การกำหนดเสถียรภาพของปืนอัตตาจร ความเสถียรของปืนอัตตาจร แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับความเสถียร ระบบควบคุมอัตโนมัติเรียกว่าเสถียรหากหลังจากหยุดการรบกวนที่ทำให้มันเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลแล้วก็จะกลับสู่ตำแหน่งนี้

แนวคิดเรื่องความยั่งยืน

แนวคิดเรื่องความเสถียรของระบบควบคุมนั้นสัมพันธ์กับความสามารถในการกลับคืนสู่สภาวะสมดุลหลังจากการหายไปของแรงภายนอกที่ดึงมันออกจากสถานะนี้

ความเสถียรเป็นคุณสมบัติของระบบที่จะกลับสู่สถานะเดิมหรือใกล้เคียงกับสถานะคงที่หลังจากออกจากระบบอันเป็นผลมาจากผลกระทบใดๆ

จากคำจำกัดความนี้เป็นไปตามความเสถียรที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของกระบวนการชั่วคราวและสถานะของระบบหลังจากสิ้นสุดกระบวนการเปลี่ยนผ่าน เช่น เป็นคุณลักษณะไดนามิกหลักของระบบ ดังนั้นการวิเคราะห์ความเสถียรของระบบควบคุมอัตโนมัติจึงเป็นปัญหาหลักในทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ

ขึ้นอยู่กับลักษณะของกระบวนการเปลี่ยนผ่าน มีสามกรณีหลักของพฤติกรรมของระบบหลังจากการใช้อิทธิพลที่รบกวน:

1) ระบบไม่สามารถคืนสถานะสมดุลได้ค่าของตัวแปรควบคุมเบี่ยงเบนไปจากค่าที่ระบุมากขึ้นเรื่อย ๆ (รูปที่ 6.1, a) กระบวนการดังกล่าวเรียกว่าไดเวอร์เจนต์ และระบบเรียกว่าไม่เสถียร

2) ระบบกลับสู่สถานะสมดุล ค่าของตัวแปรควบคุมแตกต่างจากค่าที่ระบุตามจำนวนข้อผิดพลาดคงที่ของระบบ กระบวนการเปลี่ยนผ่านดังกล่าวจะมาบรรจบกันและระบบจะมีเสถียรภาพ (รูปที่ 6.1, b)

3) ระบบมีลักษณะเป็นการเคลื่อนไหวเป็นระยะคงที่ กระบวนการดังกล่าวเรียกว่าการแกว่งแบบ undamped และระบบจะอยู่ที่ขอบของความเสถียรเชิงเส้นกำกับ (รูปที่ 6.1, c)

รูปที่ 6.1 พฤติกรรมของระบบหลังจากการรบกวน

ให้เราพิจารณาว่าความเสถียรของระบบขึ้นอยู่กับอะไรและจะพิจารณาอย่างไร ให้อธิบายพลวัตของระบบเชิงเส้นด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่:

การแก้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นดังกล่าวในกรณีทั่วไปประกอบด้วยสององค์ประกอบ:

, (6.2)

คุณปาก (t)- วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (6.1) กับด้านขวาซึ่งอธิบายโหมดบังคับของระบบซึ่งสร้างขึ้นเมื่อสิ้นสุดกระบวนการเปลี่ยนผ่าน เราได้กล่าวถึงโหมดดังกล่าวในย่อหน้าก่อนหน้า

ใช่ พี (t)- คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่อธิบายกระบวนการชั่วคราวในระบบที่เกิดจากการรบกวนที่กำหนด

เห็นได้ชัดว่าระบบจะมีเสถียรภาพหากกระบวนการชั่วคราว ใช่ พี (t)ที่เกิดจากสิ่งรบกวนใด ๆ จะถูกทำให้หมาด ๆ เช่น ล่วงเวลา ใช่ พี (t)จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (รูปที่ 6.1, b)

สารละลาย ใช่ พี (t)สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์มีรูปแบบ:

, (6.3)

C i - ค่าคงที่การรวมที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นและการรบกวน

l ผม - รากของสมการคุณลักษณะ:

ดังนั้นกระบวนการเปลี่ยนผ่าน ใช่ พี (t)แสดงถึงผลรวมของส่วนประกอบ ซึ่งจำนวนนั้นถูกกำหนดโดยจำนวนราก ฉันสมการคุณลักษณะ (6.4)

ในกรณีทั่วไป รากของสมการคุณลักษณะมีความซับซ้อน โดยเกิดเป็นคู่ของรากสังยุค:

ที่ไหน ฉันอาจเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ และรากเป็นจริงถ้า บี เจ = 0และจินตภาพถ้า คือ ฉัน = 0.

รากดังกล่าวแต่ละคู่จะกำหนดองค์ประกอบของกระบวนการเปลี่ยนผ่าน เท่ากับ:

และถูกกำหนดผ่าน และ

จะเห็นได้ง่ายว่าส่วนประกอบนี้เป็นไซนูซอยด์: หากมีการสั่นแบบหน่วง ฉัน<0 ; ด้วยการแกว่งที่แตกต่างกัน ถ้า ฉัน >0; โดยมีการสั่นแบบไซนูซอยด์แบบไม่มีการหน่วงที่ คือ ฉัน = 0.

ดังนั้นเงื่อนไขสำหรับการลดทอนขององค์ประกอบนี้ของกระบวนการเปลี่ยนผ่านคือการปฏิเสธของส่วนที่แท้จริงของรากของสมการคุณลักษณะของระบบ

ถ้า ข=0จากนั้นกระบวนการจะถูกกำหนดโดยส่วนที่แท้จริงของรูทเท่านั้น กและเป็นระยะๆ โดยทั่วไป กระบวนการชั่วคราวในระบบประกอบด้วยส่วนประกอบแบบสั่นและแบบเป็นระยะ หากอย่างน้อยหนึ่งรากมีส่วนจริงที่เป็นบวก มันจะทำให้เกิดองค์ประกอบที่แตกต่างของกระบวนการเปลี่ยนและระบบจะไม่เสถียร เป็นไปตามเงื่อนไขทั่วไปสำหรับการลดทอนของส่วนประกอบทั้งหมดและดังนั้นกระบวนการเปลี่ยนทั้งหมดโดยรวมจึงเป็นค่าลบของส่วนที่แท้จริงของรากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะของระบบนั่นคือ ขั้วทั้งหมด (ศูนย์ส่วน) ของฟังก์ชันการถ่ายโอนระบบ

ข้างต้นสามารถอธิบายได้ชัดเจนที่สุดโดยพรรณนาถึงรากของสมการคุณลักษณะบนระนาบเชิงซ้อน (รูปที่ 6.2) ในกรณีนี้ เงื่อนไขความเสถียรที่พบข้างต้นสามารถกำหนดได้ดังนี้ เงื่อนไขความเสถียรของระบบคือตำแหน่งของรากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะของระบบ กล่าวคือ ขั้วของฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ ในครึ่งระนาบเชิงซ้อนด้านซ้าย หรือกล่าวโดยย่อ รากทั้งหมดจะต้อง "ถนัดซ้าย" การมีอยู่ของรากบนแกนจินตภาพหมายความว่าระบบอยู่บนขอบเขตความเสถียร

รูปที่ 6.2 รูปภาพรากของสมการคุณลักษณะบนระนาบเชิงซ้อน

ดังนั้นเมื่อมองแวบแรก ปัญหาในการศึกษาเสถียรภาพจึงไม่มีปัญหาใด ๆ เนื่องจากเพียงพอที่จะระบุตำแหน่งของรากของสมการลักษณะเฉพาะบนระนาบเชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม การกำหนดรากของสมการลักษณะเฉพาะของลำดับที่สูงกว่าอันดับสามนั้นสัมพันธ์กับปัญหาที่สำคัญ ซึ่งทำให้เกิดปัญหาในการศึกษาความเสถียรของระบบซึ่งกระบวนการไดนามิกถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับสูง

พบวิธีแก้ไขปัญหานี้บางส่วนทางอ้อม มีการพัฒนาสัญญาณจำนวนหนึ่งซึ่งสามารถตัดสินสัญญาณของส่วนที่แท้จริงของรากของสมการคุณลักษณะของระบบและด้วยเหตุนี้จึงมีเสถียรภาพของระบบโดยไม่ต้องแก้สมการคุณลักษณะเอง ในกรณีนี้ โดยทั่วไปปัญหาในการศึกษาความเสถียรของระบบจะมีอยู่สองสูตร:

1) ระบุพารามิเตอร์ทั้งหมดของระบบและจำเป็นต้องพิจารณาว่าระบบมีเสถียรภาพที่ค่าพารามิเตอร์เหล่านี้หรือไม่

2) จำเป็นต้องกำหนดค่าของพารามิเตอร์บางตัว (ส่วนที่เหลือให้) ซึ่งระบบมีเสถียรภาพ

การกำหนดเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ที่ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะหรือฟังก์ชันใดๆ ของค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ต้องเป็นไปตามเพื่อให้ระบบมีเสถียรภาพเรียกว่าเกณฑ์เสถียรภาพ

เสถียรภาพของระบบควบคุมอัตโนมัติ ความยั่งยืนระบบควบคุมอัตโนมัติความสามารถของระบบ ควบคุมอัตโนมัติ(ACS) ให้ทำงานได้ตามปกติและทนทานต่อสิ่งรบกวน (ผลกระทบ) ต่างๆ ที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ สถานะ ACS เรียกว่าเสถียรหากค่าเบี่ยงเบนจากสถานะนั้นยังคงเล็กน้อยโดยพลการสำหรับการเปลี่ยนแปลงสัญญาณอินพุตเพียงเล็กน้อยเพียงพอ U. ปืนอัตตาจรประเภทต่างๆ ถูกกำหนดโดยวิธีการที่แตกต่างกัน ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ที่แม่นยำและเข้มงวดสำหรับระบบที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญถูกสร้างขึ้นโดย A.M. เลียปูนอฟในปี พ.ศ. 2435

➤ สถานะของระบบควบคุมอัตโนมัติเชิงเส้นทั้งหมดมีความเสถียรหรือไม่เสถียร ดังนั้นเราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับระบบควบคุมของระบบโดยรวมได้ สำหรับ SLE เชิงเส้นคงที่ซึ่งอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ รากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะที่สอดคล้องกันนั้นมีความจำเป็นและเพียงพอแล้วที่มีส่วนจริงเป็นลบ (จากนั้น ACS จะเสถียรเชิงกำกับเชิงกำกับ) มีเกณฑ์ (เงื่อนไข) มากมายที่อนุญาตให้ตัดสินสัญญาณของรากของสมการคุณลักษณะโดยไม่ต้องแก้สมการนี้ √ โดยตรงด้วยสัมประสิทธิ์ของมัน เมื่อศึกษา U. ACS ที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับต่ำ (สูงสุดที่ 4) จะใช้เกณฑ์ Routh และ Hurwitz (E. Routh ช่างเครื่องภาษาอังกฤษ A. Hurwitz นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน) อย่างไรก็ตาม แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะใช้เกณฑ์เหล่านี้ในหลายกรณี (เช่น ในกรณีของระบบควบคุมอัตโนมัติที่อธิบายโดยสมการลำดับสูง) เนื่องจากจำเป็นต้องดำเนินการคำนวณที่ยุ่งยาก นอกจากนี้การกำหนดสมการคุณลักษณะของระบบควบคุมอัตโนมัติที่ซับซ้อนนั้นสัมพันธ์กับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แรงงานมาก ในขณะเดียวกัน คุณลักษณะความถี่ของ SLU ไม่ว่า SLU จะซับซ้อนเพียงใดก็สามารถค้นหาได้อย่างง่ายดายโดยใช้การดำเนินการกราฟิกและพีชคณิตอย่างง่าย ดังนั้นเมื่อทำการวิจัยและออกแบบระบบควบคุมอัตโนมัติเชิงเส้นคงที่จึงมักจะใช้เกณฑ์ความถี่ของ Nyquist และ Mikhailov (H. Nyquist นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน; A. V. Mikhailov นักวิทยาศาสตร์โซเวียตในสาขาการควบคุมอัตโนมัติ) เกณฑ์ของ Nyquist นั้นง่ายและสะดวกอย่างยิ่งในการใช้งานจริง ชุดค่าของพารามิเตอร์ ACS ที่ระบบมีเสถียรภาพเรียกว่าพื้นที่ U ความใกล้ชิดของ ACS กับขอบเขตของภูมิภาค ACS นั้นประมาณโดยเฟสและแอมพลิจูดสำรองของ ACS ซึ่งถูกกำหนดโดย ลักษณะเฟสแอมพลิจูดของ ACS แบบเปิด ทฤษฎีสมัยใหม่ของระบบควบคุมอัตโนมัติเชิงเส้นมีวิธีการศึกษาระบบควบคุมที่มีพารามิเตอร์แบบก้อนและแบบกระจาย แบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง (พัลส์) แบบคงที่และไม่คงที่

Great ปัญหาการควบคุมระบบควบคุมอัตโนมัติแบบไม่เชิงเส้นมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการเมื่อเปรียบเทียบกับระบบควบคุมเชิงเส้น ขึ้นอยู่กับลักษณะของความไม่เชิงเส้นในระบบ บางรัฐอาจมีความเสถียร ในขณะที่บางรัฐอาจไม่เสถียร ในทฤษฎีการควบคุมระบบไม่เชิงเส้น เราพูดถึงการควบคุมสภาวะที่กำหนด ไม่ใช่ระบบเช่นนี้ การควบคุมสถานะใดๆ ของระบบควบคุมอัตโนมัติแบบไม่เชิงเส้นสามารถคงไว้ได้หากสัญญาณรบกวนในการทำงานมีน้อยเพียงพอ และถูกละเมิดภายใต้สัญญาณรบกวนขนาดใหญ่ ดังนั้นจึงมีการนำแนวคิดการควบคุมทั้งขนาดเล็ก ใหญ่ และทั้งหมดมาใช้ แนวคิดของการควบคุมแบบสัมบูรณ์ กล่าวคือ การควบคุมระบบควบคุมภายใต้การรบกวนเริ่มต้นที่จำกัดตามอำเภอใจ และความไม่เป็นเชิงเส้นใดๆ ของระบบ (จากระดับความไม่เชิงเส้นบางประเภท) เป็นสิ่งสำคัญ การศึกษาการควบคุมระบบควบคุมอัตโนมัติแบบไม่เชิงเส้นนั้นค่อนข้างยากแม้ว่าจะใช้คอมพิวเตอร์ก็ตาม เพื่อหาเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสมการ มักใช้วิธีของฟังก์ชันเลียปูนอฟ รัมเสนอเกณฑ์ความถี่ที่เพียงพอสำหรับค่า U สัมบูรณ์ นักคณิตศาสตร์ V. M. Popov และคนอื่น ๆ นอกเหนือจากวิธีการที่แน่นอนในการศึกษาจักรวาลแล้วยังใช้วิธีการโดยประมาณโดยพิจารณาจากการใช้ฟังก์ชันอธิบายเช่นวิธีฮาร์มอนิกหรือทางสถิติ การทำให้เป็นเส้นตรง

⦁ ศึกษาความเสถียรของระบบควบคุมอัตโนมัติภายใต้อิทธิพลของการรบกวนและการรบกวนแบบสุ่มโดยทฤษฎีการควบคุมระบบสุ่ม

⦁ เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ทำให้สามารถแก้ปัญหาต่างๆ มากมายของระบบควบคุมระบบควบคุมอัตโนมัติเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นประเภทต่างๆ ได้ ทั้งโดยใช้ที่รู้จัก อัลกอริธึมและบนพื้นฐานของอัลกอริธึมเฉพาะใหม่ที่ออกแบบมาเพื่อความสามารถของคอมพิวเตอร์และระบบคอมพิวเตอร์สมัยใหม่

แหล่งข่าว: Lyapunov A. M. ปัญหาทั่วไปด้านความมั่นคงในการเคลื่อนไหว การรวบรวม สช., เล่ม 2, ม. √ L., 1956; Voronov A. A. พื้นฐานของทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ t. 2, M. √ L., 1966; Naumov B. N. ทฤษฎีระบบอัตโนมัติไม่เชิงเส้น วิธีความถี่, M. , 1972; พื้นฐานของการควบคุมอัตโนมัติ เอ็ด V. S. Pugacheva, 3rd ed., M. , 1974

∙ V.S. Pugachev, I.N. Sinitsyn.

