Penentuan kestabilan senjata yang digerakkan sendiri. Kestabilan senapang gerak sendiri, konsep umum kestabilan. Sistem kawalan automatik dipanggil stabil jika, selepas pemberhentian gangguan yang menyebabkan ia menyimpang dari kedudukan keseimbangan, ia kembali ke kedudukan ini.

Konsep kelestarian

Konsep kestabilan sistem kawalan dikaitkan dengan keupayaan untuk kembali ke keadaan keseimbangan selepas kehilangan kuasa luar yang membawanya keluar dari keadaan ini.

Kestabilan ialah sifat sistem untuk kembali kepada keadaan mantap asal atau hampir dengannya selepas sebarang keluar daripadanya akibat daripada sebarang kesan.

Daripada definisi ini, kestabilan adalah berkaitan dengan sifat proses sementara dan keadaan sistem selepas tamat proses peralihan, i.e. adalah ciri dinamik utama sistem. Oleh itu, analisis kestabilan sistem kawalan automatik adalah masalah utama dalam teori kawalan automatik.

Bergantung pada sifat proses peralihan, terdapat tiga kes utama tingkah laku sistem selepas penggunaan pengaruh yang mengganggu:

1) sistem tidak dapat memulihkan keadaan keseimbangan, nilai pembolehubah terkawal semakin menyimpang daripada yang ditentukan (Rajah 6.1, a); proses sedemikian dipanggil divergen, dan sistem dipanggil tidak stabil;

2) sistem kembali ke keadaan keseimbangan, nilai pembolehubah terkawal berbeza daripada nilai yang ditentukan dengan jumlah ralat statik sistem; proses peralihan sedemikian akan menumpu, dan sistem akan stabil (Rajah 6.1, b);

3) sistem dicirikan oleh gerakan berkala yang mantap; proses sedemikian dipanggil berayun tidak terendam, dan sistem akan berada di sempadan kestabilan asimptotik (Rajah 6.1, c).

Rajah 6.1 Tingkah laku sistem selepas penggunaan gangguan

Mari kita pertimbangkan apa yang bergantung kepada kestabilan sistem dan bagaimana ia ditentukan. Biarkan dinamik sistem linear diterangkan oleh persamaan pembezaan linear dengan pekali malar:

Penyelesaian kepada persamaan tak homogen linear sedemikian dalam kes umum terdiri daripada dua komponen:

, (6.2)

y mulut (t)- penyelesaian tertentu persamaan tidak homogen (6.1) dengan bahagian kanan, menerangkan mod paksa sistem, yang ditubuhkan pada akhir proses peralihan; Kami membincangkan mod sedemikian dalam perenggan sebelumnya;

y p (t)- penyelesaian umum persamaan homogen yang menerangkan proses sementara dalam sistem yang disebabkan oleh gangguan tertentu.

Adalah jelas bahawa sistem akan stabil jika proses sementara y p (t), disebabkan oleh sebarang gangguan, akan dilembapkan, i.e. lebih masa y p (t) akan cenderung kepada sifar (Rajah 6.1, b).

Penyelesaian y p (t) persamaan pembezaan homogen mempunyai bentuk:

, (6.3)

C i - pemalar penyepaduan ditentukan oleh keadaan awal dan gangguan;

l i - punca persamaan ciri:

Oleh itu, proses peralihan y p (t) mewakili jumlah komponen, yang bilangannya ditentukan oleh bilangan punca l i persamaan ciri (6.4).

Dalam kes umum, punca-punca persamaan ciri adalah kompleks, membentuk pasangan akar konjugat:

di mana a i boleh sama ada positif atau negatif, dan akarnya adalah nyata jika b j =0 dan khayalan jika a i = 0.

Setiap pasangan akar tersebut menentukan komponen proses peralihan, sama dengan:

dan ditakrifkan melalui dan .

Adalah mudah untuk melihat bahawa komponen ini adalah sinusoid: dengan ayunan yang dilembapkan, jika a i<0 ; dengan ayunan mencapah, jika a i >0; dengan ayunan sinusoidal yang tidak terendam pada a i = 0.

Oleh itu, syarat untuk pengecilan komponen proses peralihan ini ialah negatif bahagian sebenar punca persamaan ciri sistem.

Jika b=0, maka proses itu hanya ditentukan oleh bahagian sebenar akar a dan bersifat aperiodik. Secara amnya, proses sementara dalam sistem terdiri daripada komponen berayun dan aperiodik. Jika sekurang-kurangnya satu punca mempunyai bahagian nyata yang positif, ia akan memberikan komponen yang berbeza dalam proses peralihan dan sistem akan menjadi tidak stabil. Ia berikutan bahawa syarat umum untuk pengecilan semua komponen, dan oleh itu keseluruhan proses peralihan secara keseluruhan, adalah negatif bahagian sebenar semua akar persamaan ciri sistem, i.e. semua kutub (sifar penyebut) fungsi pemindahan sistem.

Perkara di atas boleh digambarkan dengan paling jelas dengan menggambarkan punca-punca persamaan ciri pada satah kompleks (Rajah 6.2). Dalam kes ini, keadaan kestabilan yang terdapat di atas boleh dirumuskan seperti berikut: syarat untuk kestabilan sistem ialah lokasi semua punca persamaan ciri sistem, i.e. kutub fungsi pemindahan sistem, dalam setengah satah kompleks kiri, atau, ringkasnya, semua akar mestilah "kidal". Kehadiran akar pada paksi khayalan bermakna sistem berada pada sempadan kestabilan.

Rajah 6.2 Imej punca-punca persamaan ciri pada satah kompleks

Jadi, pada pandangan pertama, masalah mengkaji kestabilan tidak menimbulkan sebarang kesulitan, kerana cukup untuk menentukan lokasi akar persamaan ciri pada satah kompleks. Walau bagaimanapun, menentukan punca persamaan ciri susunan yang lebih tinggi daripada ketiga dikaitkan dengan kesukaran yang ketara, yang menimbulkan masalah mengkaji kestabilan sistem di mana proses dinamik diterangkan oleh persamaan pembezaan peringkat tinggi.

Penyelesaian separa kepada masalah ini telah ditemui secara tidak langsung. Beberapa tanda telah dibangunkan di mana seseorang boleh menilai tanda-tanda bahagian sebenar akar persamaan ciri sistem dan dengan itu kestabilan sistem, tanpa menyelesaikan persamaan ciri itu sendiri. Dalam kes ini, biasanya terdapat dua rumusan masalah mengkaji kestabilan sistem:

1) semua parameter sistem ditentukan dan adalah perlu untuk menentukan sama ada sistem itu stabil pada nilai parameter ini;

2) adalah perlu untuk menentukan nilai beberapa parameter (dengan selebihnya diberikan) di mana sistem itu stabil.

Rumusan matematik bagi syarat-syarat yang mesti dipenuhi oleh pekali persamaan ciri atau mana-mana fungsi pekali ini supaya sistem menjadi stabil dipanggil kriteria kestabilan.

Kestabilan sistem kawalan automatik Kelestarian sistem kawalan automatik, keupayaan sistem kawalan automatik(ACS) untuk berfungsi secara normal dan menahan pelbagai gangguan (kesan) yang tidak dapat dielakkan. Keadaan ACS dipanggil stabil jika sisihan daripadanya kekal kecil sewenang-wenangnya untuk sebarang perubahan yang cukup kecil dalam isyarat input. U. Pelbagai jenis senapang gerak sendiri ditentukan oleh kaedah yang berbeza. Teori persamaan pembezaan yang tepat dan ketat untuk sistem yang diterangkan oleh persamaan pembezaan biasa telah dicipta oleh A.M. Lyapunov pada tahun 1892.

═ Semua keadaan sistem kawalan automatik linear adalah sama ada stabil atau tidak stabil, jadi kita boleh bercakap tentang sistem kawalan sistem secara keseluruhan. Untuk SLE linear pegun yang diterangkan oleh persamaan pembezaan biasa, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua punca persamaan ciri yang sepadan mempunyai bahagian nyata negatif (maka ACS adalah stabil secara asymptotically). Terdapat pelbagai kriteria (syarat) yang membolehkan seseorang menilai tanda-tanda punca persamaan ciri tanpa menyelesaikan persamaan ini √ secara langsung dengan pekalinya. Apabila mengkaji U. ACS yang diterangkan oleh persamaan pembezaan tertib rendah (sehingga ke-4), kriteria Routh dan Hurwitz digunakan (E. Routh, mekanik Inggeris; A. Hurwitz, ahli matematik Jerman). Walau bagaimanapun, hampir mustahil untuk menggunakan kriteria ini dalam banyak kes (contohnya, dalam kes sistem kawalan automatik yang diterangkan oleh persamaan pesanan tinggi) kerana keperluan untuk menjalankan pengiraan yang rumit; Di samping itu, penentuan persamaan ciri sistem kawalan automatik yang kompleks dikaitkan dengan pengiraan matematik intensif buruh. Sementara itu, ciri kekerapan mana-mana tidak kira betapa kompleksnya SLU boleh didapati dengan mudah menggunakan operasi grafik dan algebra yang mudah. Oleh itu, apabila menyelidik dan mereka bentuk sistem kawalan automatik pegun linear, kriteria frekuensi Nyquist dan Mikhailov biasanya digunakan (H. Nyquist, ahli fizik Amerika; A. V. Mikhailov, saintis Soviet dalam bidang kawalan automatik). Kriteria Nyquist adalah sangat mudah dan mudah dalam aplikasi praktikal. Set nilai parameter ACS di mana sistem stabil dipanggil kawasan U. Kehampiran ACS dengan sempadan rantau ACS dianggarkan oleh rizab fasa dan amplitud ACS, yang ditentukan oleh ciri-ciri fasa amplitud ACS terbuka. Teori moden sistem kawalan automatik linear menyediakan kaedah untuk mengkaji sistem kawalan dengan parameter terkumpul dan teragih, berterusan dan diskret (nadi), pegun dan tidak pegun.

═ Masalah kawalan sistem kawalan automatik tak linear mempunyai beberapa ciri penting berbanding dengan yang linear. Bergantung pada sifat tidak linear dalam sistem, sesetengah keadaan mungkin stabil, manakala yang lain mungkin tidak stabil. Dalam teori kawalan sistem tak linear, kita bercakap tentang kawalan keadaan tertentu, dan bukan sistem seperti itu. Kawalan mana-mana keadaan sistem kawalan automatik tak linear boleh dikekalkan jika gangguan operasi cukup kecil, dan dilanggar di bawah gangguan besar. Oleh itu, konsep kawalan dalam kecil, besar, dan keseluruhan diperkenalkan. Konsep kawalan mutlak, iaitu, kawalan sistem kawalan di bawah gangguan awal terhad yang sewenang-wenangnya dan sebarang ketaklinearan sistem (daripada kelas bukan linear tertentu), adalah penting. Mempelajari kawalan sistem kawalan automatik tak linear ternyata agak sukar walaupun menggunakan komputer. Untuk mencari syarat yang mencukupi untuk persamaan, kaedah fungsi Lyapunov sering digunakan. Kriteria kekerapan yang mencukupi untuk U. mutlak telah dicadangkan oleh Rum. ahli matematik V. M. Popov dan lain-lain. Bersama-sama dengan kaedah yang tepat untuk mengkaji alam semesta, kaedah anggaran digunakan, berdasarkan penggunaan fungsi penghuraian, contohnya, kaedah harmonik atau statistik linearisasi

═ Kestabilan sistem kawalan automatik di bawah pengaruh gangguan rawak dan gangguan dikaji oleh teori kawalan sistem stokastik.

═ Teknologi komputer moden memungkinkan untuk menyelesaikan banyak masalah sistem kawalan sistem kawalan automatik linear dan tak linear pelbagai kelas, kedua-duanya dengan menggunakan yang diketahui algoritma, dan berdasarkan algoritma khusus baharu yang direka bentuk untuk keupayaan komputer moden dan sistem pengkomputeran.

═ Lit.: Lyapunov A. M., Masalah umum kestabilan gerakan, Koleksi. soch., jilid 2, M. √ L., 1956; Voronov A. A., Asas teori kawalan automatik, t. 2, M. √ L., 1966; Naumov B. N., Teori sistem automatik tak linear. Kaedah kekerapan, M., 1972; Asas kawalan automatik, ed. V. S. Pugacheva, ed. ke-3, M., 1974.

═ V. S. Pugachev, I. N. Sinitsyn.

