaq üçün növbəti addım x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 düz xəttinin kəsişmə nöqtəsinin və müstəvinin koordinatlarını təyin etməkdir. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Bu məqsədlər üçün kanonik tənliklərdən kəsişən iki müstəvi tənliklərinə keçirik:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Tənliklər sistemi yaradaq:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
Gəlin bunu Kramer metodundan istifadə edərək həll edək:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 32 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ = z 140 - 28 = 5
Beləliklə, verilmiş α müstəvisində verilmiş M 1 nöqtəsinin tələb olunan koordinatları: (0, 1, 5) olacaqdır.
Cavab: (0 , 1 , 5) .
Misal 2
Üçölçülü fəzanın O x y z düzbucaqlı koordinat sistemində A (0, 0, 2) nöqtələri verilir; B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) və M 1 (-1, -2, 5). A B C müstəvisinə M 1 proyeksiyasının koordinatlarını tapmaq lazımdır
Həll
Əvvəlcə üç verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyini yazırıq:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
M 1 nöqtəsindən A B C müstəvisinə perpendikulyar keçəcək a xəttinin parametrik tənliklərini yazaq. x – 2 y + 2 z – 4 = 0 müstəvisinin koordinatları (1, -) olan normal vektoru var. 2, 2), yəni. vektor a → = (1, - 2, 2) – a düz xəttinin istiqamət vektoru.
İndi M 1 xəttinin nöqtəsinin koordinatlarına və bu xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarına sahib olaraq, xəttin parametrik tənliklərini fəzada yazırıq:
Sonra x – 2 y + 2 z – 4 = 0 müstəvisinin kəsişmə nöqtəsinin və düz xəttin koordinatlarını təyin edirik.
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Bunu etmək üçün təyyarənin tənliyini əvəz edirik:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
İndi x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ parametrik tənliklərindən istifadə edərək λ = - 1 üçün x, y və z dəyişənlərinin qiymətlərini tapırıq: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Beləliklə, M 1 nöqtəsinin A B C müstəvisinə proyeksiyasının koordinatları (- 2, 0, 3) olacaqdır.
Cavab: (- 2 , 0 , 3) .
Nöqtənin koordinat müstəvilərinə və koordinat müstəvilərinə paralel olan müstəvilərə proyeksiyasının koordinatlarının tapılması məsələsi üzərində ayrıca dayanaq.
M 1 (x 1, y 1, z 1) nöqtələri və O x y, O x z və O y z koordinat müstəviləri verilsin. Bu nöqtənin bu müstəvilərə proyeksiyasının koordinatları müvafiq olaraq: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) və (0, y 1, z 1) olacaqdır. Verilmiş koordinat müstəvilərinə paralel olan müstəviləri də nəzərdən keçirək:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
Və verilmiş M 1 nöqtəsinin bu müstəvilərə proyeksiyaları koordinatları x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 və - D A, y 1, z 1 olan nöqtələr olacaqdır.
Bu nəticənin necə əldə edildiyini nümayiş etdirək.
Nümunə olaraq M 1 (x 1, y 1, z 1) nöqtəsinin A x + D = 0 müstəvisinə proyeksiyasını təyin edək. Qalan hallar oxşardır.
Verilmiş müstəvi O y z koordinat müstəvisinə paraleldir və i → = (1, 0, 0) onun normal vektorudur. Eyni vektor O y z müstəvisinə perpendikulyar olan xəttin istiqamət vektoru kimi xidmət edir. Onda M 1 nöqtəsindən çəkilmiş və verilmiş müstəviyə perpendikulyar düz xəttin parametrik tənlikləri aşağıdakı formada olacaqdır:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Bu xəttin və verilmiş müstəvinin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapaq. Əvvəlcə bərabərlikləri A x + D = 0 tənliyində əvəz edək: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 və alaq: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Sonra λ = - D A - x 1 olan düz xəttin parametrik tənliklərindən istifadə edərək tələb olunan koordinatları hesablayırıq:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Yəni M 1 (x 1, y 1, z 1) nöqtəsinin müstəviyə proyeksiyası koordinatları - D A, y 1, z 1 olan nöqtə olacaq.
Misal 2
M 1 (- 6, 0, 1 2) nöqtəsinin O x y koordinat müstəvisinə və 2 y - 3 = 0 müstəvisinə proyeksiyasının koordinatlarını təyin etmək lazımdır.
Həll
O x y koordinat müstəvisi z = 0 müstəvisinin natamam ümumi tənliyinə uyğun olacaq. M 1 nöqtəsinin z = 0 müstəvisinə proyeksiyasının koordinatları (- 6, 0, 0) olacaqdır.
2 y - 3 = 0 müstəvi tənliyini y = 3 2 2 kimi yazmaq olar. İndi sadəcə M 1 (- 6, 0, 1 2) nöqtəsinin y = 3 2 2 müstəvisinə proyeksiyasının koordinatlarını yazın:
6 , 3 2 2 , 1 2
Cavab:(- 6 , 0 , 0) və - 6 , 3 2 2 , 1 2
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Proyeksiyaların profil müstəvisini nəzərdən keçirək. İki perpendikulyar müstəviyə proyeksiyalar adətən fiqurun mövqeyini müəyyənləşdirir və onun həqiqi ölçüsünü və formasını öyrənməyə imkan verir. Ancaq iki proqnozun kifayət etmədiyi vaxtlar olur. Sonra üçüncü proyeksiyanın konstruksiyası istifadə olunur.
Üçüncü proyeksiya müstəvisi hər iki proyeksiya müstəvisinə eyni vaxtda perpendikulyar şəkildə çəkilir (şək. 15). Üçüncü təyyarə adətən adlanır profil.
Belə konstruksiyalarda üfüqi və frontal müstəvilərin ümumi düz xətti deyilir ox X , üfüqi və profil müstəvilərinin ümumi düz xətti – ox saat , və frontal və profil müstəvilərinin ümumi düz xəttidir ox z . Nöqtə HAQQINDA hər üç müstəviyə aid olan , başlanğıc nöqtəsi adlanır.
Şəkil 15a nöqtəni göstərir A və onun üç proqnozu. Profil müstəvisinə proyeksiya ( A) adlandırılır profil proyeksiyası və işarə edir A.
Üç proyeksiyadan ibarət olan A nöqtəsinin diaqramını əldə etmək üçün a, a, a, y oxu boyunca bütün müstəvilərin əmələ gətirdiyi üçbucaqlını kəsmək (şəkil 15b) və bütün bu müstəviləri frontal proyeksiya müstəvisi ilə birləşdirmək lazımdır. Üfüqi müstəvi ox ətrafında dönməlidir X, və profil müstəvisi oxa yaxındır zŞəkil 15-də oxla göstərilən istiqamətdə.