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "ความเสถียรของระบบควบคุมอัตโนมัติ" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร:

สารบัญ 1 ประวัติศาสตร์ 2 แนวคิดพื้นฐาน 3 ฟังก์ชั่น ... Wikipedia

ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ- ทิศทางทางวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาหลักการสร้างระบบควบคุมอัตโนมัติ (ACS) ที.เอ. ยู. เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีการจัดการทั่วไป วัตถุประสงค์ของ T. a. ยู. การสร้างปืนอัตตาจรที่มีประสิทธิภาพและแม่นยำ ที่ง่ายที่สุดและธรรมดาที่สุด... ... พจนานุกรมสารานุกรมจิตวิทยาและการสอน

ชุดอุปกรณ์ที่รับรองการทำงานของโปรแกรมควบคุมที่เลือกสำหรับเครื่องยนต์กังหันก๊าซของเครื่องบินโดยอัตโนมัติด้วยความแม่นยำที่ต้องการสำหรับการทำงานในโหมดคงที่และชั่วคราว ส. ยู. เครื่องยนต์กังหันแก๊สทำหน้าที่ดังต่อไปนี้... สารานุกรมเทคโนโลยี

สารานุกรม "การบิน"

ระบบควบคุมอัตโนมัติของเครื่องยนต์กังหันแก๊ส- ระบบควบคุมอัตโนมัติของเครื่องยนต์กังหันแก๊สชุดอุปกรณ์ที่รับรองการทำงานโดยอัตโนมัติด้วยความแม่นยำที่ต้องการของโปรแกรมควบคุมที่เลือกสำหรับเครื่องยนต์กังหันแก๊สของเครื่องบินที่สภาวะคงที่และชั่วคราว... ... สารานุกรม "การบิน"

I ความเสถียรของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ แนวคิดของทฤษฎีเชิงคุณภาพของสมการเชิงอนุพันธ์ พัฒนาขึ้นโดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับปัญหาความเสถียรของการเคลื่อนที่ (ดูความเสถียรของการเคลื่อนที่) ในกลศาสตร์ ก็สำคัญเช่นกัน...

ความเสถียรคือความสามารถของระบบในการรักษาสถานะปัจจุบันเมื่อได้รับอิทธิพลจากภายนอก ในเศรษฐศาสตร์มหภาค ความยั่งยืนหมายถึงความสมดุลในระยะยาวระหว่างการแสวงหาผลประโยชน์จากทรัพยากรและการพัฒนาสังคมมนุษย์ ในอุตุนิยมวิทยา... ... วิกิพีเดีย

ดูความเสถียรของระบบควบคุมอัตโนมัติ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

โครงสร้างการจัดการเป็นชุดวิธีการจัดระบบ (กำหนดอย่างเคร่งครัด) ในการรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุควบคุมและวิธีการที่มีอิทธิพลต่อพฤติกรรมเพื่อให้บรรลุเป้าหมายบางอย่าง วัตถุของระบบควบคุมสามารถเป็น... ... Wikipedia

เครื่องบินความสามารถของเครื่องบิน (รวมถึงเครื่องบินที่มีระบบในการปรับปรุงเสถียรภาพและการควบคุม) ในการฟื้นฟูโดยไม่ต้องมีการแทรกแซงของนักบินโหมดการเคลื่อนที่ตามยาวดั้งเดิมหลังจากการสิ้นสุดของการกระทำ ... สารานุกรมเทคโนโลยี

หนังสือ

• ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติในตัวอย่างและปัญหาเกี่ยวกับแนวทางแก้ไขใน MATLAB หนังสือเรียน, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich คู่มือประกอบด้วยวิธีการแก้ไขตัวอย่างและปัญหาทุกประเภทที่อยู่ระหว่างการพิจารณา รวมถึงปัญหาสำหรับการแก้ไขอย่างอิสระในสาขาวิชา "ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ" วัสดุ…
• ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติในตัวอย่างและปัญหาเกี่ยวกับแนวทางแก้ไขใน MATLAB บทช่วยสอน Grif แห่งสถาบันการศึกษาของมหาวิทยาลัยรัสเซีย, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich คู่มือประกอบด้วยวิธีการแก้ไขตัวอย่างและปัญหาทุกประเภทที่อยู่ระหว่างการพิจารณา รวมถึงปัญหาสำหรับการแก้ไขอย่างอิสระในสาขาวิชา “ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ” วัสดุ…

ส่งผลงานดีๆ ของคุณในฐานความรู้ได้ง่ายๆ ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

โพสต์เมื่อ http:// www. ดีที่สุด. รุ/

ความมั่นคงศรีระบบควบคุมอัตโนมัติ

1. แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพ

1.1 การศึกษาเสถียรภาพโดยใช้สมการการประมาณค่าแรก

1.2 เกณฑ์เสถียรภาพพีชคณิต

1.3 เกณฑ์เสถียรภาพความถี่

2. การระบุพื้นที่ความมั่นคง

บรรณานุกรม

1. พื้นฐานแนวคิดใหม่ของทฤษฎีเสถียรภาพ

ในระหว่างการทำงาน ระบบจะได้รับผลกระทบจากอิทธิพลรบกวนหลายประเภท ซึ่งทำให้เกิดการเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลหรือการเคลื่อนไหวที่กำหนด

ระบบควบคุมอัตโนมัติเรียกว่าเสถียรหากหลังจากการรบกวนที่ทำให้เกิดการเบี่ยงเบนไปจาก p หลังจากหยุดการรบกวน โอตำแหน่งสมดุลก็จะกลับสู่ตำแหน่งสมดุลนี้หรือกของการเคลื่อนไหวนี้

เพราะฉะนั้น, มีเพียงระบบที่เสถียรเท่านั้นที่สามารถใช้งานได้ขโนอาห์.

ให้ ACS อธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้นคงที่ในรูปแบบนี้

ที่ไหน ใช่ - ตัวแปรสถานะของระบบ

ใช่ - ฟังก์ชันที่รู้จักที่กำหนดไว้ในโดเมนคงที่บางส่วน ช ช่องว่างตัวแปร ใช่ แต่อย่างใด ที >0.

ในพื้นที่นี้ สมการ (3.1) จะกำหนดส่วนประกอบต่างๆ ใช่ เวกเตอร์ความเร็วของจุดใดจุดหนึ่ง ม , เรียกว่าจุดเป็นตัวแทน. จากมุมมองทางกายภาพ สมการ (3.1) ควรถือเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ในการบันทึกกฎทางกายภาพที่ระบบควบคุมอัตโนมัติอยู่ภายใต้ ภูมิภาค ช คำจำกัดความของฟังก์ชัน ใช่ เป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ของรัฐซึ่งการดำเนินการของกฎทางกายภาพเหล่านี้ขยายออกไป

ให้ปริมาณ ย 10,...., ยิน 0 แสดงถึงค่าเริ่มต้นของตัวแปรสถานะ ค่าเริ่มต้นแต่ละระบบสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

สมการที่กำหนดไว้สำหรับใดๆ ให้เราสมมติว่าในบรรดาการเคลื่อนไหวทั้งหมด เรามีความสนใจในการเคลื่อนไหวที่อธิบายโดยฟังก์ชันของเวลาที่กำหนด

ในกรณีพิเศษเมื่อระบบหยุดนิ่งและมีฟังก์ชันต่างๆ ใช่ เป็นอิสระจากเวลาอย่างชัดเจน ดังนั้น การเคลื่อนไหว (3.3) จึงคงที่ พวกเขาได้รับคำตอบด้วยสิ่งที่เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน

ทำหน้าที่เป็นรากของสมการ

ต่อไปนี้เราจะพูดถึงความเสถียรของการเคลื่อนที่ของระบบที่มีวิธีแก้ปัญหา (3.3) โดยพิจารณาจากการเคลื่อนที่คงที่เป็นกรณีพิเศษ ให้เราแนะนำการเบี่ยงเบนจากการเคลื่อนไหวที่กำหนดมาพิจารณา

การแทนที่นิพจน์สำหรับ ใช่ เราได้มาจากระบบสมการดั้งเดิม

,

ที่ไหน

สมการนี้เขียนขึ้นโดยสัมพันธ์กับการเบี่ยงเบนที่เกิดขึ้นจากการรบกวนใดๆ และในคำศัพท์ของ Lyapunov เรียกว่า สมการจนีอามิแห่งการเคลื่อนไหวอันวุ่นวาย.

สูตรกำหนดการเปลี่ยนแปลงของการถ่ายโอนต้นกำเนิดของพิกัดไปยังจุดที่มีพิกัด ดังนั้นหากผลเฉลยของระบบ (3.1) มาบรรจบกันเป็นค่าแล้ว ผลเฉลยของระบบจะบรรจบกันเป็นศูนย์ สมการ

ถูกเรียก สมการของการเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวน

ที่ ที = ที 0 ตัวแปร เอ็กซ์ เค ใช้ค่าเริ่มต้น เอ็กซ์เค 0 ซึ่งเรียกว่า การรบกวนแต่ละระบบของการก่อกวนนั้นสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

โซลูชั่นเหล่านี้เป็นตัวแทน การเคลื่อนไหวที่รบกวนของระบบ

ให้เราศึกษาพฤติกรรมความแตกต่างได้ที่ ที > ที 0 . สำหรับสิ่งนี้ ให้พิจารณาสมการ

ซึ่งกำหนดไว้ใน n -กำลังสองของพื้นที่มิติของระยะทางของจุดที่เป็นตัวแทน ม จากจุดกำเนิด การเคลื่อนไหวที่ถูกรบกวนที่ เสื้อ>t0 อาจดำเนินการดังต่อไปนี้

จุดแทน M จะเคลื่อนที่ออกห่างจากจุดกำเนิดของพิกัดและค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ร เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด (เส้นโค้ง 1 ในรูปที่ 3.1)

จุดตัวแทน M ยังคงอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของแหล่งกำเนิด ดังนั้นปริมาณ ร จะมีค่าจำกัดซึ่งไม่เกินจำนวนบวกเล็กๆ ที่กำหนดไว้เสมอ , เหล่านั้น. ร < (เส้นโค้ง 2 ในรูปที่ 3.1)

จุดเป็นตัวแทน M จะกลับไปยังจุดกำเนิดของพิกัดเมื่อเวลาผ่านไป เช่น (เส้นโค้ง 3 ในรูปที่ 3.1)

ข้าว. 3.1. ประเภทของการเคลื่อนไหวของจุดเป็นตัวแทน

สภาวะสมดุล เอ็กซ์เค =0 ถือว่ามีเสถียรภาพได้ถ้าระบบได้รับสัญญาณรบกวนเริ่มแรกแล้วยังคงค้างอยู่ต่อไป บลและพื้นที่ใกล้เคียงที่ใกล้ที่สุดสภาวะสมดุลหรือกลับคืนสู่สภาพนั้น มีความจำเป็นต้องตีความเฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับแนวคิด "บริเวณใกล้เคียง" และผู้ก่อตั้งทฤษฎีเสถียรภาพ A.M. Lyapunov ให้คำจำกัดความของความมั่นคงดังต่อไปนี้

การเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวนนั้นถือว่าคงที่เมื่อเทียบกับปริมาณเอ็กซ์เค , ถ้าได้รับพลังชี่เชิงบวกโดยพลการกับเลอไม่ว่าจะน้อยแค่ไหนก็จะมีเลขบวกแบบนี้อีก ( ) , เพื่อเป็นการรบกวนเอ็กซ์เค 0 เงื่อนไขที่น่าพอใจและแยม

การเคลื่อนไหวที่กระวนกระวายใจจะสนองความไม่เท่าเทียมกัน

ได้เลยที > ที 0. อสมการจำกัดช่วงของการเบี่ยงเบนเริ่มต้นที่อนุญาต

ถ้าเล็กไปโดยพลการ >0 เป็นไปไม่ได้ที่จะหา ( ) เมื่อเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (3.11) แล้วระบบไม่เสถียร

หากระบบมีเสถียรภาพและการเคลื่อนไหวเป็นเช่นนั้นแล้วนี่ล่ะกับหัวข้อมีเสถียรภาพแบบไม่แสดงอาการ

เป็นไปตามนั้นในรูป 3.1 เส้นโค้ง 1 สอดคล้องกับระบบที่ไม่เสถียร เส้นโค้ง 2 เป็นระบบเสถียร และเส้นโค้ง 3 สอดคล้องกับระบบเสถียรเชิงแสดงสัญญาณ

เช้า. Lyapunov พัฒนาวิธีการต่าง ๆ ในการประเมินความเสถียรของปืนอัตตาจร วิธีตรงหรือที่เรียกว่าวิธี Lyapunov ที่สองนั้นใช้ได้กับการศึกษาระบบทุกระดับและขึ้นอยู่กับการใช้ฟังก์ชันพิเศษของ Lyapunov เราได้กล่าวไปแล้วว่าระบบจำนวนมากอนุญาตให้มีการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการเบี่ยงเบนเล็กน้อย และ Lyapunov เป็นคนแรกที่พิสูจน์การยอมรับของการตัดสินเกี่ยวกับความเสถียรในระบบขนาดเล็ก เช่น สำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อย ระบบไม่เชิงเส้นดั้งเดิมตามสมการประมาณแรกที่ได้รับอันเป็นผลมาจากการทำให้เป็นเส้นตรง

1 . 1 การวิจัยเรื่องความยั่งยืนสมการการประมาณแรก

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นใดๆ ก็มีคำตอบอยู่ในรูปได้

,

ที่ไหน ฉัน - รากของสมการคุณลักษณะ x ที( ที ) - โซลูชันเฉพาะที่กำหนดการเคลื่อนไหวที่ต้องการของระบบ ส่วนเบี่ยงเบนจากการเคลื่อนไหวที่กำหนดจะถูกเขียนในรูปแบบ

ตามมาว่าถ้ารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะเป็นลบ (มีส่วนจริงที่เป็นลบ) ระบบเชิงเส้นตรงก็จะเสถียรเชิงเส้นกำกับ หากในบรรดารากของสมการคุณลักษณะมีอย่างน้อยหนึ่งอันที่มีส่วนจริงที่เป็นบวก แสดงว่าระบบเชิงเส้นก็ไม่เสถียรเช่นกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะประเมินเสถียรภาพของระบบไม่เชิงเส้นดั้งเดิมสำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากรากของสมการคุณลักษณะของระบบเชิงเส้นตรง เช้า. Lyapunov ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้เกี่ยวกับเสถียรภาพในขนาดเล็ก

ทฤษฎีบท 1.ถ้าเป็นอะไหล่จริง เค รากทั้งหมด เค เจ เค สมการลักษณะเฉพาะของการประมาณค่าแรกนั้นเป็นลบ จากนั้นการเคลื่อนที่ของระบบไม่เชิงเส้นดั้งเดิมที่ไม่ถูกรบกวนจะมีความเสถียรเชิงเส้นกำกับโดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขของการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ซึ่งไม่ได้นำมาพิจารณาเหนือลำดับแรกของความเล็ก

ทฤษฎีบท 2. หากในบรรดารากของสมการลักษณะเฉพาะของการประมาณแรกมีอย่างน้อยหนึ่งส่วนที่มีส่วนจริงบวก การเคลื่อนที่ของระบบไม่เชิงเส้นดั้งเดิมที่ไม่ถูกรบกวนจะไม่เสถียร โดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขของการขยายอนุกรมเทย์เลอร์เหนือลำดับแรกของความเล็ก ที่ไม่ได้นำมาพิจารณา

กรณีที่สำคัญเมื่อเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินความเสถียรโดยใช้สมการประมาณแรกเกิดขึ้นหากในบรรดารากทั้งหมดมีกลุ่มของรากซึ่งส่วนจริงเท่ากับศูนย์และส่วนที่เหลือมีส่วนจริงที่เป็นลบ

มาดูภาพวาดกัน

รากของสมการคุณลักษณะที่มีส่วนจริงที่เป็นลบจะอยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้าย และเรียกว่ารากที่มั่นคง (ขั้ว) ของระบบ รากที่มีส่วนจำนวนจริงบวกจะอยู่ในครึ่งระนาบด้านขวาและเป็นขั้วของระบบที่ไม่เสถียร จากมุมมองนี้ แกนจินตภาพคือขอบเขตความเสถียรและฟักออกมาทางด้านซ้าย

สิ่งที่น่าสนใจคือกรณีที่พบบ่อยเมื่อพหุนามลักษณะเฉพาะของระบบมีรากเป็นศูนย์หนึ่งตัว และรากที่เหลืออยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้าย ซึ่งสอดคล้องกับสมการของระบบซึ่งเทอมอิสระเท่ากับศูนย์ หนึ่ง .

