Сума негативних чисел у Excel. Негативні числа Умноження на сполучене

Негативні та уявні числа

Тепер ми ризикнемо звернутися до алгебри. Використання в алгебрі негативних чи уявних чисел підтверджує чотиричасткову природу аналізу та надає додатковий шанс використати тричастковий аналіз. У цьому випадку ми знову повинні попередити, що маємо намір використовувати алгебри концепції для цілей, що далеко виходять за межі звичайного застосування цих концепцій, тому що деякі відкриття алгебри привносять вагомий внесок у наше дослідження.

Еволюція математики пішла семимильними кроками після відкриття можливості використання негативних чисел ( негативних кількостей). Якщо ми представимо позитивні числа як ряд, що йде праворуч від нуля, то ліворуч від нуля будуть негативні.
і т.д. ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 і т.д.

За допомогою цього графіка ми можемо уявити додавання, як рух вправо, а віднімання - як рух вліво. Стає можливим віднімання більшого числа з меншого; Наприклад, якщо ми віднімемо 3 з 1, то отримаємо -2, що є справжнім (хоч і негативним) числом.

Наступна важлива концепція – уявні числа. Вони були не відкриті, а швидше випадково виявлені. Математики дійшли висновку, що числа мають коріння, тобто такі числа, які, будучи помножені на себе, дають шукане число. Виявлення негативних чисел і зіставлення їх із корінням викликало в наукових колах паніку. Якими мають бути числа, множення яких одне одного дало б число -1? Якийсь час відповіді не було. Квадратний корінь негативного числа неможливо було обчислити. Тому його й назвали уявним. Але коли Гаусс, прозваний «принцом математиків», відкрив метод представлення уявних чисел, невдовзі знайшлася можливість їх застосування. Сьогодні ними користуються нарівні із реальними числами. Метод представлення уявних чисел використовує діаграму Арганда, яка є цілісність як окружність, а коріння цієї цілісності - як ділянки кола.

Згадаймо, ряд негативних і позитивних чисел розходиться в протилежні боку з однієї точки - нуля. Таким чином, квадратне коріння цілих чисел, +1 або -1, також може бути виражене як протилежні кінці лінії, де в центрі - нуль. Цю лінію можна також подати як кут 180 0 або діаметр.

Гаус розвинув початкове припущення і описав квадратний корінь з -1 як половину відстані між +1 і -1, або як кут 90 0 між лінією від -1 до +1. Отже, якщо поділ цілого на плюс і мінус є діаметр, або 180 0 то другий поділ веде до появи ще однієї осі, яка ділить цей діаметр навпіл, тобто на кут 90 0 .

Таким чином, ми отримуємо дві осі - горизонтальну, що представляє нескінченності позитивних і негативних чисел, і вертикальну, що представляє нескінченності уявних позитивних і негативних чисел. Виходить звичайна вісь координат, де число, що описується цією схемою та осями, є число, що має реальну та уявну частини.

Використовуючи діаграму Арганда (це коло з радіусом цілого (радіус +1) на складній системі координат), наступне коріння цілого (кубічні коріння, коріння в четвертому, п'ятому ступені і т. д.) ми знаходимо простим розподілом кола на три, п'ять і т.д. д. рівних частин. Знаходження цілого кореня перетворюється на процес вписування багатокутників в коло: трикутника для кубічного кореня, п'ятикутника для кореня в п'ятому ступені і т. д. Коріння стає точками на колі; їх значення мають реальну і уявну частини, а вираховуються вони відповідно по горизонтальній або вертикальній осях координат. Це означає, що вони вимірюються у термінах квадратного коріння і коріння в четвертому ступені.

З цього потужного логічного спрощення стає ясно, що аналіз – процес чотиричастковий. Будь-яка ситуація може бути розглянута з погляду чотирьох факторів чи аспектів. Не лише зайвий раз підтверджує Аристотилеву ідею чотирьох категорій, а й пояснює, чому квадратні рівняння (іншими словами, «чотирьохсторонні») такі популярні в математиці.

Але висновок про природу аналізу як чотиричастинного по суті передбачає його роботу в обидва напрями. Аналіз показує і всеосяжність чотиричасткового, і його обмеженість. А також те, що іноді суть досвіду не піддається жодному аналізу.

Перебуваючи «всередині» геометричного методу, ми показали, що ці неаналітичні фактори включають трійчість, пятинність, семинність. Незважаючи на те, що ми здатні дати їх аналітичний опис, він не здатний розкрити їх істинну природу.

Справді, чому? Найпростіше відповісти: «Бо такі правила дій над негативними числами». Правила, які ми навчаємо у школі та застосовуємо все життя. Однак, підручники не пояснюють, чому правила саме такі. Ми запам'ятали - що саме так і більше не запитуємо.

А давайте поставимо...

Давним-давно людям були відомі лише натуральні числа: 1, 2, 3, ... Їх використовували для підрахунку начиння, видобутку, ворогів і т. д. Але числа самі по собі досить марні - потрібно вміти з ними поводитися. Додавання наочно і зрозуміло, до того ж сума двох натуральних чисел — теж натуральне число (математик сказав би, що безліч натуральних чисел замкнено щодо операції додавання). Множення - це, по суті, те саме додавання, якщо ми говоримо про натуральні числа. У житті ми часто здійснюємо дії, пов'язані з цими двома операціями (наприклад, роблячи покупки, ми складаємо та множимо), і дивно думати, що наші предки стикалися з ними рідше – додавання та множення були освоєні людством дуже давно. Часто доводиться і ділити одні величини на інші, але результат не завжди виражається натуральним числом — так з'явилися дробові числа.