Şəkil 16 proyeksiyaların mövqeyini göstərir a, a Və A xal A, hər üç təyyarəni rəsm müstəvisi ilə birləşdirərək əldə edilir.
Kəsmə nəticəsində y oxu diaqramda iki fərqli yerdə görünür. Üfüqi müstəvidə (şək. 16) şaquli mövqe tutur (oxa perpendikulyar). X), profil müstəvisində isə üfüqi (oxa perpendikulyar). z).
Şəkil 16-da üç proqnoz var a, a Və A A nöqtələri diaqramda ciddi şəkildə müəyyən edilmiş mövqeyə malikdir və birmənalı şərtlərə tabedir:
A Və A həmişə eyni şaquli xətt üzərində, oxa perpendikulyar yerləşməlidir X;
A Və A həmişə eyni üfüqi düz xətt üzərində, oxa perpendikulyar yerləşməlidir z;
3) üfüqi proyeksiya və üfüqi düz xətt və profil proyeksiyası vasitəsilə həyata keçirildikdə A– şaquli düz xətt, qurulmuş düz xətlər mütləq proyeksiya oxları arasındakı bucağın bisektorunda kəsişir, çünki rəqəm Oa saat A 0 A n - kvadrat.
Nöqtənin üç proyeksiyasını qurarkən, hər bir nöqtə üçün hər üç şərtin yerinə yetirildiyini yoxlamaq lazımdır.
Nöqtə koordinatları
Bir nöqtənin fəzadakı mövqeyi onun adlanan üç ədədindən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər koordinatları. Hər bir koordinat nöqtənin hansısa proyeksiya müstəvisindən məsafəsinə uyğundur.
Müəyyən edilmiş nöqtə məsafəsi A profil müstəvisinə koordinatdır X, burada X = a˝A(Şəkil 15), frontal müstəviyə qədər olan məsafə y koordinatıdır və y = AA, və üfüqi müstəviyə olan məsafə koordinatdır z, burada z = aA.
Şəkil 15-də A nöqtəsi düzbucaqlı paralelepipedin enini tutur və bu paralelepipedin ölçüləri bu nöqtənin koordinatlarına uyğundur, yəni koordinatların hər biri Şəkil 15-də dörd dəfə göstərilmişdir, yəni:
x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;
y = а́А = Оа y = а x а = а z a˝;
z = aA = Oa z = a x á = a y a˝.
Diaqramda (Şəkil 16) x və z koordinatları üç dəfə görünür:
x = a z a ́= Oa x = a y a,
z = a x á = Oa z = a y a˝.
Koordinata uyğun gələn bütün seqmentlər X(və ya z), bir-birinə paraleldir. Koordinat saat iki dəfə şaquli yerləşən ox ilə təmsil olunur:
y = Oa y = a x a
və iki dəfə - üfüqi yerdə yerləşir:
y = Oa y = a z a˝.
Bu fərq y oxunun diaqramda iki fərqli mövqedə olması ilə əlaqədardır.
Nəzərə almaq lazımdır ki, hər bir proyeksiyanın mövqeyi diaqramda yalnız iki koordinatla müəyyən edilir, yəni:
1) üfüqi - koordinatlar X Və saat,
2) frontal - koordinatlar x Və z,
3) profil – koordinatlar saat Və z.
Koordinatlardan istifadə x, y Və z, siz diaqramda nöqtənin proyeksiyalarını qura bilərsiniz.
A nöqtəsi koordinatlarla verilirsə, onların qeydi aşağıdakı kimi müəyyən edilir: A ( X; y; z).
Nöqtə proyeksiyalarını qurarkən A aşağıdakı şərtlər yoxlanılmalıdır:
1) üfüqi və frontal proyeksiyalar A Və A X X;
2) frontal və profil proyeksiyaları A Və A oxa eyni perpendikulyarda yerləşməlidir z, çünki onların ümumi koordinatları var z;
3) üfüqi proyeksiya və həmçinin oxdan çıxarılır X, profil proyeksiyası kimi A oxdan uzaqda z, çünki á və a˝ proyeksiyaları ortaq koordinata malikdir saat.
Əgər nöqtə proyeksiya müstəvilərinin hər hansı birində yerləşirsə, onun koordinatlarından biri sıfıra bərabərdir.
Nöqtə proyeksiya oxunda olduqda, onun iki koordinatı sıfıra bərabərdir.
Əgər nöqtə başlanğıcda yerləşirsə, onun hər üç koordinatı sıfırdır.
Xətt proyeksiyaları
Düz xətti müəyyən etmək üçün iki nöqtə lazımdır. Bir nöqtə üfüqi və frontal müstəvilərdə iki proyeksiya ilə müəyyən edilir, yəni düz xətt onun iki nöqtəsinin üfüqi və frontal müstəvilərdəki proyeksiyalarından istifadə etməklə müəyyən edilir.
Şəkil 17 proyeksiyaları göstərir ( A Və a, b Və b́) iki nöqtə A və B. Onların köməyi ilə müəyyən xəttin mövqeyi müəyyən edilir AB. Bu nöqtələrin proyeksiyalarını eyni adla birləşdirərkən (yəni. A Və b, a Və b́) proyeksiyaları əldə etmək olar ab Və ab düz AB.
Şəkil 18-də hər iki nöqtənin proyeksiyaları, Şəkil 19-da isə onlardan keçən düz xəttin proyeksiyaları göstərilir.
Xəttin proyeksiyaları onun iki nöqtəsinin proyeksiyaları ilə müəyyən edilirsə, o zaman onlar xətt üzərində çəkilmiş nöqtələrin proyeksiyalarının təyinatına uyğun gələn iki yan-yana latın hərfləri ilə təyin olunur: frontal proyeksiyanı göstərmək üçün vuruşlarla. üfüqi proyeksiya üçün xətt və ya vuruşsuz.
Əgər xəttin ayrı-ayrı nöqtələrini deyil, bütövlükdə onun proyeksiyalarını nəzərə alsaq, bu proyeksiyalar rəqəmlərlə təyin olunur.
Bir nöqtə varsa İLƏ düz xətt üzərində yerləşir AB, onun proyeksiyaları с və с́ xəttin eyni proyeksiyaları üzərindədir ab Və ab. Bu vəziyyət Şəkil 19-da təsvir edilmişdir.
Düz xəttin izləri
Yol düzdür- bu onun müəyyən müstəvi və ya səthlə kəsişmə nöqtəsidir (şək. 20).
