Perhitungan area gambar, kurva yang ditentukan parametrik terbatas. Perhitungan volume tubuh rotasi menggunakan integral spesifik menghitung luas garis-gambar garis terbatas parametro online online

Salam untuk Anda, siswa yang terkasih dari Argmon Universitas!

Sedikit lagi - dan kursus akan selesai, dan sekarang kita akan berurusan dengan apa.

Zhowley sedikit melambaikan tangannya - dan sosok itu dimanifestasikan di udara. Lebih tepatnya, itu adalah trapezium persegi panjang. Dia hanya menggantung di udara yang diciptakan oleh energi ajaib yang mengalir pada partainya, dan juga mengalir di dalam trapesium itu sendiri, itulah sebabnya seluruh kilau dan kilau.
Kemudian guru sedikit membuat gerakan melingkar dengan jari-jarinya - dan trapesium mulai berputar di sekitar sumbu tak terlihat. Pertama, perlahan, maka semuanya lebih cepat dan lebih cepat - sehingga di udara jelas mulai muncul angka volumetrik. Tampaknya energi ajaib tersebar di atasnya.

Berikut ini terjadi: kontur gambar yang berkilauan dan interiornya mulai mengisi dengan beberapa zat, cahaya menjadi kurang terlihat, tetapi angka itu sendiri semakin mirip dengan sesuatu yang nyata. Butir bahan didistribusikan secara merata atas angka. Dan itu sudah berakhir: dan rotasi, dan cahaya. Di udara menggantung benda yang mirip dengan corong. Zhowley dengan lembut memindahkannya ke meja.

Ini dia. Sangat mungkin untuk mewujudkan banyak item - dengan memutar beberapa tokoh datar di sekitar garis lurus imajiner. Tentu saja, perlu untuk mewujudkan sejumlah zat yang akan mengisi seluruh retensi yang terbentuk dan sementara dengan bantuan energi magis. Tetapi untuk menghitung secara akurat seberapa penting itu - dan Anda perlu mengetahui volume tubuh yang diperoleh. Jika tidak, jika zat tidak cukup, itu tidak akan mengisi seluruh volume dan tubuh ternyata rapuh, dengan kekurangan. Dan untuk terwujud dan masih memiliki substansi berlebih yang besar adalah biaya energi magis yang tidak perlu.
Nah, jika kita memiliki zat yang terbatas? Kemudian, mampu menghitung volume tubuh, Anda dapat memperkirakan tubuh seperti apa yang dapat kita lakukan tanpa biaya khusus energi magis.
Ada juga pemikiran lain tentang materi yang terlalu menarik. Di mana kelebihan zat keluar? Coperty, tidak terlibat? Atau menempel pada tubuh seperti yang digantung?
Secara umum, masih ada sesuatu yang perlu dipikirkan. Jika tiba-tiba Anda memiliki beberapa pemikiran muncul, saya dengan senang hati akan mendengarkan mereka. Sementara itu, mari kita beralih ke perhitungan volume tubuh yang diperoleh dengan cara ini.
Beberapa kasus dianggap di sini.

Kasus 1.

Area yang akan kami putar adalah trapezium lengkung paling klasik.

Secara alami, kita hanya bisa berputar di sekitar sumbu oh. Jika trapezium ini digeser ke kanan secara horizontal sehingga tidak melintasi sumbu Oy, maka dapat diputar dan relatif terhadap sumbu ini. Rumus mantra untuk kedua kasus adalah sebagai berikut:

Kami telah menguasai efek magis utama pada fungsi, jadi untuk Anda, saya pikir itu tidak akan sulit jika perlu untuk memindahkan gambar sehingga dalam sumbu koordinat sehingga nyaman untuk bekerja dengannya.

Kasus 2.

Tidak hanya trapezium curvilinear klasik yang dapat diputar, tetapi juga angka jenis ini:

Saat berputar, kita akan mendapatkan jenis cincin. Dan dengan memindahkan angka ke area positif, kita dapat memutarnya dan relatif terhadap sumbu Oy. Kami juga mendapatkan cincin atau tidak. Itu semua tergantung pada bagaimana angka tersebut akan berada: Jika batas kiri melewati persis di sepanjang sumbu Oy, cincin tidak akan berfungsi. Hitung volume tubuh rotasi tersebut, menggunakan mantra berikut:

Kasus 3.

