Що значить побудувати математичну модель. Математична модель. Математична модель на практиці

Поняття моделі та моделювання.

Модель в широкому сенсі- це будь-який образ, аналог уявний чи встановлений зображення, опис, схема, креслення, карта і т. П. Будь-якого обсягу, процесу або явища, який використовується в якості його замінника або представника. Сам об'єкт, процес або явище називається оригіналом даної моделі.

моделювання - це дослідження будь-якого об'єкта або системи об'єктів шляхом побудови і вивчення їх моделей. Це використання моделей для визначення або уточнення характеристик і раціоналізації способів побудови знову конструюються об'єктів.

На ідеї моделювання базується будь-який метод наукового дослідження, при цьому, в теоретичних методах використовуються різного роду знакові, абстрактні моделі, в експериментальних - предметні моделі.

При дослідженні складне реальне явище замінюється деякою спрощеною копією або схемою, іноді така копія служить лише тільки для того щоб запам'ятати і при наступній зустрічі дізнатися потрібну явище. Іноді побудована схема відображає які - то суттєві риси, дозволяє розібратися в механізмі явища, дає можливість передбачити його зміна. Одному і тому ж явищу можуть відповідати різні моделі.

Завдання дослідника - передбачати характер явища і хід процесу.

Іноді, буває, що об'єкт доступний, але експерименти з ним дорогі або привести до серйозних екологічних наслідків. Знання про таких процесах отримують за допомогою моделей.

Важливий момент - сам характер науки передбачає вивчення не одного конкретного явища, а широкого класу споріднених явищ. Передбачає необхідність формулювання яких - то загальних категоричних тверджень, які називаються законами. Природно, що при такому формулюванні багатьма подробицями нехтують. Щоб більш чітко виявити закономірність свідомо йдуть на огрубіння, ідеалізацію, схематичність, тобто вивчають не саме явище, а більш-менш точну її копію або модель. Все закони- це закони про моделях, а тому немає нічого дивного в тому, що з плином часу деякі наукові теорії визнаються непридатними. Це не призводить до краху науки, оскільки одна модель замінилася інший сучаснішою.

Особливу роль в науці грають математичні моделі, будівельний матеріал і інструменти цих моделей - математичні поняття. Вони накопичувалися і удосконалювалися протягом тисячоліть. Сучасна математика дає виключно потужні й універсальні засоби дослідження. Практично кожне поняття в математиці, кожен математичний об'єкт, починаючи від поняття числа, є математичною моделлю. При побудові математичної моделі, що вивчається, або явища виділяють ті його особливості, риси і деталі, які з одного боку містять більш-менш повну інформацію про об'єкт, а з іншого допускають математичну формалізацію. Математична формалізація означає, що особливостям і деталей об'єкта можна поставити у відповідність відповідні адекватні математичні поняття: числа, функції, матриці і так далі. Тоді зв'язки і відносини, виявлені і передбачувані в досліджуваному об'єкті між окремими його деталями і складовими частинами можна записати за допомогою математичних відносин: рівності, нерівностей, рівнянь. В результаті виходить математичний опис досліджуваного процесу або явище, тобто його математична модель.

Вивчення математичної моделі завжди пов'язане з деякими правилами дії над досліджуваними об'єктами. Ці правила відображають зв'язки між причинами і наслідками.

Побудова математичної моделі - це центральний етап дослідження або проектування будь-якої системи. Від якості моделі залежить весь подальший аналіз об'єкта. Побудова моделі - це процедура не формальна. Сильно залежить від дослідника, його досвіду і смаку, завжди спирається на певний досвідчений матеріал. Модель повинна бути достатньо точною, адекватною і повинна бути зручна для використання.

Математичне моделювання.

Класифікація математичних моделей.

Математичні моделі можуть бутидетерменірованнимі і стохастическими .

Детерменірованние мо и- це моделі, в яких встановлено взаємно-однозначна відповідність між змінними описують об'єкт або явища.

Такий підхід заснований на знанні механізму функціонування об'єктів. Часто модельований об'єкт складний і розшифровка його механізму може виявитися дуже трудомісткою і довгою в часі. В цьому випадку поступають таким чином: на оригіналі проводять експерименти, обробляють отримані результати і, не вникаючи в механізм і теорію об'єкта, що моделюється за допомогою методів математичної статистики і теорії ймовірності, встановлюють зв'язки між змінними, що описують об'єкт. В цьому випадку отримуютьстахостіческого Модель . В стахостической моделі зв'язок між змінними носить випадковий характер, іноді це буває принципово. Вплив величезної кількості чинників, їх поєднання призводить до випадкового набору змінних описують об'єкт або явище. За характером режимів модель буваютьстатистичними і динамічними.

статистичнаМодельвключає опис зв'язків між основними змінними модельованого об'єкта в сталому режимі без урахування зміни параметрів у часі.

В динамічноїмоделіописуються зв'язку між основними змінними модельованого об'єкта при переході від одного режиму до іншого.

моделі бувають дискретнимиі безперервними, а також змішаного типу. В безперервних змінні приймають значення з деякого проміжку, вдискретнихзмінні приймають ізольовані значення.

лінійні моделі- всі функції і відносини, що описують модель лінійно залежать від змінних інелінійнов іншому випадку.

Математичне моделювання.

вимоги , П ред'являемие до моделей.

1. універсальність- характеризує повноту відображення моделлю досліджуваних властивостей реального об'єкта.

1. Адекватність - здатність відображати потрібні властивості об'єкта з похибкою не вище заданої.
2. Точність - оцінюється ступенем збігу значень характеристик реального об'єкта і значення цих характеристик отриманих за допомогою моделей.
3. економічність - визначається витратами ресурсів ЕОМ пам'яті і часу на її реалізацію і експлуатацію.

Математичне моделювання.

Основні етапи моделювання.

1. Постановка завдання.

Визначення мети аналізу та шляхи її досягнення і вироблення загального підходу до досліджуваної проблеми. На цьому етапі потрібно глибоке розуміння істоти поставленого завдання. Іноді, правильно поставити завдання не менш складно ніж її вирішити. Постановка - процес не формальний, загальних правил немає.

2. Вивчення теоретичних основ і збір інформації про об'єкт оригіналу.

На цьому етапі підбирається або розробляється відповідна теорія. Якщо її немає, встановлюються причинно - наслідкові зв'язки між змінними описують об'єкт. Визначаються вхідні і вихідні дані, приймаються спрощують припущення.

3. Формалізація.

Полягає у виборі системи умовних позначень і з їх допомогою записувати відносини між складовими об'єкта у вигляді математичних виразів. Встановлюється клас завдань, до яких може бути віднесена отримана математична модель об'єкта. Значення деяких параметрів на цьому етапі ще можуть бути не конкретизовані.

4. Вибір методу рішення.

На цьому етапі встановлюються остаточні параметри моделей з урахуванням умови функціонування об'єкта. Для отриманої математичної задачі вибирається будь - якої метод вирішення або розробляється спеціальний метод. При виборі методу враховуються знання користувача, його переваги, а також переваги розробника.

5. Реалізація моделі.

Розробивши алгоритм, пишеться програма, яка регламентуватиме, тестується і виходить рішення потрібної завдання.

6. Аналіз отриманої інформації.

Зіставляється отримане і передбачуване рішення, проводиться контроль похибки моделювання.