Düz xəttin üfüqi izi bir nöqtə deyilir H, düz xəttin üfüqi müstəvi ilə kəsişdiyi və frontal- nöqtə V, bu düz xəttin frontal müstəvi ilə kəsişdiyi yerdə (şək. 20).
Şəkil 21a düz xəttin üfüqi izini, onun frontal izi isə Şəkil 21b-də göstərilmişdir.
Bəzən düz xəttin profil izi də nəzərə alınır, W– düz xəttin profil müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi.
Üfüqi iz üfüqi müstəvidə, yəni onun üfüqi proyeksiyasıdır. h bu izlə üst-üstə düşür və frontal h́ x oxunda yerləşir. Frontal iz frontal müstəvidə yerləşir, buna görə də onun frontal proyeksiyası ν́ onunla üst-üstə düşür, üfüqi proyeksiya v isə x oxunda yerləşir.
Belə ki, H = h, Və V= ν́. Buna görə düz xəttin izlərini təyin etmək üçün hərflərdən istifadə edilə bilər h və ν́.
Müxtəlif düz mövqelər
Birbaşa deyilir ümumi mövqe, əgər hər hansı proyeksiya müstəvisinə nə paralel, nə də perpendikulyardırsa. Ümumi vəziyyətdə olan düz xəttin proyeksiyaları da paralel və proyeksiyaların oxlarına perpendikulyar deyil.
Proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel olan düz xətlər (oxlardan birinə perpendikulyar).Şəkil 22 üfüqi müstəviyə paralel olan düz xətti göstərir (z oxuna perpendikulyar), - üfüqi düz xətt; Şəkil 23 frontal müstəviyə paralel olan düz xətti göstərir (oxa perpendikulyar). saat), – ön düz xətt; Şəkil 24 profil müstəvisinə paralel olan düz xətti göstərir (oxa perpendikulyar). X), – profil düz xətti. Bu xətlərin hər biri oxlardan biri ilə düz bucaq əmələ gətirməsinə baxmayaraq, onu kəsmir, yalnız onunla kəsişir.
Üfüqi düz xəttin (şəkil 22) üfüqi müstəviyə paralel olması səbəbindən onun frontal və profil proyeksiyaları üfüqi müstəvini təyin edən oxlara, yəni oxlara paralel olacaqdır. X Və saat. Buna görə də proqnozlar ab́|| X Və a˝b˝|| saat z. Üfüqi proyeksiya ab diaqramda istənilən mövqeni tuta bilər.
Frontal düz xəttdə (şək. 23) proyeksiya ab|| x və a˝b˝ || z, yəni onlar oxa perpendikulyardırlar saat, və buna görə də bu halda frontal proyeksiya ab düz xətt istənilən mövqe tuta bilər.
Profil düz xəttində (şək. 24) ab|| y, ab|| z, və onların hər ikisi x oxuna perpendikulyardır. Proyeksiya a˝b˝ diaqramda istənilən şəkildə yerləşdirilə bilər.
Frontal müstəviyə üfüqi düz xətt proyeksiya edən müstəvini nəzərdən keçirərkən (şək. 22), onun bu düz xəttini profil müstəvisinə proyeksiya etdiyini görə bilərsiniz, yəni bir düz xətti eyni anda iki proyeksiya müstəvisinə proyeksiya edən müstəvidir. - frontal və profil. Buna əsaslanaraq adlanır ikiqat proyeksiyalı təyyarə. Eyni şəkildə, frontal düz xətt üçün (Şəkil 23) qoşa proyeksiyalı müstəvi onu üfüqi və profil proyeksiyaları müstəvisinə, profil xətti üçün (şək. 23) isə üfüqi və frontal müstəviyə proyeksiya edir. proqnozlar.
İki proyeksiya düz xətti müəyyən edə bilməz. İki proqnoz 1 Və 1 profil xətti (Şəkil 25) bu xəttin iki nöqtəsinin onların üzərindəki proyeksiyalarını təyin etmədən bu xəttin fəzada mövqeyini təyin etməyəcəkdir.
Verilmiş iki simmetriya müstəvisinə perpendikulyar olan müstəvidə sonsuz sayda düz xəttin mövcudluğu mümkündür, bunun üçün diaqramdakı məlumatlar 1 Və 1 onların proqnozlarıdır.
Əgər nöqtə xətt üzərindədirsə, bütün hallarda onun proyeksiyaları bu xəttin eyni proyeksiyaları üzərində yerləşir. Profil düz xətti üçün əks vəziyyət həmişə doğru deyil. Onun proqnozlarında müəyyən bir nöqtənin proqnozlarını özbaşına göstərə bilərsiniz və bu nöqtənin bu xətt üzərində olduğuna əmin olmaya bilərsiniz.
Hər üç xüsusi halda (şək. 22, 23 və 24) proyeksiya müstəvisinə münasibətdə düz xəttin mövqeyi onun ixtiyari seqmentidir. AB, düz xətlərin hər birində götürülmüş, təhrif edilmədən proyeksiya müstəvilərindən birinə, yəni paralel olduğu müstəviyə proyeksiya edilir. Xətt seqmenti ABüfüqi düz xətt (Şəkil 22) üfüqi müstəviyə tam ölçülü proyeksiya verir ( ab = AB); xətt seqmenti AB frontal düz xətt (şək. 23) - frontal təyyarə V müstəvisində tam ölçüdə ( ab́ = AB) və bir seqment AB profil düz (şək. 24) – profil müstəvisində tam ölçüdə W (a˝b˝= AB), yəni rəsmdə seqmentin faktiki ölçüsünü ölçmək mümkün görünür.
Başqa sözlə, diaqramlardan istifadə edərək, sözügedən düz xəttin proyeksiya müstəviləri ilə yaratdığı bucaqların təbii ölçülərini təyin edə bilərsiniz.
Düz xəttin üfüqi bir müstəvi ilə etdiyi bucaq N, adətən α hərfi ilə, frontal müstəvi ilə - β hərfi ilə, profil müstəvisi ilə - γ hərfi ilə işarələnir.
Baxılan düz xətlərdən hər hansı birinin ona paralel müstəvidə izi yoxdur, yəni üfüqi düz xəttin üfüqi izi yoxdur (şək. 22), ön düz xəttin ön izi yoxdur (şək. 23), profil düz xəttinin izi yoxdur. xəttin profil izi yoxdur (şək. 24).
Riyazi anlayış kimi nöqtənin ölçüləri yoxdur. Aydındır ki, əgər proyeksiya obyekti sıfır ölçülü obyektdirsə, onun proyeksiyası haqqında danışmaq mənasızdır.
