Усі формули імпульсу з фізики. Концепція імпульсу тіла. Закон збереження імпульсу. Зміна імпульсу системи тел

3.2. Імпульс

3.2.2. Зміна імпульсу тіла

Для застосування законів зміни та збереження імпульсу необхідно вміти розраховувати зміну імпульсу.

Зміна імпульсуΔ P → тіла визначається формулою

Δ P → = P → 2 − P → 1 ,

де P → 1 = m v → 1 – початковий імпульс тіла; P → 2 = m v → 2 – його кінцевий імпульс; m – маса тіла; v → 1 – початкова швидкість тіла; v → 2 – його кінцева швидкість.

Для обчислення зміни імпульсу тіла доцільно застосовувати наступний алгоритм:

1) вибрати систему координат і знайти проекції початкового P → 1 і кінцевого P → 2 імпульсів тіла на координатні осі:

P 1 x, P 2 x;

P 1 y, P 2 y;

∆P x = P 2 x − P 1 x;

∆P y = P 2 y − P 1 y;

3) обчислити модуль вектора зміни імпульсу P → як

Δ P = Δ P x 2 + Δ P y 2 .

Приклад 4. Тіло падає під кутом 30° до вертикалі горизонтальну площину. Визначити модуль зміни імпульсу тіла за час удару, якщо на момент зіткнення з площиною модуль імпульсу тіла дорівнює 15 кг · м/с. Удар тіла об площину вважатиме абсолютно пружним.

Рішення. Тіло, що падає на горизонтальну поверхню під деяким кутом α до вертикалі і соударяющееся з даною поверхнею абсолютно пружно,

по-перше, зберігає незмінним модуль своєї швидкості, отже, і величину імпульсу:

P 1 = P 2 = P;

по-друге, відбивається від поверхні під тим самим кутом, під яким падає на неї:

α 1 = α 2 = α,

де P 1 = mv 1 – модуль імпульсу тіла до удару; P 2 = mv 2 – модуль імпульсу тіла після удару; m – маса тіла; v 1 – величина швидкості тіла до удару; v 2 – величина швидкості тіла після удару; α 1 - кут падіння; α 2 - кут відбиття.

Зазначені імпульси тіла, кути та система координат показані на малюнку.

Для розрахунку модуля зміни імпульсу тіла скористаємося алгоритмом:

1) запишемо проекції імпульсів до удару та після удару тіла об поверхню на координатні осі:

P 1 x = mv sin α, P 2 x = mv sin α;

P 1 y = −mv cos α, P 2 y = mv cos α;

2) знайдемо проекції зміни імпульсу на координатні осі за формулами

Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v sin α − m v sin α = 0;

Δ P y = P 2 y − P 1 y = m v cos α − (− m v cos α) = 2 m v cos α ;

ΔP = (ΔPx) 2 + (ΔPy) 2 = (ΔPy) 2 = | Δ P y | = 2 m v cos α.

Величина P = mv задана за умови завдання; отже, обчислення модуля зміни імпульсу зробимо за формулою

Δ P = 2 P cos 30 ° = 2 ⋅ 15 ⋅ 0,5 3 ≈ 26 кг ⋅ м/с.

Приклад 5. Камінь масою 50 г кинутий під кутом 45° до горизонту зі швидкістю 20 м/с. Знайти модуль зміни імпульсу каменю під час польоту. Опір повітря знехтувати.

Рішення. Якщо опір повітря відсутня, то тіло рухається симетричною параболою; при цьому

по-перше, вектор швидкості в точці падіння тіла складає з горизонтом кут β, що дорівнює куту α (α - кут між вектором швидкості тіла в точці кидання і горизонтом):

по-друге, модулі швидкостей у точці кидання v 0 і в точці падіння тіла v також однакові:

v 0 = v ,

де v0 - величина швидкості тіла в точці кидання; v - величина швидкості тіла у точці падіння; α - кут, що становить вектор швидкості з горизонтом у точці кидання тіла; β - кут, що складає з горизонтом вектор швидкості у точці падіння тіла.

Вектори швидкості тіла (вектори імпульсу) та кути показані на малюнку.

Для розрахунку модуля зміни імпульсу тіла під час польоту скористаємося алгоритмом:

1) запишемо проекції імпульсів для точки кидання та для точки падіння на координатні осі:

P 1 x = mv 0 cos α, P 2 x = mv 0 cos α;

P 1 y = mv 0 sin α, P 2 y = −mv 0 sin α;

2) знайдемо проекції зміни імпульсу на координатні осі за формулами

Δ P x = P 2 x − P 1 x = m v 0 cos α − m v 0 cos α = 0;

Δ P y = P 2 y − P 1 y = − m v 0 sin α − m v 0 sin α = − 2 m v 0 sin α ;

3) обчислимо модуль зміни імпульсу як

ΔP = (ΔPx) 2 + (ΔPy) 2 = (ΔPy) 2 = | Δ P y | = 2 m v 0 sin α

де m – маса тіла; v 0 – модуль початкової швидкості тіла.