Без віднімання, звичайно, теж не обійтися. Але на практиці ми, як правило, віднімаємо з більшої кількості менше, і немає потреби використовувати негативні числа. (Якщо у мене є 5 цукерок і я віддам сестрі 3, то у мене залишиться 5 - 3 = 2 цукерки, а ось віддати їй 7 цукерок я за всього бажання не можу.) Цим можна пояснити, чому люди довго не користувалися негативними числами.


В індійських документах негативні числа фігурують із VII століття н.е.; китайці, мабуть, почали вживати їх трохи раніше. Їх застосовували для обліку боргів або у проміжних обчисленнях для спрощення розв'язання рівнянь — це був лише інструмент для отримання позитивної відповіді. Той факт, що негативні числа, на відміну від позитивних, не виражають наявність якоїсь сутності, викликав сильну недовіру. Люди у буквальному значенні слова уникали негативних чисел: якщо завдання виходив негативний відповідь, вважали, що відповіді немає зовсім. Ця недовіра зберігалася дуже довго, і навіть Декарт — один із «засновників» сучасної математики — називав їх «хибними» (у XVII столітті!).

Розглянемо для прикладу рівняння 7x - 17 = 2x - 2. Його можна вирішувати так: перенести члени з невідомим у ліву частину, а решта - у праву, вийде 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. При такому Рішенні нам навіть не зустрілися негативні числа.

Але можна було випадково зробити і по-іншому: перенести доданки з невідомим у праву частину і отримати 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5) x. Щоб знайти невідоме, потрібно поділити одне від'ємне число на інше: x = (-15)/(-5). Але правильна відповідь відома, і залишається зробити висновок, що (-15)/(-5) = 3.

Що показує цей нехитрий приклад? По-перше, стає зрозумілою логіка, якою визначалися правила дій над негативними числами: результати цих дій повинні збігатися з відповідями, які виходять іншим шляхом, без негативних чисел. По-друге, допускаючи використання негативних чисел, ми позбавляємося від утомливого (якщо рівняння виявиться складнішим, з більшою кількістю доданків) пошуку того шляху рішення, при якому всі дії проводяться тільки над натуральними числами. Більше того, ми можемо більше не думати щоразу про свідомість перетворюваних величин — а це вже крок у напрямку перетворення математики на абстрактну науку.

Правила дій над негативними числами сформувалися не відразу, а стали узагальненням численних прикладів, що виникали під час вирішення прикладних завдань. Взагалі розвиток математики можна умовно розбити на етапи: кожен наступний етап відрізняється від попереднього новим рівнем абстракції при вивченні об'єктів. Так, у XIX столітті математики зрозуміли, що у цілих чисел і багаточленів, за всієї їхньої зовнішньої несхожості, є багато спільного: і ті, й інші можна складати, віднімати та перемножувати. Ці операції підпорядковуються тим самим законам — як і з числами, і у випадку з многочленами. А от поділ цілих чисел один на одного, щоб у результаті знову виходили цілі числа, можливо не завжди. Те саме і з багаточленами.

Потім виявилися інші сукупності математичних об'єктів, над якими можна робити такі операції: формальні статечні ряди, безперервні функції... Нарешті, прийшло розуміння, що якщо вивчити властивості самих операцій, то потім результати можна буде застосовувати до всіх цих сукупностей об'єктів (такий підхід характерний для всієї сучасної математики).

У результаті з'явилося нове поняття: обручка. Це всього-на-всього безліч елементів плюс дії, які можна над ними виробляти. Основними тут є саме правила (їх називають аксіомами), яким підкоряються дії, а не природа елементів множини (ось він, новий рівень абстракції!). Бажаючи підкреслити, що важлива саме структура, яка виникає після введення аксіом, математики кажуть: кільце цілих чисел, кільце багаточленів тощо.

Ми сформулюємо аксіоми кільця (які, звичайно, схожі на правила дій з цілими числами), а потім доведемо, що в будь-якому кільці при множенні мінуса на мінус виходить плюс.

Кільцем називається безліч з двома бінарними операціями (тобто в кожній операції задіяні два елементи кільця), які за традицією називають додаванням та множенням, і наступними аксіомами:

Додавання елементів кільця підпорядковується переміщувальному (A + B = B + A для будь-яких елементів A і B) і комбінаційному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кільці є спеціальний елемент 0 (нейтральний елемент за додаванням) такий, що A + 0 = A, і для будь-якого елемента A є протилежний елемент (що позначається (-A)), що A + (-A) = 0;
-множення підпорядковується сполучному закону: A · (B · C) = (A · B) · C;
додавання та множення пов'язані такими правилами розкриття дужок: (A + B) · C = A · C + B · C та A · (B + C) = A · B + A · C.

Зауважимо, що кільця, у найзагальнішої конструкції, не вимагають ні перестановки множення, ні його оборотності (тобто ділити можна не завжди), ні існування одиниці - нейтрального елемента по множенню. Якщо вводити ці аксіоми, то виходять інші структури алгебри, але в них будуть вірні всі теореми, доведені для кілець.

Тепер доведемо, що з будь-яких елементів A і B довільного кільця вірно, по-перше, (-A)·B = -(A·B), а по-друге (-(-A)) = A. З цього легко випливають твердження для одиниці: (-1) · 1 = - (1 · 1) = -1 і (-1) · (-1) = - ((-1) · 1) = - (-1) = 1.

Для цього нам потрібно встановити деякі факти. Спочатку доведемо, що у кожного елемента може бути лише один протилежний. Справді, нехай у елемента A є два протилежні: B і С. Тобто A + B = 0 = A + C. Розглянемо суму A + B + C. Користуючись сполучним та переміщувальним законами та властивістю нуля, отримаємо, що, з одного боку, сума дорівнює B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а з іншого боку, вона дорівнює C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Отже, B = C.

Зауважимо тепер, що і A, і (-(-A)) є протилежними одному й тому елементу (-A), тому вони мають бути рівні.

Перший факт виходить так: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, тобто (-A) B протилежно A B, значить, воно дорівнює -(A·B).

