a හි කෝසයින් යනු කුමක්ද? ත්‍රිකෝණමිතියේ සයින් සහ කොසයින් යනු මොනවාද? හොඳයි, අපි රවුමක ලක්ෂ්‍ය සෙවීම පුහුණු කිරීමෙන් මෙම සූත්ර අත්හදා බලමු
සෑම සිසුවෙකුටම ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට සහ ත්රිකෝණමිතික සූත්ර දැන ගැනීමට හැකි විය යුතු බව ගුරුවරුන් විශ්වාස කරයි, නමුත් සෑම ගුරුවරයෙකුම සයින් සහ කෝසයින් යනු කුමක්දැයි පැහැදිලි නොකරයි. ඒවායේ තේරුම කුමක්ද, ඒවා භාවිතා කරන්නේ කොහේද? අපි ත්රිකෝණ ගැන කතා කරන්නේ ඇයි, නමුත් පෙළපොත රවුම පෙන්වන්නේ ඇයි? අපි සියලු කරුණු එකට සම්බන්ධ කිරීමට උත්සාහ කරමු.
පාසල් විෂය
ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ අධ්යයනය සාමාන්යයෙන් ආරම්භ වන්නේ උසස් පාසලේ 7-8 ශ්‍රේණියේ දී ය. මෙම අවස්ථාවේදී, සිසුන්ට සයින් සහ කෝසයින් යනු කුමක්දැයි පැහැදිලි කර ඇති අතර මෙම කාර්යයන් භාවිතා කරමින් ජ්‍යාමිතික ගැටළු විසඳීමට ඉල්ලා සිටී. පසුව, වීජීය ලෙස පරිවර්තනය කළ යුතු වඩාත් සංකීර්ණ සූත්ර සහ ප්රකාශන දිස්වන අතර (ද්විත්ව සහ අර්ධ කෝණ සූත්ර, බල ශ්‍රිත) සහ වැඩ ත්රිකෝණමිතික කවය සමඟ සිදු කෙරේ.
කෙසේ වෙතත්, භාවිතා කරන සංකල්පවල තේරුම සහ සූත්‍රවල අදාළත්වය පැහැදිලිව පැහැදිලි කිරීමට ගුරුවරුන්ට සැමවිටම නොහැකි ය. එමනිසා, ශිෂ්යයා බොහෝ විට මෙම විෂයයෙහි කාරණය නොදකින අතර, මතක තබාගත් තොරතුරු ඉක්මනින් අමතක වේ. කෙසේ වෙතත්, ඔබ උසස් පාසල් සිසුවෙකුට පැහැදිලි කළ පසු, උදාහරණයක් ලෙස, ශ්‍රිතයක් සහ දෝලනය වන චලිතය අතර සම්බන්ධය, තාර්කික සම්බන්ධතාවය වසර ගණනාවක් මතකයේ රැඳෙනු ඇති අතර, විෂයයේ නිෂ්ඵල බව පිළිබඳ විහිළු අතීතයට අයත් වනු ඇත.
භාවිතය
කුතුහලය සඳහා, අපි භෞතික විද්යාවේ විවිධ ශාඛා දෙස බලමු. ඔබට ප්‍රක්ෂේපණයක පරාසය තීරණය කිරීමට අවශ්‍යද? එසේත් නැතිනම් ඔබ වස්තුවක් සහ යම් පෘෂ්ඨයක් අතර ඝර්ෂණ බලය ගණනය කරන්නේද? පෙන්ඩලය පැද්දෙමින්, වීදුරුව හරහා ගමන් කරන කිරණ නැරඹීම, ප්‍රේරණය ගණනය කිරීම? ත්රිකෝණමිතික සංකල්ප ඕනෑම සූත්‍රයක පාහේ දක්නට ලැබේ. ඉතින් සයින් සහ කොසයින් යනු කුමක්ද?
අර්ථ දැක්වීම්
කෝණයක සයින් යනු කර්ණයට විරුද්ධ පැත්තේ අනුපාතයයි, කෝසයින් යනු යාබද පැත්තේ අනුපාතය එකම කර්ණයටයි. මෙහි සම්පූර්ණයෙන්ම සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. සමහරවිට ත්රිකෝණමිතිය වගුවේ ඇති අගයන් නිසා සිසුන් සාමාන්යයෙන් ව්‍යාකූල වන්නේ එයට වර්ග මූලයන් ඇතුළත් වන බැවිනි. ඔව්, ඔවුන්ගෙන් දශම ලබා ගැනීම එතරම් පහසු නැත, නමුත් ගණිතයේ සියලුම සංඛ්‍යා සමාන විය යුතු යැයි කීවේ කවුද?
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට ත්රිකෝණමිතිය ගැටළු පොත්වල හාස්‍යජනක ඉඟියක් සොයාගත හැකිය: මෙහි බොහෝ පිළිතුරු ඒකාකාර වන අතර, නරකම අවස්ථාවක, දෙකේ හෝ තුනක මූල අඩංගු වේ. නිගමනය සරලයි: ඔබේ පිළිතුර "බහු-කතන්දර" කොටසක් බවට පත් වුවහොත්, ගණනය කිරීම් හෝ තර්කනයේ දෝෂ සඳහා විසඳුම දෙවරක් පරීක්ෂා කරන්න. තවද ඔබ බොහෝ විට ඒවා සොයා ගනු ඇත.
මතක තබා ගත යුතු දේ
ඕනෑම විද්‍යාවක් මෙන්, ත්රිකෝණමිතිය ඉගෙන ගත යුතු දත්ත ඇත.