Отже, обчислення модуля зміни імпульсу зробимо за формулою

Δ P = 2 m v 0 sin 45 ° = 2 ⋅ 50 ⋅ 10 − 3 ⋅ 20 ⋅ 0,5 2 ≈ 1,4 кг ⋅ м/с.

Закони Ньютона дозволяють вирішувати різні практично важливі завдання, що стосуються взаємодії та руху тіл. Велика кількість таких завдань пов'язана, наприклад, зі знаходженням прискорення тіла, що рухається, якщо відомі всі чинні на це тіло сили. А потім прискорення визначають і інші величини (миттєву швидкість, переміщення та ін).

Але часто буває дуже складно визначити сили, що діють на тіло. Тому для вирішення багатьох завдань використовують ще одну найважливішу фізичну величину – імпульс тіла.

Імпульсом тіла р називається векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість

Імпульс – векторна величина. Напрямок вектора імпульсу тіла завжди збігається із напрямом вектора швидкості руху.

За одиницю імпульсу СІ приймають імпульс тіла масою 1 кг, що рухається зі швидкістю 1 м/с. Отже, одиницею імпульсу тіла СІ є 1 кг м/с.

При розрахунках користуються рівнянням проекцій векторів: р х = mv x .

В залежності від напрямку вектора швидкості по відношенню до вибраної осі X проекція вектора імпульсу може бути як позитивною, так і негативною.

Слово «імпульс» (impulsus) у перекладі з латинської означає «поштовх». У деяких книгах замість терміну "імпульс" використовується термін "кількість руху".

Ця величина була введена в науку приблизно в той же час, коли Ньютоном були відкриті закони, названі згодом його ім'ям (тобто в кінці XVII ст.).

При взаємодії тіл їх імпульси можуть бути змінені. У цьому вся можна переконатися на простому досвіді.

Дві кульки однакової маси підвішують на ниткових петлях до укріпленої на кільці штативу дерев'яної лінійки, як показано на малюнку 44, а.

Мал. 44. Демонстрація закону збереження імпульсу

Кулю 2 відхиляють від вертикалі на куті (рис. 44, б) і відпускають. Повернувшись у колишнє положення, він ударяє по кульці 1 і зупиняється. При цьому кулька 1 починає рухатися і відхиляється на той же кут а (рис. 44, в).

В даному випадку очевидно, що в результаті взаємодії куль імпульс кожного з них змінився: на скільки зменшився імпульс кулі 2, на стільки ж збільшився імпульс кулі 1.

Якщо два або кілька тіл взаємодіють лише між собою (тобто не піддаються впливу зовнішніх сил), ці тіла утворюють замкнуту систему.

Імпульс кожного з тіл, що входять до замкнутої системи, може змінюватися внаслідок їх взаємодії один з одним. Але

векторна сума імпульсів тіл, що становлять замкнуту систему, не змінюється з часом при будь-яких рухах та взаємодіях цих тіл

У цьому полягає закон збереження імпульсу.

Закон збереження імпульсу виконується у тому разі, якщо тіла системи діють зовнішні сили, векторна сума яких дорівнює нулю. Покажемо це, скориставшись виведення закону збереження імпульсу другим і третім законами Ньютона. Для простоти розглянемо систему, що складається лише з двох тіл - куль масами m 1 і m 2 , які рухаються прямолінійно назустріч один одному зі швидкостями v 1 і v 2 (рис. 45).

Мал. 45. Система з двох тіл - куль, що рухаються прямолінійно назустріч один одному

Сили тяжкості, що діють на кожну з куль, врівноважуються силами пружності поверхні, якою вони котяться. Отже, дію цих сил не можна враховувати. Сили опору руху в даному випадку малі, тому їх вплив ми теж не враховуватимемо. Таким чином, можна вважати, що кулі взаємодіють лише одна з одною.

З малюнка 45 видно, що через деякий час зіткнуться кулі. Під час зіткнення, що триває протягом дуже короткого проміжку часу t, виникнуть сили взаємодії F 1 і F 2 прикладені відповідно до першої і другої кулі. Внаслідок дії сил швидкості куль зміняться. Позначимо швидкості куль після зіткнення літерами v 1 і v 2 .

Відповідно до третього закону Ньютона сили взаємодії куль рівні за модулем і направлені в протилежні сторони:

За другим законом Ньютона кожну з цих сил можна замінити твором маси та прискорення, отриманого кожною з куль при взаємодії:

m1а1=-m2а2.

Прискорення, як ви знаєте, визначаються з рівностей:

Замінивши в рівнянні для сил прискорення відповідними виразами, отримаємо:

В результаті скорочення обох частин рівності на t отримаємо:

m1(v" 1 - v 1) = -m 2 (v" 2 - v 2).

Згрупуємо члени цього рівняння так:

m 1 v 1 " + m 2 v 2 " = m 1 v 1 = m 2 v 2 . (1)

Враховуючи, що mv = p, запишемо рівняння (1) у такому вигляді:

P" 1 + Р" 2 = P 1 + Р 2 .(2)

Ліві частини рівнянь (1) і (2) є сумарний імпульс куль після їх взаємодії, а праві - сумарний імпульс до взаємодії.