Ingatlah bahwa kita memiliki kurva indah, tetapi mereka yang tidak akrab bagi kita, dan dalam bentuk parametrik. Kurva semacam itu sering ditutup. Parameter T harus berubah sedemikian rupa sehingga angka tertutup ketika berjalan di sekitarnya dengan kurva (batas) tetap tersisa.

Kemudian untuk menghitung volume tubuh rotasi sehubungan dengan Axis OH atau OY, perlu untuk menggunakan mantra ini:

Formula yang sama juga dapat digunakan untuk kasus kurva yang tidak tertutup: ketika kedua ujungnya terletak pada sumbu oh atau pada sumbu Oy. Angka itu dengan cara apa pun ternyata ditutup: ujung menutup segmen sumbu.

Kasus 4.

Bagian dari kurva indah diberikan oleh koordinat kutub (R \u003d R (FI)). Dan kemudian angka itu dapat diputar relatif terhadap sumbu kutub. Dalam hal ini, sistem koordinat Cartesian dikombinasikan dengan kutub dan mengandalkan
X \u003d r (fi) * cos (fi)
Y \u003d r (fi) * sin (fi)
Dengan demikian, kami datang ke bentuk parametrik kurva, di mana parameter FI harus berubah sehingga ketika melewati wilayah kurva tetap di sebelah kiri.
Dan kami menggunakan rumus mantra dari kasing 3.

Namun, untuk kasus koordinat kutub, ada rumus mantra:

Tentu saja, angka datar dapat diputar dan relatif terhadap langsung lainnya, tidak hanya relatif terhadap sumbu OX dan OY, tetapi manipulasi ini sudah lebih kompleks, jadi kami akan membatasi diri pada kasus-kasus yang dipertimbangkan dalam kuliah.

Dan sekarang pekerjaan rumah. Saya tidak akan memberi Anda angka spesifik. Kami telah belajar banyak fungsi, dan saya ingin Anda membangun sedemikian rupa sehingga Anda mungkin perlu dalam praktik magis. Saya pikir empat contoh pada semua kasus yang ditunjukkan dalam kuliah akan cukup.

Kuliah 8. Aplikasi integral tertentu.

Penerapan tujuan integral dari fisik didasarkan pada properti additivitas integral pada set. Oleh karena itu, dengan bantuan integral, nilai-nilai seperti itu sendiri aditif untuk banyak yang dapat dihitung. Misalnya, angka angka tersebut sama dengan jumlah luas bagian-bagiannya dari panjang busur, luas permukaan, volume tubuh, massa tubuh memiliki properti yang sama. Oleh karena itu, semua nilai ini dapat dihitung menggunakan integral tertentu.

Anda dapat menggunakan dua metode pemecahan masalah: metode jumlah integral dan metode diferensial.

Metode jumlah terintegrasi mengulangi desain integral tertentu: partisi dibangun, poin ditandai, fungsi dihitung, jumlah integral dihitung, batas dihitung. Dalam metode ini, kesulitan utama adalah membuktikan bahwa batas akan berubah dengan tepat apa yang dibutuhkan dalam tugas.

Metode diferensial menggunakan formula Integral dan Newton yang tidak terbatas - Leibitsa. Nilai diferensial dihitung, yang harus ditentukan, dan kemudian, mengintegrasikan diferensial ini, menurut formula Newton - Leibher menerima nilai yang diinginkan. Dalam metode ini, kesulitan utama adalah membuktikan bahwa itu dihitung persis diferensial dari nilai yang diinginkan, dan bukan sesuatu yang lain.

Perhitungan pola pesawat.

1. Angka tersebut dibatasi oleh grafik fungsi yang ditentukan dalam sistem koordinat Cartesian.

Kami datang ke konsep integral tertentu dari tugas area trapezium cryvilinear (pada kenyataannya, menggunakan metode jumlah terintegrasi). Jika fungsi hanya mengambil nilai non-negatif, area di bawah grafik fungsi pada segmen dapat dihitung menggunakan integral tertentu. perhatikan itu oleh karena itu, metode diferensial dapat dilihat di sini.