පළමුව, ඔබ සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණ සයින, කෝසයින 0 සහ 90 සඳහා මෙන්ම අංශක 30, 45 සහ 60 සඳහා සංඛ්‍යාත්මක අගයන් මතක තබා ගත යුතුය. මෙම දර්ශක පාසල් ගැටළු දහයෙන් නවයක දක්නට ලැබේ. පෙළපොතක මෙම අගයන් දෙස බැලීමෙන්, ඔබට බොහෝ කාලයක් අහිමි වනු ඇති අතර, පරීක්ෂණයක් හෝ විභාගයක් අතරතුර ඒවා දෙස බැලීමට තැනක් නොමැත.
කාර්යයන් දෙකෙහිම අගය එකක් නොඉක්මවිය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය. ඔබගේ ගණනය කිරීම් වල කොතැනක හෝ ඔබට 0-1 පරාසයෙන් පිටත අගයක් ලැබෙන්නේ නම්, නවත්වා ගැටලුව නැවත උත්සාහ කරන්න.
සයින් සහ කොසයින් වර්ගවල එකතුව එකකට සමාන වේ. ඔබ දැනටමත් එක් අගයක් සොයාගෙන ඇත්නම්, ඉතිරි එක සොයා ගැනීමට මෙම සූත්‍රය භාවිතා කරන්න.
න්‍යායන්
මූලික ත්‍රිකෝණමිතියෙහි මූලික ප්රමේය දෙකක් ඇත: සයින් සහ කෝසයින්.
පළමුවැන්න ත්රිකෝණයක එක් එක් පැත්තේ ප්රතිවිරුද්ධ කෝණයේ සයිනයට අනුපාතය සමාන බව ප්රකාශ කරයි. දෙවැන්න නම්, ඉතිරි පැති දෙකේ වර්ග එකතු කිරීමෙන් සහ ඒවායේ ද්විත්ව නිෂ්පාදිතය ඒවා අතර ඇති කෝණයේ කෝසයින් ගුණ කිරීමෙන් අඩු කිරීමෙන් ඕනෑම පැත්තක චතුරස්රය ලබා ගත හැකිය.
මේ අනුව, අපි අංශක 90 ක කෝණයක අගය කෝසයින් ප්‍රමේයය තුළට ආදේශ කළහොත්, අපට ලැබෙන්නේ ... පයිතගරස් ප්‍රමේයය. දැන්, ඔබට සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් නොවන රූපයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමට අවශ්ය නම්, ඔබට තවදුරටත් කරදර විය යුතු නැත - සාකච්ඡා කරන ලද ප්රමේය දෙක ගැටලුවේ විසඳුම සැලකිය යුතු ලෙස සරල කරනු ඇත.
ඉලක්ක සහ අරමුණු
ඔබ එක් සරල කරුණක් අවබෝධ කරගත් විට ත්රිකෝණමිතිය ඉගෙනීම වඩාත් පහසු වනු ඇත: ඔබ කරන සියලුම ක්‍රියාවන් එකම ඉලක්කයක් සාක්ෂාත් කර ගැනීම අරමුණු කර ගෙන ඇත. ත්රිකෝණයක ඕනෑම පරාමිතියක් ඔබ එය පිළිබඳ අවම තොරතුරු දන්නේ නම් සොයාගත හැකිය - මෙය එක් කෝණයක අගය සහ පැති දෙකක දිග හෝ, උදාහරණයක් ලෙස, පැති තුනක් විය හැකිය.
ඕනෑම කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක තීරණය කිරීම සඳහා, මෙම දත්ත ප්රමාණවත් වන අතර, ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන් ඔබට රූපයේ ප්රදේශය පහසුවෙන් ගණනය කළ හැකිය. සෑම විටම පාහේ, පිළිතුර සඳහා සඳහන් කළ අගයන්ගෙන් එකක් අවශ්ය වන අතර ඒවා එකම සූත්ර භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය.
ත්රිකෝණමිතිය ඉගෙනීමේ නොගැලපීම්
සිසුන් වළක්වා ගැනීමට කැමති ව්‍යාකූල ප්‍රශ්නවලින් එකක් වන්නේ ත්‍රිකෝණමිතියේ විවිධ සංකල්ප අතර සම්බන්ධතා සොයා ගැනීමයි. කෝණවල සයින් සහ කෝසයින් අධ්යයනය කිරීමට ත්රිකෝණ භාවිතා කරන බව පෙනේ, නමුත් කිසියම් හේතුවක් නිසා සංකේත බොහෝ විට රවුමක රූපයේ දක්නට ලැබේ. මීට අමතරව, රවුමකට හෝ ත්‍රිකෝණයකට බාහිර සමානකමක් නොමැති සයින් තරංගයක් ලෙස හැඳින්වෙන සම්පූර්ණයෙන්ම තේරුම්ගත නොහැකි තරංග-සමාන ප්‍රස්ථාරයක් ඇත.
තවද, කෝණ අංශක වලින් හෝ රේඩියන වලින් මනිනු ලබන අතර, යම් හේතුවක් නිසා 3.14 (ඒකක නොමැතිව) ලෙස ලියා ඇති Pi අංකය අංශක 180 ට අනුරූප වන සූත්‍රවල දිස් වේ. මේ සියල්ල සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද?