Значить, незважаючи на те, що імпульс кожної з куль при взаємодії змінився, векторна сума імпульсів після взаємодії залишилася такою ж, як і до взаємодії.

Рівняння (1) та (2) є математичним записом закону збереження імпульсу.

Оскільки в даному курсі розглядаються тільки взаємодії тіл, що рухаються вздовж однієї прямої, то для запису закону збереження імпульсу в скалярній формі достатньо одного рівняння, яке включає проекції векторних величин на вісь X:

m 1 v" 1x + m 2 v" 2х = m 1 v 1x + m 2 v 2x.

Запитання

Що називають імпульсом тіла?
Що можна сказати про напрямки векторів імпульсу і швидкості тіла, що рухається?
Розкажіть про перебіг досвіду, зображеного на малюнку 44. Про що він свідчить?
Що означає твердження, що кілька тіл утворюють замкнуту систему?
Сформулюйте закон збереження імпульсу.
Для замкнутої системи, що складається з двох тіл, запишіть закон збереження імпульсу у вигляді рівняння, до якого входили б маси та швидкості цих тіл. Поясніть, що означає кожен символ у цьому рівнянні.

Вправа 20

Дві іграшкові заводні машини масою по 0,2 кг кожна рухаються прямолінійно назустріч один одному. Швидкість кожної машини щодо землі дорівнює 0,1 м/с. Чи рівні вектори імпульсів машин; модулі векторів імпульсів? Визначте проекцію імпульсу кожної машини на вісь X, паралельну їх траєкторії.
На скільки зміниться (за модулем) імпульс автомобіля масою 1 т за зміни його швидкості від 54 до 72 км/год?
Чоловік сидить у човні, що лежить на поверхні озера. Якоїсь миті він встає і йде з корми на ніс. Що станеться при цьому з човном? Поясніть явище на основі закону збереження імпульсу.
Залізничний вагон масою 35 т під'їжджає до нерухомого вагона масою 28 т, що стоїть на тому ж шляху, і автоматично зчіпляється з ним. Після зчеплення вагони рухаються прямолінійно зі швидкістю 0,5 м/с. Якою була швидкість вагона масою 35 т перед зчіпкою?

Основні динамічні величини: сила, маса, імпульс тіла, момент сили, момент імпульсу.

Сила – це векторна величина, яка є мірою на дане тіло інших тіл або полів.

Сила характеризується:

· Модулем

· Напрямком

· Точкою програми

У системі СІ сила вимірюється у ньютонах.

Для того щоб зрозуміти, що таке сила в один ньютон, нам треба згадати, що сила, прикладена до тіла, змінює його швидкість. Крім того, згадаємо про інертність тіл, яка, як ми пам'ятаємо, пов'язана з їхньою масою. Отже,

Один ньютон – це така сила, яка змінює швидкість тіла масою 1 кг на 1 м/с за кожну секунду.

Прикладами сил можуть бути:

· Сила тяжіння– сила, що діє на тіло внаслідок гравітаційної взаємодії.

· Сила пружності– сила, з якою тіло пручається зовнішньому навантаженню. Її причиною є електромагнітна взаємодія молекул тіла.

· Сила Архімеда– сила, пов'язана з тим, що тіло витісняє певний об'єм рідини чи газу.

· Сила реакції опори- Сила, з якою опора діє на тіло, що знаходиться на ній.

· Сила тертя– сила опору щодо переміщення контактуючих поверхонь тел.

· Сила поверхневого натягу - сила, що виникає на межі поділу двох середовищ.

· Вага тіла– сила, з якою тіло діє на горизонтальну опору або вертикальний підвіс.

та інші сили.

Сила вимірюється за допомогою спеціального приладу. Цей пристрій називається динамометром (рис. 1). Динамометр складається з пружини 1, розтягування якої і показує нам силу, стрілки 2, що ковзає за шкалою 3, планки-обмежувача 4, яка не дає розтягнутися пружині надто сильно, і гачка 5, до якого підвішується вантаж.

Мал. 1. Динамометр (Джерело)

На тіло можуть діяти багато сил. Щоб правильно описати рух тіла, зручно користуватися поняттям рівнодіючої сил.

Равнодіюча сил – це сила, дія якої замінює дію всіх сил, що додаються до тіла (Рис. 2).

Знаючи правила роботи з векторними величинами, легко здогадатися, що рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, – це векторна сума цих сил.

Мал. 2. Рівночинна двох сил, що діють на тіло

Крім того, оскільки ми з вами розглядаємо рух тіла в будь-якій системі координат, нам зазвичай вигідно розглядати не саму силу, а її проекцію на вісь. Проекція сили на вісь може бути негативною чи позитивною, тому що проекція – це величина скалярна. Так, малюнку 3 зображені проекції сил, проекція сили – негативна, а проекція сили – позитивна.

