Векторний простір: розмірність та базис, розкладання вектора по базису. Лінійна залежність. Базис системи векторів Базис системи векторів
Коли ми розбирали поняття n-вимірного вектора і вводили операції над векторами, то з'ясували, що безліч усіх n-вимірних векторів породжує лінійний простір. У цій статті ми поговоримо про найважливіші пов'язані поняття – про розмірність та базис векторного простору. Також розглянемо теорему про розкладання довільного вектора за базисом і зв'язок між різними базисами n-мірного простору. Докладно розберемо рішення характерних прикладів.
Навігація на сторінці.
Концепція розмірності векторного простору та базису.
Поняття розмірності та базису векторного простору безпосередньо пов'язані з поняттям лінійно незалежної системи векторів, тому рекомендуємо при необхідності звертатися до статті лінійна залежність системи векторів, властивості лінійної залежності та незалежності.
Визначення.
Розмірність векторного просторуназивається число, що дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних векторів у цьому просторі.
Визначення.
Базис векторного простору– це впорядкована сукупність лінійно незалежних векторів цього простору, кількість яких дорівнює розмірності простору.
Наведемо деякі міркування, ґрунтуючись на цих визначеннях.
Розглянемо простір n-мірних векторів.
Покажемо, що розмірність цього простору дорівнює n.
Візьмемо систему з n одиничних векторів виду
Приймемо ці вектори як рядки матриці А . І тут матриця А буде одиничною матрицею розмірності n на n . Ранг цієї матриці дорівнює n (за необхідності дивіться статтю). Отже, система векторів 
лінійно незалежна, причому до цієї системи не можна додати жодного вектора, не порушивши її лінійної незалежності. Оскільки число векторів у системі одно n , то розмірність простору n-вимірних векторів дорівнює n, а одиничні вектори є базисом цього простору.
З останнього затвердження та визначення базису можна зробити висновок, що будь-яка система n-мірних векторів, число векторів у якій менше n, не є базисом.
Тепер переставимо місцями перший та другий вектор системи . Легко показати, що отримана система векторів 
також є базисом n-вимірного векторного простору. Складемо матрицю, прийнявши її рядками вектори цієї системи. Ця матриця може бути отримана з одиничної матриці перестановкою місцями першого і другого рядків, отже, її ранг дорівнюватиме n . Таким чином, система з n векторів лінійно незалежна і є базисом n-вимірного векторного простору.
Якщо переставити місцями інші вектори системи , то отримаємо ще один базис.
Якщо взяти лінійно незалежну систему не одиничних векторів, вона також є базисом n -мірного векторного простору.
Таким чином, векторний простір розмірності n має стільки базисів, скільки існує лінійно незалежних систем n n -мірних векторів.
Якщо говорити про двовимірний векторний простір (тобто про площину), то її базисом є два будь-які не колінеарні вектори. Базисом тривимірного простору є три будь-які некомпланарні вектори.
Розглянемо кілька прикладів.
приклад.
Чи вектори базисом тривимірного векторного простору?
Рішення.
Досліджуємо цю систему векторів на лінійну залежність. Для цього складемо матрицю, рядками якої будуть координати векторів, і знайдемо її ранг: 
Таким чином, вектори a, b і c лінійно незалежні та їх кількість дорівнює розмірності векторного простору, отже вони є базисом цього простору.
Відповідь:
Так, є.
приклад.
Чи може система векторів бути базисом векторного простору?
Рішення.
Ця система векторів лінійно залежить, оскільки максимальне число лінійно незалежних тривимірних векторів дорівнює трьом. Отже, ця система векторів може бути базисом тривимірного векторного простору (хоча підсистема вихідної системи векторів є базисом).
Відповідь:
Ні не може.
приклад.
Переконайтеся, що вектори 
може бути базисом чотиривимірного векторного простору.
Рішення.
Складемо матрицю, прийнявши її рядками вихідні вектори: 
Знайдемо: 
Таким чином, система векторів a, b, c, d лінійно незалежна та їх кількість дорівнює розмірності векторного простору, отже, a, b, c, d є його базисом.
Відповідь:
Вихідні вектори є базисом чотиривимірного простору.
приклад.
Чи становлять вектори базис векторного простору розмірності 4?
Рішення.
Навіть якщо вихідна система векторів лінійно незалежна, кількість векторів у ній недостатньо для того, щоб бути базисом чотиривимірного простору (база такого простору складається з 4 векторів).
