Як знайти складну функцію. Складна функція. Похідна складної функції. Складні похідні. Логарифмічна похідна. Похідна статечно-показовою функції

На даному уроці ми навчимося знаходити похідну складної функції. Урок є логічним продовженням заняття Як знайти похідну?, На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомилися з правилами диференціювання і деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти даної статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищевказаним уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад - матеріал не з простих, але я все-таки спробую викласти його просто і доступно.

На практиці з похідною складної функції доводиться стикатися дуже часто, я б навіть сказав, майже завжди, коли Вам дано завдання на знаходження похідних.

Дивимося в таблицю на правило (№5) диференціювання складної функції:

Розбираємося. Перш за все, звернемо увагу на запис. Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.

Функцію я буду називати зовнішньої функцією, А функцію - внутрішньої (або вкладеної) функцією.

! Дані визначення не є теоретичними і не повинні фігурувати в чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази «зовнішня функція», «внутрішня» функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.

Для того, щоб прояснити ситуацію, розглянемо:

приклад 1

Знайти похідну функції

Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираз, тому знайти похідну відразу по таблиці не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але справа в тому, що «розривати на частини» синус не можна:

В даному прикладі вже з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція - це складна функція, причому многочлен є внутрішньою функцією (вкладенням), а - зовнішньої функцією.

Перший крок, Який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка - зовнішньої.

У разі простих прикладів начебто зрозуміло, що під синус вкладений многочлен. А як же бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньої? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити в думках або на чернетці.

Уявімо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу при (замість одиниці може бути будь-яке число).

Що ми обчислимо в першу чергу? В першу чергу потрібно буде виконати наступну дію:, тому многочлен і буде внутрішньою функцією:

У другу чергу потрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньої функцією:

Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯ з внутрішньої і зовнішньої функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції.

Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну? ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - робимо висновок вираз в дужки і ставимо справа вгорі штрих:

спочатку знаходимо похідну зовнішньої функції (синуса), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що. Всі табличні формули застосовні і в тому, випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:

Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.

Ну і зовсім очевидно, що

Результат застосування формули в чистовому оформленні виглядає так:

Постійний множник зазвичай виносять в початок вирази:

Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і ще раз прочитайте пояснення.

приклад 2

Знайти похідну функції

приклад 3

Знайти похідну функції

Як завжди записуємо:

Розбираємося, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при. Що потрібно виконати в першу чергу? В першу чергу потрібно порахувати чому дорівнює підставу:, значить, многочлен - і є внутрішня функція:

І, тільки потім виконується зведення в ступінь, отже, статечна функція - це зовнішня функція:

Відповідно до формули, спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, в даному випадку, від ступеня. Розшукуємо в таблиці потрібну формулу:. Повторюємо ще раз: будь-яка табличная формула справедлива не тільки для «ікс», а й для складного виразу. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється:

Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «причесати» результат:

приклад 4

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

Для закріплення розуміння похідною складної функції приведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і де внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?

приклад 5

а) Знайти похідну функції

б) Знайти похідну функції

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут у нас корінь, а для того, щоб продифференцировать корінь, його потрібно представити у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вид:

Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків - це внутрішня функція, а спорудження до рівня - зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції:

Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:

Готово. Можна ще в дужках привести вираз до спільного знаменника і записати все однієї дробом. Красиво, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні - краще цього не робити (легко заплутатися, допустити непотрібну помилку, та й викладачеві буде незручно перевіряти).

приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило диференціювання приватного , Але таке рішення буде виглядати як перекручення забавно. Ось характерний приклад:

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна використовувати правило диференціювання приватного , Але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:

Готуємо функцію для диференціювання - виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо в чисельник:

Косинус - внутрішня функція, зведення в ступінь - зовнішня функція.
Використовуємо наше правило:

Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад вниз:

Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися в знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила , Відповіді повинні співпасти.

приклад 9

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

До сих пір ми розглядали випадки, коли у нас в складній функції було тільки одне вкладення. У практичних же завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.

приклад 10

Знайти похідну функції

Розбираємося у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми вважали на калькуляторі?

Спочатку потрібно знайти, значить, арксинус - найглибше вкладення:

Потім цей арксинус одиниці слід звести в квадрат:

І, нарешті, сімку зводимо в ступінь:

Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому, самої внутрішньою функцією є арксинус, а самої зовнішньої функцією - показова функція.

