Урок однієї теореми: "Ознака перпендикулярності прямої і площини". Перпендикулярні пряма і площина, ознака і умови перпендикулярності прямої і площини Властивості прямої перпендикулярної до площини

На цьому уроці ми повторимо теорію і доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої і площини.
На початку уроку згадаємо визначення прямої, перпендикулярної до площини. Далі розглянемо і доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої і площини. Для доведення цієї теореми згадаємо властивість серединного перпендикуляра.
Далі вирішимо кілька завдань на перпендикулярність прямої і площини.

Тема: Перпендикулярність прямої і площини

Урок: Ознака перпендикулярності прямої і площини

На цьому уроці ми повторимо теорію і доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої і площини.

визначення. пряма а називається перпендикулярної до площини α, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Якщо пряма перпендикулярна до двох пересічних прямих, які лежать в площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Доведення.

Нехай нам дана площину α. У цій площині лежать дві пересічні прямі p і q. пряма а перпендикулярна прямий p і прямий q. Нам потрібно довести, що пряма а перпендикулярна площині α, тобто, що пряма а перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в площині α.

нагадування.

Для доказу нам потрібно згадати властивості серединного перпендикуляра до відрізка. серединний перпендикуляр рдо відрізка АВ - це геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців відрізка. Тобто, якщо точка З лежить на серединному перпендикуляре р, то АС \u003d ВС.

нехай точка Про - точка перетину прямої а і площини α (рис. 2). Без обмеження спільність, будемо вважати, що прямі p і q перетинаються в точці Про. Нам потрібно довести перпендикулярність прямої а до довільної прямої mз площини α.

Проведемо через точку Про пряму l, Паралельно прямій m.на прямій а відкладемо відрізки ОА і ОВ, причому ОА = ОВ, Тобто точка Про - середина відрізка АВ. проведемо пряму PL, .

пряма р перпендикулярна прямий а (З умови), (З побудови). значить, р АВ. Крапка Р лежить на прямій р. значить, РА \u003d РВ.

пряма q перпендикулярна прямий а (З умови), (З побудови). значить, q - серединний перпендикуляр до відрізка АВ. Крапка Q лежить на прямій q. значить, QА \u003dQВ.

трикутники АРQі ВРQрівні за трьома сторонами (РА \u003d РВ, QА \u003dQВ, РQ -загальна сторона). Значить, кути АРQі ВРQрівні.

трикутники АPL і BPL рівні по куту і двом прилеглим сторонам (∠ АРL= ∠ВРL, РА \u003d РВ, PL - загальна сторона). З рівності трикутників отримуємо, що AL \u003dBL.

Розглянемо трикутник ABL.Він рівнобедрений, так як AL \u003dBL.У трикутник медіана lоє і висотою, тобто пряма lоперпендикулярна АВ.

Ми отримали, що пряма а перпендикулярна прямий l,а значить, і прямий m,що і потрібно було довести.

точки А, М, Про лежать на прямій, перпендикулярній до площини α, а точки О, В, С і D лежать в площині α (рис. 3). Які з наступних кутів є прямими:?

Рішення

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна площині α, а значить, пряма АТ перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в площині α, в тому числі прямий ВО. Значить,.

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна прямий ОС, Значить,.

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна прямий ПроD, Значить,. Розглянемо трикутник DAO. У трикутнику може бути тільки один прямий кут. Значить, кут DAM - не є прямим.

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна прямий ПроD, Значить,.

Розглянемо кут. Це кут в прямокутному трикутнику BMO, Він не може бути прямим, так як кут МОВ - прямий.

відповідь: .

У трикутнику АВС дано:, АС \u003d 6 см, ВС \u003d 8 см, СМ - медіана (рис. 4). через вершину З проведена пряма СК, Перпендикулярна до площини трикутника АВС, причому СК \u003d 12 см. Знайдіть КМ.

Рішення:

знайдемо довжину АВ по теоремі Піфагора: (см).

По властивості прямокутного трикутника середина гіпотенузи М рівновіддалена від вершин трикутника. Тобто СМ \u003d АМ \u003d ВМ, (См).

Розглянемо трикутник КСМ. пряма КС перпендикулярна площині АВС, а значить, КС перпендикулярна СМ. Значить, трикутник КСМ - прямокутний. знайдемо гіпотенузу КМ з теореми Піфагора: (см).