Відповідь:
Ні, не складає.
Розкладання вектора за базисом векторного простору.
Нехай довільні вектори є базисом n-вимірного векторного простору. Якщо до них додати деякий n-вимірний вектор x, то отримана система векторів буде лінійно залежною. З властивостей лінійної залежності ми знаємо, що хоча один вектор лінійно залежної системи лінійно виражається через інші. Іншими словами, хоча б один із векторів лінійно залежної системи розкладається за іншими векторами.
Тож ми підійшли до дуже важливої теореми.
Теорема.
Будь-який вектор n-вимірного векторного простору єдиним чином розкладається по базису.
Доведення.
Нехай - базис n-вимірного векторного простору. Додамо до цих векторів n-вимірний вектор x . Тоді отримана система векторів буде лінійно залежною та вектор x може бути лінійно виражений через вектори : , де - Деякі числа. Так ми отримали розкладання вектора x базисом. Залишилося довести, що це розкладання єдине.
Припустимо, що існує ще одне розкладання, де 
- Деякі числа. Віднімемо від лівої та правої частин останньої рівності відповідно ліву та праву частини рівності:
Оскільки система базисних векторів лінійно незалежна, то за визначенням лінійної незалежності системи векторів отримана рівність можлива лише тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Тому, що доводить єдиність розкладання вектора по базису.
Визначення.
Коефіцієнти називаються координатами вектора x у базисі .
Після знайомства з теоремою про розкладання вектора по базису ми починаємо розуміти суть виразу «нам заданий n-мірний вектор. 
». Це вираз означає, що ми розглядаємо вектор x n -мірного векторного простору, координати якого в певному базисі. При цьому ми розуміємо, що цей вектор x в іншому базисі n-мірного векторного простору буде мати координати, відмінні від .
Розглянемо таке завдання.
Нехай у деякому базисі n-вимірного векторного простору нам задана система з n лінійно незалежних векторів 
та вектор . Тоді вектори є також базисом цього векторного простору.
Нехай нам потрібно знайти координати вектора x у базисі . Позначимо ці координати як .
Вектор x у базисі має уявлення. Запишемо цю рівність у координатній формі:
Ця рівність рівносильна системі з n лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними :
Основна матриця цієї системи має вигляд 
Позначимо її літерою А. Стовпці матриці А є векторами лінійно незалежної системи векторів. тому ранг цієї матриці дорівнює n , отже, її визначник відмінний від нуля. Цей факт вказує на те, що система рівнянь має єдине рішення, яке можна знайти будь-яким методом, наприклад, або .
Так будуть знайдені шукані координати вектора x у базисі .
Розберемо теорію з прикладів.
приклад.
У деякому базисі тривимірного векторного простору задані вектори. 
Переконайтеся, що система векторів є базисом цього простору і знайдіть координати вектора x у цьому базисі.
Рішення.
Щоб система векторів була базисом тривимірного векторного простору, потрібно, щоб вона була лінійно незалежною. З'ясуємо це, визначивши ранг матриці A рядками якої є вектори . Ранг знайдемо методом Гауса 
отже, Rank(A) = 3 що показує лінійну незалежність системи векторів .
Отже, вектори є базисом. Нехай у цьому базисі вектор x має координати. Тоді, як ми показали вище, зв'язок координат цього вектора задається системою рівнянь 
Підставивши до неї відомі з умови значення, отримаємо 
Вирішимо її методом Крамера: 
Таким чином, вектор x у базисі має координати 
.
Відповідь:
приклад.
У деякому базисі 
чотиривимірного векторного простору задана лінійно незалежна система векторів 
Відомо що 
. Знайдіть координати вектора x у базисі .
Рішення.
Оскільки система векторів 
лінійно незалежна за умовою, вона є базисом чотиривимірного простору. Тоді рівність означає, що вектор x у базисі має координати. Позначимо координати вектора x у базисі як .
Система рівнянь, що задає зв'язок координат вектора x у базисах і має вигляд 
Підставляємо в неї відомі значення і знаходимо шукані координати: 
Відповідь:
.
Зв'язок між базисами.
Нехай у деякому базисі n-вимірного векторного простору задані дві лінійно незалежні системи векторів 
і
тобто, вони також є базисами цього простору.