починаємо вирішувати

Згідно з правилом спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показовою функції: Єдина відмінність - замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Під штрихом у нас знову складна функція! Але вона вже простіше. Легко переконатися, що внутрішня функція - арксинус, зовнішня функція - ступінь. Згідно з правилом диференціювання складної функції спочатку потрібно взяти похідну від ступеня.

І теорему про похідну складної функції, формулювання якої така:

Нехай 1) функція $ u \u003d \\ varphi (x) $ має в деякій точці $ x_0 $ похідну $ u_ (x) "\u003d \\ varphi" (x_0) $, 2) функція $ y \u003d f (u) $ має у відповідній точці $ u_0 \u003d \\ varphi (x_0) $ похідну $ y_ (u) "\u003d f" (u) $. Тоді складна функція $ y \u003d f \\ left (\\ varphi (x) \\ right) $ в згаданій точці також матиме похідну, що дорівнює добутку похідних функцій $ f (u) $ і $ \\ varphi (x) $:

$$ \\ left (f (\\ varphi (x)) \\ right) "\u003d f_ (u)" \\ left (\\ varphi (x_0) \\ right) \\ cdot \\ varphi "(x_0) $$

або, в більш короткій записи: $ y_ (x) "\u003d y_ (u)" \\ cdot u_ (x) "$.

У прикладах цього розділу всі функції мають вигляд $ y \u003d f (x) $ (тобто розглядаємо лише функції однієї змінної $ x $). Відповідно, у всіх прикладах похідна $ y "$ береться за змінної $ x $. Щоб підкреслити те, що похідна береться за змінної $ x $, часто замість $ y" $ пишуть $ y "_x $.

У прикладах №1, №2 та №3 викладено детальний процес знаходження похідної складних функцій. Приклад №4 призначений для більш повного розуміння таблиці похідних та з ним має сенс ознайомитися.

Бажано після вивчення матеріалу в прикладах №1-3 перейти до самостійного вирішення прикладів №5, №6 та №7. Приклади №5, №6 і №7 містять короткий рішення, щоб читач міг перевірити правильність свого результату.

приклад №1

Знайти похідну функції $ y \u003d e ^ (\\ cos x) $.

Нам потрібно знайти похідну складної функції $ y "$. Так як $ y \u003d e ^ (\\ cos x) $, то $ y" \u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ right) "$. Щоб знайти похідну $ \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ right) "$ використовуємо формулу №6 з таблиці похідних. Щоб використовувати формулу №6 потрібно врахувати, що в нашому випадку $ u \u003d \\ cos x $. Подальше рішення полягає в банальній підстановці в формулу №6 вираження $ \\ cos x $ замість $ u $:

$$ y "\u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ right)" \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (\\ cos x) "\\ tag (1.1) $$

Тепер потрібно знайти значення виразу $ (\\ cos x) "$. Знову звертаємося до таблиці похідних, вибираючи з неї формулу №10. Підставляючи $ u \u003d x $ в формулу №10, маємо: $ (\\ cos x)" \u003d - \\ $$ y "\u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ right)" \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (\\ cos x) "\u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (- \\ sin x \\ cdot x ") \\ tag (1.2) $$

Так як $ x "\u003d 1 $, то продовжимо рівність (1.2):

$$ y "\u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ right)" \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (\\ cos x) "\u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (- \\ sin x \\ cdot x ") \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (- \\ sin x \\ cdot 1) \u003d - \\ sin x \\ cdot e ^ (\\ cos x) \\ tag (1.3) $$

Отже, з рівності (1.3) маємо: $ y "\u003d - \\ sin x \\ cdot e ^ (\\ cos x) $. Природно, що пояснення і проміжні рівності зазвичай пропускають, записуючи знаходження похідної в один рядок, - як в рівність ( 1.3). Отже, похідна складної функції знайдена, залишилося лише записати відповідь.

відповідь

: $ Y "\u003d - \\ sin x \\ cdot e ^ (\\ cos x) $.приклад №2

Знайти похідну функції $ y \u003d 9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) $.