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (Базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл.

Завдання 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте визначення перпендикулярності прямої і площини.

3. Вкажіть в кубі пару - ребро і грань, які є перпендикулярними.

4. Точка До лежить поза площиною рівнобедреного трикутника АВС і рівновіддалена від точок В і З. М - середина підстави ВС. Доведіть, що пряма ВС перпендикулярна площині АКМ.

На цьому уроці ми повторимо теорію і доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої і площини.
На початку уроку згадаємо визначення прямої, перпендикулярної до площини. Далі розглянемо і доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої і площини. Для доведення цієї теореми згадаємо властивість серединного перпендикуляра.
Далі вирішимо кілька завдань на перпендикулярність прямої і площини.

Тема: Перпендикулярність прямої і площини

Урок: Ознака перпендикулярності прямої і площини

На цьому уроці ми повторимо теорію і доведемо теорему-ознака перпендикулярності прямої і площини.

визначення. пряма а називається перпендикулярної до площини α, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Якщо пряма перпендикулярна до двох пересічних прямих, які лежать в площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Доведення.

Нехай нам дана площину α. У цій площині лежать дві пересічні прямі p і q. пряма а перпендикулярна прямий p і прямий q. Нам потрібно довести, що пряма а перпендикулярна площині α, тобто, що пряма а перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в площині α.

нагадування.

Для доказу нам потрібно згадати властивості серединного перпендикуляра до відрізка. серединний перпендикуляр рдо відрізка АВ - це геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців відрізка. Тобто, якщо точка З лежить на серединному перпендикуляре р, то АС \u003d ВС.

нехай точка Про - точка перетину прямої а і площини α (рис. 2). Без обмеження спільність, будемо вважати, що прямі p і q перетинаються в точці Про. Нам потрібно довести перпендикулярність прямої а до довільної прямої mз площини α.

Проведемо через точку Про пряму l, Паралельно прямій m.на прямій а відкладемо відрізки ОА і ОВ, причому ОА = ОВ, Тобто точка Про - середина відрізка АВ. проведемо пряму PL, .

пряма р перпендикулярна прямий а (З умови), (З побудови). значить, р АВ. Крапка Р лежить на прямій р. значить, РА \u003d РВ.

пряма q перпендикулярна прямий а (З умови), (З побудови). значить, q - серединний перпендикуляр до відрізка АВ. Крапка Q лежить на прямій q. значить, QА \u003dQВ.

трикутники АРQі ВРQрівні за трьома сторонами (РА \u003d РВ, QА \u003dQВ, РQ -загальна сторона). Значить, кути АРQі ВРQрівні.

трикутники АPL і BPL рівні по куту і двом прилеглим сторонам (∠ АРL= ∠ВРL, РА \u003d РВ, PL - загальна сторона). З рівності трикутників отримуємо, що AL \u003dBL.

Розглянемо трикутник ABL.Він рівнобедрений, так як AL \u003dBL.У трикутник медіана lоє і висотою, тобто пряма lоперпендикулярна АВ.

Ми отримали, що пряма а перпендикулярна прямий l,а значить, і прямий m,що і потрібно було довести.

точки А, М, Про лежать на прямій, перпендикулярній до площини α, а точки О, В, С і D лежать в площині α (рис. 3). Які з наступних кутів є прямими:?

Рішення

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна площині α, а значить, пряма АТ перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить в площині α, в тому числі прямий ВО. Значить,.

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна прямий ОС, Значить,.

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна прямий ПроD, Значить,. Розглянемо трикутник DAO. У трикутнику може бути тільки один прямий кут. Значить, кут DAM - не є прямим.

Розглянемо кут. пряма АТ перпендикулярна прямий ПроD, Значить,.

Розглянемо кут. Це кут в прямокутному трикутнику BMO, Він не може бути прямим, так як кут МОВ - прямий.

відповідь: .

У трикутнику АВС дано:, АС \u003d 6 см, ВС \u003d 8 см, СМ - медіана (рис. 4). через вершину З проведена пряма СК, Перпендикулярна до площини трикутника АВС, причому СК \u003d 12 см. Знайдіть КМ.

Рішення:

знайдемо довжину АВ по теоремі Піфагора: (см).