7. Перевірка адекватності реальному об'єкту.

Результати, отримані за моделлю зіставляютьсяабо з наявної про об'єкт інформацією або проводиться експеримент і його результати зіставляються з розрахунковими.

Процес моделювання є ітеративним. У разі незадовільних результатів етапів 6. або 7. здійснюється повернення до одного з ранніх етапів, який міг привести до розробки невдалої моделі. Цей етап і всі наступні уточнюються і таке уточнення моделі відбувається до тих пір, поки не будуть отримані прийнятні результати.

Математична модель - це наближений опис якого-небудь класу явищ або об'єктів реального світу на мові математики. Основна мета моделювання - дослідити ці об'єкти і передбачити результати майбутніх спостережень. Однак моделювання - це ще й метод пізнання навколишнього світу, що дає можливість керувати ним.

Математичне моделювання і пов'язаний з ним комп'ютерний експеримент незамінні в тих випадках, коли натурний експеримент неможливий або утруднений з тих чи інших причин. Наприклад, не можна поставити натурний експеримент в історії, щоб перевірити, «що було б, якби ...» Неможливо перевірити правильність тієї чи іншої космологічної теорії. В принципі можливо, але навряд чи розумно, поставити експеримент з розповсюдження будь-якої хвороби, наприклад чуми, або здійснити ядерний вибух, щоб вивчити його наслідки. Однак все це цілком можна зробити на комп'ютері, побудувавши попередньо математичні моделі досліджуваних явищ.

1.1.2 2. Основні етапи математичного моделювання

1) Побудова моделі. На цьому етапі задається деякий «нематематичні» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. Д. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації утруднено.Спочатку виявляються основні особливості явища і зв'язки між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються на мові математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.

2) Рішення математичної задачі, до якої призводить модель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів і чисельних методів рішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю і за допустимий час.

3) Інтерпретація отриманих слідств з математичної моделі.Слідства, виведені з моделі на мові математики, інтерпретуються мовою, прийнятою в даній області.

4) Перевірка адекватності моделі.На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками з моделі в межах певної точності.

5) Модифікація моделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була більш адекватною дійсності, або її спрощення заради досягнення практично прийнятного рішення.

1.1.3 3. Класифікація моделей

Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, за характером вирішуваних проблем моделі можуть бути розділені на функціональні і структурні. У першому випадку все величини, що характеризують явище або об'єкт, виражаються кількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, а інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай являє собою систему рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних і т. Д.), Що встановлюють кількісні залежності між розглянутими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному вимірюванню. Для побудови таких моделей зручно використовувати теорію графів. Граф - це математичний об'єкт, який представляє собою деякий безліч точок (вершин) на площині або в просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).

За характером вихідних даних і результатів передбачення моделі можуть бути розділені на детерминистические і ймовірносно-статистичні. Моделі першого типу дають певні, однозначні прогнози. Моделі другого типу засновані на статистичної інформації, а передбачення, отримані з їх допомогою, мають імовірнісний характер.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І ЗАГАЛЬНА КОМП'ЮТЕРИЗАЦІЯ АБО імітаційні моделі

Зараз, коли в країні відбувається мало не загальна комп'ютеризація, від фахівців різних професій доводиться чути висловлювання: "Ось впровадимо у себе ЕОМ, тоді все завдання відразу ж будуть вирішені". Ця точка зору абсолютно неправильна, самі по собі ЕОМ без математичних моделей тих чи інших процесів нічого зробити не зможуть і про загальної комп'ютеризації можна лише мріяти.

На підтвердження вищесказаного спробуємо обгрунтувати необхідність моделювання, в тому числі математичного, розкриємо його переваги в пізнанні і перетворенні людиною зовнішнього світу, виявимо існуючі недоліки і підемо ... до імітаційного моделювання, тобто моделювання з використанням ЕОМ. Але все по порядку.

Перш за все, відповімо на запитання: що таке модель?

Модель - це матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові властивості.

Добре побудована модель доступніше для дослідження - ніж реальний об'єкт. Наприклад, неприпустимі експерименти з економікою країни в пізнавальних цілях, тут без моделі не обійтися.

Резюмуючи сказане можна відповісти на питання: для чого потрібні моделі? Для того щоб

• зрозуміти, як влаштований об'єкт (його структура, властивості, закони розвитку, взаємодії з навколишнім світом).
• навчитися управляти об'єктом (процесом) і визначати найкращі стратегії
• прогнозувати наслідки впливу на об'єкт.

Що позитивного в будь-якої моделі? Вона дозволяє отримати нові знання про об'єкт, але, на жаль, в тій чи іншій мірі не повна.

Модельсформульована на мові математики з використанням математичних методів називається математичною моделлю.

Вихідним пунктом її побудови звичайно є деяка задача, наприклад економічна. Широко поширені, як дескриптивні, так і оптимізаційні математичні, що характеризують різні економічні процесиі явища, наприклад:

• розподіл ресурсів
• раціональний розкрій
• транспортні перевезення
• укрупнення підприємств
• мережеве планування.

Яким чином відбувається побудова математичної моделі?

• По-перше, формулюється мета і предмет дослідження.
• По-друге, виділяються найбільш важливі характеристики, відповідні даної мети.
• По-третє, словесно описуються взаємозв'язки між елементами моделі.
• Далі взаємозв'язок формалізується.
• І відбувається розподіл за математичної моделі і аналіз отриманого рішення.

Використовуючи даний алгоритм можна вирішити будь-яку оптимізаційних задач, в тому числі і многокритериальную, тобто ту в якій переслідується не одна, а кілька цілей, в тому числі суперечливих.

Наведемо приклад. Теорія масового обслуговування - проблема утворення черг. Потрібно зрівноважити два фактора - витрати на утримання обслуговуючих пристроїв і витрати на перебування в черзі. Побудувавши формальний опис моделі проводять розрахунки, використовуючи аналітичні та обчислювальні методи. Якщо модель хороша, то відповіді знайдені з її допомогою адекватні моделює системі, якщо погана, то підлягає поліпшенню і заміні. Критерієм адекватності служить практика.

Оптимізаційні моделі, в тому числі багатокритеріальні, мають загальне властивість-з відомою мета (або кілька цілей) для досягнення якої часто доводиться мати справу зі складними системами, де мова йде не стільки про рішення оптимізаційних завдань, скільки про дослідження і прогнозування станів в залежності від обираються стратегій управління. І тут ми стикаємося з труднощами реалізації колишнього плану. Вони полягають у наступному:

• складна система містить багато зв'язків між елементами
• реальна система підпадає під вплив випадкових факторів, облік їх аналітичним шляхом неможливий
• можливість зіставлення оригіналу з моделлю існує лише на початку і після застосування математичного апарату, тому що проміжні результати можуть не мати аналогів у реальній системі.

У зв'язку з перерахованими труднощами, що виникають при вивченні складних систем, практика зажадала більш гнучкий метод, і він з'явився - імітаційне моделювання "Simujation modeling".

Зазвичай під імітаційної моделлю розуміється комплекс програм для ЕОМ, що описує функціонування окремих блоків систем і правил взаємодії між ними. Використання випадкових величин робить необхідним багаторазове проведення експериментів з імітаційної системою (на ЕОМ) і подальший статистичний аналіз отриманих результатів. Досить поширеним прикладом використання імітаційних моделей є рішення задачі масового обслуговування методом МОНТЕ-КАРЛО.