Якщо 
- координати вектора у базисі , то зв'язок координат 
і задається системою лінійних рівнянь (про це ми говорили у попередньому пункті): 
, яка в матричній формі може бути записана як 
Аналогічно для вектора ми можемо записати 
Попередні матричні рівності можна об'єднати в одну, яка по суті задає зв'язок векторів двох різних базисів 
Аналогічно ми можемо висловити всі вектори базису. через базис 
:
Визначення.
Матрицю 
називають матрицею переходу від базису до базису тоді справедлива рівність 
Помноживши обидві частини цієї рівності справа на
отримаємо 
Знайдемо матрицю переходу, при цьому не будемо докладно зупинятись на знаходженні зворотної матриці та множенні матриць (дивіться при необхідності статті та ): 
Залишилося з'ясувати зв'язок координат вектора x у заданих базисах.
Нехай у базисі вектор x має координати, тоді 
а базисі вектор x має координати , тоді 
Оскільки ліві частини останніх двох рівностей однакові, ми можемо прирівняти праві частини: 
Якщо помножити обидві частини праворуч
то отримаємо 
З іншого боку 
(Знайдіть зворотну матрицю самостійно).
Два останніх рівності дають нам шуканий зв'язок координат вектора x у базисах і .
Відповідь:
Матриця переходу від базису до базису має вигляд 
;
координати вектора x у базисах та пов'язані співвідношеннями 
або .
Ми розглянули поняття розмірності та базису векторного простору, навчилися розкладати вектор по базису та виявили зв'язок між різними базисами n-мірного простору векторів через матрицю переходу.
Визначення базису.Система векторів утворює базис, якщо:
1) вона лінійно-незалежна,
2) будь-який вектор простору через неї лінійно виражається.
приклад 1.Базис простору: .
2.
У системі векторів 
базисом є вектори: , т.к. 
лінійно виражається через вектори.
Зауваження.Щоб знайти базис даної системи векторів необхідно:
1) записати координати векторів у матрицю,
2) за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до трикутного вигляду,
3) ненульові рядки матриці будуть базисом системи,
4) кількість векторів у базисі дорівнює рангу матриці.
Теорема Кронекера-Капеллі
Теорема Кронеккера-Капеллі дає вичерпну відповідь на питання щодо спільності довільної системи лінійних рівнянь з невідомими
Теорема Кронеккера-Капеллі. Система лінійних рівнянь алгебри спільна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу основної матриці, .
Алгоритм відшукання всіх рішень спільної системи лінійних рівнянь випливає з теореми Кронеккера-Капеллі та наступних теорем.
Теорема.Якщо ранг спільної системи дорівнює числу невідомих, система має єдине рішення.
Теорема.Якщо ранг спільної системи менший за кількість невідомих, то система має безліч рішень.
Алгоритм розв'язання довільної системи лінійних рівнянь:
1. Знайдемо ранги основної та розширеної матриць системи. Якщо вони не рівні (), система несумісна (не має рішень). Якщо ранги дорівнюють ( , то система спільна.
2. Для спільної системи знайдемо якийсь мінор, порядок якого визначає ранг матриці (такий мінор називають базисним). Складемо нову систему з рівнянь, у яких коефіцієнти при невідомих, входять у базисний мінор (ці невідомі називають головними невідомими), інші рівняння відкинемо. Головні невідомі з коефіцієнтами залишимо зліва, а решту невідомих (їх називають вільними невідомими) перенесемо у праву частину рівнянь.
3. Знайдемо висловлювання головних невідомих через вільні. Отримуємо загальне рішення системи.
4. Надаючи вільним невідомим довільні значення, отримаємо відповідні значення головних невідомих. Таким чином знаходимо окремі рішення вихідної системи рівнянь.
Лінійне програмування. Основні поняття
Лінійне програмування– це напрямок математичного програмування, що вивчає методи вирішення екстремальних завдань, що характеризуються лінійною залежністю між змінними та лінійним критерієм.
Необхідною умовою встановлення задачі лінійного програмування є обмеження на наявність ресурсів, величину попиту, виробничу потужність підприємства та інші виробничі фактори.
Сутність лінійного програмування полягає у знаходженні точок найбільшого чи найменшого значення деякої функції при певному наборі обмежень, що накладаються на аргументи та утворюють систему обмежень що має, як правило, безліч рішень. Кожна сукупність значень змінних (аргументів функції) F ), які задовольняють системі обмежень, називається допустимим планом Завдання лінійного програмування. Функція F , максимум або мінімум якої визначається, називається цільовою функцією завдання. Допустимий план, на якому досягається максимум або мінімум функції F , називається оптимальним планом завдання.
