Ряди розподілу та угруповання. Варіаційні і статистичні ряди розподілу варіаційні ряди і методи їх статистичної обробки

• вступний урок безкоштовно;
• Велике число досвідчених викладачів (нейтівов і російськомовних);
• Курси НЕ на певний термін (місяць, півроку, рік), а на конкретну кількість занять (5, 10, 20, 50);
• Більш 10 000 задоволених клієнтів.
• Вартість одного заняття з російськомовним викладачем - від 600 рублів, З носієм мови - від 1500 рублів

Поняття варіаційного ряду. Першим кроком систематизації матеріалів статистичного спостереження є підрахунок числа одиниць, що володіють тим чи іншим ознакою. Розташувавши одиниці в порядку зростання або зменшення їх кількісної ознаки і підрахувавши число одиниць з конкретним значенням ознаки, отримуємо варіаційний ряд. Варіаційний ряд характеризує розподіл одиниць певної статистичної сукупності за будь-якою кількісною ознакою.

Варіаційний ряд представляє собою дві колонки, в лівій колонці наводяться значення варьирующего ознаки, іменовані варіантами і позначаються (x), а в правій - абсолютні числа, що показують, скільки раз зустрічається кожен варіант. Показники цієї колонки називаються частотами і позначаються (f).

Схематично варіаційний ряд можна представити у вигляді табл.5.1:

Таблиця 5.1

Вид варіаційного ряду

У правій колонці можуть використовуватися і відносні показники, що характеризують частку частоти окремих варіантів в загальній сумі частот. Ці відносні показники називають частості і умовно позначають через, тобто . Сума всіх частостей дорівнює одиниці. Частості можуть бути виражені і в процентах, і тоді їх сума буде дорівнює 100%.

Варіюють ознаки можуть носити різний характер. Варіанти одних ознак виражаються в цілих числах, наприклад, число кімнат у квартирі, число виданих книг і т.д. Ці ознаки називають переривчастими, або дискретними. Варіанти інших ознак можуть приймати будь-які значення в певних межах, як, наприклад, виконання планових завдань, заробітна плата та ін. Ці ознаки називають безперервними.

Дискретний варіаційний ряд. Якщо варіанти варіаційного ряду виражені у вигляді дискретних величин, то такий варіаційний ряд називають дискретним, його зовнішній вигляд представлений в табл. 5.2:

Таблиця 5.2

Розподіл студентів за оцінками, отриманими на іспиті

Характер розподілу в дискретних рядах зображується графічно у вигляді полігону розподілу, рис.5.1.

Мал. 5.1. Розподіл студентів за оцінками, отриманими на іспиті.

Інтервальний варіаційний ряд. Для безперервних ознак варіаційні ряди будуються інтервальні, тобто значення ознаки в них виражаються у вигляді інтервалів «від і до». При цьому мінімальне значення ознаки в такому інтервалі називають нижньою межею інтервалу, а максимальне - верхньою межею інтервалу.

Інтервальні варіаційні ряди будують як для перериваних ознак (дискретних), так і для варіюють у великому діапазоні. Інтервальні ряди можуть бути з рівними і нерівними інтервалами. В економічній практиці в більшості своїй застосовуються нерівні інтервали, прогресивно зростаючі або спадаючі. Така необхідність виникає особливо в тих випадках, коли коливання ознаки здійснюється нерівномірно і в великих межах.

Розглянемо вид інтервального ряду з рівними інтервалами, табл. 5.3:

Таблиця 5.3

Розподіл робочих по виробленню

Інтервальний ряд розподілу графічно зображується у вигляді гістограми, рис.5.2.

Рис.5.2. Розподіл робочих по виробленню

Накопичена (кумулятивна) частота. У практиці виникає потреба в перетворенні рядів розподілу в кумулятивні ряди,будуються по нагромадженим частотах. З їх допомогою можна визначити структурні середні, які полегшують аналіз даних ряду розподілу.

Накопичені частоти визначаються шляхом послідовного додавання до частот (або частості) першої групи цих показників наступних груп ряду розподілу. Для ілюстрації рядів розподілу використовуються кумуляти і огіви. Для їх побудови на осі абсцис відзначаються значення дискретного ознаки (або кінці інтервалів), а на осі ординат - наростаючі підсумки частот (кумулята), рис.5.3.

Мал. 5.3. Кумулята розподілу робочих з вироблення

Якщо шкали частот і варіантів поміняти місцями, тобто на осі абсцис відображати накопичені частоти, а на осі ординат - значення варіантів, то крива, що характеризує зміну частот від групи до групи, буде носить назву огіви розподілу, рис.5.4.

Мал. 5.4. Огіва розподілу робочих з вироблення

Варіаційні ряди з рівними інтервалами забезпечують одне з найважливіших вимог, що пред'являються до статистичних рядах розподілу, забезпечення порівнянності їх в часі і просторі.

Щільність розподілу. Однак частоти окремих нерівних інтервалів в названих рядах безпосередньо не можна порівняти. У подібних випадках для забезпечення необхідної порівнянності обчислюють щільність розподілу, тобто визначають, скільки одиниць у кожній групі доводиться на одиницю величини інтервалу.

При побудові графіка розподілу варіаційного ряду з нерівними інтервалами висоту прямокутників визначають пропорційно НЕ частотам, а показниками щільності розподілу значень досліджуваного ознаки у відповідних інтервалах.

Складання варіаційного ряду і його графічне зображення є першим кроком обробки вихідних даних і першим ступенем аналізу досліджуваної сукупності. Наступним кроком в аналізі варіаційних рядів є визначення основних узагальнюючих показників, що іменуються характеристиками ряду. Ці характеристики повинні дати уявлення про середнє значення ознаки у одиниць сукупності.

