Обчислення площі фігури, обмеженої параметрически заданої кривої. Обчислення об'ємів тіл обертання за допомогою визначеного інтеграла Обчислити площу фігури обмеженою лініями параметрически онлайн

Вітаю вас, шановні студенти вузу аргемони!

Ще трохи - і курс буде закінчений, а зараз ми займемося ось чим.

Чжоулі трохи змахнула рукою - і в повітрі виявилася постать. А точніше, це була прямокутна трапеція. Вона просто висіла в повітрі, створена магічною енергією, яка текла по її сторонам, а також клубилася всередині самої трапеції, від чого та вся виблискувала і переливалася.
Потім викладач ледь помітно зробила круговий рух пальцями руки - і трапеція почала обертатися навколо невидимої осі. Спочатку повільно, потім все швидше і швидше - так, що в повітрі виразно стала проступати об'ємна фігура. Здавалося, що магічна енергія розтікалася по ній.

Далі сталося наступне: блискучі контури фігури і її нутро стали заповнюватися якоюсь речовиною, світіння ставало все менш помітним, зате сама фігура все більше була схожа на щось відчутне. Крупинки матеріалу рівномірно розподілялися по фігурі. І ось все закінчилося: і обертання, і світіння. У повітрі висів предмет, схожий на воронку. Чжоулі акуратно перемістила його на стіл.

Ну ось. Приблизно так можна матеріалізувати багато предметів - шляхом обертання якихось плоских фігур навколо уявних прямих. Звичайно, для матеріалізації потрібно певну кількість речовини, яке заповнить собою весь утворюється і тимчасово утримується за допомогою магічної енергії обсяг. А ось для того, щоб точно підрахувати, скільки речовини треба, - і потрібно знати обсяг одержуваного тіла. Інакше, якщо речовини буде мало, то воно не заповнить собою весь обсяг і тіло може вийти неміцним, з вадами. А матеріалізувати і ще утримувати великий надлишок речовини - це непотрібні витрати магічної енергії.
Ну а якщо у нас обмежена кількість речовини? Тоді, вміючи обчислювати об'єми тіл, можна прикинути, яке за розмірами тіло ми можемо зробити без особливих витрат магічної енергії.
Щодо надлишків залученого матеріалу є ще й інша думка. Куди надлишки речовини діваються? Обсипаються, будучи не задіяними? Або налипають на тіло як попало?
Загалом, тут ще є над чим подумати. Якщо раптом у вас якісь думки з'явилися, то із задоволенням їх вислухаю. А поки перейдемо до обчислення обсягів тіл, отриманих таким способом.
Тут розглядається кілька випадків.

Випадок 1.

Область, яку ми будемо обертати, являє собою саму класичну криволинейную трапецію.

Природно, що вирощують її ми можемо тільки навколо осі ОХ. Якщо ж цю трапецію зрушити вправо по горизонталі так, щоб вона не перетинала вісь OY, то її можна обертати і щодо цієї осі. Заклинальні формули для обох випадків такі:

Ми з вами вже досить добре освоїли основні магічні дії на функції, тому для вас, думаю, не важко буде при необхідності пересунути фігуру так в координатних осях, щоб вона розташовувалася зручно для роботи з нею.

Випадок 2.

Можна обертати не тільки класичну криволинейную трапецію, а й фігуру ось такого виду:

При обертанні ми отримаємо своєрідне кільце. А пересунувши фігуру в позитивну область, ми можемо її вирощують і щодо осі OY. Теж отримаємо кільце чи ні. Все залежить від того, як буде розташовуватися фігура: якщо її ліва межа пройде точно по осі OY, то кільця не вийде. Розрахувати обсяги таких тіл обертання можна, використовуючи такі заклинання:

Випадок 3.

Згадаймо, що у нас є чудові криві, але задающиеся не звичним нам способом, а в параметричному вигляді. Такі криві часто замкнуті. Параметр t повинен змінюватися таким чином, щоб замкнута фігура при обході її по кривій (кордоні) залишалася зліва.

Тоді для обчислення обсягів тіл обертання щодо осі ОХ або OY треба використовувати ось такі заклинання:

Ці ж формули можна використовувати і для випадку незамкнутих кривих: коли обидва кінці лежать на осі ОХ або на осі OY. Фігура-то по-любому виходить замкнутої: кінці замикає відрізок осі.