Щоб бути математично строгими, пояснимо ще, чому 0 B = 0 для будь-якого елемента B. Насправді, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Тобто додаток 0 B не змінює суму. Значить, цей твір дорівнює нулю.

А те, що в кільці рівно один нуль (адже в аксіомах сказано, що такий елемент існує, але нічого не сказано про його єдиність!), ми залишимо читачеві як нескладну вправу.

Євген Єпіфанов

Негативні числа розташовуються ліворуч від нуля. Їх, як й у позитивних чисел, визначено ставлення порядку , що дозволяє порівнювати одне ціле з іншим.

Для кожного натурального числа nіснує одне і лише одне негативне число, що позначається -n, яке доповнює nдо нуля: n + (− n) = 0 . Обидва числа називаються протилежнимиодин для одного. Віднімання цілого числа aрівносильно доданню з протилежним йому: -a.

Властивості негативних чисел

Негативні числа підпорядковуються тим самим правилам, як і натуральні, але мають деякі особливості.

Історичний нарис

Література

• Вигодський М. Я.Довідник з елементарної математики. – М.: АСТ, 2003. – ISBN 5-17-009554-6
• Глейзер Г. І.Історія математики в школі. - М: Просвітництво, 1964. - 376 с.

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Негативні форми рельєфу
• Негативний та позитивний нуль

Дивитися що таке "Негативні числа" в інших словниках:

Негативні числа- дійсні числа, менші за нуль, наприклад 2; 0,5; π і т. п. Див. Число … Велика Радянська Енциклопедія

Позитивні та негативні числа- (Величини). Результат послідовних додавань чи віднімань залежить від порядку, у якому ці дії проводяться. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Тут переставлені не тільки числа 2 і 5, а й знаки, що стоять перед цими числами. Погодилися… … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

числа негативні- Числа в бухгалтерському обліку, які пишуться червоним олівцем або червоним чорнилом. Тематики бухгалтерський облік Довідник технічного перекладача

ЧИСЛА, НЕГАТИВНІ- числа в бухгалтерському обліку, які пишуться червоним олівцем або червоним чорнилом... Великий бухгалтерський словник

Цілі числа- Безліч цілих чисел визначається як замикання безлічі натуральних чисел щодо арифметичних операцій складання (+) та віднімання (). Таким чином, сума, різниця та добуток двох цілих чисел є знову цілі числа. Воно складається з ... Вікіпедія

Натуральні числа- Числа, що виникають природним чином при рахунку (як у сенсі перерахування, так і в сенсі обчислення). Існують два підходи до визначення натуральних чисел числа, що використовуються при: перерахуванні (нумеруванні) предметів (перший, другий, …

ЕЙЛЕРОВИ ЧИСЛА- Коефіцієнти Е n у розкладанні Рекурентна формула для Е. ч. має вигляд (у символічному записі, (E + 1) n + (Е 1) n = 0, E0 = 1. При цьому Е 2п + 1 = 0, E4n позитивні , E4n+2 негативні цілі числа всім n=0, 1, . . .;E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математична енциклопедія

Від'ємне число- Негативне число - елемент множини негативних чисел, яке (разом з нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Мета розширення: забезпечити виконання операції віднімання будь-яких чисел. В результаті… … Вікіпедія

Історія арифметики- арифметика. Розпис Пінтуріккіо. Апартаменти Борджіа. 1492 1495. Рим, Ватиканські палаци... Вікіпедія

Арифметика- Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI століття Арифметика (ін. грец. ἀ … Вікіпедія

Книги

• Набір таблиць. Математика. 6 клас. 12 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними порадами для вчителя. Навчальний альбом із 12 аркушів. Ділімість… Купити за 3063 руб
• Математика. 6 клас. Робочий зошит. Позитивні та негативні числа, . Робочий зошит для 6 класу входить до складу УМК з математики для основної школи (5-9 класи), створеного в рамках проекту "Математика. Психологія. Інтелект" поряд з підручниками, навчальними закладами.

П.І.Б. вчителі:Іванова Ольга Анатоліївна
Предмет:Математика

Клас: 6 А

Найменування навчально-методичного комплекту (УМК): Математика. Підручник для 6 класу/Микільський С.М., Потапов М.К.

Тема урока:негативні цілі числа

Тип уроку:Урок первинного пред'явлення нових знань

Місце уроку у системі уроків: Урок 1 у темі «Цілі числа»

Цілі уроку:

Навчальна:навчитися знаходити з допомогою показань термометра різницю температур, познайомитися з правилом віднімання чисел з допомогою цілих чисел;

Розвиваюча:розвивати аналітичне мислення, виділяти головне та узагальнювати

Виховна:виховувати почуття взаємної співпраці, уміння слухати

Дидактичне завдання уроку: запровадити поняття негативного, позитивного чисел, низки цілих чисел; засвоїти правила віднімання чисел за допомогою термометра та ряду цілих чисел

Заплановані результати

Предметні результати:знати і розуміти сенс понять : позитивне число, негативне число , ряд цілих чисел, вміти віднімати числа з допомогою низки цілих чисел, застосовувати отримані знання інших уроках.

Метапредметні результати:

Пізнавальні: здатність розуміти навчальне завдання уроку, виділяти та формулювати пізнавальні цілі, будувати логічний ланцюжок міркувань.

Регулятивні: контролювати та оцінювати власну діяльність та діяльність партнерів, планувати та коригувати свою діяльність;

Комунікативні: вміти досить повно та чітко висловлювати свої думки, слухати співрозмовника та вести діалог.

Особистісні:мати мотивацію до навчальної діяльності, приймати та освоювати соціальну роль учня, використовувати набуті знання навчального співробітництва з дорослими та однолітками у різних ситуаціях.