การเอาตัวดำเนินการออกจากวงเล็บ ส , เราได้รับ

เนื่องจากตัวดำเนินการลาปลาซภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์เป็นสัญลักษณ์ของการสร้างความแตกต่าง เราสามารถสรุปได้ว่าสมการสุดท้ายถูกเขียนโดยสัมพันธ์กับความเร็วของตัวแปรที่ถูกควบคุม สมการคุณลักษณะ

โดยเงื่อนไขจะมีเพียงรากที่เสถียรเท่านั้น ดังนั้น ระบบจึงมีความเสถียรสัมพันธ์กับความเร็วของตัวแปรที่ถูกควบคุม ในส่วนของปริมาณควบคุมนั้น ระบบจะเป็นกลางและมูลค่าของมันหลังจากสิ้นสุดกระบวนการควบคุมจะเป็นไปโดยพลการและขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น ระบบดังกล่าวเรียกว่า มีเสถียรภาพอย่างเป็นกลาง

การประเมินเสถียรภาพโดยตรงจากรากของสมการคุณลักษณะเป็นไปได้ แต่มีประโยชน์น้อยในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์เนื่องจากความรู้เกี่ยวกับค่าตัวเลขของรากไม่ได้นำข้อมูลเกี่ยวกับวิธีการรักษาเสถียรภาพของระบบหากไม่เสถียรหรือ มีความมั่นคงเพียงเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์เสถียรภาพจึงได้มีการพัฒนาเกณฑ์พิเศษขึ้นเพื่อให้สามารถศึกษาปัญหาด้านเสถียรภาพได้โดยไม่ต้องระบุรากของสมการคุณลักษณะ

1.2 พีชคณิตเกณฑ์ความยั่งยืนทางเชื้อชาติ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับความมั่นคง

สมการคุณลักษณะของระบบหลังจากกำหนดรากแล้วสามารถแสดงได้ดังนี้

หากระบบมีเสถียรภาพและรากทั้งหมดมีส่วนจริงที่เป็นลบ จากนั้นหลังจากเปิดวงเล็บในนิพจน์สุดท้าย เราจะได้สมการคุณลักษณะของระบบ

,

ซึ่งสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ก ฉัน , ฉัน =1,2,... n , จะมากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

เพื่อให้ระบบมีเสถียรภาพ จำเป็นแต่ไม่เพียงพอที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะจะต้องมากกว่า n อย่างเคร่งครัด ที่ลา

แนวคิดเรื่องความไม่เพียงพอหมายความว่า ถ้าสัมประสิทธิ์ใดๆ ของสมการคุณลักษณะของระบบมีค่าน้อยกว่าศูนย์หรือเท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบไม่เสถียร แต่ค่าบวกของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่ได้หมายความว่าระบบมีเสถียรภาพ จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

เกณฑ์เสถียรภาพของ Hurwitz

เพื่อประเมินความเสถียรตามเกณฑ์นี้ จำเป็นต้องสร้างดีเทอร์มิแนนต์ Hurwitz จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะตามกฎต่อไปนี้

ตามเส้นทแยงมุมหลัก สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะจาก ก1 ก่อน ก n ตามลำดับดัชนี;

คอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์จะเต็มไปด้วยค่าสัมประสิทธิ์จากเส้นทแยงมุมหลักลงโดยการลดดัชนี และขึ้นไปโดยการเพิ่มดัชนี

ตำแหน่งสัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีมากกว่า n หรือน้อยกว่าศูนย์จะเต็มไปด้วยศูนย์

ตัวอย่างเช่น ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์ของ Hurwitz สำหรับระบบลำดับที่ 5 สมการคุณลักษณะของระบบมีรูปแบบ

โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดมีค่ามากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด เราได้รับ

.

เพื่อให้รากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะมีส่วนที่เป็นลบและระบบมีเสถียรภาพ จึงเป็นสิ่งจำเป็น และก็เพียงพอแล้วที่จะกำหนดสัมประสิทธิ์และเส้นทแยงมุมทั้งหมดจดีเทอร์มิแนนต์ของ Hurwitz นั้นมากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัดหรือไม่

เพื่อความเสถียรของระบบลำดับที่ 5 จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ก เค >0, เค =0,1,2,...5;

2 =a1a2 - a0a3>0;

3=a3 2 - a12a4>0;

4 =ก4 3 -a2a5 2 + a0a5(a1a4 - a0a5)>0;

5 =ก5 4>0.

เนื่องจากเมื่อเงื่อนไขความมั่นคงที่จำเป็นได้รับการตอบสนองเสมอ ก n >0, จากนั้นเสถียรภาพของระบบสามารถตัดสินได้จากปัจจัยกำหนดจนถึง n -1 รวมอยู่ด้วย . ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหาก n -1=0, จากนั้นระบบจะอยู่บนขอบเขตเสถียรภาพการสั่น เช่น มีรากจินตภาพล้วนๆ อยู่คู่หนึ่ง จากสภาพ n -1=0 คุณสามารถกำหนดค่าวิกฤตของพารามิเตอร์ระบบที่ถึงขอบเขตความเสถียรได้

ตัวอย่าง. ตรวจสอบความเสถียรของระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิตช์ของเครื่องบิน และกำหนดค่าวิกฤติของอัตราส่วนพิตช์อัตโนมัติของนักบิน ระบบถูกกำหนดโดยแผนภาพบล็อก

แผนภาพแสดง:

เค- อัตราทดเกียร์ (สัมประสิทธิ์การส่งผ่าน) ของหม้อแปลงไฟฟ้าอัตโนมัติในมุมพิทช์

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนเกียร์พวงมาลัย

ฟังก์ชันการถ่ายโอนของเครื่องบินในแง่ของความเร็วเชิงมุมของพิตช์ z ;

เค z - อัตราทดเกียร์อัตโนมัติสำหรับความเร็วเชิงมุมของพิทช์

สำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ open-loop เราสามารถเขียนได้

ที่ไหน

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบวงปิดจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน

ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์ของเฮอร์วิทซ์กัน

ให้เราประเมินความเสถียรของระบบสำหรับค่าพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

.

ด้วยค่าเหล่านี้สำหรับสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะที่เราได้รับ

ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะของระบบวงปิดจึงเป็นค่าบวก และ

เป็นไปตามเงื่อนไขความเสถียรและระบบมีเสถียรภาพภายใต้พารามิเตอร์ที่เลือก

มากำหนดค่าวิกฤตของอัตราทดเกียร์สำหรับมุมพิทช์ซึ่งเราถือเอาดีเทอร์มิแนนต์เส้นทแยงมุมที่สามให้เป็นศูนย์และทำการแปลง

ในนิพจน์สุดท้ายเท่านั้น ง 3 และ ง 4 เป็นฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ เค และแทนที่มันลงไป เราจะได้สมการกำลังสองของสัมประสิทธิ์นี้

เมื่อแก้สมการนี้แล้ว เราจะได้ค่าวิกฤตของอัตราส่วนพิทช์

ระบบมีเสถียรภาพหาก เค <16.56.

เกณฑ์เสถียรภาพของเส้นทาง

เกณฑ์ Routh ต้องการการคำนวณน้อยกว่าเกณฑ์ Hurwitz เล็กน้อย และสะดวกกว่าสำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ เพื่อตัดสินความเสถียรของระบบโดยใช้เกณฑ์นี้ จำเป็นต้องรวบรวมตาราง Routh

โต๊ะรูท

องค์ประกอบของแต่ละบรรทัดสำหรับ ฉัน >2 คำนวณโดยสูตร

เพื่อให้รากของสมการลักษณะเฉพาะอยู่ใน lจครึ่งระนาบและระบบมีความเสถียร จำเป็นและเพียงพอที่องค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์แรกของตารางรูธจะเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด และเทลนี่.

1.3 เกณฑ์ความเสถียรของความถี่

หลักการโต้แย้ง

เกณฑ์ความเสถียรของความถี่จะใช้ในรูปแบบการวิเคราะห์เชิงกราฟิก และมีความโดดเด่นด้วยความชัดเจนสูงเมื่อทำการคำนวณ วิธีการความถี่ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับหลักการของการโต้แย้ง

พิจารณาสมการคุณลักษณะของระบบ

ถ้า ฉัน , ฉัน =1,2,... n - รากของสมการนี้แล้ว

แต่ละรากบนระนาบเชิงซ้อนสอดคล้องกับจุดหนึ่ง และในทางเรขาคณิตบนระนาบนี้ แต่ละรากสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่มีโมดูลัส ฉัน , ดึงมาจากจุดกำเนิด (รูปที่ 3.4) มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ ส = เจ และเราได้รับ

ตามกฎสำหรับการลบเวกเตอร์ เราจะได้จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์พื้นฐานแต่ละตัว ( เจ - ฉัน ) อยู่บนแกนจินตภาพ

อาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ ดี ( เจ ) เท่ากับผลรวมของอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์เบื้องต้น

ทิศทางการหมุนของเวกเตอร์ ( เจ - ฉัน ) ทวนเข็มนาฬิกาเมื่อความถี่เปลี่ยนจาก - มากถึง + ถือเป็นค่าบวก และตามเข็มนาฬิกา - ค่าลบ ให้เราสมมติว่าสมการคุณลักษณะมี ม รากในระนาบครึ่งขวาและ n - ม รากอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย เมื่อความถี่เปลี่ยนจาก - ถึง + เวกเตอร์แต่ละตัว ( เจ - ฉัน ), ซึ่งมีจุดกำเนิดอยู่ที่ครึ่งระนาบด้านซ้ายจะหมุนเป็นมุม + และเวกเตอร์แต่ละตัวที่มีต้นกำเนิดอยู่ในครึ่งระนาบด้านขวา - เป็นมุม - . การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ ดี ( เจ ) จะมี

สำนวนนี้กำหนดหลักการของการโต้แย้ง

การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ดี ( เจ ) เมื่อความถี่เปลี่ยนจาก -ถึง +เท่ากับผลต่างระหว่างตัวเลข( n - ม ) รากของสมการ ดี ( ส )=0 , นอนอยู่ในระนาบครึ่งซ้ายและหมายเลขม รากของสมการนี้อยู่ครึ่งขวาที่เครื่องบินคูณด้วย .

เกณฑ์ความมั่นคงของมิคาอิลอฟ

จาก (3.14) จะได้ว่าถ้ารากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย นั่นคือ ม =0 , ที่

นี่แสดงถึงการกำหนดเกณฑ์แรกของมิคาอิลอฟ

ระบบควบคุมอัตโนมัติจะมีเสถียรภาพหากความถี่เพิ่มขึ้นจาก -ถึง +การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ดี ( เจ ) จะเท่ากันn , ที่ไหนn - ลำดับของสมการคุณลักษณะ

เวกเตอร์ ดี ( เจ ) สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้

องค์ประกอบที่แท้จริงของนิพจน์นี้คือฟังก์ชันคู่ และองค์ประกอบจินตภาพคือฟังก์ชันคี่ของความถี่ กล่าวคือ ยู (- )= ยู ( ); วี (- )= - วี ( ) และ ดี (- เจ )= ยู ( ) - เจวี ( ).

ตามมาว่าเส้นโค้งมิคาอิลอฟมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อแกนจริง และเมื่อสร้างมันขึ้น เราสามารถจำกัดตัวเองให้อยู่ในช่วงความถี่ตั้งแต่ 0 ถึง + . การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ ดี ( เจ ) ในกรณีนี้จะลดลงครึ่งหนึ่งและการกำหนดเกณฑ์มิคาอิลอฟจะเป็นดังนี้

ระบบควบคุมอัตโนมัติจะมีเสถียรภาพหากความถี่เพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น +เวกเตอร์ดี ( เจ ) จะหันไปทางมุมn /2 หรือจะเหมือนกันถ้าเส้นโค้ง Mikhailov ที่มีการเปลี่ยนแปลงความถี่เท่ากันโดยเริ่มจากตำแหน่งและกึ่งแกนจริงจริง เคลื่อนที่ไปรอบๆ ตามลำดับในรูปบวก nกกระดานn จตุภาคและสิ้นสุดที่n -โอห์ม ควอแดรนท์ (รูปที่ 3.5)

หากไม่มีควอแดรนท์อย่างน้อยหนึ่งอัน (รูปที่ 3.6) แสดงว่าระบบไม่เสถียรไทยชีวา.

การสังเกตพฤติกรรมของเส้นโค้งมิคาอิลอฟเพื่อให้ระบบควบคุมอัตโนมัติมีความเสถียรจะสังเกตได้ว่าเมื่อมันผ่านไป n รากจตุภาคของสมการ ยู ( )=0 และ วี ( )=0 สลับกันเช่น ระหว่างรากทั้งสองของสมการ วี ( )=0 มีรากหนึ่งของสมการ ยู ( )=0.

ระบบ การควบคุมอัตโนมัติจะมีเสถียรภาพหากรากของสมการวี ( )=0 และ ยู ( )=0 จริงและสลับกันไป

ระบบอาจอยู่ในขอบเขตของความเสถียร และสิ่งนี้สอดคล้องกับสองกรณี:

สมการคุณลักษณะของระบบจะมีรูตเป็นศูนย์หนึ่งตัว ซึ่งจะเป็นเมื่อใด ก n = 0 ; เส้นโค้ง มิคาอิโลวา ในกรณีนี้จะออกจากจุดกำเนิดของพิกัด

2) สมการคุณลักษณะมีคู่ของรากจินตภาพล้วนๆ เจ เค และ ดี ( เจ เค )= ยู ( เค )+ เจวี ( เค )=0, ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อในเวลาเดียวกัน ยู ( เค )=0 และ วี ( เค )=0; นี่หมายความว่าเส้นโค้งมิคาอิลอฟตัดผ่านจุดกำเนิด

ข้าว. 3.5. มิคาอิลอฟโค้งสำหรับรูปที่ 3.6. Mikhailov โค้งสำหรับปืนอัตตาจรที่เสถียรและปืนอัตตาจรที่ไม่เสถียร

การใช้เกณฑ์ Mikhailov ทำให้สามารถกำหนดค่าวิกฤตของพารามิเตอร์ระบบที่อยู่บนขอบเขตความเสถียร โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัจจัยอัตราขยายวิกฤต เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแก้ระบบสมการ

ตัวอย่าง. ใช้เกณฑ์ Mikhailov ประเมินความเสถียรของระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิตช์ของเครื่องบินและกำหนดค่าวิกฤติของอัตราทดเกียร์ เค .

สมการคุณลักษณะของระบบปิดได้มาจากด้านบนและมีรูปแบบ

มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ ส = เจ และเลือกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

เส้นโค้ง Mikhailov ที่สร้างด้วยพารามิเตอร์ระบบที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้มีรูปแบบแสดงในรูปที่ 3.7

เส้นโค้งเริ่มต้นจากครึ่งแกนบวกจริง ผ่าน 4 ควอแดรนท์ติดต่อกัน และสิ้นสุดในจตุภาคที่ 4 ดังนั้นสำหรับพารามิเตอร์เหล่านี้ ระบบที่กำลังศึกษาจึงมีความเสถียร

ข้าว. 3.7. เส้นโค้ง Mikhailov สำหรับระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิตช์

เพื่อกำหนดค่าวิกฤตของอัตราทดเกียร์สำหรับมุมพิทช์ เราจะรวบรวมระบบสมการ

จากสมการที่สองของระบบเรากำหนดความถี่และแทนที่การแสดงออกของมันเป็นสมการแรกหลังจากการแปลงเราจะได้สมการกำลังสองตามค่าที่ต้องการของอัตราทดเกียร์

สมการผลลัพธ์จะเหมือนกันทุกประการกับสมการที่ได้รับเมื่อแก้ไขปัญหาโดยใช้เกณฑ์ Hurwitz และผลลัพธ์ก็เหมือนกัน

การสร้างเส้นโค้ง Mikhailov สำหรับระบบที่มีลำดับสูงสามารถเชื่อมโยงกับการคำนวณที่ยุ่งยากและการสร้างกราฟิก ในกรณีเหล่านี้ การประมาณเสถียรภาพจากรากของสมการอาจง่ายกว่า ยู ( )=0 และ วี ( )=0. ลองหารากของสมการเหล่านี้แล้ววางไว้บนรากของแกนจำนวนของสมการกัน ยู()=0

เกณฑ์ความมั่นคงของ Nyquist

เกณฑ์ความมั่นคงของ Nyquist ช่วยให้เราสามารถตัดสินความมั่นคงได้ ปิดที่ระบบนั้นตามประเภทของการตอบสนองเฟสของระบบ open-loop

ปล่อยให้ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ open-loop และ Closed-loop มีรูปแบบ:

ที่ไหน ดี ( ส )- พหุนามลักษณะเฉพาะของระบบปิด เราก้าวไปสู่การแสดงความถี่

เวกเตอร์ เอ็น ( เจ ) เรียกว่าเวกเตอร์นีควิสต์ แน่นอนว่า ตัวเศษและส่วนของเวกเตอร์นี้มีลำดับเหมือนกัน n . เมื่อใช้เกณฑ์ Nyquist จะต้องแยกแยะสองกรณี

1). ระบบ open-loop มีความเสถียรและสมการคุณลักษณะของมันก็คือ ก ( ส )=0 มีรากทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย จากนั้นเมื่อความถี่เปลี่ยนจาก 0 เป็น

การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ ดี ( เจ ) ในกรณีทั่วไปจะเท่ากัน

ที่ไหน ม - จำนวนรากของสมการ ดี ( ส )=0, นอนอยู่ในระนาบครึ่งขวา ความถี่เสถียรภาพปิดไม่เปลี่ยนรูป

การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์ Nyquist จะเป็นดังนี้

หากระบบปิดมีเสถียรภาพแล้ว ม =0 และ

ตั้งแต่เมื่อไร , ว ( เจ ) 0, ที่ เอ็น ( เจ ) 1. พิจารณารูปที่ 3.8a ซึ่งแสดงเส้นโค้ง Nyquist ซึ่งอธิบายโดยเวกเตอร์ Nyquist เมื่อความถี่เปลี่ยนจาก 0 เป็น เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าเวกเตอร์ Nyquist จะอธิบายมุมเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อโฮโดกราฟของมันไม่ครอบคลุมจุดกำเนิด ลองย้ายจุดกำเนิดของพิกัดไปยังจุดที่มีพิกัดกัน (1, เจ 0) (รูปที่ 3.9b) คุณสามารถตรวจสอบให้แน่ใจว่าการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์ Nyquist จะเท่ากับศูนย์หาก AFC ว ( เจ ) ระบบ open-loop ไม่ครอบคลุม จุดวิกฤตพร้อมพิกัด(-1, เจ 0).