Şəkil 9 Şəkil 10
Həndəsədə nöqtəni xətti ölçülərə malik fiziki obyekt kimi nəzərdən keçirmək məqsədəuyğundur. Şərti olaraq, nöqtə kimi sonsuz kiçik radiuslu bir top götürülə bilər. Nöqtə anlayışının bu cür şərhi ilə onun proqnozlarından danışmaq olar.
Nöqtənin ortoqonal proyeksiyalarını qurarkən ortoqonal proyeksiyanın birinci invariant xassəsini rəhbər tutmaq lazımdır: Nöqtənin ortoqonal proyeksiyası nöqtədir.
Kosmosda bir nöqtənin mövqeyi üç koordinatla müəyyən edilir: X, Y, Z, bir nöqtənin proyeksiya müstəvilərindən çıxarıldığı məsafələri göstərir. Bu məsafələri müəyyən etmək üçün proyeksiya müstəviləri ilə bu düz xətlərin görüşmə nöqtələrini müəyyən etmək və müvafiq kəmiyyətləri ölçmək kifayətdir ki, bu da müvafiq olaraq absis dəyərlərini göstərəcəkdir. X, ordinatlar Y və barmaqlar Z nöqtələr (şək. 10).
Nöqtənin proyeksiyası nöqtədən müvafiq proyeksiya müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyarın əsasıdır. Üfüqi proyeksiya xal Aüfüqi proyeksiya müstəvisində nöqtənin düzbucaqlı proyeksiyası adlanır, frontal proyeksiya a /– müvafiq olaraq proyeksiyaların frontal müstəvisində və profil a // - proyeksiyaların profil müstəvisində.
Birbaşa Aa, Aa / Və Aa // proyeksiya xətləri adlanır. Eyni zamanda, birbaşa Ah, proyeksiya nöqtəsi A proyeksiyaların üfüqi müstəvisində deyilir üfüqi proyeksiyalı düz xətt, Aa / Və Aa //- müvafiq olaraq: cəbhədən Və profil layihələndirici xətlər.
Bir nöqtədən keçən iki proyeksiya xətti A adətən adlanan müstəvini təyin edin layihələndirilməsi.
Məkan planını dəyişdirərkən, nöqtənin ön proyeksiyası A – a / baxılan transformasiya zamanı mövqeyini dəyişməyən müstəviyə aid olduğu üçün yerində qalır. Üfüqi proyeksiya - Aüfüqi proyeksiya müstəvisi ilə birlikdə saat əqrəbi istiqamətində fırlanacaq və oxa eyni perpendikulyarda yerləşəcəkdir. X frontal proyeksiya ilə. Profil proyeksiyası - a // profil müstəvisi ilə birlikdə fırlanacaq və transformasiyanın sonunda Şəkil 10-da göstərilən mövqeyi tutacaq. Bu halda - a // oxa perpendikulyar aid olacaq Z nöqtəsindən çəkilmişdir A / və oxdan silinəcək Züfüqi proyeksiya ilə eyni məsafədə A oxdan uzaqda X. Beləliklə, bir nöqtənin üfüqi və profil proyeksiyaları arasında əlaqə iki ortoqonal seqmentdən istifadə etməklə qurula bilər. aa y Və a ya // və onları oxların kəsişmə nöqtəsində mərkəzlə birləşdirən dairənin qövsü ( HAQQINDA- mənşəli). İşarələnmiş əlaqə çatışmayan proyeksiyanı tapmaq üçün istifadə olunur (iki verilmişdir). Verilmiş üfüqi (profil) və frontal proyeksiyalara uyğun olaraq profilin (üfüqi) proyeksiyasının vəziyyətini başlanğıcdan oxa 45 0 bucaq altında çəkilmiş düz xəttdən istifadə etməklə tapmaq olar. Y(bu bissektrisa düz xətt adlanır k– Monge sabiti). Bu üsullardan birincisinə üstünlük verilir, çünki daha dəqiqdir.
Buna görə də:
1. Kosmosda bir nöqtə çıxarılır:
üfüqi müstəvidən H Z,
frontal müstəvidən V verilmiş koordinatın qiyməti ilə Y,
profil müstəvisindən W koordinat dəyəri ilə. X.
2. İstənilən nöqtənin iki proyeksiyası eyni perpendikulyar (bir əlaqə xəttinə) aiddir:
üfüqi və frontal - oxa perpendikulyar X,
üfüqi və profil - Y oxuna perpendikulyar,
frontal və profil - Z oxuna perpendikulyar.
3. Nöqtənin fəzada mövqeyi tamamilə onun iki ortoqonal proyeksiyasının mövqeyi ilə müəyyən edilir. Buna görə də - Nöqtənin hər hansı iki verilmiş ortoqonal proyeksiyasından istifadə etməklə onun çatışmayan üçüncü proyeksiyasını qurmaq həmişə mümkündür.
Bir nöqtənin üç xüsusi koordinatı varsa, belə bir nöqtə deyilir ümumi mövqe nöqtəsi. Bir nöqtənin sıfır dəyəri olan bir və ya iki koordinatı varsa, belə bir nöqtə deyilir özəl nöqtə.
düyü. 11 Şek. 12
Şəkil 11-də xüsusi mövqeyə malik olan nöqtələrin məkan təsviri, Şəkil 12-də isə bu nöqtələrin mürəkkəb təsvirləri (diaqramları) göstərilir. Nöqtə A proyeksiyaların frontal müstəvisinə, nöqtəsinə aiddir IN– üfüqi proyeksiya müstəvisi, nöqtə İLƏ– profilin proyeksiya müstəvisi və nöqtəsi D– x oxu ( X).
Nöqtənin koordinat bucağının proyeksiyalarının üç müstəvisinə proyeksiyası onun H müstəvisində - üfüqi proyeksiya müstəvisində təsvirinin alınması ilə başlayır. Bunun üçün H müstəvisinə perpendikulyar olan A nöqtəsindən (şəkil 4.12, a) proyeksiya şüası keçirilir.
Şəkildə H müstəvisinə perpendikulyar Oz oxuna paraleldir. Şüanın H müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi (a nöqtəsi) ixtiyari olaraq seçilir. Aa seqmenti A nöqtəsinin H müstəvisindən hansı məsafədə yerləşdiyini müəyyənləşdirir və bununla da şəkildəki A nöqtəsinin proyeksiya müstəvilərinə münasibətdə mövqeyini aydın şəkildə göstərir. A nöqtəsi A nöqtəsinin H müstəvisinə düzbucaqlı proyeksiyasıdır və A nöqtəsinin üfüqi proyeksiyası adlanır (şəkil 4.12, a).