Середня величина. Середня величина являє собою узагальнену характеристику досліджуваного ознаки в досліджуваній сукупності, що відображає її типовий рівень у розрахунку на одиницю сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Середня величина завжди іменована, має ту ж розмірність, що і ознака у окремих одиниць сукупності.

Перед обчисленням середніх величин необхідно зробити угруповання одиниць досліджуваної сукупності, виділивши якісно однорідні групи.

Середня, розрахована за сукупністю в цілому називається загальною середньою, а для кожної групи - груповими середніми.

Існують два різновиди середніх величин: статечні (середня арифметична, середня гармонійна, середня геометрична, середня квадратична); структурні (мода, медіана, квартили, децили).

Вибір середньої для розрахунку залежить від мети.

Види статечних середніх і методи їх розрахунку.У практиці статистичної обробки зібраного матеріалу виникають різні завдання, для вирішення яких потрібні різні середні.

Математична статистика виводить різні середні з формул статечної середньої:

де середня величина; x - окремі варіанти (значення ознак); z - показник ступеня (при z \u003d 1 - середня арифметична, z \u003d 0 середня геометрична, z \u003d - 1 - середня гармонійна, z \u003d 2 - середня квадратична).

Однак питання про те, який вид середньої необхідно застосувати в кожному окремому випадку, дозволяється шляхом конкретного аналізу досліджуваної сукупності.

Найбільш часто зустрічається в статистиці видом середніх величин є середня арифметична. Вона обчислюється в тих випадках, коли обсяг осредняемого ознаки утворюється як сума його значень у окремих одиниць досліджуваної статистичної сукупності.

Залежно від характеру вихідних даних середня арифметична визначається різними способами:

Якщо дані не GROUP, то розрахунок ведеться за формулою простої середньої величини

Розрахунок середньої арифметичної в дискретному рядувідбувається за формулою 3.4.

Розрахунок середньої арифметичної в інтервальному ряду. В інтервальному варіаційному ряду, де за величину ознаки в кожній групі умовно приймається середина інтервалу, середня арифметична може відрізнятися від середньої, розрахованої за несгруппірованних даними. Причому, чим більше величина інтервалу в групах, тим більше можливі відхилення середньої, обчисленої по згрупованим даними, від середньої, розрахованої за несгруппірованних даними.

При розрахунку середньої по інтервального варіаційного ряду для виконання необхідних обчислень від інтервалів переходять до їх серединам. А потім розраховують середню величину за формулою середньої арифметичної зваженої.

Властивості середньої арифметичної.Середня арифметична має деякі властивості, які дозволяють спрощувати обчислення, розглянемо їх.

1. Середня арифметична з постійних чисел дорівнює такого постійного числа.

Якщо х \u003d а. тоді .

2. Якщо ваги всіх варіантів пропорційно змінити, тобто збільшити або зменшити в одне і те ж число раз, то середня арифметична нового ряду від цього не зміниться.

Якщо все ваги f зменшити в k раз, то .

3. Сума позитивних і негативних відхилень окремих варіантів від середньої, помножених на ваги, дорівнює нулю, тобто

Якщо то . Звідси.

Якщо всі варіанти зменшити або збільшити на будь-яке число, то середня арифметична нового ряду зменшиться або збільшиться на стільки ж.

Зменшимо всі варіанти x на a, Тобто x´ = x– a.

тоді

Середню арифметичну початкового ряду можна отримати, додаючи до зменшеної середньої раніше забраних з варіантів числа a, Тобто .

5. Якщо всі варіанти зменшити або збільшити в k раз, то середня арифметична нового ряду зменшиться або збільшиться в стільки ж, тобто в k раз.

Нехай, тоді .

Звідси, тобто для отримання середньої початкового ряду середню арифметичну нового ряду (зі зменшеними варіантами) треба збільшити в kраз.

Середня гармонійна.Середня гармонійна це величина зворотна середньої арифметичної. Її використовують, коли статистична інформація не містить частот по окремих варіантів сукупності, а представлена \u200b\u200bяк їх твір (М \u003d xf). Середня гармонійна буде розраховуватися за формулою 3.5

Практичне застосування середньої гармонійної - для розрахунку деяких індексів, зокрема, індексу цін.

Середня геометрична.При застосуванні середньої геометричній індивідуальні значення ознаки являють собою, як правило, відносні величини динаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин, як ставлення до попереднього рівня кожного рівня ряду динаміки. Середня характеризує, таким чином, середній коефіцієнт зростання.

Середня геометрична величина використовується також для визначення рівновіддаленою величини від максимального і мінімального значень ознаки. Наприклад, страхова компанія укладає договори на надання послуг автострахування. Залежно конкретного страхового випадку страхова виплата може коливатися від 10000 до 100000 дол. В рік. Середня сума виплат по страховці складе дол.

Середня геометрична це величина, яка використовується як середня з відносин або в рядах розподілу, представлених у вигляді геометричної прогресії, коли z \u003d 0. Цією середньої зручно користуватися, коли приділяється уваги не абсолютним різницям, а відносинам двох чисел.

Формули для розрахунку наступні

де - варіанти осредняемого ознаки; - твір варіантів; f- частота варіантів.

Середня геометрична використовується в розрахунках середньорічних темпів зростання.

Середня квадратична.Формула середньої квадратичної використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу. Так, при розрахунку показників варіації середню обчислюють з квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної величини.

Середня квадратична величина розраховується за формулою

В економічних дослідженнях середня квадратична в зміненому вигляді широко використовується при розрахунку показників варіації ознаки, таких як дисперсія, середньоквадратичне відхилення.

