Derivatif kompleks untuk boneka. Temukan derivatif: Algoritma dan contoh solusi. Apa itu fungsi yang kompleks

Ingat sangat mudah.

Baiklah, jangan pergi jauh, kita akan segera mempertimbangkan fungsi terbalik. Fungsi apa kebalikannya untuk fungsi indikatif? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah nomornya:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan alas) disebut "alami", dan untuk itu kami menggunakan penunjukan khusus: alih-alih menulis.

Apa yang sama dengan? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma alami juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan fungsi turunan.
2. Apa fungsi turunannya sama?

Jawaban: Peserta pameran dan logaritma natural - fungsinya secara unik sederhana dari sudut pandang turunan. Fungsi pertukaran dan logaritmik dengan basis lain akan memiliki turunan lain, yang akan kita analisis nanti dengan Anda, setelah melewati aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi-lagi istilah baru, lagi?! ...

Diferensiasi - Ini adalah proses menemukan turunan.

Hanya dan segalanya. Dan bagaimana lagi menyebutkan proses ini dalam satu kata? Bukan produksi ... Diferensial matematika disebut peningkatan fungsi pada. Istilah ini sedang terjadi dari bahasa Latin diferia - perbedaan. Sini.

Saat menampilkan semua aturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kami juga akan membutuhkan formula untuk kenaikan mereka:

Total ada 5 aturan.

Konstanta terbuat dari tanda turunan.

Jika - beberapa jenis nomor konstan (konstan), maka.

Jelas, aturan ini berfungsi untuk perbedaan :.

Kami terbukti. Biarkan, atau lebih mudah.

Contoh.

Temukan fungsi turunan:

1. pada saat itu;
2. pada saat itu;
3. pada saat itu;
4. pada titik.

Solusi:

1. (Derivatifnya sama di semua titik, karena ini adalah fungsi linear, ingat?);

Pekerjaan yang diturunkan

Di sini semuanya serupa: Kami memperkenalkan fungsi baru dan menemukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Temukan derivatif fungsi dan;
2. Temukan derivatif fungsi pada saat itu.

Solusi:

Fungsi indikatif derivatif

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk belajar bagaimana menemukan turunan dari fungsi indikatif apa pun, dan bukan hanya peserta pameran (tidak lupa apa itu?).

Jadi, di mana beberapa nomor.

Kami sudah tahu fungsi derivatif, jadi mari kita coba membawa fungsi kami ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kami menggunakan aturan sederhana :. Kemudian:

Nah, ternyata. Sekarang cobalah untuk menemukan derivatif, dan jangan lupa bahwa fitur ini kompleks.

Terjadi?

Di sini, periksa sendiri:

Formula ternyata sangat mirip dengan pameran derivatif: seperti itu, tetap, hanya multiplier yang muncul, yang hanya angka, tetapi bukan variabel.

Contoh:
Temukan fungsi turunan:

Jawaban:

Ini hanya angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu, bukan untuk merekam dalam bentuk yang lebih sederhana. Oleh karena itu, sebagai tanggapan dalam bentuk ini dan pergi.

Perhatikan bahwa ada dua fungsi pribadi di sini, oleh karena itu menerapkan aturan diferensiasi yang sesuai:

Dalam contoh ini, produk dari dua fungsi:

Fungsi logaritmik derivatif

Ini serupa: Anda sudah tahu turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk menemukan sewenang-wenang dari logaritma dengan alasan lain, misalnya:

Anda perlu membawa logaritma ini ke pangkalan. Dan bagaimana cara mengubah dasar logaritma? Saya harap Anda ingat formula ini:

Hanya sekarang kita akan menulis:

Dalam penyebut, ternyata hanya konstan (nomor konstan, tanpa variabel). Derivatifnya sangat sederhana:

Derivatif fungsi indikatif dan logaritmik hampir tidak ditemukan dalam ujian, tetapi tidak akan berlebihan untuk mengenal mereka.

Fungsi kompleks derivatif.

Apa itu "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan arcthangence. Fungsi-fungsi ini dapat menjadi kompleks untuk memahami (meskipun jika logaritma menurut Anda sulit, baca topik "logaritma" dan semuanya akan lulus), tetapi dari sudut pandang matematika kata "kompleks" tidak berarti "sulit".

Bayangkan sebuah konveyor kecil: Dua orang duduk dan memiliki beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus cokelat di bungkus, dan yang kedua menyiratkannya dengan pita. Ternyata objek integral seperti itu: cokelat, dibungkus dan dilapisi dengan pita. Untuk memakan cokelat, Anda perlu melakukan tindakan terbalik dalam urutan terbalik.