Tetapi fungsinya dapat diambil pada beberapa segmen dan nilai negatif, maka integral dari segmen ini akan memberikan area negatif, yang bertentangan dengan definisi daerah tersebut.

Anda dapat menghitung area sesuai dengan formulaS.=. Ini setara dengan mengubah fungsi fungsi di bidang-bidang di mana dibutuhkan nilai-nilai negatif.

Jika Anda perlu menghitung ukuran gambar, terbatas dari bagian atas grafik fungsi, dan di bawah jadwal fungsi, maka anda dapat menggunakan rumusS.= , sebagai .

Contoh. Hitung area gambar yang dibatasi dengan lurus x \u003d 0, x \u003d 2 dan grafik fungsi y \u003d x 2, y \u003d x 3.

Perhatikan bahwa pada interval (0,1), ketidaksetaraan x 2\u003e x 3 dilakukan, dan pada x\u003e 1, ketidaksetaraan x 3\u003e x 2 dilakukan. karena itu

2. Gambar dibatasi oleh grafik fungsi yang ditentukan dalam sistem koordinat polar.

Biarkan grafik fungsi diatur dalam sistem koordinat polar dan kami ingin menghitung area sektor curvilinear, terbatas pada dua sinar dan grafik fungsi dalam sistem koordinat polar.

Di sini Anda dapat menggunakan metode jumlah terintegrasi, menghitung area sektor curvilinear sebagai batas jumlah luas sektor dasar, di mana grafik fungsi diganti oleh Lingkaran ARC .

Metode diferensial juga dapat digunakan: .

Anda bisa berdebat seperti itu. Mengganti sektor curvilinear dasar yang sesuai dengan sudut pusat sektor bundar, kami memiliki proporsi. Dari sini . Mengintegrasikan dan menggunakan formula Newton - Leibnitsa, dapatkan .

Contoh. Hitung area lingkaran (periksa rumus). Kami percaya. Area lingkaran sama .

Contoh. Menghitung cardioid area terbatas .

3 Gambar dibatasi oleh grafik fungsi yang ditentukan parametrik.

Fungsi dapat diatur secara parametrik dalam formulir. Kami menggunakan rumus S.= Menggantikannya dan membatasi integrasi pada variabel baru. . Biasanya, ketika menghitung integral, area di mana fungsi pedoman memiliki tanda tertentu dan memperhitungkan area yang sesuai dengan satu atau lain cara.

Contoh. Hitung area yang dibatasi oleh elips.

Kami menggunakan simetri elips, kami menghitung luas seperempat elips yang terletak di kuadran pertama. Di kuadran ini. Oleh karena itu.

Perhitungan volume tubuh.

1. Perhitungan tubuh pada kuadrat dari bagian paralel.

Biarkan perlu untuk menghitung volume tubuh tertentu V sesuai dengan area yang diketahui dari bagian-bagian tubuh ini dengan pesawat yang tegak lurus terhadap lembu langsung, dilakukan melalui titik X lembar garis lurus.

Terapkan metode diferensial. Mempertimbangkan volume dasar, di atas segmen silinder melingkar langsung dengan luas dan tinggi badan, kami memperoleh . Mengintegrasikan dan menerapkan formula Newton - Leibnitsa, kami dapatkan

2. Perhitungan tubuh rotasi.

Mari kita hitung LEMBU..

Kemudian .

Demikian pula, volume rotasi tubuh di sekitar sumbuOy.Jika fungsi ditentukan dalam formulir, Anda dapat menghitung sesuai dengan rumus.

Jika fungsi ditentukan dalam formulir dan diperlukan untuk menentukan volume tubuh rotasi di sekitar sumbuOy.Rumus untuk menghitung volume dapat diperoleh sebagai berikut.

Beralih ke diferensial dan mengabaikan anggota kuadrat, kita miliki . Mengintegrasikan dan menerapkan formula Newton - Leibnitsa, yang kita miliki.

Contoh. Hitung volume bola.

Contoh. Hitung volume kerucut melingkar langsung, terbatas pada permukaan dan pesawat.

Kami menghitung volume sebagai volume tubuh rotasi yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu OZ dari segitiga persegi panjang di bidang OXZ, kart yang terletak pada sumbu OZ dan zikir langsung, dan hipotenuse terletak pada garis.