Таким чином, робота з імітаційної системою являє собою експеримент, здійснюваний на ЕОМ. У чому ж полягають переваги?

-Велика близькість до реальної системи, ніж у математичних моделей;

Блочним принцип дає можливість верифікувати кожен блок до його включення в загальну систему;

-Використання залежностей більш складного характеру, які не описуються простими математичними співвідношеннями.

Перераховані переваги визначають недоліки

-построіть імітаційну модель довше, важче і дорожче;

-для роботи з імітаційної системою необхідна наявність відповідної по класу ЕОМ;

-Взаємодія користувача і імітаційної моделі (інтерфейс) має бути не надто складним, зручним і добре відомим;

побудова імітаційної моделі вимагає більш глибокого вивчення реального процесу, ніж математичне моделювання.

Постає питання: чи може імітаційне моделювання замінити методи оптимізації? Ні, але зручно доповнює їх. Імітаційна модель - це програма, яка реалізує певний алгоритм, для оптимізації управління яким перш вирішується оптимізаційна задача.

Отже, ні ЕОМ, ні математична модель, ні алгоритм для її дослідження порізно не можуть вирішити досить складну задачу. Але разом вони представляють ту силу, яка дозволяє пізнавати навколишній світ, керувати ним в інтересах людини.

1.2 Класифікація моделей

Чотири сьоме класу.

В 7А вчаться 15 дівчаток і 13 хлопчиків,

в 7Б - 12 дівчаток і 12 хлопчиків,

в 7В - 9 дівчаток і 18 хлопчиків,

в 7Г - 20 дівчаток і 10 хлопчиків.

Якщо нам потрібно відповісти на питання, скільки учнів у кожному з сьомих класів, то нам 4 рази доведеться здійснювати одну і ту ж операцію складання:

в 7А 15 + 13 = 28 учнів;
в 7Б 12 +12 = 24 учні;
в 7В 9 + 18 = 27 учнів;
в 7Г 20 + 10 = 30 учнів.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Уяви собі літак: крила, фюзеляж, хвостове оперення, все це разом - справжній величезний, неосяжний, цілий літак. А можна зробити модель літака, маленьку, але все як справді, ті ж крила і т.д., але компактний. Так само і математична модель. Є текстова задача, громіздка, на неї можна так подивитися, прочитати, але не зовсім зрозуміти, і вже тим більше не ясно як вирішувати її. А що якщо зробити з великою словесної завдання її маленьку модель, математичну модель? Що значить математичну? Значить, використовуючи правила та закони математичної записи, переробити текст в логічно вірне уявлення за допомогою цифр і арифметичних знаків. Отже, математична модель - це уявлення реальної ситуації за допомогою математичної мови.

Почнемо з простого: Число більше числа на. Нам потрібно записати це, не використовуючи слів, а тільки мова математики. Якщо більше на, то виходить, що якщо ми з віднімемо, то залишиться та сама різниця цих чисел рівна. Тобто або. Суть зрозумів?

Тепер складніше, зараз буде текст, який ти повинен спробувати представити у вигляді математичної моделі, поки не читай, як це зроблю я, спробуй сам! Є чотири числа:, і. Твір і більше твори і в два рази.

Що вийшло?

У вигляді математичної моделі виглядати це буде так:

Тобто твір належить до як два до одного, але це можна ще спростити:

Ну ладно, на простих прикладах ти зрозумів суть, я так вважаю. Переходимо до повноцінних завдань, в яких ці математичні моделі ще і вирішувати потрібно! Ось завдання.

Математична модель на практиці

завдання 1

Після дощу рівень води в колодязі може підвищитися. Хлопчик вимірює час падіння невеликих камінчиків в колодязь і розраховує відстань до води за формулою, де - відстань в метрах, - час падіння в секундах. До дощу час падіння камінчиків становило с. На скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб вимірюваний час змінилося на з? Відповідь висловіть в метрах.

О жах! Які формули, що за колодязь, що відбувається, що робити? Я прочитав твої думки? Розслабся, в задачах цього типу умови бувають і страшніше, головне пам'ятати, що тебе в цьому завданні цікавлять формули і відносини між змінними, а що все це означає в більшості випадків не дуже важливо. Що ти тут бачиш корисного? Я особисто бачу. Принцип вирішення цих завдань наступний: береш всі відомі величини і підставляєш.АЛЕ, замислюватися іноді треба!

Наслідуючи моєму першій пораді, і, підставивши всі відомі в рівняння, отримаємо:

Це я підставив час секунди, і знайшов висоту, яку пролітав камінь до дощу. А тепер треба порахувати після дощу і знайти різницю!

Тепер прислухайся до другого раді і задумайся, в питанні уточнюється, «на скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб вимірюваний час змінилося на з». Відразу треба прикинути, тааак, після дощу рівень води підвищується, значить, час падіння каменя до рівня води менше і тут вітіювата фраза «щоб вимірюваний час змінилося» набуває конкретного змісту: час падіння не збільшується, а скорочується на зазначені секунди. Це означає, що в разі кидка після дощу, нам просто потрібно з початкового часу c відняти з, і отримаємо рівняння висоти, яку камінь пролетить після дощу:

Ну і нарешті, щоб знайти, на скільки повинен піднятися рівень води після дощу, щоб вимірюваний час змінилося на с., Потрібно просто відняти від першої висоти падіння другу!

Отримаємо відповідь: на метра.

Як бачиш, нічого складного немає, головне, особливо не морочитися, звідки таке незрозуміле і часом складне рівняння в умовах взялося і що все в ньому означає, повір на слово, більшість цих рівнянь взяті з фізики, а там нетрі серйозніше, ніж в алгебрі. Мені іноді здається, що ці завдання придумані, щоб залякати учня на ЄДІ кількістю складних формул і термінів, а в більшості випадків не вимагають майже ніяких знань. Просто уважно читай умова і підставляй відомі величини в формулу!

Ось ще завдання, вже не з фізики, а зі світу економічної теорії, хоча знань наук крім математики тут знову не потрібно.

завдання 2

Залежність обсягу попиту (одиниць в місяць) на продукцію підприємства-монополіста від ціни (тис. Руб.) Задається формулою

Виручка підприємства за місяць (в тис. Руб.) Обчислюється за формулою. Визначте найбільшу ціну, при якій місячна виручка складе не менше тис. Руб. Відповідь приведіть в тис. Руб.

Вгадай, що зараз зроблю? Ага, почну підставляти то, що нам відомо, але, знову ж таки, трохи подумати все ж доведеться. Підемо з кінця, нам потрібно знайти при якому. Так, є, так само якомусь, знаходимо, чому ще одно це, а так само воно, так і запишемо. Як ти бачиш, я особливо не заморочуюся про сенс всіх цих величин, просто дивлюся з умов, що чому дорівнює, так тобі надходити і потрібно. Повернемося до задачі, у тебе вже є, але як ти пам'ятаєш з одного рівняння з двома змінними жодну з них не знайти, що ж робити? Ага, у нас ще в умови залишилася невикористана частинка. Ось, вже два рівняння і дві змінних, значить, тепер обидві змінні можна знайти - відмінно!

- таку систему вирішити зможеш?