ඒකක
Pi හරියටම 3.14 වන්නේ ඇයි? ඔබට මතකද මෙහි තේරුම කුමක්ද? මෙය අර්ධ වෘත්තයක චාපයකට ගැළපෙන අරය ගණනයි. රවුමේ විෂ්කම්භය සෙන්ටිමීටර 2 ක් නම්, පරිධිය 3.14 * 2 හෝ 6.28 වේ.
දෙවන කරුණ: "රේඩියන්" සහ "අරය" යන වචන අතර සමානකම ඔබ දැක ඇති. කාරණය වන්නේ එක් රේඩියනයක් සංඛ්‍යාත්මකව රවුමේ මධ්‍යයේ සිට අරයක් දිග චාපයකට ගන්නා කෝණයට සමාන වීමයි.
දැන් අපි අත්පත් කරගත් දැනුම ඒකාබද්ධ කර ත්‍රිකෝණමිතියේ ඛණ්ඩාංක අක්ෂයට ඉහළින් “පයි” අඩකින් ලියා ඇත්තේ මන්දැයි සහ “පයි” වම් පසින් ලියා ඇත්තේ මන්දැයි තේරුම් ගනිමු. මෙය රේඩියන වලින් මනිනු ලබන කෝණික අගයකි, මන්ද අර්ධ වෘත්තාකාරයක් අංශක 180 ක් හෝ රේඩියන 3.14 කි. ඒවගේම උපාධි තියෙන තැන සයිනයි කොසයිනුයි තියෙනවා. අපේක්ෂිත ලක්ෂ්‍යයෙන් ත්රිකෝණයක් ඇඳීම පහසුය, කේන්ද්‍රයට සහ ඛණ්ඩාංක අක්ෂයට කොටස් වෙන් කිරීම.
අපි අනාගතය දෙස බලමු
ත්රිකෝණමිතිය, පාසලේ ඉගෙනුම ලබන අතර, සෘජු රේඛීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සමඟ කටයුතු කරයි, එහිදී එය කෙතරම් අමුතු ශබ්දයක් වුවද, සරල රේඛාවක් සරල රේඛාවකි.
නමුත් අවකාශය සමඟ වැඩ කිරීමේ වඩාත් සංකීර්ණ ක්‍රම ද තිබේ: මෙහි ත්‍රිකෝණයේ කෝණවල එකතුව අංශක 180 ට වඩා වැඩි වනු ඇති අතර අපගේ දර්ශනයේ සරල රේඛාව සැබෑ චාපයක් මෙන් පෙනෙනු ඇත.
අපි වචනයෙන් ක්‍රියාවට යමු! ඇපල් ගෙඩියක් ගන්න. පිහියකින් කැපුම් තුනක් කරන්න, එවිට ඉහළින් බැලූ විට ඔබට ත්රිකෝණයක් ලැබේ. එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ඇපල් ගෙඩිය පිටතට ගෙන පීල් අවසන් වන "ඉළ ඇට" දෙස බලන්න. ඔවුන් කිසිසේත් කෙළින් නැත. ඔබේ අතේ ඇති පලතුරු සාම්ප්‍රදායිකව වටකුරු ලෙස හැඳින්විය හැකිය, නමුත් දැන් ඔබට කැපූ කැබැල්ලේ ප්රදේශය සොයාගත හැකි සූත්ර කෙතරම් සංකීර්ණ විය යුතු දැයි සිතන්න. නමුත් සමහර විශේෂඥයින් සෑම දිනකම එවැනි ගැටළු විසඳයි.
ජීවිතයේ ත්රිකෝණමිතික කාර්යයන්
අපගේ ග්‍රහලෝකයේ මතුපිට A ලක්ෂ්‍යයේ සිට B ලක්ෂ්‍යය දක්වා ගුවන් යානයක් සඳහා කෙටිම මාර්ගය උච්චාරණය කරන ලද චාප හැඩයක් ඇති බව ඔබ දැක තිබේද? හේතුව සරලයි: පෘථිවිය ගෝලාකාරයි, එයින් අදහස් කරන්නේ ඔබට ත්රිකෝණ භාවිතයෙන් බොහෝ දේ ගණනය කළ නොහැකි බවයි - ඔබ වඩාත් සංකීර්ණ සූත්ර භාවිතා කළ යුතුය.
අභ්‍යවකාශයට අදාළ ඕනෑම ප්‍රශ්නයක දී ඔබට උග්ර කෝණයක සයින්/කොසයින් නොමැතිව කළ නොහැක. මෙහි සමස්ත සාධක රාශියක් එකතු වීම සිත්ගන්නා කරුණකි: ග්‍රහලෝකවල චලිතය රවුම්, ඉලිප්ස සහ වඩාත් සංකීර්ණ හැඩතලවල විවිධ ගමන් පථ ඔස්සේ ගණනය කිරීමේදී ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවශ්ය වේ; රොකට්, චන්ද්‍රිකා, ෂටල, පර්යේෂණ වාහන දියත් කිරීමේ ක්‍රියාවලිය; දුරස්ථ තාරකා නිරීක්ෂණය කිරීම සහ අපේක්ෂා කළ හැකි අනාගතයේ දී මිනිසුන්ට ළඟා විය නොහැකි මන්දාකිණි අධ්යයනය කිරීම.
සාමාන්යයෙන්, ත්රිකෝණමිතිය දන්නා පුද්ගලයෙකු සඳහා ක්රියාකාරකම් ක්ෂේත්රය ඉතා පුළුල් වන අතර, පෙනෙන විදිහට, කාලයත් සමග පමණක් පුළුල් වනු ඇත.
නිගමනය
සයින් සහ කොසයින් යනු කුමක්දැයි අද අපි ඉගෙන ගත්තෙමු, නැතහොත් අවම වශයෙන් නැවත නැවතත් කියමු. මේවා ඔබ බිය විය යුතු නැති සංකල්ප වේ - ඒවා අවශ්ය වන අතර ඒවායේ තේරුම ඔබට වැටහෙනු ඇත. ත්රිකෝණමිතිය යනු ඉලක්කයක් නොවන බව මතක තබා ගන්න, නමුත් සැබෑ මිනිස් අවශ්‍යතා සපුරාලීම සඳහා භාවිතා කළ හැකි මෙවලමක් පමණි: නිවාස තැනීම, ගමනාගමන ආරක්ෂාව සහතික කිරීම, විශ්වයේ විශාලත්වය පවා ගවේෂණය කිරීම.
ඇත්ත වශයෙන්ම, විද්‍යාව කම්මැලි බවක් පෙනෙන්නට තිබුණත්, ඔබ ඔබේම අරමුණු සහ ස්වයං අවබෝධය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට මාර්ගයක් සොයාගත් විගසම, ඉගෙනීමේ ක්‍රියාවලිය සිත්ගන්නාසුළු වන අතර ඔබේ පුද්ගලික අභිප්‍රේරණය වැඩි වනු ඇත.
ගෙදර වැඩ සඳහා, ඔබට පෞද්ගලිකව උනන්දුවක් දක්වන ක්ෂේත්‍රයක ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත යෙදිය හැකි ක්‍රම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න. සිතන්න, ඔබේ පරිකල්පනය භාවිතා කරන්න, එවිට ඔබට අනාගතයේ දී නව දැනුම ප්රයෝජනවත් වනු ඇති බව ඔබට පෙනී යනු ඇත. ඊට අමතරව, චින්තනයේ සාමාන්‍ය වර්ධනය සඳහා ගණිතය ප්රයෝජනවත් වේ.
කොසයින් යනු සුප්‍රසිද්ධ ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් වන අතර එය ත්‍රිකෝණමිතියේ ප්රධාන කාර්යයකි. සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක කෝණයක කෝසයින් යනු ත්‍රිකෝණයේ යාබද පැත්තේ ත්‍රිකෝණයේ කර්ණයට අනුපාතයයි. බොහෝ විට, කොසයින් අර්ථ දැක්වීම සෘජුකෝණාස්රාකාර ආකාරයේ ත්රිකෝණයක් සමඟ සම්බන්ධ වේ. නමුත් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක කෝසයින් ගණනය කිරීමට අවශ්ය කෝණය මෙම සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්‍රිකෝණයේ පිහිටා නොතිබීමද සිදුවේ. එසේනම් කුමක් කළ යුතුද? ත්රිකෝණයක කෝණයක කෝසයිනය සොයා ගන්නේ කෙසේද?
ඔබට සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක කෝණයක කෝසයින් ගණනය කිරීමට අවශ්ය නම්, සියල්ල ඉතා සරල ය. මෙම ගැටලුවට විසඳුම අඩංගු කොසයින් නිර්වචනය ඔබ මතක තබා ගත යුතුය. ඔබට යාබද පැත්ත මෙන්ම ත්‍රිකෝණයේ කර්ණය අතර එකම සම්බන්ධතාවය සොයාගත යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි කෝණයේ කෝසයිනය ප්රකාශ කිරීම අපහසු නැත. සූත්‍රය පහත පරිදි වේ: - cosα = a/c, මෙහි “a” යනු කකුලේ දිග වන අතර “c” පැත්ත පිළිවෙලින් කර්ණය දිග වේ. උදාහරණයක් ලෙස, මෙම සූත්‍රය භාවිතයෙන් සෘජුකෝණාස්‍රයක තීව්‍ර කෝණයක කෝසයිනය සොයා ගත හැක.
අත්තනෝමතික ත්රිකෝණයක කෝණයක කෝසයින් සමාන වන්නේ කුමක් දැයි ඔබ උනන්දු වන්නේ නම්, එවැනි අවස්ථාවන්හිදී භාවිතා කළ යුතු කෝසයින් ප්‍රමේයය ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. ත්රිකෝණයක පැත්තක චතුරස්රය එම ත්‍රිකෝණයේ ඉතිරි පැතිවල වර්ගවල එකතුවට සමාන ප්‍රාග්ධනයක් වන නමුත් ඒවා අතර පිහිටා ඇති කෝණයේ කෝසයින් මගින් මෙම පැතිවල ගුණිතය දෙගුණ නොකර බව කෝසයින් ප්‍රමේයය පවසයි.
- ඔබට ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණයක කෝසයිනය සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, ඔබ පහත සූත්‍රය භාවිතා කළ යුතුය: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
- ඔබට ත්රිකෝණයක ඇති නොපැහැදිලි කෝණයක කෝසයිනය සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, ඔබ පහත සූත්‍රය භාවිතා කළ යුතුය: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). සූත්‍රයේ ඇති තනතුරු - a සහ b - යනු අපේක්ෂිත කෝණයට යාබදව ඇති පැතිවල දිග වේ, c - අපේක්ෂිත කෝණයට ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තේ දිග වේ.
කෝණයක කෝසයින් ද සයින් ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක. ත්රිකෝණයක සියලුම පැති ප්රතිවිරුද්ධ කෝණවල සයිනවලට සමානුපාතික වන බව එහි සඳහන් වේ. සයිනස් ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, ඔබට ත්රිකෝණයක ඉතිරි මූලද්‍රව්‍ය ගණනය කළ හැකිය, පැති දෙකක් සහ එක් පැත්තකට ප්රතිවිරුද්ධ කෝණයක් හෝ කෝණ දෙකකින් සහ එක් පැත්තකින් පමණක් තොරතුරු ඇත. උදාහරණයක් සමඟ මෙය සලකා බලන්න. ගැටළු කොන්දේසි: a=1; b=2; c=3. "A" පැත්තට විරුද්ධ කෝණය α මගින් දක්වනු ලැබේ, එවිට, සූත්‍රවලට අනුව, අපට ඇත්තේ: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. පිළිතුර: 1.
කෝණයක කෝසයින් ගණනය කළ යුත්තේ ත්රිකෝණයක නොව වෙනත් අත්තනෝමතික ජ්‍යාමිතික රූපයකින් නම්, එවිට සියල්ල ටිකක් සංකීර්ණ වේ. කෝණයෙහි විශාලත්වය මුලින්ම රේඩියන හෝ අංශක වලින් තීරණය කළ යුතු අතර, පසුව පමණක් මෙම අගයෙන් කොසයින් ගණනය කළ යුතුය. සංඛ්‍යාත්මක අගය අනුව කොසයින් තීරණය කරනු ලබන්නේ බ්‍රැඩිස් වගු, ඉංජිනේරු ගණක යන්ත්‍ර හෝ විශේෂ ගණිතමය යෙදුම් භාවිතා කරමිනි.
විශේෂිත ගණිතමය යෙදුම්වලට විශේෂිත රූපයක කෝණවල කෝසයින් ස්වයංක්‍රීයව ගණනය කිරීම වැනි කාර්යයන් තිබිය හැක. එවැනි යෙදුම්වල අලංකාරය නම් ඔවුන් නිවැරදි පිළිතුර ලබා දෙන අතර පරිශීලකයා සමහර විට තරමක් සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීමට කාලය නාස්ති නොකරයි. අනෙක් අතට, ගැටළු විසඳීම සඳහා යෙදුම් නිරන්තරයෙන් භාවිතා කිරීමත් සමඟ, ත්‍රිකෝණවල කෝණවල කෝසයින් මෙන්ම අනෙකුත් අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා සොයා ගැනීමේදී ගණිතමය ගැටළු විසඳීම සමඟ වැඩ කිරීමේ සියලු කුසලතා නැති වී යයි.
ත්රිකෝණමිතිය, විද්‍යාවක් ලෙස, පුරාණ පෙරදිගින් ආරම්භ විය. ප්‍රථම ත්රිකෝණමිතික අනුපාත තාරකා විද්‍යාඥයින් විසින් ව්යුත්පන්න කර ඇත්තේ තාරකා මගින් නිවැරදි දින දර්ශනයක් සහ දිශානතියක් නිර්මාණය කිරීමටයි. මෙම ගණනය කිරීම් ගෝලාකාර ත්රිකෝණමිතිය හා සම්බන්ධ වන අතර පාසල් පාඨමාලාවේදී ඔවුන් තල ත්රිකෝණයක පැති සහ කෝණවල අනුපාතය අධ්යයනය කරයි.
ත්රිකෝණමිතිය යනු ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ගුණ සහ ත්‍රිකෝණවල පැති සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතා සමඟ කටයුතු කරන ගණිත අංශයකි.
ක්‍රිස්තු වර්ෂ 1 සහස්‍රයේ සංස්කෘතිය හා විද්යාවේ උච්චතම අවධියේදී, පුරාණ පෙරදිග සිට ග්‍රීසිය දක්වා දැනුම ව්‍යාප්ත විය. නමුත් ත්‍රිකෝණමිතියේ ප්රධාන සොයාගැනීම් වන්නේ අරාබි කැලිෆේට්හි මිනිසුන්ගේ කුසලතාවය. විශේෂයෙන්, ටර්ක්මන් විද්‍යාඥ අල්-මරාස්වි ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වැනි ශ්රිතයන් හඳුන්වා දුන් අතර සයින, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සඳහා අගයන්හි පළමු වගු සම්පාදනය කළේය. සයින් සහ කොසයින් සංකල්ප හඳුන්වා දුන්නේ ඉන්දියානු විද්‍යාඥයන් විසිනි. යුක්ලිඩ්, ආකිමිඩීස් සහ එරතොස්තනීස් වැනි පෞරාණික ශ්‍රේෂ්ඨ චරිතවල ත්රිකෝණමිතිය කෙරෙහි වැඩි අවධානයක් යොමු විය.
ත්‍රිකෝණමිතියෙහි මූලික ප්‍රමාණ
සංඛ්‍යාත්මක තර්කයක මූලික ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත වන්නේ සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් ය. ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම ප්‍රස්ථාරයක් ඇත: සයින්, කොසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට්.
මෙම ප්‍රමාණවල අගයන් ගණනය කිරීමේ සූත්ර පයිතගරස් ප්‍රමේයය මත පදනම් වේ. එය සූත්‍රගත කිරීමේදී පාසල් සිසුන්ට වඩා හොඳින් දන්නා කරුණකි: “පයිතගරස් කලිසම්, සෑම දිශාවකටම සමාන”, සාධනය ලබා දී ඇත්තේ සමද්වීපක සෘජුකෝණාස්‍රයක උදාහරණය භාවිතා කර ඇති බැවිනි.
සයින්, කෝසයින් සහ අනෙකුත් සම්බන්ධතා ඕනෑම සෘජුකෝණාස්‍රයක තියුණු කෝණ සහ පැති අතර සම්බන්ධය තහවුරු කරයි. A කෝණය සඳහා මෙම ප්‍රමාණ ගණනය කිරීම සඳහා සූත්ර ඉදිරිපත් කර ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අතර සම්බන්ධතා සොයා ගනිමු:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, tg සහ ctg යනු ප්රතිලෝම ශ්රිතයන් වේ. අපි පාපයේ A සහ කර්ණය c හි ගුණිතය ලෙසත්, leg b cos A * c ලෙසත් සිතන්නේ නම්, අපි ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සඳහා පහත සූත්ර ලබා ගනිමු:
ත්රිකෝණමිතික කවය
රූපමය වශයෙන්, සඳහන් කළ ප්‍රමාණ අතර සම්බන්ධතාවය පහත පරිදි නිරූපණය කළ හැකිය:
රවුම, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, 0 ° සිට 360 ° දක්වා α කෝණයෙහි හැකි සියලුම අගයන් නියෝජනය කරයි. රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, එක් එක් ශ්රිතය කෝණය අනුව සෘණ හෝ ධන අගයක් ගනී. උදාහරණයක් ලෙස, α රවුමේ 1 වන සහ 2 වන කාර්තුවලට අයත් නම්, එනම් එය 0° සිට 180° දක්වා පරාසයක පවතී නම් sin α හට “+” ලකුණක් ඇත. α සඳහා 180° සිට 360° දක්වා (III සහ IV කාර්තු), sin α සෘණ අගයක් පමණක් විය හැක.
නිශ්චිත කෝණ සඳහා ත්රිකෝණමිතික වගු තැනීමට සහ ප්‍රමාණවල තේරුම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු.
α 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ට සමාන අගයන් විශේෂ අවස්ථා ලෙස හැඳින්වේ. ඒවා සඳහා ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් ගණනය කර විශේෂ වගු ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ.
මෙම කෝණ අහඹු ලෙස තෝරාගෙන නොමැත. වගු වල π නම් කිරීම රේඩියන සඳහා වේ. Rad යනු රවුමක චාපයේ දිග එහි අරයට අනුරූප වන කෝණයයි. විශ්වීය යැපීම තහවුරු කිරීම සඳහා මෙම අගය හඳුන්වා දෙන ලදී; රේඩියන වලින් ගණනය කිරීමේදී, සෙන්ටිමීටරයේ අරයේ සැබෑ දිග වැදගත් නොවේ.
ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සඳහා වගු වල කෝණ රේඩියන අගයන්ට අනුරූප වේ:
එබැවින්, 2π සම්පූර්ණ කවයක් හෝ 360 ° බව අනුමාන කිරීම අපහසු නැත.
ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ගුණ: සයින් සහ කොසයින්
සයින් සහ කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල මූලික ගුණාංග සලකා බැලීම සහ සංසන්දනය කිරීම සඳහා, ඒවායේ කාර්යයන් ඇඳීම අවශ්ය වේ. මෙය ද්විමාන ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක පිහිටා ඇති වක්රයක ආකාරයෙන් සිදු කළ හැකිය.
සයින් සහ කොසයින් සඳහා ගුණාංග සංසන්දනාත්මක වගුව සලකා බලන්න:
| සයින් තරංගය | කොසයින් |
|---|---|
| y = පාපය x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, x = πk සඳහා, මෙහි k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk සඳහා, මෙහි k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk සඳහා, k ϵ Z | cos x = 1, x = 2πk, එහිදී k ϵ Z |
| sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk, එහිදී k ϵ Z | cos x = - 1, x = π + 2πk සඳහා, k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, එනම් ශ්රිතය ඔත්තේ ය | cos (-x) = cos x, එනම් ශ්රිතය ඉරට්ටේ |
| ශ්රිතය ආවර්තිතා වේ, කුඩාම කාල පරිච්ඡේදය 2π වේ | |
| sin x › 0, x සමඟ 1 වන සහ 2 වන කාර්තුවලට හෝ 0° සිට 180° දක්වා (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, I සහ IV කාර්තුවලට අයත් x සමඟ හෝ 270° සිට 90° දක්වා (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, x සමඟ තුන්වන සහ හතරවන කාර්තුවලට හෝ 180° සිට 360° දක්වා (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, x සමඟ 2 වන සහ 3 වන කාර්තුවලට හෝ 90° සිට 270° දක්වා (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| පරතරය තුළ වැඩි වේ [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | පරතරය මත වැඩි වේ [-π + 2πk, 2πk] |
| අන්තරයන් මත අඩු වේ [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | කාල පරතරයන් මත අඩු වේ |
| ව්යුත්පන්න (sin x)' = cos x | ව්යුත්පන්න (cos x)' = - sin x |
කාර්යයක් ඉරට්ටේ ද නැද්ද යන්න තීරණය කිරීම ඉතා සරල ය. ත්රිකෝණමිතික ප්‍රමාණවල සලකුණු සහිත ත්රිකෝණමිතික කවයක් සිතීම සහ OX අක්ෂයට සාපේක්ෂව ප්‍රස්ථාරය මානසිකව “නැමීම” ප්රමාණවත් වේ. සංඥා සමපාත වන්නේ නම්, කාර්යය ඉරට්ටේ වේ, එසේ නොමැති නම් එය අමුතුයි.
රේඩියන හඳුන්වාදීම සහ සයින් සහ කොසයින් තරංගවල මූලික ගුණාංග ලැයිස්තුගත කිරීම පහත රටාව ඉදිරිපත් කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි:
සූත්‍රය නිවැරදි දැයි තහවුරු කර ගැනීම ඉතා පහසු ය. උදාහරණයක් ලෙස, x = π/2 සඳහා, x = 0 හි කෝසයිනය මෙන් සයින් 1 වේ. පරික්‍ෂා කිරීම වගු උපදේශනය කිරීමෙන් හෝ ලබා දී ඇති අගයන් සඳහා ශ්‍රිත වක්‍ර ලුහුබැඳීමෙන් සිදු කළ හැක.
ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්සොයිඩ් වල ගුණ
ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර සයින් සහ කෝසයින් ශ්‍රිතවලින් සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ. tg සහ ctg අගයන් එකිනෙකට පරස්පර වේ.
- Y = ටැන් x.
- ස්පර්ශකය x = π/2 + πk හි y හි අගයන් වෙත නැඹුරු වන නමුත් කිසිවිටෙක ඒවාට ළඟා නොවේ.
- ස්පර්ශකයේ කුඩාම ධනාත්මක කාල පරිච්ඡේදය π වේ.
- Tg (- x) = - tg x, එනම් ශ්රිතය ඔත්තේ ය.
- Tg x = 0, x = πk සඳහා.
- කාර්යය වැඩි වෙමින් පවතී.
- Tg x › 0, x ϵ සඳහා (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, x ϵ සඳහා (- π/2 + πk, πk).
- ව්යුත්පන්න (tg x)' = 1/cos 2 x.
පෙළෙහි ඇති cotangentoid හි ග්‍රැෆික් රූපය පහතින් සලකා බලන්න.
cotangentoids හි ප්රධාන ගුණාංග:
- Y = ඇඳ x.
- සයින් සහ කොසයින් ශ්‍රිත මෙන් නොව, ටැන්ජෙටොයිඩ් Y ට සියලු තාත්වික සංඛ්‍යා කට්ටලයේ අගයන් ගත හැකිය.
- cotangentoid x = πk හි y හි අගයන් වෙත නැඹුරු වන නමුත් කිසි විටෙකත් ඒවාට ළඟා නොවේ.
- cotangentoid එකක කුඩාම ධන කාලය π වේ.
- Ctg (- x) = - ctg x, එනම් ශ්රිතය ඔත්තේ ය.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk සඳහා.
- කාර්යය අඩු වෙමින් පවතී.
- Ctg x › 0, x ϵ සඳහා (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, x ϵ සඳහා (π/2 + πk, πk).
- ව්යුත්පන්න (ctg x)’ = - 1/sin 2 x නිවැරදි
කර්ණයට විරුද්ධ පැත්තේ අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ උග්ර කෝණයක sinusසෘජු ත්රිකෝණය.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක උග්ර කෝණයක කෝසයින්
කර්ණයට යාබද කකුලේ අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ උග්ර කෝණයක කෝසයින්සෘජු ත්රිකෝණය.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණයක ස්පර්ශකය
ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට යාබද පැත්තේ අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ උග්ර කෝණයක ස්පර්ශකයසෘජු ත්රිකෝණය.
tg \alpha = \frac(a)(b)
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්
ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට යාබද පැත්තේ අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ උග්ර කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්සෘජු ත්රිකෝණය.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
අත්තනෝමතික කෝණයක සයින්
ඒකක කවය මත කෝණය \alpha අනුරූප වන ලක්ෂ්‍යයක විධානය ලෙස හැඳින්වේ අත්තනෝමතික කෝණයක සයින්භ්රමණය \alpha .
\sin \alpha=y
අත්තනෝමතික කෝණයක කොසයින්
ඒකක කවයේ ඇති ලක්ෂ්‍යයක abscissa අගය \alpha කෝණයට අනුරූප වේ අත්තනෝමතික කෝණයක කෝසයින්භ්රමණය \alpha .
\cos \alpha=x
අත්තනෝමතික කෝණයක ස්පර්ශකය
අත්තනෝමතික භ්‍රමණ කෝණයක සයින් සහ එහි කෝසයිනය හා ඇල්ෆා අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ. අත්තනෝමතික කෝණයක ස්පර්ශකයභ්රමණය \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
අත්තනෝමතික කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්
අත්තනෝමතික භ්‍රමණ කෝණයක කෝසයිනයේ අනුපාතය \alpha එහි සයින් ලෙස හැඳින්වේ. අත්තනෝමතික කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්භ්රමණය \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
අත්තනෝමතික කෝණයක් සොයා ගැනීමේ උදාහරණයක්
\alpha යනු යම් කෝණයක් AOM නම්, M යනු ඒකක කවයේ ලක්ෂ්‍යයක් නම්, එවිට
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
උදාහරණයක් ලෙස, නම් \angle AOM = -\frac(\pi)(4), එවිට: ලක්ෂ්‍ය M හි අනුපිළිවෙල සමාන වේ -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa සමාන වේ \frac(\sqrt(2))(2)සහ ඒ නිසයි
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \වම (-\frac(\pi)(4) \දකුණ)=-1.