Випадок 4.

Частина чудових кривих у нас задаються полярними координатами (r \u003d r (fi)). І тоді фігуру можна обертати щодо полярної осі. В цьому випадку декартова система координат поєднується з полярної і годиться
x \u003d r (fi) * cos (fi)
y \u003d r (fi) * sin (fi)
Таким чином, ми приходимо до параметричного виду кривої, де параметр fi повинен змінюватися так, щоб при обході кривої область залишалася зліва.
І користуємося заклинальних формулами з нагоди 3.

Однак, для випадку полярних координат є і своя заклинальні формула:

Звичайно, плоскі фігури можна обертати і щодо будь-яких інших прямих, не тільки щодо осей OX та OY, але ці маніпуляції вже більш складні, тому ми обмежимося тими випадками, що були розглянуті в лекції.

А тепер домашнє завдання. Я не буду вам давати конкретні фігури. Ми вже вивчили багато функцій, і мені хочеться, щоб ви самі щось таке сконструювали, що вам може знадобиться в магічній практиці. Думаю, чотирьох прикладів на всі зазначені в лекції випадки буде досить.

Лекції 8. Додатки певного інтеграла.

Додаток інтеграла до фізичних завдань грунтується на властивості адитивності інтеграла по безлічі. Тому за допомогою інтеграла можуть обчислюватися такі величини, які самі адитивні по безлічі. Наприклад, площа фігури дорівнює сумі площ її частин Довжина дуги, площа поверхні, об'єм тіла, маса тіла володіють тим же властивістю. Тому всі ці величини можна обчислювати за допомогою певного інтеграла.

Можна використовувати два методи вирішення завдань: метод інтегральних сум і метод диференціалів.

Метод інтегральних сум повторює конструкцію певного інтеграла: будується розбиття, відзначаються точки, в них обчислюється функція, обчислюється інтегральна сума, проводиться граничний перехід. У цьому методі основні труднощі - довести, що в межі вийде саме те, що потрібно в завданні.

Метод диференціалів використовує невизначений інтеграл і формулу Ньютона - Лейбніца. Обчислюють диференціал величини, яку треба визначити, а потім, інтегруючи цей диференціал, за формулою Ньютона - Лейбніца отримують необхідну величину. У цьому методі основні труднощі - довести, що обчислений саме диференціал потрібної величини, а не що-небудь інше.

Обчислення площ плоских фігур.

1. Фігура обмежена графіком функції, заданої в декартовій системі координат.

Ми прийшли до поняття визначеного інтеграла від завдання про площу криволінійної трапеції (фактично, використовуючи метод інтегральних сум). Якщо функція приймає тільки невід'ємні значення, то площа під графіком функції на відрізку може бути обчислена за допомогою певного інтеграла. Зауважимо, що тому тут можна побачити і метод диференціалів.

Але функція може на певному відрізку приймати і негативні значення, тоді інтеграл по цьому відрізку буде давати негативну площа, що суперечить визначенню площі.

Можна обчислювати площу за формулоюS=. Це рівносильно зміни знака функції в тих областях, в яких вона набуває від'ємних значень.

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженої зверху графіком функції, а знизу графіком функції, то можна користуватися формулоюS= , так як .

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженою прямими x \u003d 0, x \u003d 2 і графіками функцій y \u003d x 2, y \u003d x 3.

Зауважимо, що на інтервалі (0,1) виконано нерівність x 2\u003e x 3, а при x\u003e 1 виконано нерівність x 3\u003e x 2. Тому

2. Фігура обмежена графіком функції, заданої в полярній системі координат.

Нехай графік функції заданий в полярній системі координат і ми хочемо обчислити площу криволінійного сектора, обмеженого двома променями і графіком функції в полярній системі координат.

Тут можна використовувати метод інтегральних сум, обчислюючи площа криволінійного сектора як межа суми площ елементарних секторів, в яких графік функції замінений дугою кола .

Можна використовувати і метод диференціалів: .

Міркувати можна так. Замінюючи елементарний криволінійний сектор, відповідний центральному куту круговим сектором, маємо пропорцію. Звідси . Інтегруючи і використовуючи формулу Ньютона - Лейбніца, отримуємо .