Основні поняття:негативні числа, позитивні числа, ряд цілих чисел

Міжпредметні зв'язки: фізика

Ресурси:http :// www . uroki . net ; http :// www . zavuch . info

Форми роботи: фронтальна бесіда, робота в парах, індивідуальна робота.

Етапи уроку

Діяльність вчителя

Діяльність учнів

час

УУД, що формуються

1.

Організаційний етап

Привітання учнів. Контроль готовності до уроку.

Перевірте, чи все у вас гаразд? Книжки, ручки та зошити? Продзвенів зараз дзвінок: починається урок!

На уроці працюйте старанно, і успіх на вас чекає обов'язково!

Підготовка до початку уроку

Особистісні:позитивно ставляться до вчення, пізнавальної діяльності, бажають набувати нових знань, уміння, удосконалювати існуючі.

Пізнавальні:усвідомлюють навчально-пізнавальне завдання.

Регулятивні:планують у співпраці з учителем, однокласниками самостійно необхідні дії.

Комунікативні: слухають і чують один одного

2.

Актуалізація знань

Хлопці, яка найголовніша навичка в математиці? Перевіримо, як ви вмієте рахувати: проведемо математичну розминку.

На дошці записані приклади, вирішуємо їх усно та говоримо відповідь.

Хлопці, що ви можете сказати про числа, написані в першому і другому стовпцях? Які вони?

Які математичні дії з числами ви робили?

Пропонують варіанти відповідей (рахунок)

Усна робота з прикладами на дошці.

Відповідають на запитання (натуральні, дробові)

(додавання, віднімання, множення, розподіл)

Оцінка своєї діяльності

Особистісні:виявляють стійкий пізнавальний інтерес до усного рахунку.

Пізнавальні:виконують навчально-пізнавальні дії у розумовій формі; здійснюють вирішення навчальних завдань операції аналізу, синтезу, порівняння, кваліфікації.

Регулятивні: приймають та зберігають навчальне завдання.

Комунікативні: висловлюють та обґрунтовують свою точку зору

3.

Цілепокладання

Організація роботи з роздавальним матеріалом.

Діти, зверніть увагу на листи із завданням 1

На демонстраційному термометрі з'являється рішення задачі.

Діти, з яким новим поняттям ми зіткнулися? Як нам записати показання термометра? Що означає запис -3 0 З.

Від якої точки ми відраховуємо температуру? Як називаємо температуру, розташовану вище 0? Нижче 0? Яку роль відіграє 0?

Яка ж тема уроку?

Вчитель коригує відповіді учнів та озвучує тему уроку. Тема уроку: негативні цілі числа.

Спільно з учнями:

формулює мету навчальної діяльності;

будує проект (алгоритм) виходу із проблемної ситуації.

Організовує та доповнює спільну навчальну діяльність

Читають завдання та пропонують варіанти рішення.

Відповідають на запитання

Відповіді учнів

Температура увечері -3 0 З

Перед 3 поставити мінус.

3 0 З морозу.

Відраховуємо від 0. Плюсова (позитивна), мінусова (негативна). кордон

Негативні температури (числа)

Учні записують тему у зошит.

Формулюють мету навчальної діяльності у діалозі з учителем.

Особистісні: ведуть діалог на основі рівноправних відносин та взаємної поваги та прийняття.

Пізнавальні: витягують необхідну інформацію з пояснення, висловлювань однокласників, систематизують знання

Регулятивні: планують необхідні дії

Комунікативні: будують монологічні висловлювання, здійснюють спільну діяльність

4

Організація роботи з підручником

206 у зошитах

Перевірте відповіді один у одного

Завдання 2

розв'язати приклади за допомогою термометра:

10 0 З -5 0 С=+5 0 З

15 0 З -15 0 С=+0 0 З

0 0 З -10 0 С=-10 0 З

10 0 С - 15 0 С = -5 0 С

15 0 С-20 0 С=-5 0 З

Діти, уявіть, що ми з вами розташували термометр горизонтально і отримали наступний запис

Як назвемо числа, розташовані праворуч від 0? Зліва від 0?

Сформулюйте визначення позитивного та негативного числа

Виконують роботу усно та у зошитах.

Взаємоперевірка

Робота у парах; перевірка рішення біля дошки з поясненням із термометром

Оцінка діяльності

Позитивні, негативні.

Формулюють визначення

Особистісні: конструктивно вирішують проблеми, що виникають.

Пізнавальні: читають та слухають, витягуючи потрібну інформацію

Регулятивні: контролюють навчальні дії, помічають допущені помилки; усвідомлюють правило контролю та успішно використовують його у вирішенні навчальної задачі.

Комунікативні: здійснюють спільну діяльність у парах

4.

Фізкультхвилинка

А тепер уявіть, що нуль це ваші руки складені біля грудей, тоді ліва рука покаже розташування яких чисел? Права?

Покажіть мені, де щодо нуля є число 5? -7? -10? 100? 15? -20?

Проведемо розминку

Відповідають на запитання, показують розташування чисел

Відволікаються від навчальної діяльності, розминаються.

Особистісні: просвідомість цінності здоров'я

Пізнавальні: встановлюють причинно-наслідкові зв'язки між своїм здоров'ям та фізичними вправами

Регулятивні: адекватно самостійно оцінюють правильність виконання дії та вносять необхідні корективи у виконання як наприкінці дії, так і в процесі реалізації.

5.

Первинне сприйняття та засвоєння матеріалу

Хлопці, повернемося до запису

7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Що означає цей запис?

З яких чисел складається низка цілих чисел?

Знайти відповідь вам допоможе підручник

Як ряд цілих чисел може нам допомогти при відніманні чисел?

Спробуйте за допомогою низки цілих чисел виконати завдання 3

Самостійне виконання вправи

Виконання завдання 3

Перевіримо, які результати ви отримали.