Правило мажорантності. Між статечними середніми існує наступна залежність - чим більше показник ступеня, тим більше значення середньої, табл.5.4:

Таблиця 5.4

Співвідношення між середніми величинами

Це співвідношення називається правилом мажорантності.

Структурні середні величини.Для характеристики структури сукупності застосовуються особливі показники, які можна назвати структурними середніми. До таких показників відносяться мода, медіана, квартили і децили.

Мода. Модою (Мо) називається найбільш часто зустрічається значення ознаки у одиниць сукупності. Модою називається те значення ознаки, яке відповідає максимальній точці теоретичної кривої розподілу.

Мода широко використовується в комерційній практиці при вивченні купівельного попиту (при визначенні розмірів одягу і взуття, які користуються широким попитом), реєстрації цін. Мод в сукупності може бути кілька.

Розрахунок моди в дискретному ряду. У дискретному ряду мода - це варіанта із найбільшою частотою. Розглянемо знаходження моди в дискретному ряду.

Розрахунок моди в інтервальному ряду. В інтервальному варіаційному ряду модою наближено вважають центральний варіант модального інтервалу, тобто того інтервалу, який має найбільшу частоту (частость). У межах інтервалу треба знайти те значення ознаки, яке є модою. Для інтервального ряду мода буде визначатися формулою

де - нижня межа модального інтервалу; - величина модального інтервалу; - частота, відповідна модальному інтервалу; - частота, що передує модальному інтервалу; - частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана.Медианой () називається значення ознаки у середньої одиниці рангового ряду. Ранжируваний ряд - це ряд, у якого значення ознаки записані в порядку зростання або зменшення. Або медіана це величина, яка ділить чисельність упорядкованого варіаційного ряду на дві рівні частини: одна частина має значення варьирующего ознаки менші, ніж середній варіант, а інша - великі.

Щоб знайти медіану, спочатку визначається її порядковий номер. Для цього при непарному числі одиниць до суми всіх частот додається одиниця і все ділиться на два. При парному числі одиниць медіана відшукується як значення ознаки у одиниці, порядковий номер який визначається за загальною сумою частот, поділеній на два. Знаючи порядковий номер медіани, легко по нагромадженим частотах знайти її значення.

Розрахунок медіани в дискретному ряду.За даними вибіркового обстеження отримані дані про розподіл сімей за кількістю дітей, табл. 5.5. Для визначення медіани спочатку визначимо її порядковий номер

=

Потім побудуємо ряд накопичених частот (, за порядковим номером і накопиченої частоті знайдемо медіану. Накопичена частота 33 показує, що в 33 сім'ях кількість дітей не перевищує 1 дитину, але так як номермедіани 50, то медіана буде знаходиться в проміжку з 34 по 55 сім'ю.

Таблиця 5.5

Розподіл числа сімей від кількості дітей

призначення сервісу. За допомогою онлайн-калькулятора Ви зможете:

• побудувати варіаційний ряд, Побудувати гістограму та полігон;
• знайти показники варіації (середню, моду (в т.ч. і графічним способом), медіану, розмах варіації, квартили, децили, квартильное коефіцієнт диференціації, коефіцієнт варіації і інші показники);

Інструкція. Для угруповання ряду необхідно вибрати вид одержуваного варіаційного ряду (дискретний або інтервальний) і вказати кількість даних (кількість рядків). Отримане рішення зберігається в файлі Word (див. Приклад угруповання статистичних даних).

Якщо угруповання вже здійснена і задані дискретний варіаційний ряд або інтервальний ряд, То необхідно скористатися онлайн-калькулятором Показники варіації. Перевірка гіпотези про вид розподілу проводиться за допомогою сервісу Вивчення форми розподілу.

Види статистичних угруповань

1. типологічна угруповання - це поділ досліджуваної якісно різнорідної сукупності на класи, соціально-економічні типи, однорідні групи одиниць. Для побудови цього угруповання використовуйте параметр Дискретний варіаційний ряд.
2. Структурної називається угруповання, В якій відбувається поділ однорідної сукупності на групи, що характеризують її структуру з якого-небудь варьирующему ознакою. Для побудови цього угруповання використовуйте параметр Інтервальний ряд.
3. Угруповання, що виявляє взаємозв'язку між досліджуваними явищами та його ознаками, називається аналітичної угрупованням (Див. Аналітична угруповання ряду).

Приклад №1. За даними таблиці 2 побудуйте ряди розподілу по 40 комерційним банкам РФ. За отриманими рядах розподілу визначте: прибуток в середньому на один комерційний банк, кредитні вкладення в середньому на один комерційний банк, модальное і медіанне значення прибутку; квартили, децили, розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Рішення:
В розділі «Вид статистичного ряду» вибираємо Дискретний ряд. Натискаємо Вставити з Excel. Кількість груп: по формулі Стерджесса

Принципи побудови статистичних угруповань

При використанні персональних комп'ютерів для обробки статистичних даних угруповання одиниць об'єкта проводиться за допомогою стандартних процедур.
Одна з таких процедур заснована на використанні формули Стерджесса для визначення оптимального числа груп:

k \u003d 1 + 3,322 * lg (N)

Де k - число груп, N - число одиниць сукупності.

Довжину часткових інтервалів обчислюють як h \u003d (x max -x min) / k

Потім підраховують числа влучень спостережень в ці інтервали, які приймають за частоти n i. Нечисленні частоти, значення яких менше 5 (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В якості нових значень варіант беруть середини інтервалів x i \u003d (c i-1 + c i) / 2.