Вирішуємо підстановкою, у нас вже виражена, значить, підставимо її в перше рівняння і спростимо.

Виходить ось таке квадратне рівняння:, вирішуємо, коріння ось такі,. У завданні потрібно знайти найбільшу ціну, при якій будуть дотримуватися всі ті умови, які ми врахували, коли систему становили. О, виявляється це було ціною. Прикольно, значить, ми знайшли ціни: і. Найбільшу ціну, говорите? Окей, найбільша з них, очевидно, її у відповідь і пишемо. Ну як, складно? Думаю, немає, і вникати не треба особливо!

А ось тобі і страхітлива фізика, а точніше ще одна задачка:

завдання 3

Для визначення ефективної температури зірок використовують закон Стефана-Больцмана, згідно з яким, де - потужність випромінювання зірки, - постійна, - площа поверхні зірки, а - температура. Відомо, що площа поверхні деякої зірки дорівнює, а потужність її випромінювання дорівнює Вт. Знайдіть температуру цієї зірки в градусах Кельвіна.

Звідки і зрозуміло? Так, в умови написано, що чому дорівнює. Раніше я рекомендував все невідомі відразу підставляти, але тут краще спочатку висловити невідоме шукане. Дивись як все просто: є формула і в ній відомі, і (це грецька буква «сигма». Взагалі, фізики люблять грецькі літери, звикай). А невідома температура. Давай висловимо її у вигляді формули. Як це робити, сподіваюся, знаєш? Такі завдання на ДПА в 9 класі зазвичай дають:

Тепер залишилося підставити числа замість букв в правій частині і спростити:

Ось і відповідь: градусів Кельвіна! А яка страшна була задача, а!

Продовжуємо мучити завдання з фізики.

завдання 4

Висота над землею підкинутого вгору м'яча змінюється за законом, де - висота в метрах, - час в секундах, що минув з моменту кидка. Скільки секунд м'яч буде перебувати на висоті не менше трьох метрів?

То були все рівняння, а ось тут треба визначити, скільки м'яч перебував на висоті не менше трьох метрів, це означає на висоті. Що ми складати будемо? Нерівність, саме! У нас є функція, яка описує як летить м'яч, де - це як раз та сама висота в метрах, нам потрібна висота. значить

А тепер просто вирішуєш нерівність, головне, не забудь поміняти знак нерівності з більше або дорівнює на менше, або одно, коли будеш множити на обидві частини нерівності, щоб перед від мінуса позбутися.

Ось такі коріння, будуємо інтервали для нерівності:

Нас цікавить проміжок, де знак мінус, оскільки нерівність приймає там негативні значення, це від до обидва включно. А тепер включаємо мозок і ретельно думаємо: для нерівності ми застосовували рівняння, що описує політ м'яча, він так чи інакше летить по параболі, тобто він злітає, досягає піку і падає, як зрозуміти, скільки часу він буде перебувати на висоті не менше метрів? Ми знайшли 2 переломні точки, тобто момент, коли він злітає вище метрів і момент, коли він, падаючи, досягає цієї ж позначки, ці дві точки виражені у нас у вигляді часу, тобто ми знаємо на який секунді польоту він увійшов в цікаву для нас зону (вище метрів) і в яку вийшов з неї (впав нижче позначки в метра). Скільки секунд він перебував в цій зоні? Логічно, що ми беремо час виходу із зони і віднімаємо з нього час входження в цю зону. Відповідно: - стільки він перебував в зоні вище метрів, це і є відповідь.

Так вже тобі пощастило, що найбільше прикладів по цій темі можна взяти з розряду задачок з фізики, так що лови ще одну, вона заключна, так що піднатужся, залишилося зовсім трохи!

завдання 5

Для нагрівального елементу деякого приладу експериментально була отримана залежність температури від часу роботи:

Де - час у хвилинах,. Відомо, що при температурі нагрівального елементу понад прилад може зіпсуватися, тому його потрібно відключити. Знайдіть, через яку найбільшу час після початку роботи потрібно відключити прилад. Відповідь висловіть в хвилинах.

Діємо за налагодженою схемою, все, що дано, спершу виписуємо:

Тепер беремо формулу і прирівнюємо її до значення температури, до якої максимально можна нагріти прилад поки він не згорить, то є:

Тепер підставляємо замість букв числа там, де вони відомі:

Як бачиш, температура при роботі приладу описується квадратним рівнянням, а значить, розподіляється по параболі, тобто прилад нагрівається до якоїсь температури, а потім остигає. Ми отримали відповіді і, отже, при і при хвилинах нагрівання температура дорівнює критичної, але між і хвилинами - вона ще вище граничної!

А значить, відключити прилад потрібно через хвилини.

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Найчастіше математичні моделі використовуються у фізиці: тобі ж напевно доводилося запам'ятовувати десятки фізичних формул. А формула - це і є математичне уявлення ситуації.

У ОГЕ і ЄДІ є завдання як раз на цю тему. В ЄДІ (профільному) це завдання номер 11 (колишня B12). У ОГЕ - завдання номер 20.

Схема рішення очевидна:

1) З тексту умови необхідно «вичленувати» корисну інформацію - то, що в задачах з фізики ми пишемо під словом «Дано». Цією корисною інформацією є:

• Формула
• Відомі фізичні величини.

Тобто кожній букві з формули потрібно поставити у відповідність певне число.

2) Береш всі відомі величини і підставляєш в формулу. Невідома величина так і залишається у вигляді букви. Тепер потрібно тільки вирішити рівняння (зазвичай, досить просте), і відповідь готова.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що тільки 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, значить ти потрапив в ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією по цій темі. І, повторюся, це ... це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього може не вистачити ...

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, НАЙГОЛОВНІШЕ, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ ...

Люди, які отримали гарну освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це статистика.

Але і це - не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам ...

Що потрібно, щоб бути напевно краще за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання ПО ЦІЙ ТЕМІ.

На іспиті у тебе не будуть питати теорію.

Тобі потрібно буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (БАГАТО!), Ти обов'язково десь нерозумно помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті - треба багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірник, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково) і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань потрібно допомогти продовжити життя підручником YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням в цій статті -
2. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням у всіх 99-ти статтях підручника - Купити підручник - 899 руб

Так, у нас в підручнику 99 таких статей і доступ для всіх завдань і всіх прихованих текстів в них можна відкрити відразу.

Доступ до всіх прихованим завданням надається на ВСЕ час існування сайту.

І на закінчення ...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це абсолютно різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Лекція 1.

Методологічні основи МОДЕЛЮВАННЯ

Сучасний стан проблеми моделювання систем

Поняття моделі та моделювання

моделюванняможна розглядати як заміщення ісследуемогооб'екта (оригіналу) його умовним чином, описом або іншим об'єктом, що має назву моделлюі забезпечує близьке до оригіналу поведінки рамках деяких припущень і прийнятних похибок. Моделірованіеобично виконується з метою пізнання властивостей оригіналу шляхом ісследованіяю моделі, а не самого об'єкта. Зрозуміло, моделювання виправдано в томслучае коли воно простіше створення самого оригіналу або коли останній покакім причин краще взагалі не створювати.