Мал. 3. Проекції сил на вісь

Отже, із цього уроку ми з вами поглибили своє розуміння поняття сили. Ми згадали одиниці виміру сили та прилад, за допомогою якого вимірюється сила. Крім того, ми розглянули, які сили існують у природі. Нарешті, ми дізналися, як можна діяти, якщо на тіло діє кілька сил.

Маса, фізична величина, одна з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні та гравітаційні властивості. Відповідно розрізняють Масу інертну та Масу гравітаційну (важку, тяжку).

Поняття Маса було введено у механіку І. Ньютоном. У класичній механіці Ньютона Масса входить у визначення імпульсу (кількості руху) тіла: імпульс рпропорційний швидкості руху тіла v, p = mv(1). Коефіцієнт пропорційності - постійна для цього тіла величина m- І є Маса тіла. Еквівалентне визначення Маси виходить із рівняння руху класичної механіки f = ma(2). Тут Маса - коефіцієнт пропорційності між силою, що діє на тіло. fі викликаним нею прискоренням тіла a. Певна співвідношеннями (1) та (2) Маса називається інерційною масою, або інертною масою; вона характеризує динамічні властивості тіла, є мірою інерції тіла: при постійній силі чим більше Маса тіла, тим менше прискорення воно набуває, тобто тим повільніше змінюється стан його руху (тим більша його інерція).

Діючи на різні тіла однією і тією самою силою і вимірюючи їх прискорення, можна визначити відносини Маса цих тіл: m 1: m 2: m 3 ... = а 1: а 2: а 3 ...; якщо одну з Мас прийняти за одиницю виміру, можна знайти Масу інших тіл.

Теоретично гравітації Ньютона Масса виступає у інший формі - як джерело поля тяжіння. Кожне тіло створює поле тяжіння, пропорційне Масі тіла (і зазнає впливу поля тяжіння, створюваного іншими тілами, сила якого також пропорційна Масі тіл). Це поле викликає тяжіння будь-якого іншого тіла до цього тіла з силою, яка визначається законом тяжіння Ньютона:

(3)

де r- Відстань між тілами, G- універсальна гравітаційна постійна, a m 1і m 2- Маси тіл, що притягуються. З формули (3) легко отримати формулу для ваги Ртіла маси mу полі тяжіння Землі: Р = mg (4).

Тут g = G*M/r 2- прискорення вільного падіння у гравітаційному полі Землі, а r » R- Радіус Землі. Маса, яка визначається співвідношеннями (3) і (4), називається гравітаційною масою тіла.

У принципі нізвідки годі було, що Маса, що створює поле тяжіння, визначає і інерцію тієї самої тіла. Однак досвід показав, що інертна і гравітаційна маса пропорційні один одному (а при звичайному виборі одиниць вимірювання чисельно рівні). Цей фундаментальний закон природи називається принципом еквівалентності. Його відкриття пов'язані з ім'ям Г.Галілея, який встановив, що це тіла Землі падають з однаковим прискоренням. А.Ейнштейн поклав цей принцип (їм уперше сформульований) в основу загальної теорії відносності. Експериментально принцип еквівалентності встановлений із дуже великою точністю. Вперше (1890-1906) прецизійна перевірка рівності інертної та гравітаційної Мас була зроблена Л. Етвешем, який виявив, що Маси збігаються з помилкою ~ 10 -8 . У 1959-64 роках американські фізики Р.Дікке, Р.Кротков і П.Ролл зменшили помилку до 10-11, а 1971 року радянські фізики В.Б.Брагінський і В.І.Панов - до 10-12.

Принцип еквівалентності дозволяє найбільш природно визначати масу тіла зважуванням.

Спочатку Маса розглядалася (наприклад, Ньютоном) як міра кількості речовини. Таке визначення має ясний сенс лише порівняння однорідних тіл, побудованих з одного матеріалу. Воно підкреслює адитивність Маси - Маса тіла дорівнює сумі Маси його частин. Маса однорідного тіла пропорційна його об'єму, тому можна запровадити поняття щільності – маси одиниці об'єму тіла.

У класичній фізиці вважалося, що Маса тіла не змінюється у жодних процесах. Цьому відповідав закон збереження Маси (речовини), відкритий М.В.Ломоносовим та А.Л.Лавуазьє. Зокрема, цей закон стверджував, що у будь-якій хімічній реакції сума Мас вихідних компонентів дорівнює сумі Мас кінцевих компонентів.

Поняття Маса набуло глибшого сенсу в механіці спеціальної теорії відносності А. Ейнштейна, що розглядає рух тіл (або частинок) з дуже великими швидкостями - порівнянними зі швидкістю світла з ~ 31010 см/сек. У новій механіці – вона називається релятивістською механікою – зв'язок між імпульсом та швидкістю частинки дається співвідношенням:

(5)

При малих швидкостях ( v << c) це співвідношення переходить у Ньютонове співвідношення р = mv. Тому величину m 0називають масою спокою, а Масу частинки, що рухається mвизначають як залежний від швидкості коефіцієнт пропорційності між pі v:

(6)

Маючи на увазі, зокрема, цю формулу, кажуть, що маса частинки (тіла) зростає зі збільшенням її швидкості. Таке релятивістське зростання Маси частки у міру підвищення її швидкості необхідно враховувати при конструюванні прискорювачів заряджених високих енергій. Маса спокою m 0(Маса у системі відліку, пов'язаної з часткою) є найважливішою внутрішньою характеристикою частки. Всі елементарні частинки мають строго певні значення m 0, Притаманними даному сорту частинок.