V müstəvisində A nöqtəsinin şəklini almaq üçün (şəkil 4.12,b) proyeksiya şüası V proyeksiyaların frontal müstəvisinə perpendikulyar olan A nöqtəsindən keçirilir. Şəkildə V müstəvisinə perpendikulyar Oy oxuna paraleldir. . H müstəvisində A nöqtəsindən V müstəvisinə qədər olan məsafə Oy oxuna paralel və Ox oxuna perpendikulyar olan aa x seqmenti ilə təmsil olunacaq. Təsəvvür etsək ki, proyeksiya edən şüa və onun təsviri eyni vaxtda V müstəvisi istiqamətində həyata keçirilir, onda şüanın təsviri Ox oxunu a x nöqtəsində kəsdikdə şüa V müstəvisini a nöqtəsində kəsəcək." Rəsm. V müstəvisində a x nöqtəsindən Ox oxuna perpendikulyar olan, V müstəvisində proyeksiya edən Aa şüasının şəkli olan, proyeksiya edən şüa ilə kəsişmə nöqtəsində a nöqtəsi alınır." "a" nöqtəsi A nöqtəsinin frontal proyeksiyasıdır, yəni V müstəvisində təsviridir.
Profil proyeksiya müstəvisində A nöqtəsinin təsviri (şəkil 4.12, c) W müstəvisinə perpendikulyar proyeksiya edən şüadan istifadə etməklə qurulur.Şəkildə W müstəvisinə perpendikulyar Ox oxuna paraleldir. H müstəvisində A nöqtəsindən W müstəvisinə proyeksiya edən şüa Ox oxuna paralel və Oy oxuna perpendikulyar olan aa y seqmenti ilə təmsil olunacaq. Oz oxuna paralel və Oy oxuna perpendikulyar olan Oy nöqtəsindən proyeksiya edən aA şüasının təsviri qurulur və proyeksiya edən şüa ilə kəsişməsində a nöqtəsi alınır." a" nöqtəsi A nöqtəsinin profil proyeksiyasıdır. , yəni W müstəvisində A nöqtəsinin təsviri.
a" nöqtəsi a nöqtəsindən a"a z" seqmentini (V müstəvisində proyeksiya edən Aa şüasının şəkli) Ox oxuna paralel, a z nöqtəsindən isə Oy-a paralel a"a z seqmentini çəkməklə qurmaq olar. proyeksiya edən şüa ilə kəsişənə qədər ox.
Proyeksiya müstəvilərində A nöqtəsinin üç proyeksiyasını aldıqdan sonra koordinat bucağı Şəkil 1-də göstərildiyi kimi bir müstəviyə genişləndirilir. 4.11,b, A nöqtəsinin proyeksiyaları və proyeksiya edən şüalar, A nöqtəsi və Aa, Aa" və Aa" proyeksiyaları ilə birlikdə çıxarılır. Birləşdirilmiş proyeksiya müstəvilərinin kənarları çəkilmir, ancaq Oz, Oy və Ox, Oy 1 proyeksiya oxları çəkilir (şək. 4.13).
Nöqtənin ortoqonal rəsminin təhlili göstərir ki, A nöqtəsinin fəzada mövqeyini xarakterizə edən üç məsafəni - Aa, Aa və Aa" (şəkil 4.12, c) proyeksiya obyektinin özünü - A nöqtəsini atmaqla müəyyən edilə bilər. bir müstəviyə çevrilmiş koordinat bucağında (Şəkil 4.13). a"a z, aa y və Oa x seqmentləri uyğun düzbucaqlıların əks tərəfləri kimi Aa-ya bərabərdir" (şəkil 4.12c və 4.13). Onlar A nöqtəsinin profil proyeksiya müstəvisindən hansı məsafədə yerləşdiyini müəyyənləşdirirlər. a"a x, a"a y1 və Oa y seqmentləri A nöqtəsindən üfüqi proyeksiya müstəvisinə qədər olan məsafəni təyin edən Aa seqmentinə bərabərdir, aa x, a"a z və Oa y 1 seqmentləri Aa seqmentinə bərabərdir. ", A nöqtəsindən proyeksiyaların frontal müstəvisinə qədər olan məsafəni təyin edir.
Proyeksiya oxlarında yerləşən Oa x, Oa y və Oa z seqmentləri A nöqtəsinin X, Y və Z koordinatlarının ölçülərinin qrafik ifadəsidir. Nöqtənin koordinatları müvafiq hərfin indeksi ilə göstərilir. . Bu seqmentlərin ölçüsünü ölçməklə, nöqtənin kosmosdakı mövqeyini təyin edə bilərsiniz, yəni nöqtənin koordinatlarını təyin edə bilərsiniz.
Diaqramda a"a x və aa x seqmentləri Ox oxuna, a"a z və a"a z seqmentləri isə Oz oxuna perpendikulyar bir xətt kimi yerləşir. Bu xətlər proyeksiya birləşmə xətləri adlanır. müvafiq olaraq ax və a z nöqtələrində proyeksiya oxları.A nöqtəsinin üfüqi proyeksiyasını bir profillə birləşdirən proyeksiya birləşmə xətti a y nöqtəsində “kəsilmiş” oldu.
Eyni nöqtənin iki proyeksiyası həmişə eyni proyeksiya birləşmə xəttində, proyeksiyaların oxuna perpendikulyar şəkildə yerləşir.
Nöqtənin fəzada mövqeyini göstərmək üçün onun iki proyeksiyası və verilmiş başlanğıc (O nöqtəsi) kifayətdir.Şək. 4.14, b nöqtənin iki proyeksiyası onun fəzadakı mövqeyini tam müəyyən edir.Bu iki proyeksiyadan istifadə etməklə A nöqtəsinin profil proyeksiyasını qurmaq olar.Ona görə də gələcəkdə profil proyeksiyasına ehtiyac olmadıqda diaqramlar iki proyeksiya müstəvisində qurulmalıdır: V və H.
düyü. 4.14. düyü. 4.15.
Nöqtənin rəsmini qurmaq və oxumaq üçün bir neçə nümunəyə baxaq.
Misal 1. Diaqramda göstərilən J nöqtəsinin koordinatlarının iki proyeksiyada təyini (şək. 4.14). Üç seqment ölçülür: seqment OB X (X koordinatı), seqment b X b (Y koordinatı) və b X b" seqmenti (Z koordinatı). Koordinatlar aşağıdakı ardıcıllıqla yazılır: X, Y və Z hərfindən sonra nöqtənin təyinatı, məsələn, B20; 30; 15.
