Jämförelse av logaritmer med olika baser och indikatorer. Tar och metoder för att jämföra logaritmer. Workshop om att lösa problem

grundläggande egenskaper.

logax + logay \u003d logga (x · y);
logax - logay \u003d logga (x: y).

samma grunder

Log6 4 + Log6 9.

Nu komplicerar lite uppgiften.

Exempel på logaritmlösningar

Vad händer om logaritms bas eller argument kostar en examen? Då kan indikatorn i denna utsträckning tas ut ur logaritmskylten enligt följande regler:

Naturligtvis är alla dessa regler meningsfullt när det överensstämmer med OTZ-logaritmen: A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Övergång till en ny bas

Låt Logax Logax. Sedan för varje nummer C så att C\u003e 0 och C ≠ 1 är jämlikheten sant:

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Se även:

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Utställaren är 2 718281828 .... För att komma ihåg utställaren kan du utforska regeln: utställaren är 2,7 och två gånger år för födelseåret för Leo Nikolayevich Tolstoy.

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Att veta denna regel kommer att känna till det exakta värdet på utställningen och födelsedatumet för Lion Tolstoy.

Exempel på logaritmi

Prologate uttryck

Exempel 1.
men). x \u003d 10as ^ 2 (a\u003e 0, c\u003e 0).

Av egenskaper 3.5 Beräkna

4. Var .

Exempel 2. Hitta x om

Exempel 3. Låt värdet av logaritmer är inställda

Beräkna logg (X) om

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Logaritmer, som alla nummer, kan vikas, dra av och konvertera. Men eftersom logaritmer inte är riktiga siffror, finns det sina egna regler som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste nödvändigtvis veta - ingen allvarlig logaritmisk uppgift löses utan dem. Dessutom är de ganska lite - allt kan läras på en dag. Så fortsätt.

Tillägg och subtraktion av logaritmer

Tänk på två logaritm med samma baser: logax och logay. Då kan de vikas och dras av, och:

logax + logay \u003d logga (x · y);
logax - logay \u003d logga (x: y).

Så är mängden logaritmer lika med arbetets logaritm, och skillnaden är den privata logaritmen. Observera: Den viktigaste punkten här är samma grunder. Om grunden är olika, fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när enskilda delar inte anses (se lektionen "Vad är logaritm"). Ta en titt på exemplen - och se till att:

Eftersom baserna i logaritmer är desamma använder vi summan av summan:
log6 4 + Log6 9 \u003d Log6 (4 · 9) \u003d Log6 36 \u003d 2.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 - log2 3.

Stiftelserna är desamma, med hjälp av skillnaden formel:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d Log2 16 \u003d 4.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log3 135 - Log3 5.

Återigen är grunden samma, så vi har:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d Log3 27 \u003d 3.

Som du kan se består de ursprungliga uttrycken av "dåliga" logaritmer, som inte är separat avsedda separat. Men efter omvandling erhålls ganska vanliga tal. I detta faktum är många testarbeten byggda. Men vad är kontrollen - sådana uttryck är i sin helhet (ibland - nästan oförändrade) erbjuds på tentamen.

Executive grad från logaritm

Det är lätt att se att den sista regeln följer sina de första två. Men det är bättre att komma ihåg det, i vissa fall kommer det att avsevärt minska mängden beräkningar.

Naturligtvis är alla dessa regler meningsfullt när det överensstämmer med OTZ-logaritmen: A\u003e 0, A ≠ 1, X\u003e 0. Och mer: Lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, men tvärtom, dvs. Du kan göra siffror mot logaritmen, till logaritmen själv. Det är oftast nödvändigt.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket: Log7 496.

Bli av med omfattningen i argumentet i den första formeln:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att i denominatorn finns en logaritm, basen och vars argument är korrekta grader: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Vi har:

Jag tror att det senaste exemplet kräver förklaring. Var försvann logariterna? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren.

Formler logaritmer. Logaritmer Exempel på lösningar.

De presenterade grunden och argumentet för en logaritm där i form av grader och utförda indikatorer - fick en "tre våningar" fraktion.

Låt oss nu titta på den grundläggande fraktionen. I en täljare och nämnare är samma nummer: Log2 7. Sedan log2 7 ≠ 0 kan vi minska fraktionen - 2/4 kommer att förbli i nämnaren. Enligt aritmetiska regler kan de fyra överföras till täljaren, som gjordes. Resultatet var svaret: 2.

Övergång till en ny bas

Tala om reglerna för tillägg och subtraktion av logaritmer, understryker jag specifikt att de bara arbetar med samma baser. Och vad händer om grunden är annorlunda? Vad händer om de inte är korrekta grader av samma nummer?

Formler för övergången till en ny bas kommer till räddningen. Vi formulerar dem i form av teorem:

Låt Logax Logax. Sedan för varje nummer C så att C\u003e 0 och C ≠ 1 är jämlikheten sant:

I synnerhet, om du sätter C \u003d X, får vi:

Från den andra formeln följer det att logaritmen bas och argument kan ändras på platser, men samtidigt som uttrycket "är", dvs. Logaritm visar sig vara i denominatorn.

Dessa formler är sällsynta i konventionella numeriska uttryck. Bedömning av hur praktiska de är, är det endast möjligt vid lösning av logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som i allmänhet inte lösts någonstans som en övergång till en ny bas. Tänk på ett par sådana:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log5 16 · Log2 25.

Observera att argumenten för båda logariterna är korrekta grader. Låt oss ta ut indikatorerna: Log5 16 \u003d Log5 24 \u003d 4log5 2; LOG2 25 \u003d LOG2 52 \u003d 2LOG2 5;

Och nu "Invert" den andra logaritmen:

Eftersom arbetet inte ändras från omplacering av multiplikatorer, ändrade vi lugnt de fyra och en två och sedan sorterade med logaritmer.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log9 100 · Lg 3.

Grunden och argumentet för de första logaritmen - exakta grader. Vi skriver det och blir av med indikatorerna:

Skruva nu av med decimal logaritmen, genom att vända sig till den nya basen:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta krävs lösningen för att skicka ett nummer som en logaritm för en viss bas. I det här fallet kommer formler att hjälpa oss:

I det första fallet blir numret n en indikator på den omfattning i argumentet. Numret n kan vara absolut någon, eftersom det bara är ett logaritmvärde.

Den andra formeln är faktiskt en parafhäxad definition. Det kallas :.

Faktum är att vad som händer om numret B är i en sådan grad att numret B i denna utsträckning ger numret A? Höger: Det visar sig på samma nummer a. Läs noggrant denna paragraf igen - många "hänga" på den.

Liksom övergångsformlerna till en ny bas är den huvudsakliga logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att Log25 64 \u003d Log5 8 - bara gjorde en torg från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för multiplikation av grader med samma bas får vi:

Om någon inte är medveten var det en riktig uppgift för ege 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Sammanfattningsvis kommer jag att ge två identiteter som det är svårt att namnge egenskaperna - snarare, det här är konsekvensen av definitionen av logaritm. De finns ständigt i uppgifter och, vilket är överraskande, skapa problem även för "avancerade" studenter.

loghaa \u003d 1 är. Kom ihåg tider och för alltid: Logaritmen på någon bas A från själva basen är lika med en.
logha 1 \u003d 0 är. Basen A kan vara någon mening, men om argumentet är en enhet - logaritm är noll! Eftersom A0 \u003d 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla fastigheter. Var noga med att träna tillämpa dem i praktiken! Ladda ner spjälsängen i början av lektionen, skriv ut det - och lösa uppgifterna.

Se även:

Logaritmen för numret B baserat på en betecknar uttrycket. Beräkna logaritmen innebär att man hittar en sådan grad X () vid vilken jämlikhet utförs

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Dessa egenskaper måste veta att nästan alla uppgifter är löst och exempel är förknippade med logaritmer. De återstående exotiska egenskaperna kan härledas av matematiska manipuleringar med dessa formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

I beräkningarna av formeln för summan och skillnaden mellan logaritmer (3.4) är ganska vanliga. Resten är lite komplicerade, men i ett antal uppgifter är oumbärliga för att förenkla komplexa uttryck och beräkna sina värden.

Det finns fall av logaritm

En av de vanliga logariterna är sådana där basen är jämn tio, exponentiell eller två gånger.
Logaritmen på grundval av tio är vanligt att ringa decimallogaritmen och förenkla LG (X).

Från posten är det tydligt att grunden i posten inte är skrivna. Till exempel

Naturlig logaritm är en logaritm för vilken utställaren är baserad på LN (x)).

Utställaren är 2 718281828 .... För att komma ihåg utställaren kan du utforska regeln: utställaren är 2,7 och två gånger år för födelseåret för Leo Nikolayevich Tolstoy. Att veta denna regel kommer att känna till det exakta värdet på utställningen och födelsedatumet för Lion Tolstoy.

Och en viktigare logaritm på basen två betecknar

Derivatet av logaritmfunktionen är lika med en enhet uppdelad i en variabel

Integrerad eller primitiv logaritm bestäms av missbruk

Ovanstående material är tillräckligt för att lösa en bred klass av uppgifter i samband med logaritmer och logaritmering. För assimilering av materialet kommer jag att ge bara några vanliga exempel från skolprogram och universitet.

Exempel på logaritmi

Prologate uttryck

Exempel 1.
men). x \u003d 10as ^ 2 (a\u003e 0, c\u003e 0).

Av egenskaper 3.5 Beräkna

2.
Av skillnaderna hos skillnaden logaritmer har

3.
Använda egenskaper 3.5 Sök

4. Var .

Formen av ett komplext uttryck med användning av ett antal regler förenklas i åtanke

Hitta värdena för logaritmen

Exempel 2. Hitta x om

Beslut. För beräkning, tillämplig på den sista terminen av 3: e och 13 egenskaper

Vi ersätter att skriva och lura

Eftersom grunderna är lika, varierar sedan uttryck

Logaritmia. Första nivån.

Låt värdet av logaritmer

Beräkna logg (X) om

Lösning: Progruniform variabeln att måla logaritmen genom summan av termerna

På denna bekanta med logaritmer och deras egenskaper börjar bara. Övning i beräkningar, berika praktiska färdigheter - den kunskap som uppnåtts kommer snart att behövas för att lösa logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat de grundläggande metoderna för att lösa sådana ekvationer, kommer vi att expandera din kunskap för ett annat lika viktigt ämne - logaritmiska ojämlikheter ...

De huvudsakliga egenskaperna hos logaritmen

Logaritmer, som alla nummer, kan vikas, dra av och konvertera. Men eftersom logaritmer inte är riktiga siffror, finns det sina egna regler som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste nödvändigtvis veta - ingen allvarlig logaritmisk uppgift löses utan dem. Dessutom är de ganska lite - allt kan läras på en dag. Så fortsätt.

Tillägg och subtraktion av logaritmer

Tänk på två logaritm med samma baser: logax och logay. Då kan de vikas och dras av, och:

logax + logay \u003d logga (x · y);
logax - logay \u003d logga (x: y).

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när enskilda delar inte anses (se lektionen "Vad är logaritm"). Ta en titt på exemplen - och se till att:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log6 4 + Log6 9.

Eftersom baserna i logaritmer är desamma använder vi summan av summan:
log6 4 + Log6 9 \u003d Log6 (4 · 9) \u003d Log6 36 \u003d 2.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log2 48 - log2 3.

Stiftelserna är desamma, med hjälp av skillnaden formel:
log2 48 - Log2 3 \u003d Log2 (48: 3) \u003d Log2 16 \u003d 4.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log3 135 - Log3 5.

Återigen är grunden samma, så vi har:
log3 135 - Log3 5 \u003d Log3 (135: 5) \u003d Log3 27 \u003d 3.

Executive grad från logaritm

Nu komplicerar lite uppgiften. Vad händer om logaritms bas eller argument kostar en examen? Då kan indikatorn i denna utsträckning tas ut ur logaritmskylten enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer sina de första två. Men det är bättre att komma ihåg det, i vissa fall kommer det att avsevärt minska mängden beräkningar.

Hur man löser logaritm

Det är oftast nödvändigt.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket: Log7 496.

Bli av med omfattningen i argumentet i den första formeln:
log7 496 \u003d 6 · Log7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att i denominatorn finns en logaritm, basen och vars argument är korrekta grader: 16 \u003d 24; 49 \u003d 72. Vi har:

Jag tror att det senaste exemplet kräver förklaring. Var försvann logariterna? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade grunden och argumentet för en logaritm där i form av grader och utförda indikatorer - fick en "tre våningar" fraktion.

Övergång till en ny bas

Formler för övergången till en ny bas kommer till räddningen. Vi formulerar dem i form av teorem:

Låt Logax Logax. Sedan för varje nummer C så att C\u003e 0 och C ≠ 1 är jämlikheten sant:

I synnerhet, om du sätter C \u003d X, får vi:

Från den andra formeln följer det att logaritmen bas och argument kan ändras på platser, men samtidigt som uttrycket "är", dvs. Logaritm visar sig vara i denominatorn.

Dessa formler är sällsynta i konventionella numeriska uttryck. Bedömning av hur praktiska de är, är det endast möjligt vid lösning av logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som i allmänhet inte lösts någonstans som en övergång till en ny bas. Tänk på ett par sådana:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log5 16 · Log2 25.

Observera att argumenten för båda logariterna är korrekta grader. Låt oss ta ut indikatorerna: Log5 16 \u003d Log5 24 \u003d 4log5 2; LOG2 25 \u003d LOG2 52 \u003d 2LOG2 5;

Och nu "Invert" den andra logaritmen:

Eftersom arbetet inte ändras från omplacering av multiplikatorer, ändrade vi lugnt de fyra och en två och sedan sorterade med logaritmer.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log9 100 · Lg 3.

Grunden och argumentet för de första logaritmen - exakta grader. Vi skriver det och blir av med indikatorerna:

Skruva nu av med decimal logaritmen, genom att vända sig till den nya basen:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta krävs lösningen för att skicka ett nummer som en logaritm för en viss bas. I det här fallet kommer formler att hjälpa oss:

I det första fallet blir numret n en indikator på den omfattning i argumentet. Numret n kan vara absolut någon, eftersom det bara är ett logaritmvärde.

Den andra formeln är faktiskt en parafhäxad definition. Det kallas :.

Liksom övergångsformlerna till en ny bas är den huvudsakliga logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:

Observera att Log25 64 \u003d Log5 8 - bara gjorde en torg från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för multiplikation av grader med samma bas får vi:

Om någon inte är medveten var det en riktig uppgift för ege 🙂

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

loghaa \u003d 1 är. Kom ihåg tider och för alltid: Logaritmen på någon bas A från själva basen är lika med en.
logha 1 \u003d 0 är. Basen A kan vara någon mening, men om argumentet är en enhet - logaritm är noll! Eftersom A0 \u003d 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla fastigheter. Var noga med att träna tillämpa dem i praktiken! Ladda ner spjälsängen i början av lektionen, skriv ut det - och lösa uppgifterna.

En jämförelse av logaritmvärden eller ett logaritmvärde med något antal finns i skolutövningen att lösa uppgifter inte bara som en oberoende uppgift. Jämför logaritmer står för till exempel vid lösning av ekvationer och ojämlikheter. Artikelmaterial (uppgifter och lösningar) arrangeras på principen om "från enkel till komplex" och kan användas för att förbereda och genomföra lektioner (lektioner) på detta ämne, liksom vid valfria klasser. Antalet uppgifter som behandlas i lektionen beror på klassnivån, dess profilriktning. I klasser med fördjupad studie av matematik kan detta material användas för en två timmars föreläsningslektion.

1. (Oralt.) Vilket av funktionerna ökar, och vilka fallande:

Kommentar. Denna övning är förberedande.

2. (Oralt.)Jämför med noll:

Kommentar. Vid lösning av övning nr 2 kan du använda både egenskaperna hos den logaritmiska funktionen med inblandning av den logaritmiska funktionen och följande användbar egendom:

om de positiva siffrorna A och B ligger på den numeriska direkt till höger om 1 eller vänster 1 (dvs A\u003e 1 och B\u003e 1 \u200b\u200beller 0 0 ;
Om de positiva siffrorna A och B ligger på den numeriska raka på olika riktningar från 1 (dvs 0 .

Visa användningen av den här egenskapen När du bestämmer nummer 2 (a).

Sedan funktionen y \u003d log 7 t ökar av R +., 10\u003e 7, sedan log 7 10\u003e Log 7 7, dvs log 7 10\u003e 1. Således är det positiva antalet SIN3 och log 7 10 på olika sidor av 1. Följaktligen log Sin3 Log 7 10< 0.

3. (Oralt.) Hitta ett misstag i resonemang:

Fungera y \u003d LGT. ökar på R +, sedan ,

Vi delade båda delarna av den sista ojämlikheten. Vi får det 2\u003e 3.

Beslut.

Positiva siffror och 10 (basen av logaritmen) ligger på olika riktningar från 1. Så< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Oralt.) Jämför nummer:

Kommentar. När du löser övningar nr 4 (A-C), använd egenskapen hos den logaritmiska funktionen Monotony. När du bestämmer nr 4 (d), använd egendomen:

om C\u003e A\u003e 1, sedan med B\u003e 1, loggens logg A B\u003e Log C b.

Lösning 4 (d).

Sedan 1.< 5 < 7 и 13 > 1, sedan logga 5 13\u003e Log 7 13.

5. Jämför siffror Log 2 6 och 2.

Beslut.

Första metoden (med den logaritmiska funktionen Monotony).

Fungera y \u003d log 2 tökar av R +., 6\u003e 4. Så Log 2 6\u003e Log 2 4och log 2 5\u003e 2.

Den andra metoden (utarbeta skillnaden).

Låt oss göra skillnad.

6. Jämför siffror och -1.

Fungera y \u003d. minskning av R +. , 3 < 5. Значит, > och > -1 .

7. Jämför siffror och 3LOG 8 26. .

Fungera y \u003d log 2 t ökar av R +., 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Det första sättet.

Multiplicera båda delarna av ojämlikhet för 3:

Fungera Y \u003d logga 5 t ökar av R +. , 27\u003e 25. Så

Det andra sättet.

Låt oss göra skillnad
. Härifrån.

9. Jämför logg 4 26 nummer och log 6 17.

Låt oss uppskatta logaritmen, eftersom funktionerna y \u003d log 4 t och y \u003d logg 6 t ökar R +.:

Med tanke på de funktioner Nedstigande av R +.Vi har:

Det betyder

Kommentar. Den föreslagna jämförelsemetoden kallas med hjälp av "Insertion" -metoden eller "Separation" -metoden (Vi hittade ett nummer 4, separerade data två nummer).

11. Jämför logg 2 3 nummer och Log 3 5.

Observera att båda logaritmen är större än 1, men mindre än 2.

Det första sättet. Låt oss försöka använda "separationsmetoden". Jämför logaritmer med ett nummer.

Det andra sättet ( multiplikation av ett naturligt nummer).

Not 1. Kärnan metod “multiplikation på det naturliga numret"I det faktum att vi letar efter ett naturligt nummer k.När du multiplicerar vilket jämförde siffror a. och b. Få sådana nummer ka. och kB.Det mellan dem är minst ett heltal.

OBS 2. Genomförandet av ovanstående metod är mycket mödosam, om jämförbara tal är mycket nära varandra.
I det här fallet kan du försöka jämföra Metod "subtraherande enheter". Visa det på följande exempel.

12. Jämför logg 7 8 nummer och Log 6 7.

Första metoden (subtraktion av enheter).

Prenumerera på jämförd nummer till 1.

I den första ojämlikheten utnyttjade vi

om C\u003e A\u003e 1, sedan med B\u003e 1, loggens logg A B\u003e Log C b.

I den andra ojämlikheten - Monotonyn av funktionen y \u003d logga en x.

Andravägen (Tillämpning av Cauchs ojämlikhet).

13. Jämför logg 24 72 nummer och Log 12 18.

14. Jämför logg 20 80 nummer och Log 80 640.

Låt logg 2 5 \u003d X. . Lägg märke till att x. > 0.

Vi får ojämlikhet.

Vi hittar många lösningar av ojämlikhet, Tillfredsställande villkor x\u003e 0.

Uppförde båda delarna av ojämlikhet på en fyrkant (när x. \u003e 0 Båda delar av ojämlikhet är positiva). Vi har 9x 2.< 9x + 28.

En mängd olika lösningar av den sista ojämlikheten är gapet.

Med tanke på att x. \u003e 0, vi får :.

Svar: Ojämlikhet är sant.

Workshop för att lösa problem.

1. Jämför siffror:

2. Position i stigande ordning av numret:

3. Lösa ojämlikhet 4 4 - 2 · 2 4 + 1 - 3< 0 . Är numret √2 genom att lösa denna ojämlikhet? (Svar:(-∞; logg 2 3); siffra √2 det är en lösning på denna ojämlikhet.)

Slutsats.

Det finns många logaritmer jämförelse metoder. Syftet med lärdomar om detta ämne är att kunna navigera i metodernas grenrör, välja och tillämpa den mest rationella lösningen på lösningar i varje enskild situation.

I klasser med en djupgående studie av matematik kan materialet på detta ämne anges i form av en föreläsning. En sådan form av utbildningsaktiviteter innebär att föreläsningsmaterialet bör väljas noggrant, utarbetas, byggt in en viss logisk sekvens. De uppgifter som läraren gör på styrelsen måste tänka sig, matematiskt noggrann.

Konsolidering av föreläsningsmaterial, arbetsförmåga för att lösa problem bör utföras på workshops. Syftet med verkstaden är inte bara att konsolidera och kontrollera kunskapen, utan också fyller på dem. Därför måste uppgifterna innehålla uppgifter av olika nivåer, från de enklaste uppgifterna till uppdragen med ökad komplexitet. En lärare på sådana verkstäder fungerar som konsult.

Litteratur.

Galitsky M.L. och annan grad av studie av kursalgebra och matematisk analys: metod. Rekommendationer och didaktiska material: Lärarhandbok. - M.: Upplysning, 1986.

ZIV B.G., Goldich V.A. Didaktiska material på algebra och analys ursprung för 10: e klass. - SPB: "CHERO-NA-NEVA", 2003.

Litvinenko v.n., Mordkovich A. G. Workshop på elementär matematik. Algebra. Trigonometri: Utbildningsutgåva. - m.: Upplysning, 1990.

Ryazanovsky A.R. Algebra och början av analysen: 500 sätt och metoder för att lösa problem i matematik för skolbarn och komma in på universitet. - m.: Droppe, 2001.

Sadovnichi yu.v. Matematik. Konkurrensuppgifter för algebra med lösningar. Del 4. Logaritmiska ekvationer, ojämlikhet, system. Tutorial. - 3: e ed., Stern.-m.: Publicering Department of Undco, 2003.

Sharyly I.F., Golubev V.I.Valfri kurs i matematik: Lösa problem: Studier. Manual för 11 cl. Onsdag. - M.: Upplysning, 1991.

Låt oss börja med S. properties Logarithm Enheter. Dess formulering är som följer: Logaritmenheten är noll, det vill säga logga en 1 \u003d 0 För alla A\u003e 0, A ≠ 1. Beviset orsakar inte svårigheter: Eftersom en 0 \u003d 1 för alla A, som uppfyller de ovan angivna förhållandena A\u003e 0 och A 1, följer den prova jämställdhetsloggen A 1 \u003d 0 omedelbart av definitionen av logaritm.

Vi ger exempel på att tillämpa de ansedda egenskaperna: Log 3 1 \u003d 0, LG1 \u003d 0 och.

Gå till följande egendom: logaritmen för antalet som är lika med basen är lika med en, dvs, logga a a \u003d 1 Med en\u003e 0, a ≠ 1. Faktum är att sedan en 1 \u003d A för någon A, då per definition av logaritm logga A A \u003d 1.

Exempel på att använda denna egenskap av logaritmer är ekvivalgar Log 5 5 \u003d 1, Log 5.6 5.6 och LNE \u003d 1.

Till exempel log 2 2 7 \u003d 7, LG10 -4 \u003d -4 och .

Logaritm arbetar med två positiva siffror X och Y är lika med produkten av logariterna av dessa nummer: logga a (x · y) \u003d logga a x + logga en y, A\u003e 0, A ≠ 1. Vi bevisar egenskapen hos logaritmen i arbetet. På grund av graden en logg A x + logga a y \u003d en logga a x · en logga en y, och sedan den huvudsakliga logaritmiska identiteten en logg A x \u003d x och en logg a y \u003d y, sedan en logg A x · en logg a y \u003d x · y. Således, en logg A x + logg A y \u003d x · y, varifrån definitionen av logaritm innebär bevisad jämlikhet.

Låt oss visa exempel på att använda logaritmegenskaperna: logga 5 (2 · 3) \u003d logga 5 2 + log 5 3 och .

Arbetets logaritm egendom kan generaliseras på produkten av ett ändligt antal N-positiva nummer x 1, x 2, ..., x n som logga a (x 1 · x 2 · ... · x n) \u003d logga a x 1 + logga a x 2 + ... + logga a x n . Denna jämlikhet bevisas utan problem.

Till exempel kan naturliga logaritmarbeten ersättas med summan av tre naturliga logaritmer av nummer 4, E, och.

Logaritm för privata två positiva siffror X och Y är lika med skillnaden i logariterna av dessa nummer. Egenskaperna hos den privata logaritmen motsvarar formeln i formuläret, där A\u003e 0, A ^ 1, X och Y är några positiva tal. Giltigheten av denna formel är bevisad som logaritmformeln: sedan , Per definition av logaritm.

Låt oss ge ett exempel på att använda denna logaritm egendom: .

Gå till K. egendom av logaritmexamen. Logaritmgraden är lika med produkten av graden i logaritmen hos modulen i den här graden. Vi skriver den här egenskapen i logaritmen i formeln: logga A B P \u003d P · Logga a | B |där a\u003e 0, a ≠ 1, b och p sådanttal som graden b p är meningsfullt och b p\u003e 0.

Först bevisar vi den här egenskapen för positiv b. Den huvudsakliga logaritmiska identiteten gör det möjligt för oss att presentera numret B som en logga B, då B P \u003d (en logg A b) och det resulterande uttrycket på grund av gradegenskapen är en P-logg A b. Så vi kommer till jämlikhet B P \u003d A p · Logga en B, från vilken, per definition av logaritmen, avslutar vi att logga A B P \u003d P · Logga en b.

Det är fortfarande att bevisa den här egenskapen för negativ b. Här märker vi att uttrycket av logg Abp med en negativ B endast är meningsfullt i jämn grad P (eftersom värdet av graden B ska vara större än noll, annars kommer loggaritmen inte att vara meningsfull) och i det här fallet BP \u003d | B | s. Sedan b P \u003d | B | P \u003d (en logga a | b |) p \u003d a p · log a | b |Var LOG A B P \u003d P · Logga a | B | .

Till exempel, och LN (-3) 4 \u003d 4 · LN | -3 | \u003d 4 · LN3.

Från föregående fastighetsflöden root Logarithm Egenskap: Logaritmen för roten enligt N-graden är lika med produkten av fraktionen 1 / N på logaritmen för matningsuttrycket, det vill säga , där A\u003e 0, A ≠ 1, n är ett naturligt nummer, fler enheter, b\u003e 0.

Beviset är baserat på jämlikhet (se), vilket är giltigt för eventuella positiva B- och logaritmfastigheter: .

Här är ett exempel på att använda den här egenskapen: .

Nu bevisa formeln för övergången till den nya basen av logaritmen Se . För att göra detta är det tillräckligt att bevisa jämställdhetsloggen C B \u003d logga A B · Log Ca. Den huvudsakliga logaritmiska identiteten tillåter oss att numret B representerar som en log A B, sedan log C B \u003d Log C a b. Det är fortfarande att utnyttja logaritmens egendom: logga till en B \u003d logga A B · Log Ca. Så visade sig lika med logg C B \u003d logga A B · Log Ca, och därför är formeln för övergången till logaritmens nya bas också bevisad.

Låt oss visa ett par exempel på att tillämpa den här egenskapen hos logaritmer: och .

Övergångsformeln till en ny bas gör att du kan flytta till jobbet med logaritmer som har en "bekväm" bas. Till exempel, med det, kan du gå till de naturliga eller decimala logariterna så att du kan beräkna logaritmvärdet längs logaritmbordet. Övergångsformeln till den nya basen av logaritmen tillåter också i vissa fall att hitta värdet av denna logaritm, när värdena för vissa logaritmer med andra baser är kända.

Det används ofta ett speciellt fall med formeln för övergången till en ny bas av logaritmen vid C \u003d B av arten . Det kan ses som loggar en B och log B A. Till exempel, .

Också ofta används formel vilket är bekvämt när du hittar logaritmer. För att bekräfta dina ord visar vi hur det beräknas med värdet av logaritmen av vyn. Ha . För att bevisa formeln Det är tillräckligt att utnyttja övergången till en ny bas av logaritm A: .

Det är fortfarande att bevisa egenskaperna hos jämförelsen av logaritmer.

Vi bevisar det för någon positiva siffror B 1 och B 2, B 1 logga en B 2, och vid A\u003e 1 - Ojämlikhetsloggen A B 1
Slutligen är det fortfarande att bevisa de listade egenskaperna hos logaritmer. Vi begränsar oss till beviset på sin första del, det vill säga, vi bevisar att om en 1\u003e 1, en 2\u003e 1 och en 1 1 Fair Log A 1 B\u003e Logga till 2 b. De återstående uttalandena för denna egenskap av logaritmer bevisas av en liknande princip.

Vi använder metoden från motsatsen. Antag att vid en 1\u003e 1, en 2\u003e 1 och en 1 1 Fair Log A 1 B≤Log A 2 B. Enligt logaritmens egenskaper kan dessa ojämlikheter skriva om som och Följaktligen följer det att log B A 1 ≤Log B A 2 och log B A 1 ≥Log B A 2. Därefter, enligt graderna av grader med samma baser, jämlikhet B-log B A 1 ≥B-log B A 2 och B-log B A 1 ≥B-log B A 2, det vill säga en 1 ≥A2. Så vi kom till motsägelse villkor A 1
Bibliografi.

Kolmogorov A.n., Abramov A.M., Dudnitsyn yu.p. et al. Algebra och startanalys: En lärobok för 10-11 klasser av allmänna utbildningsinstitutioner.

Gusev V.A., Mordkovich A.g. Matematik (ersättning för sökande till tekniska skolor).

Logaritmer, som alla nummer, kan vikas, dra av och konvertera. Men eftersom logaritmer inte är riktiga siffror, finns det sina egna regler som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste nödvändigtvis veta - ingen allvarlig logaritmisk uppgift löses utan dem. Dessutom är de ganska lite - allt kan läras på en dag. Så fortsätt.

Tillägg och subtraktion av logaritmer

Tänk på två logaritm med samma baser: logg a. x. och logga. a. y.. Då kan de vikas och dras av, och:

logga. a. x. + Logg. a. y. \u003d Logg. a. (x. · y.);

logga. a. x. - Logga. a. y. \u003d Logg. a. (x. : y.).

Så är mängden logaritmer lika med arbetets logaritm, och skillnaden är den privata logaritmen. Observera: Den viktigaste punkten här är samma grunder. Om grunden är olika, fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper till att beräkna det logaritmiska uttrycket även när enskilda delar inte anses (se lektionen "Vad är logaritm"). Ta en titt på exemplen - och se till att:

Log 6 4 + Log 6 9.

Eftersom baserna i logaritmer är desamma använder vi summan av summan:
log 6 4 + Log 6 9 \u003d Log 6 (4 · 9) \u003d Log 6 36 \u003d 2.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 2 48 - Log 2 3.

Stiftelserna är desamma, med hjälp av skillnaden formel:
log 2 48 - Log 2 3 \u003d Log 2 (48: 3) \u003d Log 2 16 \u003d 4.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 3 135 - Log 3 5.

Återigen är grunden samma, så vi har:
log 3 135 - Log 3 5 \u003d Log 3 (135: 5) \u003d Log 3 27 \u003d 3.

Som du kan se består de ursprungliga uttrycken av "dåliga" logaritmer, som inte är separat avsedda separat. Men efter omvandling erhålls ganska vanliga tal. I detta faktum är många testarbeten byggda. Men vad är kontrollen - sådana uttryck är i sin helhet (ibland - nästan oförändrade) erbjuds på tentamen.

Executive grad från logaritm

Nu komplicerar lite uppgiften. Vad händer om logaritms bas eller argument kostar en examen? Då kan indikatorn i denna utsträckning tas ut ur logaritmskylten enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer sina de första två. Men det är bättre att komma ihåg det, i vissa fall kommer det att avsevärt minska mängden beräkningar.

Naturligtvis är alla dessa regler meningsfullt om det överensstämmer med OTZ-logaritmen: a. > 0, a. ≠ 1, x. \u003e 0. Och också: Lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, men tvärtom, dvs. Du kan göra siffror mot logaritmen, till logaritmen själv. Det är oftast nödvändigt.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6.

Bli av med omfattningen i argumentet i den första formeln:
log 7 49 6 \u003d 6 · Log 7 49 \u003d 6 · 2 \u003d 12

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:
[Signatur till figur]

Observera att i denominatorn finns en logaritm, basen och vars argument är korrekta grader: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Vi har:
[Signatur till figur]
Jag tror att det senaste exemplet kräver förklaring. Var försvann logariterna? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade grunden och argumentet för en logaritm där i form av grader och utförda indikatorer - fick en "tre våningar" fraktion.

Låt oss nu titta på den grundläggande fraktionen. Numret i täljaren och denominatorn är samma nummer: Log 2 7. Sedan log 2 7 ≠ 0 kan vi minska fraktionen - 2/4 kommer att förbli i denominatorn. Enligt aritmetiska regler kan de fyra överföras till täljaren, som gjordes. Resultatet var svaret: 2.

Övergång till en ny bas

Tala om reglerna för tillägg och subtraktion av logaritmer, understryker jag specifikt att de bara arbetar med samma baser. Och vad händer om grunden är annorlunda? Vad händer om de inte är korrekta grader av samma nummer?

Formler för övergången till en ny bas kommer till räddningen. Vi formulerar dem i form av teorem:

Låt logaritmloggen a. x.. Sedan för ett nummer c. Så att c. \u003e 0 I. c. ≠ 1, sant jämlikhet:
[Signatur till figur]
I synnerhet om du sätter c. = x.Vi kommer få:
[Signatur till figur]

Från den andra formeln följer det att logaritmen bas och argument kan ändras på platser, men samtidigt som uttrycket "är", dvs. Logaritm visar sig vara i denominatorn.

Dessa formler är sällsynta i konventionella numeriska uttryck. Bedömning av hur praktiska de är, är det endast möjligt vid lösning av logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som i allmänhet inte lösts någonstans som en övergång till en ny bas. Tänk på ett par sådana:

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 5 16 · Log 2 25.

Observera att argumenten för båda logariterna är korrekta grader. Jag kommer att sammanfatta: logga 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; Log 2 25 \u003d Log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

Och nu "Invert" den andra logaritmen:
[Signatur till figur]
Eftersom arbetet inte ändras från omplacering av multiplikatorer, ändrade vi lugnt de fyra och en två och sedan sorterade med logaritmer.

En uppgift. Hitta värdet på uttrycket: Log 9 100 · Lg 3.

Grunden och argumentet för de första logaritmen - exakta grader. Vi skriver det och blir av med indikatorerna:
[Signatur till figur]
Skruva nu av med decimal logaritmen, genom att vända sig till den nya basen:
[Signatur till figur]
Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta krävs lösningen för att skicka ett nummer som en logaritm för en viss bas. I det här fallet kommer formler att hjälpa oss:

I det första fallet n. Det blir en indikator på den omfattning i argumentet. siffra n. Det kan vara absolut någon, för det är bara ett logaritmvärde.

Den andra formeln är faktiskt en parafhäxad definition. Det kallas: den viktigaste logaritmiska identiteten.

Faktum är att vad som händer om numret b. bygga i en sådan grad att numret b. I så utsträckning ger numret a.? Korrekt: det här är det mesta a.. Läs noggrant denna paragraf igen - många "hänga" på den.

Liksom övergångsformlerna till en ny bas är den huvudsakliga logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

En uppgift. Hitta värdet av uttrycket:
[Signatur till figur]

Observera att log 25 64 \u003d log 5 8 - bara gjorde en torg från basen och loggaritmens argument. Med tanke på reglerna för multiplikation av grader med samma bas får vi:
[Signatur till figur]
Om någon inte är medveten, det var en riktig uppgift för ege :)

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Sammanfattningsvis kommer jag att ge två identiteter som det är svårt att namnge egenskaperna - snarare, det här är konsekvensen av definitionen av logaritm. De finns ständigt i uppgifter och, vilket är överraskande, skapa problem även för "avancerade" studenter.

logga. a. a. \u003d 1 är en logaritmisk enhet. Spela in en gång och för alltid: Logaritm på något sätt a. Från själva basen är lika med en.

logga. a. 1 \u003d 0 är en logaritmisk noll. Bas a. Kanske på något sätt, men om argumentet är en enhet - logaritm är noll! Därför att a. 0 \u003d 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla fastigheter. Var noga med att träna tillämpa dem i praktiken! Ladda ner spjälsängen i början av lektionen, skriv ut det - och lösa uppgifterna.