під моделлюрозуміється фізичний або абстрактний об'єкт, свойствакоторого в певному сенсі схожі з властивостями досліджуваного об'екта.Прі цьому вимоги до моделі визначаються розв'язуваної завданням і імеющімісясредствамі. Існує ряд загальних вимог до моделей:

2) повнота - надання отримувачу всієї необхідної інформації

про об'єкт;

3) гнучкість - можливість відтворення різних ситуацій у всьому

діапазоні зміни умов і параметрів;

4) трудомісткість розробки повинна бути прийнятною для наявного

часу і програмних засобів.

моделювання- це процес побудови моделі об'єкта і ісследованіяю властивостей шляхом дослідження моделі.

Таким чином, моделювання передбачає 2 основні етапи:

1) розробка моделі;

2) дослідження моделі і отримання висновків.

При цьому на кожному з етапів вирішуються різні завдання і використовуються

що відрізняються по суті методи і засоби.

На практиці застосовують різні методи моделювання. У зависимостиот способу реалізації, всі моделі можна розділити на два великі класи: фізичні та математичні.

Математичне моделюванняприйнято розглядати як средствоісследованія процесів або явищ за допомогою їх математичних моделей.

під фізичним моделюваннямрозуміється дослідження об'єктів іявленій на фізичних моделях, коли досліджуваний процес воспроізводятс збереженням його фізичної природи або використовують інше фізіческоеявленіе, аналогічне досліджуваному. При цьому фізичні моделіприпускають, як правило, реальне втілення тих фізичних свойстворігінала, які є істотними в конкретній сітуаціі.Напрімер, при проектуванні нового літака створюється його макет, що володіє тими ж аеродинамічними властивостями; при планірованіізастройкі архітектори виготовляють макет, що відображає пространственноерасположеніе її елементів. У зв'язку з цим фізичний моделірованіеназивают також макетуванням.

напівнатурні моделюванняє ісследованіеуправляемих систем на моделюють комплексах з включенням в составмоделі реальної апаратури. Поряд з реальною апаратурою в замкнутуюмодель входять імітатори впливів і перешкод, математичні моделівнешней середовища і процесів, для яких невідомо досить точноематематіческое опис. Включення реальної апаратури або реальнихсістем в контур моделювання складних процесів дозволяє уменьшітьапріорную невизначеність і досліджувати процеси, для яких немає точногоматематіческого опису. За допомогою напівнатурного моделірованіяісследованія виконуються з урахуванням малих постійних часу інелінейностей, властивих реальній апаратурі. При дослідженні моделей свключеніем реальної апаратури використовується поняття дінаміческогомоделірованія, При дослідженні складних систем і явищ - еволюційного, імітаційногоі кібернетичного моделювання.

Очевидно, дійсна користь від моделювання може бути полученатолько при дотриманні двох умов:

1) модель забезпечує коректне (адекватне) відображення властивостей

оригіналу, істотних з точки зору досліджуваної операції;

2) модель дозволяє усунути перераховані вище проблеми, властиві

проведення досліджень на реальних об'єктах.

2. Основні поняття математичного моделювання

Рішення практичних завдань математичними методами последовательноосуществляется шляхом формулювання завдання (розробки математіческоймоделі), вибору методу дослідження отриманої математичної моделі, аналізу отриманого математичного результату. Математіческаяформуліровка завдання зазвичай представляється у вигляді геометричних образів, функцій, систем рівнянь і т.п. Опис об'єкта (явища) може битьпредставлено за допомогою безперервної або дискретної, детермінірованнойілі стохастичною і іншими математичними формами.

Теорія математичного моделюваннязабезпечує виявленіезакономерностей протікання різних явищ навколишнього світу іліработи систем і пристроїв шляхом їх математичного опису імоделірованія без проведення натурних випробувань. При цьому іспользуютсяположенія і закони математики, що описують моделюються явища, системи або пристрої на деякому рівні їх ідеалізації.

Математична модель (ММ)є формалізованноеопісаніе системи (або операції) на деякому абстрактному мовою, наприклад, у вигляді сукупності математичних співвідношень або схеми алгоритму, т. е. таке математичний опис, яке забезпечує імітацію работисістем або пристроїв на рівні, досить близькій до їх реальномуповеденію, що отримується при натурних випробуваннях систем або пристроїв.

Будь-яка ММ описує реальний об'єкт, явище чи процес з некоторойстепенью наближення до дійсності. Вид ММ залежить як від пріродиреального об'єкта, так і від завдань дослідження.

Математичне моделюваннягромадських, економічних, біологічних і фізичних явищ, об'єктів, систем і різних устройствявляется одним з найважливіших засобів пізнання природи і проектірованіясамих різноманітних систем і пристроїв. Відомі приклади ефективноговикористання моделювання в створенні ядерних технологій, авіаційних іаерокосміческіх систем, в прогнозі атмосферних і океанічних явищ, погоди і т.д.

Однак для таких серйозних сфер моделювання нерідко нужнисуперкомпьютери і роки роботи великих колективів вчених по подготовкеданних для моделювання і його налагодження. Проте, і в цьому случаематематіческое моделювання складних систем і пристроїв не толькоекономіт кошти на проведення досліджень і випробувань, але і можетустраніть екологічні катастрофи - наприклад, дозволяє відмовитися отіспитаній ядерного і термоядерного зброї на користь його математіческогомоделірованія або випробувань аерокосмічних систем перед їх реальниміполетамі.Между тим математичне моделювання на рівні рішення болеепростих завдань, наприклад, з області механіки, електротехніки, електроніки, радіотехніки і багатьох інших галузей науки і техніки в даний времястало доступним виконувати на сучасних ПК. А при іспользованііобобщенних моделей стає можливим моделювання і достаточносложних систем, наприклад, телекомунікаційних систем і мереж, радіолокаційних або радіонавігаційних комплексів.

Метою математичного моделюванняє аналіз реальнихпроцессов (в природі або техніці) математичними методами. У своючергу, це вимагає формалізації ММ процесу, що підлягає ісследованію.Модель може являти собою математичний вираз, содержащеепеременние, поведінка яких аналогічно поведінці реальної сістеми.Модель може включати елементи випадковості, що враховують вероятностівозможних дій двох або більшого числа «гравців», як, наприклад, втеоріі ігор; або вона може представляти реальні змінні параметривзаімосвязанних частин діючої системи.

Математичне моделювання для дослідження характеристик сістемможно розділити на аналітичне, імітаційне і комбіноване. У своючергу, ММ діляться на імітаційні та аналітичні.

аналітичне моделювання

для аналітичного моделюванняхарактерно, що процессифункціонірованія системи записуються у вигляді деяких функціональнихсоотношеній (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь). Аналітична модель може бути досліджена такими методами:

1) аналітичним, коли прагнуть отримати в загальному вигляді явниезавісімості для характеристик систем;

2) чисельним, коли не вдається знайти рішення рівнянь в загальному вигляді ііх вирішують для конкретних початкових даних;

3) якісним, коли при відсутності рішення знаходять деякі егосвойства.

Аналітичні моделі вдається отримати тільки для порівняно простихсістем. Для складних систем часто виникають великі математіческіепроблеми. Для застосування аналітичного методу йдуть на существенноеупрощеніе початкової моделі. Однак дослідження на упрощенноймоделі допомагає отримати лише орієнтовні результати. Аналітіческіемоделі математично вірно відображають зв'язок між вхідними і виходниміпеременнимі і параметрами. Але їх структура не відображає внутреннююструктуру об'єкта.