Misal 2. Verilmiş koordinatlarda nöqtənin qurulması. C nöqtəsi C30 koordinatları ilə verilir; 10; 40. Ox oxunda (şəkil 4.15) proyeksiyanın əlaqə xəttinin proyeksiya oxu ilə kəsişdiyi c x nöqtəsini tapın. Bunun üçün başlanğıcdan (O nöqtəsi) Ox oxu boyunca X koordinatı (ölçüsü 30) çəkilir və x olan nöqtə alınır. Bu nöqtədən Ox oxuna perpendikulyar proyeksiya əlaqəsi xətti çəkilir və nöqtədən Y koordinatı (ölçüsü 10) qoyulur, c nöqtəsi alınır - C nöqtəsinin üfüqi proyeksiyası. Z koordinatı (ölçüsü 40) proyeksiya birləşmə xətti boyunca c x nöqtəsindən yuxarı qoyulduqda, nöqtə c" - C nöqtəsinin frontal proyeksiyası alınır.
Misal 3. Verilmiş proyeksiyalardan istifadə etməklə nöqtənin profil proyeksiyasının qurulması. D nöqtəsinin proyeksiyaları verilmişdir - d və d". O nöqtəsi vasitəsilə Oz, Oy və Оу 1 proyeksiya oxları çəkilir (şək. 4.16, a). D nöqtəsinin profil proyeksiyasını qurmaq üçün d nöqtəsi", proyeksiya. birləşmə xətti Oz oxuna perpendikulyar çəkilir və onu Oz oxunun arxasında sağa doğru davam etdirir. D nöqtəsinin profil proyeksiyası bu xətt üzərində yerləşəcək.O, d nöqtəsinin üfüqi proyeksiyasının yerləşdiyi kimi Oz oxundan eyni məsafədə yerləşəcək: Ox oxundan, yəni dd x məsafəsində. d z d" və dd x seqmentləri eynidir, çünki onlar eyni məsafəni - D nöqtəsindən proyeksiyaların frontal müstəvisinə qədər olan məsafəni təyin edirlər. Bu məsafə D nöqtəsinin Y koordinatıdır.
Qrafik olaraq d z d" seqmenti dd x seqmentini proyeksiyanın üfüqi müstəvisindən profil birinə köçürməklə qurulur. Bunun üçün Ox oxuna paralel proyeksiya əlaqəsi xətti çəkilir, Oy oxunda d y nöqtəsi alınır ( Şəkil 4.16, b).Sonra Od y seqmentinin ölçüsünü Oy oxuna 1 köçürün, radiusu Od y seqmentinə bərabər olan O nöqtəsindən Oy oxu 1 ilə kəsişməyə qədər qövs çəkək (şək. 4.16). , b), dy 1 nöqtəsini alırıq. Bu nöqtəni Şəkil 4.16, c-də göstərildiyi kimi d y nöqtəsindən Oy oxuna 45° bucaq altında düz xətt çəkməklə də qurmaq olar.d y1 nöqtəsindən, Oz oxuna paralel proyeksiya birləşdirici xətti çəkin və onun üzərində d nöqtəsini əldə edərək d"d x seqmentinə bərabər olan bir seqment qoyun.
d x d seqmentinin qiymətinin proyeksiyaların profil müstəvisinə köçürülməsi rəsmin sabit düz xəttindən istifadə etməklə həyata keçirilə bilər (şəkil 4.16, d). Bu zaman proyeksiyanın əlaqə xətti dd y Oy 1 oxuna paralel nöqtənin üfüqi proyeksiyasından sabit düz xəttlə kəsişənə qədər, sonra isə proyeksiyanın davamı ilə kəsişənə qədər Oy oxuna paralel çəkilir. əlaqə xətti d"d z.
Proyeksiya müstəvilərinə nisbətən nöqtələrin yerləşdirilməsinin xüsusi halları
Proyeksiya müstəvisinə nisbətən nöqtənin mövqeyi müvafiq koordinatla, yəni Ox oxundan müvafiq proyeksiyaya qədər olan proyeksiya əlaqə xəttinin seqmentinin ölçüsü ilə müəyyən edilir. Şəkildə. 4.17 A nöqtəsinin Y koordinatı aa x seqmenti ilə müəyyən edilir - A nöqtəsindən V müstəvisinə qədər olan məsafə. A nöqtəsinin Z koordinatı a "a x" seqmenti ilə müəyyən edilir - A nöqtəsindən H müstəvisinə qədər olan məsafə. koordinatlarının sıfırdır, onda nöqtə proyeksiya müstəvisində yerləşir Şəkil 4.17-də nöqtələrin proyeksiya müstəvilərinə nisbətən müxtəlif yerləşmə nümunələri göstərilmişdir.B nöqtəsinin Z koordinatı sıfırdır, nöqtə H müstəvisindədir.Onun frontal proyeksiyası Ox oxunda və b x nöqtəsi ilə üst-üstə düşür.C nöqtəsinin Y koordinatı sıfırdır, nöqtə V müstəvisində yerləşir, onun c horizontal proyeksiyası Ox oxundadır və c x nöqtəsi ilə üst-üstə düşür.
Deməli, əgər nöqtə proyeksiya müstəvisindədirsə, bu nöqtənin proyeksiyalarından biri proyeksiya oxunda yerləşir.
Şəkildə. 4.17, D nöqtəsinin Z və Y koordinatları sıfıra bərabərdir, buna görə də D nöqtəsi Ox proyeksiya oxunda yerləşir və onun iki proyeksiyası üst-üstə düşür.
Proyeksiya aparatı
Proyeksiya aparatına (şəkil 1) üç proyeksiya müstəvisi daxildir:
π 1 -üfüqi proyeksiya müstəvisi;
π 2 - proyeksiyaların frontal müstəvisi;
π 3– profil proyeksiya müstəvisi .
Proyeksiya müstəviləri qarşılıqlı perpendikulyardır ( π 1^ π 2^ π 3) və onların kəsişmə xətləri oxları təşkil edir:
Təyyarələrin kəsişməsi π 1 Və π 2 ox əmələ gətirir 0X (π 1∩ π 2 = 0X);
Təyyarələrin kəsişməsi π 1 Və π 3 ox əmələ gətirir 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);
Təyyarələrin kəsişməsi π 2 Və π 3 ox əmələ gətirir 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).
Oxların kəsişmə nöqtəsi (OX∩OY∩OZ=0) başlanğıc nöqtəsi hesab olunur (0 nöqtəsi).
Təyyarələr və oxlar qarşılıqlı perpendikulyar olduğundan belə aparat dekart koordinat sisteminə bənzəyir.