Нам необхідно обчислити похідну $ y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right)" $. Для початку зазначимо, що константу (тобто число 9) можна винести за знак похідної:

$$ y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right)" \u003d 9 \\ cdot \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) "\\ tag (2.1) $$

Тепер звернемося до вираження $ \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) "$. Щоб вибрати потрібну формулу з таблиці похідних було легше, я представлю розглядається вираз в такому вигляді: $ \\ left ( \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) ^ (12) \\ right) "$. Тепер видно, що необхідно використовувати формулу №2, тобто $ \\ Left (u ^ \\ alpha \\ right) "\u003d \\ alpha \\ cdot u ^ (\\ alpha-1) \\ cdot u" $. У цю формулу підставимо $ u \u003d \\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x) $ і $ \\ alpha \u003d 12 $:

Доповнюючи рівність (2.1) отриманим результатом, маємо:

$$ y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right)" \u003d 9 \\ cdot \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) "\u003d 108 \\ cdot \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) ^ (11) \\ cdot (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x))" \\ tag (2.2) $$

У цій ситуації часто допускається помилка, коли вирішувач на першому кроці вибирає формулу $ (\\ arctg \\; u) "\u003d \\ frac (1) (1 + u ^ 2) \\ cdot u" $ замість формули $ \\ left (u ^ \\ Справа в тому, що першою повинна знаходитися похідна зовнішньої функції. Щоб зрозуміти, яка саме функція буде зовнішньої для вираження $ \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot 5 ^ x) $, уявіть, що ви вважаєте значення виразу $ \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot 5 ^ x) $ при якомусь значенні $ x $. Спочатку ви порахуєте значення $ 5 ^ x $, потім помножите результат на 4, отримавши $ 4 \\ cdot 5 ^ x $. Тепер від цього результату беремо арктангенс, отримавши $ \\ arctg (4 \\ cdot 5 ^ x) $. Потім будуємо отримане число в дванадцяту ступінь, отримуючи $ \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot 5 ^ x) $. Остання дія, - тобто піднесення до степеня 12, - і буде зовнішньої функцією. І саме з неї слід починати знаходження похідної, що і було зроблено в рівність (2.2).

Тепер потрібно знайти $ (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x)) "$. Використовуємо формулу №19 таблиці похідних, підставивши в неї $ u \u003d 4 \\ cdot \\ ln x $:

$$ (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x)) "\u003d \\ frac (1) (1 + (4 \\ cdot \\ ln x) ^ 2) \\ cdot (4 \\ cdot \\ ln x)" $$

Трохи спростимо отриманий вираз, з огляду на $ (4 \\ cdot \\ ln x) ^ 2 \u003d 4 ^ 2 \\ cdot (\\ ln x) ^ 2 \u003d 16 \\ cdot \\ ln ^ 2 x $.

$$ (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x)) "\u003d \\ frac (1) (1 + (4 \\ cdot \\ ln x) ^ 2) \\ cdot (4 \\ cdot \\ ln x)" \u003d \\ frac ( 1) (1 + 16 \\ cdot \\ ln ^ 2 x) \\ cdot (4 \\ cdot \\ ln x) "$$

Рівність (2.2) тепер стане таким:

$$ y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right)" \u003d 9 \\ cdot \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) "\u003d \\\\ \u003d 108 \\ cdot \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) ^ (11) \\ cdot (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x))" \u003d 108 \\ cdot \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x) \\ right) ^ (11) \\ cdot \\ frac (1) (1 + 16 \\ cdot \\ ln ^ 2 x) \\ cdot (4 \\ cdot \\ ln x) " \\ tag (2.3) $$

Залишилося знайти $ (4 \\ cdot \\ ln x) "$. Винесемо константу (тобто 4) за знак похідної: $ (4 \\ cdot \\ ln x)" \u003d 4 \\ cdot (\\ ln x) "$. Для того, щоб знайти $ (\\ ln x) "$ використовуємо формулу №8, підставивши в неї $ u \u003d x $: $ (\\ ln x)" \u003d \\ frac (1) (x) \\ cdot x "$. Так як $ x "\u003d 1 $, то $ (\\ ln x)" \u003d \\ frac (1) (x) \\ cdot x "\u003d \\ frac (1) (x) \\ cdot 1 \u003d \\ frac (1) (x ) $. Підставивши отриманий результат в формулу (2.3), отримаємо:

Нагадаю, що похідна складної функції найчастіше знаходиться в один рядок, - як записано в останній рівності. Тому при оформленні типових розрахунків або контрольних робіт зовсім не обов'язково розписувати рішення настільки ж докладно.

: $ Y "\u003d - \\ sin x \\ cdot e ^ (\\ cos x) $.: $ Y "\u003d 432 \\ cdot \\ frac (\\ arctg ^ (11) (4 \\ cdot \\ ln x)) (x \\ cdot (1 + 16 \\ cdot \\ ln ^ 2 x)) $.

приклад №3

Знайти $ y "$ функції $ y \u003d \\ sqrt (\\ sin ^ 3 (5 \\ cdot9 ^ x)) $.