Приклад №3. В результаті 5% -ної власне-випадкової вибірки отримано наступний розподіл виробів за змістом вологи. Розрахуйте: 1) середній відсоток вологості; 2) показники, що характеризують варіацію вологості.
Рішення отримано за допомогою калькулятора: Приклад №1

Побудувати варіаційний ряд. По знайденому ряду побудувати полігон розподілу, гістограму, кумуляту. Визначити моду і медіану.
завантажити рішення

приклад. За результатами вибіркового спостереження (вибірка А додаток):
а) складіть варіаційний ряд;
б) обчисліть відносні частоти і накопичені відносні частоти;
в) побудуйте полігон;
г) складіть емпіричну функцію розподілу;
д) побудуйте графік емпіричної функції розподілу;
е) обчисліть числові характеристики: середнє арифметичне, дисперсію, середньоквадратичне відхилення. Рішення

На основі даних, наведених в Таблиці 4 (Додаток 1) і відповідних Вашому варіанту, виконати:

1. На основі структурної угруповання побудувати варіаційний частотний і кумулятивний ряди розподілу, використовуючи рівні закриті інтервали, прийнявши число груп рівним 6. Результати представити у вигляді таблиці і зобразити графічно.
2. Проаналізувати варіаційний ряд розподілу, обчисливши:
   • середнє арифметичне значення ознаки;
   • моду, медіану, 1-ий квартиль, 1-ий і 9-тий дециль;
   • середнє квадратичне відхилення;
   • коефіцієнт варіації.
3. Зробити висновки.

Потрібно: ранжувати ряд, побудувати інтервальний ряд розподілу, обчислити середнє значення, коливання середнього значення, моду і медіану для ранжированного та інтервального рядів.

На основі вихідних даних побудувати дискретний варіаційний ряд; представити його у вигляді статистичної таблиці і статистичних графіків. 2). На основі вихідних даних побудувати інтервальний варіаційний ряд з рівними інтервалами. Число інтервалів вибрати самостійно і пояснити цей вибір. Уявити отриманий варіаційний ряд у вигляді статистичної таблиці і статистичних графіків. Вказати види застосованих таблиць і графіків.

З метою визначення середньої тривалості обслуговування клієнтів в пенсійному фонді, число клієнтів якого дуже велике, за схемою власне-випадкової бесповторной вибірки проведено обстеження 100 клієнтів. Результати обстеження представлені в таблиці. знайти:
а) межі, в яких з ймовірністю 0.9946 укладено середній час обслуговування всіх клієнтів пенсійного фонду;
б) ймовірність того, що частка всіх клієнтів фонду з тривалістю обслуговування менше 6 хвилин відрізняється від частки таких клієнтів у вибірці не більше ніж на 10% (по абсолютній величині);
в) обсяг повторної вибірки, при якому з ймовірністю 0.9907 можна стверджувати, що частка всіх клієнтів фонду з тривалістю обслуговування менше 6 хвилин відрізняється від частки таких клієнтів у вибірці не більше ніж на 10% (по абсолютній величині).
2. За даними задачі 1, використовуючи X 2 критерій Пірсона, на рівні значущості α \u003d 0,05 перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина Х - час обслуговування клієнтів - розподілена за нормальним законом. Побудувати на одному кресленні гистограмму емпіричного розподілу і відповідну нормальну криву.
завантажити рішення

Дана вибірка з 100 елементів. необхідно:

1. Побудувати ранжируваних варіаційний ряд;
2. Знайти максимальний і мінімальний члени ряду;
3. Знайти розмах варіації і кількість оптимальних проміжків для побудови інтервального ряду. Знайти довжину проміжку інтервального ряду;
4. Побудувати інтервальний ряд. Знайти частоти потрапляння елементів вибірки в складені проміжки. Знайти середні точки кожного проміжку;
5. Побудувати гістограму та полігон частот. Порівняти з нормальним розподілом (аналітично і графічно);
6. Побудувати графік емпіричної функції розподілу;
7. Розрахувати вибіркові числові характеристики: вибіркове середнє і центральний вибірковий момент;
8. Розрахувати наближені значення середнього квадратичного відхилення, асиметрії та ексцесу (користуючись пакетом аналізу MS Excel). Порівняти наближені розрахункові значення з точними (розраховані за формулами MS Excel);
9. Порівняти вибіркові графічні характеристики з відповідними теоретичними.

Є такі вибіркові дані (вибірка 10% -ва, механічна) про випуск продукції і суми прибутку, млн. Руб. За вихідними даними:
Завдання 13.1.
13.1.1. Побудуйте статистичний ряд розподілу підприємств за сумою прибутку, утворивши п'ять груп з рівними інтервалами. Побудуйте графіки ряду розподілу.
13.1.2. Розрахуйте числові характеристики ряду розподілу підприємств за сумою прибутку: середню арифметичну, середнє квадратичне відхилення, дисперсію, коефіцієнт варіації V. Зробіть висновки.
Завдання 13.2.
13.2.1. Визначте кордону, в яких з ймовірністю 0.997 укладена сума прибутку одного підприємства в генеральної сукупності.
13.2.2. Використовуючи x2-критерій Пірсона, при рівні значущості α перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина X - сума прибутку - розподілена за нормальним законом.
Завдання 13.3.
13.3.1. Визначте коефіцієнти вибіркового рівняння регресії.
13.3.2. Встановіть наявність і характер кореляційного зв'язку між вартістю виробленої продукції (X) і сумою прибутку на одне підприємство (Y). Побудуйте діаграму розсіювання і лінію регресії.
13.3.3. Розрахуйте лінійний коефіцієнт кореляції. Використовуючи t-критерій Стьюдента, перевірте значимість коефіцієнта кореляції. Зробіть висновок про тісноту зв'язку між факторами X і Y, використовуючи шкалу Чеддока.
Методичні рекомендації. Завдання 13.3 виконується за допомогою цього сервісу.
завантажити рішення

завдання. Наступні дані представляють собою витрати часу клієнтів на укладення договорів. Побудувати інтервальний варіаційний ряд представлених даних, гистограмму, знайти несмещенную оцінку математичного очікування, зміщену і несмещенную оцінку дисперсії.