Система обмежень, визначальна безліч планів, диктується умовами виробництва. Завданням лінійного програмування ( ЗЛП ) є вибір із безлічі допустимих планів найбільш вигідного (оптимального).
У загальній постановці завдання лінійного програмування має такий вигляд:
Є якісь змінні х = (х 1, х 2, … х n) та функція цих змінних f(x) = f (х 1, х 2, … х n) яка носить назву цільовий функції. Ставиться завдання: знайти екстремум (максимум або мінімум) цільової функції f(x) за умови, що змінні x належать до певної області G :
Залежно від виду функції f(x)
та області G
і розрізняють розділи математичного програмування: квадратичне програмування, опукле програмування, ціле програмування і т.д. Лінійне програмування характеризується тим, що
а) функція f(x)
є лінійною функцією змінних х 1, х 2, … х n
б) область G
визначається системою лінійних
рівностей чи нерівностей.
В геометрії вектор розуміється як спрямований відрізок, причому вектори, отримані один з одного паралельним перенесенням, вважаються рівними. Усі рівні вектори розглядаються як і той самий вектор. Початок вектора можна помістити у будь-яку точку простору чи площині.
Якщо в просторі задані координати кінців вектора: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), то
= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)
Аналогічна формула має місце площині. Це означає, що вектор можна записати як координатного рядка. Операції над векторами, – додавання та множення на число, над рядками виконуються покомпонентно. Це дозволяє розширити поняття вектора, розуміючи під вектором будь-який рядок чисел. Наприклад, рішення системи лінійних рівнянь, і навіть будь-який набір значень змінних системи, можна як вектор.
Над рядками однакової довжини операція додавання виконується за правилом
(a 1, a 2, …, a n) + (b 1, b 2, …, b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+ b n). (2)
Розмноження рядка на число виконується за правилом
l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1, la 2, …, la n). (3)
Безліч векторів-рядків заданої довжини nіз зазначеними операціями складання векторів та множення на число утворює алгебраїчну структуру, яка називається n-мірним лінійним простором.
Лінійною комбінацією векторів називається вектор 
де λ 1 , ... , λ m- Довільні коефіцієнти.
Система векторів називається лінійно залежною, якщо існує її лінійна комбінація, рівна , в якій є хоча б один ненульовий коефіцієнт.
Система векторів називається лінійно незалежною, якщо у будь-якій її лінійній комбінації, що дорівнює , всі коефіцієнти нульові.
Таким чином, вирішення питання про лінійну залежність системи векторів зводиться до вирішення рівняння.
x 1 + x 2 + … + x m = . (4)
Якщо це рівняння є ненульові рішення, то система векторів лінійно залежна. Якщо ж нульове рішення є єдиним, система векторів лінійно незалежна.
Для вирішення системи (4) можна наочності вектори записати над вигляді рядків, а вигляді стовпців.
Тоді, виконавши перетворення в лівій частині, прийдемо до системи лінійних рівнянь, що дорівнює рівнянню (4). Основна матриця цієї системи утворена координатами вихідних векторів, що розташовані по стовпцях. Стовпець вільних членів не потрібен, оскільки система однорідна.
Базисомсистеми векторів (кінцевої чи нескінченної, зокрема, всього лінійного простору) називається її непуста лінійно незалежна підсистема, якою можна висловити будь-який вектор системи.
приклад 1.5.2.Знайти базис системи векторів = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) та виразити інші вектори через базис.
Рішення. Будуємо матрицю, в якій координати даних векторів розташовуємо по шпальтах. Це матриця системи x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Наводимо матрицю до ступінчастого вигляду:
~ 
~ 
~
Базис даної системи векторів утворюють вектори , , , Яким відповідають провідні елементи рядків, виділені кружками. Для виразу вектора розв'язуємо рівняння x 1 + x 2 + x 4 = . Воно зводиться до системи лінійних рівнянь, матриця якої виходить з вихідною перестановкою стовпця, відповідного на місце стовпця вільних членів. Тому при приведенні до ступінчастого вигляду над матрицею будуть зроблені самі перетворення, що вище. Значить, можна використовувати отриману матрицю в ступінчастому вигляді, зробивши в ній необхідні перестановки стовпців: стовпці з кружками поміщаємо зліва від вертикальної межі, а стовпець, відповідний вектору, поміщаємо праворуч від межі.