Для початку трохи перетворимо функцію $ y $, висловивши радикал (корінь) у вигляді ступеня: $ y \u003d \\ sqrt (\\ sin ^ 3 (5 \\ cdot9 ^ x)) \u003d \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (\\ frac (3) (7)) $. Тепер приступимо до знаходження похідної. Так як $ y \u003d \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (\\ frac (3) (7)) $, то:

$$ y "\u003d \\ left (\\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (\\ frac (3) (7)) \\ right)" \\ tag (3.1) $$

Використовуємо формулу №2 з таблиці похідних, підставивши в неї $ u \u003d \\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) $ і $ \\ alpha \u003d \\ frac (3) (7) $:

$$ \\ left (\\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (\\ frac (3) (7)) \\ right) "\u003d \\ frac (3) (7) \\ cdot \\ left ( \\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (\\ frac (3) (7) -1) (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\u003d \\ frac (3) (7) \\ cdot \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (- \\ frac (4) (7)) (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "$$

Продовжимо рівність (3.1), використовуючи отриманий результат:

Тепер потрібно знайти $ (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "$. Використовуємо для цього формулу №9 з таблиці похідних, підставивши в неї $ u \u003d 5 \\ cdot 9 ^ x $:

$$ (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\u003d \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot (5 \\ cdot 9 ^ x)" $$

Доповнивши рівність (3.2) отриманим результатом, маємо:

Залишилося знайти $ (5 \\ cdot 9 ^ x) "$. Для початку винесемо константу (число $ 5 $) за знак похідної, тобто $ (5 \\ cdot 9 ^ x)" \u003d 5 \\ cdot (9 ^ x) "$. Для знаходження похідної $ (9 ^ x)" $ застосуємо формулу №5 таблиці похідних, підставивши в неї $ a \u003d 9 $ і $ u \u003d x $: $ (9 ^ x) "\u003d 9 ^ x \\ cdot \\ Так як $ x "\u003d 1 $, то $ (9 ^ x)" \u003d 9 ^ x \\ cdot \\ ln9 \\ cdot x "\u003d 9 ^ x \\ cdot \\ ln9 $. Тепер можна продовжити рівність (3.3):

$$ y "\u003d \\ left (\\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (\\ frac (3) (7)) \\ right)" \u003d \\ frac (3) (7) \\ cdot \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (- \\ frac (4) (7)) (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\u003d \\\\ \u003d \\ frac (3) (7) \\ cdot \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (- \\ frac (4) (7)) \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot (5 \\ cdot 9 ^ x) "\u003d \\ frac (3) (7) \\ cdot \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (- \\ frac (4) (7)) \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot 5 \\ cdot 9 ^ x \\ cdot \\ ln9 \u003d \\\\ \u003d \\ frac (15 \\ cdot \\ ln 9) (7) \\ cdot \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (- \\ frac (4) (7)) \\ cdot \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot 9 ^ x. $$

Можна знову від ступенів повернутися до радикалам (тобто коріння), записавши $ \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (- \\ frac (4) (7)) $ в вигляді $ \\ cdot 9 ^ x))) $. Тоді похідна буде записана в такій формі:

$$ y "\u003d \\ frac (15 \\ cdot \\ ln 9) (7) \\ cdot \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ right) ^ (- \\ frac (4) (7)) \\ cdot \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot 9 ^ x \u003d \\ frac (15 \\ cdot \\ ln 9) (7) \\ cdot \\ frac (\\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot 9 ^ x) (\\ sqrt (\\ sin ^ 4 (5 \\ cdot 9 ^ x))). $$

: $ Y "\u003d - \\ sin x \\ cdot e ^ (\\ cos x) $.: $ Y "\u003d \\ frac (15 \\ cdot \\ ln 9) (7) \\ cdot \\ frac (\\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot 9 ^ x) (\\ sqrt (\\ sin ^ 4 (5 \\ приклад №4

Показати, що формули №3 і №4 таблиці похідних є окремий випадок формули №2 цієї таблиці.

У формулі №2 таблиці похідних записана похідна функції $ u ^ \\ alpha $. Підставляючи $ \\ alpha \u003d -1 $ в формулу №2, отримаємо:

$$ (u ^ (- 1)) "\u003d - 1 \\ cdot u ^ (- 1-1) \\ cdot u" \u003d - u ^ (- 2) \\ cdot u "\\ tag (4.1) $$

Так як $ u ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (u) $ і $ u ^ (- 2) \u003d \\ frac (1) (u ^ 2) $, то рівність (4.1) можна переписати так: $ \\ left (\\ frac (1) (u) \\ right) "\u003d - \\ frac (1) (u ^ 2) \\ cdot u" $. Це і є формула №3 таблиці похідних.