Приклад. За даними таблиці 2:
1) Побудуйте ряди розподілу по 40 комерційним банкам РФ:
А) за величиною прибутку;
Б) за величиною кредитних вкладень.
2) За отриманими рядах розподілу визначте:
А) прибуток в середньому на один комерційний банк;
Б) кредитні вкладення в середньому на один комерційний банк;
В) модальное і медіанне значення прибутку; квартили, децили;
Г) модальное і медіанне значення кредитних вкладень.
3) За отриманими в п. 1 рядах розподілу розрахуйте:
а) розмах варіації;
б) середнє лінійне відхилення;
в) середнє квадратичне відхилення;
г) коефіцієнт варіації.
Необхідні розрахунки оформите в табличній формі. Результати проаналізуйте. Зробіть висновки.
Побудуйте графіки отриманих рядів розподілу. Графічно визначте моду і медіану.

Рішення:
Для побудови угруповання з рівними інтервалами скористаємося сервісом Угруповання статистичних даних.

Малюнок 1 - Введення установок

Група чисел, що об'єднується будь-яким ознакою, називається сукупністю.

Як було зазначено вище, первинний статистичний спортивний матеріал являє собою групу розрізнених чисел, що не дають тренеру уявлення про суть явища або процесу. Завдання полягає в тому, щоб перетворити цю сукупність у систему і скористатися її показниками для отримання необхідної інформації.

Складання варіаційного ряду якраз і є формування певної математичної

Приклад 2. У 34 спортсменів-лижників зареєстровано такий час відновлення пульсу після проходження дистанції (в секундах):

81; 78: 84; 90; 78; 74; 84; 85; 81; 84: 79; 84; 74; 84; 84;

85; 81; 84; 78: 81; 74; 84; 81; 84; 85; 81; 78; 81; 81; 84;

Як видно, дана група цифр не несе ніякої інформації.

Для складання варіаційного ряду спочатку виробляємо операцію ранжирування - розташування чисел в порядку зростання або зменшення. Наприклад, в порядку зростання ранжування призводить до наступного;

78; 78; 78; 78; 78; 78;

81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81;

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84;

У порядку убування ранжування призводить до такої групи чисел:

84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84: 84: 84; 84;

81; 81; 81; 81; 8!; 81: 81; 81; 81;

78; 78; 78; 78; 78; 78;

Після проведення ранжирування стає очевидною нераціональна форма запису даної групи чисел-одні й ті ж числа повторюються багаторазово. Тому виникає природна думка перетворити запис таким чином, щоб вказати, яке число скільки разів повторюється. Наприклад, з огляду на ранжування в порядку зростання:

Тут зліва записано число, яке вказує час відновлення пульсу спортсмена, справа-число повторень цього свідчення в даній групі з 34 спортсменів.

Згідно з наведеними вище поняттями про математичних символах розглянуту групу вимірювань позначимо будь-якої буквою, наприклад х. З огляду на зростаючий порядок чисел в даній групі: х 1 -74 с; х 2 - 78 с; х 3 - 81 с; х 4 - 84 с; х 5 - 85 с; х 6 х n - 90 с, кожне розглянуте число можна позначити символом X i.

Позначимо число повторень розглянутих вимірювань буквою n. тоді:

n 1 \u003d 4; n 2 \u003d 6; n 3 \u003d 9; n 4 \u003d 11; n 5 \u003d 3; n 6 \u003d n n \u003d 1, а кожне число повторень можна позначити як n i.

Загальна кількість проведених вимірювань, як випливає з умови прикладу, є 34. Це означає, що сума всіх n дорівнює 34. Або в символічному вираженні:

Позначимо цю суму однією літерою - n. Тоді вихідні дані розглянутого прикладу можна записати в такому вигляді (табл. 1).

Отримана група чисел є перетворений ряд хаотично розсіяних показань, отриманих тренером на початку роботи.

Таблиця 1

Така група є певною системою, параметри якої характеризують проведені вимірювання. Числа, що представляють собою результати вимірювань (х i), називають варіантами; n i - числа їх повторень - називаються частотами; n - сума всіх частот - є обсяг сукупності.

Вся отримана система називається варіаційним рядом. Іноді ці ряди називаються емпіричними або статистичними.

Неважко помітити, що можливий окремий випадок варіаційного ряду, коли всі частоти дорівнюють одиниці n i \u003d\u003d 1, тобто кожне вимір в даній групі чисел зустрілося тільки один раз.

Отриманий варіаційний ряд, як і будь-який інший, можна уявити графічно. Для побудови графіка отриманого ряду, необхідно перш за все домовитися про масштаб на горизонтальній і вертикальної осі.

У цьому завданню на горизонтальній осі будемо відкладати значення часу відновлення пульсу (х 1) таким чином, що одиниці довжини, обраної довільно, відповідає значення однієї секунди. Відкладати ці значення почнемо з 70 секунд, умовно відступаючи від місця перетину двох осей 0.

На вертикальній осі відкладемо значення частот нашого ряду (n i), приймаючи масштаб: одиниця довжини дорівнює одиниці частоти.