Ensiklopedia Soviet yang Hebat. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apakah "Kestabilan sistem kawalan automatik" dalam kamus lain:

Kandungan 1 Sejarah 2 Konsep asas 3 Berfungsi ... Wikipedia

TEORI KAWALAN AUTOMATIK- arah saintifik yang mengkaji prinsip membina sistem kawalan automatik (ACS). T. a. u. membentuk salah satu bahagian dari teori umum pengurusan. Tujuan T. a. u. membina senjata bergerak sendiri yang cekap dan tepat. Yang paling mudah dan paling biasa... ... Kamus Ensiklopedia Psikologi dan Pedagogi

Satu set peranti yang secara automatik memastikan pelaksanaan, dengan ketepatan yang diperlukan, program kawalan terpilih untuk enjin turbin gas pesawat dalam mod operasi tetap dan sementara. S. a. u. Enjin turbin gas melakukan perkara berikut... Ensiklopedia teknologi

Ensiklopedia "Penerbangan"

sistem kawalan automatik enjin turbin gas- sistem kawalan automatik enjin turbin gas satu set peranti yang memastikan pelaksanaan secara automatik, dengan ketepatan yang diperlukan, program kawalan terpilih untuk enjin turbin gas pesawat pada keadaan stabil dan sementara... ... Ensiklopedia "Penerbangan"

I Kestabilan penyelesaian persamaan pembezaan, konsep teori kualitatif persamaan pembezaan, dibangunkan terutamanya berkaitan dengan isu kestabilan gerakan (Lihat Kestabilan gerakan) dalam mekanik; penting juga...

Kestabilan adalah keupayaan sistem untuk mengekalkan keadaan semasanya dengan kehadiran pengaruh luar. Dalam makroekonomi, kemampanan merujuk kepada keseimbangan jangka panjang antara eksploitasi sumber dan pembangunan masyarakat manusia. Dalam meteorologi... ... Wikipedia

Lihat Kestabilan sistem kawalan automatik... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Struktur pengurusan ialah satu set cara yang sistematik (ditakrifkan dengan ketat) untuk mengumpul maklumat tentang objek terkawal dan cara mempengaruhi tingkah lakunya untuk mencapai matlamat tertentu. Objek sistem kawalan boleh... ... Wikipedia

Pesawat, keupayaan pesawat (termasuk pesawat dengan sistem untuk meningkatkan kestabilan dan kebolehkawalan) untuk memulihkan, tanpa campur tangan juruterbang, mod asal gerakan membujur selepas penamatan tindakan ... Ensiklopedia teknologi

Buku

• Teori kawalan automatik dalam contoh dan masalah dengan penyelesaian dalam MATLAB. Buku teks, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich. Manual ini mengandungi kaedah untuk menyelesaikan semua jenis contoh dan masalah yang sedang dipertimbangkan, serta masalah untuk penyelesaian bebas dalam disiplin "Teori Kawalan Automatik". Bahan…
• Teori kawalan automatik dalam contoh dan masalah dengan penyelesaian dalam MATLAB. Tutorial. Grif Institusi Pendidikan Universiti Rusia, Gaiduk Anatoly Romanovich, Pyavchenko Tamila Alekseevna, Belyaev Viktor Egorovich. Manual ini mengandungi kaedah untuk menyelesaikan semua jenis contoh dan masalah yang sedang dipertimbangkan, serta masalah untuk penyelesaian bebas dalam disiplin "Teori Kawalan Automatik". Bahan…

Hantar kerja baik anda di pangkalan pengetahuan adalah mudah. Gunakan borang di bawah

Pelajar, pelajar siswazah, saintis muda yang menggunakan pangkalan pengetahuan dalam pengajian dan kerja mereka akan sangat berterima kasih kepada anda.

Disiarkan pada http:// www. semua terbaik. ru/

KESTABILAN SISISTEM KAWALAN AUTOMATIK

1. Konsep asas teori kestabilan

1.1 Kajian kestabilan menggunakan persamaan penghampiran pertama

1.2 Kriteria kestabilan algebra

1.3 Kriteria kestabilan kekerapan

2. Pengenalpastian kawasan kestabilan

Bibliografi

1. AsasKonsep baru teori kestabilan

Semasa operasinya, sistem tertakluk kepada pelbagai jenis pengaruh yang mengganggu, yang menyebabkan penyelewengannya daripada kedudukan keseimbangan atau pergerakan tertentu.

Sistem kawalan automatik dipanggil stabil jika, selepas pemberhentian gangguan yang menyebabkan ia menyimpang daripada p Okedudukan keseimbangan, ia kembali kepada kedudukan keseimbangan ini atauApergerakan ini.

Oleh itu, hanya sistem yang stabil boleh dilaksanakanbNuh.

Biarkan ACS diterangkan oleh sistem persamaan pembezaan pegun tak linear bagi bentuk tersebut

di mana yk - pembolehubah keadaan sistem;

Yk - fungsi yang diketahui ditakrifkan dalam beberapa domain tetap G ruang berubah-ubah yk pada mana-mana t >0.

Dalam ruang ini, persamaan (3.1) menentukan komponen Yk vektor halaju titik tertentu M , dipanggil titik mewakili. Dari sudut pandangan fizikal, persamaan (3.1) harus dianggap sebagai bentuk matematik merekodkan undang-undang fizikal yang tertakluk kepada sistem kawalan automatik. Wilayah G definisi fungsi Yk adalah sebahagian daripada ruang negeri di mana tindakan undang-undang fizikal ini diperluaskan.

Biarkan kuantiti y 10,...., yn 0 menandakan nilai awal pembolehubah keadaan. Setiap sistem nilai awal sepadan dengan penyelesaian yang unik

persamaan yang ditakrifkan untuk mana-mana Mari kita anggap bahawa di antara semua pergerakan kita berminat dengan pergerakan yang diterangkan oleh fungsi masa tertentu.

Dalam kes khas apabila sistem pegun dan fungsi Yk adalah jelas bebas daripada masa, maka pergerakan (3.3) adalah stabil. Mereka dijawab oleh apa yang dipanggil penyelesaian yang jelas

berfungsi sebagai punca persamaan

Dalam apa yang berikut kita akan bercakap tentang kestabilan gerakan sistem yang mempunyai penyelesaian (3.3), memandangkan gerakan mantapnya sebagai kes khas. Mari kita perkenalkan penyimpangan daripada usul tertentu sebagai pertimbangan

Menggantikan ungkapan untuk yk diperoleh daripada sistem persamaan asal, kita perolehi

,

di mana

Persamaan ditulis relatif kepada sisihan yang muncul akibat daripada sebarang gangguan dan, dalam terminologi Lyapunov, dipanggil persamaaneniami pergerakan terganggu.

Formula menentukan penjelmaan pemindahan asal koordinat ke titik dengan koordinat dan oleh itu, jika penyelesaian sistem (3.1) menumpu kepada nilai, maka penyelesaian sistem menumpu kepada sifar. Persamaan

dipanggil persamaan gerakan tidak terganggu.

Pada t = t 0 pembolehubah X k mengambil nilai awal mereka xk 0 yang dipanggil gangguan. Setiap sistem gangguan sedemikian sepadan dengan penyelesaian yang unik

Penyelesaian ini mewakili pergerakan sistem terganggu.

Mari kita kaji tingkah laku perbezaan di t > t 0 . Untuk ini, pertimbangkan persamaan

yang mentakrifkan dalam n -persegi ruang berdimensi bagi jarak titik yang mewakili M dari asal. Pergerakan terganggu di t>t0 boleh diteruskan seperti berikut:

titik mewakili M bergerak lebih jauh dari asal koordinat, dan nilai R meningkat tanpa had (lengkung 1 dalam Rajah 3.1);

titik mewakili M kekal di dalam kejiranan tertentu asal, supaya kuantiti R sentiasa mempunyai nilai terhad yang tidak melebihi nombor positif kecil yang telah ditetapkan , mereka. R < (lengkung 2 dalam Rajah 3.1);

Titik mewakili M kembali ke asal koordinat dari semasa ke semasa, i.e. (lengkung 3 dalam Rajah 3.1).

nasi. 3.1. Jenis pergerakan titik mewakili

Keadaan keseimbangan xk =0 boleh dianggap stabil jika sistem, setelah menerima gangguan awal, kemudiannya terus kekal dalam blDankejiranan terdekat keadaan keseimbangan atau kembali kepadanya. Adalah perlu untuk memberikan tafsiran khusus kepada konsep "kejiranan segera" dan pengasas teori kestabilan A.M. Lyapunov memberikan definisi kestabilan berikut.

Pergerakan yang tidak terganggu dikatakan stabil berkenaan dengan kuantitixk , jika bagi mana-mana sewenang-wenangnya diberi chi positifDenganle, tidak kira betapa kecilnya, akan ada satu lagi nombor positif seperti itu ( ) , di mana untuk gangguanxk 0 , keadaan yang memuaskanDankeladi

gerakan yang terganggu akan memenuhi ketaksamaan

pada mana-manat > t 0. Ketaksamaan mengehadkan julat sisihan awal yang dibenarkan.

Jika untuk sewenang-wenangnya kecil >0 mustahil untuk ditemui ( ) , di mana ketaksamaan (3.11) dipenuhi, maka sistem itu tidak stabil.

Jika sistem itu stabil dan pergerakannya sedemikian, maka si iniDengantopiknya stabil secara asimptotik.

Ia berikutan bahawa dalam Rajah. 3.1, lengkung 1 sepadan dengan sistem yang tidak stabil, lengkung 2 kepada sistem yang stabil, dan lengkung 3 kepada sistem yang stabil secara asimptotik.

A.M. Lyapunov membangunkan pelbagai kaedah untuk menilai kestabilan senapang yang digerakkan sendiri. Kaedah langsung, atau dipanggil Lyapunov kedua, boleh digunakan untuk mengkaji semua kelas sistem dan berdasarkan penggunaan fungsi Lyapunov khas. Kami telah mengatakan bahawa sejumlah besar sistem membenarkan linearisasi menggunakan kaedah sisihan kecil, dan Lyapunov adalah yang pertama membuktikan kebolehterimaan pertimbangan tentang kestabilan dalam kecil, i.e. bagi sisihan kecil, sistem tak linear asal mengikut persamaan penghampiran pertama yang diperoleh hasil daripada linearisasi.

1 . 1 Penyelidikan tentang kelestarianpersamaan penghampiran pertama

Mana-mana persamaan pembezaan linear mempunyai penyelesaian bentuk

,

di mana i - punca persamaan ciri, x T( t ) - penyelesaian tertentu yang menentukan gerakan yang diperlukan sistem. Sisihan daripada pergerakan yang diberikan akan ditulis dalam bentuk

Oleh itu, jika semua punca persamaan ciri adalah negatif (mempunyai bahagian nyata negatif), maka sistem linear adalah stabil secara asimtotik. Jika di antara akar persamaan ciri terdapat sekurang-kurangnya satu yang mempunyai bahagian nyata positif, maka sistem linear juga tidak stabil. Adakah mungkin untuk menilai kestabilan sistem tak linear asal untuk sisihan kecil daripada punca persamaan ciri sistem linear? A.M. Lyapunov membuktikan teorem berikut mengenai kestabilan dalam kecil.

Teorem 1. Jika bahagian sebenar k semua akar k j k persamaan ciri penghampiran pertama adalah negatif, maka gerakan tidak terganggu sistem tak linear asal adalah stabil secara asymptotically tanpa mengira terma pengembangan siri Taylor yang tidak diambil kira di atas tertib pertama kekecilan.

Teorem 2. Jika di antara punca persamaan ciri penghampiran pertama terdapat sekurang-kurangnya satu dengan bahagian nyata positif, maka gerakan tidak terganggu sistem tak linear asal adalah tidak stabil, tanpa mengira terma pengembangan siri Taylor di atas urutan pertama kekecilan. yang tidak diambil kira.

Kes kritikal apabila mustahil untuk menilai kestabilan menggunakan persamaan penghampiran pertama timbul jika di antara semua punca terdapat sekumpulan punca yang bahagian sebenar adalah sama dengan sifar, dan selebihnya mempunyai bahagian nyata negatif.

Mari lihat lukisan itu.

Punca-punca persamaan ciri yang mempunyai bahagian nyata negatif terletak di separuh satah kiri dan dipanggil punca stabil (kutub) sistem. Akar dengan bahagian nyata positif terletak di separuh satah kanan dan merupakan kutub sistem yang tidak stabil. Dari sudut pandangan ini, paksi khayalan adalah sempadan kestabilan dan menetas di sebelah kiri.

Yang menarik ialah kes yang sering ditemui apabila polinomial ciri sistem mempunyai satu punca sifar, dan akar yang tinggal terletak pada separuh satah kiri. Ini sepadan dengan persamaan sistem di mana sebutan bebas adalah sama dengan sifar an .

Mengeluarkan operator daripada kurungan s , kita mendapatkan

Oleh kerana pengendali Laplace di bawah keadaan awal sifar adalah simbol pembezaan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan terakhir ditulis secara relatif kepada kelajuan pembolehubah terkawal. Persamaan ciri

mengikut keadaan, ia hanya mempunyai akar yang stabil dan, oleh itu, sistem adalah stabil berbanding dengan kelajuan pembolehubah terkawal. Berhubung dengan kuantiti terkawal itu sendiri, sistem adalah neutral dan nilainya selepas tamat proses pengawalseliaan adalah sewenang-wenangnya dan bergantung kepada syarat awal. Sistem sedemikian dipanggil stabil secara neutral.

Menilai kestabilan secara langsung dari akar persamaan ciri adalah mungkin, tetapi tidak banyak digunakan dalam amalan kejuruteraan dan saintifik, kerana pengetahuan tentang nilai berangka akar tidak membawa maklumat tentang cara untuk menstabilkan sistem jika ia tidak stabil atau mempunyai margin kestabilan yang kecil. Oleh itu, untuk tujuan analisis kestabilan, kriteria khas telah dibangunkan yang membolehkan untuk mengkaji isu kestabilan tanpa menentukan punca persamaan ciri.