По властивості прямокутного трикутника середина гіпотенузи М рівновіддалена від вершин трикутника. Тобто СМ \u003d АМ \u003d ВМ, (См).

Розглянемо трикутник КСМ. пряма КС перпендикулярна площині АВС, а значить, КС перпендикулярна СМ. Значить, трикутник КСМ - прямокутний. знайдемо гіпотенузу КМ з теореми Піфагора: (см).

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл.

Завдання 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте визначення перпендикулярності прямої і площини.

3. Вкажіть в кубі пару - ребро і грань, які є перпендикулярними.

4. Точка До лежить поза площиною рівнобедреного трикутника АВС і рівновіддалена від точок В і З. М - середина підстави ВС. Доведіть, що пряма ВС перпендикулярна площині АКМ.

урок дослідження

Перпендикулярність прямої і площини.

Мета уроку: Показати множинність підходів до доведення теореми; удосконалювати дослідницькі вміння і навички учнів.

Підготовка до уроку: учні-консультанти будинку готують по додатковій літературі сім доказів ознаки перпендикулярності прямої і площини.

Хід уроку: I

Вступне слово вчителя:

Сьогоднішній урок - урок дослідження. Всім разом належить в процесі вирішення завдань і відповідей на проблемні питання, підійти до формулювання теореми перпендикулярності прямої і площини і познайомитися з сімома варіантами доказів цієї теореми з тим, щоб вибрати найбільш оптимальний з них, докладно мотивувати свою думку.

1. Підготовка до формулювання теореми:

Повторення визначення перпендикуляра до площини, аналіз практичного застосування даного поняття за допомогою вирішення завдань.

Завдання 1.

Дано: Площина, точки А і В у цій площині; АМ - пряма перпендикулярна цій площині. Визначити вид трикутника АМВ.

Завдання по варіантах.

Дан плоский чотирикутник АВСD. АМ - перпендикуляр до площини ABCD. Які з трикутників ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM - прямокутні.

ABCD - квадрат. Пряма ВК перпендикулярна площині квадрата. Які з трикутників ABD, BCD, ABK, BDK, BCK - прямокутні.

Консультанти збирають листочки і перевіряють рішення, а вчитель підводить учнів до висновку:

1.Верно твердження, що пряма, перпендикулярна до площини,

перпендикулярна будь-якої прямої лежить в цій площині?

2.Когда ж пряма перпендикулярна площині?

3.Сколько прямих лежать на площині? Чи можна їх порахувати?

Учень - консультантна моделі з спиць показує різні варіанти: в площині дві прямі в площині, пряма перпендикулярна одній з них.висновок: прямо не перпендикулярна площині. Наступний варіант моделі: пряма перпендикулярна двом прямим, лежачим в площині, і, виявляється, перпендикулярна площині. Далі для закріплення, можна взяти модель з трьох прямих і т. Д.

По завершенню роботи з моделями перед учнями ставиться черговий проблемне питання: скільки прямих досить в площині, щоб сказати, що пряма перпендикулярна площині?

Дослідивши ситуацію перпендикулярності прямої і площини, ми в щільну підійшли до теоремі, яка дасть можливість з'ясувати на кресленнях, на моделях і в практика перпендикулярність до прямої і площини. Спробуємо сформулювати теорему.

Хлопці пропонують свої варіанти формулювання теореми. Учитель виділяє найбільш раціональніше і пропонує прослухати різні варіанти формулювання і доказу даної теореми, які учень розшукали вдома в рекомендованій літературі.

2. Доказ теореми:

теорема: Якщо пряма, перетинається з площиною, перпендикулярна яким - небудь двом прямим, проведеним на цій площині через точку перетину даної прямої і площини, то вона перпендикулярна і до всякої третьої прямий проведеної в цій площині через ту ж точку перетину.

Доведення: Відкладемо на прямій AA1 довільної довжини, але рівні відрізки OA і OA1 і проведемо на площині якусь пряму, яка перетнула б три прямі виходять з точки О в точках C, D, і B Ці точки з'єднаємо з точками A і A1 ; ми отримаємо кілька треугольніков.ΔACB \u003d ΔA1 CB, так як у них BC - загальна, AC \u003d A1 C - як похилі до прямої AA1 , Однаково віддалених від заснування Про перпендикуляра ОС. З тієї ж причини AB \u003d A1 B .З рівності цих трикутників випливає, що ∟ABC \u003d ∟A1 BC.