Proyeksiya müstəviləri bütün məkanı səkkiz oktanta bölür (şəkil 1-də onlar rum rəqəmləri ilə göstərilir). Proyeksiya müstəviləri qeyri-şəffaf sayılır və tamaşaçı həmişə içəridədir I-ci oktant.
Proyeksiya mərkəzləri ilə ortoqonal proyeksiya S 1, S 2 Və S 3 müvafiq olaraq üfüqi, frontal və profil proyeksiya təyyarələri üçün.
A.
Proyeksiya mərkəzlərindən S 1, S 2 Və S 3 proyeksiya edən şüalar çıxır l 1, l 2 Və l 3 A
- A 1 A;
- A 2– nöqtənin frontal proyeksiyası A;
- A 3– nöqtənin profil proyeksiyası A.
Kosmosda bir nöqtə onun koordinatları ilə xarakterizə olunur A(x,y,z). Xallar A x, A y Və A z müvafiq olaraq oxlar üzərində 0X, 0Y Və 0Z koordinatları göstərin x, y Və z xal A. Şəkildə. 1 bütün lazımi qeydləri verir və nöqtə arasındakı əlaqələri göstərir A fəza, onun proyeksiyaları və koordinatları.
Nöqtə diaqramı
Bir nöqtənin süjetini əldə etmək üçün A(Şəkil 2), proyeksiya aparatında (şəkil 1) təyyarə π 1 A 1 0X π 2. Sonra təyyarə π 3 nöqtə proyeksiyası ilə A 3, ox ətrafında saat yönünün əksinə fırladın 0Z, təyyarə ilə hizalanana qədər π 2. Təyyarənin fırlanma istiqaməti π 2 Və π 3Şəkildə göstərilmişdir. 1 ox. Eyni zamanda, düz A 1 A x Və A 2 A x 0X perpendikulyar A 1 A 2, və düz xətlər A 2 A x Və A 3 A xümumi oxda yerləşəcək 0Z perpendikulyar A 2 A 3. Bundan sonra biz bu xətləri müvafiq olaraq adlandıracağıq şaquli Və üfüqi rabitə xətləri.
Qeyd etmək lazımdır ki, proyeksiya aparatından diaqrama keçərkən proyeksiya edilən obyekt yox olur, lakin onun forması, həndəsi ölçüləri və kosmosda yerləşməsi haqqında bütün məlumatlar saxlanılır.
A(x A, y A, z Ax A, y A Və z A aşağıdakı ardıcıllıqla (şək. 2). Bu ardıcıllığa nöqtə diaqramının qurulması üsulu deyilir.
1. Baltalar ortoqonal olaraq çəkilir OX, OY Və OZ.
2. Ox üzrə ÖKÜZ x A xal A və nöqtənin mövqeyini əldə edin A x.
3. Nöqtə vasitəsilə A x oxa perpendikulyar ÖKÜZ
A x ox boyunca OY koordinatın ədədi qiyməti çəkilir y A xal A A 1 diaqramda.
A x ox boyunca OZ koordinatın ədədi qiyməti çəkilir z A xal A A 2 diaqramda.
6. Nöqtə vasitəsilə A 2 oxuna paralel ÖKÜZüfüqi rabitə xətti çəkilir. Bu xəttin və oxun kəsişməsi OZ nöqtənin mövqeyini verəcəkdir A z.
7. Bir nöqtədən üfüqi rabitə xəttində A z ox boyunca OY koordinatın ədədi qiyməti çəkilir y A xal A və nöqtənin profil proyeksiyasının mövqeyi müəyyən edilir A 3 diaqramda.
Nöqtələrin xüsusiyyətləri
Kosmosdakı bütün nöqtələr xüsusi və ümumi mövqe nöqtələrinə bölünür.
Xüsusi mövqe nöqtələri. Proyeksiya aparatına aid olan nöqtələrə xüsusi mövqe nöqtələri deyilir. Bunlara proyeksiya müstəvilərinə, oxlara, mənşələrə və proyeksiya mərkəzlərinə aid nöqtələr daxildir. Xüsusi mövqe nöqtələrinin xarakterik xüsusiyyətləri bunlardır:
Metariyazi - bir, iki və ya bütün ədədi koordinat qiymətləri sıfıra və (və ya) sonsuza bərabərdir;
Diaqramda nöqtənin iki və ya bütün proyeksiyaları oxlarda və (və ya) sonsuzluqda yerləşir.
Ümumi mövqe nöqtələri. Ümumi mövqe nöqtələrinə proyeksiya aparatına aid olmayan nöqtələr daxildir. Məsələn, nöqtə AŞəkildə. 1 və 2.
Ümumi halda, bir nöqtənin koordinatlarının ədədi dəyərləri onun proyeksiya müstəvisindən məsafəsini xarakterizə edir: koordinat X təyyarədən π 3; əlaqələndirmək y təyyarədən π 2; əlaqələndirmək z təyyarədən π 1. Qeyd etmək lazımdır ki, koordinatların ədədi dəyərləri üçün işarələr nöqtənin proyeksiya müstəvilərindən uzaqlaşdığı istiqaməti göstərir. Bir nöqtənin koordinatlarının ədədi dəyərləri üçün işarələrin birləşməsindən asılı olaraq, onun hansı oktanda olmasından asılıdır.
İki şəkil üsulu
Praktikada tam proyeksiya üsulu ilə yanaşı, ikişəkilli metoddan da istifadə olunur. O, onunla fərqlənir ki, bu üsul obyektin üçüncü proyeksiyasını aradan qaldırır. İkişəkilli metodun proyeksiya aparatını əldə etmək üçün proyeksiya mərkəzi olan profil proyeksiya müstəvisi tam proyeksiya aparatından xaric edilir (şəkil 3). Üstəlik, oxda 0X istinad nöqtəsi təyin edilir (nöqtə 0 ) və ondan oxa perpendikulyar 0X proyeksiya müstəvilərində π 1 Və π 2 baltalar çəkmək 0Y Və 0Z müvafiq olaraq.
Bu cihazda bütün yer dörd kvadrata bölünür. Şəkildə. 3 onlar Roma rəqəmləri ilə göstərilir.
Proyeksiya müstəviləri qeyri-şəffaf sayılır və tamaşaçı həmişə içəridədir I-ci kvadrant.
Nöqtənin proyeksiyası nümunəsindən istifadə edərək cihazın işini nəzərdən keçirək A.
Proyeksiya mərkəzlərindən S 1 Və S 2 proyeksiya edən şüalar çıxır l 1 Və l 2. Bu şüalar nöqtədən keçir A və proyeksiya müstəviləri ilə kəsişərək onun proyeksiyalarını əmələ gətirir:
- A 1– nöqtənin üfüqi proyeksiyası A;
- A 2– nöqtənin frontal proyeksiyası A.