Слід зазначити, що в релятивістській механіці визначення Маси з рівняння руху (2) не еквівалентне визначенню Маси як коефіцієнта пропорційності між імпульсом і швидкістю частинки, так як прискорення перестає бути паралельним силі, що викликала його, і Маса виходить залежною від напрямку швидкості частинки.

Відповідно до теорії відносності, Маса частинки mпов'язана з її енергією Еспіввідношенням:

(7)

Маса спокою визначає внутрішню енергію частки - так звану енергію спокою Е 0 = m 0 з 2. Таким чином, з Масою завжди пов'язана енергія (і навпаки). Тому не існує окремо (як у класичній фізиці) закону збереження Маси та закону збереження енергії - вони злиті в єдиний закон збереження повної (тобто включає енергію спокою частинок) енергії. Наближений поділ на закон збереження енергії та закон збереження Маси можливий лише в класичній фізиці, коли швидкості частинок малі ( v << c) і відбуваються процеси перетворення частинок.

У релятивістській механіці Маса не є адитивною характеристикою тіла. Коли дві частинки з'єднуються, утворюючи один складовий стійкий стан, при цьому виділяється надлишок енергії (рівний енергії зв'язку) D Е, який відповідає Масі D m = D E/с 2. Тому Маса складової частинки менше суми Мас утворюють його частинок на величину D E/с 2(Так званий дефект мас). Цей ефект проявляється особливо сильно у ядерних реакціях. Наприклад, Маса дейтрона ( d) менше суми Мас протона ( p) та нейтрону ( n); дефект Мас D mпов'язаний з енергією Е gгамма-кванта ( g), що народжується при утворенні дейтрона: р + n -> d + g, E g = Dmc 2. Дефект Маси, що виникає при утворенні складової частки, відображає органічний зв'язок Маси та енергії.

Одиницею Маси у СГС системі одиниць служить грам, а в Міжнародна система одиницьСІ - кілограм. Маса атомів та молекул зазвичай вимірюється в атомних одиницях маси. Маса елементарних частинок прийнято виражати або в одиницях Маси електрона m e, або енергетичних одиницях, вказуючи енергію спокою відповідної частки. Так, Маса електрона становить 0,511 Мев, Маса протона – 1836,1 m e, або 938,2 МеВ і т.д.

Природа Маси - одне з найважливіших невирішених завдань сучасної фізики. Вважають, що Маса елементарної частки визначається полями, які з нею пов'язані (електромагнітним, ядерним та іншими). Проте кількісна теорія Маси ще створено. Не існує також теорії, що пояснює, чому Маса елементарних частинок утворюють дискретний спектр значень і тим більше дозволяє визначити цей спектр.

В астрофізиці Маса тіла, що створює гравітаційне поле, визначає так званий гравітаційний радіус тіла R гр = 2GM/c 2. Внаслідок гравітаційного тяжіння ніяке випромінювання, у тому числі світлове, не може вийти назовні за поверхню тіла з радіусом. R =< R гр . Зірки таких розмірів невидимі; тому їх назвали "чорними дірками". Такі небесні тіла повинні відігравати важливу роль у Всесвіті.

Імпульс сили. Імпульс тіла

Поняття імпульсу було запроваджено ще першій половині XVII століття Рене Декартом, та був уточнено Ісааком Ньютоном. Згідно з Ньютоном, який називав імпульс кількістю руху, – це є міра такого, пропорційна швидкості тіла та його масі. Сучасне визначення: імпульс тіла – це фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:

Насамперед, з наведеної формули видно, що імпульс – величина векторна та її напрямок збігається з напрямом швидкості тіла, одиницею вимірювання імпульсу служить:

= [ кг · м / с]

Розглянемо, яким чином ця фізична величина пов'язані з законами руху. Запишемо другий закон Ньютона, враховуючи, що прискорення є зміна швидкості з часом:

В наявності зв'язок між силою, що діє на тіло, точніше, рівнодіючої сил і зміною його імпульсу. Величина добутку сили на проміжок часу зветься імпульсом сили.З наведеної формули видно, що зміна імпульсу тіла дорівнює імпульсу сили.

Які ефекти можна описати за допомогою рівняння (рис. 1)?

Мал. 1. Зв'язок імпульсу сили з імпульсом тіла (Джерело)

Стріла, що випускається із цибулі. Чим довше продовжується контакт тятиви зі стрілою (∆t), тим більша зміна імпульсу стріли (∆ ), а отже, тим вища її кінцева швидкість.

Дві стикаються кульки. Поки кульки знаходяться в контакті, вони діють одна на одну з рівними за модулем силами, як навчає нас третій закон Ньютона. Отже, зміни їх імпульсів також мають бути рівними по модулю, навіть якщо маси кульок не рівні.