ΔABD \u003d ΔA 1 BD за першою ознакою рівності трикутників: BD - загальна, AB \u003d A1 B по доведеному, ∟ABC \u003d ∟A1 BC .З рівності цих трикутників випливає, що AD \u003d A1 D.

ΔАОD \u003d ΔA1OD по третьому ознакою рівності трикутників. З рівності цих трикутників випливає, що AOD \u003d A1OD; і так як ці кути суміжні, то AA1 перпендикулярна OD.

теорема: Пряма, перпендикулярна двом пересічним прямим, що належить площині, перпендикулярна площині.

Перший випадок, коли всі прямі a, b, c проходять через точку О - точку перетину прямої з площиною α. Відзначимо на прямий р вектор OP, на прямий з вектор OC і доведемо, що добуток векторів OP і OC дорівнює 0.

Розкладемо вектор OC по векторах OA і OB, розташовані відповідно на прямих a і b; тоді (мова йде про вектори) OC \u003d OA + OB. значить:

OP ∙ OC \u003d OP (OA + OB) \u003d OP ∙ OA + OP ∙ OB

Але OP ┴ OA, OP ┴ OB; тому OP ∙ OA \u003d 0, OP ∙ OB \u003d 0. Звідси OP ∙ OC \u003d 0; значить OP ┴ OC і р ┴ с. Але з - будь-яка пряма площини; значить, р ┴ α

другий випадок , Коли прямі a, b, c не проходять через точку О. Проведемо через точку Про прямі a1 || a; b1 || b; c1 || c. За умовою p ┴ а, p ┴ b, значить p ┴ а1, p ┴ b1, і, по доведеному вище, p ┴ з1, а тому p ┴ с. Пряма з - будь-яка пряма площини α; значить пряма р перпендикулярна до всіх прямим, лежачим в площині α, а тому p ┴ α.

теорема: Якщо пряма перпендикулярна двом пересічним прямим, лежачим в площині, то вона перпендикулярна даній площині.

Доказ можна взяти з підручника А.В. Погорєлов «Геометрія 7-11»

А 1

α A X B

А 2

IV варіант Е.Е. Лежандр

теорема: Пряма перпендикулярна двом прямим, лежачим на площині, перпендикулярна самій площині. O

Дано: SO  OA, SO  OB, OA C ., OB C 

Довести: SO  

Доведення:

1. Медіану трикутника можна виразити через сторони

4AM 2 \u003d 2 (AB 2 + AC 2) -BC 2

2 Через точку С проведемо пряму так, щоб відрізок АВ, укладений між сторонами кута АОВ, розділився б в цій точці навпіл, тобто АС \u003d ВС. SC - медіана трикутника АSВ: 4SС2 \u003d 2 (SА 2 + SВ 2) -АВ 2 . ОС - медіана трикутника АОВ: 4ОВ2 \u003d 2 (АТ 2 + ОВ 2) -АВ 2 . Почленно віднімаючи ці рівності, отримаємо: 4 (SС2 -ОС 2) \u003d 2 ((SА 2-АТ 2) + (SВ 2 -ІВ 2 )). Вираз в дужках в правій частині рівності можна замінити по т. Піфагора. Для трикутника АОS: SО2 \u003d SА 2 -ОА 2 . Для трикутника ВОS: SО2 \u003d SВ 2 -ІВ 2.

Звідси: 4 (SС 2 -ОС 2) \u003d 2 (SО 2 + SО 2), 4 (SС 2 -ОС 2) \u003d 4SО 2, SС 2 -ОС 2 \u003d SО 2, звідки SС 2 \u003d SО 2 + ОС 2 . Згідно зворотної теореми Піфагора, SО ОС. ОС - довільна пряма, що належить площині, значить SО .

теорема: Якщо пряма перпендикулярна кожної з двох пересічних прямих лежать в площині, то ця пряма перпендикулярна площині.