ข้าว. 3.9. ไปสู่คำจำกัดความของเกณฑ์ Nyquist

หลักเกณฑ์ของ Nyquist สำหรับคดีที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีดังต่อไปนี้

ระบบควบคุมอัตโนมัติที่เสถียรในสถานะเปิดจะเสถียรในสถานะปิดหาก AFC ว ( เจ ) ระบบ open-loop เมื่อเปลี่ยนความถี่จาก 0 เป็นไม่ครอบคลุมจุดวิกฤติด้วยพิกัด (-1,เจ0).

ภาวะเอกฐานเกิดขึ้นหากระบบ open-loop มีความเสถียรเป็นกลาง เช่น

พหุนามอยู่ที่ไหน ก 1( ส ) มีรากทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ที่ =0 การตอบสนองของ AFC ของระบบ open-loop ว ( เจ )= และไม่สามารถติดตามพฤติกรรมของเส้นโค้ง AFC ในบริเวณใกล้เคียงจุดนี้ได้ เมื่อความถี่เปลี่ยนจาก - เป็น + การเคลื่อนที่ของรากจะถูกสังเกตตามแนวแกนจินตภาพจากล่างขึ้นบนและเมื่อใด =0 มีช่องว่างไม่มีที่สิ้นสุด ด้วยการเคลื่อนไหวนี้ เราจะไปรอบๆ รากศูนย์ (รูปที่ 3.10) ไปตามครึ่งวงกลมที่มีรัศมีไม่สิ้นสุด เพื่อให้รูตนี้ยังคงอยู่ทางซ้ายนั่นคือ ให้เราอ้างอิงมันไปที่ระนาบครึ่งซ้ายแบบเทียม

ข้าว. 3.10. Nyquist hodograph สำหรับปืนอัตตาจรที่มีความเสถียรเป็นกลาง

เมื่อเคลื่อนที่ไปตามครึ่งวงกลมนี้ในทิศทางบวก ตัวแปรอิสระจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย

เฟสอยู่ไหน ( ) แตกต่างจาก - / 2 ถึง + / 2. แทนที่นิพจน์นี้ลงในฟังก์ชันถ่ายโอนแทนตัวคูณ ส ในตัวส่วน เราได้

ที่ไหน ร ที่ 0 และเฟส ( ) แตกต่างกันไปจาก + / 2 ก่อน - / 2. ด้วยเหตุนี้ โฮโดกราฟจึงอยู่ใกล้ศูนย์รูท ว ( เจ ) แสดงถึงส่วนหนึ่งของวงกลมที่มีรัศมีใหญ่อนันต์ ซึ่งเคลื่อนที่ไปในทิศทางนั้นเมื่อความถี่เพิ่มขึ้นในทิศทางลบ

ในการประเมินความเสถียรของระบบวงปิด หากระบบวงเปิดมีความเสถียรเป็นกลาง ก็จำเป็นต้องทำว ( เจ ) เปิดวงกับเสริมหัวข้อด้วยส่วนโค้งที่มีรัศมีขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุด โดยเริ่มจากความถี่ต่ำ ไปในทิศทางลบ และสำหรับเส้นโค้งปิดที่เกิดขึ้น ให้ใช้เกณฑ์ Nyquist สำหรับระบบที่เสถียรในเวลาเดียวกัน ถึงอยู่ในสภาพสะระแหน่

2) ระบบ open-loop ไม่เสถียร ในกรณีนี้

ที่ไหน ร- จำนวนรากของสมการคุณลักษณะของระบบวงเปิดที่อยู่ครึ่งระนาบด้านขวา หากระบบปิดมีเสถียรภาพเช่น ม =0 , ที่

เหล่านั้น. การตอบสนองของ AFC ของระบบ open-loop ครอบคลุมจุดวิกฤต (-1,j0) ในทิศทางบวกอย่างแน่นอน พี / 2 ครั้งหนึ่ง.

ระบบที่ไม่เสถียรในสถานะเปิดจะเสถียรในสถานะปิดหาก AFCว ( เจ กับ ) ระบบ open-loop ที่ และชม.เปลี่ยน ความถี่ตั้งแต่ 0 ถึงครอบคลุมจุดวิกฤติ (-1,เจ0) อยู่ในตำแหน่งและทิศทางตรงr/2 ครั้งไหนร- จำนวนขั้วขวาของวงจรเปิดกับหัวข้อ

การกำหนดจำนวนการครอบคลุมจุดวิกฤตไม่ใช่เรื่องง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของระบบที่มีลำดับสูง ดังนั้น การกำหนดเกณฑ์ Nyquist ที่แตกต่างกันสำหรับกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจึงพบว่ามีการนำไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ

การเปลี่ยนแปลง Hodograph ว ( เจ ) ผ่านส่วนของกึ่งแกนจริง (- ,-1), เหล่านั้น. ทางด้านซ้ายของจุดวิกฤติ เมื่อความถี่เพิ่มขึ้นจากบนลงล่าง ถือว่าเป็นค่าบวก และจากล่างขึ้นบนถือเป็นลบ

ระบบที่ไม่เสถียรในสถานะเปิดจะเสถียรในสถานะปิดหากความแตกต่างระหว่างจำนวนบวกและโอ ตการเปลี่ยนผ่านเชิงลบ ลักษณะการตอบสนองเฟสของระบบลูปเปิดจะเท่ากับr/2.

โดยที่จำนวนทรานซิชั่นเชิงบวก คือจำนวนทรานซิชั่นเชิงลบ

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการถ่ายโอนของยานยิง Avangard มีเสาสองอันที่ไม่เสถียร และ AFC ของมันจะแสดงในรูปที่ 1 3.11.

ข้าว. 3.11. AFFC ของจรวด Avangard

แน่นอนว่า สำหรับจรวดลำนี้ ในฐานะวัตถุควบคุม

และระบบปิดจะมีความเสถียร

เงินสำรองความมั่นคง

ความเสถียรของ ACS แบบวงปิดขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ AFC hodograph ของระบบ open-loop ที่สัมพันธ์กับจุดวิกฤติ ยิ่งเส้นโค้งนี้เข้าใกล้จุดวิกฤติมากเท่าใด ACS ที่ปิดก็จะยิ่งใกล้กับขอบเขตเสถียรภาพมากขึ้นเท่านั้น สำหรับระบบที่เสถียร ระยะห่างของการตอบสนองเฟส-ความถี่ของระบบลูปเปิดจากจุดวิกฤตมักจะประเมินโดยระยะขอบของความเสถียรในเฟสและขนาด

สมมติว่าการตอบสนองของ AFC ของระบบ open-loop บางระบบมีรูปแบบดังแสดงในรูปที่ 1 3.12.

ข้าว. 3.12. การตอบสนองของ AFC ของระบบ open-loop

มุม , เกิดขึ้นจากเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของ AFC โดยมีวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับความถี่คัตออฟของระบบ และครึ่งแกนจริงลบเรียกว่าระยะขอบเสถียรภาพ ไทยการตอบสนองเฟสของระบบ

(3.24)

อัตรากำไรขั้นต้นเสถียรภาพและเรียกค่าสัมบูรณ์ว่า

(3.25)

ที่ไหน เอ( )- ค่า AFC ที่ความถี่ = ซึ่งมันตัดกับแกนจริง

ระบบทั้งหมดจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

เนื่องจาก AFC ถูกพล็อตแบบกราฟิกในระดับหนึ่ง เพื่อคำนวณระยะขอบเสถียรภาพแบบโมดูโล คุณสามารถวัดความยาวของส่วนที่สอดคล้องกับความสามัคคีและ OB และหารผลลัพธ์ของการวัดครั้งแรกด้วยวินาที หากคุณเพิ่มเกนของระบบ จุด B จะเลื่อนไปทางซ้าย และที่ OB = -1 เกนจะเป็นค่าวิกฤต ดังนั้นจึงสามารถกำหนดส่วนต่างเสถียรภาพในโมดูลัสได้โดยใช้สูตร

ตัวอย่าง. ใช้เกณฑ์ Nyquist ประเมินความเสถียรของระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิตช์แบบวงปิด และกำหนดระยะขอบความเสถียร

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบ open-loop ได้รับมาก่อนหน้านี้และมีรูปแบบ

มีการระบุค่าตัวเลขของสัมประสิทธิ์หรือคำนวณไว้ก่อนหน้านี้ มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ ส = เจ :

หลังจากการเปลี่ยนแปลงที่เราได้รับ

โดยการเปลี่ยนความถี่จาก 0 เป็นเราจะสร้างเส้นโค้ง AFC - รูปที่ 3.13. เมื่อวาดส่วนโค้งของวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยแล้ว เราจะพิจารณาว่าระยะขอบความเสถียรของเฟส =1100 . สำหรับตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเราได้รับสิ่งนั้น ชม. =3.3.

ข้าว. 3.13. AFFC ของระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิทช์

อัตรากำไรขั้นต้นด้านเสถียรภาพที่เกิดขึ้นเป็นไปตามข้อกำหนดข้างต้น

การประเมินความเสถียรโดย LCH

ลักษณะ AFC ของระบบ open-loop แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ

AFC ประเภทแรก ทุกจุดที่จุดตัดกับแกนจริงตั้งอยู่ทางด้านขวาของจุดวิกฤติ (เส้นโค้ง 1 รูปที่ 3.14)

AFC ประเภทที่สอง จุดที่จุดตัดกับแกนจริงตั้งอยู่ทั้งทางด้านขวาและด้านซ้ายของจุดวิกฤต (เส้นโค้ง 2 รูปที่ 3.14)

ในระบบประเภทแรก การเพิ่มขึ้นของอัตราขยายจะนำไปสู่การเลื่อนของกิ่งก้านของเส้นโค้งไปทางซ้ายและการเข้าใกล้จุดวิกฤต ในกรณีนี้ อัตรากำไรขั้นต้นด้านความมั่นคงจะลดลงและเมื่อใด เค = เค cr ระบบถึงขอบเขตเสถียรภาพแล้ว การลดอัตราขยายจะทำให้ระบบมีเสถียรภาพ ในระบบประเภทที่ 2 การเปลี่ยนแปลงของระบบไปสู่ขอบเขตความเสถียรสามารถเกิดขึ้นได้ทั้งกับการเพิ่มขึ้นของกำไรและการลดลง จากเกณฑ์ Nyquist เป็นไปตามว่าระบบวงปิดที่มีการตอบสนองของ AFC ประเภทที่ 1 ในสถานะเปิดจะเสถียรหากทุกจุดของการตอบสนองของ AFC จนถึงจุดตัดกันด้วยวงกลมรัศมีหน่วย ( = กับ) สอดคล้องกับค่าเฟส ( ) , ใหญ่กว่า - , เช่น. ความไม่เท่าเทียมกันจะต้องได้รับการสนอง กับ< . คำจำกัดความนี้ตีความได้ง่ายในภาษา LCH

เพื่อให้ระบบที่เสถียรในสถานะเปิดและมี AFC ประเภทแรกมีเสถียรภาพในสถานะปิด จำเป็นและเพียงพอที่ความถี่ทั้งหมดที่ LAC เป็น n โอบวกค่าลักษณะเฟสมากกว่า -, เช่น.กับ< .

จาก LFC สามารถกำหนด Margin ความเสถียรได้อย่างง่ายดาย และ Margin เสถียรภาพสำหรับการขยายในระดับลอการิทึมจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข เอ็น >6 เดซิเบล , ซึ่งสอดคล้องกับค่านิยม ชม. >2.

เพื่อให้ ACS ที่ไม่เสถียรในสถานะเปิดและมีการตอบสนองความถี่เฟสแบบที่ 2 มีเสถียรภาพในสถานะปิด จำเป็นต้อง ขมีความเป็นไปได้และเพียงพอที่ความแตกต่างระหว่างจำนวนบวกและ oตการเปลี่ยนลักษณะเฟสเชิงลบผ่านเส้น -มีความเท่าเทียมกันr/2, ที่ไหนร - จำนวนรากของสมการคุณลักษณะเฉพาะของระบบวงรอบเปิดที่อยู่ในครึ่งระนาบด้านขวา ที่ความถี่ทั้งหมด เมื่อ ล ( )>0.

จะต้องเน้นย้ำว่าวิธีการที่แสดงสำหรับการประเมินเสถียรภาพโดย LFC และการกำหนดระยะขอบความเสถียรนั้นใช้ได้สำหรับตำแหน่งของแกนพิกัดที่สัมพันธ์กับคุณลักษณะเฟส เมื่อจุดนั้นรวมกับจุดกำเนิดของพิกัด ( )=-1800.

อัตรากำไรขั้นต้นสามารถกำหนดได้จาก LFC เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องเลื่อน LAX ไปตามเส้นการผันคำกริยาขนานกับตัวมันเองเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข กับ = และคำนวณกำไรสำหรับ LAC ที่ได้รับใหม่

การกำหนดอัตราขยายวิกฤตสำหรับระบบแบบคงที่และแบบอะสแตติกแสดงไว้ในรูปที่ 1 3.17a และ 3.17b.

ตัวอย่าง. สร้าง LFC ของระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิทช์และประเมินความเสถียร กำหนดระยะขอบความเสถียรและคำนวณค่าวิกฤตของอัตราส่วนระดับเสียง

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบ open-loop สามารถลดลงเป็นรูปแบบได้

รากของสมการคุณลักษณะของระบบ open-loop มีค่าดังต่อไปนี้:

ดังนั้น หลังจากการเปลี่ยนแปลงที่เราได้รับ

เรามากำหนดความถี่การผันคำกริยาและแบ่งตารางพิกัดกัน

ให้เราสร้าง LAC ของระบบ โดยคำนึงว่าอัตราขยายของระบบ open-loop เท่ากับ เนื่องจากอัตราการลดทอนสัมพัทธ์มีน้อย จึงจำเป็นต้องปรับแต่ง LAC ที่ได้ผลลัพธ์ในบริเวณใกล้เคียงกับความถี่การผันคำกริยา 03. ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้กราฟพิเศษหรือโดยการคำนวณโดยใช้การตอบสนองความถี่แอมพลิจูดที่ทราบ การตอบสนองความถี่ของระบบนี้จะถูกกำหนดโดยการแสดงออก

การแทนที่ค่าความถี่หลายค่าในบริเวณใกล้เคียงกับความถี่คัปปลิ้ง 03, เราจะได้ค่าตอบสนองความถี่ คำนวณค่า LFC และสร้างเส้นโค้งที่ชัดเจน การตอบสนองความถี่เฟสถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมของคุณลักษณะเฟสของลิงก์ทั่วไปที่รวมอยู่ในฟังก์ชันถ่ายโอน

ที่ไหน

จากกราฟ LFC เป็นไปตามนั้น กับ< ส่งผลให้ระบบปิดมีเสถียรภาพ อัตราความเสถียรของเฟส =1080 . สำหรับระบบที่มีการเชื่อมโยงออสซิลเลเตอร์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงสัมพัทธ์เล็กน้อย ส่วนต่างความเสถียรของโมดูลัสจะถูกกำหนดที่จุดเรโซแนนซ์ และในกรณีนี้จะเท่ากับ 10 dB ซึ่งสอดคล้องกับค่า h = 3.16 ค่ามาร์จิ้นเสถียรภาพที่ได้รับนั้นแตกต่างเล็กน้อยจากค่าที่คำนวณตามเกณฑ์ Hurwitz และ Mikhailov ในกรณีที่อยู่ระหว่างการศึกษา การเพิ่มขึ้นที่สำคัญจะถูกกำหนดโดยการสัมผัส ล(ร)แกนความถี่ ให้เราย้าย LAX ขนานกับตัวมันเองเพื่อที่จุดนั้น = รมันแตะแกนความถี่แล้วเราจะขยายเส้นกำกับแรกออกไปจนกระทั่งมันตัดกับแกนความถี่ ณ จุดนี้ เค= =7.244, ซึ่งสอดคล้องกับค่า ( เค)cr=16.74.