Робота з підручником, пошук відповіді питання. (ряд цілих чисел)

Ряд цілих чисел складається з натуральних чисел, негативних чисел і нуля.

При відніманні ми пересуватимемося вліво по ряду

Виконання завдань у зошитах

Перевірка з усним коментуванням

Обговорення рішень

Оцінка діяльності

Особистісні: виявляють потребу у самовираженні та самореалізації.

Пізнавальні: здійснюють пошук необхідної інформації (з матеріалів підручника та розповіді вчителя, з відтворення у пам'яті).

Регулятивні: самостійно контролюють свій час, відведений для вирішення конкретного завдання, та керують ним.

Комунікативні: відображають у внутрішній мові зміст дій.

6.

Рефлексія

З яким новим поняттям ми познайомилися на сьогоднішньому уроці?

Чого ми навчилися на сьогоднішньому уроці?

Що було найважчим?

Підбиває підсумки уроку. Дає оцінку роботи класу та окремих учнів.

Дають адекватну оцінку своєї діяльності.

Особистісні: розуміють значення знань для людини

Пізнавальні: набувають уміння використовувати знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті; встановлюють взаємозв'язок між обсягом набутих під час уроку знань, умінь, навичок і операційних, дослідницьких, аналітичних умінь як інтегрованих, складних умінь.

Регулятивні: оцінюють свою роботу; виправляють та пояснюють свої помилки.

Комунікативні: формулюють власні думки, висловлюють та обґрунтовують свою точку зору

7

Домашнє завдання

Визначає домашнє завдання.

425, 426, 434 * в

Учні записують домашнє завдання

При розв'язанні рівнянь і нерівностей, а також задач з модулями потрібно розташувати знайдене коріння на числовій прямій. Як ти знаєш, знайдене коріння може бути різним. Вони можуть бути такими: , а можуть бути такими: , .

Відповідно, якщо числа не раціональні а ірраціональні (якщо забув що це, шукай у темі), або є складними математичними виразами, то розташувати їх на числовій прямій вельми проблематично. Тим більше, що калькуляторами на іспиті користуватися не можна, а наближений підрахунок не дає 100% гарантій, що одне число менше за інше (раптом різниця між порівнюваними числами?).

Звичайно, ти знаєш, що позитивні цифри завжди більше негативних, і якщо ми представимо числову вісь, то при порівнянні, найбільші числа будуть знаходитися правіше, ніж найменші: ; ; і т.д.

Але чи завжди так легко? Де на числовій осі ми відзначимо, .

Як їх порівняти, наприклад, із числом? Ось у цьому-то і загвоздка...)

Для початку поговоримо загалом як і що порівнювати.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався!Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, та не можназводити квадрат, якщо одна з частин негативна.

Порівняння дробів

Отже, нам необхідно порівняти два дроби: і.

Є кілька варіантів, як це зробити.

Варіант 1. Привести дроби до спільного знаменника.

Запишемо у вигляді звичайного дробу:

- (Як ти бачиш, я також скоротила на чисельник та знаменник).

Тепер нам необхідно порівняти дроби:

Зараз ми можемо продовжити порівнювати також двома способами. Ми можемо:

1. просто привести все до спільного знаменника, представивши обидва дроби як неправильні (числитель більший за знаменник):

   Яке число більше? Правильно те, у якого чисельник більше, тобто перше.

2. «відкинемо» (вважай, що ми з кожного дробу відняли одиницю, і співвідношення дробів один з одним, відповідно, не змінилося) і порівнюватимемо дроби:

   Наводимо їх також до спільного знаменника:

   Ми отримали абсолютно такий самий результат, як і в попередньому випадку - перше число більше, ніж друге:

   Перевіримо також, чи правомірно ми відняли одиницю? Порахуємо різницю в чисельнику при першому розрахунку та другому:
   1)
   2)

Отже, ми розглянули, як порівнювати дроби, наводячи їх до спільного знаменника. Перейдемо до іншого методу - порівняння дробів, приводячи їх до загального... чисельника.

Варіант 2. Порівняння дробів за допомогою приведення до загального чисельника.

Так Так. Це не помилка. У школі рідко комусь розповідають цей метод, але дуже часто він дуже зручний. Щоб ти швидко зрозумів його суть, поставлю тобі лише одне запитання - «у яких випадках значення дробу найбільше?» Звичайно, ти скажеш "коли чисельник максимально великий, а знаменник максимально маленький".

Наприклад, ти ж точно скажеш, що вірно? Якщо нам треба порівняти такі дроби: ? Думаю, ти теж одночасно правильно поставиш символ, адже в першому випадку ділять на елементів, а в другому на цілих, отже, у другому випадку шматочки виходять дуже дрібні, і відповідно: . Як ти бачиш, знаменники тут різні, а от чисельники однакові. Однак для того, щоб порівняти ці два дроби, тобі не обов'язково шукати спільний знаменник. Хоча… знайди його і подивися, раптом знак порівняння все ж таки неправильний?

А знак той самий.

Повернемося до нашого початкового завдання – порівняти в. Порівнюватимемо в. Наведемо ці дроби не до спільного знаменника, а до спільного чисельника. Для цього просто чисельник та знаменникпершого дробу помножимо на. Отримаємо:

в. Який дріб більший? Правильно, перша.

Варіант 3. Порівняння дробів за допомогою віднімання.

Як порівнювати дроби за допомогою віднімання? Так, дуже просто. Ми з одного дробу віднімаємо інший. Якщо результат виходить позитивним, то перший дріб (зменшується) більший за другий (віднімається), а якщо негативним, то навпаки.

У нашому випадку спробуємо з другого відняти перший дріб: .