1.2 Algebkriteria kemampanan kaum

Keadaan yang diperlukan untuk kestabilan.

Persamaan ciri sistem selepas menentukan puncanya boleh diwakili sebagai

Jika sistem itu stabil dan semua akarnya mempunyai bahagian nyata negatif, maka selepas membuka kurungan dalam ungkapan terakhir kita memperoleh persamaan ciri sistem

,

di mana semua pekali A i , i =1,2,... n , akan menjadi lebih besar daripada sifar.

Untuk sistem menjadi stabil, adalah perlu, tetapi tidak mencukupi, bahawa semua pekali persamaan cirinya adalah lebih besar daripada n dila.

Konsep ketidakcukupan bermaksud jika mana-mana pekali persamaan ciri sistem adalah kurang daripada sifar atau sama dengan sifar, maka sistem itu tidak stabil, tetapi kepositifan semua pekali tidak bermakna sistem itu stabil. Lebih banyak kajian diperlukan.

Kriteria kestabilan Hurwitz.

Untuk menilai kestabilan mengikut kriteria ini, adalah perlu untuk membina penentu Hurwitz daripada pekali persamaan ciri mengikut peraturan berikut:

sepanjang pepenjuru utama semua pekali persamaan ciri dari a1 sebelum ini A n dalam susunan indeks menaik;

lajur penentu diisi dengan pekali dari pepenjuru utama ke bawah dengan menurunkan indeks, dan ke atas dengan meningkatkan indeks;

tempat pekali yang indeksnya lebih besar n atau kurang daripada sifar diisi dengan sifar.

Sebagai contoh, mari kita susun penentu Hurwitz untuk sistem pesanan ke-5. Persamaan ciri sistem mempunyai bentuk

di mana semua pekali adalah lebih besar daripada sifar. Kita mendapatkan

.

Agar semua punca persamaan ciri mempunyai bahagian nyata negatif dan sistem menjadi stabil, adalah perlu Danadalah memadai bahawa semua pekali dan semua pepenjuru menentukanesama ada penentu Hurwitz adalah lebih besar daripada sifar.

Untuk kestabilan sistem pesanan ke-5, syarat berikut mesti dipenuhi:

A k >0, k =0,1,2,...5;

2 =a1a2 - a0a3>0;

3=a3 2 - a12a4>0;

4 =a4 3 -a2a5 2 + a0a5(a1a4 - a0a5)>0;

5 =a5 4>0.

Sejak apabila keadaan kestabilan yang diperlukan dipenuhi, sentiasa A n >0, maka kestabilan sistem boleh dinilai oleh penentu sehingga n -1 inklusif . Telah terbukti bahawa jika n -1=0, maka sistem berada pada sempadan kestabilan ayunan, i.e. mempunyai sepasang akar khayalan semata-mata. Dari syarat n -1=0 adalah mungkin untuk menentukan nilai kritikal parameter sistem di mana ia mencapai sempadan kestabilan.

Contoh. Menyiasat kestabilan sistem penstabilan sudut padang pesawat dan tentukan nilai kritikal nisbah padang autopilot. Sistem ini ditentukan oleh gambarajah blok.

Rajah menunjukkan:

k- nisbah gear (pekali penghantaran) autopilot dalam sudut padang;

fungsi pemindahan gear stereng;

fungsi pemindahan pesawat dari segi halaju sudut pic z ;

k z - nisbah gear autopilot untuk halaju sudut padang.

Untuk fungsi pemindahan sistem gelung terbuka, kita boleh menulis

di mana

Fungsi pemindahan sistem gelung tertutup akan mengambil bentuk

di mana

Mari kita karang penentu Hurwitz

Marilah kita menilai kestabilan sistem untuk nilai parameter berikut:

.

Dengan nilai ini untuk pekali persamaan ciri yang kami perolehi

Akibatnya, semua pekali persamaan ciri sistem gelung tertutup adalah positif dan

Keadaan kestabilan dipenuhi dan sistem adalah stabil di bawah parameter yang dipilih.

Mari kita tentukan nilai kritikal nisbah gear untuk sudut pic, yang mana kita samakan penentu pepenjuru ketiga kepada sifar dan membuat transformasi.

Dalam ungkapan terakhir sahaja d 3 Dan d 4 adalah fungsi bagi pekali k dan menggantikannya ke dalamnya, kita mendapat persamaan kuadratik untuk pekali ini

Setelah menyelesaikan persamaan ini, kami memperoleh nilai kritikal nisbah pic

Sistem ini stabil jika k <16.56.

Kriteria kestabilan Routh.

Kriteria Routh memerlukan pengiraan kurang sedikit daripada kriteria Hurwitz dan lebih mudah untuk pengaturcaraan komputer. Untuk menilai kestabilan sistem menggunakan kriteria ini, adalah perlu untuk menyusun jadual Routh.

Jadual Routh

Elemen setiap baris untuk i >2 dikira dengan formula

Agar punca-punca persamaan ciri terletak pada le separuh satah dan sistem adalah stabil, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua elemen lajur pertama jadual Routh adalah positif sepenuhnya DanTelny.

1.3 Kriteria kestabilan kekerapan

Prinsip hujah.

Kriteria kestabilan frekuensi digunakan dalam bentuk grafik-analisis dan dibezakan dengan kejelasan yang sangat baik semasa menjalankan pengiraan. Semua kaedah kekerapan adalah berdasarkan prinsip hujah.

Pertimbangkan persamaan ciri sistem

Jika i , i =1,2,... n - punca-punca persamaan ini, maka

Setiap punca pada satah kompleks sepadan dengan titik tertentu, dan secara geometri pada satah ini setiap punca boleh diwakili sebagai vektor dengan modulus i , diambil dari asal (Rajah 3.4). Jom buat pengganti s = j dan kita dapat

Selaras dengan peraturan untuk menolak vektor, kita memperoleh bahawa penghujung setiap vektor asas ( j - i ) berada pada paksi khayalan.

Hujah vektor D ( j ) sama dengan jumlah hujah vektor asas

Arah putaran vektor ( j - i ) lawan jam apabila frekuensi berubah dari - sehingga + dianggap positif, dan mengikut arah jam - negatif. Mari kita andaikan bahawa persamaan ciri mempunyai m akar di separuh satah kanan dan n - m akar di separuh satah kiri. Apabila frekuensi berubah dari - kepada + setiap vektor ( j - i ), yang asalnya terletak pada separuh satah kiri akan berputar melalui sudut + , dan setiap vektor yang asalnya terletak pada separuh satah kanan - dengan sudut - . Menukar hujah vektor D ( j ) akan ada

Ungkapan ini mentakrifkan prinsip hujah.

Menukar hujah vektorD ( j ) apabila frekuensi berubah dari -kepada +sama dengan perbezaan antara nombor( n - m ) punca persamaan D ( s )=0 , terletak di separuh satah kiri, dan nomborm punca persamaan ini terletak di separuh kanandikapal terbang didarab dengan .

Kriteria kestabilan Mikhailov.

Daripada (3.14) ia mengikuti bahawa jika semua punca persamaan ciri terletak pada separuh satah kiri, i.e. m =0 , Itu

Ini membayangkan perumusan pertama kriteria Mikhailov.

Sistem kawalan automatik adalah stabil jika, apabila frekuensi meningkat daripada -kepada +menukar hujah vektorD ( j ) akan saman , Di manan - susunan persamaan ciri.

vektor D ( j ) boleh diwakili dalam bentuk

Komponen sebenar ungkapan ini ialah fungsi genap, dan komponen khayalan ialah fungsi frekuensi ganjil, i.e. U (- )= U ( ); V (- )= - V ( ) Dan D (- j )= U ( ) - jV ( ).

Ia berikutan bahawa lengkung Mikhailov adalah simetri berkenaan dengan paksi sebenar dan apabila membinanya seseorang boleh mengehadkan dirinya kepada julat frekuensi dari 0 kepada + . Menukar hujah vektor D ( j ) dalam kes ini, ia akan berkurangan separuh dan rumusan kriteria Mikhailov adalah seperti berikut.

Sistem kawalan automatik adalah stabil jika, apabila frekuensi meningkat daripada 0 kepada +vektorD ( j ) akan bertukar kepada satu sudutn /2 atau, apakah yang sama, jika lengkung Mikhailov dengan perubahan frekuensi yang sama, bermula dari kedudukanDanpaksi separuh sebenar sebenar, berputar secara berurutan dalam n positifApapann kuadran dan berakhir padan -ohm kuadran (Rajah 3.5).

Jika sekurang-kurangnya satu kuadran hilang (Rajah 3.6), maka sistem tidak stabilkeChiva.

Memerhati kelakuan lengkung Mikhailov untuk sistem kawalan automatik yang stabil, seseorang dapat melihat bahawa apabila ia melalui n punca kuadran persamaan U ( )=0 Dan V ( )=0 silih berganti antara satu sama lain, i.e. antara dua punca persamaan V ( )=0 terdapat satu punca persamaan U ( )=0.

Sistem kawalan automatik adalah stabil jika punca-punca persamaanV ( )=0 Dan U ( )=0 nyata dan berselang seli antara satu sama lain.

Sistem ini mungkin berada pada sempadan kestabilan dan ini sepadan dengan dua kes:

persamaan ciri sistem mempunyai satu punca sifar, iaitu apabila A n = 0 ; lengkung Mikhailova dalam kes ini ia meninggalkan asal koordinat;

2) persamaan ciri mempunyai sepasang punca khayalan semata-mata j k Dan D ( j k )= U ( k )+ jV ( k )=0, yang hanya boleh berlaku jika pada masa yang sama U ( k )=0 Dan V ( k )=0; ini bermakna bahawa keluk Mikhailov melalui asal.

nasi. 3.5. Lengkung Mikhailov untuk Rajah. 3.6. Keluk Mikhailov untuk senjata bergerak sendiri yang stabil dan senjata bergerak sendiri yang tidak stabil

Menggunakan kriteria Mikhailov, adalah mungkin untuk menentukan nilai kritikal parameter sistem di mana ia berada pada sempadan kestabilan, khususnya faktor keuntungan kritikal. Untuk melakukan ini, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan

Contoh. Menggunakan kriteria Mikhailov, nilaikan kestabilan sistem penstabilan sudut padang pesawat dan tentukan nilai kritikal nisbah gear k .

Persamaan ciri sistem tertutup diperoleh di atas dan mempunyai bentuk

Jom buat pengganti s = j dan pilih bahagian sebenar dan khayalan

Lengkung Mikhailov yang dibina dengan parameter sistem yang dinyatakan sebelum ini mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah 3.7.

Lengkung bermula pada separuh paksi positif sebenar, melalui 4 sukuan berturut-turut dan berakhir di sukuan ke-4. Oleh itu, untuk parameter ini, sistem yang dikaji adalah stabil.

nasi. 3.7. Lengkung Mikhailov untuk sistem penstabilan sudut padang

Untuk menentukan nilai kritikal nisbah gear bagi sudut pic, kami akan menyusun sistem persamaan

Daripada persamaan kedua sistem kita menentukan kekerapan dan menggantikan ungkapan untuknya ke dalam persamaan pertama, selepas transformasi kita memperoleh persamaan kuadratik mengenai nilai nisbah gear yang dikehendaki.

Persamaan yang terhasil adalah benar-benar sama dengan yang diperoleh apabila menyelesaikan masalah menggunakan kriteria Hurwitz dan hasilnya adalah sama

Pembinaan lengkung Mikhailov untuk sistem pesanan tinggi boleh dikaitkan dengan pengiraan yang rumit dan pembinaan grafik. Dalam kes ini, mungkin lebih mudah untuk menganggarkan kestabilan daripada punca persamaan U ( )=0 Dan V ( )=0. Mari kita tentukan punca-punca persamaan ini dan letakkannya pada punca paksi nombor bagi persamaan tersebut U()=0

Kriteria kestabilan nyquist.

Kriteria kestabilan Nyquist membolehkan kita menilai kestabilan tertutupdisistem itu mengikut jenis tindak balas fasa sistem gelung terbuka.

Biarkan fungsi pemindahan sistem gelung terbuka dan gelung tertutup mempunyai bentuk:

di mana D ( s )- polinomial ciri sistem tertutup. Beralih kepada perwakilan kekerapan, kita dapat

vektor N ( j ) dipanggil vektor Nyquist. Jelas sekali, pengangka dan penyebut vektor ini mempunyai susunan yang sama n . Apabila menggunakan kriteria Nyquist, dua kes mesti dibezakan.