Mari kita buat konveyor matematika serupa: Pertama kita akan menemukan cosinus angka, dan kemudian angka yang dihasilkan untuk didirikan ke dalam kotak. Jadi, kami memberikan angka (cokelat), saya menemukan cosinus (bungkus), dan kemudian Anda akan didirikan dengan apa yang saya lakukan, dalam kotak (ikat ke pita). Apa yang terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh dari fungsi yang kompleks: kapan menemukan maknanya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan lain dengan apa yang terjadi sebagai hasil dari yang pertama.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi, argumen yang merupakan fitur lain.: .

Untuk contoh kami,.

Kita dapat sepenuhnya melakukan tindakan yang sama dan dalam urutan terbalik: pertama-tama Anda akan didirikan ke dalam kotak, dan kemudian saya mencari cosinus dari angka yang dihasilkan :. Mudah menebak bahwa hasilnya akan hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: Ketika prosedur berubah, fungsi berubah.

Contoh kedua: (sama). .

Tindakan yang kita lakukan yang terakhir akan menelepon Fungsi "eksternal", dan tindakan dilakukan pertama - masing-masing Fungsi "internal" (Ini adalah nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa yang sederhana).

Cobalah untuk menentukan sendiri fungsi apa yang eksternal, dan mana internal:

Jawaban:Pemisahan fungsi internal dan eksternal sangat mirip dengan penggantian variabel: misalnya, dalam fungsi

1. Pertama kita akan melakukan tindakan apa? Pertama, pertimbangkan sinus, tetapi baru kemudian didirikan ke dalam kubus. Jadi, fungsi internal, dan yang eksternal.
   Dan fungsi awal adalah komposisi mereka :.
2. Intern:; Eksternal :.
   Periksa :.
3. Intern:; Eksternal :.
   Periksa :.
4. Intern:; Eksternal :.
   Periksa :.
5. Intern:; Eksternal :.
   Periksa :.

kami memproduksi penggantian variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kami akan mengekstrak cokelat cokelat kami - mencari turunannya. Prosedur ini selalu terbalik: pertama kami mencari turunan fungsi eksternal, kemudian gandakan hasil turunan dari fungsi internal. Berkenaan dengan contoh asli, sepertinya ini:

Contoh lain:

Jadi, kami akhirnya merumuskan aturan resmi:

Algoritma untuk menemukan fungsi kompleks derivatif:

Tampaknya semuanya sederhana, ya?

Periksa contohnya:

Solusi:

1) internal :;

Eksternal :;

2) internal :;

(Hanya jangan berpikir sekarang untuk memotong! Dari bawah cosinus, tidak ada yang dilakukan, ingat?)

3) internal :;

Eksternal :;

Segera jelas bahwa di sini fungsi kompleks tiga tingkat: Lagi pula, itu sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan masih melepas root darinya, yaitu, kita melakukan tindakan ketiga (cokelat di bungkus dan dengan pita dimasukkan ke dalam portofolio). Tetapi tidak ada alasan untuk takut: semua "BANCA" yang sama dengan fungsi ini akan dalam urutan yang sama seperti biasa: dari akhir.

Artinya, pertama gunakan root, lalu cosinus, dan hanya ekspresi dalam tanda kurung. Dan kemudian semua variabel ini.

Dalam kasus seperti itu, lebih mudah untuk tindakan bernomor. Artinya, bayangkan kita diketahui. Pesanan apa yang akan kita lakukan tindakan untuk menghitung nilai ungkapan ini? Kami akan memeriksa pada contoh:

Kemudian tindakan berlangsung, semakin "eksternal" akan menjadi fungsi yang sesuai. Urutan tindakan - seperti sebelumnya:

Di sini bersarang umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan prosedurnya.

1. Ekspresi paksa. .

2. Root. .

3. sinus. .

4. persegi. .

5. Kami mengumpulkan semuanya dalam sekelompok:

TURUNAN. Singkat tentang hal utama

Fungsi turunan. - Rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen dengan peningkatan argumen yang tak terhingga:

DASIVATIF DASAR:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dibuat untuk tanda turunan:

Jumlah turunan:

Pekerjaan Produksi:

Derivatif pribadi:

Fungsi Kompleks Derivatif:

Algoritma untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal", kami menemukan turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal", kami menemukan turunannya.
3. Lipat gandakan hasil item pertama dan kedua.

Fungsi spesies yang kompleks tidak sepenuhnya dengan benar disebut istilah "fungsi kompleks". Misalnya, terlihat sangat mengesankan, tetapi fitur ini tidak sulit, tidak seperti.

Dalam artikel ini, kita akan menangani konsep fungsi yang kompleks, belajar mengidentifikasinya dalam komposisi fungsi dasar, kita akan memberikan rumus untuk menemukan itu turunan dan pertimbangkan secara rinci solusi dari contoh-contoh karakteristik.

Saat memecahkan contoh, kami akan terus menggunakan tabel derivatif dan aturan diferensiasi, jadi simpan di depan mata Anda.

Fungsi kompleks - Ini adalah fungsi, argumen yang juga merupakan fungsi.

Dari sudut pandang kami, definisi ini paling jelas. Kondisional dapat dilambangkan sebagai f (g (x)). Yaitu, g (x), seperti itu, argumen fungsi f (g (x)).

Misalnya, mari kita menjadi fungsi arctangent, dan g (x) \u003d lnx adalah fungsi logaritma alami, maka fungsi kompleks f (g (x)) adalah arctg (lnx). Contoh lain: F - fungsi tingkat keempat, dan - Seluruh fungsi rasional (lihat), lalu .

Pada gilirannya, G (x) juga bisa menjadi fungsi yang kompleks. Sebagai contoh, . Ekspresi secara kondisional seperti itu dapat ditunjuk sebagai . Di sini F - fungsi sinus - fungsi ekstraksi akar kuadrat, - Fungsi rasional fraksional. Adalah logis untuk berasumsi bahwa tingkat kekebalan yang bersarang dapat berupa angka alami yang terbatas.

Sering Anda dapat mendengar bahwa fungsi kompleks disebut komposisi fungsi.

Formula untuk menemukan fungsi kompleks derivatif.

Contoh.

Temukan fungsi kompleks derivatif.

Keputusan.

Dalam contoh ini, F - fungsi konstruksi alun-alun, dan G (x) \u003d 2x + 1 adalah fungsi linear.

Berikut ini adalah solusi terperinci menggunakan rumus fungsi kompleks turunan:

Mari kita temukan derivatif ini, pra-penyederhanaan jenis fungsi sumber.

Karenanya,

Seperti yang Anda lihat, hasilnya bertepatan.

Cobalah untuk tidak bingung, fungsi apa f, dan g (x).

Mari kita jelaskan contoh untuk perhatian.

Contoh.

Temukan derivatif fungsi kompleks dan.

Keputusan.

Dalam kasus pertama f - ini adalah fungsi dari konstruksi alun-alun, dan g (x) adalah fungsi sinus, jadi
.

Dalam kasus kedua, F adalah fungsi sinus, dan fungsi daya. Akibatnya, oleh formula fungsi kompleks yang kita miliki

Derivatif formula untuk suatu fungsi memiliki formulir

Contoh.

Membedakan fungsi .

Keputusan.

Dalam contoh ini, fungsi kompleks dapat ditulis secara kondisional sebagai , Di mana - fungsi sinus, fungsi konstruksi hingga tingkat ketiga, fungsi logaritming untuk pangkalan E, fungsi penangkapan arctgennes dan fungsi linier, masing-masing.

Oleh rumus fungsi kompleks derivatif

Sekarang ditemukan

Kami mengumpulkan hasil perantara:

Tidak ada yang mengerikan, membongkar fungsi-fungsi kompleks sebagai matryoshki.

Dimungkinkan untuk menyelesaikan artikel ini jika tidak ...

Dianjurkan untuk memahami dengan jelas ketika menerapkan aturan diferensiasi dan tabel derivatif, dan ketika rumus fungsi kompleks derivatif.

Sekarang sangat berhati-hati. Kami akan berbicara tentang perbedaan antara fungsi-fungsi dari pandangan yang kompleks dari fungsi kompleks. Dari seberapa banyak Anda melihat perbedaan ini, dan kesuksesan akan tergantung pada ketika turunannya ditemukan.

Mari kita mulai dengan contoh-contoh sederhana. Fungsi dapat dianggap sebagai kompleks: g (x) \u003d TGX, . Oleh karena itu, Anda dapat segera menerapkan rumus fungsi kompleks derivatif

Tapi fungsinya Sulit untuk nama tidak dapat dipanggil.

Fitur ini adalah jumlah dari tiga fungsi, 3TGX dan 1. Meskipun itu adalah fungsi yang kompleks: - fungsi daya (kuadrat parabola), dan F adalah fungsi dari garis singgung. Oleh karena itu, pertama-tama terapkan jumlah rumus diferensiasi:

Masih menemukan fungsi kompleks derivatif:

Oleh karena itu.

Kami berharap esensi yang Anda tangkap.

Jika Anda terlihat lebih luas, dapat dikatakan bahwa fungsi spesies kompleks dapat dimasukkan dalam fungsi kompleks dan fungsi kompleks dapat terdiri bagian dari fungsi spesies kompleks.

Sebagai contoh, kami akan menganalisis fungsi bagian komponen .

pertama, Ini adalah fungsi yang kompleks yang dapat diwakili dalam bentuk di mana F adalah fungsi logaritming berdasarkan 3, dan g (x) adalah jumlah dari dua fungsi dan . Yaitu, .

Kedua, Ambil fungsi h (x). Sikap untuk .

Ini adalah jumlah dari dua fungsi dan dimana - Fungsi kompleks dengan koefisien numerik 3. - Fungsi konstruksi dalam kubus adalah fungsi kosinus, - fungsi linier.

Ini adalah jumlah dari dua fungsi dan di mana - Fungsi kompleks, - Fungsi eksponensial, adalah fungsi daya.