Як ти вже зрозумів, ми так само переводимо у звичайний дріб і отримуємо той же результат. Наш вираз набуває вигляду:

Далі нам все одно доведеться вдатися до приведення до спільного знаменника. Питання як: першим способом, перетворюючи дроби на неправильні, або другим, як би «прибираючи» одиницю? До речі, ця дія має цілком математичне обґрунтування. Дивись:

Мені більше подобається другий варіант, тому що перемноження в чисельнику при приведенні до спільного знаменника стає простіше.

Наводимо до спільного знаменника:

Тут головне не заплутатися, скільки і звідки ми забирали. Уважно подивитися хід рішення та випадково не переплутати знаки. Ми забирали від другого числа перше і отримали негативну відповідь, значить?.. Правильно, перше число більше за друге.

Розібрався? Спробуй порівняти дроби:

Стоп, стоп. Не поспішай приводити до спільного знаменника або віднімати. Подивися: можна легко перевести в десятковий дріб. Скільки це буде? Правильно. Що зрештою більше?

Це ще один варіант – порівняння дробів шляхом приведення до десяткового дробу.

Варіант 4. Порівняння дробів за допомогою розподілу.

Так Так. І так також можна. Логіка проста: коли ми ділимо більше на менше, у відповіді у нас виходить число, більше одиниці, а якщо ми ділимо менше на більше, то відповідь припадає на проміжок від до.

Щоб запам'ятати це правило, візьми для порівняння будь-які два простих числа, наприклад, і. Ти знаєш, що більше? Тепер розділимо на. Наша відповідь - . Відповідно, теорія вірна. Якщо ми розділимо, що ми отримаємо - менше одиниці, що в свою чергу підтверджує, що насправді менше.

Спробуємо застосувати це правило на звичайних дробах. Порівняємо:

Розділимо перший дріб на другий:

Скоротимо на та на.

Отриманий результат менше, значить ділене менше дільника, тобто:

Ми розібрали усі можливі варіанти порівняння дробів. Як ти бачиш їх 5:

• приведення до спільного знаменника;
• приведення до загального чисельника;
• приведення до виду десяткового дробу;
• віднімання;
• розподіл.

Готовий тренуватися? Порівняй дроби оптимальним способом:

Порівняємо відповіді:

1. (- Перекласти в десятковий дріб)
2. (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник)
3. (Виділити цілу частину і порівнювати дроби за принципом однакового чисельника)
4. (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник).

2. Порівняння ступенів

Тепер уявімо, що нам необхідно порівняти не просто числа, а вирази, де є ступінь ().

Звичайно, ти легко поставиш знак:

Адже якщо ми замінимо ступінь множенням, ми отримаємо:

З цього маленького та примітивного прикладу випливає правило:

Спробуй тепер порівняти таке: . Ти так само легко поставиш знак:

Тому що, якщо ми замінимо зведення ступінь на множення…

Загалом, ти все зрозумів і це зовсім нескладно.

Складнощі виникають лише тоді, коли при порівнянні у ступенів різні і основи, і показники. В цьому випадку необхідно спробувати привести до загальної основи. Наприклад:

Зрозуміло, ти знаєш, що це, відповідно, вираз набуває вигляду:

Розкриємо дужки і порівняємо те, що вийде:

Дещо особливий випадок, коли основа ступеня () менше одиниці.

Якщо, то з двох ступенів і більша та, показник якої менший.

Спробуємо довести це правило. Нехай.

Введемо деяке натуральне число, як різницю між і.

Логічно, чи не так?

А тепер ще раз звернемо увагу на умову -.

Відповідно: . Отже, .

Наприклад:

Як ти зрозумів, ми розглянули випадок, коли рівні рівнів. Тепер подивимося, коли основа знаходиться в проміжку від до, але рівні показники ступеня. Тут усе дуже просто.

Запам'ятаємо, як це порівнювати на прикладі:

Звичайно, ти швидко порахував:

Тому, коли тобі будуть траплятися схожі завдання для порівняння, тримай у голові якийсь простий аналогічний приклад, який ти можеш швидко прорахувати, і на основі цього прикладу проставляй знаки у складнішому.

Виконуючи перетворення, пам'ятай, що якщо ти домножуєш, складаєш, віднімаєш або ділиш, то всі дії необхідно робити і з лівої і з правою частиною (якщо ти множиш на, то множити необхідно і те, й інше).

Крім цього, бувають випадки, коли робити якісь маніпуляції просто невигідно. Наприклад, тобі треба порівняти. В даному випадку, не так складно звести в ступінь, і розставити знак, виходячи з цього:

Давай потренуємось. Порівняй ступеня:

Готовий порівнювати відповіді? Ось що в мене вийшло:

1. - те саме, що
2. - те саме, що
3. - те саме, що
4. - те саме, що

3. Порівняння чисел з коренем

Для початку пригадаємо, що таке коріння? Ось цей запис пам'ятаєш?

Коренем ступеня із дійсного числа називається таке число, для якого виконується рівність.

Коріннянепарною мірою існують для негативних і позитивних чисел, а коріння парного ступеня- Тільки для позитивних.

Значенням кореня часто є нескінченний десятковий дріб, що ускладнює його точне обчислення, тому важливо вміти порівнювати коріння.

Якщо ти призабув, що це таке і з чим його їдять. Якщо все пам'ятаєш – давай вчитися поетапно порівнювати коріння.

Допустимо, нам необхідно порівняти:

Щоб порівняти ці два корені, не потрібно робити жодних обчислень, просто проаналізуй саме поняття «корінь». Зрозумів, про що я говорю? Та ось про це: інакше можна записати як третій ступінь якогось числа, що дорівнює підкореному виразу.

А що більше? чи? Це ти, звичайно, порівняєш без жодних труднощів. Чим більше ми зводимо в ступінь, тим більше буде значення.

Отже. Виведемо правило.

Якщо показники ступеня коренів однакові (у разі це), необхідно порівнювати підкорені вирази (і) - що більше підкорене число, то більше значення кореня при рівних показниках.