Знову звернімося до формули №2 таблиці похідних. Підставами в неї $ \\ alpha \u003d \\ frac (1) (2) $:

$$ \\ left (u ^ (\\ frac (1) (2)) \\ right) "\u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot u ^ (\\ frac (1) (2) -1) \\ cdot u" \u003d \\ frac (1) (2) u ^ (- \\ frac (1) (2)) \\ cdot u "\\ tag (4.2) $$

Так як $ u ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d \\ sqrt (u) $ і $ u ^ (- \\ frac (1) (2)) \u003d \\ frac (1) (u ^ (\\ frac ( 1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (u)) $, то рівність (4.2) можна переписати в такому вигляді:

$$ (\\ sqrt (u)) "\u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt (u)) \\ cdot u" \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (u) ) \\ cdot u "$$

Отримане рівність $ (\\ sqrt (u)) "\u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (u)) \\ cdot u" $ і є формула №4 таблиці похідних. Як бачите, формули №3 і №4 таблиці похідних виходять з формули №2 підстановкою відповідного значення $ \\ alpha $.

Якщо йти за визначенням, то похідна функції в точці - це границя відношення приросту функції Δ y до приросту аргументу Δ x:

Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x. Якщо все робити за визначенням, то через пару сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші й ефективніші способи.

Для початку зауважимо, що з усього різноманіття функцій можна виділити так звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені і занесені в таблицю. Такі функції досить просто запам'ятати - разом з їх похідними.

Похідні елементарних функцій

Елементарні функції - це все, що перераховано нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше що завчити їх зовсім нескладно - на те вони і елементарні.

Отже, похідні елементарних функцій:

Назва	функція	похідна
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (так-так, нуль!)
Ступінь з раціональним показником	f(x) = x n	n · x n − 1
синус	f(x) \u003d Sin x	cos x
косинус	f(x) \u003d Cos x	- sin x (Мінус синус)
тангенс	f(x) \u003d Tg x	1 / cos 2 x
котангенс	f(x) \u003d Ctg x	- 1 / sin 2 x
натуральний логарифм	f(x) \u003d Ln x	1/x
довільний логарифм	f(x) \u003d Log a x	1/(x · ln a)
показова функція	f(x) = e x	e x (нічого не змінилося)

Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції теж легко вважається:

(C · f)’ = C · f ’.

Загалом, константи можна виносити за знак похідної. наприклад:

(2x 3) '\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 · 3 x 2 = 6x 2 .

Очевидно, елементарні функції можна складати один з одним, множити, ділити - і багато іншого. Так з'являться нові функції, вже не особливо елементарні, але теж диференціюються за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.

Похідна суми і різниці

Нехай дано функції f(x) і g(x), Похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, які розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми і різниці цих функцій:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго кажучи, в алгебрі не існує поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − g можна переписати як суму f + (-1) · g, І тоді залишиться лише одна формула - похідна суми.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2) '+ (sin x)’ = 2x + Cos x;

Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там вже три доданків (з точки зору алгебри):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

відповідь:
f ’(x) = 2x + Cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

похідна твори

Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"\u003e Дорівнює добутку похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула нескладна, але її часто забувають. І не тільки школярі, а й студенти. Результат - неправильно вирішені завдання.

Завдання. Знайти похідні функцій: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x - 7) · e x .

функція f(x) Являє собою добуток двох елементарних функцій, тому все просто:

f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3) '· cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (- sin x) = x 2 · (3cos x − x · sin x)

У функції g(x) Перший множник трохи складніша, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) Являє собою многочлен, і його похідна - це похідна суми. маємо:

g ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) · e x)’ = (x 2 + 7x - 7) '· e x + (x 2 + 7x - 7) · ( e x)’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x - 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x + 9) · e x .

відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e x .

Зверніть увагу, що на останньому кроці похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, однак більшість похідних обчислюються не самі по собі, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна буде прирівнюватися до нуля, будуть з'ясовуватися її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладене на множники.

Якщо є дві функції f(x) і g(x), Причому g(x) ≠ 0 на який нас цікавить безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції теж можна знайти похідну:

Неслабо, так? Звідки взявся мінус? чому g 2? А ось так! Це одна з найскладніших формул - без пляшки не розберешся. Тому краще вивчати її на конкретних прикладах.