Mengekspresikan x melalui z, dapatkan .

Perhitungan panjang busur.

Untuk mendapatkan formula untuk menghitung panjang busur, ingat rumus yang diturunkan formula yang diperoleh dalam 1 semester untuk perbedaan panjang ARC.

Jika ARC adalah grafik dari fungsi yang terus-menerus berbeda, Panjang busur diferensial dapat dihitung oleh rumus

. karena itu

Jika busur halus ditetapkan parametrical T.

. karena itu .

Jika busur diatur dalam sistem koordinat polarT.

. karena itu .

Contoh. Hitung panjang fungsi busur fungsi ,. .

Bagian: Matematika

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran: Belajarlah untuk menghitung volume tubuh rotasi menggunakan integral.

Tugas:

mengkonsolidasikan kemampuan untuk mengidentifikasi jala curvilinear dari sejumlah bentuk geometris dan untuk mengatasi keterampilan menghitung area trapezium curvilinear;
berkenalan dengan konsep angka curah;
belajar menghitung volume tubuh rotasi;
mempromosikan pengembangan pemikiran logis, pidato matematika yang kompeten, akurasi dalam pembangunan gambar;
minat singkat pada subjek, dengan operasi konsep dan gambar matematika, untuk meningkatkan kehendak, kemandirian, ketekunan ketika hasil akhir tercapai.

Selama kelas

I. Momen organisasi.

Grup Ucapan. Pesan ke target siswa.

Refleksi. Melodi tenang.

- Pelajaran hari ini saya ingin memulai dengan perumpamaan. "Sage hidup, siapa yang tahu segalanya. Satu orang ingin membuktikan bahwa Sage tidak tahu semua. Tutup di telapak tangan kupu-kupu, dia bertanya: "Katakan, seorang bijak, betapa kupu-kupu di tanganku: mati atau hidup?" Dan dia berpikir: "kata Live - aku akan membunuhnya, katakan mati - aku akan dirilis." Sage, berpikir, menjawab: "Semua ada di tanganmu". (Presentasi.Meluncur)

- Karena itu, mari kita bekerja berbuah hari ini, kita akan memperoleh barang-barang baru pengetahuan, dan keterampilan dan keterampilan yang dihasilkan akan diterapkan dalam kehidupan masa depan dan kegiatan praktis. "Semua ada di tanganmu".

Ii. Pengulangan materi yang dipelajari sebelumnya.

- Mari kita ingat poin-poin utama dari bahan yang dipelajari sebelumnya. Untuk melakukan ini, lakukan tugas "Kecualikan kata yang tidak perlu."(Meluncur.)

(Siswa pergi ke I.D. Dengan dokter menghapus kata yang tidak perlu.)

- Baik "Diferensial". Cobalah kata-kata yang tersisa untuk memanggil satu kata umum. (Kalkulus integral.)

- Mari kita ingat tahap dan konsep utama yang terkait dengan kalkulus integral ..

"Cluster Matematika".

Tugas. Pulihkan skip. (Seorang siswa keluar dan memasuki gagang kata-kata yang diperlukan.)

- Abstrak tentang penggunaan integral, kami dengar nanti.

Bekerja di notebook.

- Fisikawan Bahasa Inggris Newton Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibnitsa (1646-1716) mengeluarkan formula Newton Labitsa (1643-1727). Dan ini tidak mengherankan, karena matematika adalah bahasa yang Alam berbicara.

- Pertimbangkan bagaimana formula ini digunakan saat menyelesaikan tugas-tugas praktis.

Contoh 1: Hitung area bentuk, garis terbatas

Solusi: Bangun pada grafik bidang koordinat fungsi . Kami menyoroti area gambar, yang perlu Anda temukan.

AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.

- Perhatikan layar. Apa yang ditunjukkan pada gambar pertama? (Meluncur) (Gambar datar disajikan pada gambar.)

- Apa yang ditunjukkan pada gambar kedua? Apakah angka ini rata? (Meluncur) (Gambar menunjukkan angka curah.)

- Di luar angkasa, di bumi dan dalam kehidupan sehari-hari, kami ditemukan tidak hanya dengan tokoh datar, tetapi juga dalam jumlah besar, tetapi bagaimana menghitung volume TEL tersebut? Misalnya, volume planet, kebakaran, meteorit, dll.