1). Sistem gelung terbuka adalah stabil dan persamaan cirinya ialah A ( s )=0 mempunyai semua akar di separuh satah kiri. Kemudian, apabila frekuensi berubah dari 0 kepada

Menukar hujah vektor D ( j ) dalam kes umum ia adalah sama

di mana m - bilangan punca persamaan D ( s )=0, berbaring di separuh satah kanan. kekerapan kestabilan tertutup kebolehubah

Menukar hujah vektor Nyquist akan menjadi

Jika sistem tertutup stabil, maka m =0 Dan

Sejak bila , W ( j ) 0, Itu N ( j ) 1. Pertimbangkan Rajah 3.8a, yang menunjukkan lengkung Nyquist, yang diterangkan oleh vektor Nyquist apabila frekuensi berubah dari 0 kepada. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa vektor Nyquist akan menerangkan sudut sama dengan sifar hanya jika hodografnya tidak meliputi asalan. Mari kita alihkan asal koordinat ke titik dengan koordinat (1, j 0) (Gamb. 3.9b). Anda boleh memastikan bahawa perubahan dalam hujah vektor Nyquist akan sama dengan sifar jika AFC W ( j ) sistem gelung terbuka tidak meliputi titik kritikal dengan koordinat(-1, j 0).

nasi. 3.9. Ke arah takrifan kriteria Nyquist

Kriteria Nyquist untuk kes yang sedang dipertimbangkan dirumuskan seperti berikut.

Sistem kawalan automatik yang stabil dalam keadaan terbuka akan stabil dalam keadaan tertutup jika AFC W ( j ) sistem gelung terbuka apabila menukar frekuensi daripada 0 kepadatidak meliputi titik kritikal dengan koordinat (-1,j0).

Singulariti timbul jika sistem gelung terbuka adalah neutral-stabil, i.e.

di manakah polinomial A 1( s ) mempunyai semua akar di separuh satah kiri. Pada =0 Tindak balas AFC sistem gelung terbuka W ( j )= dan adalah mustahil untuk mengesan tingkah laku lengkung AFC di sekitar titik ini. Apabila frekuensi berubah dari - ke +, pergerakan akar diperhatikan sepanjang paksi khayalan dari bawah ke atas dan apabila =0 terdapat jurang yang tidak berkesudahan. Dengan pergerakan ini, kita akan mengelilingi punca sifar (Rajah 3.10) di sepanjang separuh bulatan jejari tak terhingga supaya akar ini kekal di sebelah kiri, i.e. Marilah kita merujuknya secara buatan kepada separuh satah kiri.

nasi. 3.10. Hodograf Nyquist untuk senapang gerak sendiri stabil neutral

Apabila bergerak sepanjang separuh bulatan ini ke arah positif, pembolehubah bebas berubah mengikut undang-undang

di mana fasanya ( ) berbeza dari - / 2 kepada + / 2. Menggantikan ungkapan ini ke dalam fungsi pemindahan dan bukannya pengganda s dalam penyebut, kita dapat

di mana R di 0 , dan fasa ( ) berbeza daripada + / 2 sebelum - / 2. Akibatnya, di sekitar punca sifar hodograf W ( j ) mewakili sebahagian daripada bulatan jejari yang tidak terhingga besar, pergerakan sepanjang yang berlaku apabila kekerapan meningkat ke arah negatif.

Untuk menilai kestabilan sistem gelung tertutup, jika sistem gelung terbuka stabil secara neutral, adalah perlu untukW ( j ) gelung terbukaDengan tambah topik dengan lengkok jejari yang tidak terhingga besar, bermula dari frekuensi yang lebih rendah, ke arah negatif, dan untuk lengkung tertutup yang terhasil, gunakan kriteria Nyquist untuk sistem yang stabil pada masa yang sama Kepadadalam keadaan pudina.

2).Sistem gelung terbuka tidak stabil. Dalam kes ini

di mana R- bilangan punca persamaan ciri sistem gelung terbuka yang terletak pada separuh satah kanan. Jika sistem tertutup stabil, i.e. m =0 , Itu

mereka. Tindak balas AFC sistem gelung terbuka meliputi titik kritikal (-1,j0) dalam arah positif dengan tepat hlm / 2 sekali.

Sistem yang tidak stabil dalam keadaan terbuka akan stabil dalam keadaan tertutup jika AFCW ( j Dengan ) sistem gelung terbuka di danhubah frekuensi dari 0 hinggameliputi titik kritikal (-1,j0) dalam kedudukanDanarah yang lurusr/2 masa di manaR- bilangan kutub kanan litar terbukaDenganTopik.

Menentukan bilangan liputan titik kritikal bukanlah tugas yang mudah, terutamanya dalam kes sistem pesanan tinggi. Oleh itu, rumusan berbeza bagi kriteria Nyquist untuk kes yang sedang dipertimbangkan telah menemui aplikasi dalam aplikasi praktikal.

Peralihan hodograf W ( j ) melalui segmen separuh paksi sebenar (- ,-1), mereka. di sebelah kiri titik kritikal, apabila kekerapan meningkat dari atas ke bawah, ia dianggap positif, dan dari bawah ke atas, negatif.

Sistem yang tidak stabil dalam keadaan terbuka akan stabil dalam keadaan tertutup jika perbezaan antara bilangan positif dan o Tperalihan negatif, ciri tindak balas fasa sistem gelung terbuka adalah sama denganr/2.

di mana bilangan peralihan positif, bilangan peralihan negatif.

Sebagai contoh, fungsi pemindahan kenderaan pelancar Avangard mempunyai dua kutub yang tidak stabil dan AFCnya ditunjukkan dalam Rajah. 3.11.

nasi. 3.11. AFFC roket Avangard

Jelas sekali, untuk roket ini, sebagai objek kawalan,

a dan Sistem tertutup akan stabil.

Rizab kestabilan.

Kestabilan ACS gelung tertutup bergantung pada lokasi hodograf AFC sistem gelung terbuka berbanding dengan titik kritikal. Semakin dekat lengkung ini dengan titik kritikal, semakin dekat ACS tertutup dengan sempadan kestabilan. Untuk sistem yang stabil, jarak tindak balas frekuensi fasa sistem gelung terbuka dari titik kritikal biasanya dinilai oleh margin kestabilan dalam fasa dan magnitud.

Mari kita anggap bahawa tindak balas AFC bagi beberapa sistem gelung terbuka mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 3.12.

nasi. 3.12. Tindak balas AFC sistem gelung terbuka

Sudut , dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik persilangan AFC dengan bulatan jejari unit, yang sepadan dengan kekerapan potong sistem, dan separuh paksi nyata negatif dipanggil margin kestabilan keresponsif fasa sistem.

(3.24)

Margin kestabilandan nilai mutlak dipanggil

(3.25)

di mana A( )- Nilai AFC pada kekerapan = , di mana ia bersilang dengan paksi sebenar.

Semua sistem mesti memenuhi keperluan berikut:

Memandangkan AFC diplot secara grafik pada skala tertentu, untuk mengira margin kestabilan modulo, anda hanya boleh mengukur panjang segmen yang sepadan dengan perpaduan dan OB, dan membahagikan hasil pengukuran pertama dengan yang kedua. Jika anda meningkatkan keuntungan sistem, maka titik B akan beralih ke kiri dan pada OB = -1 keuntungan akan mengambil nilai kritikal. Oleh itu, margin kestabilan dalam modulus juga boleh ditentukan menggunakan formula

Contoh. Dengan menggunakan kriteria Nyquist, nilaikan kestabilan sistem penstabilan sudut pic gelung tertutup dan tentukan margin kestabilannya.

Fungsi pemindahan sistem gelung terbuka diperoleh lebih awal dan mempunyai bentuk

Nilai berangka pekali ditentukan atau dikira sebelum ini. Jom buat pengganti s = j :

Selepas transformasi kita dapat

Dengan menukar frekuensi daripada 0 kepada kita akan membina keluk AFC - rajah. 3.13. Setelah melukis lengkok bulatan jejari unit, kami menentukan bahawa margin kestabilan fasa =1100 . Untuk contoh yang sedang dipertimbangkan kami memperolehnya h =3.3.

nasi. 3.13. AFFC sistem penstabilan sudut padang

Margin kestabilan yang terhasil memenuhi keperluan di atas.

Penilaian kestabilan oleh LCH

Ciri-ciri AFC bagi sistem gelung terbuka dibahagikan kepada dua jenis:

AFC jenis pertama, semua titik yang persilangannya dengan paksi sebenar terletak di sebelah kanan titik kritikal (lengkung 1, Rajah 3.14);

AFC jenis kedua, titik yang persilangan dengan paksi sebenar terletak di sebelah kanan dan di sebelah kiri titik kritikal (lengkung 2, Rajah 3.14).

Dalam sistem jenis pertama, peningkatan dalam keuntungan membawa kepada peralihan cawangan lengkung ke kiri dan pendekatannya ke titik kritikal. Dalam kes ini, margin kestabilan berkurangan dan bila k = k cr sistem mencapai sempadan kestabilan. Mengurangkan keuntungan menstabilkan sistem. Dalam sistem jenis ke-2, peralihan sistem ke sempadan kestabilan boleh berlaku kedua-duanya dengan peningkatan dalam keuntungan dan dengan penurunannya. Daripada kriteria Nyquist, sistem gelung tertutup yang mempunyai tindak balas AFC jenis pertama dalam keadaan terbuka adalah stabil jika semua titik tindak balas AFC, sehingga titik persilangannya dengan bulatan jejari unit ( = dengan) , sepadan dengan nilai fasa ( ) , lebih besar - , iaitu ketidaksamaan mesti dipenuhi Dengan< . Takrifan ini mudah ditafsirkan dalam bahasa LCH.

Agar sistem yang stabil dalam keadaan terbuka dan mempunyai AFC jenis pertama menjadi stabil dalam keadaan tertutup, adalah perlu dan mencukupi bahawa pada semua frekuensi di mana LAC adalah n Opositif, nilai ciri fasa lebih besar daripada -, iaituDengan< .

Daripada LFC, margin kestabilan juga boleh ditentukan dengan mudah, dan margin kestabilan untuk amplifikasi pada skala logaritma mesti memenuhi syarat N >6dB , yang sepadan dengan nilai h >2.

Agar ACS yang tidak stabil dalam keadaan terbuka dan mempunyai tindak balas frekuensi fasa jenis ke-2 menjadi stabil dalam keadaan tertutup, adalah perlu untuk badalah boleh dilaksanakan dan mencukupi bahawa perbezaan antara bilangan positif dan oTperalihan negatif ciri fasa melalui garisan -adalah samar/2, di manaR - bilangan punca persamaan ciri sistem gelung terbuka yang terletak pada separuh satah kanan, pada semua frekuensi apabila L ( )>0.

Perlu ditekankan bahawa kaedah yang ditunjukkan untuk menilai kestabilan oleh LFC dan menentukan margin kestabilan adalah sah untuk kedudukan paksi ordinat sedemikian berbanding dengan ciri fasa, apabila titik digabungkan dengan asal koordinat. ( )=-1800.

Keuntungan kritikal juga boleh ditentukan daripada LFC. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mengalihkan LAX di sepanjang garis konjugasi selari dengan dirinya untuk memenuhi syarat Dengan = dan hitung keuntungan untuk LAC yang baru diperolehi.

Penentuan keuntungan kritikal untuk sistem statik dan astatik digambarkan dalam Rajah. 3.17a dan 3.17b.

Contoh. Bina LFC sistem penstabilan sudut pic dan nilaikan kestabilannya. Tentukan margin kestabilan dan hitung nilai kritikal nisbah pic.

Fungsi pemindahan sistem gelung terbuka boleh dikurangkan kepada bentuk

Punca-punca persamaan ciri sistem gelung terbuka mempunyai nilai berikut:

Oleh itu, Selepas transformasi kita dapat

Mari tentukan frekuensi konjugasi dan bahagikan grid koordinat.

Mari kita bina LAC sistem, dengan mengambil kira bahawa keuntungan sistem gelung terbuka adalah sama dengan Oleh kerana kadar pengecilan relatif adalah kecil, adalah perlu untuk memperhalusi LAC yang terhasil di sekitar kekerapan konjugasi 03. Ini boleh dilakukan sama ada menggunakan graf khas atau dengan pengiraan menggunakan tindak balas frekuensi amplitud yang diketahui. Tindak balas frekuensi sistem ini ditentukan oleh ungkapan

Menggantikan beberapa nilai frekuensi di sekitar frekuensi gandingan 03, kami akan memperoleh nilai tindak balas frekuensi, mengira nilai LFC dan membina keluk penjelasan. Tindak balas frekuensi fasa dibina sebagai jumlah ciri fasa pautan biasa yang termasuk dalam fungsi pemindahan

di mana

Daripada graf LFC ia mengikutinya Dengan< dan, oleh itu, sistem tertutup adalah stabil. Margin kestabilan fasa =1080 . Bagi sistem yang merangkumi pautan berayun dengan pekali redaman relatif yang kecil, margin kestabilan modulus ditentukan pada titik resonans dan dalam kes ini ia bersamaan dengan 10 dB, yang sepadan dengan nilai h = 3.16. Nilai margin kestabilan yang diperolehi berbeza sedikit daripada nilai yang dikira mengikut kriteria Hurwitz dan Mikhailov. Dalam kes yang dikaji, keuntungan kritikal ditentukan dengan menyentuh L(R) paksi frekuensi. Mari kita gerakkan LAX selari dengan dirinya sendiri supaya pada titik itu = R ia menyentuh paksi frekuensi dan kami akan memanjangkan asimtot pertama sehingga ia bersilang dengan paksi frekuensi. Pada ketika ini k= =7.244, yang sepadan dengan nilai ( k)cr=16.74.