Підготувавши таким чином умови для побудови графіка, приступаємо до роботи з отриманим варіаційним рядом.

Першу пару чисел х 1 \u003d 74, n 1 \u003d 4 наносимо на графік так: на осі х; знаходимо х 1 =74 і відновлюємо перпендикуляр з цієї точки, на осі n знаходимо n 1 \u003d 4 і проводимо з неї горизонтальну лінію до перетину з відновленим перш перпендикуляром. Обидві лінії-вертикаль і горизонталь-є лініями допоміжними і тому наносяться на малюнок пунктиром. Точка їх перетину є в масштабі даного графіка співвідношення Х 1 \u003d 74 і n 1 \u003d 4.

Таким же чином наносяться всі інші точки графіка. Потім вони з'єднуються відрізками прямих. Для того щоб графік мав замкнутий вид, крайні точки з'єднуємо відрізками з сусідніми точками горизонтальній осі.

Отримана фігура є графік нашого варіаційного ряду (рис. 1).

Цілком зрозуміло, що кожен варіаційний ряд представляється своїм власним графіком.

Мал. 1. Графічне представлення варіаційного ряду.

На рис. 1 видно:

1) з усіх обстежених найбільшу групу склали спортсмени, час відновлення пульсу у яких 84 с;

2) у багатьох цей час 81 с;

3) найменшу групу склали спортсмени з малим часом відновлення пульсу - 74 с і великим - 90 с.

Таким чином, виконавши серію випробувань, слід ранжувати отримані числа і скласти варіаційний ряд, що представляє собою певну математичну систему. Для наочності варіаційний ряд можна ілюструвати графіком.

Наведений вище варіаційний ряд називається ще дискретним поруч - таким, у якого кожен варіант виражений одним числом.

Наведемо ще кілька прикладів на складання варіаційних рядів.

Приклад 3. 12 стрільців, виконуючи вправу лежачи з 10 пострілів, показали такі результати (в окулярах):

94; 91; 96; 94; 94; 92; 91; 92; 91; 95; 94; 94.

Для освіти варіаційного ряду зробимо ранжування даних чисел;

94; 94; 94; 94; 94;

Після ранжирування складаємо варіаційний ряд (табл. 3).

Сукупність предметів або явищ, об'єднаних будь-яким загальним ознакою або властивістю якісного або кількісного характеру, називається об'єктом спостереження .

Кожен об'єкт статистичного спостереження складається з окремих елементів - одиниць спостереження .

Результати статистичного спостереження є числову інформацію - дані . Статистичні данні - це відомості про те, які значення прийняв цікавить дослідника ознака в статистичної сукупності.

Якщо значення ознаки виражаються числами, то ознака називається кількісним .

Якщо ознака характеризує деякий властивість або стан елементів сукупності, то ознака називається якісним .

Якщо дослідженню підлягають всі елементи сукупності (суцільне спостереження), то статистичну сукупність називають генеральної.

Якщо дослідженню підлягає частина елементів генеральної сукупності, то статистичну сукупність називають вибіркової (вибіркою) . Вибірка з генеральної сукупності витягується випадково, так щоб кожен з n елементів вибірки мав рівні шанси бути відібраним.

Значення ознаки при переході від одного елемента сукупності до іншого змінюються (варіюють), тому в статистиці різні значення ознаки також називають варіантами . Варіанти зазвичай позначаються малими латинськими літерами x, y, z.

Порядковий номер варіанту (значення ознаки) називається рангом . x 1 - 1-й варіант (1-е значення ознаки), x 2 - 2-й варіант (2-е значення ознаки), x i - i-й варіант (i-е значення ознаки).

Упорядкований в порядку зростання або зменшення ряд значень ознаки (варіантів) з відповідними їм вагами називається варіаційним рядом (рядом розподілу).

В якості ваг виступають частоти або частості.

частота(M i) показує скільки раз зустрічається той чи інший варіант (значення ознаки) у статистичній сукупності.

Частість або відносна частота (W i) показує, яка частина одиниць сукупності має той чи інший варіант. Частість розраховується як відношення частоти того чи іншого варіанту до суми всіх частот ряду.

. (6.1)

Сума всіх частостей дорівнює 1.

. (6.2)

Варіаційні ряди бувають дискретними і інтервальними.

Дискретні варіаційні ряди будують зазвичай в тому випадку, якщо значення досліджуваної ознаки можуть відрізнятися один від одного не менш ніж на деяку кінцеву величину.

У дискретних варіаційних рядах задаються точкові значення ознаки.

Загальний вигляд дискретного варіаційного ряду вказано в таблиці 6.1.

Таблиця 6.1

де i \u003d 1, 2, ..., l.

В інтервальних варіаційних рядах в кожному інтервалі виділяють верхню і нижню межі інтервалу.

Різниця між верхньою і нижньою межами інтервалу називають інтервального різницею або довжиною (величиною) інтервалу .

Величина першого інтервалу k 1 визначається за формулою:

k 1 \u003d а 2 - а 1;

другого: k 2 \u003d а 3 - а 2; ...

останнього: k l \u003d a l - a l -1.

У загальному вигляді интервальная різницю k i розраховується за формулою:

k i \u003d x i (max) - x i (min). (6.3)

Якщо інтервал має обидві кордону, то його називають закритим .

Перший і останній інтервали можуть бути відкритими , Тобто мати тільки одну кордон.

Наприклад, перший інтервал може бути заданий як "до 100", другий - "100-110", ..., передостанній - "190-200", останній - "200 і більше". Очевидно, що перший інтервал не має нижньої межі, а останній - верхній, обидва вони - відкриті.