Приклад. Обчислимо площа кола (перевіримо формулу). Вважаємо. Площа круга дорівнює .

Приклад. Обчислимо площу, обмежену кардіоїд .

3 Фігура обмежена графіком функції, заданої параметрично.

Функція може бути задана параметрично у вигляді. використовуємо формулу S= , Підставляючи в неї і межі інтегрування за новою змінною. . Зазвичай при обчисленні інтеграла виділяють ті області, де підінтегральна функція має певний знак і враховують відповідну площу з тим чи іншим знаком.

Приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом.

Використовуємо симетрію еліпса, обчислимо площа чверті еліпса, що знаходиться в першому квадранті. У цьому квадраті. Тому.

Обчислення об'ємів тіл.

1. Обчислення об'ємів тіл по площах паралельних перетинів.

Нехай потрібно обчислити обсяг деякого тіла V по відомим площам перетинів цього тіла площинами, перпендикулярними прямий OX, проведеними через будь-яку точку x відрізка прямої OX.

Застосуємо метод диференціалів. Вважаючи елементарний об'єм, над відрізком обсягом прямого кругового циліндра з площею основи і висотою, отримаємо . Інтегруючи і застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца, отримаємо

2. Обчислення об'ємів тіл обертання.

Нехай потрібно обчислити OX.

тоді .

аналогічно, обсяг тіла обертання навколо осіOY, Якщо функція задана у вигляді, можна обчислити за формулою.

Якщо функція задана у вигляді і потрібно визначити обсяг тіла обертання навколо осіOY, То формулу для обчислення обсягу можна отримати наступним чином.

Переходячи до диференціалу і нехтуючи квадратичними членами, маємо . Інтегруючи і застосовуючи формулу Ньютона - Лейбніца, маємо.

Приклад. Знайти об'єм кулі.

Приклад. Обчислити обсяг прямого кругового конуса, обмеженого поверхнею і площиною.

Обчислимо обсяг, як обсяг тіла обертання, утвореного обертанням навколо осі OZ прямокутного трикутника в площині OXZ, катети якого лежать на осі OZ і прямий z \u003d H, а гіпотенуза лежить на прямій.

Висловлюючи x через z, отримаємо .

Обчислення довжини дуги.

Для того, щоб отримати формули для обчислення довжини дуги, згадаємо виведені в 1 семестрі формули для диференціала довжини дуги.

Якщо дуга являє собою графік безперервно диференціюється, Диференціал довжини дуги можна обчислити за формулою

. Тому

Якщо гладка дуга задана параметрично , то

. Тому .

Якщо дуга задана в полярній системі координат, то

. Тому .

Приклад. Обчислити довжину дуги графіка функції,. .

розділи: Математика

Тип уроку: комбінований.

Мета уроку: навчитися обчислювати обсяги тіл обертання за допомогою інтегралів.

завдання:

закріпити вміння виділяти криволінійні трапеції з ряду геометричних фігур і відпрацювати навички обчислень площ криволінійних трапецій;
познайомитися з поняттям об'ємної фігури;
навчитися обчислювати обсяги тіл обертання;
сприяти розвитку логічного мислення, грамотної математичної мови, акуратності при побудові креслень;
виховувати інтерес до предмету, до оперування математичними поняттями і образами, виховати волю, самостійність, наполегливість при досягненні кінцевого результату.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Привітання групи. Повідомлення учням цілей уроку.

Рефлексія. Спокійна мелодія.

- Сьогоднішній урок мені б хотілося почати з притчі. "Жив мудрець, який знав все. Одна людина захотів довести, що мудрець знає не все. Затиснувши в долонях метелика, він запитав: "Скажи, мудрець, яка метелик у мене в руках: мертва або жива?" А сам думає: "Скаже жива - я її умертвлено, скаже мертва - випущу". Мудрець, подумавши, відповів: "Все в твоїх руках". (Презентація.слайд)

- Тому давайте сьогодні плідно попрацюємо, придбаємо новий багаж знань, і отримані вміння та навички будемо застосовувати в подальшому житті і в практичній діяльності. "Все у ваших руках".