Lewat sini, .

Ketiga, pergi ke, yang merupakan bagian dari fungsi kompleks dan seluruh fungsi rasional

Fungsi limpasan adalah fungsi logaritmming berdasarkan E.

Karenanya, .

Mari kita ringkas:

Sekarang struktur struktur jelas dan telah terlihat rumus mana dan di mana urutan berlaku selama diferensiasi.

Di bagian diferensiasi fungsi (menemukan derivatif), Anda dapat membiasakan diri dengan solusi tugas-tugas tersebut.

Contoh penghitungan derivatif menggunakan rumus fungsi kompleks turunan diberikan.

Lihat juga: Bukti formula fungsi kompleks derivatif

Formula dasar

Di sini kami menyediakan contoh penghitungan derivatif dari fungsi-fungsi berikut:
; ; ; ; .

Jika fungsi dapat diwakili sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
Ditentukan oleh turunannya oleh formula:
.
Dalam contoh di bawah ini, kami akan merekam rumus ini sebagai berikut:
.
dimana.
Berikut adalah indeks bawah atau, terletak di bawah tanda turunannya, menunjukkan variabel di mana diferensiasi dilakukan.

Biasanya, dalam tabel turunan, derivatif fungsi dari variabel X diberikan. Namun, X adalah parameter formal. Variabel X dapat diganti dengan variabel lainnya. Oleh karena itu, ketika membedakan fungsi dari variabel, kita cukup berubah dalam tabel derivatif, variabel X ke variabel U.

Contoh sederhana

Contoh 1.

Temukan turunan dari fungsi yang kompleks
.

Kami menuliskan fungsi yang ditentukan dalam bentuk yang setara:
.
Dalam tabel derivatif yang kami temukan:
;
.

Oleh rumus fungsi kompleks derivatif, kami memiliki:
.
Di sini.

Contoh 2.

Temukan derivatif
.

Kami melaksanakan 5 per tanda turunan dan dari tabel derivatif yang kami temukan:
.

.
Di sini.

Contoh 3.

Temukan derivatif
.

Kami bertahan permanen -1 Untuk tanda turunan dan dari tabel derivatif, kami menemukan:
;
Dari tabel derivatif yang kami temukan:
.

Terapkan rumus fungsi kompleks derivatif:
.
Di sini.

Contoh yang lebih kompleks

Dalam contoh yang lebih kompleks, kami menerapkan aturan diferensiasi dari fungsi kompleks beberapa kali. Pada saat yang sama, kami menghitung turunan dari akhir. Yaitu, kita membagi fungsi dengan komponen dan menemukan turunan dari bagian paling sederhana menggunakan turunan tabel. . Kami juga melamar aturan diferensiasi jumlah , pekerjaan dan fraksi. Kemudian buat substitusi dan terapkan rumus fungsi kompleks derivatif.

Contoh 4.

Temukan derivatif
.

Kami menyoroti bagian paling sederhana dari formula dan menemukan turunannya. .

.
Di sini kami menggunakan penunjukan
.

Kami menemukan turunan dari bagian selanjutnya dari fungsi sumber, menggunakan hasil yang diperoleh. Terapkan aturan diferensiasi jumlah:
.

Sekali lagi, kami menerapkan aturan diferensiasi dari fungsi yang kompleks.

.
Di sini.

Contoh 5.

Temukan fungsi derivatif
.

Kami menyoroti bagian paling sederhana dari formula dan dari tabel derivatif, kami akan menemukan turunannya. .

Menerapkan aturan diferensiasi dari fungsi yang kompleks.
.
Sini
.

Membedakan bagian berikut dengan menerapkan hasil yang diperoleh.
.
Sini
.

Membedakan bagian berikut.

.
Sini
.

Sekarang kita menemukan turunan dari fungsi yang diinginkan.

.
Sini
.

Setelah Anda datang ke sini, mungkin punya waktu untuk melihat formula ini di buku teks

dan untuk membuat seseorang seperti itu:

Teman, jangan khawatir! Bahkan, semuanya mudah dimiringkan. Anda pasti akan mengerti segalanya. Hanya satu permintaan - baca artikel perlahan-lahan, cobalah untuk memahami setiap langkah. Saya menulis sesederhana mungkin dan jelas, tetapi saya perlu meludahi sebuah ide. Dan pastikan untuk menyelesaikan tugas artikel.

Apa fungsi yang sulit?

Bayangkan Anda pindah ke apartemen lain dan karenanya mengumpulkan barang-barang dalam kotak besar. Biarkan perlu untuk mengumpulkan barang-barang kecil apa pun, seperti aksesori tertulis di sekolah. Jika Anda hanya membuangnya ke dalam kotak besar, maka mereka tersesat di antara hal-hal lain. Untuk menghindari ini, Anda pertama kali menempatkannya, misalnya, dalam satu paket, yang kemudian ditempatkan dalam kotak besar, lalu tutupnya. Proses "paling sulit" ini ditunjukkan dalam diagram di bawah ini:

Tampaknya, di mana matematika? Ya, terlepas dari kenyataan bahwa fungsi kompleks dibentuk dengan cara yang persis sama! Hanya "pak" Kami bukan buku catatan dan menangani, dan \\ (x \\), dengan "paket" dan "kotak" berbeda.