Часто відкриті інтервали доводиться умовно закривати. Для цього зазвичай величину першого інтервалу приймають рівною величині другого, а величину останнього - величиною передостаннього. У нашому прикладі величина другого інтервалу дорівнює 110-100 \u003d 10, отже, нижня межа першого інтервалу умовно складе 100-10 \u003d 90; величина передостаннього інтервалу дорівнює 200-190 \u003d 10, отже, верхня межа останнього інтервалу умовно складе 200 + 10 \u003d 210.

Крім цього, в інтервальному варіаційному ряді можуть зустрічаються інтервали різної довжини. Якщо інтервали в варіаційному ряді мають однакову довжину (интервальную різниця), їх називають рівновеликими , в іншому випадку - неравновелікіх.

При побудові інтервального варіаційного ряду часто постає проблема вибору між кращими відступами (інтервального різниці).

Для визначення оптимальної величини інтервалів (в тому випадку, якщо будується ряд з рівними інтервалами) застосовують формулу Стерджесса:

, (6.4)

де n - число одиниць сукупності,

x (max) і x (min) - найбільше та найменше значення варіантів ряду.

Для характеристики варіаційного ряду поряд з частотами і частостей використовуються накопичені частоти і частості.

Накопичені частоти (частості) показують скільки одиниць сукупності (яка їх частина) не перевищують заданого значення (варіанти) х.

Накопичені частоти ( v i) За даними дискретного ряду можна розрахувати за наступною формулою:

. (6.5)

Для інтервального варіаційного ряду - це сума частот (частостей) всіх інтервалів, що не перевищують даний.

Дискретний варіаційний ряд графічно можна представити за допомогою полігону розподілу частот або частостей.

При побудові полігону розподілу по осі абсцис відкладаються значення ознаки (варіанти), а по осі ординат - частоти або частості. На перетині значень ознаки і відповідних їм частот (частостей) відкладаються точки, які, в свою чергу, з'єднуються відрізками. Що Виходить таким чином ламана називається полігоном розподілу частот (частостей).

Інтервальні варіаційні ряди графічно можна представити за допомогою гістограми, Тобто стовпчастий діаграми.

При побудові гістограми по осі абсцис відкладаються значення досліджуваного ознаки (межі інтервалів).

У тому випадку, якщо інтервали - однакового розміру, по осі ординат можна відкладати частоти або частості.

Якщо ж інтервали мають різну величину, по осі ординат необхідно відкладати значення абсолютної або відносної щільності розподілу.

абсолютна щільність - відношення частоти інтервалу до величини інтервалу:

; (6.6)

де: f (a) i - абсолютна щільність i-го інтервалу;

m i - частота i-го інтервалу;

k i - величина i-го інтервалу (інтервальна різниця).

Абсолютна щільність показує, скільки одиниць сукупності припадає на одиницю інтервалу.

Відносна густина - відношення частості інтервалу до величини інтервалу:

; (6.7)

де: f (о) i - відносна щільність i-го інтервалу;

w i - частость i-го інтервалу.

Відносна щільність показує, яка частина одиниць сукупності припадає на одиницю інтервалу.

І дискретні та інтервальні варіаційні ряди графічно можна представити у вигляді кумуляти і огіви.

при побудові кумуляти за даними дискретного ряду по осі абсцис відкладаються значення ознаки (варіанти), а по осі ординат - накопичені частоти або частості. На перетині значень ознаки (варіантів) і відповідних їм накопичених частот (частостей) будуються точки, які, в свою чергу, з'єднуються відрізками або кривої. Що Виходить таким чином ламана (крива) називається кумуляти (кумулятивної кривої).

При побудові кумуляти за даними інтервального ряду по осі абсцис відкладаються межі інтервалів. Абсциссами точок є верхні межі інтервалів. Ординати утворюють накопичені частоти (частості) відповідних інтервалів. Часто додають ще одну точку, абсциссой якої є нижня межа першого інтервалу, а ордината дорівнює нулю. Поєднуючи точки відрізками або кривої, одержимо кумуляту.

огіва будується аналогічно кумуляти з тією лише різницею, що на осі абсцис наносяться точки, відповідні нагромадженим частотах (частості), а по осі ординат - значення ознаки (варіанти).

Наявність загальної ознаки є основою для утворення статистичної сукупності, яка представляє собою результати опису або вимірювання загальних ознак об'єктів дослідження.

Предметом вивчення в статистиці є змінюються (варіюють) ознаки або статистичні ознаками.

Види статистичних ознак.

Атрибутивними називають ряди розподілу, Побудовані за якісними ознаками. атрибутивний - це ознака, що має найменування, (наприклад професія: швачка, вчитель і т.д.).
Ряд розподілу прийнято оформляти у вигляді таблиць. У табл. 2.8 наведено атрибутивний ряд розподілу.
Таблиця 2.8 - Розподіл видів юридичної допомоги, наданої адвокатами громадянам одного з регіонів РФ.

Залежно від характеру варіації ознаки розрізняють дискретні та інтервальні варіаційні ряди.
Приклад дискретного варіаційного ряду наведено в табл. 2.9.
Таблиця 2.9 - Розподіл сімей за кількістю займаних кімнат в окремих квартирах у 1989 р в РФ.

варіаційний ряд

n називається накопиченої частостей w i max.
Ознака називається дискретно варійованим, якщо його окремі значення (варіанти) відрізняються один від одного на деяку кінцеву величину (зазвичай ціле число). Варіаційний ряд такої ознаки називається дискретним варіаційним рядом.