2. การระบุพื้นที่ความมั่นคง

ในบรรดาพารามิเตอร์ทางกายภาพที่กำหนดลักษณะของ ACS มักมีหลายพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงได้ง่ายและใช้สำหรับการตั้งค่าระบบเฉพาะ เมื่อออกแบบระบบเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องทราบช่วงของค่าของพารามิเตอร์ตัวแปรที่ยอมรับได้จากมุมมองของการรักษาเสถียรภาพของ ACS ช่วงเหล่านี้สามารถตัดสินได้โดยการสร้างขอบเขตความเสถียรในพื้นที่ของพารามิเตอร์ตัวแปร เช่น เน้นช่วงค่าพารามิเตอร์ที่ระบบยังคงมีเสถียรภาพ

ขอบเขตความเสถียรในทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติมักเรียกว่าขอบเขต D และการเป็นตัวแทนของขอบเขตพารามิเตอร์ในรูปแบบของขอบเขตความเสถียรและความไม่เสถียรเรียกว่าพาร์ติชัน D

การสร้างขอบเขตเสถียรภาพโดยใช้เกณฑ์พีชคณิต

ให้เราสมมติว่าสัมประสิทธิ์ของสมการลักษณะเฉพาะ

ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลงได้สองตัว และ . ในการสร้างขอบเขตความเสถียร ประการแรก ตามเงื่อนไขเสถียรภาพที่จำเป็น จำเป็นต้องเลือกขอบเขตของพารามิเตอร์ตัวแปรเมื่อพบว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสมการลักษณะเฉพาะเป็นค่าบวก ซึ่งสามารถทำได้โดยการแก้ระบบสมการ

เพื่อสร้างขอบเขตสำหรับค่าบวกของสัมประสิทธิ์ ก ฉัน มีความจำเป็นต้องเลือกจากคำตอบของสมการ (3.26) ที่ให้ความมั่นใจถึงค่าบวกของสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ในบรรดาขอบเขตของการมองโลกในแง่บวกทั้งหมด มีเพียงสองขอบเขตเท่านั้นที่สามารถเป็นขอบเขตของความมั่นคงไปพร้อมๆ กันได้ เหล่านี้คือขอบเขตที่มีสมการ

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหาก ง 0 และ DN เมื่อเข้าใกล้ศูนย์ แล้วสมการคุณลักษณะจะมีรากจริง 2 อัน

ด้วยการลดลงอีกค่าสัมประสิทธิ์ ง 0 และ DN จะผ่านศูนย์ กลายเป็นลบ และราก (3.28) จะกลายเป็นบวก เนื่องจากรากที่แท้จริงเป็นตัวกำหนดองค์ประกอบระยะไม่แน่นอนของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ขอบเขต (3.27) จึงเรียกว่าขอบเขตเสถียรภาพแบบอะคาบ ที่ขอบเขตความเสถียรนั้นเอง ราก (3.28) จะเท่ากับและ 0 ตามลำดับ ด้านข้างของเส้นโค้ง ดิ ( , )=0, ที่อยู่ติดกับขอบเขตของค่าบวกของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะถูกฟักไปในทิศทางของค่าบวก ก็อาจเกิดขึ้นได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ ง 0 หรือ DN ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลง ซึ่งหมายความว่าไม่มีขอบเขตเสถียรภาพระยะไม่สอดคล้องกัน

ขอบเขตความเสถียรของการสั่นคือเส้นโค้งในระนาบของพารามิเตอร์ตัวแปร เมื่อผ่านซึ่งรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนคู่หนึ่งจะเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนที่แท้จริงไปในทางตรงกันข้าม ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าขีดจำกัดความเสถียรของการแกว่งถูกกำหนดโดยนิพจน์

(3.29)

ในนิพจน์นี้ n-1 คือดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิทซ์ตัวที่ (n-1) ขอบเขตความเสถียรของการแกว่งจะถูกแรเงาไปทางด้านบวกของ n-1

ตัวอย่าง. สร้างขอบเขตความเสถียรในระนาบพารามิเตอร์ เค และ เค z ระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิตช์

สมการคุณลักษณะของระบบวงปิดมีรูปแบบ

เราสำรวจความไม่เท่าเทียมกัน ง 2>0, ง 3>0, ง 4>0 . จากอสมการแรกตามมาเพื่อให้สัมประสิทธิ์เป็นบวก ง 2 จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไข

ความไม่เท่าเทียมกัน ง 4>0 กำหนดว่าเพื่อให้สัมประสิทธิ์นี้เป็นบวกก็จำเป็น เค >0 . เพื่อสนองความไม่เท่าเทียมกัน ง 3>0 มันเป็นสิ่งจำเป็นอย่างนั้น

สำหรับค่าใด ๆ ของอัตราทดเกียร์เชิงมุมที่มากกว่าศูนย์ ทางด้านขวาของโมดูโลนิพจน์สุดท้ายจะมากกว่าหนึ่ง ดังนั้นขีดจำกัดของค่าบวกของสัมประสิทธิ์จะเป็นดังนี้

ค่าสัมประสิทธิ์ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เปลี่ยนแปลง DN = ง 4 และค่าสัมประสิทธิ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ง 0. ดังนั้นสมการ เค =0 ในขณะเดียวกัน ยังเป็นขอบเขตเสถียรภาพเป็นระยะๆ อีกด้วย

หลังจากรวบรวมดีเทอร์มิแนนต์ของ Hurwitz แล้ว เราก็ได้ค่ารอง n-1 ของมันมา

ให้เราแทนค่าสัมประสิทธิ์เป็นนิพจน์นี้ ง 2, ง 3, ง 4, เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ เค และ เค หลังจากการแปลงเราจะได้สมการกำลังสองที่กำหนดอัตราทดเกียร์ในความเร็วเชิงมุมตามฟังก์ชันของอัตราทดเกียร์ในมุมพิทช์

เมื่อใช้นิพจน์นี้ ขอบเขตความเสถียรของการแกว่งจะถูกสร้างขึ้น กราฟของการแบ่งขอบเขตของพารามิเตอร์ที่ศึกษาออกเป็นส่วนของความเสถียรและความไม่เสถียรจะแสดงในรูปที่ 1 3.19.

ขอบเขตของความไม่แน่นอนของการสั่นจะถูกแรเงาไปทางค่าบวกของดีเทอร์มิแนนต์ Hurwitz ลำดับที่ 1 และเส้นตรง เค z =0 ที่มีต่อค่าบวกของสัมประสิทธิ์นี้ หากต้องการตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้รับ ให้เลือกค่าพารามิเตอร์ภายในพื้นที่แรเงา เป็นต้น เค =5, เค z =0.6, มาคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะและประเมินความเสถียรของระบบวงปิดโดยใช้เกณฑ์ Hurwitz เราพบว่าสำหรับค่าอัตราทดเกียร์ที่เลือกระบบมีเสถียรภาพ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ทั้งหมดที่จังหวะพุ่งไปนั้นเป็นพื้นที่ที่มีความมั่นคง

D - พาร์ติชันในระนาบของพารามิเตอร์เดียว

ให้เราสนใจอิทธิพลของพารามิเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งต่อความเสถียรของ ACS และพารามิเตอร์นี้จะเข้าสู่สมการคุณลักษณะเชิงเส้นตรง ดังนั้นสมการนี้สามารถแสดงในรูปแบบได้

ได้มีการดำเนินการทดแทน ส = เจ , เราได้รับ

ด้วยการตั้งค่าความถี่จาก - ถึง + คุณสามารถสร้างเส้นโค้งได้ ( ) ทำแผนที่แกนจินตภาพของระนาบรูทลงบนระนาบ . ขอบเขตของพาร์ติชัน D นี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนจริง ดังนั้นการคำนวณสามารถดำเนินการได้ในช่วงความถี่ตั้งแต่ 0 ถึง + จากนั้นเสริมเส้นโค้งผลลัพธ์ด้วยภาพสะท้อนในกระจกในช่วงความถี่ตั้งแต่ - ถึงศูนย์ เมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนจินตภาพจาก - ถึง + บนระนาบของราก พื้นที่ความเสถียรจะยังคงอยู่ทางด้านซ้าย

ดังนั้นเมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง D-partition ในทิศทางที่ความถี่เพิ่มขึ้นจะฟักออกมาทางด้านซ้าย บริเวณที่หน้าสโตรกเป็นพื้นที่คงตัวที่สันนิษฐานไว้ ในการตัดสินใจขั้นสุดท้าย คุณต้องใช้ค่าจริงของพารามิเตอร์ ในพื้นที่ที่ศึกษาและใช้เกณฑ์ความมั่นคงบางประการ หากระบบเสถียรสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่เลือก ขอบเขตที่พิจารณาจะเป็นขอบเขตความเสถียร

ตัวอย่าง. สร้างขอบเขตความเสถียรของระบบรักษาเสถียรภาพมุมพิทช์ในระนาบของอัตราทดเกียร์ เค .

สมการคุณลักษณะของระบบที่ศึกษาสามารถเขียนได้เป็น

ในนิพจน์ผลลัพธ์เราจะทำการแทนที่ ส = เจ และเราได้รับ

ในสำนวนเหล่านี้

เนื่องจากเงื่อนไขที่จำเป็นต่อเสถียรภาพของระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือ เค >0, จากนั้นแกนจินตภาพก็ยังเป็นขอบเขตความเสถียรและมุ่งสู่ภาวะบวก เค . ค่าของสัมประสิทธิ์นี้เท่ากับ 5 อยู่ภายในพื้นที่แรเงา และเรารู้ว่าที่ค่านี้ ระบบจะมีเสถียรภาพ ซึ่งหมายความว่าส่วนทั้งหมดของแกนจริงซึ่งอยู่ภายในพื้นที่แรเงาจะให้ค่าของอัตราทดเกียร์เชิงมุมที่ระบบมีเสถียรภาพ แสดงให้เห็นว่าจุดสิ้นสุดของส่วนนี้อยู่ที่จุดเท่ากับค่าวิกฤตของสัมประสิทธิ์ เค =16.56.

D - พาร์ติชันในระนาบของพารามิเตอร์สองตัว

ปล่อยให้ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สองตัวเป็นเส้นตรง และ จึงจะสามารถเขียนเป็นรูปได้

หลังจากเปลี่ยนแล้ว ส = เจ เราได้รับ

เนื่องจากสมการคุณลักษณะที่แปลงแล้วทั้งหมดสามารถเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพของมันเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เราจึงได้ระบบสมการสำหรับพารามิเตอร์ตัวแปร

มีการแก้ไขระบบ (3.33) ด้วยความเคารพ และ , เราได้รับ

โดยการตั้งค่าความถี่จาก - ถึง + เราจะกำหนดชุดของจุดบนระนาบ - , สร้างเส้นโค้งพาร์ติชัน D ฟังก์ชั่น ( ) และ ( ) มีค่าเท่ากัน ดังนั้น เมื่อความถี่เปลี่ยนแปลงภายในขีดจำกัดข้างต้น เส้นโค้งพาร์ติชัน D จะถูกรันสองครั้ง เมื่อสร้างเส้นโค้งพาร์ติชัน D ในระนาบของพารามิเตอร์สองตัว คุณต้องปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้:

1) ถ้าในระบบ (3.33) สมการแรกได้มาจากส่วนจริงและสมการที่สอง - จากส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ป ( เจ ), ถาม ( เจ ) และ ส ( เจ ) และถ้าเป็นพารามิเตอร์ ในการเขียนมันมาก่อนและ - ประการที่สอง ระบบพิกัดจะต้องเป็นแบบถนัดขวา เช่น แกน คือแกน x ที่มีค่าบวกนับไปทางขวาและแกน - แกน y ที่มีค่าบวกนับขึ้นไป

2) เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งพาร์ติชัน D เมื่อความถี่เปลี่ยนไปด้านบน มันจะฟักออกมาทางด้านซ้ายถ้า ( )>0, และทางขวาถ้า ( )<0 ; เป็นผลให้เส้นโค้งฟักออกมาสองครั้งในด้านหนึ่งเนื่องจากที่ปลายเส้นโค้งที่ =0 และ = สัญลักษณ์ของปัจจัยหลัก ( ) การเปลี่ยนแปลง

อาจมีกรณีที่ = * 0, พร้อมกัน ( *)= = ( *)= ( *)=0. จากนั้นระบบ (3.33) จะกลายเป็นเส้นตรงและสมการของมันต่างกันด้วยตัวประกอบคงที่เท่านั้น ในกรณีนี้ ระบบนี้จะลดลงเหลือเพียงสมการเดียวที่กำหนดบนระนาบ - เส้นตรงซึ่งเรียกว่าเส้นตรงพิเศษ หากเส้นเอกพจน์ตัดเส้นโค้งพาร์ติชัน D ที่จุดหนึ่ง = * และ ณ จุดนี้ปัจจัยกำหนด ( ) เครื่องหมายเปลี่ยน จากนั้นเส้นตรงนี้ก็เป็นขอบเขตเสถียรภาพเช่นกัน และ ณ จุดที่ระบุ ทิศทางการแรเงาของเส้นโค้งและเส้นตรงพิเศษจะเปลี่ยนไป ถ้า ณ = * เครื่องหมายของปัจจัยหลักไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้นจะไม่ใช้การแรเงากับเส้นพิเศษ ถ้าระยะอิสระของสมการลักษณะเฉพาะ DN = DN ( , ) แล้วสิ่งนี้สอดคล้องกับการมีอยู่ของบรรทัดพิเศษสำหรับ =0 และสมการของมันจะเป็น

เอกสารที่คล้ายกัน

การประเมินความเสถียรของระบบควบคุมอัตโนมัติโดยใช้เกณฑ์ความเสถียรของ Nyquist, Mikhailov, Hurwitz (Rouse-Hurwitz) วาดเมทริกซ์ของปัจจัยหลักเพื่อกำหนดความเสถียรของระบบ รายการโปรแกรมและการวิเคราะห์ผลลัพธ์

งานห้องปฏิบัติการ เพิ่มเมื่อ 06/06/2559


ตัวบ่งชี้ความถี่ของคุณภาพของระบบควบคุมอัตโนมัติในโหมดชั่วคราว การวิเคราะห์ความเสถียรและคุณภาพของการควบคุมที่สมบูรณ์สำหรับระบบ open-loop และ Closed-loop โดยใช้เกณฑ์ Hurwitz และ Nyquist ผลิตภัณฑ์ซอฟต์แวร์ Matlab และ MatCad

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 18/06/2554


ความเสถียรเป็นคุณสมบัติของระบบที่จะกลับคืนสู่สถานะเดิมหลังจากถูกลบออกจากสภาวะสมดุล ธรรมชาติของคำตอบสำหรับค่าต่าง ๆ ของรากของสมการ Routh-Hurwitz, Nyquist, เกณฑ์ความมั่นคงของ Mikhailov, คำจำกัดความของพื้นที่

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 15/08/2552


การพิจารณาพื้นฐานของฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบวงปิด การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบควบคุมอัตโนมัติ คำอธิบายการหาสมการคุณลักษณะของระบบในสภาวะปิด เกณฑ์เสถียรภาพพีชคณิตของ Hurwitz และ Mikhailov

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 28/04/2014


ระบบควบคุมอัตโนมัติ (ACS) ประเภทและหน่วยพื้นฐาน เกณฑ์พีชคณิตและกราฟิกเพื่อความเสถียรของระบบ ลักษณะความถี่ของลิงก์แบบไดนามิกและ ACS การประเมินคุณภาพการควบคุมการแก้ไขระบบอัตโนมัติ

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 16/02/2556


ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบ open-loop การวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบควบคุมอัตโนมัติ การตอบสนองความถี่แอมพลิจูดเฟสของระบบ เกณฑ์เสถียรภาพของ Hurwitz การวิเคราะห์กระบวนการชั่วคราวเมื่อใช้เอฟเฟกต์แบบขั้นตอน

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 10/18/2012


เกณฑ์พีชคณิตและความถี่เพื่อความมั่นคง ลำดับของลักษณะเชิงซ้อน Hodographs ของฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ของระบบลูปเปิด การกำหนดเสถียรภาพโดยใช้ LFC ของระบบ open-loop ระบบมีเสถียรภาพอย่างแน่นอนและมีเงื่อนไข

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 21/01/2552


การวิเคราะห์ระบบควบคุมอัตโนมัติแบบเดิม การกำหนดฟังก์ชันการถ่ายโอนและค่าสัมประสิทธิ์ การวิเคราะห์ความเสถียรของระบบเดิมโดยใช้เกณฑ์ Routh และ Nyquist การสังเคราะห์อุปกรณ์แก้ไขและการวิเคราะห์ระบบควบคุมสังเคราะห์

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 19/04/2554


ค้นหาฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบลูปเปิดและลูปปิด ระบบวงปิดโดยข้อผิดพลาดและการรบกวน ความแม่นยำของการประมวลผลอิทธิพลของอินพุต ความเสถียรตามเกณฑ์ Hurwitz การเลือกตัวควบคุมและชี้แจงพารามิเตอร์ ค่าตัวบ่งชี้แบบไดนามิก

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 03/04/2014


ดำเนินการวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบวงปิด การกำหนดฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบลูปเปิดและการตอบสนองความถี่แอมพลิจูดเฟสของระบบควบคุมอัตโนมัติ การใช้เกณฑ์ Hurwitz, Mikhailov และ Nyquist เพื่อการวิเคราะห์

หน้า \* ผสานรูปแบบ 14

การบรรยายครั้งที่ 4

ความเสถียรของปืนอัตตาจร

คุณสมบัติของระบบที่จะกลับคืนสู่สถานะเดิมหลังจากขจัดสัญญาณรบกวนออกไปแล้ว เรียกว่า เสถียรภาพ

คำนิยาม.