Misalnya, ambil x dan "putar" ke fungsi:

Akibatnya, kami menjadi jelas, \\ (\\ cos\u2061x \\). Ini adalah "paket dengan berbagai hal." Sekarang masukkan ke dalam "kotak" - kita berkemas, misalnya, dalam fungsi kubik.

Apa yang terjadi pada akhirnya? Ya, memang benar, akan ada "paket dengan benda-benda di dalam kotak", yaitu, "Cosinus IKSA di Kuba."

Desain yang dihasilkan adalah fungsi yang kompleks. Itu berbeda dari hal sederhana itu beberapa "pengaruh" (paket) berturut-turut diterapkan pada satu ICSU Dan ternyata "fungsi fungsi" - "kemasan dalam paket".

Di tahun sekolah spesies ini "paket" ini cukup sedikit, hanya empat:

Sekarang mari kita "bungkus" IX pertama dalam fungsi indikatif dengan basis 7, dan kemudian dalam fungsi trigonometri. Kita mendapatkan:

\\ (X → 7 ^ x → TG\u2061 (7 ^ x) \\)

Dan sekarang "pack" x dua kali dalam fungsi trigonometri, pertama, dan kemudian di:

\\ (X → sin\u2061x → ctg\u2061 (sin\u2061x) \\)

Cukup, kan?

Tulis sekarang fungsinya sendiri, di mana x:
- Pertama "dikemas" ke dalam cosinus, dan kemudian dalam fungsi indikatif dengan basis \\ (3 \\);
- pertama di tingkat kelima dan kemudian secara bersinggungan;
- Pertama dalam logaritma berdasarkan basis \\ (4 \\) , kemudian ke gelar \\ (- 2 \\).

Jawaban untuk tugas ini lihat di akhir artikel.

Bisakah kita "mengemas" bukan dua "bungkus", dan tiga kali? Tidak masalah! Dan empat, dan lima, dan dua puluh lima kali. Misalnya, fungsi di mana X "dikemas" \\ (4 \\) kali:

\\ (y \u003d 5 ^ (\\ log_2\u2061 (\\ sin\u2061 (x ^ 4)) \\)

Tetapi formula seperti itu dalam praktik sekolah tidak akan bertemu (siswa lebih beruntung - mereka bisa lebih rumit).

Fungsi kompleks "membongkar"

Lihatlah fitur sebelumnya lagi. Bisakah Anda mencari tahu urutan "kemasan"? Apa x diisi pertama, lalu dan seterusnya sampai akhir. Yaitu - fungsi apa yang diinvestasikan dalam apa? Ambil daun dan tulis, seperti yang Anda pikirkan. Anda dapat membuatnya berantai dengan panah saat kami menulis di atas atau dengan cara lain.

Sekarang jawaban yang benar adalah: pada IKS pertama "dikemas" di \\ (4 \\) - gelar ini, maka hasilnya dikemas dalam sinus, pada gilirannya, mereka ditempatkan di logaritma berdasarkan \\ (2 \\), dan Pada akhirnya, semua desain ini terjebak di tingkat lima.

Artinya, perlu untuk melepaskan urutan dalam urutan terbalik. Dan kemudian tip Cara melakukannya dengan lebih mudah: Segera lihat X - darinya dan perlu menari. Mari kita lihat beberapa contoh.

Misalnya, ini adalah fungsi: \\ (y \u003d tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\). Kita melihat X - apa yang terjadi padanya terlebih dahulu? Dibutuhkan darinya. Lalu? Singgung diambil dari hasil. Di sini dan urutannya akan sama:

\\ (x → \\ log_2\u2061x → tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\)

Contoh lain: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\). Kami menganalisis - pada awalnya, X diangkat ke kubus, dan kemudian cosinus diambil dari hasilnya. Jadi urutannya adalah: \\ (x → x ^ 3 → \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\). Perhatikan, fungsinya tampaknya mirip dengan yang pertama (di mana dengan gambar). Tapi ini adalah fungsi yang sama sekali berbeda: di sini di Kuba X (yaitu \\ (\\ cos\u2061 ((x · x · x))) \\), dan ada di Kosinus Kuba \\ (x \\) (yaitu, \\ (\\ cos \u2061 x · \\ cos\u2061x · \\ cos\u2061x \\)). Perbedaan ini terjadi karena urutan "kemasan" yang berbeda.

Contoh terakhir (dengan informasi penting di dalamnya): \\ (y \u003d \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\). Jelas bahwa tindakan aritmatika dengan X pertama kali dibuat di sini, maka sinus mengambil dari hasil: \\ (x → 2x + 5 → \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\). Dan ini adalah poin penting: terlepas dari kenyataan bahwa fitur tindakan aritmatika itu sendiri tidak, di sini mereka juga bertindak sebagai metode "pengemasan". Mari kita pergi jauh ke dalam kehalusan ini.

Seperti yang saya katakan di atas, dalam fungsi sederhana X "dikemas" sekali, dan dalam waktu yang sulit - dua atau lebih. Dalam hal ini, kombinasi fungsi sederhana (yaitu, jumlah mereka, perbedaan, perkalian atau divisi) juga merupakan fungsi sederhana. Misalnya, \\ (x ^ 7 \\) adalah fungsi sederhana dan \\ (CTG X \\) - juga. Jadi semua kombinasi mereka adalah fungsi sederhana:

\\ (x ^ 7 + ctg x \\) sederhana,
\\ (x ^ 7 · ctg x \\) - sederhana,
\\ (\\ Frac (x ^ 7) (ctg x) \\) - sederhana, dll.

Namun, jika Anda menggunakan fungsi lain untuk kombinasi seperti itu - akan ada fungsi yang kompleks, karena "paket" akan menjadi dua. Lihat skema:

Nah, ayolah sekarang. Tulis urutan fungsi "pembungkus":
\\ (y \u003d cos (\u2061 (sin\u2061x)) \\)
\\ (y \u003d 5 ^ (x ^ 7) \\)
\\ (y \u003d arctg\u2061 (11 ^ x) \\)
\\ (y \u003d log_2\u2061 (1 + x) \\)
Jawaban lagi di akhir artikel.

Fungsi internal dan eksternal

Mengapa kita perlu memahami sarang fungsi? Apa yang memberi kita ini? Faktanya adalah bahwa tanpa analisis seperti itu, kita tidak akan dapat dengan andal menemukan derivatif yang dibongkar fungsi di atas.

Dan untuk melanjutkan, kita perlu dua konsep lagi: fungsi internal dan eksternal. Ini adalah hal yang sangat sederhana, apalagi, pada kenyataannya, kami telah membongkar mereka di atas: Jika Anda ingat analogi kami pada awalnya, fungsi internal adalah "paket", dan eksternal adalah "kotak". Itu. Fakta bahwa x adalah "bungkus" pertama - ini adalah fungsi internal, dan kemudian apa yang "membungkus" sudah eksternal. Nah, jelas mengapa - dia di luar, itu berarti eksternal.

Di sini dalam contoh ini: \\ (y \u003d tg\u2061 (log_2\u2061x) \\), fungsi \\ (\\ log_2\u2061x \\) adalah internal, dan
- eksternal.

Dan dalam hal ini: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3 + 2x + 1)) \\), \\ (x ^ 3 + 2x + 1 \\ - internal, dan
- eksternal.

Untuk memenuhi praktik terbaru menganalisis fungsi-fungsi yang kompleks, dan mari kita nyalakan, akhirnya, demi semuanya diperlakukan - kita akan menemukan derivatif fungsi kompleks:

Isi pas dari tabel:

Fungsi Kompleks Derivatif

Bravo kami, kami masih sampai pada "bos" topik ini - pada kenyataannya, turunan dari fungsi yang kompleks, dan secara khusus, untuk formula yang sangat mengerikan dari awal artikel.

\\ ((F (g (x))) "\u003d f" (g (x)) \\ cdot g "(x) \\)

Formula ini dibaca seperti ini:

Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi luar sesuai dengan internal yang tidak berubah pada turunan dari fungsi internal.

Dan segera melihat skema parse "menurut" untuk memahami apa yang harus diobati:

Saya harap istilah "derivatif" dan "bekerja" tidak menyebabkan kesulitan. "Fungsi kompleks" - kita sudah dibongkar. Snag dalam "turunan dari fungsi eksternal pada internal yang tidak berubah". Apa itu?

Jawaban: Ini adalah turunan biasa dari fungsi eksternal di mana hanya perubahan fungsi luar, dan internal tetap sama. Apakah tidak jelas? Bagus, ayolah.

Biarkan kita memiliki fungsi \\ (y \u003d \\ sin\u2061 (x ^ 3) \\). Jelas bahwa fungsi internal di sini \\ (x ^ 3 \\), dan eksternal
. Kami sekarang menemukan turunan dari yang eksternal yang tidak berubah internal.

Dalam pelajaran ini, kita akan belajar untuk menemukan fungsi Kompleks Derivatif. Pelajarannya adalah kelanjutan logis dari kelas Bagaimana menemukan derivatif?Di mana kita membongkar turunan paling sederhana, dan juga berkenalan dengan aturan diferensiasi dan beberapa teknik teknis menemukan derivatif. Dengan demikian, jika Anda tidak terlalu jelas dengan derivatif fungsi, Anda tidak akan sepenuhnya jelas, maka pertama-tama baca pelajaran di atas. Harap diatur dengan cara yang serius - bahannya tidak sederhana, tetapi saya masih mencoba untuk mengaturnya hanya dan mudah diakses.

Dalam praktiknya, turunan dari fungsi kompleks harus sering dihadapi, saya bahkan akan mengatakan, hampir selalu ketika Anda melakukan tugas untuk menemukan derivatif.

Kami melihat meja untuk aturan (No. 5) diferensiasi dari fungsi yang kompleks:

Kami mengerti. Pertama-tama, perhatikan catatan. Di sini kami memiliki dua fungsi - dan, apalagi, fungsinya, secara kiasan, diinvestasikan dalam fungsi. Fungsi jenis ini (ketika satu fungsi tertanam di yang lain) dan disebut fungsi kompleks.

Saya akan memanggil fungsinya fungsi eksternal, dan fungsi - Fungsi internal (atau bersarang).

! Definisi-definisi ini tidak teoritis dan tidak boleh muncul dalam desain tugas piston. Saya menggunakan ekspresi informal "fungsi eksternal", fungsi "internal" hanya untuk memudahkan Anda untuk memahami materi.

Untuk mengklarifikasi situasi, pertimbangkan:

Contoh 1.

Temukan fungsi derivatif

Di bawah sinus, kami bukan hanya huruf "x", tetapi ekspresi integer, sehingga tidak mungkin untuk menemukan turunan segera di atas meja. Kami juga memperhatikan bahwa di sini tidak mungkin untuk menerapkan empat aturan pertama, tampaknya ada perbedaan, tetapi kenyataannya adalah bahwa sinus tidak "dipisahkan menjadi bagian-bagian":

Dalam contoh ini, dari penjelasan saya, intuitif bahwa fungsinya adalah fungsi yang kompleks, dan polinomial adalah fungsi internal (lampiran), dan merupakan fungsi eksternal.

Langkah pertamauntuk melakukan ketika menemukan fungsi kompleks derivatif adalah untuk mencari tahu fungsi apa internal dan apa eksternal.

Dalam kasus contoh sederhana, sepertinya polinomial diinvestasikan di bawah sinus. Tetapi bagaimana jika semuanya tidak jelas? Bagaimana cara menentukan dengan tepat fungsi apa eksternal, dan apa batinnya? Untuk melakukan ini, saya mengusulkan untuk menggunakan penerimaan berikutnya, yang dapat dilakukan secara mental atau pada draft.

Bayangkan bahwa kita perlu menghitung nilai nilai ekspresi pada kalkulator (bukannya suatu unit mungkin ada angka apa pun).

Apa yang kita hitung terlebih dahulu? Pertama tama Anda perlu melakukan yang berikut :, Oleh karena itu, polinomial dan akan menjadi fungsi internal:

Kedua Perlu untuk menemukan, jadi sinus - itu akan menjadi fungsi eksternal:

Setelah kita Telah menemukan Dengan fungsi internal dan eksternal, saatnya untuk menerapkan aturan diferensiasi dari fungsi yang kompleks.

Kami mulai menyelesaikannya. Dari pelajaran Bagaimana menemukan derivatif? Kami ingat bahwa dekorasi solusi dari setiap derivatif selalu dimulai begitu - kami menyimpulkan ekspresi dalam tanda kurung dan menempatkan di kanan di bagian atas barcode:

Pertama Kami menemukan derivatif fungsi eksternal (sinus), kami melihat tabel fungsi dasar derivatif dan perhatikan itu. Semua formula tabular berlaku dan dalam kasus ini, jika "x" diganti oleh ekspresi kompleks, pada kasus ini:

Perhatikan bahwa fungsi internal tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.

Nah, cukup jelas

Hasil dari penerapan rumus dalam desain piston terlihat seperti ini:

Pengganda permanen biasanya menanggung ekspresi:

Jika ada kesalahpahaman tetap, tulis ulang keputusan di atas kertas dan baca penjelasannya lagi.

Contoh 2.

Temukan fungsi derivatif

Contoh 3.

Temukan fungsi derivatif

Seperti biasa, tulis:

Kami memahami di mana kami memiliki fungsi eksternal, dan di mana batin. Untuk melakukan ini, coba (secara mental atau pada draft) untuk menghitung nilai ekspresi pada. Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Pertama-tama, perlu untuk menghitung apa yang sama dengan pangkalan:, itu berarti bahwa polinomial adalah fungsi internal:

Dan, hanya kemudian latihan dilakukan hingga sejauh ini, oleh karena itu, fungsi daya adalah fungsi eksternal:

Menurut formula, pertama-tama Anda perlu menemukan turunan dari fungsi eksternal, dalam hal ini, sejauh ini. Kami ingin formula yang diperlukan dalam tabel :. Kami ulangi lagi: setiap formula tabular tidak hanya berlaku untuk "X", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Dengan demikian, hasil dari penerapan diferensiasi runt dari fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Saya menekankan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi eksternal, fungsi internal tidak berubah dengan kita:

Sekarang tetap menemukan derivatif yang sepenuhnya sederhana dari fungsi internal dan sedikit "menyisir" hasilnya:

Contoh 4.