2. Pengenalpastian kawasan kestabilan

Antara parameter fizikal yang mencirikan ACS, sentiasa terdapat beberapa yang mudah diubah dan digunakan untuk tetapan sistem tertentu. Apabila mereka bentuk sistem, adalah sangat penting untuk mengetahui julat nilai parameter pembolehubah yang boleh diterima dari sudut pandangan mengekalkan kestabilan ACS. Julat ini boleh dinilai dengan membina kawasan kestabilan dalam ruang parameter berubah, i.e. menyerlahkan julat nilai parameter di mana sistem kekal stabil.

Kawasan kestabilan dalam teori kawalan automatik biasanya dipanggil kawasan D, dan perwakilan kawasan parameter dalam bentuk kawasan kestabilan dan ketidakstabilan dipanggil partition D.

Pembinaan kawasan kestabilan menggunakan kriteria algebra

Mari kita andaikan bahawa pekali persamaan ciri

bergantung pada dua parameter yang boleh diubah Dan . Untuk membina kawasan kestabilan, pertama sekali, mengikut keadaan kestabilan yang diperlukan, adalah perlu untuk memilih kawasan parameter berubah apabila didapati di mana pekali persamaan ciri adalah positif. Ini boleh dilakukan dengan menyelesaikan sistem persamaan

Untuk membina sempadan untuk kepositifan pekali A i Adalah perlu untuk memilih daripada penyelesaian persamaan (3.26) yang memastikan kepositifan semua pekali. Daripada semua sempadan positif, hanya dua yang boleh menjadi sempadan kestabilan secara serentak. Ini adalah sempadan yang persamaannya

Telah terbukti bahawa jika d 0 Dan dn mendekati sifar, maka persamaan ciri akan mempunyai dua punca nyata

Dengan penurunan lagi, pekali d 0 Dan dn akan melepasi sifar, menjadi negatif, dan punca (3.28) akan menjadi positif. Oleh kerana punca sebenar menentukan komponen aperiodik penyelesaian persamaan pembezaan, sempadan (3.27) dipanggil sempadan kestabilan aperiodik. Pada sempadan kestabilan itu sendiri, akar (3.28) adalah sama dengan dan 0, masing-masing. Sisi lengkung, di ( , )=0, bersebelahan dengan rantau positif pekali yang sepadan ditetaskan ke arah positif. Ia mungkin berlaku bahawa mana-mana pekali d 0 atau dn tidak bergantung pada parameter yang diubah. Ini bermakna ketiadaan sempadan kestabilan aperiodik yang sepadan.

Sempadan kestabilan berayun ialah lengkung dalam satah parameter berubah-ubah, apabila melaluinya sepasang akar konjugat kompleks menukar tanda bahagian sebenar kepada sebaliknya. Telah terbukti bahawa had kestabilan ayunan ditentukan oleh ungkapan

(3.29)

Dalam ungkapan ini, n-1 ialah penentu Hurwitz ke (n-1). Sempadan kestabilan ayunan dilorekkan ke arah sisi positif n-1.

Contoh. Bina kawasan kestabilan dalam satah parameter k Dan k z sistem penstabilan sudut pic.

Persamaan ciri sistem gelung tertutup mempunyai bentuk

Kami meneroka ketidaksamaan d 2>0, d 3>0, d 4>0 . Daripada ketaksamaan pertama, ia mengikuti bahawa untuk pekali menjadi positif d 2 perlulah syarat itu dipenuhi

Ketaksamaan d 4>0 menentukan bahawa untuk pekali ini menjadi positif adalah perlu bahawa k >0 . Untuk memenuhi ketidaksamaan d 3>0 itu diwajibkan

Untuk sebarang nilai nisbah gear sudut lebih besar daripada sifar, bahagian kanan modulo ungkapan terakhir akan lebih besar daripada satu. Oleh itu, had untuk kepositifan pekali adalah

Pekali bergantung pada parameter yang diubah dn = d 4 dan pekali tidak bergantung d 0. Oleh itu persamaan k =0 pada masa yang sama ia juga merupakan sempadan kestabilan aperiodik.

Setelah menyusun penentu Hurwitz, untuk n-1 minornya kami peroleh

Mari kita gantikan nilai pekali ke dalam ungkapan ini d 2, d 3, d 4, sebagai fungsi parameter k Dan k , selepas penjelmaan kita memperoleh persamaan kuadratik yang menentukan nisbah gear dalam halaju sudut sebagai fungsi nisbah gear dalam sudut pic

Menggunakan ungkapan ini, sempadan kestabilan ayunan dibina. Graf membahagikan kawasan parameter yang dikaji kepada kawasan kestabilan dan ketidakstabilan ditunjukkan dalam Rajah. 3.19.

Sempadan ketidakstabilan ayunan dilorekkan ke arah positif penentu Hurwitz n-1, dan garis lurus k z =0 terhadap kepositifan pekali ini. Untuk menyemak hasil yang diperoleh, mari pilih beberapa nilai parameter di dalam kawasan berlorek, contohnya k =5, k z =0.6, Mari kita mengira nilai pekali persamaan ciri dan menilai kestabilan sistem gelung tertutup menggunakan kriteria Hurwitz. Kami mendapati bahawa untuk nilai nisbah gear yang dipilih sistem adalah stabil. Ini bermakna bahawa keseluruhan kawasan di mana pukulan diarahkan adalah kawasan kestabilan.

D - partition dalam satah satu parameter

Marilah kita berminat dengan pengaruh mana-mana satu parameter pada kestabilan ACS dan parameter ini memasuki persamaan ciri secara linear, jadi persamaan ini boleh diwakili dalam bentuk

Setelah membuat pengganti s = j , kita mendapatkan

Dengan menetapkan nilai frekuensi daripada - hingga +, anda boleh membina lengkung ( ) , memetakan paksi khayalan satah akar pada satah . Sempadan partition D ini adalah simetri mengenai paksi sebenar. Oleh itu, pengiraan boleh dilakukan dalam julat frekuensi dari 0 hingga +, dan kemudian menambah lengkung yang terhasil dengan imej cerminnya pada julat frekuensi dari - hingga sifar. Apabila bergerak sepanjang paksi khayalan dari - ke + pada satah akar, kawasan kestabilan kekal di sebelah kiri.

Oleh itu, apabila bergerak sepanjang lengkung D-partition ke arah peningkatan frekuensi, ia ditetas di sebelah kiri. Kawasan di mana pukulan menghadapi adalah kawasan kestabilan yang diandaikan. Untuk keputusan muktamad, anda perlu mengambil beberapa nilai sebenar parameter di kawasan yang dikaji dan menggunakan beberapa kriteria kestabilan. Jika sistem stabil untuk nilai parameter yang dipilih, maka wilayah yang dipertimbangkan adalah wilayah kestabilan.

Contoh. Bina kawasan kestabilan sistem penstabilan sudut padang dalam satah nisbah gear k .

Persamaan ciri sistem yang dikaji boleh ditulis sebagai

Dalam ungkapan yang dihasilkan kami akan membuat penggantian s = j dan kita dapat

Dalam ungkapan ini

Oleh kerana syarat yang diperlukan untuk kestabilan sistem yang sedang dipertimbangkan ialah k >0, maka paksi khayalan juga merupakan sempadan kestabilan dan diutamakan ke arah positif k . Nilai pekali ini, bersamaan dengan 5, berada di dalam kawasan berlorek dan kita tahu bahawa pada nilai ini sistem adalah stabil. Ini bermakna keseluruhan segmen paksi sebenar, yang terletak di dalam kawasan berlorek, memberikan nilai nisbah gear sudut di mana sistem itu stabil. Ia boleh ditunjukkan bahawa penghujung segmen ini berada pada titik yang sama dengan nilai kritikal pekali k =16.56.

D - partition dalam satah dua parameter

Biarkan pekali persamaan ciri bergantung secara linear pada dua parameter Dan supaya boleh ditulis dalam bentuk

Selepas penggantian s = j kita mendapatkan

Oleh kerana keseluruhan persamaan ciri yang diubah boleh sama dengan sifar hanya jika bahagian nyata dan khayalannya adalah sama dengan sifar pada masa yang sama, kita memperoleh sistem persamaan untuk parameter berubah.

Setelah menyelesaikan sistem (3.33) berkenaan dengan Dan , kita mendapatkan

Dengan menetapkan nilai frekuensi dari - hingga +, kami mentakrifkan satu set titik pada satah - , membentuk lengkung D-partition. Fungsi ( ) Dan ( ) adalah genap, dan oleh itu, apabila kekerapan berubah dalam had di atas, keluk partition D dijalankan dua kali. Apabila membina lengkung D-partition dalam satah dua parameter, anda mesti dipandu oleh peraturan berikut:

1) jika dalam sistem (3.33) persamaan pertama diperoleh daripada bahagian sebenar, dan yang kedua - daripada bahagian khayalan fungsi P ( j ), Q ( j ) Dan S ( j ) dan jika parameter secara bertulis ia didahulukan, dan - kedua, maka sistem koordinat mesti menggunakan tangan kanan, i.e. paksi ialah paksi-x dengan nilai positif dikira ke kanan, dan paksi - paksi-y dengan nilai positif mengira ke atas;

2) bergerak di sepanjang lengkung D-partition apabila frekuensi berubah ke atas, ia ditetas di sebelah kiri jika ( )>0, dan di sebelah kanan jika ( )<0 ; Akibatnya, lengkung ditetas dua kali pada satu sisi, kerana pada hujung lengkung di =0 Dan = tanda penentu utama ( ) perubahan.

Mungkin ada kes apabila = * 0, serentak ( *)= = ( *)= ( *)=0. Kemudian sistem (3.33) menjadi bersandar secara linear dan persamaannya berbeza antara satu sama lain hanya dengan faktor malar. Dalam kes ini, sistem ini dikurangkan kepada satu persamaan yang mentakrifkan pada satah - garis lurus, yang dipanggil garis lurus khas. Jika garis tunggal memotong lengkung D-partition pada satu titik = * dan pada ketika ini penentu ( ) perubahan tanda, maka garis lurus ini juga merupakan sempadan kestabilan dan pada titik yang ditunjukkan arah teduhan lengkung dan garis lurus khas berubah. Jika di = * tanda penentu utama tidak berubah, maka teduhan tidak digunakan pada garis khas. Jika sebutan bebas bagi persamaan ciri dn = dn ( , ) , maka ini sepadan dengan kewujudan baris khas untuk =0 dan persamaannya ialah

Dokumen yang serupa

Menilai kestabilan sistem kawalan automatik menggunakan kriteria kestabilan Nyquist, Mikhailov, Hurwitz (Rouse-Hurwitz). Melukis matriks penentu utama untuk menentukan kestabilan sistem. Penyenaraian program dan analisis keputusan.

kerja makmal, ditambah 06/06/2016


Penunjuk kekerapan kualiti sistem kawalan automatik dalam mod sementara. Analisis lengkap kestabilan dan kualiti kawalan untuk sistem gelung terbuka dan gelung tertutup menggunakan kriteria Hurwitz dan Nyquist, produk perisian Matlab dan MatCad.

kerja kursus, ditambah 06/18/2011


Kestabilan sebagai sifat sistem untuk kembali kepada keadaan asalnya selepas dikeluarkan daripada keadaan keseimbangan. Sifat penyelesaian untuk nilai yang berbeza bagi punca persamaan. Routh-Hurwitz, Nyquist, kriteria kestabilan Mikhailov, definisi kawasannya.

abstrak, ditambah 08/15/2009


Pertimbangan asas fungsi pemindahan sistem gelung tertutup. Analisis kestabilan sistem kawalan automatik. Penerangan mencari persamaan ciri sistem dalam keadaan tertutup. Kriteria kestabilan algebra Hurwitz dan Mikhailov.

ujian, ditambah 04/28/2014


Sistem kawalan automatik (ACS), jenis dan unit asasnya. Kriteria algebra dan grafik untuk kestabilan sistem. Ciri-ciri kekerapan pautan dinamik dan ACS. Penilaian kualiti peraturan, pembetulan sistem automatik.

kerja kursus, ditambah 02/16/2013


Fungsi pemindahan sistem gelung terbuka. Analisis kestabilan sistem kawalan automatik. Tindak balas frekuensi fasa amplitud sistem. Kriteria kestabilan Hurwitz. Analisis proses sementara apabila menggunakan kesan langkah.

kerja kursus, ditambah 18/10/2012


Kriteria algebra dan kekerapan untuk kestabilan. Susunan kompleks ciri. Hodograf fungsi pemindahan frekuensi bagi sistem gelung terbuka. Penentuan kestabilan menggunakan LFC sistem gelung terbuka. Sistem yang stabil secara mutlak dan bersyarat.

abstrak, ditambah 01/21/2009


Analisis sistem kawalan automatik asal, penentuan fungsi pemindahan dan pekali. Analisis kestabilan sistem asal menggunakan kriteria Routh dan Nyquist. Sintesis peranti pembetulan dan analisis sistem kawalan tersintesis.

kerja kursus, ditambah 04/19/2011


Cari fungsi pemindahan sistem gelung terbuka dan gelung tertutup, sistem gelung tertutup secara ralat dan gangguan. Ketepatan pengaruh input pemprosesan. Kestabilan mengikut kriteria Hurwitz. Memilih pengawal selia dan menjelaskan parameternya. Nilai penunjuk dinamik.

ujian, ditambah 03/04/2014


Menjalankan analisis kestabilan sistem gelung tertutup. Penentuan fungsi pemindahan sistem gelung terbuka dan tindak balas frekuensi fasa amplitud sistem kawalan automatik. Penggunaan kriteria Hurwitz, Mikhailov dan Nyquist untuk analisis.

MUKA SURAT \* MERGEFORMAT 14

Kuliah No 4

Kestabilan senjata yang digerakkan sendiri

Sifat sistem untuk kembali kepada keadaan asalnya selepas gangguan disingkirkan dipanggil kestabilan.

Definisi.

Lengkung 1 dan 2 mencirikan sistem yang stabil, lengkung 3 dan 4 mencirikan sistem yang tidak stabil.ε

Sistem 5 dan 6 di sempadan kestabilan 5 - sistem neutral, 6 - had kestabilan berayun.

Biarkan persamaan pembezaan ACS dalam bentuk operator mempunyai bentuk

Kemudian penyelesaian kepada persamaan pembezaan (gerakan sistem) terdiri daripada dua bahagian Pergerakan paksa jenis yang sama dengan tindakan input.

Dengan ketiadaan berbilang akar di mana C i -penyatuan berterusan ditentukan dari keadaan awal,

 1 ,  2 …,  n punca persamaan ciri

Lokasi akar ciri

persamaan sistem pada satah kompleks

Punca-punca persamaan ciri tidak bergantung sama ada pada jenis gangguan atau pada

keadaan awal, a hanya ditentukan oleh pekali a 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , iaitu parameter dan struktur sistem.

1-akar sebenar, lebih besar daripada sifar;

2-akar sebenar, kurang daripada sifar;

3-akar adalah sifar;

4-dua akar sifar;

5-dua akar konjugat kompleks yang bahagian sebenar adalah

Positif;

6-dua akar konjugat kompleks, bahagian sebenar yang negatif;

7-dua akar konjugat khayalan.

Kaedah Analisis Kestabilan:

1. Langsung (berdasarkan penyelesaian persamaan pembezaan);
2. Tidak langsung (kriteria kestabilan).

Teorem A.M. Lyapunova.

Teorem 1.

Teorem 2.

Nota:

1. Jika di antara punca persamaan ciri terdapat dua atau lebih punca sifar, maka sistem itu tidak stabil.
2. Jika satu punca adalah sifar dan semua yang lain berada di separuh satah kiri, maka sistem itu neutral.
3. Jika 2 akar adalah konjugat khayalan, dan semua yang lain berada di separuh satah kiri, maka sistem berada pada sempadan ayunan kestabilan.

Kriteria kestabilan ACS.

Kriteria kestabilan ialah peraturan yang membolehkan seseorang menentukan kestabilan sistem tanpa mengira punca persamaan ciri.

Pada tahun 1877 Routh dipasang:

1. Kriteria kestabilan Hurwitz

Kriteria ini dibangunkan pada tahun 1895.

Biarkan persamaan ciri sistem tertutup ditakrifkan: kita kurangkan persamaan kepada bentuk supaya a 0 >0.

Mari kita susun penentu Hurwitz utama mengikut peraturan berikut:

Di sepanjang pepenjuru utama, pekali persamaan ditulis, bermula dari kedua hingga terakhir, lajur ke atas dari pepenjuru diisi dengan pekali dengan indeks yang semakin meningkat, dan lajur ke bawah dari pepenjuru diisi dengan pekali dengan indeks menurun. Sekiranya tiada sebarang pekali dalam persamaan dan bukannya pekali dengan indeks kurang daripada 0 dan lebih n tulis sifar.

Mari kita serlahkan minor pepenjuru atau penentu paling mudah dalam penentu Hurwitz utama:

Perumusan kriteria.

Untuk sistem yang lebih tinggi daripada tertib kedua, sebagai tambahan kepada kepositifan semua pekali persamaan ciri, ketaksamaan berikut mesti dipenuhi:

1. Untuk sistem pesanan ketiga:
2. Untuk sistem pesanan keempat:
3. Untuk sistem pesanan kelima:

1. Untuk sistem pesanan keenam:

Contoh. Persamaan ciri diberikan untuk mengkaji kestabilan sistem menurut Hurwitz.

Untuk sistem yang stabil adalah perlu dan

2. Kriteria Routh

Kriteria Routh digunakan untuk mengkaji kestabilan sistem pesanan tinggi.

Perumusan kriteria:

Jadual Routh.

Algoritma untuk mengisi jadual: baris pertama dan kedua mengandungi pekali persamaan dengan indeks genap dan ganjil; unsur-unsur baris yang tinggal dikira mengikut peraturan berikut:

Kelebihan kriteria: kestabilan sistem apa-apa susunan boleh dikaji.

2. Kriteria kestabilan Nyquist

Prinsip hujah

Kaedah yang kerap adalah berdasarkan prinsip hujah.

Mari kita menganalisis sifat polinomial bentuk:

Di mana  i - punca persamaan

Pada satah kompleks, setiap punca sepadan dengan titik yang jelas. Secara geometri, setiap akari boleh diwakili sebagai vektor yang dilukis dari asal ke titik i : | i | - panjang vektor, argi - sudut antara vektor dan arah positif paksi-x. Mari kita petakan D(p) ke dalam ruang Fourier, kemudian di mana j -  i - vektor asas.

Hujung vektor asas berada pada paksi khayalan.

Magnitud vektor, dan hujah (fasa)

Arah putaran vektor lawan jam diambil sebagai POSITIF. Kemudian apabila berubah daripada kepada setiap vektor asas ( j  -  i ) akan berpusing dengan sudut + jika  i terletak di separuh satah kiri.

Biarkan D ( )=0 mempunyai m akar di separuh satah kanan dan n - m akar di sebelah kiri, kemudian dengan meningkat daripada untuk menukar hujah vektor D(j ) (sudut putaran D(j ), sama dengan jumlah perubahan dalam hujah vektor asas) akan menjadi

Prinsip hujah:

Kriteria Nyquist adalah berdasarkan ciri frekuensi litar terbuka ACS, kerana jenis ciri frekuensi litar terbuka boleh digunakan untuk menilai kestabilan sistem tertutup.

Kriteria Nyquist digunakan secara meluas dalam amalan kejuruteraan atas sebab-sebab berikut:

1. Kestabilan sistem dalam keadaan tertutup dikaji oleh fungsi pemindahan frekuensi litar terbukanya, dan fungsi ini paling kerap terdiri daripada faktor mudah. Pekali adalah parameter sebenar sistem, yang membolehkan anda memilihnya daripada keadaan kestabilan.
2. Untuk mengkaji kestabilan, anda boleh menggunakan ciri frekuensi yang diperoleh secara eksperimen bagi elemen sistem yang paling kompleks (objek kawalan, badan eksekutif), yang meningkatkan ketepatan keputusan yang diperolehi.
3. Kestabilan boleh dikaji menggunakan LFC, yang pembinaannya mudah.
4. Ia adalah mudah untuk menentukan margin kestabilan.

1. Sistem stabil dalam keadaan terbuka

Mari kita perkenalkan fungsi tambahan dan gantikan p  j  , maka

Menurut prinsip hujah, menukar hujah D(j ) dan D з (j  ) pada 0<  <  sama Maka itulah hodograf W 1 (j  ) tidak boleh menjangkau asal.

Untuk memudahkan analisis dan pengiraan, mari kita alihkan asal vektor jejari daripada asal koordinat ke titik (-1, j 0), dan bukannya fungsi tambahan W 1 (j  ) kami menggunakan AFC bagi sistem gelung terbuka W (j  ).

Perumusan kriteria No. 1

Contoh.

Perhatikan bahawa perbezaan dalam bilangan peralihan positif dan negatif AFC ke kiri titik (-1, j 0) adalah sama dengan sifar.

2. Sistem yang mempunyai kutub pada paksi khayalan dalam keadaan terbuka

Untuk menganalisis kestabilan sistem AFC, ia ditambah dengan bulatan jejari yang tidak terhingga besar di 0 lawan jam kepada separuh paksi nyata positif pada kutub sifar, dan dalam kes punca khayalan semata-mata - dengan separuh bulatan mengikut arah jam pada titik ketakselanjaran AFC.

Perumusan kriteria No. 2

1. Sistem litar terbuka terputus-putus

Kes yang lebih umum - penyebut fungsi pemindahan sistem gelung terbuka mengandungi akar yang terletak di separuh satah kanan. Kemunculan ketidakstabilan dalam sistem gelung terbuka disebabkan oleh dua sebab:

1. Akibat daripada kehadiran pautan yang tidak stabil;
2. Akibat kehilangan kestabilan pautan yang dilindungi oleh maklum balas positif atau negatif.

X Walaupun secara teori keseluruhan sistem dalam keadaan tertutup boleh stabil dengan kehadiran ketidakstabilan dalam litar maklum balas tempatan, dalam praktiknya kes sedemikian adalah tidak diingini dan harus dielakkan dengan cuba menggunakan hanya maklum balas tempatan yang stabil. Ini dijelaskan oleh kehadiran sifat yang tidak diingini, khususnya penampilan kestabilan bersyarat, yang, memandangkan ketaklinearan yang biasanya terdapat dalam sistem, boleh dalam beberapa mod menyebabkan kehilangan kestabilan dan kemunculan ayunan diri. Oleh itu, sebagai peraturan, apabila mengira sistem, maklum balas tempatan sedemikian dipilih yang akan stabil apabila maklum balas utama dibuka.

Biarkan polinomial ciri D(hlm ) sistem gelung terbuka mempunyai m akar dengan bahagian nyata positif.

Kemudian

Fungsi bantuan penggantian p  j  mengikut prinsip hujah untuk sistem tertutup yang stabil harus mempunyai perubahan berikut dalam hujah di

Perumusan kriteria No. 3

Formulasi oleh Ya.Z. Tsypkina

Kriteria Nyquist untuk LFC

Nota: ciri fasa LFC sistem astatik ditambah dengan bahagian monotonik + /2 pada  0.

Benar-benar mampanMereka memanggil sistem yang kekal stabil untuk sebarang penurunan dalam keuntungan litar terbuka, jika tidak sistem itu stabil secara bersyarat.

Sistem yang boleh dibuat stabil dengan menukar parameternya dipanggilstabil secara struktur, jika tidak, strukturnya tidak stabil.

Margin kestabilan

Untuk operasi biasa, mana-mana ACS mesti dialih keluar dari sempadan kestabilan dan mempunyai margin kestabilan yang mencukupi. Keperluan untuk ini adalah disebabkan oleh sebab-sebab berikut:

1. Persamaan unsur ACS, sebagai peraturan, adalah ideal, faktor sekunder tidak diambil kira semasa menyusunnya;
2. Apabila persamaan linearisasi, ralat penghampiran meningkat lagi;
3. Parameter unsur ditentukan dengan beberapa ralat;
4. Parameter unsur dari jenis yang sama mempunyai variasi teknologi;
5. Semasa operasi, parameter unsur berubah disebabkan oleh penuaan.

Dalam amalan pengiraan kejuruteraan, penentuan margin kestabilan yang paling banyak digunakan adalah berdasarkan kriteria NYQVIST, berdasarkan jarak AFC sistem gelung terbuka dari titik kritikal dengan koordinat (-1, j 0), yang dinilai oleh dua penunjuk: margin kestabilan fasa dan margin kestabilan dalam modulus (dalam amplitud) H.

Agar ATS mempunyai margin kestabilan sekurang-kurangnya dan H , AFC litar terbukanya, jika kriteria kestabilan dipenuhi, tidak boleh memasuki bahagian gelang yang berlorek dalam Rajah. 1, di mana H ditentukan oleh hubungan

Jika kestabilan ditentukan oleh LFC sistem stabil bersyarat, maka untuk memastikan margin kestabilan sekurang-kurangnya dan h adalah perlu supaya:

a) untuk h  L  - h ciri frekuensi fasa memenuhi ketaksamaanθ > -180  +  atau θ< -180  -  , iaitu tidak memasuki kawasan berlorek 1 dalam Rajah. 2;

b) pada -180  +   θ  -180  -  ciri frekuensi amplitud memenuhi ketaksamaan L< - h или L >h , iaitu tidak memasuki kawasan berlorek 2" dan 2" dalam Rajah 2.

Untuk sistem yang benar-benar stabil, margin kestabilan dan h ditentukan seperti ditunjukkan dalam Rajah. 3:

1. Margin fasa

1. Jidar modulo h =- L (ω -π), dengan ω -π kekerapan di mana θ=-180˚ .

Nilai margin kestabilan yang diperlukan bergantung pada kelas ATS dan keperluan untuk kualiti peraturan. Kira-kira sepatutnya =30  60  dan h =6  20dB.

Margin kestabilan minimum yang dibenarkan dalam amplitud mestilah tidak kurang daripada 6 dB (iaitu, pekali pemindahan sistem gelung terbuka ialah separuh daripada nilai kritikal), dan dalam fasa tidak kurang daripada 25 30  .

Kestabilan sistem dengan pautan kelewatan tulen

Jika AFC sistem gelung terbuka melalui titik (-1, j 0), maka sistem berada di ambang kestabilan.

Sistem dengan kelewatan tulen boleh dibuat stabil jika pautan bebas inersia dengan pekali pemindahan kurang daripada 1 disertakan dalam litar. Jenis peranti pembetulan lain juga boleh dilakukan.

Sistem yang stabil dari segi struktur dan tidak stabil dari segi struktur

Satu cara untuk mengubah kualiti sistem (dari segi kestabilan) ialah menukar pekali pemindahan sistem gelung terbuka.

Apabila k L ( ) akan naik atau turun. Jika k meningkat, L ( ) meningkat dan  purata akan meningkat, tetapi sistem akan kekal tidak stabil. Jika k berkurangan, maka sistem boleh dibuat stabil. Ini adalah salah satu cara untuk membetulkan sistem.

Sistem yang boleh dibuat stabil dengan menukar parameter sistem dipanggil LESTARI SECARA STRUKTUR.

Untuk sistem ini terdapat nisbah pemindahan gelung terbuka yang kritikal. K crit. ini adalah pekali pemindahan apabila sistem berada di ambang kestabilan.

Terdapat sistem TIDAK STABIL SECARA STRUKTUR - ini adalah sistem yang tidak boleh dibuat stabil dengan menukar parameter sistem, tetapi untuk kestabilan adalah perlu untuk mengubah struktur sistem.

Contoh.

Mari kita pertimbangkan tiga kes:

1. biarlah

Kemudian

Mari kita semak operasi sistem untuk kestabilan.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

Untuk menentukan k rs.cr. mari samakan dengan sifar 2 .

Kemudian

bila bila

Sistem yang sedang dipertimbangkan adalah STABIL SECARA STRUKTUR, kerana ia boleh distabilkan dengan menukar parameter pautan.

1. Biarkan mereka sama seperti dalam kes pertama.

Kini tiada ralat statik pada saluran kawalan.

Keadaan kestabilan Hurwitz:

Biarkan  2 =0, maka jika sistem tidak stabil.

Sistem dengan astatisme tertib pertama ini adalah STABIL SECARA STRUKTUR.

1. biarlah

Sistem sentiasa tidak stabil. Sistem ini TIDAK STABIL SECARA STRUKTUR.

Kestabilan senjata yang digerakkan sendiri

Sifar dan kutub fungsi pemindahan

Akar polinomial dalam pengangka fungsi pemindahan dipanggil sifar, dan punca polinomial dalam penyebut ialah tiang fungsi pemindahan. Tiang pada masa yang sama punca persamaan ciri, atau nombor ciri.

Jika punca pengangka dan penyebut fungsi pemindahan terletak pada separuh satah kiri (manakala akar pengangka dan penyebut terletak pada separuh satah atas), maka pautan itu dipanggil fasa minimum.

Surat-menyurat kepada separuh satah kiri akar R separuh satah atas akar (Rajah 2.2.1) dijelaskan oleh fakta bahawa, atau , iaitu vektor diperoleh daripada vektor dengan memutarkannya mengikut sudut mengikut arah jam. Akibatnya, semua vektor dari separuh satah kiri datang kepada vektor dalam satah separuh atas.

Fasa bukan minimum dan pautan tidak stabil

Pautan jenis kedudukan dan pembezaan yang dipertimbangkan di atas tergolong dalam pautan stabil, atau pautan meratakan sendiri.

Di bawah meratakan diri merujuk kepada keupayaan pautan untuk tiba secara spontan pada nilai keadaan mantap baharu dengan perubahan terhad dalam nilai input atau pengaruh yang mengganggu. Biasanya, istilah penjajaran diri digunakan untuk pautan yang tertakluk pada peraturan.

Terdapat pautan di mana perubahan terhad dalam nilai input tidak menyebabkan pautan tiba pada keadaan mantap baharu, dan nilai output cenderung meningkat tanpa had dari semasa ke semasa. Ini, sebagai contoh, termasuk pautan jenis penyepaduan.

Terdapat pautan di mana proses ini lebih ketara. Ini dijelaskan oleh kehadiran punca sebenar positif atau kompleks dengan bahagian nyata positif dalam persamaan ciri (penyebut fungsi pemindahan adalah sama dengan sifar), akibatnya pautan itu akan diklasifikasikan sebagai pautan tidak stabil.

Sebagai contoh, dalam kes persamaan pembezaan , kami mempunyai fungsi pemindahan dan persamaan ciri dengan punca nyata positif. Pautan ini mempunyai ciri frekuensi amplitud yang sama seperti pautan inersia dengan fungsi pemindahan. Tetapi ciri frekuensi fasa pautan ini adalah sama. Untuk pautan inersia yang kami ada . Untuk pautan dengan fungsi pemindahan yang kami ada

mereka. nilai mutlak yang lebih besar.

Dalam hal ini, pautan tidak stabil tergolong dalam kumpulan itu bukan pautan fasa minimum.

Pautan bukan fasa minimum juga termasuk pautan stabil yang mempunyai punca positif sebenar atau punca kompleks dengan bahagian nyata positif dalam pengangka fungsi pemindahan (bersamaan dengan sebelah kanan persamaan pembezaan).

Contohnya, pautan dengan fungsi pemindahan tergolong dalam kumpulan pautan bukan fasa minimum. Modul fungsi pemindahan frekuensi bertepatan dengan modul fungsi pemindahan frekuensi pautan yang mempunyai fungsi pemindahan . Tetapi anjakan fasa pautan pertama lebih besar dalam nilai mutlak:

Pautan fasa minimum mempunyai anjakan fasa yang lebih kecil berbanding pautan sepadan yang mempunyai ciri frekuensi amplitud yang sama.

Mereka mengatakan bahawa sistem stabil atau mempunyai meratakan sendiri jika, selepas mengalih keluar gangguan luaran, ia kembali kepada keadaan asalnya.

Oleh kerana pergerakan sistem dalam keadaan bebas diterangkan oleh persamaan pembezaan homogen, takrif matematik sistem stabil boleh dirumuskan seperti berikut:

Sesuatu sistem dipanggil stabil secara asymptotically jika keadaannya dipenuhi (2.9.1)

Daripada analisis penyelesaian umum (1.2.10) keadaan yang perlu dan mencukupi untuk kestabilan berikut:

Untuk kestabilan sistem, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua punca persamaan ciri mempunyai bahagian nyata negatif yang ketat, i.e. Rep i , saya = 1…n. (2.9.2)

Untuk kejelasan, punca-punca persamaan ciri biasanya digambarkan pada satah kompleks dalam Rajah 2.9.1a. Apabila melakukan apa yang perlu dan mencukupi

Rajah 8.12. satah akar

ciri

persamaan A(hlm) = 0

OU - rantau kestabilan

Syarat ketiga (2.9.2) ialah semua akar terletak di sebelah kiri paksi khayalan, i.e. dalam bidang kelestarian.

Oleh itu, syarat (2.9.2) boleh dirumuskan seperti berikut.

Untuk kestabilan, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua punca persamaan ciri terletak di separuh satah kiri.

Takrifan umum yang ketat tentang kestabilan, kaedah untuk mengkaji kestabilan sistem tak linear dan kemungkinan melanjutkan kesimpulan tentang kestabilan sistem linear kepada sistem tak linear asal telah diberikan oleh saintis Rusia A.M. Lyapunov.

Dalam amalan, kestabilan selalunya ditentukan secara tidak langsung, menggunakan apa yang dipanggil kriteria kestabilan tanpa mencari secara langsung punca persamaan ciri. Ini termasuk kriteria algebra: keadaan Stodola, kriteria Hurwitz dan Mikhailov, serta kriteria kekerapan Nyquist. Dalam kes ini, kriteria Nyquist membolehkan seseorang menentukan kestabilan sistem gelung tertutup oleh AFC atau oleh ciri logaritma sistem gelung terbuka.

Keadaan Stodola

Keadaan itu diperolehi oleh ahli matematik Slovakia Stodola pada akhir abad ke-19. Ia menarik dari sudut pandangan metodologi untuk memahami keadaan kestabilan sistem.

Mari kita tulis persamaan ciri sistem dalam bentuk

D(p) = a 0 hlm n + a 1 hlm n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

Menurut Stodol, untuk kestabilan adalah perlu, tetapi tidak mencukupi, itu a 0 > 0 semua pekali lain adalah positif, i.e.

a 1 > 0 ,..., a n > 0.

Keperluan boleh dibentuk seperti ini:

Jika sistem itu stabil, maka semua punca persamaan ciri mempunyai , i.e. adalah golongan kiri.

Bukti keperluan adalah asas. Menurut teorem Bezout, polinomial ciri boleh diwakili sebagai

Biarkan , iaitu, menjadi nombor nyata, dan – akar konjugat kompleks. Kemudian

Ini menunjukkan bahawa dalam kes polinomial dengan pekali nyata, akar kompleks adalah konjugat berpasangan. Selain itu, jika , maka kita mempunyai hasil darab polinomial dengan pekali positif, yang memberikan polinomial hanya dengan pekali positif.

Kegagalan Keadaan Stodola ialah syarat itu tidak menjamin bahawa segala-galanya . Ini boleh dilihat dalam contoh khusus dengan mempertimbangkan polinomial darjah .

Ambil perhatian bahawa dalam kes keadaan Stodola adalah perlu dan mencukupi. Ia mengikuti daripada. Jika , maka dan supaya .

Kerana, daripada analisis formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kecukupan keadaan juga mengikuti.

Dua akibat penting berikutan daripada keadaan Stodola.

1. Jika syarat dipenuhi dan sistem tidak stabil, maka proses peralihan mempunyai sifat berayun. Ini berikutan fakta bahawa persamaan dengan pekali positif tidak boleh mempunyai punca positif sebenar. Mengikut definisi, punca ialah nombor yang menjadikan polinomial ciri lenyap. Tiada nombor positif boleh menghilangkan polinomial dengan pekali positif, iaitu, menjadi puncanya.

2. Kepositifan pekali polinomial ciri (masing-masing, pemenuhan keadaan Stodola) dipastikan dalam kes maklum balas negatif, i.e. dalam kes bilangan penyongsangan isyarat yang ganjil sepanjang gelung tertutup. Dalam kes ini, polinomial ciri. Jika tidak, dan selepas membawa yang serupa, beberapa pekali boleh berubah menjadi negatif.

Ambil perhatian bahawa maklum balas negatif tidak mengecualikan kemungkinan tidak memenuhi syarat Stodola. Contohnya, jika , a , maka dalam kes satu maklum balas negatif . Dalam polinomial ini, pekali pada adalah sama dengan sifar. Tiada pekali negatif, tetapi, bagaimanapun, syaratnya tidak dipenuhi, kerana ia memerlukan pemenuhan ketat ketidaksamaan.

Ini disahkan oleh contoh berikut.

Contoh 2.9.1. Gunakan keadaan Stodola pada litar dalam Rajah. 2.9.2.

Fungsi pemindahan sistem maklum balas negatif unit gelung terbuka adalah sama dengan dan persamaan ciri sistem gelung tertutup ialah jumlah pengangka dan penyebut, i.e.

D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.

Memandangkan tiada ahli dengan R dalam ijazah pertama ( a 1 = 0), maka keadaan Stodola tidak berpuas hati dan sistem tidak stabil. Sistem ini tidak stabil dari segi struktur, kerana di bawah tiada nilai parameter k 1 dan k 2 tidak boleh mampan.

Untuk menjadikan sistem stabil, anda perlu memperkenalkan sambungan tambahan atau pautan pembetulan, i.e. mengubah struktur sistem. Mari tunjukkan ini dengan contoh. Dalam Rajah. 2.9.3. pautan rantai terus diwakili oleh pautan yang disambungkan secara bersiri dengan fungsi pemindahan dan . Selari dengan pengenalan pertama terdapat sambungan tambahan.

P
Fungsi pemindahan sistem gelung terbuka ke atas sambungan negatif unit dan persamaan ciri sistem gelung tertutup masing-masing sama dengan

,

Sekarang keadaan Stodola berpuas hati untuk mana-mana . Oleh kerana dalam kes persamaan darjah kedua, ia bukan sahaja perlu, tetapi juga mencukupi, sistem ini stabil untuk sebarang faktor keuntungan positif.

Dalam Rajah 2.9.4, pautan paksaan berurutan dimasukkan ke dalam litar. Fungsi pemindahan sistem sambungan negatif tunggal litar terbuka dalam kes ini adalah sama dengan dan persamaan ciri sistem tertutup adalah sama dengan

Sama seperti yang sebelumnya, sistem ini stabil untuk mana-mana positif .