เส้นโค้งที่ 1 และ 2 แสดงถึงลักษณะของระบบที่เสถียร เส้นโค้งที่ 3 และ 4 แสดงถึงลักษณะของระบบที่ไม่เสถียรε

ระบบ 5 และ 6 บนขอบเขตของความมั่นคง 5 - ระบบที่เป็นกลาง, 6 - ขีดจำกัดเสถียรภาพการสั่น

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ของ ACS ในรูปแบบตัวดำเนินการมีรูปแบบ

จากนั้นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (การเคลื่อนที่ของระบบ) จะประกอบด้วยสองส่วน การบังคับการเคลื่อนไหวประเภทเดียวกันกับการกระทำอินพุต

ในกรณีที่ไม่มีรากหลายอันโดยที่ Cฉัน การรวมอย่างต่อเนื่องที่กำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้น

1 , 2 … , 3 รากของสมการคุณลักษณะ

ที่ตั้งของรากของลักษณะ

สมการของระบบบนระนาบเชิงซ้อน

รากของสมการลักษณะเฉพาะไม่ได้ขึ้นอยู่กับประเภทของการรบกวนหรือขึ้นอยู่กับ

เงื่อนไขเริ่มต้น a ถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ a เท่านั้น 0 , ก 1 , 2 , … , น นั่นคือพารามิเตอร์และโครงสร้างของระบบ

1 รูทของจริง มากกว่าศูนย์

2-root จริงน้อยกว่าศูนย์

3 รูทเป็นศูนย์

4-2 รากศูนย์;

รากคอนจูเกตเชิงซ้อน 5-2 อันที่มีส่วนที่แท้จริงคือ

เชิงบวก;

รากคอนจูเกตที่ซับซ้อน 6 สองราก ส่วนที่แท้จริงเป็นลบ

7-รากคอนจูเกตจินตภาพสองตัว

วิธีวิเคราะห์ความเสถียร:

1. ทางตรง (จากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์);
2. ทางอ้อม (เกณฑ์ความมั่นคง)

ทฤษฎีบทของ A.M. เลียปูโนวา.

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบท 2

หมายเหตุ:

1. หากในบรรดารากของสมการคุณลักษณะมีรากเป็นศูนย์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป แสดงว่าระบบไม่เสถียร
2. หากรากหนึ่งเป็นศูนย์และรากที่เหลือทั้งหมดอยู่ในครึ่งระนาบด้านซ้าย แสดงว่าระบบเป็นกลาง
3. หากราก 2 อันเป็นคอนจูเกตจินตภาพ และรากที่เหลือทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้าย ระบบก็จะอยู่บนขอบเขตความเสถียรของการสั่น

เกณฑ์ความเสถียรของ ACS

เกณฑ์เสถียรภาพเป็นกฎที่ช่วยให้สามารถกำหนดความเสถียรของระบบโดยไม่ต้องคำนวณรากของสมการคุณลักษณะ

ในปี พ.ศ. 2420 ติดตั้งเส้นทางแล้ว:

1. เกณฑ์เสถียรภาพของ Hurwitz

เกณฑ์นี้ได้รับการพัฒนาในปี พ.ศ. 2438

ให้นิยามสมการคุณลักษณะของระบบปิด: เราลดสมการให้อยู่ในรูปแบบนั้น 0 >0

ให้เราเขียนปัจจัยหลักของ Hurwitz ตามกฎต่อไปนี้:

ตามเส้นทแยงมุมหลัก ค่าสัมประสิทธิ์ของสมจะถูกเขียน โดยเริ่มจากวินาทีไปสุดท้าย คอลัมน์ที่อยู่ด้านบนจากเส้นทแยงมุมจะเต็มไปด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีเพิ่มขึ้น และคอลัมน์ที่อยู่ด้านล่างจากเส้นทแยงมุมจะเต็มไปด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีลดลง ในกรณีที่ไม่มีสัมประสิทธิ์ใดๆ ในสมการ และแทนที่จะเป็นสัมประสิทธิ์ที่มีดัชนีน้อยกว่า 0 ขึ้นไปและเขียนเป็นศูนย์

ให้เราเน้นผู้เยาว์ในแนวทแยงหรือปัจจัยที่ง่ายที่สุดในปัจจัยหลัก Hurwitz:

การกำหนดเกณฑ์

สำหรับระบบที่สูงกว่าลำดับที่สอง นอกเหนือจากค่าบวกของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะแล้ว จะต้องเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

1. สำหรับระบบลำดับที่สาม:
2. สำหรับระบบลำดับที่สี่:
3. สำหรับระบบลำดับที่ห้า:

1. สำหรับระบบลำดับที่หก:

ตัวอย่าง. สมการลักษณะเฉพาะถูกกำหนดไว้เพื่อศึกษาความเสถียรของระบบตามข้อมูลของเฮอร์วิทซ์

สำหรับระบบที่เสถียรก็จำเป็นและ

2. เกณฑ์การกำหนดเส้นทาง

เกณฑ์ Routh ใช้เพื่อศึกษาความเสถียรของระบบที่มีลำดับสูง

การกำหนดเกณฑ์:

โต๊ะรูท.

อัลกอริทึมสำหรับการกรอกตาราง: บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองมีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่มีดัชนีคู่และคี่ องค์ประกอบของแถวที่เหลือจะถูกคำนวณตามกฎต่อไปนี้:

ข้อดีของเกณฑ์: สามารถศึกษาความเสถียรของระบบในลำดับใดก็ได้

2. เกณฑ์ความมั่นคงของ Nyquist

หลักการโต้แย้ง

วิธีการที่ใช้บ่อยจะขึ้นอยู่กับหลักการของการโต้แย้ง

ให้เราวิเคราะห์คุณสมบัติของพหุนามของรูปแบบ:

ที่ไหน l ฉัน - รากของสมการ

บนระนาบเชิงซ้อน แต่ละรูทจะสอดคล้องกับจุดที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ในเชิงเรขาคณิต ทุกราก ฉัน สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดได้ ฉัน : | i | - ความยาวเวกเตอร์ หาเรื่อง ฉัน - มุมระหว่างเวกเตอร์กับทิศทางบวกของแกน x ขอให้เราแมป D(p) ลงในปริภูมิฟูริเยร์ แล้วโดยที่ j -  ผม - เวกเตอร์เบื้องต้น

ส่วนปลายของเวกเตอร์เบื้องต้นอยู่บนแกนจินตภาพ

ขนาดของเวกเตอร์และอาร์กิวเมนต์ (เฟส)

ทิศทางการหมุนของเวกเตอร์ทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นค่าบวก แล้วพอเปลี่ยน. จากถึงเวกเตอร์เบื้องต้นแต่ละตัว (เจ  -  ผม ) จะหมุนเป็นมุม + ถ้า  ฉัน อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย

ให้ D ( )=0 มี m รากในระนาบครึ่งขวาและน - ม รากอยู่ทางซ้ายแล้วเพิ่มขึ้น จาก เพื่อเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์ D(j ) (มุมการหมุน D(j ) เท่ากับผลรวมของการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์เบื้องต้น) จะเป็น

หลักการโต้แย้ง:

เกณฑ์ Nyquist ขึ้นอยู่กับลักษณะความถี่ของวงจรเปิดของ ACS เนื่องจากประเภทของลักษณะความถี่ของวงจรเปิดสามารถใช้เพื่อตัดสินความเสถียรของระบบปิดได้

เกณฑ์ Nyquist ใช้กันอย่างแพร่หลายในการปฏิบัติงานด้านวิศวกรรมด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ของวงจรเปิดจะศึกษาความเสถียรของระบบในสถานะปิด และฟังก์ชันนี้ส่วนใหญ่มักประกอบด้วยปัจจัยง่ายๆ ค่าสัมประสิทธิ์คือพารามิเตอร์ที่แท้จริงของระบบซึ่งช่วยให้คุณสามารถเลือกได้จากเงื่อนไขความเสถียร
2. เพื่อศึกษาความเสถียร คุณสามารถใช้คุณลักษณะความถี่ที่ได้รับจากการทดลองขององค์ประกอบที่ซับซ้อนที่สุดของระบบ (วัตถุควบคุม เนื้อหาผู้บริหาร) ซึ่งจะเพิ่มความแม่นยำของผลลัพธ์ที่ได้รับ
3. สามารถศึกษาความเสถียรได้โดยใช้ LFC ซึ่งมีโครงสร้างที่เรียบง่าย
4. สะดวกในการกำหนดระยะขอบเสถียรภาพ

1. ระบบมีเสถียรภาพในสถานะเปิด

ให้เราแนะนำฟังก์ชันเสริมและแทนที่ p  j  แล้ว

ตามหลักการโต้แย้ง การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ D(j ) และ D з (j  ) ที่ 0<  <  เท่ากับ แล้วนั่นคือโฮโดกราฟส 1 (เจ  ) จะต้องไม่ขยายจุดกำเนิด

เพื่อให้การวิเคราะห์และการคำนวณง่ายขึ้น ลองเปลี่ยนจุดกำเนิดของเวกเตอร์รัศมีจากจุดกำเนิดของพิกัดไปยังจุด (-1,เจ 0) และแทนฟังก์ชันเสริมส 1 (เจ  ) เราใช้ AFC ของระบบ open-loopว (เจ  ).

การกำหนดเกณฑ์หมายเลข 1

ตัวอย่าง.

โปรดทราบว่าความแตกต่างในจำนวนการเปลี่ยนผ่านเชิงบวกและเชิงลบของ AFC ไปทางซ้ายของจุด (-1, j 0) เท่ากับศูนย์

2. ระบบที่มีขั้วอยู่บนแกนจินตภาพในสถานะเปิด

เพื่อวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบ AFC จะมีการเสริมด้วยวงกลมรัศมีใหญ่อนันต์ที่ 0 ทวนเข็มนาฬิกาถึงครึ่งแกนจริงบวกที่ขั้วศูนย์ และในกรณีของรากจินตภาพล้วนๆ - ครึ่งวงกลมตามเข็มนาฬิกา ณ จุดที่ AFC ไม่ต่อเนื่อง

การกำหนดเกณฑ์หมายเลข 2

1. ระบบวงจรเปิดไม่ต่อเนื่อง

กรณีทั่วไปมากกว่า - ตัวหารของฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบลูปเปิดประกอบด้วยรากที่อยู่ในครึ่งระนาบด้านขวา การปรากฏตัวของความไม่เสถียรในระบบ open-loop เกิดจากสาเหตุสองประการ:

1. ผลที่ตามมาจากการมีลิงก์ที่ไม่เสถียร
2. ผลที่ตามมาของการสูญเสียเสถียรภาพของลิงก์ที่มีการตอบรับเชิงบวกหรือเชิงลบ

เอ็กซ์ แม้ว่าในทางทฤษฎี ระบบทั้งหมดในสถานะปิดสามารถมีเสถียรภาพได้เมื่อมีความไม่เสถียรในวงจรป้อนกลับเฉพาะที่ ในทางปฏิบัติ กรณีเช่นนี้ไม่เป็นที่พึงปรารถนา และควรหลีกเลี่ยงโดยพยายามใช้เฉพาะการป้อนกลับเฉพาะที่เสถียรเท่านั้น สิ่งนี้อธิบายได้จากการมีคุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปลักษณ์ของความเสถียรตามเงื่อนไข ซึ่งเมื่อพิจารณาถึงความไม่เชิงเส้นที่มักปรากฏอยู่ในระบบ ในบางโหมดอาจทำให้สูญเสียเสถียรภาพและลักษณะของความผันผวนในตัวเองได้ ดังนั้นตามกฎแล้วเมื่อคำนวณระบบจะมีการเลือกการตอบรับภายในเครื่องดังกล่าวซึ่งจะมีเสถียรภาพเมื่อเปิดการตอบรับหลัก.

ปล่อยให้ลักษณะพหุนามด(น ) ระบบ open-loop มีม รากที่มีส่วนจริงบวก

แล้ว

ฟังก์ชั่นช่วยเหลือทดแทนพี  เจ  ตามหลักการโต้แย้งสำหรับระบบปิดที่เสถียรควรมีการเปลี่ยนแปลงข้อโต้แย้งที่

การกำหนดเกณฑ์หมายเลข 3

สูตรโดย Ya.Z. ซิปคินา

เกณฑ์ Nyquist สำหรับ LFC

หมายเหตุ: ลักษณะเฟสของ LFC ของระบบอะสแตติกเสริมด้วยส่วนโมโนโทนิก + /2 ที่  0.

ยั่งยืนอย่างแน่นอนพวกเขาเรียกระบบที่ยังคงมีเสถียรภาพสำหรับการลดอัตราขยายของวงจรเปิด มิฉะนั้น ระบบจะเสถียรตามเงื่อนไข

ระบบที่สามารถทำให้เสถียรได้โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์เรียกว่ามีโครงสร้างที่มั่นคงมิฉะนั้นโครงสร้างไม่เสถียร

อัตรากำไรขั้นต้นความมั่นคง

สำหรับการทำงานตามปกติ ACS ใด ๆ จะต้องถูกลบออกจากขอบเขตความเสถียรและมีระยะขอบของเสถียรภาพเพียงพอ ความจำเป็นนี้เกิดจากสาเหตุดังต่อไปนี้:

1. ตามกฎแล้วสมการขององค์ประกอบ ACS นั้นได้รับการทำให้เป็นอุดมคติ ปัจจัยรองจะไม่ถูกนำมาพิจารณาเมื่อทำการคอมไพล์
2. เมื่อสร้างสมการเชิงเส้น ข้อผิดพลาดในการประมาณจะเพิ่มขึ้นอีก
3. พารามิเตอร์ขององค์ประกอบถูกกำหนดโดยมีข้อผิดพลาดบางประการ
4. พารามิเตอร์ขององค์ประกอบประเภทเดียวกันมีความแปรผันทางเทคโนโลยี
5. ในระหว่างการดำเนินการ พารามิเตอร์ขององค์ประกอบจะเปลี่ยนไปตามอายุ

ในทางปฏิบัติการคำนวณทางวิศวกรรม การกำหนดส่วนต่างเสถียรภาพที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดจะขึ้นอยู่กับเกณฑ์ NYQVIST ขึ้นอยู่กับระยะห่างของ AFC ของระบบวงรอบเปิดจากจุดวิกฤติที่มีพิกัด (-1,เจ 0) ซึ่งประเมินโดยตัวบ่งชี้สองตัว ได้แก่ อัตราความเสถียรของเฟส และส่วนต่างเสถียรภาพในโมดูลัส (ในแอมพลิจูด)ชม.

เพื่อให้ ATS มี Stability Margin อย่างน้อยที่สุด และ ฮ ถ้า AFC ของวงจรเปิดเป็นไปตามเกณฑ์ความเสถียร ไม่ควรเข้าไปในส่วนของวงแหวนที่แรเงาในรูป 1 ที่ไหนชม ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

หากความเสถียรถูกกำหนดโดย LFC ของระบบที่มีความเสถียรแบบมีเงื่อนไข ดังนั้นต้องรับประกันความเสถียรขั้นต่ำ และ h จำเป็นเพื่อที่:

ก) สำหรับ ชั่วโมง  L  - ชั่วโมง ลักษณะเฟสความถี่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันθ > -180  +  หรือ θ< -180  -  , เช่น. ไม่ได้เข้าสู่พื้นที่แรเงา 1 ในรูป 2;

b) ที่ -180  +   θ  -180  -  ลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันล< - h или L >ชม. , เช่น. ไม่ได้เข้าไปในพื้นที่แรเงา 2" และ 2" ในรูปที่ 2

สำหรับระบบที่มีเสถียรภาพอย่างแน่นอน อัตรากำไรขั้นต้นของเสถียรภาพ และ h ถูกกำหนดดังแสดงในรูป 3:

1. ระยะขอบ

1. ระยะขอบโมดูโล h =- L (ω -π) โดยที่ ω -π ความถี่ที่ θ=-180˚ .

ค่าระยะขอบความมั่นคงที่ต้องการขึ้นอยู่กับระดับของ ATS และข้อกำหนดสำหรับคุณภาพของการควบคุม ประมาณว่าควรจะเป็น =30  60  และ ชั่วโมง =6  20dB.

อัตรากำไรขั้นต้นความเสถียรขั้นต่ำที่อนุญาตในแอมพลิจูดจะต้องไม่น้อยกว่า 6 dB (นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนของระบบลูปเปิดคือครึ่งหนึ่งของค่าวิกฤต) และในเฟสไม่น้อยกว่า 25 30  .