Bir nöqtənin süjetini əldə etmək üçün A(Şəkil 4), proyeksiya aparatında (şəkil 3) təyyarə π 1 nöqtənin nəticə proyeksiyası ilə A 1 bir ox ətrafında saat əqrəbi istiqamətində fırladın 0X, təyyarə ilə hizalanana qədər π 2. Təyyarənin fırlanma istiqaməti π 1Şəkildə göstərilmişdir. 3 ox. Bu halda, iki təsvir üsulu ilə əldə edilən bir nöqtənin diaqramında yalnız biri qalır şaquli rabitə xətti A 1 A 2.
Praktikada bir nöqtənin planlaşdırılması A(x A, y A, z A) onun koordinatlarının ədədi qiymətlərinə uyğun olaraq həyata keçirilir x A, y A Və z A aşağıdakı ardıcıllıqla (şək. 4).
1. Ox çəkilmişdir ÖKÜZ və istinad nöqtəsi təyin edilir (nöqtə 0 ).
2. Ox üzrə ÖKÜZ koordinatın ədədi qiyməti çəkilir x A xal A və nöqtənin mövqeyini əldə edin A x.
3. Nöqtə vasitəsilə A x oxa perpendikulyar ÖKÜZşaquli rabitə xətti çəkilir.
4. Bir nöqtədən şaquli rabitə xəttində A x ox boyunca OY koordinatın ədədi qiyməti çəkilir y A xal A və nöqtənin üfüqi proyeksiyasının mövqeyi müəyyən edilir A 1 OYçəkilmir, lakin onun müsbət qiymətlərinin oxun altında yerləşdiyi güman edilir ÖKÜZ, mənfi olanlar isə daha yüksəkdir.
5. Bir nöqtədən şaquli rabitə xəttində A x ox boyunca OZ koordinatın ədədi qiyməti çəkilir z A xal A və nöqtənin frontal proyeksiyasının mövqeyi müəyyən edilir A 2 diaqramda. Qeyd etmək lazımdır ki, diaqramda ox OZçəkilmir, lakin onun müsbət qiymətlərinin oxun üstündə yerləşdiyi güman edilir ÖKÜZ, mənfi olanlar isə aşağıdır.
Rəqabətli xallar
Eyni proyeksiyalı şüa üzərindəki nöqtələrə rəqabət nöqtələri deyilir. Proyeksiya edən şüa istiqamətində, onlar üçün ümumi bir proyeksiya var, yəni. onların proqnozları eynidir. Diaqramdakı rəqabət nöqtələrinin xarakterik xüsusiyyəti onların eyni adlı proqnozlarının eyni təsadüfidir. Rəqabət bu proqnozların müşahidəçiyə nisbətən görünməsindədir. Başqa sözlə, müşahidəçi üçün məkanda nöqtələrdən biri görünür, digəri isə görünmür. Və buna uyğun olaraq rəsmdə: rəqib nöqtələrin proyeksiyalarından biri görünür, digər nöqtənin proyeksiyası isə görünməzdir.
İki rəqabət nöqtəsindən məkan proyeksiyası modelində (şək. 5). A Və IN görünən nöqtə A bir-birini tamamlayan iki xüsusiyyətə görə. Zəncirə görə S 1 →A→B nöqtə A müşahidəçiyə nöqtədən daha yaxındır IN. Və müvafiq olaraq, proyeksiya müstəvisindən daha uzaqda π 1(bunlar. z A > z A).
düyü. 5 Şəkil 6
Əgər nöqtənin özü görünürsə A, onda onun proyeksiyası da görünür A 1. Onunla üst-üstə düşən proyeksiya ilə əlaqədar B 1. Aydınlıq üçün və lazım gələrsə, diaqramda nöqtələrin görünməz proyeksiyaları adətən mötərizədə verilir.
Modeldəki nöqtələri çıxaraq A Və IN. Onların təyyarədə üst-üstə düşən proqnozları qalacaq π 1 və ayrı-ayrı proqnozlar – açıq π 2. Proyeksiyanın mərkəzində yerləşən müşahidəçinin frontal proyeksiyasını (⇩) şərti olaraq tərk edək S 1. Sonra şəkillər zənciri boyunca ⇩ → A 2 → B 2 bunu mühakimə etmək mümkün olacaq z A > z B və nöqtənin özü görünür A və onun proyeksiyası A 1.
Gəlin eyni şəkildə rəqabət nöqtələrini nəzərdən keçirək İLƏ Və Dπ 2 müstəvisinə nisbətən görünüşdə. Bu nöqtələrin ümumi proyeksiya şüasından bəri l 2 oxuna paralel 0Y, sonra rəqabət nöqtələrinin görünməsinin bir əlaməti İLƏ Və D bərabərsizliklə müəyyən edilir y C > y D. Ona görə də həmin məqam D bir nöqtə ilə bağlandı İLƏ və müvafiq olaraq nöqtənin proyeksiyası D 2 nöqtənin proyeksiyası ilə əhatə olunacaq C 2 səthində π 2.
Mürəkkəb bir rəsmdə rəqabət nöqtələrinin görünməsinin necə müəyyən edildiyini nəzərdən keçirək (şək. 6).
Təsadüf proqnozlarına görə A 1≡1-də nöqtələrin özləri A Və IN oxa paralel bir proyeksiya şüası üzərindədir 0Z. Bu o deməkdir ki, koordinatları müqayisə etmək olar z A Və z B bu nöqtələr. Bunun üçün biz nöqtələrin ayrı-ayrı təsvirləri olan frontal proyeksiya müstəvisindən istifadə edirik. Bu halda z A > z B. Buradan belə çıxır ki, proyeksiya görünür A 1.
Xallar C Və D baxılan mürəkkəb rəsmdə (şək. 6) eyni proyeksiya şüası üzərindədir, lakin yalnız oxa paraleldir. 0Y. Buna görə də müqayisədən y C > y D C 2 proyeksiyasının göründüyü qənaətinə gəlirik.
Ümumi qayda. Rəqabət edən nöqtələrin proyeksiyalarının uyğunluğu üçün görünmə ümumi proyeksiya şüası istiqamətində həmin nöqtələrin koordinatlarını müqayisə etməklə müəyyən edilir. Koordinatı daha böyük olan nöqtənin proyeksiyası görünür. Bu zaman koordinatlar nöqtələrin ayrı-ayrı təsvirləri ilə proyeksiya müstəvisində müqayisə edilir.
