Що таке прямий паралелепіпед визначення. Геометричні фігури. Паралелепіпед. Етап здобуття знань

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:

Розглянемо ці предмети:

Будівельна цегла, гральний кубик, мікрохвильова піч. Ці предмети поєднує форма.

Поверхня, що складається з двох рівних паралелограмів АВСD та А1В1С1D1

і чотирьох паралелограмів АА1В1В та ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D називається паралелепіпедом.

Паралелограми, у тому числі складено паралелепіпед, називаються гранями. Грань А1В1С1D1. Грань ВВ1С1С. Грань АВСD.

У цьому грані АВСD і А1В1С1D1 частіше називають основами, інші грані бічними.

Сторони паралелограмів називаються ребрами паралелепіпеда. Ребро А1В1. Ребро СС1. Ребро АD.

Ребро СС1, що не належить підставам, воно називаються бічним ребром.

Вершини паралелограмів називають вершинами паралелепіпеда.

Вершина D1. Вершина В. Вершина С.

Вершини D1 та В

не належать однієї грані та називаються протилежними.

Паралелепіпед можна зображати різними способами

Паралелепіпед у основі, якого лежить ромб, При цьому зображеннями граней є паралелограми.

Паралелепіпед у основі, якого лежить квадрат. Невидимі ребра АА1, АВ, АD зображуються штриховими лініями.

Паралелепіпед в основі, якого лежить квадрат

Паралелепіпед в основі, якого лежить прямокутник або паралелограм

Паралелепіпед, у якого всі грані квадрати. Найчастіше його називають кубом.

Всі розглянуті паралелепіпеди мають властивості. Сформулюємо та доведемо їх.

Властивість 1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Розглянемо паралелепіпед АВСDА1В1С1D1 і доведемо, наприклад, паралельність і рівність граней ВВ1С1С та АА1D1D.

За визначенням паралелепіпеда грань АВСD паралелограм, означає за властивістю паралелограма ребро ВС паралельно ребру АD.

Грань АВВ1А1 теж паралелограм, отже ребра ВВ1 та АА1 паралельні.

Це означає, що дві перетинаються прямі ВС і BB1 однієї площини відповідно паралельні двом прямим АD і АА1 відповідно інший площині, значить площини АВВ1А1 і ВСС1D1 паралельні.

Усі грані паралелепіпеда паралелограми а значить ВС = АD, ВВ1 = АА1.

У цьому боку кутів В1ВС і А1АD відповідно сонаправлены, отже вони рівні.

Таким чином, дві суміжні сторони і кут між ними паралелограма АВВ1А1 відповідно дорівнюють двом суміжним сторонам і куту між ними паралелограма ВСС1D1, отже, ці паралелограми рівні.

Паралелепіпед має ще властивість про діагоналі. Діагоналлю паралелепіпеда називається відрізок, що з'єднує не сусідні вершини. На креслення пунктирною лінією показано діагоналі В1D, BD1, А1С.

Отже, властивість 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Для доказу якості розглянемо чотирикутник ВВ1D1D. Його діагоналі В1D, BD1 є діагоналями паралелепіпеда АВСDА1В1С1D1.

У першому властивості ми з'ясували, що ребро ВВ1 паралельно і дорівнює ребру АА1, але ребро АА1 паралельно і дорівнює ребру DD1. Отже ребра ВВ1 і DD1 паралельні і рівні, що доводить чотирикутник ВВ1D1D-паралелограм. А в паралелограмі за якістю діагоналі В1D, BD1 перетинаються в деякій точці О і цією точкою діляться навпіл.

Чотирьохкутник ВС1D1А також є паралелограмом та його діагоналі С1А, перетинаються в одній точці та діляться цією точкою навпіл. Діагоналі паралелограма С1А, ВD1 є діагоналями паралелепіпеда, отже сформульоване властивість доведено.

Для закріплення теоретичних знань про паралелепіпед розглянемо завдання на доказ.

На ребрах паралелепіпеда відзначені точки L, M, N, P так, що BL = CM = A1N = D1P. Довести, що ALMDNB1C1P паралелепіпед.

Грань ВВ1А1А паралелограм, отже ребро ВВ1 і паралельно ребру АА1, але за умовою відрізки BL і A1N, отже рівні і паралельні відрізки LB1 і NA.

3) Отже, чотирикутник LB1NA за ознакою паралелограм.

4) Так як СС1D1D-паралелограм, значить ребро СС1 одно і паралельно ребру D1D, а СМ дорівнює D1P за умовою, значить рівні та паралельні відрізки МС1і DP

Отже, чотирикутник MC1PD теж паралелограм.

5) Кути LB1N і MC1P рівні як кути з відповідно паралельними та однаково спрямованими сторонами.

6) Ми отримали, що у паралелограмів та MC1PD відповідні сторони рівні та кути між ними рівні, отже паралелограми рівні.

7) Відрізки рівні за умовою, отже BLMC-паралелограм та сторона BC паралельна стороні LM паралельна стороні В1С1.

8) Аналогічно з паралелограма NA1D1P випливає, що сторона A1D1 паралельна стороні NP і паралельна стороні AD.

9)Протилежні грані ABB1A1 і DCC1D1 паралелепіпеда за якістю паралельні, а відрізки паралельних прямих ув'язнених між паралельними площинами рівні, отже відрізки В1С1, LM, AD,NP рівні.

Отримано, що у чотирикутниках ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD дві сторони паралельні та рівні, отже вони паралелограми. Тоді наша поверхня ALMDNB1C1P складається із шести паралелограмів, два з яких рівні, а за визначенням це паралелепіпед.

або (рівносильно) багатогранник із шістьма гранями, що є паралелограмами. Шестигранник.

Паралелограми, з яких складається паралелепіпед є гранямицього паралелепіпеда, сторони цих паралелограмів ребрами паралелепіпеда, а вершини паралелограмів вершинами паралелепіпеда. У паралелепіпеда кожна грань є паралелограмом.

Як правило виділяють будь-які 2-і протилежні грані та називають їх основами паралелепіпеда, а грані, що залишилися бічними гранями паралелепіпеда. Ребра паралелепіпеда, які не належать основам є бічними ребрами.

2 грані паралелепіпеда, які мають спільне ребро є суміжними, А ті, які не мають спільних ребер протилежними.

Відрізок, який з'єднує 2 вершини, які не належать 1-ій грані є діагоналлю паралелепіпеда.

Довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, які не паралельні, є лінійними розмірами (вимірами) паралелепіпеда. У прямокутного паралелепіпеда 3 лінійні розміри.

Типи паралелепіпеда.

Існує кілька видів паралелепіпедів:

Прямимє паралелепіпед з ребром, перпендикулярним площині основи.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі 3 виміри мають рівну величину, є кубом. Кожна з граней куба – це рівні квадрати .

Довільний паралелепіпед.Обсяг та співвідношення в похилому паралелепіпеді в основному визначаються за допомогою векторної алгебри. Обсяг паралелепіпеда дорівнює абсолютній величині змішаного твору 3-х векторів, які визначаються трьома сторонами паралелепіпеда (які виходять з однієї вершини). Співвідношення між довжинами сторін паралелепіпеда і кутами з-поміж них показує твердження, що визначник Грама даних 3-х векторів дорівнює квадрату їх змішаного твору .

Властивості паралелепіпеда.

Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею на дві рівні частини. Всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в 1-ій точці і діляться нею на дві рівні частини.
Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і мають рівні розміри.
Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює

На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, згадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).

Рис. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Рис. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярно до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямого АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, у бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Рис. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Рис. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD та А 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребрі АВ дорівнює 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .