ความเร็วเป็นอนุพันธ์ อนุพันธ์ในวิชาฟิสิกส์ อนุพันธ์ของระยะทางเทียบกับเวลา

อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลาคือความเร็ว x"(t)=v(t) ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลาหรืออนุพันธ์อันดับสองของพิกัดเทียบกับเวลาคือการเร่งความเร็ว ก(เสื้อ)=วี "(เสื้อ)=x""(เสื้อ)

จุดเคลื่อนที่ไปตามเส้นพิกัดตามกฎ x(t)= t²+t+2 โดยที่ x(t) คือพิกัดของจุด ณ เวลา t (เวลาวัดเป็นวินาที ระยะทางเป็นเมตร) ความเร็วของจุดนั้นจะอยู่ที่จุดใดในเวลาใด วิธีแก้: ความเร็วของจุด ณ เวลา t คืออนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา เนื่องจาก v(t) = x"(t) = 2t+1 และ v = 5 m/s แล้ว 2t +1= 5 t=2 คำตอบ: 2

เมื่อเบรก มู่เล่จะหมุนเป็นมุม φ (t) = 6 t- t² เรเดียน ใน t วินาที จงหาความเร็วเชิงมุม ω ของการหมุนของมู่เล่ ณ เวลา t=1s (φ (t) - มุมเป็นเรเดียน ω (t) - ความเร็วเป็น rad/s t - เวลาเป็นวินาที) วิธีแก้: ω (t) = φ "(t) ω (t) = 6 – 2t t = 1 s. ω (1) = 6 – 2 × 1 = 4 rad/s คำตอบ:4.

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ความเร็วของมัน v(t) ตามกฎ v(t)=15+8 t -3t² (t คือ เวลาการเคลื่อนที่ของร่างกายเป็นวินาที) ความเร่งจะเป็นเท่าใด ร่างกาย (เป็นเมตร/วินาที²) หนึ่งวินาทีหลังจากเริ่มเคลื่อนไหว? วิธีแก้: v(t)=15+8t-3t² a(t)=v"(t) a(t)=8-6t t=1 a(1)=2 m/s² คำตอบ: 2.

การประยุกต์อนุพันธ์ในปัญหาทางกายภาพ ประจุที่ผ่านหน้าตัดของตัวนำคำนวณโดยสูตร q(t)=2t 2 -5t ค้นหาความแรงของกระแสที่ t=5c วิธีแก้: i(t)=q"(t) i(t)=4t-5 t=5 i(5)=15 A. คำตอบ:15.

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ระยะทาง s(t) จากจุดเริ่มต้น M จะเปลี่ยนไปตามกฎ s(t)=t 4 -4t 3 -12t +8 (t คือเวลาเป็นวินาที) ความเร่งของร่างกาย (เป็น m/s 2) หลังจาก 3 วินาทีจะเป็นเท่าใด? สารละลาย. a(t)=v "(t)=s""(t) ลองหา v(t)=s"(t)=(t 4 -4t 3 -12t +8)" =4t 3 -12t a( t )=v "(t)= s""(t)= (4t 3 -12t 2 -12)" =12t 2 -24t, a(3)=12× ×3=108-72=36m/s 2 . คำตอบ: 36.

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกลุ่มของปัญหาในการแก้ปัญหาซึ่งต้องใช้ความรู้และความเข้าใจในความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีปัญหาคือให้กฎการเคลื่อนที่ของจุด (วัตถุ) จุดใดจุดหนึ่งแสดงเป็นสมการ และจำเป็นต้องค้นหาความเร็ว ณ จุดใดจุดหนึ่งในช่วงเวลาของการเคลื่อนที่หรือเวลาหลังจากนั้นวัตถุ จะได้รับความเร็วที่กำหนดงานนั้นง่ายมากสามารถแก้ไขได้ในการดำเนินการเดียว ดังนั้น:

ให้กฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ x (t) ตามแนวแกนพิกัด โดยที่ x คือพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ t คือเวลา

ความเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา นี่คือความหมายเชิงกลของอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา:

ดังนั้นความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์คือความเร็ว นี่อาจเป็นความเร็วของการเคลื่อนไหว อัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการ (เช่น การเจริญเติบโตของแบคทีเรีย) ความเร็วของการทำงาน (และอื่นๆ มีปัญหาที่ประยุกต์ใช้มากมาย)

นอกจากนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ตารางอนุพันธ์ (คุณต้องรู้เช่นเดียวกับตารางสูตรคูณ) และกฎการแยกส่วน โดยเฉพาะในการแก้ปัญหาที่ระบุ จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์หกตัวแรก (ดูตาราง):

พิจารณางาน:

x (เสื้อ) = เสื้อ 2 – 7t – 20

โดยที่ x t คือเวลาเป็นวินาทีที่วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 5 วินาที

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์คือความเร็ว (ความเร็วของการเคลื่อนที่ อัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการ ความเร็วของงาน ฯลฯ)

มาดูกฎของการเปลี่ยนแปลงความเร็วกัน: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s

ที่ t = 5 เรามี:

คำตอบ: 3

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = 6t 2 – 48t + 17 โดยที่ x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 9 วินาที

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t โดยที่ xที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 6 วินาที

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

ที่ไหน x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตรที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 3 วินาที

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 6 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)

มาดูกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วกัน:

เพื่อที่จะค้นหาในช่วงเวลาใดทีความเร็วคือ 3 m/s จำเป็นต้องแก้สมการ:

คำตอบ: 3

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = t 2 – 13t + 23 โดยที่ x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 3 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)

จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย

x (t) = (1/3) เสื้อ 3 – 3t 2 – 5t + 3

ที่ไหน x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 2 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)

ฉันต้องการทราบว่าคุณไม่ควรมุ่งเน้นเฉพาะงานประเภทนี้ในการสอบ Unified State พวกเขาอาจแนะนำปัญหาที่ตรงกันข้ามกับที่นำเสนอโดยไม่คาดคิดโดยสิ้นเชิง เมื่อให้กฎการเปลี่ยนแปลงความเร็วมาและคำถามจะเกี่ยวกับการค้นหากฎการเคลื่อนที่

คำแนะนำ: ในกรณีนี้ คุณต้องค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันความเร็ว (นี่เป็นปัญหาขั้นตอนเดียวด้วย) หากคุณต้องการค้นหาระยะทางที่เดินทาง ณ จุดหนึ่งของเวลา คุณต้องแทนเวลาลงในสมการผลลัพธ์และคำนวณระยะทาง อย่างไรก็ตาม เราจะวิเคราะห์ปัญหาดังกล่าวด้วย อย่าพลาด!ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

พีชคณิตเป็นคนใจกว้าง เธอมักจะให้มากกว่าสิ่งที่เธอขอ

เจ. ดาล็องแบร์

การเชื่อมโยงแบบสหวิทยาการเป็นเงื่อนไขการสอนและเป็นช่องทางในการเรียนรู้พื้นฐานวิทยาศาสตร์ที่โรงเรียนอย่างลึกซึ้งและครอบคลุม
นอกจากนี้ ยังช่วยพัฒนาความรู้ทางวิทยาศาสตร์ของนักเรียน, พัฒนาการคิดเชิงตรรกะและความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียน การใช้การเชื่อมต่อแบบสหวิทยาการช่วยลดความซ้ำซ้อนในการศึกษาเนื้อหา ช่วยประหยัดเวลา และสร้างเงื่อนไขที่เอื้ออำนวยต่อการพัฒนาทักษะการศึกษาทั่วไปของนักเรียน
การสร้างความสัมพันธ์แบบสหวิทยาการในหลักสูตรฟิสิกส์จะเพิ่มประสิทธิภาพของการฝึกอบรมโพลีเทคนิคและภาคปฏิบัติ
ด้านแรงจูงใจมีความสำคัญมากในการสอนคณิตศาสตร์ นักเรียนจะรับรู้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้นหากเกิดขึ้นเหมือนต่อหน้าต่อตา และคิดขึ้นหลังจากพิจารณาปรากฏการณ์ทางกายภาพหรือปัญหาทางเทคนิคบางประการแล้ว
ไม่ว่าครูจะพูดถึงบทบาทของการปฏิบัติต่อความก้าวหน้าของคณิตศาสตร์และความสำคัญของคณิตศาสตร์ในการศึกษาฟิสิกส์และการพัฒนาเทคโนโลยีมากแค่ไหนถ้าเขาไม่แสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์มีอิทธิพลต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์อย่างไรและคณิตศาสตร์ช่วยในการฝึกฝนอย่างไร ในการแก้ปัญหาแล้วการพัฒนาโลกทัศน์เชิงวัตถุจะได้รับความเสียหายอย่างร้ายแรง แต่เพื่อที่จะแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ช่วยในการแก้ปัญหาได้อย่างไร เราต้องการปัญหาที่ไม่ได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อวัตถุประสงค์ด้านระเบียบวิธี แต่จริงๆ แล้วเกิดขึ้นในกิจกรรมต่างๆ ของมนุษย์ในทางปฏิบัติ

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ถูกสร้างขึ้นโดยนิวตันและไลบ์นิซเมื่อปลายศตวรรษที่ 17 โดยอาศัยปัญหาสองประการ:

• เกี่ยวกับการค้นหาเส้นสัมผัสกันของเส้นใดก็ได้
• ในการค้นหาความเร็วภายใต้กฎการเคลื่อนที่ตามอำเภอใจ

ก่อนหน้านี้แนวคิดของอนุพันธ์ถูกพบในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Nicolo Tartaglia (ประมาณปี 1500 - 1557) - แทนเจนต์ปรากฏที่นี่ในระหว่างการศึกษาปัญหามุมเอียงของปืนซึ่งมีช่วงที่ยิ่งใหญ่ที่สุด มั่นใจของกระสุนปืน

ในศตวรรษที่ 17 ตามคำสอนของ G. Galileo เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ แนวคิดเกี่ยวกับจลนศาสตร์ของอนุพันธ์ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขัน

นักวิทยาศาสตร์ชื่อดังกาลิเลโอกาลิเลอีอุทิศบทความทั้งหมดเกี่ยวกับบทบาทของอนุพันธ์ในวิชาคณิตศาสตร์ เริ่มพบการนำเสนอต่างๆ ในงานของ Descartes นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Roberval และนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ L. Gregory L'Hopital, Bernoulli, Lagrange, Euler และ Gauss มีส่วนช่วยอย่างมากในการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

การประยุกต์อนุพันธ์บางประการในวิชาฟิสิกส์

อนุพันธ์- แนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และการกำหนดลักษณะเฉพาะ อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน.

มุ่งมั่นเนื่องจากขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ หากมีขีดจำกัดดังกล่าวอยู่

ดังนั้น,

ดังนั้น ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x)ตรงจุด x 0ตามคำจำกัดความ คุณต้องการ:

ให้เราพิจารณาปัญหาทางกายภาพหลายประการที่ใช้โครงร่างนี้

ปัญหาความเร็วชั่วขณะ ความหมายทางกลของอนุพันธ์

ให้เราระลึกว่าความเร็วของการเคลื่อนไหวถูกกำหนดอย่างไร จุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามเส้นพิกัด พิกัด x ของจุดนี้คือฟังก์ชันที่ทราบ เอ็กซ์(ที)เวลา ทีตลอดระยะเวลาตั้งแต่ เสื้อ 0ก่อน เสื้อ 0+ การกระจัดของจุดคือ x(เสื้อ 0 + ) – x(เสื้อ 0) –และความเร็วเฉลี่ยคือ: .
โดยปกติแล้วลักษณะของการเคลื่อนไหวจะเป็นเช่นนั้นด้วยค่าที่น้อย ความเร็วเฉลี่ยจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ กล่าวคือ การเคลื่อนไหวถือได้ว่ามีความสม่ำเสมอและมีความแม่นยำสูง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าของความเร็วเฉลี่ยที่ มีแนวโน้มที่จะเป็นค่าที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ซึ่งเรียกว่า ความเร็วชั่วขณะ โวลต์(เสื้อ 0)ชี้วัตถุ ณ ขณะหนึ่ง เสื้อ 0.

ดังนั้น,

แต่ตามคำนิยาม
ดังนั้นจึงเชื่อกันว่าความเร็วชั่วขณะในขณะนั้น เสื้อ 0

เมื่อใช้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราพบว่าอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลาคือความเร่ง กล่าวคือ

ปัญหาความจุความร้อนของร่างกาย

เพื่อให้อุณหภูมิของร่างกายที่มีน้ำหนัก 1 กรัม เพิ่มขึ้นจาก 0 องศาเป็น ทีองศา ร่างกายต้องได้รับความร้อนในระดับหนึ่ง ถาม. วิธี, ถามมีฟังก์ชั่นอุณหภูมิ ทีซึ่งร่างกายได้รับความร้อน: Q = Q(t) ปล่อยให้อุณหภูมิร่างกายสูงขึ้นจาก เสื้อ 0ก่อน ทีปริมาณความร้อนที่ใช้ไปในการทำความร้อนนี้เท่ากับ อัตราส่วนคือปริมาณความร้อนที่ต้องใช้โดยเฉลี่ยในการทำให้ร่างกายอบอุ่นขึ้น 1 องศา เมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนแปลงไป องศา อัตราส่วนนี้เรียกว่าความจุความร้อนเฉลี่ยของวัตถุที่กำหนดและแสดงไว้ ตั้งแต่วันพุธ.
เพราะ ความจุความร้อนเฉลี่ยไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความจุความร้อนสำหรับอุณหภูมิใด ๆ T จากนั้นจึงนำแนวคิดเรื่องความจุความร้อนที่อุณหภูมิที่กำหนดมาใช้ เสื้อ 0(ณ จุดนี้ เสื้อ 0).
ความจุความร้อนที่อุณหภูมิ เสื้อ 0(ณ จุดที่กำหนด) เรียกว่า ขีดจำกัด

ปัญหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่ง

ลองพิจารณาแท่งที่ไม่สม่ำเสมอ

สำหรับไม้เรียวดังกล่าว คำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของมวลขึ้นอยู่กับความยาวของมัน

ความหนาแน่นเชิงเส้นเฉลี่ย มวลของไม้วัดเป็นฟังก์ชันของความยาว เอ็กซ์.

ดังนั้น ความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่สม่ำเสมอ ณ จุดที่กำหนดจึงถูกกำหนดดังนี้:

เมื่อพิจารณาถึงปัญหาที่คล้ายคลึงกัน เราสามารถได้ข้อสรุปที่คล้ายคลึงกันสำหรับกระบวนการทางกายภาพหลายอย่าง บางส่วนแสดงอยู่ในตาราง

การทำงาน	สูตร	บทสรุป
ม.(t) – การพึ่งพามวลเชื้อเพลิงที่บริโภคตรงเวลา		อนุพันธ์ มวลชนเมื่อเวลาผ่านไปมี ความเร็วการบริโภคน้ำมันเชื้อเพลิง.
T(t) – ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของตัวทำความร้อนตรงเวลา		อนุพันธ์ อุณหภูมิเมื่อเวลาผ่านไปมี ความเร็วความร้อนของร่างกาย
ม.(t) – การพึ่งพามวลระหว่างการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีตรงเวลา		อนุพันธ์ มวลของสารกัมมันตภาพรังสีเมื่อเวลาผ่านไปมี ความเร็วการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี.
q(t) – ขึ้นอยู่กับปริมาณไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวนำตรงเวลา		อนุพันธ์ ปริมาณไฟฟ้าในช่วงเวลาหนึ่งมี ความแรงในปัจจุบัน.
A(t) – การขึ้นอยู่กับงานตรงเวลา		อนุพันธ์ ทำงานตรงเวลามี พลัง.

งานภาคปฏิบัติ:

กระสุนปืนที่ยิงจากปืนใหญ่เคลื่อนที่ตามกฎ x(t) = – 4t 2 + 13t (m) จงหาความเร็วของกระสุนปืนเมื่อสิ้นสุด 3 วินาที

ปริมาณไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวนำเริ่มต้นที่เวลา t = 0 s หาได้จากสูตร q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Kul) ค้นหาความแรงของกระแสที่จุดสิ้นสุดของวินาทีที่ห้า

ปริมาณความร้อน Q (J) ที่ต้องใช้ในการทำความร้อนน้ำ 1 กิโลกรัมจาก 0 o ถึง t o C ถูกกำหนดโดยสูตร Q(t) = t + 0.00002t 2 + 0.0000003t 3 คำนวณความจุความร้อนของน้ำถ้า t = 100 o

ร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t) = 3 + 2t + t 2 (m) กำหนดความเร็วและความเร่งในเวลา 1 วินาทีและ 3 วินาที

จงหาขนาดของแรง F ที่กระทำต่อจุดมวล m โดยเคลื่อนที่ตามกฎ x(t) = t 2 – 4t 4 (m) ที่ t = 3 s

วัตถุที่มีมวล m = 0.5 กก. เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t) = 2t 2 + t – 3 (m) ค้นหาพลังงานจลน์ของร่างกาย 7 วินาทีหลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว

บทสรุป

เราสามารถชี้ให้เห็นปัญหาทางเทคนิคอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับการแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องด้วย
ตัวอย่างเช่น การค้นหาความเร็วเชิงมุมของวัตถุที่กำลังหมุน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงเส้นของการขยายตัวของวัตถุเมื่อถูกความร้อน อัตราของปฏิกิริยาเคมีในเวลาที่กำหนด
เนื่องจากปัญหามากมายที่นำไปสู่การคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันหรืออีกนัยหนึ่งคือการคำนวณขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อแนวโน้มหลัง ถึงศูนย์จำเป็นต้องแยกขีด จำกัด ดังกล่าวสำหรับฟังก์ชันตามอำเภอใจและศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของมัน ขีดจำกัดนี้ถูกเรียกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จากตัวอย่างจำนวนหนึ่ง เราแสดงให้เห็นว่ากระบวนการทางกายภาพต่างๆ ถูกอธิบายโดยใช้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างไร การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาช่วยให้เราสามารถสรุปและคาดการณ์เกี่ยวกับกระบวนการของกระบวนการได้อย่างไร
แน่นอนว่าจำนวนตัวอย่างประเภทนี้มีจำนวนมาก และนักเรียนที่สนใจก็สามารถเข้าถึงตัวอย่างส่วนใหญ่ได้

“ดนตรีสามารถยกระดับหรือปลอบประโลมจิตวิญญาณ
การวาดภาพก็ดูสบายตา
บทกวีคือการปลุกความรู้สึก
ปรัชญาคือการตอบสนองความต้องการของจิตใจ
วิศวกรรมศาสตร์คือการปรับปรุงด้านวัตถุของชีวิตผู้คน
และคณิตศาสตร์สามารถบรรลุเป้าหมายทั้งหมดนี้ได้”

นั่นคือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันกล่าวไว้ มอริซ ไคลน์.

บรรณานุกรม :

1. Abramov A.N., Vilenkin N.Ya.และอื่นๆ คำถามเฉพาะทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 – อ: การตรัสรู้, 1980.
2. Vilenkin N.Ya. , Shibasov A.P.ด้านหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ – อ: การตรัสรู้, 1996.
3. Dobrokhotova M.A. , Safonov A.N.. ฟังก์ชัน ลิมิตและอนุพันธ์ของมัน – อ: การตรัสรู้, 1969.
4. โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม.และอื่นๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ – อ: การศึกษา, 2553.
5. โคโลซอฟ เอ.เอ.หนังสือสำหรับอ่านนอกหลักสูตรเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ – อ: อุคเพ็ดกิซ, 1963.
6. ฟิคเทนโกลท์ส จี.เอ็ม.พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ตอนที่ 1 – M: Nauka, 1955
7. ยาโคฟเลฟ G.N.คณิตศาสตร์สำหรับโรงเรียนเทคนิค พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ ตอนที่ 1 - M: Nauka, 1987

การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) . คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:

จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:

กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ในระยะเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและเข้าใจงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม

จนถึงขณะนี้ เราได้เชื่อมโยงแนวคิดเรื่องอนุพันธ์กับการแสดงกราฟของฟังก์ชันทางเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม มันจะเป็นความผิดพลาดร้ายแรงที่จะจำกัดบทบาทของแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ให้เหลือเพียงปัญหาเท่านั้น

กำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่กำหนด งานที่สำคัญยิ่งกว่านั้นในมุมมองทางวิทยาศาสตร์คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดๆ ที่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป จากด้านนี้เองที่นิวตันเข้าใกล้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นิวตันพยายามวิเคราะห์ปรากฏการณ์ของความเร็วโดยพิจารณาเวลาและตำแหน่งของอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่เป็นตัวแปร (ในคำว่า "คล่องแคล่ว" ของนิวตัน) เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ไปตามแกน x การเคลื่อนที่ของมันจะถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ เนื่องจากมีการกำหนดฟังก์ชันที่ระบุตำแหน่งของอนุภาค x ในเวลาใดๆ t “การเคลื่อนที่สม่ำเสมอ” ด้วยความเร็วคงที่ตามแนวแกน x ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันเชิงเส้น โดยที่ a คือตำแหน่งของอนุภาค ณ เวลาเริ่มต้น

การเคลื่อนที่ของอนุภาคบนระนาบอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันสองประการ

ซึ่งกำหนดพิกัดเป็นฟังก์ชันของเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชันสอดคล้องกับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ

โดยที่ “องค์ประกอบ” สองตัวที่มีความเร็วคงที่ และ a และ c เป็นพิกัดของตำแหน่งเริ่มต้นของอนุภาค (โดยที่วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคเป็นเส้นตรง ซึ่งมีสมการดังนี้