Kriteria kestabilan Rouss-Hurwitz

Ahli matematik Rouss (England) dan Hurwitz (Switzerland) membangunkan kriteria ini pada masa yang hampir sama. Perbezaannya adalah dalam algoritma pengiraan. Kita akan berkenalan dengan kriteria dalam rumusan Hurwitz.

Menurut Hurwitz, untuk kestabilan adalah perlu dan mencukupi apabila a 0 > 0 penentu Hurwitz  =  n dan semua kanak-kanak bawah umur utamanya  1 ,  2 ,...,  n -1 adalah positif, i.e.

(2.9.4)

Struktur penentu Hurwitz mudah diingat, memandangkan pekali terletak di sepanjang pepenjuru utama A 1 ,… ,A n, garisan mengandungi pekali yang dipisahkan oleh satu; jika ia habis, maka ruang kosong diisi dengan sifar.

Contoh 2.9.2. Untuk mengkaji kestabilan Hurwitz sistem dengan maklum balas negatif unit, dalam rantaian langsung yang mana tiga pautan inersia disertakan dan, oleh itu, fungsi pemindahan sistem gelung terbuka mempunyai bentuk (2.9.5)

Mari kita tulis persamaan ciri sistem tertutup sebagai jumlah pengangka dan penyebut (2.9.5):

Oleh itu,

Penentu Hurwitz dan anak bawah umurnya mempunyai bentuk

mengambil kira a 0 > 0, kepositifan ketat penentu Hurwitz dan bawah umur (2.9.6) membayangkan keadaan Stodola dan, sebagai tambahan, keadaan a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, yang selepas menggantikan nilai pekali memberikan

(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

Daripada ini dapat dilihat bahawa dengan peningkatan k sistem boleh bertukar daripada stabil kepada tidak stabil, kerana ketidaksamaan (2.9.7) tidak lagi berpuas hati.

Fungsi pemindahan sistem secara ralat adalah sama dengan

Mengikut teorem tentang nilai akhir asal, ralat keadaan mantap dalam memproses isyarat satu langkah akan sama dengan 1/(1+ k). Akibatnya, percanggahan didedahkan antara kestabilan dan ketepatan. Untuk mengurangkan ralat, anda perlu meningkatkan k, tetapi ini membawa kepada kehilangan kestabilan.

Prinsip hujah dan kriteria kestabilan Mikhailov

Kriteria Mikhailov adalah berdasarkan prinsip hujah yang dipanggil.

Mari kita pertimbangkan polinomial ciri sistem gelung tertutup, yang, menurut teorem Bezout, boleh diwakili dalam bentuk

D(p) = a 0 hlm n + a 1 hlm n- 1 +…+a n = a 0 (p - hlm 1 )…(p - hlm n ).

Mari buat penggantian p = j

D(j ) = a 0 (j ) n + a 1 (j ) n- 1 +…+a n = a 0 (j -hlm 1 )…(j -hlm n ) = X( )+jY( ).

Untuk nilai tertentu  mempunyai titik pada satah kompleks yang diberikan oleh persamaan parametrik

E
jika berubah  dalam julat dari - hingga , maka lengkung Mikhailov, iaitu, hodograf, akan dilukis. Mari kita kaji putaran vektor D(j ) apabila ia berubah  dari - hingga , iaitu, kita dapati kenaikan hujah vektor (hujah adalah sama dengan jumlah untuk hasil darab vektor): .

Pada  = -  vektor perbezaan, yang permulaannya pada titik R i, dan hujung pada paksi khayalan diarahkan menegak ke bawah. Semasa anda membesar  hujung vektor slaid sepanjang paksi khayalan, dan bila  =  vektor diarahkan menegak ke atas. Jika akar dibiarkan (Rajah 2.9.19a), maka  arg = + , dan jika akarnya betul, maka  arg = - .

Jika persamaan ciri mempunyai m akar kanan (masing-masing n - m kiri), kemudian .

Inilah prinsip hujah. Apabila memilih bahagian sebenar X( ) dan khayalan Y( ) kami dikaitkan dengan X( ) semua istilah yang mengandungi j ke tahap yang sekata, dan ke Y( ) - pada tahap yang ganjil. Oleh itu, lengkung Mikhailov adalah simetri tentang paksi sebenar ( X( ) - walaupun, Y( ) – fungsi ganjil). Akibatnya, jika anda berubah  daripada 0 hingga +, maka kenaikan hujah akan menjadi separuh daripada besar. Dalam hal ini, akhirnya prinsip hujah dirumuskan seperti berikut . (2.9.29)

Jika sistem itu stabil, i.e. m= 0, maka kita memperoleh kriteria kestabilan Mikhailov.

Menurut Mikhailov, untuk kestabilan adalah perlu dan mencukupi itu

, (2.9.30)

iaitu, keluk Mikhailov mesti dilalui secara berturut-turut n

Jelas sekali, untuk menggunakan kriteria Mikhailov, pembinaan lengkung yang tepat dan terperinci tidak diperlukan. Adalah penting untuk menentukan bagaimana ia berlaku di sekitar asal koordinat dan sama ada urutan laluan dilanggar n sukuan lawan jam.

Contoh 2.9.6. Gunakan kriteria Mikhailov untuk memeriksa kestabilan sistem yang ditunjukkan dalam Rajah 2.9.20.

Polinomial ciri sistem gelung tertutup di k 1 k 2 > 0 sepadan dengan sistem yang stabil, jadi keadaan Stodola dipenuhi, dan untuk n = 1 sudah memadai. Anda boleh terus mencari akarnya R 1 = - k 1 k 2 dan pastikan bahawa keadaan kestabilan yang diperlukan dan mencukupi dipenuhi. Oleh itu, penggunaan kriteria Mikhailov adalah ilustrasi. Percaya hlm= j , kita mendapatkan

D(j ) = X( )+ jY( ),

di mana X( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

Menggunakan persamaan parametrik (2.9.31), hodograf Mikhailov telah dibina dalam Rajah 2.9.21, dari mana jelas bahawa apabila menukar  0 hingga  vektor D(j ) berputar mengikut lawan jam dengan +  /2, iaitu sistem adalah stabil.

Kriteria kestabilan nyquist

KEPADA Seperti yang telah dinyatakan, kriteria Nyquist menduduki kedudukan istimewa di kalangan kriteria kestabilan. Ini ialah kriteria kekerapan yang membolehkan anda menentukan kestabilan sistem gelung tertutup berdasarkan ciri frekuensi sistem gelung terbuka. Dalam kes ini, diandaikan bahawa sistem terbuka dalam litar maklum balas negatif tunggal (Rajah 2.9.22).

Salah satu kelebihan kriteria Nyquist ialah ciri frekuensi sistem gelung terbuka boleh diperoleh secara eksperimen.

Derivasi kriteria adalah berdasarkan penggunaan prinsip hujah. Fungsi pemindahan sistem gelung terbuka (melalui litar maklum balas negatif tunggal dalam Rajah 2.9.22) adalah sama dengan

Mari kita pertimbangkan. (2.9.32)

Dalam kes sistem sebenar dengan lebar jalur terhad, tahap penyebut fungsi pemindahan gelung terbuka P lebih besar daripada kuasa pengangka, i.e. n> . Oleh itu, darjah polinomial ciri sistem gelung terbuka dan sistem gelung tertutup adalah sama dan sama. n. Peralihan daripada AFC sistem gelung terbuka kepada AFC mengikut (2.9.32) bermakna peningkatan dalam bahagian sebenar sebanyak 1, i.e. menggerakkan asal koordinat ke titik (-1, 0), seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.9.23.

Mari kita anggap bahawa sistem gelung tertutup adalah stabil, dan persamaan ciri sistem gelung terbuka ialah A(p) = 0 telah m akar yang betul. Kemudian, selaras dengan prinsip hujah (2.9.29), kita memperoleh syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk kestabilan sistem gelung tertutup mengikut Nyquist

Itu. untuk kestabilan vektor sistem gelung tertutup W 1 (j ) mesti lakukan m/2 pusingan penuh mengikut lawan jam, yang bersamaan dengan memutarkan vektor W pa z (j ) berbanding dengan titik kritikal (-1.0).

Dalam amalan, sebagai peraturan, sistem gelung terbuka adalah stabil, i.e. m= 0. Dalam kes ini, kenaikan hujah adalah sifar, i.e. AFC bagi sistem gelung terbuka tidak seharusnya meliputi titik kritikal (-1.0).

Kriteria Nyquist untuk LAC dan LFC

Dalam amalan, ciri logaritma sistem gelung terbuka lebih kerap digunakan. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk merumuskan kriteria Nyquist untuk menentukan kestabilan sistem gelung tertutup berdasarkannya. Bilangan pusingan AFC berbanding dengan titik kritikal (-1.0) dan sama ada ia dilindungi atau tidak

bergantung pada bilangan persilangan positif dan negatif bagi selang (-,-1) paksi nyata dan, oleh itu, persilangan garis -180° mengikut ciri fasa di rantau itu L( )  0 . Rajah 2.9.24 menunjukkan AFC dan menunjukkan tanda-tanda persilangan segmen (-,-1) paksi sebenar.

Peraturan yang adil

di manakah bilangan persilangan positif dan negatif.

Berdasarkan AFC dalam Rajah 2.9.24c, LAC dan LFC dibina, ditunjukkan dalam Rajah 2.9.25, dan persimpangan positif dan negatif ditandakan pada LFC. Pada segmen (-,-1) modul lebih besar daripada satu, yang sepadan dengan L( ) > 0. Oleh itu, Kriteria Nyquist:

D Untuk kestabilan sistem gelung tertutup LFC sistem gelung terbuka di wilayah di mana L( ) > 0, harus mempunyai lebih banyak persilangan positif garis -180° daripada garis negatif.

Jika sistem gelung terbuka adalah stabil, maka bilangan persilangan positif dan negatif garis -180° mengikut ciri fasa di rantau ini L( ) > 0 untuk kestabilan sistem gelung tertutup hendaklah sama atau tiada persimpangan.

Kriteria Nyquist untuk sistem astatik

Ia amat perlu untuk mempertimbangkan kes sistem pesanan astatik r dengan fungsi pemindahan sistem gelung terbuka yang sama dengan

.

Dalam kes ini pada 0, iaitu, ciri fasa amplitud (APC) sistem gelung terbuka pergi ke infiniti. Sebelum ini, kami membina AFH apabila menukar  dari - hingga  dan ia adalah lengkung berterusan, ditutup pada  =  0. Kini ia juga ditutup pada  = 0, tetapi pada infiniti dan tidak jelas di sebelah mana paksi sebenar (pada infiniti di sebelah kiri atau di sebelah kanan?).

Rajah 2.9.19c menggambarkan bahawa dalam kes ini terdapat ketidakpastian dalam mengira kenaikan hujah bagi vektor perbezaan. Ia kini sentiasa terletak di sepanjang paksi khayalan (bertepatan dengan j ). Hanya apabila melintasi sifar arah berubah (dalam kes ini, vektor diputar mengikut lawan jam oleh  atau mengikut arah jam dengan -?), Untuk kepastian, kita anggap secara konvensional bahawa punca dibiarkan dan pembulatan asalan berlaku di sepanjang lengkok jejari terhingga berlawanan arah jam (putaran dengan +  ). Sehubungan itu di sekitar  = 0 akan diwakili dalam borang

,

di mana  = +  apabila ia berubah  dari – 0 hingga + 0. Ungkapan terakhir menunjukkan bahawa dengan pendedahan ketidakpastian sedemikian, AFC bertukar dengan perubahan  dari – 0 hingga + 0 setiap sudut - mengikut arah jam. AFC yang dibina sepadan mestilah  = 0 ditambah dengan lengkok ketakterhinggaan jejari pada sudut , iaitu lawan jam kepada separuh paksi nyata positif.

Margin kestabilan mengikut modulus dan fasa

Untuk menjamin kestabilan apabila parameter sistem berubah, margin kestabilan diperkenalkan dalam modulus dan fasa, ditentukan seperti berikut.

Modulo margin kestabilan menunjukkan berapa kali atau berapa banyak desibel yang dibenarkan untuk menambah atau mengurangkan keuntungan supaya sistem kekal stabil (ada pada had kestabilan). Ia ditakrifkan sebagai min( L 3 , L 4) dalam Rajah 2.9.25. Sesungguhnya, jika anda tidak menukar LFC, maka apabila LFC meningkat L 4 kekerapan potong  cp akan bergerak ke titik  4 dan sistem akan berada di sempadan kestabilan. Jika anda menurunkan LAX kepada L 3, maka kekerapan potong akan beralih ke kiri ke titik  3 dan sistem juga akan berada di sempadan kestabilan. Jika kita menurunkan LAX lebih rendah lagi, maka di rantau ini L( ) > 0 hanya akan kekal sebagai persilangan negatif garisan LFC -180°, i.e. mengikut kriteria Nyquist, sistem akan menjadi tidak stabil.

Margin kestabilan fasa menunjukkan berapa banyak yang dibenarkan untuk meningkatkan anjakan fasa dengan keuntungan yang berterusan supaya sistem kekal stabil (berada pada sempadan kestabilan). Ia ditakrifkan sebagai pelengkap  ( cf) sehingga -180°.

Pada latihan L  12-20 dB,   20-30°.