Послідовно знаходимо:
x 4 = 0;
x 2 = 2;
x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;
Зауваження. Якщо потрібно висловити через базис кілька векторів, то кожного з них будується відповідна система лінійних рівнянь. Ці системи відрізнятимуться лише стовпцями вільних членів. У цьому кожна система вирішується незалежно від інших.
У п р а ж н е н ня 1.4.Знайти базис системи векторів і виразити інші вектори через базис:
а) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, -2, -2, 1), = (3, 5, 1, 2);
б) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, -1, 2, 2), = (4, -2, 2, 2);
в) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, -2, 1); = (2, -6, -2).
У заданій системі векторів базис зазвичай можна виділити різними способами, але у всіх базисах буде однакове число векторів. Число векторів у базисі лінійного простору називається розмірністю простору. Для n-мірного лінійного простору n– це розмірність простору, оскільки це має стандартний базис = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Через цей базис будь-який вектор = (a 1 , a 2 , … , a n) виражається так:
= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =
A 1 (1, 0, …, 0) + a 2 (0, 1, …, 0) + … + a n(0, 0, …,1) = a 1 + a 2 +… + a n .
Таким чином, компоненти у рядку вектора = (a 1 , a 2 , … , a n) – це його коефіцієнти у розкладанні через стандартний базис.
Прямі на площині
Завдання аналітичної геометрії – застосування геометричним завданням координатного методу. Тим самим завдання переводиться в форму алгебри і вирішується засобами алгебри.
Приклад 8
Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.
Рішення:Спочатку знаємося з умовою. За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори справді лінійно незалежні:
Обчислимо визначник, складений координат векторів : 
, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.
! Важливо: координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.
Тепер згадаємо теоретичну частину: якщо вектори утворюють базис, будь-який вектор можна єдиним способом розкласти по даному базису: , де – координати вектора у базисі .
Оскільки наші вектори утворюють базис тривимірного простору (це вже доведено), то вектор можна єдиним чином розкласти за цим базисом: 
, де - Координати вектора в базисі .
За умовою і потрібно знайти координати.
Для зручності пояснення поміняю частини місцями: 
. З метою знаходження слід розписати цю рівність покоординатно: 
За яким принципом розставлені коефіцієнти? Усі коефіцієнти лівої частини точно перенесені з визначника 
, у праву частину записані координати вектора.
Вийшла система трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими. Зазвичай її вирішують за формулам Крамера, часто навіть за умови завдання є така вимога.
Головний визначник системи вже знайдено:
Отже, система має єдине рішення.
Подальше – справа техніки: 
Таким чином:
- Розкладання вектора по базису.
Відповідь: 
Як я вже зазначав, завдання має алгебраїчний характер. Вектори, які були розглянуті – це не обов'язково ті вектори, які можна намалювати у просторі, а насамперед абстрактні вектори курсу лінійної алгебри. Для двомерних векторів можна сформулювати і вирішити аналогічне завдання, рішення буде набагато простіше. Однак на практиці мені таке завдання жодного разу не траплялося, саме тому я його пропустив у попередньому розділі.
Таке ж завдання з тривимірними векторами для самостійного вирішення:
Приклад 9
Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис і знайти координати вектора у цьому базисі. Систему лінійних рівнянь вирішити шляхом Крамера.
Повне рішення та зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.
Аналогічно можна розглянути чотиривимірне, п'ятивимірне і т.д. векторні простори, де вектори відповідно 4, 5 і більше координат. Для даних векторних просторів також існує поняття лінійної залежності, лінійної незалежності векторів, існує базис, у тому числі, ортонормований, розкладання вектора по базису. Так, такі простори неможливо намалювати геометрично, але в них працюють усі правила, властивості та теореми двох та трьох мірних випадків – чиста алгебра. Власне, про філософські питання мене вже пробивало поговорити у статті Приватні похідні функції трьох змінних, яка з'явилася раніше за цей урок.
Любіть вектори і вектори полюблять вас!
Рішення та відповіді:
Приклад 2: Рішення: складемо пропорцію з відповідних координат векторів:
Відповідь:
при
Приклад 4: Доведення: Трапецієюназивається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.
1) Перевіримо паралельність протилежних сторін та .
Знайдемо вектори:
, Отже, ці вектори не колінеарні, і сторони не паралельні.