При аналітичному моделюванні його результати представляються в відеаналітіческіх виразів. Наприклад, підключивши RC-ланцюг до істочнікупостоянного напруги E(R, Cі E- компоненти даної моделі), миможем скласти аналітичний вираз для тимчасової завісімостінапряженія u(t) На конденсаторі C:

Це лінійне диференціальне рівняння (ДУ) і являетсяаналітіческой моделлю даної простої лінійної ланцюга. Його аналітіческоерешеніе, при початковому умови u(0) = 0, що означає разряженнийконденсатор Cв момент початку моделювання, дозволяє знайти іскомуюзавісімость - у вигляді формули:

u(t) = E(1− EХp(- t/ RC)). (2)

Однак навіть в цьому простому прикладі потрібні певні усіліядля рішення ДУ (1) або для застосування систем комп'ютерної математики(СКМ) з символьними обчисленнями - систем компьютернойалгебри. Для цього цілком тривіального випадку рішення задачімоделірованія лінійної RC-ланцюга дає аналітичний вираз (2) досить загального вигляду - вона є придатною для опису роботи ланцюга при любихноміналах компонентів R, Cі E, І описує експоненціальне зарядконденсатора Cчерез резистор Rвід джерела постійної напруги E.

Безумовно, перебування аналітичних рішень при аналітіческоммоделірованіі виявляється виключно цінним для виявлення общіхтеоретіческіх закономірностей простих лінійних ланцюгів, систем і устройств.Однако його складність різко зростає в міру ускладнення впливів намодель і збільшення порядку і числа рівнянь стану, опісивающіхмоделіруемий об'єкт. Можна отримати більш-менш обозрімиерезультати при моделюванні об'єктів другого або третього порядку, але ужепрі більшому порядку аналітичні вирази стають чрезмерногромоздкімі, складними і важко осмислюється. Наприклад, навіть простойелектронний підсилювач часто містить десятки компонентів. Тим не менш, багато сучасних СКМ, наприклад, системи символьної математики Maple, Mathematicaабо середовище MATLAB, Здатні в значітельноймере автоматизувати рішення складних завдань аналітіческогомоделірованія.

Однією з різновидів моделювання є чисельне моделювання,яке полягає в отриманні необходімихколічественних даних про поведінку систем або пристроїв якимось лібоподходящім чисельним методом, таким як методи Ейлера іліРунге-Кутта. На практиці моделювання нелінійних систем і устройствс використанням чисельних методів виявляється набагато болеееффектівним, ніж аналітичне моделювання окремих приватних лінейнихцепей, систем або пристроїв. Наприклад, для вирішення ДУ (1) або систем дув більш складних випадках рішення в аналітичному вигляді не виходить, але поданням чисельного моделювання можна отримати досить полниеданние про поведінку модельованих систем і пристроїв, а також построітьграфікі описують цю поведінку залежностей.

Імітаційне моделювання

при імітаційному 10імоделірованіі який реалізує модель алгорітмвоспроізводіт процес функціонування системи в часі. Імітіруютсяелементарние явища, що становлять процес, зі збереженням їх логіческойструктури і послідовності протікання в часі.

Основною перевагою імітаційних моделей по сравненіюсаналітіческімі є можливість вирішення більш складних завдань.

Імітаційні моделі дозволяють легко враховувати наявність дискретних ілінепреривних елементів, нелінійні характеристики, випадкові впливуна ін. Тому цей метод широко застосовується на етапі проектірованіясложних систем. Основним засобом реалізації імітаціонногомоделірованія служить ЕОМ, що дозволяє здійснювати ціфровоемоделірованіе систем і сигналів.

У зв'язку з цим визначимо словосполучення « комп'ютерне моделювання», Яке все частіше використовується в літературі. Будемо вважати, що комп'ютерне моделювання- це математичне моделірованіес використанням засобів обчислювальної техніки. Відповідно, технологія комп'ютерного моделювання передбачає виполненіеследующіх дій:

1) визначення мети моделювання;

2) розробка концептуальної моделі;

3) формалізація моделі;

4) програмна реалізація моделі;

5) планування модельних експериментів;

6) реалізація плану експерименту;

7) аналіз і інтерпретація результатів моделювання.

при імітаційному моделюваннівикористовувана ММ воспроізводіталгорітм ( «логіку») функціонування досліджуваної системи в часі пріразлічних поєднаннях значень параметрів системи і зовнішнього середовища.

Прикладом найпростішої аналітичної моделі може служити уравненіепрямолінейного рівномірного руху. При дослідженні такого процессас допомогою імітаційної моделі має бути реалізовано наблюденіеза зміною пройденого шляху з плином времені.Очевідно, в одних випадках більш прийнятним являетсяаналітіческое моделювання, в інших - імітаційне (або поєднання того ідругого). Щоб вибір був вдалим, необхідно відповісти на два питання.

З якою метою проводиться моделювання?

До якого класу може бути віднесено моделируемое явище?

Відповіді на обидва ці питання можуть бути отримані в ході виконання двухпервих етапів моделювання.

Імітаційні моделі не тільки за властивостями, але і по структуресоответствуют модельованого об'єкту. При цьому є однозначна і явноесоответствіе між процесами, які отримуються на моделі, і процесами, що протікають на об'єкті. Недоліком імітаційного моделірованіяявляется великий час вирішення завдання для отримання хорошої точності.

Результати імітаційного моделювання роботи стохастіческойсістеми є реалізаціями випадкових величин або процесів. Поетомудля знаходження характеристик системи потрібно багаторазове повторення іпоследующая обробка даних. Найчастіше в цьому випадку пріменяетсяразновідность імітаційного моделювання - статистичне

моделювання(Або метод Монте-Карло), тобто відтворення в моделяхслучайних чинників, подій, величин, процесів, полів.

За результатами статистичного моделювання визначають оценківероятностних критеріїв якості, загальних і приватних, характерізующіхфункціонірованіе і ефективність керованої системи. Статістіческоемоделірованіе широко застосовується для вирішення наукових і прикладних задачв різних областях науки і техніки. Методи статістіческогомоделірованія широко застосовуються при дослідженні сложнихдінаміческіх систем, оцінці їх функціонування і ефективності.

Заключний етап статистичного моделювання заснований наматематіческой обробці отриманих результатів. Тут використовують методиматематіческой статистики (параметричне і непараметричне оцінювання, перевірку гіпотез). Прикладом параметричної оцінки являетсявиборочное середнє показника ефективності. Серед непараметріческіхметодов велике поширення одержав метод гістограм.

Розглянута схема заснована на багаторазових статістіческіхіспитаніях системи і методи статистики незалежних випадкових велічін.Ета схема є далеко не завжди природною на практиці і оптімальнойпо витрат. Скорочення часу випробування систем може бути досягнуто зарахунок використання більш точних методів оцінювання. Як відомо ізматематіческой статистики, найбільшу точність при заданому об'емевиборкі мають ефективні оцінки. Оптимальна фільтрація і методмаксімального правдоподібності дають загальний метод отримання таких оценок.В задачах статистичного моделювання обробка реалізаційслучайних процесів необхідна не тільки для аналізу вихідних процесів.

Дуже важливий також і контроль характеристик вхідних случайнихвоздействій. Контроль полягає в перевірці відповідності распределенійгенеріруемих процесів заданим розподілом. Це завдання частоформуліруется як задача перевірки гіпотез.