Доведемо, що пряма l перпендикулярна будь-якої третьої прямий в площині

1. Побудова: Прямі m, n, g перенесемо паралельно в точку О; ОА \u003d ОС \u003d ОD \u003d ОВ, звідси ABCD - прямокутник, з'єднаємо A, B, C, D з деякою точкою М.
2. Трикутник АМD дорівнює ВМС за трьома сторонами, звідси угол1 дорівнює углу2. Трикутник МDL дорівнює трикутнику МКВ по двом сторонам і куту між ними. МD \u003d МВ, LD \u003d BK - центрально симетричні; отже MK \u003d LM.
3. Трикутник MLK - рівнобедрений, ОМ - медіана, значить, і висота. отримали ОМ g, звідси l  g, отже l 

теорема: Якщо пряма перпендикулярна двом пересічним прямим на площині, то вона перпендикулярно самої площині.

Р 1

Доказ засноване на симетрії щодо осі площині.

1. Побудова: l  l 1, m. O  l 1, m  n \u003d O, OP \u003d OP '.
2. Точки Р і Р '- симетричні щодо осі m, також Р і Р' - симетричні щодо осі n. тоді ((m  n)  ) - площину симетрії точок Р і Р ', отже,l 

3.Обсужденіе різних варіантів доведення теореми. Учні висловлюю свої думки про те, яке з доказів, на їх погляд, є оптимальним і чому. Учитель дозволяє вибрати для себе будь-який варіант і пов'язує теорему з прикладами з життя: У техніці часто зустрічається напрямок, перпендикулярний площині. Колони встановлюють так, що їх вісь перпендикулярна площині фундаменту; цвяхи забивають у дошку так, що вони перпендикулярні площині дошки; в циліндрі парової машини шток перпендикулярний площині поршня і т.д. Особливо важливо вертикальний напрямок, тобто напрямок сили тяжіння, воно перпендикулярно горизонтальній площині.

Завдання: ABCD - ромб, пряма ОК перпендикулярна діагоналям ромба.

Довести: ОК перпендикулярна площині ромба.

Підсумок уроку.

Завдання додому: П17, №120, №129

побудова прямий перпендикулярної даній площині з точки, взятої поза цій площині.
нехай a - площина, А - точка, з якої треба опустити перпендикуляр. У площині проведемо деяку пряму а. Через точку А і пряму апроведемо площину b (Пряма і точка визначають площину, причому тільки одну). У площині b з точки А опустимо на пряму а перпендикуляр АВ. З точки В в площині a відновимо перпендикуляр і позначимо пряму, на якій лежить цей перпендикуляр за з. Через відрізок АВ і пряму зпроведемо площину g (Дві пересічні прямі визначають площину, причому тільки одну). У площині g з точки А опустимо на пряму з перпендикуляр АС. Доведемо, що відрізок АС - перпендикуляр до площини b. Доведення. пряма а перпендикулярна прямим з і АВ (з побудови), а значить вона перпендикулярна і самої площині g, В якій лежать ці дві пересічні прямі (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). А раз вона перпендикулярна цій площині, то вона перпендикулярна і будь-якої прямої в цій площині, значить пряма а перпендикулярна АС. Пряма АС перпендикулярна двом прямим, лежачим в площині α: з (З побудови) і а (По доведеному), значить вона перпендикулярна площині α (за ознакою перпендикулярності прямої і площини)

теорема 1 . Якщо дві пересічні прямі паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.
Доведення. нехай а і b - перпендикулярні прямі, а 1 і b 1 - паралельні їм прямі, які перетинаються. Доведемо, що прямі а 1 і b 1 перпендикулярні.
якщо прямі а, b, а 1 і b 1 лежать в одній площині, то вони мають зазначеним в теоремі властивістю, як це відомо з планіметрії.
Припустимо тепер, що наші прямі не лежать в одній площині. тоді прямі а і b лежать в деякій площині α, а прямі а 1 і b 1 - в деякій площині β. За ознакою паралельності площин площині α і β паралельні. Нехай С - точка перетину прямих а і b, А З 1 - перетину прямих а 1 і b 1. Проведемо в площині паралельних прямих а і а а і а 1 в точках А і А 1. У площині паралельних прямих b і b 1 пряму, паралельну прямій СС 1. Вона перетне прямі b і b 1 в точках B і B 1.
Чотирикутники САА 1 З 1 і СВВ 1 С 1 - паралелограми, так як у них протилежні сторони паралельні. Чотирикутник АВВ 1 А 1 також паралелограм. У нього боку АА 1 і ВВ 1 паралельні, тому що кожна з них паралельна прямій СС 1 Таким чином чотирикутник лежить в площині, що проходить через паралельні прямі АА 1 і ВВ 1. А вона перетинає паралельні площини α і β по паралельних прямі АВ і А 1 В 1.
Так як у паралелограма протилежні сторони рівні, то АВ \u003d А 1 В 1, АС \u003d А 1 С 1, ВС \u003d В 1 С 1. За третьою ознакою рівності трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 рівні. Отже, кут А 1 С 1 В 1, дорівнює куту АСВ, прямий, тобто прямі а 1 і b 1 перпендикулярні. Ч.т.д.