Таблиця 1. Загальний вигляд дискретного варіаційного ряду частот

значення ознаки	x i	x 1	x 2	…	x n
частоти	m i	m 1	m 2	…	m n

Ознака називається безперервно варьирующим, якщо його значення відрізняються один від одного на як завгодно малу величину, тобто ознака може приймати будь-які значення в деякому інтервалі. Безперервний варіаційний ряд для такого ознаки називається інтервальним.

Таблиця 2. Загальний вигляд інтервального варіаційного ряду частот

Таблиця 3. Графічні зображення варіаційного ряду

ряд	Полігон або гістограма		Емпірична функція розподілу
дискретний
інтервальний

Переглядаючи результати проведених спостережень, визначають, скільки значень варіантів потрапило в кожен конкретний інтервал. Передбачається, що кожному інтервалу належить один з його кінців: або у всіх випадках ліві (частіше), або у всіх випадках праві, а частоти або частості показують число варіантів, укладених в зазначених межах. різниці a i - a i +1називаються частковими інтервалами. Для спрощення подальших розрахунків інтервальний варіаційний ряд можна замінити умовно дискретним. В цьому випадку серединне значення i-го інтервалу приймають за варіант x i, А відповідну интервальную частоту m i - за частоту цього інтервалу.
Для графічного зображення варіаційних рядів найбільш часто використовуються полігон, гістограма, кумулятивна крива і емпірична функція розподілу.

У табл. 2.3 (Угрупування населення Росії за розміром середньодушового доходу в квітні 1994р.) Представлений інтервальний варіаційний ряд.
Зручно ряди розподілу аналізувати за допомогою графічного зображення, що дозволяє судити і про форму розподілу. Наочне уявлення про характер зміни частот варіаційного ряду дають полігон і гістограма.
Полігон використовується при зображенні дискретних варіаційних рядів.
Зобразимо, наприклад графічно розподіл житлового фонду по типу квартир, (табл. 2.10).
Таблиця 2.10 - Розподіл житлового фонду міського району за типом квартир (цифри умовні).

Мал. Полігон розподілу житлового фонду

На осі ординат можуть наноситися не тільки значення частот, але і частостей варіаційного ряду.
Гістограма приймається для зображення інтервального варіаційного ряду. При побудові гістограми на осі абсцис відкладаються величини інтервалів, а частоти зображуються прямокутниками, побудованими на відповідних інтервалах. Висота стовпчиків в разі рівних інтервалів повинна бути пропорційна частотам. Гістограма - графік, на якому ряд зображений у вигляді суміжних один з одним стовпчиків.
Зобразимо графічно інтервальний ряд розподілу, наведений в табл. 2.11.
Таблиця 2.11 - Розподіл сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну людину (цифри умовні).

N п / п	Групи сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну людину	Число сімей з даними розміром житлової площі	Накопичене число сімей
1	3 – 5	10	10
2	5 – 7	20	30
3	7 – 9	40	70
4	9 – 11	30	100
5	11 – 13	15	115
ВСЬОГО		115	----

Мал. 2.2. Гістограма розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну людину

Використовуючи дані накопиченого ряду (табл. 2.11), побудуємо кумуляту розподілу.

Мал. 2.3. Кумулята розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну людину

Зображення варіаційного ряду у вигляді кумуляти особливо ефективно для варіаційних рядів, частоти яких виражені в частках або відсотках до суми частот ряду.
Якщо при графічному зображенні варіаційного ряду у вигляді кумуляти осі поміняти, то ми отримаємо огіви. На рис. 2.4 приведена огива, побудована на основі даних табл. 2.11.
Гістограма може бути перетворена в полігон розподілу, якщо знайти середини сторін прямокутників і потім ці точки з'єднати прямими лініями. Отриманий полігон розподілу зображений на рис. 2.2 пунктирною лінією.
При побудові гістограми розподілу варіаційного ряду з нерівними інтервалами по осі ординат завдають не частоти, а щільність розподілу ознаки у відповідних інтервалах.
Щільність розподілу - це частота, розрахована на одиницю ширини інтервалу, тобто скільки одиниць в кожній групі доводиться на одиницю величини інтервалу. Приклад розрахунку щільності розподілу представлений в табл. 2.12.
Таблиця 2.12 - Розподіл підприємств за кількістю зайнятих (цифри умовні)

N п / п	Групи підприємств за кількістю зайнятих, чол.	число підприємств	Величина інтервалу, чол.	щільність розподілу
	А	1	2	3=1/2
1	до 20	15	20	0,75
2	20 – 80	27	60	0,25
3	80 – 150	35	70	0,5
4	150 – 300	60	150	0,4
5	300 – 500	10	200	0,05
	ВСЬОГО	147	----	----

Для графічного зображення варіаційних рядів може також використовуватися кумулятивна крива. За допомогою кумуляти (кривої сум) зображується ряд накопичених частот. Накопичені частоти визначаються шляхом послідовно підсумовування частот по групах і показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше, ніж розглядається значення.

Мал. 2.4. Огіва розподілу сімей за розміром житлової площі, що припадає на одну людину

При побудові кумуляти інтервального варіаційного ряду по осі абсцис відкладаються варіанти ряду, а по осі ординат накопичені частоти.

Безперервний варіаційний ряд

Безперервний варіаційний ряд - ряд, побудований на основі кількісного статистичного ознаки. Приклад. Середня тривалість захворювань засуджених (днів на одну людину) в осінньо-зимовий період в поточному рік склала:

7,0	6,0	5,9	9,4	6,5	7,3	7,6	9,3	5,8	7,2
7,1	8,3	7,5	6,8	7,1	9,2	6,1	8,5	7,4	7,8
10,2	9,4	8,8	8,3	7,9	9,2	8,9	9,0	8,7	8,5