Важко запам'ятати? Тоді просто тримай у голові приклад і. Що більше?

Показники ступеня коріння однакові, оскільки корінь квадратний. Підкорене вираз одного числа () більше за інше (), значить, правило дійсно вірне.

А що, якщо підкорені вирази однакові, а от ступеня коріння різні? Наприклад: .

Теж цілком зрозуміло, що з добуванні кореня більшою мірою вийде менше число. Візьмемо для прикладу:

Позначимо значення першого кореня як, а другого як, то:

Ти легко бачиш, що в цих рівняннях має бути більше, отже:

Якщо підкорені вирази однакові(у нашому випадку), а показники ступеня коріння різні(У нашому випадку це і), то необхідно порівнювати показники ступеня(і) - чим більший показник, тим менший цей вираз.

Спробуй порівняти наступне коріння:

Порівняємо отримані результати?

Із цим благополучно розібралися:). Виникає інше питання: а що, якщо у нас все різне? І ступінь, і підкорене вираз? Не все так складно нам потрібно всього-на-всього ... «позбутися» кореня. Так Так. Саме позбутися)

Якщо у нас різні і ступені та підкорені вирази, необхідно знайти найменше загальне кратне (читай розділ про ) для показників коренів і звести обидва вирази в ступінь, що дорівнює найменшому загальному кратному.

Що ми всі на словах та на словах. Наведемо приклад:

1. Дивимося показники коренів – в. Найменше загальне кратне у них - .
2. Зведемо обидва вирази в ступінь:
3. Перетворимо вираз і розкриємо дужки (докладніше у розділі):
4. Вважаємо, що в нас вийшло, і поставимо знак:

4. Порівняння логарифмів

Ось так, повільно, але вірно, ми підійшли до питання як порівнювати логарифми. Якщо ти не пам'ятаєш, що це за звір такий, раджу для початку прочитати теорію з розділу. Прочитав? Тоді дай відповідь на кілька важливих питань:

1. Що називається аргументом логарифму, а що його основою?
2. Від чого залежить, чи зростає функція чи зменшується?

Якщо все пам'ятаєш і добре засвоїв - приступаємо!

Для того, щоб порівнювати логарифми між собою, необхідно знати лише 3 прийоми:

• приведення до однакової основи;
• приведення до однакового аргументу;
• порівняння із третім числом.

Спочатку зверніть увагу на підставу логарифму. Ти пам'ятаєш, що якщо вона менша, то функція зменшується, а якщо більше, то зростає. Саме на цьому будуть засновані наші судження.

Розглянемо порівняння логарифмів, які вже приведені до однакової основи або аргументу.

Для початку спростимо завдання: нехай у порівнюваних логарифмах рівні підстави. Тоді:

1. Функція, коли зростає на проміжку від, означає за визначенням, то («пряме порівняння»).
2. Приклад:- підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , отже:
3. Функція, при, зменшується на проміжку від, значить за визначенням, то («зворотне порівняння»). - підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , проте, знак у логарифмів буде «зворотний», оскільки функція зменшується: .

Тепер розглянемо випадки, коли основи різні, але однакові аргументи.

1. Підстава більша.
   • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад: - аргументи однакові, в. Порівнюємо підстави: однак, знак у логарифмів буде «зворотний»:
2. Основа знаходиться в проміжку.
   • . І тут використовуємо «пряме порівняння». Наприклад:
   • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад:

Запишемо все у загальному табличному вигляді:

Відповідно, як ти вже зрозумів, при порівнянні логарифмів нам необхідно привести до однакової основи, або аргументу, До однакової основи ми приходимо, використовуючи формулу переходу від однієї основи до іншої.

Можна також порівнювати логарифми з третім числом і на підставі цього робити висновок, що менше, а що більше. Наприклад, подумай, як порівняти ці два логарифми?

Невелика підказка - для порівняння тобі дуже допоможе логарифм, аргумент якого дорівнюватиме.

Подумав? Давай вирішувати разом.

Ми легко порівняємо з тобою ці два логарифми:

Не знаєш, як? Дивись вище. Ми щойно це розбирали. Який знак там буде? Правильно:

Згоден?

Порівняємо між собою:

У тебе має вийти таке:

А тепер поєднай усі наші висновки в один. Вийшло?

5. Порівняння тригонометричних виразів.

Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чого потрібне одиничне коло і як на ньому знайти значення тригонометричних функцій? Якщо ти не знаєш відповіді на ці запитання, дуже рекомендую тобі прочитати теорію на цю тему. А якщо знаєш, то порівняти тригонометричні вирази між собою для тебе не складає труднощів!

Трохи освіжимо пам'ять. Намалюємо одиничне тригонометричне коло і вписаний у неї трикутник. Впорався? Тепер відзнач, з якого боку у нас відкладається косинус, а з якого синус, використовуючи сторони трикутника. (Ти, звичайно пам'ятаєш, що синус, це ставлення протилежної сторони до гіпотенузи, а косинус прилеглої?). Намалював? Чудово! Останній штрих – простав, де в нас буде, де і так далі. Проставив? Фух) Порівнюємо, що вийшло у мене та в тебе.

Фух! А тепер приступаємо до порівняння!

Припустимо, нам необхідно порівняти в. Намалюй ці кути, використовуючи підказки у рамочках (де у нас зазначено, де), відкладаючи крапки на одиничному колі. Впорався? Ось що в мене вийшло.

Тепер опустимо перпендикуляр із точок, відмічених нами на колі на вісь… Яку? Яка вісь показує значення синусів? Правильно, . Ось що в тебе має вийти:

Дивлячись на цей малюнок, що більше: чи? Звичайно, адже точка знаходиться вище за точку.

Аналогічним чином ми порівнюємо значення косінусів. Тільки перпендикуляр ми опускаємо на вісь… Правильно. Відповідно, дивимося, яка точка знаходиться правіше (ну чи вище, як у випадку з синусами), то значення і більше.