ได้มาจากการกำจัดความสัมพันธ์ทั้งสองข้างต้น

หากอนุภาคเคลื่อนที่ในระนาบแนวตั้ง x, y ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียว การเคลื่อนที่ของมัน (ซึ่งพิสูจน์แล้วในฟิสิกส์เบื้องต้น) จะถูกกำหนดโดยสมการสองสมการ

โดยที่ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับสถานะของอนุภาค ณ เวลาเริ่มต้น ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะอยู่ที่ประมาณ 9.81 หากเวลาวัดเป็นวินาที และระยะทางเป็นเมตร วิถีที่ได้จากการกำจัดสมการทั้งสองนี้คือพาราโบลา

เว้นแต่วิถีโคจรจะเป็นส่วนของแกนตั้ง

หากอนุภาคถูกบังคับให้เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งที่กำหนด (คล้ายกับวิธีที่รถไฟเคลื่อนที่บนราง) การเคลื่อนที่ของอนุภาคนั้นสามารถถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน (ฟังก์ชันของเวลาเท่ากับความยาวของส่วนโค้งที่คำนวณตามเส้นโค้งที่กำหนดจาก จุดเริ่มต้นที่แน่นอนไปยังตำแหน่งของอนุภาค ณ จุด P ในขณะนั้น ตัวอย่างเช่น หากเรากำลังพูดถึงวงกลมหนึ่งหน่วยฟังก์ชันจะกำหนดการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอบนวงกลมนี้ด้วยความเร็ว c

ออกกำลังกาย. วาดวิถีการเคลื่อนที่ของระนาบที่กำหนดโดยสมการ: ในการเคลื่อนที่แบบพาราโบลาที่อธิบายไว้ข้างต้น ให้ถือว่าตำแหน่งเริ่มต้นของอนุภาค (ที่จุดเริ่มต้นและพิจารณา ค้นหาพิกัดของจุดสูงสุดของวิถี ค้นหาเวลาและค่า x ที่สอดคล้องกับ จุดตัดรองของวิถีกับแกน

เป้าหมายแรกที่นิวตันตั้งไว้คือการค้นหาความเร็วของอนุภาคที่เคลื่อนที่ไม่สม่ำเสมอ เพื่อความง่าย ขอให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาคตามแนวเส้นตรงที่ระบุโดยฟังก์ชัน หากการเคลื่อนที่มีความสม่ำเสมอ กล่าวคือ ดำเนินการด้วยความเร็วคงที่ ความเร็วนี้สามารถพบได้โดยใช้เวลาสองช่วงเวลาและ ตำแหน่งที่สอดคล้องกันของอนุภาคและสร้างอัตราส่วน

ตัวอย่างเช่น หากวัดเป็นชั่วโมง และ ; กิโลเมตร แล้วความแตกต่างจะเป็นจำนวนกิโลเมตรที่เดินทางใน 1 ชั่วโมง ความเร็ว (กิโลเมตรต่อชั่วโมง) เมื่อบอกว่าความเร็วเป็นปริมาณคงที่ จะหมายถึงเฉพาะอัตราส่วนผลต่างเท่านั้น

ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับค่าใด ๆ แต่ถ้าการเคลื่อนไหวไม่สม่ำเสมอ (ซึ่งเกิดขึ้น เช่น ในการตกอย่างอิสระของร่างกายซึ่งความเร็วจะเพิ่มขึ้นเมื่อมันตกลง) ดังนั้นความสัมพันธ์ (3) จะไม่ให้ค่าของ ความเร็วในขณะนั้นและแสดงถึงสิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาตั้งแต่ ถึง เพื่อให้ได้ความเร็วในขณะนั้นคุณต้องคำนวณขีดจำกัดของค่าเฉลี่ย

ความเร็วเมื่อพุ่ง ดังนั้นเมื่อร่วมกับนิวตันเราจึงกำหนดความเร็วได้ดังนี้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของ "เส้นทางที่เดินทาง" (พิกัดของอนุภาคบนเส้นตรง) เทียบกับเวลา หรือ "อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที" ของเส้นทางเทียบกับเวลา - ตรงข้ามกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยที่กำหนดโดยสูตร (3)

อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วนั้นเรียกว่าความเร่ง ความเร่งเป็นเพียงอนุพันธ์ของอนุพันธ์ โดยปกติจะแสดงด้วยสัญลักษณ์และเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

กาลิเลโอสังเกตว่าระยะทางในแนวตั้ง x ที่ครอบคลุมระหว่างการตกอย่างอิสระของร่างกายเมื่อเวลาผ่านไปแสดงไว้ในสูตร