2) Перевіримо паралельність протилежних сторін та .
Знайдемо вектори:
Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні, і .
Висновок:
Дві сторони чотирикутника паралельні, а дві інші сторони не паралельні, отже він є трапецією за визначенням. Що й потрібно було довести.
Приклад 5: Рішення:
б) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:
Система не має рішення, отже вектори не колінеарні.
Простіше оформлення:
– друга та третя координати не пропорційні, отже, вектори не колінеарні.
Відповідь:
вектори не колінеарні.
в) Досліджуємо на колінеарність вектори 
. Складемо систему:
Відповідні координати векторів пропорційні, отже
Ось тут не проходить «піжонський» метод оформлення.
Відповідь:
Приклад 6: Рішення: б) Обчислимо визначник, складений з координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):
, отже, вектори лінійно залежні і утворюють базису тривимірного простору.
Відповідь
: дані вектори не утворюють базису.
Приклад 9: Рішення:Обчислимо визначник, складений координат векторів :
Таким чином, вектори лінійно незалежні та утворюють базис.
Представимо вектор у вигляді лінійної комбінації базисних векторів:
Покоординатно:
Систему вирішимо за формулами Крамера:
Отже, система має єдине рішення.
Відповідь:Вектори утворюють базис,
Вища математика для заочників і не лише >>>
(Перехід на головну сторінку)
Векторний витвір векторів.
Змішаний твір векторів
На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів. Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий - навряд чи складніше, ніж те саме скалярний добуток, навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛЯТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя =)
Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах
Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати взагалі не доведеться, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторний та змішаний твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!
У статті про n-мірні вектори ми дійшли поняття лінійного простору, що породжується безліччю n-вимірних векторів. Тепер ми маємо розглянути не менш важливі поняття, такі як розмірність і базис векторного простору. Вони безпосередньо пов'язані з поняттям лінійно незалежної системи векторів, тому додатково рекомендується нагадати собі основи цієї теми.
Введемо деякі визначення.
Визначення 1
Розмірність векторного простору– число, що відповідає максимальній кількості лінійно незалежних векторів у цьому просторі.
Визначення 2
Базис векторного простору- Сукупність лінійно незалежних векторів, впорядкована і в своїй чисельності дорівнює розмірності простору.
Розглянемо якийсь простір n-векторів. Розмірність його відповідно дорівнює n. Візьмемо систему з n-поодиноких векторів:
e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . .
Використовуємо ці вектори як складові матриці A: вона буде одиничною з розмірністю n на n . Ранг цієї матриці дорівнює n. Отже, векторна система e(1), e(2), . . . e (n) є лінійно незалежною. При цьому до системи неможливо додати жодного вектора, не порушивши її лінійної незалежності.
Так як число векторів у системі дорівнює n, то розмірність простору n-мірних векторів дорівнює n, а поодинокі вектори e(1), e(2), . . . e (n) є базисом зазначеного простору.
З отриманого визначення зробимо висновок: будь-яка система n-вимірних векторів, в якій число векторів менше n, не є базисом простору.
Якщо ми поміняємо місцями перший і другий вектор, отримаємо систему векторів e(2), e(1), . . . , E (n) . Вона також буде базисом n-мірного векторного простору. Складемо матрицю, взявши за її рядки вектори отриманої системи. Матриця може бути отримана з одиничної матриці перестановкою місцями перших двох рядків, ранг її дорівнюватиме n . Система e(2), e(1), . . . e (n) лінійно незалежна і є базисом n -мірного векторного простору.
Переставивши місцями у вихідній системі інші вектори, отримаємо ще один базис.
Ми можемо взяти лінійно незалежну систему непоодиноких векторів, і вона також буде базисом n-мірного векторного простору.
Визначення 3
Векторний простір з розмірністю n має стільки базисів, скільки існує лінійно незалежних систем з n-вимірних векторів числом n.
Площина є двовимірним простором – її базисом будуть два будь-які неколінеарні вектори. Базисом тривимірного простору послужать три будь-які некомпланарні вектори.
Розглянемо застосування цієї теорії на конкретних прикладах.
Приклад 1
Вихідні дані:вектори
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)
Необхідно визначити, чи вказані вектори є базисом тривимірного векторного простору.
Рішення
Для вирішення поставленої задачі досліджуємо задану систему векторів на лінійну залежність. Складемо матрицю, де рядки – координати векторів. Визначимо ранг матриці.