කෝටැන්ජන්ට් වල ස්පර්ශක කෝසයිනවල සයිනවල අගයන් වගුව
නිතර සිදුවන ප්රධාන කෝණවල අගයන් වගුවේ දක්වා ඇත:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\වම(\frac(\pi)(6)\දකුණ) | 45^(\circ)\වම(\frac(\pi)(4)\දකුණ) | 60^(\circ)\වම(\frac(\pi)(3)\දකුණ) | 90^(\circ)\වම(\frac(\pi)(2)\දකුණ) | 180^(\circ)\වම(\pi\දකුණ) | 270^(\circ)\වම(\frac(3\pi)(2)\දකුණ) | 360^(\circ)\වම(2\pi\දකුණ) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
සයින් සහ කොසයින් මුලින් ඇති වූයේ සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණවල ප්‍රමාණ ගණනය කිරීමේ අවශ්‍යතාවයෙනි. සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක කෝණවල අංශක මිනුම වෙනස් නොකළහොත්, දර්ශන අනුපාතය, මෙම පැති කොතරම් දිග වෙනස් වුවද, සෑම විටම එලෙසම පවතින බව නිරීක්ෂණය විය.
සයින් සහ කොසයින් සංකල්ප හඳුන්වා දුන්නේ එලෙසිනි. සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක උග්ර කෝණයක සයින් යනු කර්ණයට ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තේ අනුපාතය වන අතර කොසයින් යනු කර්ණයට යාබද පැත්තේ අනුපාතයයි.
කෝසයින් සහ සයින් පිළිබඳ සිද්ධාන්ත
නමුත් කෝසයින සහ සයින් සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණවලට වඩා වැඩි ප්‍රමාණයක් සඳහා භාවිතා කළ හැක. ඕනෑම ත්රිකෝණයක නොපැහැදිලි හෝ තීව්‍ර කෝණයක හෝ පැත්තක අගය සෙවීමට කෝසයින් සහ සයින ප්‍රමේයය යෙදීම ප්රමාණවත් වේ.
කෝසයින් ප්‍රමේයය තරමක් සරල ය: "ත්රිකෝණයක පැත්තක වර්ග ප්‍රමාණය අනෙක් පැති දෙකේ වර්ගවල එකතුවට එම පැතිවල ගුණිතයෙන් දෙගුණයක් අඩු වන අතර ඒවා අතර කෝණයේ කෝසයිනය සමාන වේ."
සයින් ප්‍රමේයය පිළිබඳ අර්ථකථන දෙකක් තිබේ: කුඩා සහ දිගු. බාලයාට අනුව: "ත්රිකෝණයක, කෝණ විරුද්ධ පැතිවලට සමානුපාතික වේ." මෙම ප්‍රමේයය බොහෝ විට ත්රිකෝණයක වටකුරු කවයේ ගුණය නිසා පුළුල් වේ: "ත්රිකෝණයක, කෝණ ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවලට සමානුපාතික වන අතර ඒවායේ අනුපාතය පරිවරණය කළ කවයේ විෂ්කම්භයට සමාන වේ."
ව්යුත්පන්න
ව්‍යුත්පන්නය යනු එහි තර්කයේ වෙනසකට සාපේක්ෂව ශ්‍රිතයක් කෙතරම් ඉක්මනින් වෙනස් වේදැයි පෙන්වන ගණිතමය මෙවලමකි. ව්‍යුත්පන්නයන් ජ්‍යාමිතිය තුළ සහ තාක්ෂණික විෂයයන් ගණනාවක භාවිතා වේ.
ගැටළු විසඳීමේදී, ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නවල වගු අගයන් ඔබ දැනගත යුතුය: සයින් සහ කොසයින්. සයින් එකක ව්‍යුත්පන්නය කෝසයිනයක් වන අතර කොසයින් යනු සයින් එකක් වන නමුත් අඩු ලකුණක් ඇත.
ගණිතයේ යෙදුම
සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණ සහ ඒවාට අදාළ ගැටලු විසඳීමේදී සයින් සහ කෝසයින් විශේෂයෙන් බොහෝ විට භාවිතා වේ.
සයිනස් සහ කොසයිනවල පහසුව තාක්ෂණයෙන් ද පිළිබිඹු වේ. සංකීර්ණ හැඩතල සහ වස්තූන් "සරල" ත්රිකෝණ බවට බිඳ දමමින් කෝසයින් සහ සයින් ප්‍රමේයන් භාවිතයෙන් කෝණ සහ පැති ඇගයීමට පහසු විය. බොහෝ විට දර්ශන අනුපාත සහ උපාධි මිනුම් ගණනය කිරීම් සමඟ කටයුතු කරන ඉංජිනේරුවන් වගු නොවන කෝණවල කෝසයින සහ සයින ගණනය කිරීමට බොහෝ කාලයක් හා වෑයමක් දැරීය.
එවිට විවිධ කෝණවල සයින, කෝසයින, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල අගයන් දහස් ගණනක් අඩංගු බ්‍රැඩිස් වගු ගලවා ගැනීමට පැමිණියේය. සෝවියට් සමයේදී සමහර ගුරුවරුන් තම සිසුන්ට බ්‍රැඩිස් වගු වල පිටු කටපාඩම් කිරීමට බල කළහ.
රේඩියන් යනු අරය හෝ අංශක 57.295779513 ට සමාන දිග චාපයක කෝණික අගයයි.
උපාධියක් (ජ්‍යාමිතිය අනුව) යනු වෘත්තයකින් 1/360ක් හෝ සෘජු කෝණයකින් 1/90ක් වේ.
π = 3.141592653589793238462... (Pi හි ආසන්න අගය).