Проаналізувавши формули, можна зробити два важливі висновки:

1. Однакові сили, що діють протягом однакового проміжку часу, спричиняють однакові зміни імпульсу у різних тіл, незалежно від маси останніх.

2. Одного і того ж зміни імпульсу тіла можна досягти, або діючи невеликою силою протягом тривалого проміжку часу, або короткочасно діючи великою силою на те ж саме тіло.

Згідно з другим законом Ньютона, можемо записати:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Відношення зміни імпульсу тіла до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася, дорівнює сумі сил, що діють на тіло.

Проаналізувавши це рівняння, бачимо, що другий закон Ньютона дозволяє розширити клас розв'язуваних завдань, і включити завдання, у яких маса тіл змінюється з часом.

Якщо ж спробувати вирішити завдання зі змінною масою тіл за допомогою звичайного формулювання другого закону Ньютона:

то спроба такого рішення призвела б до помилки.

Прикладом тому можуть бути вже згадувані реактивний літак або космічна ракета, які під час руху спалюють паливо, і продукти цього спалюваного викидають у навколишній простір. Природно, маса літака чи ракети зменшується у міру витрати палива.

МОМЕНТ СИЛИ- Величина, що характеризує обертальний ефект сили; має розмірність добутку довжини на силу. Розрізняють момент силищодо центру (точки) та щодо осі.

M. с. щодо центру Прозв. Векторна величина M 0 , рівна векторному твору радіуса-вектора r , проведеного з Oдо точки докладання сили F , на силу M 0 = [rF ] або в інших позначеннях M 0 = r F (Мал.). Чисельно M. с. дорівнює добутку модуля сили на плече h, тобто на довжину перпендикуляра, опущеного з Прона лінію дії сили, або подвоєної площі

трикутника, побудованого на центрі Oі силі:

Направлений вектор M 0 перпендикулярно до площини, що проходить через Oі F . Сторона, куди прямує M 0 , вибирається умовно ( M 0 – аксіальний вектор). При правій системі координат вектор M 0 направляють у той бік, звідки поворот, що чиниться силою, видно проти ходу годинникової стрілки.

M. с. щодо осі z зв. скалярна величина M z, рівна проекції на вісь zвектора M. с. щодо будь-якого центру Провзятого на цій осі; величину M zможна ще визначати як проекцію на площину ху, перпендикулярну до осі z, площі трикутника OABабо як момент проекції F xyсили F на площину хувзятий щодо точки перетину осі z з цією площиною. T. о.,

У двох останніх виразах M. с. вважається позитивним, коли поворот сили F xyвидно з покладе. кінця осі z проти ходу годинникової стрілки (у правій системі координат). M. с. щодо координатних осей Oxyzможуть також обчислюватися за аналітич. ф-лам:

де F x , F y , F z- Проекції сили F на координатні осі, х, у, z- координати точки Адокладання сили. Величини M x , M y , M zрівні проекціям вектора M 0 координатні осі.

У повсякденному житті для того, щоб охарактеризувати людину, яка робить спонтанні вчинки, іноді використовують епітет «імпульсивний». При цьому деякі люди навіть не пам'ятають, а значна частина зовсім не знає, з якою фізичною величиною пов'язане це слово. Що ховається під поняттям «імпульс тіла» і які властивості він має? Відповіді на ці запитання шукали такі великі вчені, як Рене Декарт та Ісаак Ньютон.

Як і будь-яка наука, фізика оперує чітко сформульованими поняттями. На даний момент прийнято таке визначення для величини, що має назву імпульсу тіла: це векторна величина, яка є мірою (кількістю) механічного руху тіла.

Припустимо, що питання розглядається в рамках класичної механіки, тобто вважається, що тіло рухається зі звичайною, а не з релятивістською швидкістю, а значить, вона хоча б на порядок менша за швидкість світла у вакуумі. Тоді модуль імпульсу тіла розраховується за формулою 1 (див. фото нижче).

Таким чином, за визначенням, ця величина дорівнює добутку маси тіла на його швидкість, з якою направлений її вектор.

Як одиниця виміру імпульсу в СІ (Міжнародній системі одиниць) приймається 1 кг/м/с.

Звідки з'явився термін «імпульс»

За кілька століть до того, як у фізиці з'явилося поняття кількості механічного руху тіла, вважалося, що причиною будь-якого переміщення у просторі є особлива сила — імпетус.

У 14 столітті це поняття вніс корективи Жан Буридан. Він припустив, що камінь, що летить, має імпетус, прямо пропорційний швидкості, який був би незмінним, якби не було опору повітря. У той же час, на думку цього філософа, тіла з великою вагою мали здатність «вміщати» більше такої рушійної сили.

Подальший розвиток поняття, пізніше названого імпульсом, дав Рене Декарт, який позначив його словами «кількість руху». Однак він не враховував, що швидкість має спрямування. Саме тому висунута ним теорія у деяких випадках суперечила досвіду та не знайшла визнання.