A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 · 1 · (-2) + (-2) · 2 · 3 + 1 · 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3
Отже, задані умовою завдання вектори лінійно незалежні, та його чисельність дорівнює розмірності векторного простору – є базисом векторного простору.
Відповідь:Вказані вектори є базисом векторного простору.
Приклад 2
Вихідні дані:вектори
a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)
Необхідно визначити, чи вказана система векторів може бути базисом тривимірного простору.
Рішення
Зазначена за умови завдання система векторів є лінійно залежною, т.к. максимальна кількість лінійно незалежних векторів дорівнює 3. Таким чином, вказана система векторів не може бути базисом тривимірного векторного простору. Але слід зазначити, що підсистема вихідної системи a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) є базисом.
Відповідь:Вказана система векторів не є базисом.
Приклад 3
Вихідні дані:вектори
a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)
Чи можуть вони бути базисом чотиривимірного простору?
Рішення
Складемо матрицю, використовуючи як рядки координати заданих векторів
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7
За методом Гауса визначимо ранг матриці:
A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4
Отже, система заданих векторів лінійно незалежна та його чисельність дорівнює розмірності векторного простору – є базисом чотиривимірного векторного простору.
Відповідь:задані вектори є базисом чотиривимірного простору.
Приклад 4
Вихідні дані:вектори
a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)
Чи становлять вони базис простору розмірністю 4?
Рішення
Вихідна система векторів лінійно незалежна, але чисельність векторів у ній недостатня, щоб стати базисом чотиривимірного простору.
Відповідь:ні, не складають.
Розкладання вектора за базисом
Приймемо, що довільні вектори e(1), e(2), . . . e (n) є базисом векторного n-мірного простору. Додамо до них якийсь n-вимірний вектор x →: отримана система векторів стане лінійно залежною. Властивості лінійної залежності свідчать, що хоча один із векторів такої системи може лінійно виражатися через інші. Переформулюючи це твердження, можна говорити про те, що хоча б один із векторів лінійно залежної системи може розкладатися за іншими векторами.
Таким чином, ми дійшли формулювання найважливішої теореми:
Визначення 4
Будь-який вектор n-вимірного векторного простору єдиним чином розкладається по базису.
Доказ 1
Доведемо цю теорему:
задамо базис n-вимірного векторного простору - e (1), e (2),. . . , E (n) . Зробимо систему лінійно залежною, додавши до неї n-вимірний вектор x → . Цей вектор може бути лінійно виражений через вихідні вектори:
x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , де x 1 x 2 . . . , x n – деякі числа.
Тепер доведемо, що таке розкладання є єдиним. Припустимо, що це не так і існує ще одне подібне розкладання:
x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , де x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n – деякі числа.
Віднімемо від лівої та правої частин цієї рівності відповідно ліву та праву частини рівності x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Отримаємо:
0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) · e (2)
Система базисних векторів e(1), e(2), . . . e (n) лінійно незалежна; за визначенням лінійної незалежності системи векторів рівність вища можлива лише тоді, коли всі коефіцієнти (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) дорівнюватимуть нулю. З чого справедливим буде: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2,. . . , x n = x ~ n. І це доводить єдиний варіант розкладання вектора за базисом.
У цьому коефіцієнти x 1 , x 2 , . . . , x n називають координатами вектора x → у базисі e (1) , e (2) , . . . , E (n) .
Доведена теорія робить зрозумілим вираз «заданий n-вимірний вектор x = (x 1, x 2, . . ., x n)»: розглядається вектор x → n-вимірного векторного простору, і його координати задані в деякому базисі. При цьому також зрозуміло, що цей вектор в іншому базисі n -мірного простору буде мати інші координати.
Розглянемо наступний приклад: припустимо, що у деякому базисі n -мірного векторного простору задана система з n лінійно незалежних векторів
а також заданий вектор x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).
Вектори e 1 (1) e 2 (2) . . . , e n (n) у разі також є базисом цього векторного простору.
Припустимо, необхідно визначити координати вектора x → у базисі e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , що позначаються як x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n.