- Volume rumah dikandung tentang volume, dan air meluap dari satu kapal ke kapal lain. Aturan dan teknik untuk menghitung volume adalah muncul, hal lain adalah seberapa akurat mereka dan masuk akal.

Mahasiswa pesan. (Tyurina Vera.)

1612 adalah untuk penduduk kota Austria Linz, di mana ia hidup kemudian oleh astronom Johann Kepler sangat panen, terutama pada anggur. Orang-orang menyiapkan barel anggur dan ingin mengetahui cara praktis menentukan volume mereka. (Slide 2)

"Dengan demikian, karya-karya Kepler yang dipertimbangkan menandai awal dari seluruh aliran studi yang dimahkotai pada kuartal terakhir abad XVII. Pendaftaran dalam karya I. Newton dan G.V. Leibher diferensial dan integral. Matematika variabel besarnya ditempati sejak saat ini tempat terdepan dalam sistem pengetahuan matematika.

- Hari ini kami bersama Anda dan akan menangani kegiatan praktis seperti itu, oleh karena itu,

Tema pelajaran kami: "Perhitungan badan rotasi menggunakan integral tertentu". (Meluncur)

- Anda akan menemukan definisi tubuh rotasi dengan melakukan tugas berikut.

"Labirin".

Labirin (kata Yunani) berarti langkah di ruang bawah tanah. Jaringan trek yang kusut labirin, bergerak yang berkomunikasi satu sama lain.

Tetapi definisi "bangkrut", ada tips dalam bentuk panah.

Tugas. Temukan output dari posisi bingung dan tuliskan definisi.

Meluncur. "Instruksi Peta" perhitungan volume.

Menggunakan integral tertentu, dimungkinkan untuk menghitung volume tubuh, khususnya, tubuh rotasi.

Tubuh rotasi disebut tubuh diperoleh dengan rotasi trapezium curvilinear di sekitar basisnya (Gbr. 1, 2)

Volume tubuh rotasi dihitung oleh salah satu formula:

1. sekitar sumbu oh.

2. Jika rotasi trapezium curvilinear sekitar sumbu ou.

Instrukrasi kartu mendapat setiap siswa. Guru menekankan highlight.

- Guru menjelaskan solusi contoh di papan tulis.

Pertimbangkan kutipan dari dongeng terkenal A. S. Pushkin "Kisah Tsar Sahanan, tentang Bogatyr Pangeran Gwidon Saltanovich yang Bagus dan Perkasa, dan tentang Swan Putri yang cantik" (Geser 4):

…..
Dan membawa messenger messenger
Pada hari yang sama, pesanannya adalah:
"Raja membuat Boyar-Nya,
Waktu tidak membelanjakan gratis
Dan Queen dan SPODES
Untuk diam-diam berhenti di jurang air. "
Tidak ada yang bisa dilakukan: Boyar,
Kelelahan tentang kedaulatan
Dan ratu muda
Di kamar tidur datang ke kerumunannya.
Mengumumkan tsarisk volodya -
Dia dan putranya seorang taruhan
Baca keputusan keras
Dan ratu di jam yang sama
Dalam barel dengan putranya, ditanam,
Diacak, diperlihatkan
Dan biarkan mereka pergi ke Okian -
So Thira de Tsar Sahanan.

Apa yang harus menjadi volume barel sehingga Ratu dan putranya cocok di dalamnya?

- Pertimbangkan tugas-tugas berikut

1. Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan rotasi di sekitar sumbu ordinat trapesium curvilinear, garis terbatas: x 2 + y 2 \u003d 64, y \u003d -5, y \u003d 5, x \u003d 0.

Jawaban: 1163. cm. 3 .

Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan rotasi trapezium parabola di sekitar sumbu absis y \u003d, x \u003d 4, y \u003d 0.

Iv. Mengikat materi baru

Contoh 2. Hitung volume tubuh yang dibentuk oleh rotasi kelopak di sekitar sumbu absis y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Kami membangun grafik fungsi. y \u003d x 2, y 2 \u003d x. Susunan acara y 2 \u003d x Kami mengkonversi ke formulir y.= .