Про те, що кількість руху має мати ще й напрямок, першим здогадався англійський вчений Джон Валліс. Сталося це 1668 року. Однак знадобилося ще кілька років, щоб він сформулював відомий закон збереження кількості руху. Теоретичний доказ цього факту, встановленого емпіричним шляхом, дав Ісаак Ньютон, який використовував відкриті ним же третій і другий закони класичної механіки, названі його ім'ям.

Імпульс системи матеріальних точок

Розглянемо спочатку випадок, коли йдеться про швидкості, набагато менші, ніж швидкість світла. Тоді, згідно із законами класичної механіки, повний імпульс системи матеріальних точок становить векторну величину. Він дорівнює сумі творів їх мас на швидкості (див. формулу 2 на зображенні вище).

При цьому імпульс однієї матеріальної точки приймають векторну величину (формула 3), яка сонаправлена зі швидкістю частинки.

Якщо йдеться про тіло кінцевого розміру, то спочатку його подумки розбивають на малі частини. Таким чином, знову розглядається система матеріальних точок, проте її імпульс розраховують не звичайним підсумовуванням, а шляхом інтегрування (див. формулу 4).

Як бачимо, тимчасова залежність відсутня, тому імпульс системи, яку не впливають зовнішні сили (чи його вплив взаємно компенсовано), залишається незмінним у часі.

Доказ закону збереження

Продовжимо розглядати тіло кінцевого розміру як систему матеріальних точок. Для кожної з них другий закон Ньютона формулюється згідно з формулою 5.

Звернімо увагу на те, що система замкнута. Тоді, підсумовуючи за всіма точками і застосовуючи Третій закон Ньютона, отримуємо вираз 6.

Таким чином, імпульс замкнутої системи є незмінною величиною.

Закон збереження справедливий і в тих випадках, коли повна сума сил, що діють на систему ззовні, дорівнює нулю. Звідси випливає одне важливе приватне твердження. Воно говорить, що імпульс тіла є постійною величиною, якщо вплив ззовні відсутній або вплив кількох сил компенсований. Наприклад, без тертя після удару ключкою шайба повинна зберігати свій імпульс. Така ситуація спостерігатиметься навіть незважаючи на те, що на це тіло діють сила тяжкості та реакції опори (льоду), оскільки вони, хоч і рівні по модулю, проте направлені в протилежні сторони, тобто компенсують один одного.

Властивості

Імпульс тіла чи матеріальної точки є адитивною величиною. Що це означає? Все просто: імпульс механічної системи матеріальних точок складається з імпульсів всіх матеріальних точок, що входять в систему.

Друга властивість цієї величини полягає в тому, що вона залишається незмінною при взаємодіях, що змінюють лише механічні характеристики системи.

Крім того, імпульс інваріантний по відношенню до будь-якого повороту системи відліку.

Релятивістський випадок

Припустимо, що йдеться про невзаємодіючі матеріальні точки, що мають швидкості близько 10 у 8-му ступені або трохи менше в системі СІ. Тривимірний імпульс розраховується за формулою 7, де під розуміють швидкість світла вакуумі.

У випадку, коли вона замкнута, вірним є закон збереження кількості руху. У той же час тривимірний імпульс не є релятивістською інваріантною величиною, оскільки є його залежність від системи відліку. Є також чотиривимірний варіант. Для однієї матеріальної точки його визначають за такою формулою 8.

Імпульс та енергія

Ці величини, і навіть маса тісно пов'язані друг з одним. У практичних завданнях зазвичай застосовуються співвідношення (9) та (10).

Визначення через хвилі де Бройля

У 1924 року була висловлена гіпотеза у тому, що корпускулярно-хвильовим дуалізмом мають як фотони, а й будь-які інші частки (протони, електрони, атоми). Її автором став французький вчений Луї де Бройль. Якщо перекласти цю гіпотезу на мову математики, то можна стверджувати, що з будь-якою часткою, що має енергію та імпульс, пов'язана хвиля з частотою і довжиною, формулами 11 і 12, що виражаються відповідно (h — постійна Планка).

З останнього співвідношення отримуємо, що модуль імпульсу і довжина хвилі, що позначається буквою «лямбда», пропорційні назад один одному (13).

Якщо розглядається частка з порівняно невисокою енергією, яка рухається зі швидкістю, несумірною зі швидкістю світла, модуль імпульсу обчислюється так само, як у класичній механіці (див. формулу 1). Отже, довжина хвилі розраховується згідно з виразом 14. Іншими словами, вона обернено пропорційна добутку маси та швидкості частинки, тобто її імпульсу.

Тепер ви знаєте, що імпульс тіла - це міра механічного руху і познайомилися з його властивостями. Серед них у практичному плані особливо важливим є Закон збереження. Навіть люди, далекі від фізики, спостерігають його у повсякденному житті. Наприклад, усім відомо, що вогнепальна зброя та артилерійські гармати дають віддачу під час стрільби. Закон збереження імпульсу наочно демонструє гра в більярд. З його допомогою можна передбачити напрямки розльоту куль після удару.