Завдання. Знайти похідні функцій:

У чисельнику і знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно - це формула похідної приватного:

За традицією, розкладемо чисельник на множники - це значно спростить відповідь:

Складна функція - це не обов'язково формула довжиною в півкілометра. Наприклад, досить взяти функцію f(x) \u003d Sin x і замінити змінну x, Скажімо, на x 2 + ln x. вийде f(x) \u003d Sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. У неї теж є похідна, однак знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.

Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:

f ’(x) = f ’(t) · t ', Якщо x замінюється на t(x).

Як правило, з розумінням цієї формули справи ще більш сумно, ніж з похідною приватного. Тому її теж краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.

Завдання. Знайти похідні функцій: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) \u003d Sin ( x 2 + ln x)

Зауважимо, що якщо в функції f(x) Замість виразу 2 x + 3 буде просто x, То вийде елементарна функція f(x) = e x . Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t . Шукаємо похідну складної функції за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

А тепер - увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x + 3. Отримаємо:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 \u003d 2 · e 2x + 3

Тепер розберемося з функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. маємо:

g ’(x) = g ’(t) · t '\u003d (Sin t)’ · t '\u003d Cos t · t ’

Зворотній заміна: t = x 2 + ln x. тоді:

g ’(x) \u003d Cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '\u003d Cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

От і все! Як видно з останнього виразу, вся задача звелася до обчислення похідної суми.

відповідь:
f ’(x) \u003d 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · Cos ( x 2 + ln x).

Дуже часто на своїх уроках замість терміна «похідна» я використовую слово «штрих». Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.

Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення від цих самих штрихів за правилами, розглянутим вище. Як останній приклад повернемося до похідної ступеня з раціональним показником:

(x n)’ = n · x n − 1

Мало хто знає, що в ролі n цілком може виступати дробове число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, якщо під коренем буде стояти щось неймовірне? Знову вийде складна функція - такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.

Завдання. Знайти похідну функції:

Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) '· t '\u003d 0,5 · t -0,5 · t ’.

Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x - 7. Маємо:

f ’(x) \u003d 0,5 · ( x 2 + 8x - 7) -0,5 · ( x 2 + 8x - 7) '\u003d 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Нарешті, повертаємося до коренів:

Раз ти зайшов сюди, то вже, напевно, встиг побачити в підручнику цю формулу

і зробити ось таку особу:

Друг, не переживай! Насправді все просто до неподобства. Ти обов'язково все зрозумієш. Тільки одне прохання - прочитай статтю не кваплячись, Старайся зрозуміти кожен крок. Я писав максимально просто і наочно, але вникнути в ідею все одно треба. І обов'язково виріши завдання зі статті.

Що таке складна функція?

Уяви, що ти переїжджаєш в іншу квартиру і тому збираєш речі у великі коробки. Нехай треба зібрати якісь дрібні предмети, наприклад, шкільне письмове приладдя. Якщо просто скидати їх в величезну коробку, то вони загубляться серед інших речей. Щоб цього уникнути, ти спочатку кладеш їх, наприклад, в пакет, який потім укладаєш у велику коробку, після чого її запечатують. Цей "складний" процес представлений на схемі нижче:

Здавалося б, до чого тут математика? Та при тому, що складна функція формується ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Тільки «пакуємо» ми не зошити і ручки, а \\ (x \\), при цьому «пакетами» і «коробками» служать різні.

Наприклад, візьмемо x і «запакуємо» його в функцію:

В результаті отримаємо, ясна річ, \\ (\\ cos\u2061x \\). Це наш «пакет з речами». А тепер кладемо його в «коробку» - запаковуємо, наприклад, в кубічну функцію.

Що вийде в результаті? Так, вірно, буде «пакет з речами в коробці», тобто «косинус ікси в кубі».

Конструкція, і є складна функція. Вона відрізняється від простої тим, що до одного Іксу застосовується КІЛЬКА «впливів» (упаковок) поспіль і виходить як би «функція від функції» - «упаковка в упаковці».

У шкільному курсі видів цих самих «упаковок» зовсім мало, всього чотири:

Давай тепер «спакуємо» ікс спочатку в показову функцію з основою 7, а потім в тригонометричну функцію. отримаємо:

\\ (X → 7 ^ x → tg\u2061 (7 ^ x) \\)

А тепер «спакуємо» ікс два рази в тригонометричні функції, спочатку в, а потім в:

\\ (X → sin\u2061x → ctg\u2061 (sin\u2061x) \\)

Просто, правда?