II. Повторення раніше вивченого матеріалу.

- Давайте згадаємо основні моменти раніше вивченого матеріалу. Для цього виконаємо завдання "Виключіть зайве слово".(Слайд.)

(Учень виходить до І.Д.с допомогою гумки прибирає зайве слово.)

- Правильно "Диференціал". Спробуйте залишилися слова назвати одним загальним словом. (Інтегральне числення.)

- Давайте згадаємо основні етапи та поняття пов'язані з інтегральним обчисленням ..

"Математична гроно".

Завдання. Відновіть пропуски. (Студент виходить і вписує ручкою необхідні слова.)

- Реферат про застосування інтегралів ми заслухаємо пізніше.

Робота в зошитах.

- Формулу Ньютона-Лейбніца вивели англійський фізик Ісаак Ньютон (1643-1727) і німецький філософ Готфріда Лейбніца (1646-1716). І це не дивно, адже математика - мова, якою говорить сама природа.

- Розглянемо, як при вирішенні практичних завдань використовується ця формула.

Приклад 1: Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

Рішення: Побудуємо на координатної площині графіки функцій . Виділимо площа фігури, яку треба знайти.

III. Вивчення нового матеріалу.

- Зверніть увагу на екран. Що зображено на першому малюнку? (Слайд) (На малюнку представлена \u200b\u200bплоска фігура.)

- Що зображено на другому малюнку? Чи є ця фігура плоскою? (Слайд) (На малюнку представлена \u200b\u200bоб'ємна фігура.)

- У космосі, на землі і в повсякденному житті ми зустрічаємося не тільки з плоскими фігурами, але і об'ємними, а як же обчислити об'єм таких тіл? Наприклад обсяг планети, КАМЕТ, метеорита, і т.д.

- Про обсяг замислюються і зводячи будинки, і переливаючи воду з однієї посудини в іншу. Правила і прийоми обчислення обсягів мали виникати, інша справа, наскільки вони були точні і обгрунтовані.

Повідомлення студентки. (Тюріна Віра.)

1612 рік був для жителів австрійського міста Лінц, де жив тоді відомий астроном Йоганн Кеплер дуже врожайним, особливо на виноград. Люди заготовляли винні бочки і хотіли знати, як практично визначити їх обсяги. (Слайд 2)

- Таким чином, розглянуті роботи Кеплера стали початком цілому потоку досліджень, увінчалися в останній чверті XVII ст. оформленням в працях І. Ньютона і Г.В. Лейбніца диференціального й інтегрального числення. Математика змінних велич зайняла з цього часу провідне місце в системі математичних знань.

- Ось сьогодні ми з вами і займемося такої практичною діяльністю, отже,

Тема нашого уроку: "Обчислення об'ємів тіл обертання за допомогою визначеного інтеграла". (Слайд)

- Визначення тіла обертання ви дізнаєтеся, виконавши наступне завдання.

"Лабіринт".

Лабіринт (грецьке слово) означає хід в підземелля. Лабиринт- заплутана мережа доріжок, ходів, сполучених один з одним приміщень.

Але визначення "розбилося", залишилися підказки у вигляді стрілок.

Завдання. Знайдіть вихід із заплутаного положення і запишіть визначення.

Слайд. "Карта інструктаж" Обчислення обсягів.

За допомогою певного інтеграла можна обчислити об'єм того чи іншого тіла, зокрема, тіла обертання.

Тілом обертання називається тіло, отримане обертанням криволінійної трапеції навколо її заснування (рис. 1, 2)

Обсяг тіла обертання обчислюється за однією з формул:

1. навколо осі ОХ.

2. , Якщо обертання криволінійної трапеції навколо осі ОУ.

Карту інструктаж отримує кожен студент. Викладач підкреслює основні моменти.

- Викладач пояснює рішення прикладів на дошці.

Розглянемо уривок з відомої казки А. С. Пушкіна "Казка про царя Салтана, про сина його славного й могутнього богатиря князя Гвидоне Салтановиче і про прекрасну царівну Лебеді" (Слайд 4):

…..
І привіз гонець хмільний
У той же день наказ такий:
"Цар велить своїм боярам,
Часу не витрачаючи даром,
І царицю і приплід
Таємно кинути в безодню вод ".
Нічого не вдієш: бояри,
Тугіше про государя
І цариці молодий,
У спальню до неї прийшли натовпом.
Оголосили царську волю -
Їй і синові злу долю,
Прочитали вголос указ,
І царицю в той же час
У бочку з сином посадили,
Засмолили, покотили
І пустили в окиян -
Так велів-де цар Салтан.