Закон знайшов застосування при розрахунках, необхідних вивчення наслідків можливих вибухів, у сфері створення реактивних апаратів, при проектуванні вогнепальної зброї та у багатьох інших сферах життя.

Нехай на тіло масою mпротягом деякого малого проміжку часу Δ tдіяла сила Під дією цієї сили швидкість тіла змінилася на Отже, протягом часу Δ tтіло рухалося із прискоренням

З основного закону динаміки ( другого закону Ньютона) слідує:

Фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на швидкість його руху, називається імпульсом тіла(або кількістю руху). Імпульс тіла – векторний розмір. Одиницею вимірювання імпульсу СІ є кілограм-метр на секунду (кг·м/с).

Фізична величина, що дорівнює добутку сили на час її дії, називається імпульсом сили . Імпульс сили також векторною величиною.

У нових термінах другий закон Ньютонаможе бути сформульований наступним чином:

Ізміна імпульсу тіла (кількості руху) дорівнює імпульсу сили.

Позначивши імпульс тіла літерою другий закон Ньютона можна записати як

Саме такому загальному вигляді сформулював другий закон сам Ньютон. Сила в цьому вираженні є рівнодією всіх сил, прикладених до тіла. Ця векторна рівність може бути записана в проекціях на координатні осі:

Таким чином, зміна проекції імпульсу тіла на будь-яку з трьох взаємно перпендикулярних осей дорівнює проекції імпульсу сили на цю вісь. Розглянемо як приклад одновимірнерух, тобто рух тіла по одній з координатних осей (наприклад, осі OY). Нехай тіло вільно падає з початковою швидкістю 0 під дією сили тяжіння; час падіння дорівнює t. Направимо вісь OYвертикально вниз. Імпульс сили тяжіння Fт = mgза час tдорівнює mgt. Цей імпульс дорівнює зміні імпульсу тіла

Цей простий результат збігається з кінематичноюформулоюдля швидкості рівноприскореного руху. У цьому прикладі сила залишалася незмінною за модулем на всьому інтервалі часу t. Якщо сила змінюється за величиною, то вираз для імпульсу сили потрібно підставляти середнє значення сили FСР на проміжку часу її дії. Мал. 1.16.1 ілюструє метод визначення імпульсу сили, що залежить від часу.

Виберемо на осі часу малий інтервал Δ t, протягом якого сила F (t) Залишається практично незмінною. Імпульс сили F (t) Δ tза час Δ tдорівнюватиме площі заштрихованого стовпчика. Якщо всю вісь часу на інтервалі від 0 до tрозбити на малі інтервали Δ ti, а потім підсумувати імпульси сили на всіх інтервалах Δ tiто сумарний імпульс сили виявиться рівним площі, яку утворює ступінчаста крива з віссю часу. У межі (Δ ti→ 0) ця площа дорівнює площі, обмеженій графіком F (t) та віссю t. Цей метод визначення імпульсу сили за графіком F (t) є загальним та застосовним для будь-яких законів зміни сили з часом. Математично завдання зводиться до інтегруванняфункції F (t) на інтервалі.

Імпульс сили, графік якої представлено на рис. 1.16.1, на інтервалі від t 1 = 0 с до t 2 = 10 з дорівнює:

У цьому простому прикладі

У деяких випадках середню силу Fможна визначити, якщо відомий час її дії і повідомлений тілу імпульс. Наприклад, сильний удар футболіста по м'ячу масою 0,415 кг може повідомити швидкість υ = 30 м/с. Час удару приблизно дорівнює 8 10 -3 с.

Імпульс p, придбаний м'ячем в результаті удару є:

Отже, середня сила Fср, з якою нога футболіста діяла на м'яч під час удару, є:

Це дуже велика сила. Вона приблизно дорівнює вазі тіла масою 160 кг.

Якщо рух тіла під час дії сили відбувався деякою криволінійною траєкторією, то початковий і кінцевий імпульси тіла можуть відрізнятися не тільки за модулем, але і за напрямом. У цьому випадку для визначення зміни імпульсу зручно використовувати діаграму імпульсів , на якій зображаються вектор і , а також вектор побудований за правилом паралелограма. Як приклад на рис. 1.16.2 зображена діаграма імпульсів для м'яча, що відскакує від шорсткої стінки. М'яч масою mналетів на стінку зі швидкістю під кутом α до нормалі (вісь OX) і відскочив від неї зі швидкістю під кутом β. Під час контакту зі стіною на м'яч діяла деяка сила, напрямок якої збігається з напрямком вектора.

При нормальному падінні м'яча масою mна пружну стінку зі швидкістю, після відскоку м'яч матиме швидкість. Отже, зміна імпульсу м'яча за час відскоку дорівнює

У проекціях на вісь OXцей результат можна записати у скалярній формі Δ px = –2mυ x. Ось OXспрямована від стінки (як на рис. 1.16.2), тому υ x < 0 и Δpx> 0. Отже, модуль Δ pзміни імпульсу пов'язаний з модулем υ швидкості м'яча співвідношенням Δ p = 2mυ.