Memiliki V \u003d v 1 - v 2 Hitung volume setiap fungsi

"Sekarang, mari kita pertimbangkan menara untuk stasiun radio di Moskow di Shabolovka, dibangun di atas proyek seorang insinyur Rusia yang indah, akademisi kehormatan V. Shukhov. Ini terdiri dari bagian-bagian - rotasi hiperboloid. Selain itu, masing-masing dari mereka terbuat dari batang logam lurus yang menghubungkan lingkaran yang berdekatan (Gbr. 8, 9).

- Pertimbangkan tugasnya.

Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan rotasi hiperbola busur Di sekitar sumbu imajinernya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 8, di mana

kubus unit.

Tugas untuk kelompok. Siswa mengeluarkan banyak dengan tugas, gambar dilakukan pada Watman, salah satu perwakilan dari kelompok tersebut melindungi pekerjaan.

Kelompok 1.

Memukul! Memukul! Masih pukulan!
Terbang di gawang bola - bola!
Dan ini adalah bola semangka
Hijau, bulat, enak.
Kunjungi lebih baik - Bola apa!
Itu terbuat dari beberapa kalangan.
Potong di lingkaran semangka
Dan cobalah untuk mencicipinya.

Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan rotasi di sekitar sumbu OH fungsi terbatas

Kesalahan! Bookmark tidak didefinisikan.

- Katakan padaku, tolong, di mana kita bertemu dengan angka ini?

Rumah. Tugas untuk 1 grup. SILINDER (meluncur) .

"Silinder - apa itu?" Saya bertanya pada ayah saya.
Ayah tertawa: silinder adalah topi.
Untuk memiliki presentasi yang benar
Silinder, katakanlah itu adalah bank pengalengan.
Parot pipa - silinder,
Pipa di atap kami - juga,

Semua pipa pada silinder serupa.
Dan saya membawa contoh ini -
Kaleidoskop adalah kekasihku,
Mata darinya Anda tidak akan berbalik,
Dan juga silindernya.

- Tugas. Mesin rumah Buat grafik fungsi dan hitung volume.

Grup 2. KERUCUT (meluncur).

Ibu berkata: Dan sekarang
Tentang kerucut akan ada kisah saya.
Dalam topi tinggi, kelaparan
Dia percaya bintang-bintang sepanjang tahun.
Kerucut - topi bintang.
Itu dia. Dipahami? Itu sesuatu.
Moma memiliki meja,
Botol-botol menumpahkan minyak.
- Di mana corong? Tidak ada corong.
Mencari. Jangan berdiri di sela-sela.
- Bu, aku tidak akan tersentuh dari tempat,
Ceritakan tentang kerucut.
- Corong dalam bentuk kebocoran kerucut.
Nah, temukan aku bertengkar.
Saya tidak dapat menemukan corong,
Tapi Ibu membuat Kulok,
Karton telah menyelimuti
Dan dengan cerdik diikat.
Minyak tuangkan, ibu senang,
Cone keluar dari apa yang diperlukan.

Tugas. Hitung volume tubuh yang diperoleh dengan rotasi di sekitar sumbu absis

Rumah. Tugas untuk kelompok ke-2. PIRAMIDA (meluncur).

Saya melihat gambar. Dalam gambar ini
Ada piramida di gurun pasir.
Segala sesuatu di piramida luar biasa
Semacam teka-teki dan misteri di dalamnya.
Dan menara spasskaya di alun-alun merah
Anak-anak dan orang dewasa akrab sempurna.
Anda melihat menara - tampilan yang biasa,
Dan apa yang ada di atasnya? Piramida!

Tugas. Pekerjaan rumah Buat grafik fungsi dan hitung volume piramida

- Volume dari berbagai tubuh, kami menghitung berdasarkan rumus dasar volume tubuh menggunakan integral.

Ini adalah konfirmasi lain bahwa integral tertentu adalah yayasan untuk belajar matematika.

- Nah, sekarang mari kita beristirahat.

Temukan pasangan.

Drama Domino Matematika bermain.

"Cara dia mencari-cari, tidak akan kewalahan ..."

Penelitian. Integral aplikasi dalam bidang ekonomi dan teknologi.

Tes untuk siswa yang kuat dan sepakbola matematika.