Загальною тенденцією моделювання з використанням ЕОМ у сложнихуправляемих систем є прагнення до зменшення временімоделірованія, а також проведення досліджень в реальному масштабевремені. Обчислювальні алгоритми зручно представляти в рекуррентнойформе, що допускає їх реалізацію в темпі надходження поточної інформації.

ПРИНЦИПИ СИСТЕМНОГО ПІДХОДУ В МОДЕЛЮВАННІ

Основні положення теорії систем

Основні положення теорії систем виникли в ході ісследованіядінаміческіх систем і їх функціональних елементів. Під системою розуміють групу взаємопов'язаних елементів, що діють совместнос метою виконання заздалегідь поставленої задачі. Аналіз систем позволяетопределіть найбільш реальні способи виконання поставленого завдання, що забезпечують максимальне задоволення поставлених вимог.

Елементи, що становлять основу теорії систем, не створюються з помощьюгіпотез, а виявляються експериментальним шляхом. Для того щоб начатьпостроеніе системи, необхідно мати загальні характерістікітехнологіческіх процесів. Це ж справедливо і щодо прінціповсозданія математично сформульованих критеріїв, яким долженудовлетворять процес або його теоретичний опис. Моделірованіеявляется одним з найбільш важливих методів наукового дослідження іексперіментірованія.

При побудові моделей об'єктів використовується системний підхід, який представляє собою методологію вирішення складних завдань, в основекоторой лежить розгляд об'єкта як системи, функціонірующейв деякому середовищі. Системний підхід передбачає розкриття целостностіоб'екта, виявлення і вивчення його внутрішньої структури, а також связейс зовнішнім середовищем. При цьому об'єкт представляється як частина реального світу, яка виділяється і досліджується в зв'язку з розв'язуваної завданням построеніямоделі. Крім цього, системний підхід передбачає последовательнийпереход від загального до конкретного, коли в основі розгляду лежить цельпроектірованія, а об'єкт розглядається у взаємозв'язку з навколишньогосередовища.

Складний об'єкт може бути розділений на підсистеми, що представляють собою частини об'єкта, що задовольняють наступним вимогам:

1) підсистема є функціонально незалежною частиною об'єкта. Онасвязана з іншими підсистемами, обмінюється з ними інформацією іенергіей;

2) для кожної підсистеми можуть бути визначені функції або властивості, що не збігаються з властивостями всієї системи;

3) кожна з підсистем може бути піддана подальшому поділу дорівня елементів.

В даному випадку під елементом розуміється підсистема нижнього рівня, подальший розподіл якої недоцільно з позицій розв'язуваної задачі.

Таким чином, систему можна визначити як уявлення об'ектав вигляді набору підсистем, елементів і зв'язків з метою його створення, дослідження або вдосконалення. При цьому укрупненное представленіесістеми, що включає в себе основні підсистеми і зв'язку між ними, називається макроструктурою, а детальне розкриття внутрішнього строеніясістеми до рівня елементів - микроструктурой.

Поряд з системою зазвичай існує надсистема - система більшевисоку рівня, до складу якої входить даний об'єкт, прічёмфункція будь-якої системи може бути визначена тільки через надсістему.

Слід виділити поняття середовища як сукупності об'єктів зовнішнього світу, що впливає на ефективність функціонування системи, але нечленів до складу системи і її надсистеми.

У зв'язку з системним підходом до побудови моделей іспользуетсяпонятіе інфраструктури, яка описує взаємозв'язки системи з ееокруженіем (середовищем) .При цьому виділення, опис і дослідження властивостей об'єкта, істотних у рамках конкретного завдання називається стратіфікаціейоб'екта, а будь-яка модель об'єкта є його стратіфіцірованнимопісаніем.

Для системного підходу важливим є визначення структури системи, тобто сукупності зв'язків між елементами системи, що відображають іхвзаімодействіе. Для цього спочатку розглянемо структурний іфункціональний підходи до моделювання.

При структурному підході виявляються склад виділених елементів системи і зв'язку між ними. Сукупність елементів і зв'язків дозволяє судити про структуру системи. Найбільш загальним описом структури є топологічний опис. Воно дозволяє визначити складові частини сістемиі їх зв'язку за допомогою графів. Менш загальним є функціональний опис, коли рассматріваютсяо тдельние функції, т. Е. Алгоритми поведінки системи. При цьому реалізуетсяфункціональний підхід, який визначає функції, які виполняетсістема.

На базі системного підходу може бути запропонована последовательностьразработкі моделей, коли виділяють дві основні стадії проектування: макропроектірованіе і мікропроектірованіе.

На стадії макропроектірованіе будується модель зовнішнього середовища, виявляються ресурси і обмеження, вибирається модель системи і крітеріідля оцінки його.

Стадія мікропроектірованіе в значній мірі залежить отконкретного типу обраної моделі. У загальному випадку передбачає созданіеінформаціонного, математичного, технічного та програмногозабезпечення системи моделювання. На цій стадії устанавліваютсяосновние технічні характеристики створеної моделі, оцінюються времяработи з нею і витрати ресурсів для отримання заданої якості моделі.

Незалежно від типу моделі при її побудові необходіморуководствоваться поруч принципів системного підходу:

1) послідовне просування по етапах створення моделі;

2) узгодження інформаційних, ресурсних, надежностних і другіххарактерістік;

3) правильне співвідношення різних рівнів побудови моделі;

4) цілісність окремих стадій проектування моделі.

Що таке математична модель?

Поняття математичної моделі.

Математична модель - дуже просте поняття. І дуже важливе. Саме математичні моделі пов'язують математику і реальне життя.

Говорячи простою мовою, математична модель - це математичний опис будь-якій ситуації.І все. Модель може бути примітивною, може бути й надскладні. Яка ситуація, така і модель.)

У будь-якому (я повторюю - в будь-якому!) Справі, де потрібно чогось порахувати так розрахувати - ми займаємося математичним моделюванням. Навіть якщо і не підозрюємо про це.)

Р = 2 · ЦБ + 3 · ЦМ

Ось цей запис і буде математичною моделлю витрат на наші покупки. Модель не враховує колір упаковки, термін придатності, ввічливість касирів і т.п. На те вона і Модель,а не реальна покупка. Але витрати, тобто то, що нам треба- ми дізнаємося точно. Якщо модель правильна, звичайно.

Представляти, що таке математична модель корисно, але цього мало. Найголовніше - вміти ці моделі будувати.

Складання (побудова) математичної моделі задачі.

Скласти математичну модель - це означає, перевести умови задачі в математичну форму. Тобто перетворити слова в рівняння, формулу, нерівність і т.д. Причому перетворити так, щоб ця математика строго відповідала початкового тексту. Інакше у нас вийде математична модель якоїсь іншої, невідомої нам завдання.)

Говорячи конкретніше, потрібно

Завдань в світі - нескінченна кількість. Тому запропонувати чітку покрокову інструкцію зі складання математичної моделі будь-якийзавдання - неможливо.

Але можна виділити три основні моменти, на які потрібно звернути увагу.

1. У будь-якій задачі є текст, як не дивно.) У цьому тексті, як правило, є явна, відкрита інформація.Числа, значення і т.п.

2. У будь-якому завданні є прихована інформація.Це текст, який передбачає наявність додаткових знань в голові. Без них - ніяк. Крім того, математична інформація часто ховається за простими словами і ... проскакує повз увагу.

3. У будь-якому завданні повинно бути дана зв'язок даних між собою.Цей зв'язок може бути дана відкритим текстом (щось одно чогось), а може бути і прихована за простими словами. Але прості і зрозумілі факти частенько не беруться до уваги. І модель ніяк не складається.

Відразу скажу: щоб застосувати ці три моменти, завдання доводиться читати (і уважно!) Кілька разів. Звичайна справа.

А тепер - приклади.

Почнемо з простої завдання:

Петрович повернувся з риболовлі і гордо пред'явив родині улов. При найближчому розгляді виявилось, що 8 рибин родом з північних морів, 20% всіх рибин - з південних, а з місцевої річки, де рибалив Петрович - немає жодної. Скільки всього рибин купив Петрович в магазині "Морепродукти"?

Всі ці слова потрібно перетворити в якийсь рівняння. Для цього потрібно, повторюся, встановити математичну зв'язок між усіма даними завдання.

З чого починати? Спочатку витягнемо з завдання всі дані. Почнемо з порядочку:

Звертаємо увагу на перший момент.

яка тут явнаматематична інформація? 8 рибин і 20%. Не густо, та нам багато і не треба.)

Звертаємо увагу на другий момент.

шукаємо приховануінформацію. Вона тут є. Це слова: "20% всіх рибин". Тут потрібно розуміти, що таке відсотки і як вони вважаються. Інакше завдання не вирішується. Це якраз та додаткова інформація, яка повинна бути в голові.

Тут ще є математичнаінформація, яку зовсім не видно. це питання завдання: "Скільки всього рибин купив ... "Адже це теж якесь число. І без нього ніяка модель не складеться. Тому позначимо це число буквою "Х".Ми поки не знаємо, чому дорівнює ікс, але таке позначення дуже нам стане в нагоді. Детальніше, що брати за ікс і як з ним звертатися, написано в уроці Як вирішувати завдання з математики? Ось так відразу і запишемо:

х штук - загальна кількість риб.

У нашій задачі південні риби дані у відсотках. Треба їх перевести в штуки. Навіщо? Потім, що в будь-якийзадачі моделі треба складати в однотипних величинах.Штуки - так все в штуках. Якщо дані, скажімо годинник і хвилини - все переводимо будь-що-небудь одне - або тільки годинник, або тільки хвилини. Не має значення будь-що. Важливо, щоб всі величини були однотипними.

Повертаємося до розкриття інформації. Хто не знає, що таке відсоток, ніколи не розкриє, так ... А хто знає, той відразу скаже, що відсотки тут від загального числа риб дані. А нам це число невідомо. Нічого не вийде!

Загальна кількість риб (в штуках!) Ми не дарма буквою "Х"позначили. Порахувати південних риб в штуках не вийде, але записати щось ми зможемо? Ось так:

0,2 · х штук - кількість риб з південних морів.

Ось тепер ми завантажили всю інформацію з завдання. І явну, і приховану.

Звертаємо увагу на третій момент.

шукаємо математичний зв'язокміж даними завдання. Цей зв'язок настільки проста, що багато її не помічають ... Таке часто буває. Тут корисно просто записати зібрані дані в купку, та й подивитися, що до чого.

Що у нас є? є 8 штукпівнічних риб, 0,2 · х штук- південних риб і х риб- Загальна кількість. Можна пов'язати ці дані якось воєдино? Та легко! Загальна кількість риб односумі південних і північних! Ну хто б міг подумати ...) Ось і записуємо:

х = 8 + 0,2х

Ось це рівняння і буде математичною моделлю нашої задачі.

Прошу зауважити, що в цьому завданні нас не просять нічого складати!Це ми самі, з голови, зрозуміли, що сума південних і північних риб дасть нам загальну кількість. Річ настільки очевидна, що проскакує повз увагу. Але без цієї очевидності математичну модель не скласти. Ось так.

Тепер уже можна застосувати всю міць математики для вирішення цього рівняння). Саме для цього і створювалася математична модель. Вирішуємо це лінійне рівняння і отримуємо відповідь.

відповідь: х = 10

Складемо математічесскую модель ще одного завдання:

Запитали Петровича: "А чи багато у тебе грошей?" Заплакав Петрович і відповідає: "Та все чуть-чуть. Якщо я витрачу половину всіх грошей, та половину залишку, то всього-то один мішок грошей у мене і залишиться ..." Скільки грошей у Петровича?

Знову працюємо по пунктам.

1. Шукаємо явну інформацію. Тут її не відразу і виявиш! Явна інформація - це одинмішок грошей. Є ще якісь половинки ... Ну, це в другому пункті розберемо.

2. Шукаємо приховану інформацію. Це половинки. Чого? Не дуже зрозуміло. Шукаємо далі. Є ще питання завдання: "Скільки грошей у Петровича?"Позначимо кількість грошей буквою "Х":

х- усі гроші

І знову читаємо завдання. Вже знаючи, що у Петровича хгрошей. Ось тут вже і половинки спрацюють! записуємо:

0,5 · х- половина всіх грошей.

Залишок буде теж половина, тобто 0,5 · х.А половину від половини можна записати так:

0,5 · 0,5 · х = 0,25 х- половина залишку.

Тепер вся прихована інформація виявлена ​​і записана.

3. Шукаємо зв'язок між записаними даними. Тут можна просто читати страждання Петровича і записувати їх математично):

Якщо я витрачу половину всіх грошей...

Запишемо цей процес. Всіх грошей - х.половина - 0,5 · х. Витратити - це відняти. Фраза перетворюється в запис:

х - 0,5 · х

да половину залишку ...

Віднімемо ще половину залишку:

х - 0,5 · х - 0,25 х

то всього-то один мішок грошей у мене і залишиться ...

А ось і рівність знайшлося! Після всіх вирахувань один мішок грошей залишається:

х - 0,5 · х - 0,25 х = 1

Ось вона, математична модель! Це знову лінійне рівняння, вирішуємо, отримуємо:

Питання на міркування. Чотири - це чого? Рубля, долара, юаня? А в яких одиницях у нас гроші в математичної моделі записані? В мішках!Значить, чотири мішкагрошей у Петровича. Теж не погано.)

Завдання, звичайно, елементарні. Це спеціально, щоб вловити суть складання математичної моделі. У деяких завданнях може бути набагато більше даних, в яких легко заплутатися. Це часто буває в т.зв. компетентнісних завданнях. Як витягувати математичний зміст з купи слів і чисел показано на прикладах

Ще одне зауваження. У класичних шкільних завданнях (труби заповнюють басейн, кудись пливуть катери і т.п.) всі дані, як правило, підібрані дуже ретельно. Там виконуються два правила:
- інформації в задачі вистачає для її вирішення,
- зайвої інформації в задачі не буває.

Це підказка. Якщо залишилася якась невикористана в математичної моделі величина - задумайтеся, чи немає помилки. Якщо інформації не вистачає - швидше за все, не вся прихована інформація виявлена ​​і записана.

У компетентнісних та інших життєвих завданнях ці правила строго не дотримуються. Нема підказки. Але і такі завдання можна вирішувати. Якщо, звичайно, потренуватися на класичних.)

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.