властивості перпендикулярних прямої і площини.
теорема 2 . Якщо площина перпендикулярна одній з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і інший.
Доведення. нехай а 1 і а 2 - дві паралельні прямі і α - площина, перпендикулярна прямий а 1. Доведемо, що ця площина перпендикулярна і прямий а 2 .
Проведемо через точку А 2 перетину прямої а 2 з площиною α довільну пряму з 2 в площині α. Проведемо в площині α через точку А 1 перетину прямої а 1 з площиною α пряму з 1, паралельну прямий з 2. Так як пряма а 1 перпендикулярна площині α, то прямі а 1 і з 1 перпендикулярні. А по теоремі 1 паралельні їм прямі, які перетинаються а 2 і з 2 теж перпендикулярні. Таким чином, пряма а 2 перпендикулярна будь-якої прямої з 2 в площині α. А це означає, що пряма а 2 перпендикулярна площині α. Теорема доведена.

теорема 3 . Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же площині, паралельні між собою.
Маємо площину α і дві перпендикулярні їй прямі а і b. Доведемо, що а || b.
Через точки перетину прямими площини проведемо пряму з. За ознакою отримуємо а ^ c і b ^ c. через прямі а і b проведемо площину (дві паралельні прямі визначають площину і до того ж тільки одну). У цій площині ми маємо два паралельні прямі а і b і січну з. Якщо сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 о, то прямі паралельні. У нас якраз такий випадок - два прямих кута. Тому а || b.

Закріпимо поняття перпендикулярності прямої і площини конспектом уроку. Надамо загальне визначення, сформулюємо і наведемо доведення теореми і вирішимо кілька завдань на закріплення матеріалу.

З курсу геометрії відомо: дві прямі вважаються перпендикулярними, коли вони перетинаються під кутом 90 о.

Вконтакте

Однокласники

Теоретична частина

Переходячи до дослідження характеристик просторових фігур, будемо застосовувати нове поняття.

визначення:

пряма буде називатися перпендикулярній площині, Коли вона перпендикулярна прямій на поверхні, довільно проходить через точку перетину.

Інакше кажучи, якщо відрізок «АВ» перпендикулярний площині α, тоді кут перетину з усяким відрізком, проведеним по даній поверхні через «С» точку проходження «АВ» через площину α, буде 90 о.

З вищесказаного випливає теорема про ознаку перпендикулярності прямої і площини:

в разі якщо пряма, проведена через площину, буде перпендикулярна двом прямим, проведеним на площині через точку перетину, то вона перпендикулярна всій поверхні.

Говорячи іншими словами, якщо на малюнку 1 кути ACD і ACE рівні 90 о, то і кут ACF теж буде 90 о. Дивитися малюнок 3.

Доведення

За умовами теореми лінія «а» проведена перпендикулярно лініям d і e. Інакше кажучи, кути ACD і ACE рівні 90 о. Наводити докази будемо, виходячи з властивостей рівності трикутників. Дивитися малюнок 3.

Через точку C проходження лінії a через площину α прокреслити лінію f в довільному напрямку. Наведемо докази, що вона буде перпендикулярна відрізку AB або кут ACF буде 90 о.

на прямій a відкладемо відрізки однакової довжини AC і AB. На поверхні α проведемо лінію x в довільному напрямку і не проходить через місце перетину в точці «З». Лінія «х» повинна перетинати лінії e, d і f.

З'єднаємо прямими точки F, D і E c точками A і B.

Розглянемо два трикутника ACE і BCE. За умовами побудови:

1. Є дві однакові боку AC і BC.
2. У них дна загальна сторона CE.
3. Два рівних кута ACE і BCE - по 90 о.