ความเสถียรของระบบพร้อมลิงค์หน่วงเวลาล้วนๆ

ถ้า AFC ของระบบ open-loop ผ่านจุด (-1,เจ 0) แสดงว่าระบบใกล้จะมีเสถียรภาพแล้ว

ระบบที่มีความล่าช้าล้วนๆ สามารถทำให้มีเสถียรภาพได้หากมีการเชื่อมต่อแบบไร้แรงเฉื่อยที่มีค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนน้อยกว่า 1 รวมอยู่ในวงจร นอกจากนี้ยังสามารถใช้อุปกรณ์แก้ไขประเภทอื่นๆ ได้อีกด้วย

ระบบที่มีความเสถียรทางโครงสร้างและระบบที่ไม่เสถียรทางโครงสร้าง

วิธีหนึ่งในการเปลี่ยนคุณภาพของระบบ (ในแง่ของความเสถียร) คือการเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนของระบบ open-loop

เมื่อ k L ( ) จะขึ้นหรือลง ถ้า k เพิ่มขึ้น, L ( ) เพิ่มขึ้น และ  เฉลี่ย จะเพิ่มขึ้นแต่ระบบจะยังคงไม่เสถียร ถ้าเค ลดลงก็จะทำให้ระบบมีเสถียรภาพได้ นี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ไขระบบ

ระบบที่สามารถทำให้มีเสถียรภาพโดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบเรียกว่าโครงสร้างที่ยั่งยืน

สำหรับระบบเหล่านี้ มีอัตราส่วนการถ่ายโอนแบบลูปเปิดที่สำคัญเค คริติคอล. นี่คือค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนเมื่อระบบใกล้จะมีเสถียรภาพ

มีระบบที่ไม่เสถียรทางโครงสร้าง - เป็นระบบที่ไม่สามารถทำให้เสถียรได้โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของระบบ แต่เพื่อความเสถียรจำเป็นต้องเปลี่ยนโครงสร้างของระบบ

ตัวอย่าง.

ลองพิจารณาสามกรณี:

1. อนุญาต

แล้ว

มาตรวจสอบการทำงานของระบบเพื่อความเสถียรกัน

Δ = ก 3 Δ 2 >0

เพื่อกำหนด k rs.cr. ลองเท่ากับศูนย์กัน 2 .

แล้ว

เมื่อไหร่

ระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นมีโครงสร้างที่เสถียร เนื่องจากสามารถทำให้เสถียรได้โดยการเปลี่ยนพารามิเตอร์ของลิงก์

1. ปล่อยให้พวกเขาเหมือนกับในกรณีแรก

ขณะนี้ไม่มีข้อผิดพลาดคงที่ในช่องควบคุม

เงื่อนไขความเสถียรของ Hurwitz:

ให้  2 =0 แล้วถ้าระบบไม่เสถียร

ระบบที่มีความไม่คงที่ลำดับที่ 1 นี้มีความเสถียรทางโครงสร้าง

1. อนุญาต

ระบบไม่เสถียรอยู่เสมอ ระบบนี้ไม่เสถียรทางโครงสร้าง

ความเสถียรของปืนอัตตาจร

ศูนย์และขั้วของฟังก์ชันถ่ายโอน

รากของพหุนามในตัวเศษของฟังก์ชันการถ่ายโอนเรียกว่า ศูนย์และรากของพหุนามในตัวส่วนคือ เสาฟังก์ชั่นการถ่ายโอน เสาในเวลาเดียวกัน รากของสมการคุณลักษณะ, หรือ หมายเลขลักษณะ.

ถ้ารากของตัวเศษและส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย (ในขณะที่รากของตัวเศษและส่วนอยู่ในระนาบครึ่งบน) ลิงก์นั้นจะถูกเรียก ขั้นต่ำเฟส.

ความสอดคล้องกับระนาบครึ่งซ้ายของราก รระนาบครึ่งบนของราก (รูปที่ 2.2.1) อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่า หรือ , เช่น. เวกเตอร์ได้มาจากเวกเตอร์โดยการหมุนเป็นมุมตามเข็มนาฬิกา ผลก็คือ เวกเตอร์ทั้งหมดจากระนาบครึ่งด้านซ้ายมายังเวกเตอร์ในระนาบครึ่งบน

เฟสไม่น้อยและลิงก์ไม่เสถียร

ลิงค์ของประเภทตำแหน่งและความแตกต่างที่พิจารณาข้างต้นเป็นของลิงค์ที่เสถียรหรือลิงค์ปรับระดับตัวเอง

ภายใต้ การปรับระดับด้วยตนเองหมายถึงความสามารถของลิงก์เพื่อให้ได้ค่าสถานะคงตัวใหม่โดยธรรมชาติโดยมีการเปลี่ยนแปลงค่าอินพุตหรืออิทธิพลที่รบกวนอย่างจำกัด โดยทั่วไปแล้ว คำว่าการจัดตำแหน่งตนเองจะใช้สำหรับลิงก์ที่อยู่ภายใต้ข้อบังคับ

มีลิงก์ที่การเปลี่ยนแปลงค่าอินพุตอย่างจำกัดไม่ทำให้ลิงก์มาถึงสถานะคงที่ใหม่และค่าเอาต์พุตมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดเมื่อเวลาผ่านไป ตัวอย่างเช่น ลิงก์เหล่านี้รวมลิงก์ประเภทการอินทิเกรต

มีลิงก์ที่กระบวนการนี้เด่นชัดยิ่งขึ้น สิ่งนี้อธิบายได้โดยการมีอยู่ของจำนวนจริงที่เป็นบวกหรือรากเชิงซ้อนโดยมีส่วนจำนวนจริงที่เป็นบวกในสมการลักษณะเฉพาะ (ตัวส่วนของฟังก์ชันการถ่ายโอนเท่ากับศูนย์) ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ลิงก์จะถูกจัดประเภทเป็น ลิงก์ที่ไม่เสถียร.

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของสมการเชิงอนุพันธ์ เรามีฟังก์ชันถ่ายโอน และสมการคุณลักษณะที่มีรากจริงที่เป็นบวก ลิงค์นี้มีลักษณะความถี่แอมพลิจูดเหมือนกับลิงค์เฉื่อยที่มีฟังก์ชันการถ่ายโอน แต่ลักษณะเฟสความถี่ของลิงค์เหล่านี้เหมือนกัน สำหรับลิงค์เฉื่อยที่เรามี . สำหรับลิงค์ที่มีฟังก์ชั่นการถ่ายโอนที่เรามี

เหล่านั้น. ค่าสัมบูรณ์ที่มากขึ้น

ทั้งนี้ลิงก์ที่ไม่เสถียรจะเป็นของกลุ่ม ไม่ใช่ลิงค์เฟสขั้นต่ำ.

ลิงก์แบบไม่มีเฟสขั้นต่ำยังรวมถึงลิงก์ที่เสถียรซึ่งมีรากที่เป็นบวกจริงหรือรากเชิงซ้อนที่มีส่วนจำนวนจริงบวกในตัวเศษของฟังก์ชันถ่ายโอน (ตรงกับด้านขวาของสมการเชิงอนุพันธ์)

ตัวอย่างเช่น ลิงก์ที่มีฟังก์ชันถ่ายโอน อยู่ในกลุ่มลิงก์เฟสแบบไม่ขั้นต่ำ โมดูลของฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่เกิดขึ้นพร้อมกับโมดูลของฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ของลิงค์ที่มีฟังก์ชันการถ่ายโอน . แต่การเปลี่ยนเฟสของลิงค์แรกจะมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า:

ลิงค์เฟสขั้นต่ำมีการเลื่อนเฟสน้อยกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับลิงค์ที่เกี่ยวข้องซึ่งมีลักษณะความถี่แอมพลิจูดเหมือนกัน

พวกเขาบอกว่าระบบ มั่นคงหรือมีการปรับระดับตัวเอง ถ้าหลังจากขจัดสัญญาณรบกวนภายนอกแล้ว กลับคืนสู่สภาพเดิม

เนื่องจากการเคลื่อนที่ของระบบในสถานะอิสระอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ คำนิยามทางคณิตศาสตร์ของระบบเสถียรจึงสามารถกำหนดได้ดังนี้

ระบบจะถูกเรียกว่าเสถียรแบบไม่แสดงสัญญาณหากเป็นไปตามเงื่อนไข (2.9.1)

จากการวิเคราะห์สารละลายทั่วไป (1.2.10) มีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเพื่อความเสถียรดังนี้

เพื่อความเสถียรของระบบ จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่รากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะจะต้องมีส่วนจริงที่เป็นลบอย่างเคร่งครัด เช่น ตัวแทน ฉัน , ฉัน = 1…n. (2.9.2)

เพื่อความชัดเจน รากของสมการลักษณะเฉพาะมักจะแสดงบนระนาบเชิงซ้อนในรูปที่ 2.9.1a เมื่อทำสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอแล้ว

รูปที่ 8.12. ระนาบราก

ลักษณะเฉพาะ

สมการ ก(พี) = 0

OU - ภูมิภาคความมั่นคง

เงื่อนไขที่สาม (2.9.2) คือรากทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้ายของแกนจินตภาพ กล่าวคือ ในด้านความยั่งยืน

ดังนั้นจึงสามารถกำหนดเงื่อนไข (2.9.2) ได้ดังนี้

เพื่อความมั่นคง รากทั้งหมดของสมการลักษณะเฉพาะทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งซ้ายมีความจำเป็นและเพียงพอ

คำจำกัดความทั่วไปที่เข้มงวดของความเสถียร วิธีการศึกษาความเสถียรของระบบไม่เชิงเส้น และความเป็นไปได้ในการขยายข้อสรุปเกี่ยวกับความเสถียรของระบบเชิงเส้นตรงไปยังระบบไม่เชิงเส้นดั้งเดิมได้รับจากนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย A.M. Lyapunov

ในทางปฏิบัติ ความเสถียรมักถูกกำหนดโดยอ้อม โดยใช้สิ่งที่เรียกว่าเกณฑ์ความเสถียรโดยไม่ต้องค้นหารากของสมการคุณลักษณะโดยตรง ซึ่งรวมถึงเกณฑ์พีชคณิต: เงื่อนไข Stodola, เกณฑ์ Hurwitz และ Mikhailov รวมถึงเกณฑ์ความถี่ Nyquist ในกรณีนี้ เกณฑ์ Nyquist ช่วยให้สามารถกำหนดความเสถียรของระบบวงปิดโดย AFC หรือโดยคุณลักษณะลอการิทึมของระบบวงเปิดเปิด

สภาพสโตโดลา

เงื่อนไขดังกล่าวได้รับโดย Stodola นักคณิตศาสตร์ชาวสโลวาเกียเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 เป็นเรื่องที่น่าสนใจจากมุมมองของระเบียบวิธีในการทำความเข้าใจเงื่อนไขความเสถียรของระบบ

ให้เราเขียนสมการคุณลักษณะของระบบในรูปแบบ

ง(พี) = ก 0 พี n + ก 1 พี ไม่มี 1 +…ก n = 0. (2.9.3)

ตามความเห็นของสโตดอล ความมั่นคงเป็นสิ่งจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ ก 0 > 0 ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ ทั้งหมดเป็นบวกอย่างเคร่งครัด เช่น

ก 1 > 0 ,..., ก n > 0.

ความจำเป็นสามารถเกิดขึ้นได้ดังนี้:

หากระบบมีเสถียรภาพ รากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะจะมี เช่น เป็นฝ่ายซ้าย

การพิสูจน์ความจำเป็นเป็นเรื่องเบื้องต้น ตามทฤษฎีบทของเบซูต์ พหุนามลักษณะเฉพาะสามารถแสดงได้เป็น

อนุญาต นั่นคือ เป็นจำนวนจริง และ – รากคอนจูเกตที่ซับซ้อน แล้ว

นี่แสดงให้เห็นว่าในกรณีของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง รากเชิงซ้อนจะเป็นคอนจูเกตแบบคู่ ยิ่งกว่านั้น ถ้า แล้วเราได้ผลคูณของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก ซึ่งให้ค่าพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวกเท่านั้น

ความล้มเหลวเงื่อนไขของ Stodola คือ เงื่อนไขไม่ได้รับประกันว่าทุกอย่าง สิ่งนี้สามารถเห็นได้ในตัวอย่างเฉพาะโดยการพิจารณาพหุนามของดีกรี

โปรดทราบว่าในกรณีที่เงื่อนไข Stodola มีความจำเป็นและเพียงพอ มันตามมาจาก.. ถ้า แล้ว และ เช่นนั้น

เนื่องจากจากการวิเคราะห์สูตรหารากของสมการกำลังสอง ความเพียงพอของเงื่อนไขก็จะตามมาด้วย

ผลที่ตามมาที่สำคัญสองประการตามมาจากอาการของสโตโดลา

1. หากตรงตามเงื่อนไขและระบบไม่เสถียร กระบวนการเปลี่ยนจะมีลักษณะผันผวน สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวกไม่สามารถมีรากที่เป็นบวกได้จริง ตามคำนิยาม รูตคือตัวเลขที่ทำให้พหุนามลักษณะเฉพาะหายไป ไม่มีจำนวนบวกใดที่สามารถหายไปจากพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก กล่าวคือ เป็นรากของมัน

2. ความเป็นบวกของสัมประสิทธิ์ของพหุนามลักษณะเฉพาะ (ตามลำดับ การปฏิบัติตามเงื่อนไข Stodola) จะมั่นใจได้ในกรณีของการตอบรับเชิงลบ เช่น ในกรณีที่มีการผกผันของสัญญาณเป็นจำนวนคี่ในวงปิด ในกรณีนี้คือพหุนามลักษณะเฉพาะ มิฉะนั้น และหลังจากนำสิ่งที่คล้ายกันมา ค่าสัมประสิทธิ์บางอย่างอาจกลายเป็นลบได้

โปรดทราบว่าผลตอบรับเชิงลบไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ของการไม่ปฏิบัติตามเงื่อนไข Stodola ตัวอย่างเช่น หาก , a แล้ว ในกรณีของการตอบรับเชิงลบเพียงครั้งเดียว ในพหุนามนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เท่ากับศูนย์ ไม่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบ แต่อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขไม่เป็นที่พอใจ เนื่องจากต้องมีการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด

นี่คือการยืนยันโดยตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 2.9.1. ใช้เงื่อนไข Stodola กับวงจรในรูป 2.9.2.

ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบป้อนกลับเชิงลบของหน่วยวงรอบเปิดจะเท่ากับ และสมการคุณลักษณะของระบบวงปิดคือผลรวมของตัวเศษและตัวส่วน กล่าวคือ

ง(พี) = หน้า 2 +เค 1 เค 2 = 0.

เนื่องจากไม่มีสมาชิกด้วย รในระดับแรก ( ก 1 = 0) ดังนั้น เงื่อนไขสโตโดลาไม่เป็นที่พอใจและระบบไม่เสถียร ระบบนี้ไม่เสถียรทางโครงสร้าง เนื่องจากไม่มีค่าพารามิเตอร์ เค 1 และ เค 2 ไม่สามารถยั่งยืนได้

เพื่อให้ระบบมีเสถียรภาพ คุณต้องแนะนำการเชื่อมต่อเพิ่มเติมหรือลิงก์แก้ไข เช่น เปลี่ยนโครงสร้างระบบ มาแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง ในรูป 2.9.3. ลิงค์ลูกโซ่โดยตรงแสดงด้วยลิงค์ที่เชื่อมต่อเป็นอนุกรมพร้อมฟังก์ชันถ่ายโอนและ ขนานไปกับการแนะนำครั้งแรกมีการเชื่อมต่อเพิ่มเติม

ป
ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบลูปเปิดบนการเชื่อมต่อลบหน่วยและสมการคุณลักษณะของระบบวงปิดจะเท่ากับตามลำดับ

,

ตอนนี้เงื่อนไขของ Stodola เป็นที่พอใจแล้วสำหรับสิ่งใดๆ . เนื่องจากในกรณีของสมการระดับที่สอง ไม่เพียงแต่จำเป็นเท่านั้น แต่ยังเพียงพอด้วย ระบบจึงมีความเสถียรสำหรับปัจจัยเกนบวกใดๆ

ในรูปที่ 2.9.4 มีการนำลิงค์บังคับตามลำดับเข้ามาในวงจร ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบการเชื่อมต่อเชิงลบเดี่ยววงจรเปิดในกรณีนี้จะเท่ากับ และสมการคุณลักษณะของระบบปิดมีค่าเท่ากับ

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ระบบมีความเสถียรสำหรับค่าบวกใดๆ

เกณฑ์เสถียรภาพของรุสส์-เฮอร์วิทซ์

นักคณิตศาสตร์ Rouss (อังกฤษ) และ Hurwitz (สวิตเซอร์แลนด์) พัฒนาเกณฑ์นี้ในเวลาเดียวกันโดยประมาณ ความแตกต่างอยู่ในอัลกอริธึมการคำนวณ เราจะมาทำความรู้จักกับเกณฑ์ในการกำหนดของ Hurwitz

ตามคำกล่าวของ Hurwitz เพื่อความมั่นคงมีความจำเป็นและเพียงพอเมื่อใด ก 0 > 0 ดีเทอร์มิแนนต์ของเฮอร์วิทซ์  =  nและผู้เยาว์ที่สำคัญทั้งหมด  1 ,  2 ,...,  n -1 เป็นบวกอย่างเคร่งครัด เช่น

(2.9.4)