Мабуть, ти вже здогадуєшся, як порівнювати тангенси, правда? Все, що потрібно, знати, що таке тангенс. Так що таке тангенс?) Правильно, ставлення синуса до косінус.

Щоб порівняти тангенси, ми так само малюємо кут, як і в попередньому випадку. Допустимо, нам необхідно порівняти:

Намалював? Тепер також відзначаємо значення синуса на координатній осі. Помітив? А тепер вкажи значення косинуса на координатній прямій. Вийшло? Давай порівняємо:

А тепер проаналізуй написане. – Ми великий відрізок ділимо на маленький. У відповіді буде значення, яке точно більше одиниці. Правильно?

А у ми маленький ділимо на великий. У відповіді буде число, яке точно менше одиниці.

То значення якого тригонометричного виразу більше?

Правильно:

Як ти тепер розумієш, порівняння котангенсів - те саме, тільки навпаки: ми дивимося, як ставляться один до одного відрізки, що визначають косинус і синус.

Спробуй самостійно порівняти такі тригонометричні вирази:

приклади.

Відповіді.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.

Яке із чисел більше: чи? Відповідь очевидна. А тепер: чи? Вже не так очевидно, правда? А так: чи?

Часто потрібно знати, який із числових виразів більший. Наприклад, щоб при розв'язанні нерівності розставити крапки на осі у правильному порядку.

Зараз навчу тебе порівнювати такі цифри.

Якщо треба порівняти числа і між ними ставимо знак (походить від латинського слова Versus або скорочено vs. - Проти): . Цей знак замінює невідомий знак нерівності (). Далі будемо виконувати тотожні перетворення доти, доки стане ясно, який саме знак потрібно поставити між числами.

Суть порівняння чисел полягає в наступному: ми ставимося до знака так, ніби це якийсь знак нерівності. І з виразом ми можемо робити все те, що робимо зазвичай з нерівностями:

• додати будь-яке число до обох частин (і відняти, звичайно, теж можемо)
• «перенести все в один бік», тобто відняти з обох частин один із порівнюваних виразів. На місці віднімання виразу залишиться: .
• домножувати чи ділити одне й те число. Якщо це число негативне, символ нерівності змінюється протилежний: .
• зводити обидві частини в один і той самий ступінь. Якщо цей ступінь – парний, необхідно переконатися, що обидві частини мають однаковий знак; якщо обидві частини позитивні, при зведенні в ступінь знак не змінюється, і якщо негативні, тоді змінюється протилежний.
• витягти корінь однакового ступеня з обох частин. Якщо витягаємо корінь парного ступеня, необхідно попередньо переконатися, що обидва вирази невід'ємні.
• будь-які інші рівносильні перетворення.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався! Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, і не можна зводити до квадрата, якщо одна з частин негативна.

Розберемо кілька типових ситуацій.

1. Зведення на ступінь.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Оскільки обидві частини нерівності позитивні, можемо звести в квадрат, щоб позбавитися кореня:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Тут теж можемо звести в квадрат, але це нам допоможе позбавитися тільки квадратного кореня. Тут треба зводити в такий ступінь, щоб обидва корені зникли. Отже, показник цього ступеня повинен ділитися і (ступінь першого кореня), і. Таким числом є, отже, зводимо в -ю ступінь:

2. Множення на сполучене.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Домножимо і розділимо кожну різницю на сполучену суму:

Очевидно, що знаменник у правій частині більший за знаменник у лівій. Тому правий дріб менше лівого:

3. Віднімання

Згадаймо, що.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Звичайно, ми могли б звести все в квадрат, перегрупувати і знову звести в квадрат. Але можна вчинити хитріше:

Видно, що у лівій частині кожне доданок менше кожного доданку, що у правій частині.

Відповідно, сума всіх доданків, що перебувають у лівій частині, менша від суми всіх доданків, що перебувають у правій частині.

Але будь уважним! У нас питали що більше...

Права частина більша.

приклад.

Порівняйте числа і.

Рішення.

Згадуємо формули тригонометрії:

Перевіримо, у яких чвертях на тригонометричному колі лежать точки і.

4. Розподіл.

Тут також використовуємо просте правило: .

При або, тобто.

При знак змінюється: .

приклад.

Виконай порівняння: .

Рішення.

5. Порівняйте числа з третім числом

Якщо і, то (закон транзитивності).

приклад.

Порівняйте.

Рішення.

Порівняємо числа не один з одним, а з числом.

Очевидно, що.

З іншого боку, .

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Обидва числа більші, але менші. Підберемо таке число, щоб воно було більше одного, але менше за інше. Наприклад, . Перевіримо:

6. Що робити з логарифмами?

Нічого особливого. Як позбавлятися логарифмів, докладно описано в темі . Основні правила такі:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(при))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Також можемо додати правило про логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

Пояснити його можна так: чим більша підстава, тим менший ступінь її доведеться звести, щоб отримати один і той же. Якщо ж підстава менша, то все навпаки, тому що відповідна функція монотонно спадає.

приклад.

Порівняйте числа: і.

Рішення.

Відповідно до вищеописаних правил:

А тепер формула для сучасних.

Правило порівняння логарифмів можна записати і коротше:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

приклад.

Порівняйте, яке з чисел більше: .

Рішення.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Зведення у ступінь

Якщо обидві частини нерівності позитивні, їх можна звести в квадрат, щоб позбавитися кореня

2. Множення на сполучене

Сполученим називається множник, що доповнює вираз до формули різниці квадратів: - Сполучене для і навпаки, т.к. .

3. Віднімання

4. Поділ

При або тобто

При змінюється:

5. Порівняння з третім числом

Якщо і, то

6. Порівняння логарифмів

Основні правила:

Логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 899 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!