Отже, за умовами рівності трикутників, якщо маємо дві рівні сторони і однаковий кут між ними, то ці трикутники рівні. З рівності трикутників випливає, що сторони AE і BE рівні.

Відповідно доводиться рівність трикутників ACD і BCD, інакше кажучи, рівність сторін AD і BD.

Тепер розглянемо два трикутника AED і BED. З раніше доведеного рівності трикутників випливає, що у цих фігур є однакові боку AE з BE і AD з BD. Одна сторона ED загальна. З умови рівності трикутників, певних по трьом сторонам, слід, що кути ADE і BDE рівні.

Сума кутів ADE і ADF становить 180 о. Сума кутів BDE і BDF також буде 180 о. Так як кути ADE і BDE рівні, то і кути ADF і BDF рівні.

Розглянемо два трикутника ADF і BDF. Вони мають по дві рівних боку AD і BD (доведено раніше), DF загальну сторону і по рівному кутку між ними ADF і BDF. Отже, ці трикутники мають однакові по довжині боку. Тобто сторона BF має ту ж довжину, що і сторона AF.

Якщо розглядати трикутник AFB, то він буде рівнобедрений (AF дорівнює BF), а пряма FC є медіаною, так як за умовами побудови сторона AC дорівнює стороні BC. Отже, кут ACF дорівнює 90 о. Що і треба було довести.

Важливим наслідком з наведеної теореми буде твердження:

якщо дві паралельні перетинають площину і одна з них становить кут 90 о, то і друга походить через площину під кутом 90 о.

За умовами завдання a і b є паралельними. Дивитися малюнок 4. Лінія a перпендикулярна поверхні α. Звідси випливає, що лінія b буде також перпендикулярна поверхні α.

Для доказу через дві точки перетину паралельних прямих з площиною проведемо на поверхні пряму c. По теоремі про прямий, перпендикулярної площині, кут DAB буде 90 о. З властивостей паралельних прямих слід, що кут ABF теж буде 90 о. Отже, за визначенням пряма b буде перпендикулярна поверхні α.

Використання теореми для вирішення завдань

Для закріплення матеріалу, використовуючи основні умови перпендикулярності прямої і площини, вирішимо кілька завдань.

Завдання № 1

Умови. З точки A побудувати перпендикулярну лінію площині α. Дивитися малюнок 5.

На поверхні α проведемо довільну пряму b. Через пряму b і точку A побудуємо поверхню β. З точки A на лінію b проведемо відрізок AB. З точки B на поверхні α проведемо перпендикулярну лінію c.

З точки A на лінію з опустимо перпендикуляр AC. Доведемо, що ця лінія буде перпендикулярна площині.

Для доказу через точку C на поверхні α проведемо лініюd, паралельну b, і через лінію c і точку A побудуємо площину. Лінія AC перпендикулярна лінії c за умовою побудови і перпендикулярна лінії d, як наслідок про двох паралельних лініях з теореми про перпендикулярність, так як за умовою лініяb перпендикулярна поверхні γ.

Отже, за визначенням перпендикулярності лінії і площини, побудований відрізок AC перпендикулярний поверхні α.

Завдання № 2

Умови. Відрізок АВ перпендикулярний площині α. Трикутник BDF розташований на поверхні α і має наступні параметри:

• кут DBF буде 90 про
• сторона BD \u003d 12 см;
• сторона BF \u003d 16 см;
• BC - медіана.

Дивитися малюнок 6.

Знайти довжину відрізка АС, якщо АВ \u003d 24 см.

Рішення. По теоремі Піфагора, гіпотенуза або сторона DF дорівнює квадратному кореню з суми квадратів катетів. Довжина BD в квадраті дорівнює 144 і, відповідно, BC в квадраті буде 256. У сумі 400; витягуючи квадратний корінь, одержуємо 20.

Медіана BC в прямокутному трикутнику ділить гіпотенузу на дві рівні частини і по довжині дорівнює цим відрізкам, тобто ВС \u003d DC \u003d CF \u003d 10.

Знову використовується теорема Піфагора, і отримуємо: гіпотенуза C \u003d 26, що є квадратним коренем з 675, суми квадратів катетів 576 (АВ \u003d 24 в квадраті) і 100 (ВС \u003d 10 в квадраті).

Відповідь: Довжина відрізка АС дорівнює 26 см.