Temukan fungsi derivatif

Ini adalah contoh untuk keputusan independen (jawaban di akhir pelajaran).

Untuk mengamankan pemahaman tentang fungsi kompleks derivatif, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, cobalah untuk mencari tahu sendiri, melukis, di mana eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas-tugas itu diselesaikan dengan cara ini?

Contoh 5.

a) Temukan fungsi derivatif

b) Temukan fungsi derivatif

Contoh 6.

Temukan fungsi derivatif

Di sini kita memiliki root, dan untuk membekukan root, itu harus diwakili dalam bentuk gelar. Dengan demikian, pertama-tama berikan fungsi ke bentuk yang tepat:

Menganalisis fungsinya, kami menyimpulkan bahwa jumlah dari ketiga istilah tersebut adalah fungsi internal, dan fungsi eksternal adalah fungsi eksternal. Terapkan aturan diferensiasi dari fungsi yang kompleks:

Tingkat kembali mewakili dalam bentuk radikal (root), dan untuk turunan dari fungsi internal, gunakan aturan sederhana jumlah diferensiasi:

Siap. Anda juga dapat menempatkan ekspresi ke penyebut umum dan menuliskan dengan satu fraksi dalam tanda kurung. Cantik, tentu saja, tetapi ketika derivatif panjang besar diperoleh - lebih baik untuk tidak melakukan ini (mudah untuk bingung, untuk memungkinkan kesalahan yang tidak perlu, dan guru akan mencentang).

Contoh 7.

Temukan fungsi derivatif

Ini adalah contoh untuk keputusan independen (jawaban di akhir pelajaran).

Sangat menarik untuk dicatat bahwa kadang-kadang bukannya prosedur untuk diferensiasi fungsi yang kompleks, Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi proporsi , Tetapi solusi seperti itu akan terlihat seperti kesenangan penyimpangan. Ini adalah contoh karakteristik:

Contoh 8.

Temukan fungsi derivatif

Di sini Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi proporsi Tetapi jauh lebih menguntungkan untuk menemukan derivatif melalui aturan diferensiasi dari fungsi yang kompleks:

Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami mengambil minus per tanda turunan, dan cosinus naik ke pembilang:

Cosinus adalah fungsi internal, fungsi eksternal adalah fungsi eksternal.
Kami menggunakan aturan kami:

Kami menemukan turunan dari fungsi internal, cosinus membuang kembali:

Siap. Dalam contoh yang diperiksa, penting untuk tidak bingung dalam tanda-tanda. Ngomong-ngomong, cobalah untuk menyelesaikannya menggunakan aturan. Jawabannya harus cocok.

Contoh 9.

Temukan fungsi derivatif

Ini adalah contoh untuk keputusan independen (jawaban di akhir pelajaran).

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan kasus-kasus ketika hanya satu investasi yang ada di fungsi kompleks kami. Dalam tugas-tugas praktis, seringkali mungkin untuk memenuhi turunan, di mana, seperti matryoshki, satu sama lain, tertanam sekaligus 3, atau bahkan 4-5 fungsi.

Contoh 10.

Temukan fungsi derivatif

Kami memahami dalam investasi fungsi ini. Kami mencoba menghitung ekspresi menggunakan nilai eksperimental. Bagaimana kita percaya pada kalkulator?

Pertama, Anda perlu menemukannya, artinya, Arksinus adalah investasi terdalam:

Maka unit-unit Arxinus ini harus dibangun ke dalam alun-alun:

Dan akhirnya, tujuh didirikan menjadi gelar:

Artinya, dalam contoh ini, kami memiliki tiga fungsi dan dua lampiran yang berbeda, sedangkan fungsi dalam adalah arxinus, dan fungsi eksternal itu sendiri adalah fungsi indikatif.

Kami mulai memutuskan

Menurut aturan, Anda pertama-tama perlu mengambil turunan dari fungsi eksternal. Kami melihat tabel turunan dan menemukan turunan dari fungsi indikatif: satu-satunya perbedaan adalah bukan "x" kami memiliki ekspresi yang sulit yang tidak membatalkan validitas formula ini. Jadi, hasil penerapan diferensiasi menjalankan fungsi kompleks adalah sebagai berikut:

Di bawah stroke, kami memiliki fungsi yang rumit lagi! Tapi lebih mudah. Mudah untuk memastikan bahwa fungsi internal adalah Arxinus, fungsi eksternal adalah gelar. Menurut diferensiasi fungsi yang kompleks, Anda pertama-tama perlu mengambil turunannya.