Simulator matematika.

2. Kombinasi semua primer dari fungsi ini disebut

A) integral yang tidak pasti

B) Fungsi,

C) diferensiasi.

7. Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan rotasi di sekitar sumbu absis trapezium curvilinear yang terbatas pada garis:

D / s. Hitung volume tubuh rotasi.

Refleksi.

Penerimaan refleksi dalam formulir sincweune. (Fivesty).

Lini 1 adalah nama topik (satu kata benda).

Garis ke-2 adalah deskripsi topik dalam dua kata, dua kata sifat.

Garis ke-3 - Deskripsi tindakan dalam kerangka topik ini dalam tiga kata.

Garis ke-4 adalah frasa dari empat kata mereka, menunjukkan hubungan dengan topik (seluruh kalimat).

Baris ke-5 adalah sinonim yang mengulangi esensi tema.

Volume.
Fungsi integral dan integral tertentu.
Kami membangun, memutar, menghitung.
Tubuh diperoleh dengan rotasi trapezium curvilinear (di sekitar basisnya).
Tubuh rotasi (badan geometris volumetrik).

Keluaran (meluncur).

Integral tertentu adalah beberapa fondasi untuk belajar matematika, yang memberikan kontribusi yang sangat diperlukan untuk menyelesaikan tugas-tugas konten praktis.
Topik "Integral" dengan cermat menunjukkan koneksi matematika dengan fisika, biologi, ekonomi dan teknologi.
Perkembangan ilmu modern tidak terpikirkan tanpa menggunakan integral. Dalam hal ini, perlu untuk mulai belajar dalam kerangka pendidikan khusus sekunder!

Perkiraan. (Berkomentar.)

Great Omar Khayam - ahli matematika, penyair, filsuf. Dia menelepon untuk menjadi ahli nasibnya. Kami mendengarkan kutipan dari karyanya:

Anda akan mengatakan, hidup ini adalah satu saat.
Penghargaannya, dalam menggambar inspirasi.
Bagaimana cara membelanjakannya dan berlalu.
Jangan lupa: Dia adalah kreasi Anda.

Temukan volume tubuh yang dihasilkan oleh rotasi cycloid arch di sekitar basisnya. Roberval menemukannya, memecahkan tubuh berbentuk telur yang dihasilkan (Gbr. 5.1) ke lapisan tipis yang tak terhingga, menulis cylindriks ke dalam lapisan ini dan menyelesaikannya. Buktinya ternyata panjang, membosankan dan tidak terlalu ketat. Oleh karena itu, untuk menghitungnya beralih ke matematika tertinggi. Mari kita menetapkan persamaan parametrical cycloids.

Dalam perhitungan integral, saat mempelajari volume, komentar berikut digunakan:

Jika kurva membatasi trapezium curvilinear diatur dengan persamaan parametrik dan fungsi dalam persamaan ini memenuhi kondisi teorema pada penggantian variabel dalam integral tertentu, volume tubuh rotasi trapezium di sekitar sumbu oh, akan dihitung oleh formula:

Kami menggunakan rumus ini untuk menemukan volume yang kami butuhkan.

Dengan cara yang sama, permukaan tubuh ini dihitung.

L \u003d ((x, y): x \u003d a (t - sin t), y \u003d a (1 - biaya), 0? T? 2p)

Dalam perhitungan integral, ada rumus berikut untuk menemukan permukaan tubuh rotasi di sekitar sumbu kurva yang ditentukan pada segmen parametrical (t 0? T? T 1):

Menerapkan rumus ini untuk persamaan siklok kami, kami memperoleh:

Pertimbangkan juga permukaan lain yang dihasilkan oleh rotasi Cycloid Arch. Untuk melakukan ini, kami membangun refleksi cermin dari lengkungan sikoid relatif terhadap basisnya, dan angka oval yang dibentuk oleh cycloid dan refleksi akan berputar di sekitar sumbu kt (Gbr. 5.2)

Pertama, kita akan menemukan volume tubuh yang dibentuk oleh rotasi cycloid arch di sekitar sumbu kt. Ini akan dihitung dengan volumenya dengan rumus (*):

Dengan demikian, kami menghitung volume setengah dari tubuh seperti repo ini. Maka seluruh volume akan sama