โครงสร้างของดีเทอร์มิแนนต์ของ Hurwitz นั้นง่ายต่อการจดจำ เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นั้นอยู่ตามแนวเส้นทแยงมุมหลัก ก 1 ,… ,ก nเส้นต่างๆ มีค่าสัมประสิทธิ์คั่นด้วย 1 ถ้าหมดแล้ว พื้นที่ว่างจะเต็มไปด้วยศูนย์

ตัวอย่าง 2.9.2. เพื่อศึกษาความเสถียรของ Hurwitz ระบบที่มีการป้อนกลับเชิงลบเป็นหน่วย ในสายโซ่ตรงซึ่งมีจุดเชื่อมต่อเฉื่อยสามจุดรวมอยู่ด้วย ดังนั้น ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบลูปเปิดจึงมีรูปแบบ (2.9.5)

ให้เราเขียนสมการคุณลักษณะของระบบปิดเป็นผลรวมของทั้งเศษและส่วน (2.9.5):

เพราะฉะนั้น,

ดีเทอร์มิแนนต์ของเฮอร์วิทซ์และผู้เยาว์มีรูปแบบ

โดยคำนึงถึง ก 0 > 0 ค่าบวกที่เข้มงวดของปัจจัยกำหนด Hurwitz และผู้เยาว์ (2.9.6) แสดงถึงสภาวะ Stodola และนอกจากนี้ สภาวะดังกล่าว ก 1 ก 2 - ก 0 ก 3 > 0 ซึ่งหลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์แล้ว

(ท 1 ต 2 + ต 1 ต 3 +ต 2 ต 3 )(ท 1 +ต 2 +ต 3 ) > ต 1 ต 2 ต 3 (1+ เค) . (2.9.7)

จากนี้จะเห็นได้ว่ามีเพิ่มมากขึ้น เคระบบสามารถเปลี่ยนจากเสถียรเป็นไม่เสถียร เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน (2.9.7) ไม่เป็นที่น่าพอใจ

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบโดยข้อผิดพลาดมีค่าเท่ากับ

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสุดท้ายของต้นฉบับ ข้อผิดพลาดในสภาวะคงตัวในการประมวลผลสัญญาณขั้นเดียวจะเท่ากับ 1/(1+ เค). ผลที่ตามมาคือความขัดแย้งระหว่างความเสถียรและความแม่นยำถูกเปิดเผย เพื่อลดข้อผิดพลาด คุณต้องเพิ่ม เคแต่สิ่งนี้นำไปสู่การสูญเสียความมั่นคง

หลักการโต้แย้งและเกณฑ์เสถียรภาพของมิคาอิลอฟ

เกณฑ์ของมิคาอิลอฟนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรียกว่าหลักการโต้แย้ง

ให้เราพิจารณาพหุนามลักษณะเฉพาะของระบบวงปิด ซึ่งตามทฤษฎีบทของ Bezout สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

ง(พี) = ก 0 พี n + ก 1 พี ไม่มี 1 +…+ก n = ก 0 (ป - ป 1 )…(น - น n ).

มาทำการทดแทนกันเถอะ พี = เจ

ดี(เจ ) = ก 0 (เจ ) n + ก 1 (เจ ) ไม่มี 1 +…+ก n = ก 0 (เจ -พี 1 )…(จ -พี n ) = เอ็กซ์( )+จย( ).

สำหรับค่าเฉพาะ  มีจุดบนระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดโดยสมการพาราเมตริก

อี
ถ้ามีการเปลี่ยนแปลง  ในช่วงตั้งแต่ - ถึง  จากนั้นเส้นโค้งมิคาอิลอฟ เช่น โฮโดกราฟ จะถูกวาดขึ้นมา มาศึกษาการหมุนของเวกเตอร์กัน ดี(เจ ) เมื่อมันเปลี่ยนไป  จาก - ถึง  เช่น เราค้นหาการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ (อาร์กิวเมนต์เท่ากับผลรวมของผลคูณของเวกเตอร์): .

ที่  = -  เวกเตอร์ผลต่าง ซึ่งมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด ร i และปลายของแกนจินตภาพจะชี้ลงในแนวตั้งลงในแนวดิ่ง ในขณะที่คุณเติบโต  จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เลื่อนไปตามแกนจินตภาพ และเมื่อใด  =  เวกเตอร์ชี้ขึ้นในแนวตั้งขึ้นไป หากเหลือราก (รูปที่ 2.9.19a) แสดงว่า  หาเรื่อง = + , และถ้ารูตถูกต้องล่ะก็  หาเรื่อง = - .

ถ้าสมการคุณลักษณะมี มรากที่ถูกต้อง (ตามลำดับ น - มซ้าย) จากนั้น .

นี่คือหลักการของการโต้แย้ง เมื่อเลือกส่วนจริงแล้ว เอ็กซ์( ) และจินตนาการ ใช่( ) เราถือว่า เอ็กซ์( ) เงื่อนไขทั้งหมดที่มี เจ ในระดับที่เท่ากันและถึง ใช่( ) - ในระดับคี่ ดังนั้น เส้นโค้งมิคาอิลอฟจึงสมมาตรกับแกนจริง ( เอ็กซ์( ) - สม่ำเสมอ, ใช่( ) – ฟังก์ชั่นคี่) ส่งผลให้ถ้าคุณเปลี่ยน  จาก 0 ถึง + ดังนั้นการเพิ่มอาร์กิวเมนต์จะมีขนาดใหญ่เพียงครึ่งหนึ่ง ในเรื่องนี้ในที่สุด หลักการโต้แย้งมีการกำหนดไว้ดังนี้ . (2.9.29)

หากระบบมีเสถียรภาพเช่น ม= 0 จากนั้นเราจะได้เกณฑ์เสถียรภาพของมิคาอิลอฟ

ตามที่มิคาอิลอฟกล่าวว่าเพื่อความมั่นคงมีความจำเป็นและเพียงพอ

, (2.9.30)

นั่นคือเส้นโค้งมิคาอิลอฟจะต้องผ่านไปอย่างต่อเนื่อง n

เห็นได้ชัดว่าในการใช้เกณฑ์ Mikhailov ไม่จำเป็นต้องมีการสร้างเส้นโค้งที่แม่นยำและละเอียด สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดว่าจะไปรอบๆ จุดกำเนิดของพิกัดอย่างไร และลำดับของข้อความถูกละเมิดหรือไม่ nไตรมาสทวนเข็มนาฬิกา

ตัวอย่าง 2.9.6. ใช้เกณฑ์ Mikhailov เพื่อตรวจสอบความเสถียรของระบบที่แสดงในรูปที่ 2.9.20

พหุนามลักษณะเฉพาะของระบบวงปิดที่ เค 1 เค 2 > 0 สอดคล้องกับระบบที่เสถียร ดังนั้นจึงเป็นไปตามเงื่อนไข Stodola และสำหรับ n = 1 ก็เพียงพอแล้ว คุณสามารถค้นหารากได้โดยตรง ร 1 = - เค 1 เค 2 และตรวจสอบให้แน่ใจว่าเป็นไปตามเงื่อนไขความเสถียรที่จำเป็นและเพียงพอ ดังนั้นการประยุกต์ใช้เกณฑ์ของ Mikhailov จึงเป็นตัวอย่าง เชื่อ พี= เจ , เราได้รับ

ดี(เจ ) = เอ็กซ์( )+ เจวาย( ),

ที่ไหน เอ็กซ์( ) = ; ย( ) =  . (2.9.31)

การใช้สมการพาราเมตริก (2.9.31) การสร้าง Hodograph ของ Mikhailov ถูกสร้างขึ้นในรูปที่ 2.9.21 ซึ่งชัดเจนว่าเมื่อมีการเปลี่ยนแปลง  เวกเตอร์ 0 ถึง  ดี(เจ ) หมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วย +  /2 เช่น ระบบมีเสถียรภาพ

เกณฑ์ความมั่นคงของ Nyquist

ถึง ตามที่ระบุไว้แล้ว เกณฑ์ Nyquist ครองตำแหน่งพิเศษท่ามกลางเกณฑ์ความมั่นคง นี่คือเกณฑ์ความถี่ที่ช่วยให้คุณกำหนดเสถียรภาพของระบบวงปิดโดยพิจารณาจากลักษณะความถี่ของระบบวงรอบเปิด ในกรณีนี้ สันนิษฐานว่าระบบเปิดอยู่ในวงจรป้อนกลับเชิงลบเดี่ยว (รูปที่ 2.9.22)

ข้อดีประการหนึ่งของเกณฑ์ Nyquist คือสามารถทดลองลักษณะความถี่ของระบบลูปเปิดได้

ที่มาของเกณฑ์จะขึ้นอยู่กับการใช้หลักการโต้แย้ง ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบ open-loop (ผ่านวงจรป้อนกลับเชิงลบเดี่ยวในรูปที่ 2.9.22) เท่ากับ

ลองพิจารณาดู (2.9.32)

ในกรณีของระบบจริงที่มีแบนด์วิธจำกัด ระดับของตัวหารของฟังก์ชันการถ่ายโอนแบบลูปเปิด ปมากกว่ากำลังของตัวเศษคือ n> . ดังนั้น องศาของพหุนามลักษณะเฉพาะของระบบลูปเปิดและระบบลูปปิดจึงเท่ากันและเท่ากัน n. การเปลี่ยนจาก AFC ของระบบ open-loop ไปเป็น AFC ตาม (2.9.32) หมายถึงการเพิ่มขึ้นของส่วนจริง 1 เช่น ย้ายจุดกำเนิดของพิกัดไปยังจุด (-1, 0) ดังแสดงในรูปที่ 2.9.23

ตอนนี้ให้เราสมมติว่าระบบวงปิดมีความเสถียร และสมการคุณลักษณะของระบบวงรอบเปิดคือ ก(พี) = 0 มี มรากที่ถูกต้อง จากนั้นตามหลักการโต้แย้ง (2.9.29) เราได้รับเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเสถียรของระบบวงปิดตาม Nyquist

เหล่านั้น. เพื่อความเสถียรของเวกเตอร์ระบบวงปิด ว 1 (เจ ) ต้องทำ ม/2 หมุนทวนเข็มนาฬิกาจนครบ ซึ่งเทียบเท่ากับการหมุนเวกเตอร์ วพ่อz (เจ ) สัมพันธ์กับจุดวิกฤติ (-1.0)

ในทางปฏิบัติแล้ว ตามกฎแล้ว ระบบ open-loop มีความเสถียร เช่น ม= 0 ในกรณีนี้ การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะเป็นศูนย์ นั่นคือ AFC ของระบบ open-loop ไม่ควรครอบคลุมจุดวิกฤติ (-1.0)

เกณฑ์ Nyquist สำหรับ LAC และ LFC

ในทางปฏิบัติ คุณลักษณะลอการิทึมของระบบลูปเปิดมักถูกใช้บ่อยกว่า ดังนั้นจึงแนะนำให้กำหนดเกณฑ์ Nyquist เพื่อกำหนดความเสถียรของระบบวงปิดตามเกณฑ์เหล่านั้น จำนวนรอบของ AFC ที่สัมพันธ์กับจุดวิกฤติ (-1.0) และครอบคลุมหรือไม่

ขึ้นอยู่กับจำนวนจุดตัดบวกและลบของช่วง (-,-1) ของแกนจริง และดังนั้น จุดตัดของเส้น -180° ตามลักษณะเฟสในภูมิภาค ล( )  0 . รูปที่ 2.9.24 แสดง AFC และแสดงสัญญาณทางตัดกันของส่วน (-,-1) ของแกนจริง

กฎเกณฑ์ที่ยุติธรรม

โดยที่จำนวนทางแยกบวกและลบคือ

จาก AFC ในรูปที่ 2.9.24c LAC และ LFC ถูกสร้างขึ้น ดังแสดงในรูปที่ 2.9.25 และมีเครื่องหมายทางแยกบวกและลบบน LFC ในส่วน (-,-1) โมดูลจะมีค่ามากกว่าหนึ่งซึ่งสอดคล้องกับ ล( ) > 0. ดังนั้นเกณฑ์ Nyquist:

ดี เพื่อความมั่นคงของระบบวงปิด LFC ของระบบวงเปิดในภูมิภาคที่ ล( ) > 0 ควรมีจุดตัดที่เป็นบวกของเส้น -180° มากกว่าจุดตัดที่เป็นลบ

หากระบบวงรอบเปิดมีเสถียรภาพ จำนวนจุดตัดบวกและลบของเส้น -180° ตามคุณลักษณะเฟสในภูมิภาค ล( ) > 0 เพื่อความเสถียรของระบบวงปิดควรเท่ากันหรือไม่ควรมีจุดตัดกัน

เกณฑ์ Nyquist สำหรับระบบที่ไม่คงที่

จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องพิจารณากรณีของระบบการสั่งซื้อที่ไม่คงที่ รโดยมีฟังก์ชันการถ่ายโอนระบบ open-loop เท่ากับ

.

ในกรณีนี้ ที่ 0 นั่นคือ คุณลักษณะเฟสแอมพลิจูด (APC) ของระบบลูปเปิดจะไปถึงค่าอนันต์ ก่อนหน้านี้ เราสร้าง AFH เมื่อมีการเปลี่ยนแปลง  จาก - ถึง  และมันเป็นเส้นโค้งต่อเนื่อง ปิดที่  =  0 ตอนนี้ปิดเวลาเช่นกัน  = 0 แต่ที่อนันต์และไม่ชัดเจนว่าด้านใดของแกนจริง (ที่อนันต์ด้านซ้ายหรือด้านขวา?)

รูปที่ 2.9.19c แสดงให้เห็นว่าในกรณีนี้ มีความไม่แน่นอนในการคำนวณการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ของเวกเตอร์ผลต่าง ตอนนี้มันตั้งอยู่ตามแกนจินตภาพเสมอ (ตรงกับ เจ ). เฉพาะเมื่อข้ามศูนย์เท่านั้นที่ทิศทางจะเปลี่ยน (ในกรณีนี้ เวกเตอร์จะหมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วย  หรือตามเข็มนาฬิกาด้วย -?) เพื่อความแน่นอน เราถือว่าตามอัตภาพว่ารากถูกทิ้งไว้และการปัดเศษของจุดกำเนิดเกิดขึ้นตามแนวโค้งที่มีรัศมีเล็กสุดทวนเข็มนาฬิกา (หมุนด้วย +  ). ตามบริเวณใกล้เคียง  = 0 จะแสดงในรูปแบบ

,

ที่ไหน  = +  เมื่อมันเปลี่ยนไป  จาก – 0 ถึง + 0 คำพูดสุดท้ายเผยว่าเอเอฟซีพลิกผันด้วยความไม่แน่นอนดังกล่าว  จาก – 0 ถึง + 0 ต่อมุม - ตามเข็มนาฬิกา AFC ที่สร้างขึ้นตามลำดับจะต้องเป็น  = 0 เสริมด้วยส่วนโค้งของรัศมีอนันต์ที่มุมหนึ่ง กล่าวคือ ทวนเข็มนาฬิกาถึงครึ่งแกนจริงที่เป็นบวก

อัตรากำไรขั้นต้นเสถียรภาพตามโมดูลัสและเฟส

เพื่อรับประกันความเสถียรเมื่อพารามิเตอร์ของระบบเปลี่ยนแปลง ระยะขอบความเสถียรจะถูกเพิ่มเป็นโมดูลัสและเฟส ซึ่งกำหนดดังนี้

โมดูโลระยะขอบเสถียรภาพแสดงจำนวนครั้งหรือกี่เดซิเบลที่อนุญาตให้เพิ่มหรือลดเกนเพื่อให้ระบบมีเสถียรภาพ (อยู่ในขีดจำกัดความเสถียร) มันถูกกำหนดให้เป็น min( ล 3 , ล 4) ในรูปที่ 2.9.25 แท้จริงแล้ว ถ้าคุณไม่เปลี่ยนสโมสรลิเวอร์พูล เมื่อนั้นสโมสรจะผงาดขึ้นมา ล 4 ความถี่ตัด  cp จะเคลื่อนที่ไปยังจุดนั้น  4 และระบบจะอยู่ในขอบเขตของความมั่นคง หากคุณลด LAX เป็น ล 3 จากนั้นความถี่คัตออฟจะเลื่อนไปทางซ้ายถึงจุดนั้น  3และระบบจะอยู่ในขอบเขตความเสถียรด้วย ถ้าเราลด LAX ยิ่งต่ำลงแล้วในภูมิภาคนี้ ล( ) > 0 จะยังคงอยู่เพียงจุดตัดลบของเส้น LFC -180° เช่น ตามเกณฑ์ของ Nyquist ระบบจะไม่เสถียร

อัตราความเสถียรของเฟสแสดงจำนวนที่อนุญาตให้เพิ่มการเปลี่ยนเฟสด้วยอัตราขยายคงที่เพื่อให้ระบบยังคงมีเสถียรภาพ (อยู่บนขอบเขตความเสถียร) มันถูกกำหนดให้เป็นส่วนเสริม  ( cf) สูงถึง -180°

ในการฝึกฝน ล  12-20 เดซิเบล,   20-30°.