Графік функції cos x п 2. Графіки тригонометричних функцій кратних кутів. Визначення функції косинуса у = cos (x)

Урок та презентація на тему: "Функція y=cos(x). Визначення та графік функції"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу
Алгебраїчні завдання з параметрами, 9–11 класи
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:
1. Визначення.
2. Графік функції.
3. Властивості функції Y = cos (X).
4. Приклади.

Визначення функції косинуса у = cos (x)

Діти, ми вже познайомилися з функцією Y=sin(X).

Згадаймо одну з формул привида : sin(X + π/2) = cos(X).

Завдяки цій формулі ми можемо стверджувати, що функції sin(X + π/2) і cos(X) тотожні, і їх графіки функцій збігаються.

Графік функції sin(X + π/2) виходить із графіка функції sin(X) паралельним перенесенням на π/2 одиниць вліво. Це буде графік функції Y=cos(X).

Графік функції Y=cos(X) також називають синусоїдою.

Властивості функції cos(x)

Запишемо властивості нашої функції:
• Область визначення – безліч дійсних чисел.
• Функція парна. Згадаймо визначення парної функції. Функція називається парною, якщо виконується рівність y(-x)=y(x). Як ми пам'ятаємо з формул привида: cos(-x)=-cos(x), визначення виконалося, тоді косинус – парна функція.
• Функція Y=cos(X) зменшується на відрізку і збільшується на відрізку [π; 2π]. У цьому вся ми можемо переконатися на графіку нашої функції.
• Функція Y=cos(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
  -1 ≤ cos(X) ≤ 1
• Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = π + 2πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при x = 2πk).
• Функція Y=cos(X) є безперервною функцією. Подивимося на графік і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
• Область значень відрізок [-1; 1]. Це також добре видно із графіка.
• Функція Y = cos (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція приймає ті самі значення через деякі проміжки.

Приклади з функцією cos(x)

1. Розв'язати рівняння cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=cos(x) та y=(x - 2π) 2 + 1 (див. рисунок).


y=(x - 2π) 2 + 1 - це парабола, зміщена вправо на 2π і вгору на 1. Наші графіки перетинаються в одній точці А(2π;1), і є відповідь: x = 2π.

2. Побудувати графік функції Y=cos(X) за х ≤ 0 та Y=sin(X) за x ≥ 0

Рішення: Щоб побудувати необхідний графік, давайте побудуємо два графіки функції "шматочки". Перший шматочок: y=cos(x) при х ≤ 0. Другий шматочок: y=sin(x)
при x ≥ 0. Зобразимо обидва "шматочки" на одному графіку.

3. Знайти найбільше та найменше значення функції Y=cos(X) на відрізку [π; 7π/4]

Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π; 7π/4]. На графіку видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка: у точках π та 7π/4 відповідно.
Відповідь: cos(π) = -1 – найменше значення, cos(7π/4) = найбільше значення.

4. Побудувати графік функції y=cos(π/3 - x) + 1

Рішення: cos(-x)= cos(x), тоді шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=cos(x) на π/3 одиниць праворуч і 1 одиницю вгору.

Завдання для самостійного вирішення

Тепер ми розглянемо питання, як будувати графіки тригонометричних функцій кратних кутів. ωx, де ω - Деяке позитивне число.

Для побудови графіка функції у = sin ωxпорівняємо цю функцію з вивченою нами функцією у = sin x. Припустимо, що за х = x 0 функція у = sin хприймає значення, що дорівнює 0 . Тоді

у 0 = sin x 0 .

Перетворимо це співвідношення так:

Отже, функція у = sin ωxпри х = x 0 / ω приймає те саме значення у 0 , що і функція у = sin хпри х = x 0 . А це означає, що функція у = sin ωxповторює свої значення в ω раз частіше, ніж функція у = sin x. Тому графік функції у = sin ωxвиходить шляхом "стиснення" графіка функції у = sin xв ω разів уздовж осі х.

Наприклад, графік функції у = sin 2хвиходить шляхом «стиснення» синусоїди у = sin xудвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = sin x / 2 виходить шляхом «розтягування» синусоїди у = sin х удвічі (або «стиснення» в 1 / 2 рази) вздовж осі х.

Оскільки функція у = sin ωxповторює свої значення в ω раз частіше, ніж функція
у = sin x, то період її ω разів менше періоду функції у = sin x. Наприклад, період функції у = sin 2хдорівнює 2π / 2 = π , а період функції у = sin x / 2 дорівнює π / x / 2 = 4π .

Цікаво провести дослідження поведінки функції у = sin аxна прикладі анімації, яку дуже просто можна створити у програмі Maple:

Аналогічно будуються графіки та інші тригонометричні функції кратних кутів. На малюнку представлено графік функції у = cos 2х, який виходить шляхом «стиснення» косінусоїди у = cos худвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = cos x / 2 виходить шляхом «розтягування» косінусоїди у = cos худвічі вздовж осі х.

На малюнку ви бачите графік функції у = tg 2x, отриманий «стисненням» тангенсоїди у = tg xудвічі вздовж осі абсцис.

Графік функції у = tg x / 2 , отриманий «розтягуванням» тангенсоїди у = tg xудвічі вздовж осі х.

І, нарешті, анімація, виконана програмою Maple:

Вправи

1. Побудувати графіки даних функцій та вказати координати точок перетину цих графіків з осями координат. Визначити періоди цих функцій.

а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3

б). у = cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у = ctg x / 3

в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3

2. Визначити періоди функцій у = sin (πх)і у = tg (πх / 2).

3. Наведіть два приклади функції, які приймають всі значення від -1 до +1 (включаючи ці два числа) і періодично змінюються з періодом 10.

4 *. Наведіть два приклади функцій, які приймають усі значення від 0 до 1 (включаючи ці два числа) та періодично змінюються з періодом π/2.

5. Наведіть два приклади функцій, які набувають всіх дійсних значень і періодично змінюються з періодом 1.

6 *. Наведіть два приклади функцій, які приймають всі негативні значення та нуль, але не набувають позитивних значень і періодично змінюються з періодом 5.

«Графіки функцій та його властивості»- y = ctg x. 4) Обмеженість функції. 3) Непарна функція. (Графік функції симетричний щодо початку координат). y = tg x. 7) Функція безперервна будь-якому інтервалі виду (?k; ? + ?k). Функція y = tg x безперервна на будь-якому інтервалі виду. 4) Функція зменшується на будь-якому інтервалі виду (?k;? +?k). Графік функції y = tg x називається тангенсоід.

"Графік функції Y X"- шаблон параболи у = х2. Щоб побачити графіки, клацніть мишкою. Приклад 2. Побудуємо графік функції y = x2 + 1, спираючись на графік функції y = x2 (клацання мишкою). Приклад 3. Доведемо, що графіком функції у = х2 + 6х + 8 є парабола і побудуємо графік. Графік функції y=(x - m)2 є параболою з вершиною у точці (m; 0).

«Математика графіки»– Як можна будувати графіки? Найбільш природно функціональні залежності відбиваються з допомогою графіків. Цікаве застосування: малюнки,… Навіщо ми вивчаємо графіки? Графік елементарних функцій. Що ви можете намалювати за допомогою графіків? Розглядаємо застосування графіків у навчальних предметах: математики, фізики,…

"Побудова графіків за допомогою похідної" - Узагальнення. Побудувати ескіз графіка функції. Знайти асимптоти графіка функції. Графік похідної функції. Додаткове завдання. Дослідити функцію. Назвати проміжки зменшення функції. Самостійна робота учнів. Розширити знання. Урок закріплення вивченого матеріалу. Оцініть свої вміння. Крапки максимуму функції.

"Графіки з модулем" - Відобрази "нижню" частину у верхню напівплощину. Модуль дійсного числа. Властивості функції y = | x |. |х|. Числа. Алгоритм побудови графіка функції. Алгоритм побудови. Функція y = lхl. Властивості. Самостійна робота. Нулі функції. Поради великих. Вирішення самостійної роботи.

«Рівняння дотичної»- рівняння дотичної. Рівняння нормалі. Якщо, то й криві перетинаються під прямим кутом. Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих. Кут між графіками функцій. Рівняння дотичної до графіка функції у точці. Нехай функція диференційована у точці. Нехай прямі задані рівняннями та.

Всього у темі 25 презентацій