Вектор x → буде представлений таким чином:
x = x ~ 1 · e (1) + x ~ 2 · e (2) + . . . + x ~ n · e (n)
Запишемо цей вираз у координатній формі:
(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 · (e (1) 1 , e (1) 2 , . . ) 1 , e (2) 2 , . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))
Отримана рівність рівносильна системі з n лінійних виразів алгебри з n невідомими лінійними змінними x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:
x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n
Матриця цієї системи буде мати такий вигляд:
e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)
Нехай це буде матриця A і її стовпці – вектори лінійно незалежної системи векторів e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Ранг матриці – n і її визначник відмінний від нуля. Це свідчить про те, що система рівнянь має єдине рішення, яке визначається будь-яким зручним способом: наприклад, методом Крамера або матричним методом. Таким чином ми зможемо визначити координати x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n вектор x → у базисі e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .
Застосуємо розглянуту теорію на конкретному прикладі.
Приклад 6
Вихідні дані:у базисі тривимірного простору задані вектори
e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)
Необхідно підтвердити факт, що система векторів e(1), e(2), e(3) також є базисом заданого простору, а також визначити координати вектора х у заданому базисі.
Рішення
Система векторів e(1), e(2), e(3) буде базисом тривимірного простору, якщо вона лінійно незалежна. З'ясуємо цю можливість, визначивши ранг матриці A, рядки якої - задані вектори e(1), e(2), e(3).
Використовуємо метод Гауса:
A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5
Rank (A) = 3 . Таким чином, система векторів e(1), e(2), e(3) лінійно незалежна і є базисом.
Нехай у базисі вектор x → має координати x~1, x~2, x~3. Зв'язок цих координат визначається рівнянням:
x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)
Застосуємо значення відповідно до умов завдання:
x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7
Розв'яжемо систему рівнянь методом Крамера:
∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1
Так, вектор x → у базисі e (1) , e (2) , e (3) має координати x ~ 1 = 1 x ~ 2 = 1 x ~ 3 = 1 .
Відповідь: x = (1, 1, 1)
Зв'язок між базисами
Припустимо, що у деякому базисі n-мірного векторного простору дано дві лінійно незалежні системи векторів:
c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))
e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))
Зазначені системи є базисами заданого простору.
Нехай c ~ 1 (1), c ~ 2 (1),. . . , c ~ n (1) - координати вектора c (1) у базисі e (1) , e (2) , . . . e (3) тоді зв'язок координат буде задаватися системою лінійних рівнянь:
з 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) з 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ з n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)
У вигляді матриці систему можна відобразити так:
(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Зробимо за аналогією такий самий запис для вектора c(2):
(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , ..., c ~ n (n)) · e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)
Матричність рівності об'єднаємо в один вираз:
c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) · e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)
Воно й визначатиме зв'язок векторів двох різних базисів.
Використовуючи той самий принцип, можна виразити всі вектори базису e(1), e(2), . . . e (3) через базис c (1) c (2) . . . , c(n):
e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)
Дамо наступні визначення:
Визначення 5
Матриця c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) є матрицею переходу від базису e(1), e(2), . . . , e (3)
до базису c (1), c (2),. . . c (n) .
Визначення 6
Матриця e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) є матрицею переходу від базису c (1) , c (2) , . . . , c (n)
до базису e(1), e(2), . . . , E (3) .
З цих рівностей очевидно, що
c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) · e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1 1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1
тобто. матриці переходу взаємозворотні.
Розглянемо теорію на конкретному прикладі.
Приклад 7
Вихідні дані:необхідно знайти матрицю переходу від базису
c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) c (3) = (3 , 7 , 1)
e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)
Також потрібно вказати зв'язок координат довільного вектора x → у заданих базисах.
Рішення
1. Нехай T – матриця переходу, тоді вірною буде рівність:
3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T · 1 2 1 2 3 3 3 7 1
Помножимо обидві частини рівності на
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
та отримаємо:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
2. Визначимо матрицю переходу:
T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
3. Визначимо зв'язок координат вектора x → :
припустимо, що у базисі c (1) , c (2) , . . . , c (n) вектор x → має координати x 1 x 2 x 3 тоді:
x = (x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,
а в базисі e(1), e(2), . . . , e (3) має координати x ~ 1 x ~ 2 x ~ 3 тоді:
x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Т.к. рівні ліві частини цих рівностей, ми можемо прирівняти і праві:
(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6
Помножимо обидві частини праворуч
1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1
та отримаємо:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
З іншого боку
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Останні рівність показують зв'язок координат вектора x → в обох базисах.
Відповідь:матриця переходу
27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
Координати вектора x → у заданих базисах пов'язані співвідношенням:
(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8
(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