Якими ж повинен бути обсяг бочки, щоб в ній помістилися цариця і її син?

- Розглянемо наступні завдання

1. Знайти об'єм тіла, одержуваного обертанням навколо осі ординат криволінійної трапеції, обмеженою лініями: x 2 + y 2 \u003d 64, y \u003d -5, y \u003d 5, x \u003d 0.

Відповідь: 1163 cm 3 .

Знайти об'єм тіла, одержуваного обертанням параболічної трапеції, навколо осі абсцис y \u003d, x \u003d 4, y \u003d 0.

IV. Закріплення нового матеріалу

Приклад 2. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням пелюстки, навколо осі абсцис y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Побудуємо графіки функції. y \u003d x 2, y 2 \u003d x. Графік y 2 \u003d x перетворимо до виду y= .

маємо V \u003d V 1 - V 2 Обчислимо обсяг кожної функції

- Тепер, давайте, розглянемо вежу для радіостанції в Москві на Шаболовці, побудованої за проектом чудового російського інженера, почесного академіка В. Г. Шухова. Вона складається з двох частин - гіперболоїдів обертання. Причому, кожен з них виготовлений з прямолінійних металевих стрижнів, що з'єднують сусідні кола (рис.8, 9).

- Розглянемо задачу.

Знайти об'єм тіла, одержуваного обертанням дуг гіперболи навколо її уявної осі, як показано на рис. 8, де

куб. од.

Завдання по групах. Учні витягають жереб із завданнями, малюнки виконують на ватмані, один з представників групи захищає роботу.

1-я група.

Удар! Удар! Ще удар!
Летить у ворота м'ячик - КУЛЯ!
А це-куля кавуновий
Зелений, круглий, смачний.
Вдивіться краще - кулю який!
Він зроблений з одних кіл.
Розріжте на круги кавун
І їх спробуйте на смак.

Знайти об'єм тіла, одержуваного обертанням навколо осі ОХ функції, обмежену

Помилка! Закладка не визначена.

- Скажіть, будь ласка, де ми зустрічаємося з цією фігурою?

Дім. завдання для 1 групи. ЦИЛИНДР (Слайд) .

"Циліндр - що таке?" - запитав я у тата.
Батько розсміявся: Циліндр - це капелюх.
Щоб мати уявлення вірне,
Циліндр, скажімо так, це банку консервна.
Труба пароплава - циліндр,
Труба на нашому даху - теж,

Всі труби на циліндр схожі.
А я навів приклад такої -
Калейдоскоп улюблений мій,
Око від нього не відірвеш,
І теж на циліндр схожий.

- Завдання. Домашня робота скласти графік функції і обчислити об'єм.

2-я група. КОНУС (Слайд).

Сказала мама: А зараз
Про конус буде моя розповідь.
У високій шапці звіздар
Вважає зірки круглий рік.
КОНУС - капелюх Звіздаря.
Ось який він. Зрозумів? Ото ж бо.
Мама біля столу стояла,
У пляшки масло розливала.
- Де воронка? Немає воронки.
Пошукай. Не стій осторонь.
- Мама, з місця я не вирушу,
Розкажи ще про конус.
- Воронка і є у вигляді конуса лійка.
Ну-ка, знайди мені її скоріше-ка.
Воронку я знайти не зміг,
Але мама зробила кульок,
Картон кругом пальця обкрутити
І спритно скріпкою закріпила.
Масло ллється, мама рада,
Конус вийшов те, що треба.

Завдання. Обчислити обсяг тіла отриманий обертанням навколо осі абсцис

Дім. завдання для 2-ї групи. ПІРАМІДА (Слайд).

Я бачив картину. На цій картині
Варто ПІРАМІДА в піщаній пустелі.
Все в піраміді надзвичайно,
Якась є в ній загадка і таємниця.
А Спаська вежа на площі Червоної
І дітям, і дорослим знайома прекрасно.
Подивишся на вежу - звичайна на вигляд,
А що на вершині у ній? Піраміда!

Завдання. Домашня робота скласти графік функції і обчислити об'єм піраміди

- Обсяги різних тел ми вираховували спираючись на основну формулу обсягів тіл за допомогою інтеграла.

Це є ще одним підтвердженням того, що певний інтеграл є певний фундамент для вивчення математики.

- Ну а тепер давайте трохи відпочинемо.

Знайди пару.

Математичне доміно мелодія грає.

"Дорога та, що сам шукав, повік не забудеться ..."

Дослідницька робота. Застосування інтеграла в економіці і техніці.

Тести для сильних учнів і математичний футбол.

Математичний тренажер.

2. Сукупність всіх первісних від даної функції називається

А) невизначеним інтегралом,

Б) функцією,

В) диференціацією.

7. Знайти об'єм тіла, одержуваного обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженою лініями:

Д / З. Обчислити обсяги тіл обертання.

Рефлексія.

Прийом рефлексії в формі сінквейна (Пятістішия).

1-й рядок - назва теми (один іменник).

2-й рядок - опис теми в двох словах, два прикметників.

3-тя рядок - опис дії в рамках цієї теми трьома словами.

4-й рядок - фраза їх чотирьох слів, показує ставлення до теми (ціле речення).

5-й рядок - синонім, який повторює суть теми.

Об `єм.
Визначений інтеграл, інтегрована функція.
Будуємо, обертаємо, обчислюємо.
Тіло, отримане обертанням криволінійної трапеції (навколо її заснування).
Тіло обертання (об'ємне геометричне тіло).

висновок (Слайд).

Визначений інтеграл - це деякий фундамент для вивчення математики, яка вносить незамінний внесок в рішення задач практичного змісту.
Тема "Інтеграл" яскраво демонструє зв'язок математики з фізикою, біологією, економікою і технікою.
Розвиток сучасної науки немислимо без використання інтеграла. У зв'язку з цим, починати його вивчення необхідно в рамках середньо спеціальної освіти!

Виставляння оцінок. (З коментуванням.)

Великий Омар Хайям - математик, поет, філософ. Він закликає бути господарями своєї долі. Слухаємо уривок з його твору:

Ти скажеш, це життя - одну мить.
Її цінуй, в ній черпай натхнення.
Як проведеш її, так і пройде.
Не забувай: вона - твоє творіння.

Знайдемо обсяг тіла, породженого обертанням арки циклоїди навколо її заснування. Роберваль знаходив його, розбивши отримане яйцеподібний тіло (рис. 5.1) на нескінченно тонкі шари, вписавши в ці шари циліндрики і склавши їх обсяги. Доказ вийшло довге, виснажливе і недостатньо суворе. Тому для його обчислення звернемося до вищої математики. Задамо рівняння циклоїди параметрически.

В інтегральному численні при вивченні обсягів користується таким зауваженням:

Якщо крива, що обмежує криволінійну трапецію задана параметричними рівняннями і функції в цих рівняннях задовольняють умовам теореми про заміну змінної в певному інтегралі, то об'єм тіла обертання трапеції навколо осі Ох, буде обчислюватися за формулою:

Скористаємося цією формулою для знаходження потрібного нам обсягу.

Таким же чином обчислимо і поверхня цього тіла.

L \u003d ((x, y): x \u003d a (t - sin t), y \u003d a (1 - cost), 0? T? 2р)

В інтегральному численні існує наступна формула для знаходження площі поверхні тіла обертання навколо осі х кривої, заданої на відрізку параметрически (t 0? T? T 1):

Застосовуючи цю формулу для нашого рівняння циклоїди отримуємо:

Розглянемо також іншу поверхню, породжену обертанням арки циклоїди. Для цього побудуємо дзеркальне відображення арки циклоїди щодо її заснування, і овальну фігуру, утворену циклоїдою і її відображенням будемо обертати навколо осі KT (рис. 5.2)

Спочатку знайдемо обсяг тіла, утвореного обертанням арки циклоїди навколо осі KT. Його обсяг будемо обчислювати за формулою (*):

Таким чином, ми порахували обсяг половини даного репообразного тіла. Тоді весь обсяг буде дорівнює