Напиши тепер сам функції, де ікс:
- спочатку «упаковується» в косинус, а потім в показову функцію з основою \\ (3 \\);
- спочатку в п'яту ступінь, а потім в тангенс;
- спочатку в логарифм за основою \\ (4 \\) , Потім в ступінь \\ (- 2 \\).

Відповіді на це завдання подивися в кінці статті.

А чи можемо ми «упакувати» ікс не два, а три рази? Да без проблем! І чотири, і п'ять, і двадцять п'ять разів. Ось, наприклад, функція, в якій ікс «упакований» \\ (4 \\) рази:

\\ (Y \u003d 5 ^ (\\ log_2\u2061 (\\ sin\u2061 (x ^ 4))) \\)

Але такі формули в шкільній практиці не зустрінуться (студентам пощастило більше - у них може бути і посложнее☺).

«Розпакування» складної функції

Подивися на попередню функцію ще раз. Чи зможеш ти розібратися в послідовності «упаковки»? У що ікс запхали спочатку, у що потім і так далі до самого кінця. Тобто - яка функція вкладена в яку? Візьми листок і запиши, як ти вважаєш. Можна зробити це ланцюжком зі стрілками як ми писали вище або будь-яким іншим способом.

Тепер правильну відповідь: спочатку ікс «упакували» в \\ (4 \\) - ую ступінь, потім результат упакували в синус, його в свою чергу помістили в логарифм за основою \\ (2 \\), і врешті-решт всю цю конструкцію засунули в ступінь п'ятірки.

Тобто розмотувати послідовність треба В ЗВОРОТНОМУ ПОРЯДКУ. І тут підказка як це робити простіше: відразу дивись на ікс - від нього і треба танцювати. Давай розберемо кілька прикладів.

Наприклад, ось така функція: \\ (y \u003d tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\). Дивимося на ікс - що з ним відбувається спочатку? Береться від нього. А потім? Береться тангенс від результату. Ось і послідовність буде така ж:

\\ (X → \\ log_2\u2061x → tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\)

Ще приклад: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\). Аналізуємо - спочатку ікс звели в куб, а потім від результату взяли косинус. Значить, послідовність буде: \\ (x → x ^ 3 → \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\). Зверни увагу, функція начебто схожа на найпершу (там, де з картинками). Але це зовсім інша функція: тут в кубі ікс (тобто \\ (\\ cos\u2061 ((x · x · x))) \\), а там в кубі косинус \\ (x \\) (тобто, \\ (\\ cos\u2061 x · \\ cos\u2061x · \\ cos\u2061x \\)). Ця різниця виникає через різні послідовностей «упаковки».

Останній приклад (з важливою інформацією в ньому): \\ (y \u003d \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\). Зрозуміло, що тут спочатку зробили арифметичні дії з іксом, потім від результату взяли синус: \\ (x → 2x + 5 → \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\). І це важливий момент: незважаючи на те, що арифметичні дії функціями самі по собі не є, тут вони теж виступають як спосіб «упаковки». Давай трохи заглибимося в цю тонкість.

Як я вже говорив вище, в простих функціях ікс «упаковується» один раз, а в складних - два і більше. При цьому будь-яка комбінація простих функцій (тобто їх сума, різниця, множення або ділення) - теж проста функція. Наприклад, \\ (x ^ 7 \\) - проста функція і \\ (ctg x \\) - теж. Значить і всі їх комбінації є простими функціями:

\\ (X ^ 7 + ctg x \\) - проста,
\\ (X ^ 7 · ctg x \\) - проста,
\\ (\\ Frac (x ^ 7) (ctg x) \\) - проста і т.д.

Однак якщо до такої комбінації застосувати ще одну функцію - буде вже складна функція, так як «упаковок» стане дві. Дивись схему:

Добре, давай тепер сам. Напиши послідовність «загортання» функцій:
\\ (Y \u003d cos (\u2061 (sin\u2061x)) \\)
\\ (Y \u003d 5 ^ (x ^ 7) \\)
\\ (Y \u003d arctg\u2061 (11 ^ x) \\)
\\ (Y \u003d log_2\u2061 (1 + x) \\)
Відповіді знову в кінці статті.

Внутрішня і зовнішня функції

Навіщо ж нам потрібно розбиратися у вкладеності функцій? Що нам це дає? Справа в тому, що без такого аналізу ми не зможемо надійно знаходити похідні розібраних вище функцій.

І для того, щоб рухатися далі, нам будуть потрібні ще два поняття: внутрішня і зовнішня функції. Це дуже проста річ, більш того, насправді ми їх вже розібрали вище: якщо згадати нашу аналогію в самому початку, то внутрішня функція - це «пакет», а зовнішня - це «коробка». Тобто то, у що ікс «загортають» спочатку - це внутрішня функція, а те, у що «загортають» внутрішню - вже зовнішня. Ну, зрозуміло чому - вона ж зовні, значить зовнішня.

Ось в цьому прикладі: \\ (y \u003d tg\u2061 (log_2\u2061x) \\), функція \\ (\\ log_2\u2061x \\) - внутрішня, а
- зовнішня.

А в цьому: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3 + 2x + 1)) \\), \\ (x ^ 3 + 2x + 1 \\) - внутрішня, а
- зовнішня.

Виконай останню практику аналізу складних функцій, і перейдемо, нарешті, до того, заради чого все затівалося - будемо знаходити похідні складних функцій:

Заповни пропуски в таблиці:

Похідна складної функції

Браво нам, ми все ж таки дісталися до «боса» цієї теми - власне, похідною складної функції, а саме, до тієї самої жахливої \u200b\u200bформули з початку статьі.☺

\\ ((F (g (x))) "\u003d f" (g (x)) \\ cdot g "(x) \\)

Формула ця читається так:

Похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції по незмінною внутрішньої на похідну внутрішньої функції.

І відразу дивись схему розбору "за словами" щоб розуміти, що до чого ставитися:

Сподіваюся, терміни «похідна» і «твір» труднощів не викликають. «Складну функцію» - ми вже розібрали. Заковика в «похідною зовнішньої функції по незмінною внутрішньої». Що це таке?

Відповідь: це звичайна похідна зовнішньої функції, при якій змінюється тільки зовнішня функція, а внутрішня залишається такою ж. Все одно незрозуміло? Добре, давай на прикладі.

Нехай у нас є функція \\ (y \u003d \\ sin\u2061 (x ^ 3) \\). Зрозуміло, що внутрішня функція тут \\ (x ^ 3 \\), а зовнішня
. Знайдемо тепер похідну зовнішньої по незмінною внутрішньої.

Наводяться приклади обчислення похідних із застосуванням формули похідної складної функції.

зміст

Див. також: Доведення формули похідної складної функції

Основні формули

Тут ми наводимо приклади обчислення похідних від наступних функцій:
; ; ; ; .

Якщо функцію можна представити як складну функцію в наступному вигляді:
,
то її похідна визначається за формулою:
.
У наведених нижче прикладах, ми будемо записувати цю формулу в наступному вигляді:
.
де.
Тут нижні індекси або, розташовані під знаком похідної, позначають змінні, по якій виконується диференціювання.

Зазвичай, в таблицях похідних, наводяться похідні функцій від змінної x. Однак x - це формальний параметр. Змінну x можна замінити будь-який інший змінної. Тому, при диференціюванні функції від змінної, ми просто змінюємо, в таблиці похідних, змінну x на змінну u.

прості приклади

приклад 1

Знайти похідну складної функції
.

Запишемо задану функцію в еквівалентному вигляді:
.
У таблиці похідних знаходимо:
;
.

За формулою похідної складної функції маємо:
.
Тут.

приклад 2

знайти похідну
.

Виносимо постійну 5 за знак похідної та з таблиці похідних знаходимо:
.

.
Тут.

приклад 3

Знайдіть похідну
.

виносимо постійну -1 за знак похідної та з таблиці похідних знаходимо:
;
З таблиці похідних знаходимо:
.

Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Тут.

Більш складні приклади

У більш складних прикладах ми застосовуємо правило диференціювання складної функції кілька разів. При цьому ми обчислюємо похідну з кінця. Тобто розбиваємо функцію на складові частини і знаходимо похідні найпростіших частин, використовуючи таблицю похідних . Також ми застосовуємо правила диференціювання суми , Твори і дробу. Потім робимо підстановки і застосовуємо формулу похідної складної функції.

приклад 4

Знайдіть похідну
.

Виділимо найпростішу частину формули і знайдемо її похідну. .

.
Тут ми використовували позначення
.

Знаходимо похідну наступній частині вихідної функції, застосовуючи отримані результати. Застосовуємо правило диференціювання суми:
.

Ще раз застосовуємо правило диференціювання складної функції.

.
Тут.

приклад 5

Знайдіть похідну функції
.

Виділимо найпростішу частину формули і з таблиці похідних знайдемо її похідну. .

Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
тут
.

Диференціюючи наступну частину, застосовуючи отримані результати.
.
тут
.

Диференціюючи наступну частину.

.
тут
.

Тепер знаходимо похідну шуканої функції.

.
тут
.

Див. також: