Apa yang sama dengan harapan dan dispersi matematika. Variabel acak. Nilai acak diskrit. Harapan matematika. Sifat-sifat dari ekspektasi matematika variabel acak

1. Ekspektasi matematika dari nilai permanen sama dengan yang paling konstan M (c) \u003d dengan .
2. Pengganda konstan dapat dibuat untuk tanda harapan matematika: M (cx) \u003d cm (x)
3. Ekspektasi matematika dari dua variabel acak independen sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka: M (xy) \u003d m (x) m (y).
4. Ekspektasi matematika jumlah dari dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika persyaratan: M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Dalil. Ekspektasi matematika M (x) jumlah peristiwa dan dalam tes independen sama dengan produk dari tes ini pada kemungkinan peristiwa dalam setiap tes: m (x) \u003d np.

Biarkan menjadi H. - Nilai acak dan M (x) - harapan matematisnya. Pertimbangkan sebagai variabel acak baru X - m (x).

Penyimpangan disebut perbedaan antara variabel acak dan harapan matematisnya.

Penyimpangan memiliki hukum distribusi berikut:

Solusi: Temukan harapan matematika:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Kami akan menulis distribusi hukum penyimpangan persegi:

Solusi: Temukan harapan matematika M (x): m (x) \u003d 2 0.1 + 3 0.6 + 5 0.3 \u003d 3.5

Wew the Act Distribution acak x 2

Kami menemukan harapan matematika M (x 2): m (x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Dispersi d (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Sifat dispersi:

1. Dispersi ukuran konstan DARI sama dengan nol: D (c) \u003d 0
2. Pengganda konstan dapat dibuat untuk tanda dispersi, memakannya ke dalam kotak. D (cx) \u003d c 2 d (x)
3. Dispersi dari jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah dispersi dari nilai-nilai ini. D (x 1 + x 2 + ... + x N) \u003d D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
4. Dispersi distribusi binomial sama dengan produk dari jumlah tes pada kemungkinan penampilan dan kesalahan acara dalam satu tes D (x) \u003d npq

Untuk memperkirakan hamburan nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak di sekitar nilai rata-rata, selain dispersi, beberapa karakteristik lain juga dilayani. Ini termasuk deviasi kuadratik rata-rata.

Deviasi kuadratik sedang dari variabel acak H. Hubungi akar kuadrat dari dispersi:

σ (x) \u003d √d (x) (4)

Contoh. Nilai acak x Set Hukum Distribusi

Temukan deviasi kuadratik sedang σ (x)

Solusi: Temukan harapan matematika X: M (x) \u003d 2 0,1 + 3 0,4 + 10 0,5 \u003d 6.4
Kami menemukan harapan matematika X 2: M (x 2) \u003d 2 2 0,1 + 3 2 0,4 + 10 2 0,5 \u003d 54
Temukan dispersi: D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04
Deviasi kuadrat sekundrat yang diinginkan σ (x) \u003d √d (x) \u003d √13.04≈3.61

Dalil. Rata-rata penyimpangan kuadratik dari jumlah angka akhir dari variabel acak yang saling independen sama-sama adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat rata-rata penyimpangan kuadratik dalam jumlah ini:

Contoh. Di rak 6 buku 3 buku dalam matematika dan 3 dalam fisika. Pilih banyak dari tiga buku. Temukan hukum distribusi jumlah buku dalam matematika di antara buku-buku yang dipilih. Temukan harapan matematika dan dispersi variabel acak ini.

D (x) \u003d m (x 2) - m (x) 2 \u003d 2.7 - 1.5 2 \u003d 0,45

Hukum distribusi sepenuhnya mencirikan jumlah acak. Namun, hukum distribusi tidak diketahui dan harus dibatasi lebih banyak informasi. Kadang-kadang bahkan lebih menguntungkan untuk menggunakan angka yang menggambarkan total nilai acak, angka-angka tersebut disebut karakteristik numerik. variabel acak. Karakteristik numerik penting termasuk ekspektasi matematika.

Harapan matematika, seperti yang akan ditampilkan lebih lanjut, kira-kira sama dengan nilai rata-rata variabel acak. Untuk memecahkan banyak tugas, itu cukup untuk mengetahui harapan matematika. Misalnya, jika diketahui bahwa ekspektasi matematika dari jumlah titik yang rusak pada panah pertama lebih besar dari yang kedua, panah pertama rata-rata mengetuk lebih banyak poin daripada yang kedua, dan, oleh karena itu, ia menembak lebih baik.

Definisi4.1: Harapan matematika Varians acak diskrit memanggil jumlah produk dari semua nilai yang mungkin untuk probabilitas mereka.

Biarkan nilai acak X. hanya dapat mengambil nilai x 1, x 2, ... x nyang probabilitasnya sama p 1, p 2, ... p n.Kemudian harapan matematika M (x.) Variabel acak X. Ditentukan oleh kesetaraan

M (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Esley Discrete Nilai Acak X. mengambil serangkaian nilai yang dapat dihitung, lalu

,

selain itu, ekspektasi matematika ada jika baris di sisi kanan kesetaraan bertemu secara mutlak.

Contoh.Temukan ekspektasi matematika dari jumlah peristiwa SEBUAH.dalam satu tes, jika probabilitas suatu peristiwa SEBUAH. sama p..

Keputusan: Nilai acak X. - Jumlah peristiwa SEBUAH. memiliki distribusi Bernoulli, jadi

Lewat sini, ekspektasi matematika dari jumlah peristiwa dalam satu tes sama dengan kemungkinan peristiwa ini..

Makna probabilistik dari harapan matematika

Biarkan diproduksi n. Tes di mana nilai acak X. Diadopsi m 1. Nilai sekali x 1., m 2. Nilai sekali x 2. ,…, m K. Nilai sekali x K., dan m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. Maka jumlah dari semua nilai yang diadopsi X., sama. x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x K M K .

Rata-rata aritmatika dari semua nilai yang diadopsi oleh variabel acak akan

Sikap m i / n- Frekuensi relatif I. Nilai-nilai x I.kira-kira sama dengan kemungkinan peristiwa p I.dimana , jadi

Makna probabilistik dari hasil yang diperoleh adalah: harapan matematika kira-kira sama (Semakin tepat, semakin besar jumlah tes) aritmatika tengah mengamati nilai acak.

Sifat harapan matematika

Properti1:Ekspektasi matematika dari nilai permanen sama dengan yang paling konstan

Properti2:Pengganda permanen dapat dibuat untuk tanda harapan matematika.

Definisi4.2: Dua variabel acak dipanggil independenJika hukum distribusi salah satu dari mereka tidak tergantung pada kemungkinan nilai-nilai dari nilai lain yang diterima. Jika tidak variabel acak tergantung.

Definisi4.3: Beberapa variabel acak Panggilan saling merdekaJika hukum distribusi sejumlah dari mereka tidak bergantung pada nilai yang mungkin adalah nilai yang tersisa.

Properti3:Ekspektasi matematis dari pekerjaan dua variabel acak independen sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka.

Konsekuensi: Ekspektasi matematika dari pekerjaan beberapa variabel acak yang saling independen sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka.

Properti4:Ekspektasi matematika jumlah dari dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika mereka.

Konsekuensi: Ekspektasi matematika jumlah dari beberapa variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika mereka.

Contoh.Hitung ekspektasi matematika terhadap variabel acak binomial X -jumlah acara SEBUAH. di n. eksperimen.

Keputusan: Total nomor X. Penampilan acara SEBUAH. Dalam tes ini, terdiri dari jumlah peristiwa dalam tes individu. Kami memperkenalkan variabel acak X I. - jumlah peristiwa di sAYA.Tes -Wed yang merupakan nilai acak BernoULLIevish dengan harapan matematika di mana . Oleh properti harapan matematika yang kita miliki

Lewat sini, ekspektasi matematika distribusi binomial dengan parameter N dan P sama dengan produk NP.

Contoh.Probabilitas memukul target saat memotret dari pistol p \u003d 0,6.Temukan harapan matematika dari jumlah total hit jika 10 tembakan diproduksi.

Keputusan: Setiap tembakan tidak tergantung pada hasil bidikan lain, sehingga peristiwa yang dipertimbangkan independen dan, oleh karena itu, harapan matematika yang diinginkan

Masing-masing, nilai yang diambil secara terpisah ditentukan sepenuhnya oleh fungsi distribusinya. Selain itu, untuk menyelesaikan tugas-tugas praktis, ada cukup untuk mengetahui beberapa karakteristik numerik, berkat yang ada peluang untuk menyajikan fitur utama dari variabel acak dalam bentuk singkat.

Nilai-nilai ini disebut terutama. nilai yang diharapkan dan penyebaran .

Nilai yang diharapkan - Nilai rata-rata variasi acak dalam teori probabilitas. Menunjukkan caranya.

Cara termudah untuk ekspektasi matematika variabel acak X (w), temukan sebagai integralLebesgue. Sehubungan dengan probabilitas R. sumber ruang probabilistik

Masih menemukan harapan matematika dari kuantitas lebesgue Integral. dari h. Oleh distribusi probabilitas R h. Nilai-nilai X.:

dimana - set semua nilai yang mungkin X..

Ekspektasi matematika fungsi dari variabel acak X. Terkunci melalui distribusi R h.. sebagai contoh, jika sebuah X. - Nilai acak dengan nilai dan f (x) - Tidak ambigu borelevskaya.fungsi H. , kemudian:

Jika sebuah F (x) - Fungsi distribusi X.maka ekspektasi matematika dibayangkan integralLebesga - Stilletes (atau Riemann - Stilly):

dalam hal ini, integrasikannya X. istilah dari ( * ) Sesuai dengan integral anggota badan

Dalam kasus tertentu, jika X. memiliki distribusi diskrit dengan nilai yang mungkin x K., k \u003d 1, 2. , dan probabilitas, lalu

jika sebuah X. Ini memiliki distribusi yang benar-benar berkelanjutan dengan kepadatan probabilitas p (x)T.

pada saat yang sama, keberadaan ekspektasi matematika setara dengan konvergensi absolut dari seri atau integral yang sesuai.

Sifat-sifat dari ekspektasi matematika variabel acak.

• Ekspektasi matematika dari nilai permanen sama dengan magnitudo ini:

C.- konstan;

• M \u003d c.m [x]

• Ekspektasi matematika dari jumlah nilai yang diambil secara acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika mereka:

• Ekspektasi matematika dari pekerjaan kuantitas yang diambil secara acak secara acak \u003d produk dari ekspektasi matematika mereka:

M \u003d m [x] + m [y]

jika sebuah X. dan Y. Independen.

jika angka konvergen:

Algoritma untuk menghitung harapan matematika.

Properti variabel acak diskrit: Semua nilainya dapat disewa oleh bilangan alami; Setiap nilai untuk menyamakan probabilitas selain nol.

1. Pada gilirannya, putar pasangan: x I. pada p I..

2. Kami melipat produk dari setiap pasangan x i p i.

Bekasuntuk n. = 4 :

Fungsi distribusi acak diskrit Langkah, itu meningkat dengan lompatan pada poin-poin yang probabilitasnya memiliki tanda positif.

Contoh:Temukan harapan matematika oleh formula.

Variabel acak Mereka menyebut nilai variabel, yang sebagai hasil dari setiap tes membutuhkan satu nilai pra-tidak diketahui, tergantung pada penyebab acak. Variabel acak ditunjukkan oleh huruf Latin Capital: $ x, \\ y, \\ z, \\ \\ dots $ dalam jenis variabel acaknya bisa diskrit dan kontinu.

Variabilitas acak diskrit - Ini adalah nilai acak, nilai-nilai yang tidak bisa lebih dari dapat dihitung, yaitu, baik akhir atau dapat dihitung. Hitungnya berarti nilai-nilai variabel acak dapat ditingkatkan.

Contoh 1. . Kami memberikan contoh variabel acak diskrit:

a) Jumlah hit dalam target dengan $ N $ tembakan, berikut adalah nilai yang mungkin $ 0, \\ 1, \\ n $.

b) Jumlah koin kosong dari koin, berikut adalah nilai yang mungkin $ 0, \\ 1, \\ \\ dots, \\ n $.

c) jumlah kapal tiba di atas kapal (menghitung banyak nilai).

d) Jumlah panggilan yang memasuki PBX (cukup banyak nilai).

1. Hukum distribusi probabilitas varians acak diskrit.

Jumlah acak diskrit $ X $ dapat mengambil nilai $ x_1, \\ dots, \\ x_n $ dengan probabilitas $ p \\ kiri (x_1 \\ kanan), \\ \\ dots, \\ p \\ kiri (x_n \\ kanan) $. Kepatuhan antara nilai-nilai ini dan probabilitasnya disebut variabel acak diskrit. Sebagai aturan, korespondensi ini diatur menggunakan tabel, di baris pertama yang nilai $ X_1, \\ DOTS, \\ x_n $ ditentukan, dan di baris kedua sesuai dengan nilai-nilai probabilitas ini $ p_1, \\ dots, \\ p_n $.

$ \\ Begin (array) (| C | C |)
\\ hline.
X_I & X_1 & X_2 \\\\ DOTS & X_N \\\\
\\ hline.
P_I & P_1 & P_2 & \\ DOTS & P_N \\\\
\\ hline.
\\ End (array) $

Contoh 2. . Biarkan nilai acak $ x $ - jumlah kacamata turun saat mengambil kubus bermain. Nilai acak seperti $ X $ dapat mengambil nilai-nilai berikut $ 1, \\ 2, \\ 3, \\ 4, \\ 5, \\ 6 $. Probabilitas semua nilai ini sama dengan $ 1/6 $. Kemudian hukum distribusi varians acak $ x $

$ \\ Begin (array) (| C | C |)
\\ hline.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hline.

\\ hline.
\\ End (array) $

Komentar. Sejak Hukum Distribusi Variabel Acak Diskrit $ X $ Acara $ 1 \\ 2, \\ \\ Dots, \\ $ 6 Formulir grup peristiwa lengkap, jumlah probabilitas harus sama dengan persatuan, yaitu $ \\ SUM (P_I ) \u003d 1 $.

2. Ekspektasi matematika dari variabel acak diskrit.

Ekspektasi matematika dari variabel acak Menentukan nilai "sentral" -nya. Untuk variabel acak diskrit, tunggu matematika dihitung sebagai jumlah produk dari nilai $ x_1, \\ dots, \\ x_n $ ke nilai-nilai probabilitas $ p_1, \\ p_n $ , yaitu: $ m \\ kiri (x \\ kanan) \u003d \\ jumlah ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) $. Dalam literatur berbahasa Inggris, gunakan penunjukan lain $ e \\ kiri (x \\ kanan) $.

Sifat harapan matematika $ M \\ kiri (x \\ kanan) $:

1. $ M \\ kiri (x \\ kanan) $ disimpulkan antara nilai terkecil dan terhebat dari nilai acak $ x $.
2. Ekspektasi matematika dari konstanta sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu. $ M \\ kiri (c \\ right) \u003d c $.
3. Pengganda permanen dapat dibuat untuk tanda harapan matematika: $ m \\ kiri (CX \\ kanan) \u003d cm \\ kiri (x \\ kanan) $.
4. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika mereka: $ M \\ kiri (x + y \\ kanan) \u003d m \\ kiri (x \\ kanan) + m \\ kiri (y kanan) $.
5. Ekspektasi matematika dari produk variabel acak independen sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka: $ M \\ kiri (xy \\ kanan) \u003d m \\ kiri (x \\ kanan) m \\ kiri (y \\ kanan).

Contoh 3. . Kami menemukan ekspektasi matematika dari variabel acak $ x $ dari contoh $ 2 $.

$$ m \\ kiri (x \\ kanan) \u003d \\ jumlah ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) \u003d 1 \\ cdot ((1) \\ over (6)) + 2 \\ over ((1) \\ over ((1) ) +3 \\ CDOT ((1) \\ over (6)) + 4 \\ CDOT ((1) \\ over (6)) + 5 \\ CDOT ((1) \\ over (6)) + 6 \\ CDOT ((1) ) \\ Over (6)) \u003d 3.5. $$

Kita dapat melihat bahwa $ m \\ kiri (x \\ kanan) $ disimpulkan antara yang terkecil ($ 1 $ 1) dan terbesar ($ 6 $ 6) dengan nilai-nilai nilai acak $ x $.

Contoh 4. . Diketahui bahwa ekspektasi matematika dari variabel acak $ X $ adalah $ M \\ kiri (x \\ kanan) \u003d $ 2. Temukan ekspektasi matematika dari variabel acak sebesar $ 3x + $ 5.

Menggunakan properti di atas, kami memperoleh $ M \\ kiri (3x + 5 \\ kanan) \u003d m \\ kiri (3x \\ kanan) + m \\ kiri (5 \\ kanan) \u003d 3m \\ kiri (x \\ kanan) + 5 \u003d 3 \\ CDOT 2 + 5 \u003d 11 $.

Contoh 5. . Diketahui bahwa ekspektasi matematika dari variabel acak $ X $ adalah $ M \\ kiri (x \\ kanan) \u003d $ 4. Temukan harapan matematika dari varietas acak $ 2x-9 $.

Menggunakan properti di atas, kami memperoleh $ M \\ kiri (2x-9 \\ kanan) \u003d m \\ kiri (2x \\ kanan) -m \\ kiri (9 \\ kanan) \u003d 2m \\ kiri (x \\ kanan) -9 \u003d 2 \\ CDOT 4 -9 \u003d -1 $.

3. Dispersi variabel acak diskrit.

Mungkin nilai variabel acak dengan ekspektasi matematika yang sama dapat berbeda secara berbeda di sekitar nilai rata-rata mereka. Misalnya, dalam dua kelompok siswa, skor rata-rata untuk ujian pada teori probabilitas sama dengan 4, tetapi dalam kelompok yang sama semuanya ternyata baik, dan dalam kelompok lain - hanya siswa yang lebih baik dan mahasiswa. Oleh karena itu, ada kebutuhan untuk karakteristik numerik dari variabel acak yang akan menunjukkan pencar nilai acak di sekitar ekspektasi matematisnya. Karakteristik ini adalah dispersi.

Variabel acak dispersi dispersi $ X $ sama:

$$ d \\ kiri (x \\ kanan) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (\\ kiri (x_-m \\ kiri) \\ kanan)) ^ 2). \\ $$

Dalam sastra Inggris, sebutan $ v \\ kiri (x \\ kanan), \\ var \\ kiri (x \\ kanan) $ digunakan. Sangat sering dispersi $ d \\ kiri (x \\ kanan) dihitung dengan rumus $ D \\ kiri (x \\ kanan) \u003d \\ jumlah ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix ^ 2_i) - (\\ kiri ( kiri (x \\ kanan) \\ kanan)) ^ $ 2.

Sifat dispersion. $ D \\ kiri (x \\ kanan) $:

1. Dispersi selalu lebih besar dari atau sama dengan nol, mis. $ D \\ kiri (x \\ kanan) \\ ge 0 $.
2. Dispersi dari konstanta adalah nol, mis. $ D \\ kiri (c \\ right) \u003d 0 $.
3. Pengganda permanen dapat dibuat untuk tanda dispersi, tunduk pada konstruksi di alun-alun, I.E. $ D \\ kiri (cx \\ kanan) \u003d c ^ 2d \\ kiri (x \\ kanan) $.
4. Dispersi dari jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah dispersi mereka, I.E. $ D \\ kiri (x + y \\ kanan) \u003d d \\ kiri (x \\ kanan) + d \\ kiri (y \\ kanan) $.
5. Dispersi perbedaan variabel acak independen sama dengan jumlah dispersi mereka, mis. $ D \\ kiri (x-y \\ right) \u003d d \\ kiri (x \\ kanan) + d \\ kiri (y \\ kanan) $.

Contoh 6. . Kami menghitung dispersi nilai acak $ x $ dari contoh $ 2 $.

$$ d \\ kiri (x \\ kanan) \u003d \\ jumlah ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (\\ kiri (x_-m \\ kiri) \\ kanan)) \u003d ((1) \\ over (6)) \\ CDOT (\\ kiri (1-3.5 \\ kanan)) ^ 2 + ((1) \\ over (6)) \\ CDOT (\\ kiri (2-3.5 \\ kanan)) ^ 2+ \\ Dots + ( (1) \\ over (6)) \\ CDOT (\\ kiri (6-3.5 \\ kanan)) ^ 2 \u003d ((((35) \\ over (12)) \\ kira-kira 2.92. $$

Contoh 7. . Diketahui bahwa dispersi variabel acak $ X $ adalah $ D \\ kiri (x \\ kanan) \u003d $ 2. Temukan dispersi variabel acak sebesar $ 4x + $ 1.

Menggunakan properti di atas, kami menemukan $ D \\ kiri (4x + 1 \\ kanan) \u003d D \\ kiri (4x \\ kanan) + d \\ kiri (1 \\ kanan) \u003d 4 ^ 2d \\ kiri (x \\ kanan) + 0 \u003d 16d \\ kiri (x \\ kanan) \u003d 16 \\ CDOT 2 \u003d 32 $.

Contoh 8. . Diketahui bahwa dispersi variabel acak $ X $ adalah $ D \\ kiri (x \\ kanan) \u003d $ 3. Temukan dispersi variabel acak $ 3-2x $.

Menggunakan properti di atas, kami menemukan $ D \\ kiri (3-2x \\ kanan) \u003d D \\ kiri (3 \\ kanan) + D \\ kiri (2x \\ kanan) \u003d 0 + 2 ^ 2d \\ kiri (x \\ kanan) \u003d 4D \\ kiri (x \\ right) \u003d 4 \\ cdot 3 \u003d 12 $.

4. Fungsi distribusi variabel acak diskrit.

Metode mewakili variabel acak diskrit dalam bentuk sejumlah distribusi bukan satu-satunya, dan hal utama tidak universal, karena nilai acak berkelanjutan tidak dapat ditentukan dengan menggunakan sejumlah distribusi. Ada cara lain untuk mewakili variabel acak - fungsi distribusi.

Fungsi distribusi Nilai acak dari $ x $ disebut $ f \\ kiri (x \\ kanan) fungsi, yang menentukan kemungkinan nilai acak $ x $ akan mengambil nilai kurang dari nilai tetap $ x $, yaitu , $ F \\ kiri (x \\ kanan) \u003d p \\ kiri (x< x\right)$

Properti Fungsi Distribusi:

1. $ 0 \\ le f \\ kiri (x \\ kanan) \\ le $ 1.
2. Kemungkinan bahwa nilai acak $ x $ akan mengambil nilai dari interval $ \\ kiri (\\ alpha; \\ \\ beta \\ kanan) $, sama dengan perbedaan nilai fungsi distribusi di ujungnya Interval ini: $ p \\ kiri (\\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \\ kiri (x \\ kanan) $ tidak ada.
4. $ (\\ Mathop (lim) _ (x \\ ke - \\ infty) f \\ kiri (x \\ kanan) \u003d 0 \\), \\ (\\ mathop (lim) _ (x \\ ke + \\ infty) f \\ kiri (x \\ Kanan) \u003d 1 \\) $.

Contoh 9. . Temukan fungsi distribusi $ f \\ kiri (x \\ kanan) $ untuk hukum distribusi variabel acak diskrit sebesar $ x $ dari contoh $ 2 $.

$ \\ Begin (array) (| C | C |)
\\ hline.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hline.
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\\ hline.
\\ End (array) $

Jika $ x \\ le $ 1 $, maka, jelas, $ f \\ kiri (x \\ kanan) \u003d 0 $ (termasuk pada $ x \u003d 1 $ f \\ kiri (1 \\ kanan) \u003d p \\ kiri (x< 1\right)=0$).

Jika $ 1.< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jika $ 2.< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jika $ 3.< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jika $ 4.< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jika $ 5.< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jika $ x\u003e $ 6, maka $ F \\ kiri (x \\ kanan) \u003d p \\ kiri (x \u003d 1 \\ kanan) + p \\ kiri (x \u003d 2 \\ kanan) + p \\ kiri (x \u003d 3 \\ kanan) + P \\ kiri (x \u003d 4 \\ kanan) + P \\ kiri (x \u003d 5 \\ kanan) + p \\ kiri (x \u003d 6 \\ kanan) \u003d 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 \u003d 1 $.

Jadi, $ f (x) \u003d \\ kiri \\ (\\ begin (matriks)
0, \\ dengan \\ x \\ le 1, \\\\
1/6, di \\ 1< x\le 2,\\
1/3, \\ dengan \\ 2< x\le 3,\\
1/2, di \\ 3< x\le 4,\\
2/3, \\ dengan \\ 4< x\le 5,\\
5/6, \\ dengan \\ 4< x\le 5,\\
1, \\ dengan \\ x\u003e 6.
\\ End (matriks) \\ kanan. $

Konsep ekspektasi matematika dapat dipertimbangkan pada contoh dengan casting cube. Dengan setiap lemparan, kacamata bersinar diperbaiki. Untuk ekspresi mereka, nilai-nilai alami digunakan dalam kisaran 1 - 6.

Setelah sejumlah lemparan tertentu, menggunakan perhitungan yang tidak kompleks, Anda dapat menemukan nilai aritmatika rata-rata dari poin yang turun.

Juga, seperti hilangnya nilai rentang apa pun, nilai ini akan acak.

Dan jika Anda menambah jumlah tembakan beberapa kali? Untuk jumlah besar lemparan, nilai aritmatika rata-rata poin akan mendekati angka spesifik yang nama ekspektasi matematika dalam teori probabilitas akan didekati.

Jadi, di bawah ekspektasi matematika itu dipahami sebagai nilai rata-rata variabel acak. Indikator ini juga dapat disajikan sebagai jumlah tertimbang nilai dari nilai yang mungkin.

Konsep ini memiliki beberapa sinonim:

• berarti;
• nilai rata-rata;
• tingkat tren pusat;
• momen pertama.

Dengan kata lain, tidak ada yang berbeda di mana nilai varians acak didistribusikan.

Di berbagai bidang aktivitas manusia, pendekatan untuk memahami ekspektasi matematika akan agak berbeda.

Itu dapat dianggap sebagai:

• manfaat rata-rata yang berasal dari adopsi keputusan dalam kasus ketika keputusan semacam itu dipertimbangkan dari sudut pandang teori jumlah besar;
• jumlah kemenangan atau kerugian yang mungkin (teori judi), dirancang rata-rata untuk masing-masing tarif. Dalam bahasa gaul, mereka terdengar seperti "keuntungan dari pemain" (positif untuk pemain) atau "keunggulan kasino" (negatif untuk pemain);
• persentase keuntungan yang diterima dari menang.

Materialisasi tidak wajib untuk semua variabel acak. Sangat hilang bagi mereka yang memiliki perbedaan antara jumlah atau integral yang relevan.

Sifat harapan matematika

Seperti halnya parameter statistik, harapan matematika memiliki sifat:

Formula utama untuk harapan matematika

Perhitungan ekspektasi matematika dapat dilakukan untuk kedua variabel acak yang ditandai dengan kontinuitas (rumus a) dan diskritens (rumus b):

1. M (x) \u003d σi \u003d 1nxi⋅pi, di mana xi adalah nilai variabel acak, probabilitas PI:
2. M (x) \u003d ∫ + ∞-∞f (x) ⋅xdx, di mana f (x) adalah kepadatan probabilitas yang diberikan.

Contoh menghitung ekspektasi matematika

Contoh A.

Apakah mungkin untuk mempelajari pertumbuhan rata-rata gnome dalam dongeng tentang salju putih. Diketahui bahwa masing-masing dari 7 gnome memiliki ketinggian tertentu: 1.25; 0,98; 1.05; 0,71; 0.56; 0,95 dan 0,81 m.

Algoritma perhitungan cukup sederhana:

• kami menemukan jumlah dari semua nilai indikator pertumbuhan (nilai acak):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• jumlah yang dihasilkan dibagi dengan jumlah gnome:
  6,31:7=0,90.

Dengan demikian, pertumbuhan rata-rata gnome dalam dongeng adalah 90 cm. Dengan kata lain, matematika menunggu pertumbuhan gnome.

Formula Kerja - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0,5 \u003d 6

Implementasi praktis dari ekspektasi matematika

Perhitungan indikator statistik ekspektasi matematika digunakan untuk berbagai bidang kegiatan praktis. Pertama-tama, kita berbicara tentang bidang komersial. Lagi pula, pengenalan guigen indikator ini dikaitkan dengan definisi peluang yang mungkin menguntungkan atau berlawanan dengan yang tidak menguntungkan, untuk beberapa peristiwa.

Parameter ini banyak digunakan untuk menilai risiko, terutama jika kita berbicara tentang investasi keuangan.
Jadi, dalam kewirausahaan, perhitungan ekspektasi matematika bertindak sebagai metode untuk menilai risiko ketika menghitung harga.

Juga, indikator ini dapat digunakan ketika menghitung efektivitas kegiatan ini atau lainnya, misalnya, pada perlindungan tenaga kerja. Berkat dia, dimungkinkan untuk menghitung kemungkinan suatu peristiwa.

Lingkup lain dari parameter ini adalah manajemen. Ini juga dapat dihitung saat mengendalikan kualitas produk. Misalnya, dengan bantuan tikar. Menunggu Anda dapat menghitung jumlah yang memungkinkan dari bagian yang rusak.

Mat terdifensinya. Nama juga disediakan ketika melakukan pemrosesan statistik hasil yang diperoleh selama penelitian ilmiah. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung kemungkinan hasil eksperimen atau penelitian yang diinginkan atau tidak diinginkan, tergantung pada tingkat pencapaian tujuan. Bagaimanapun, pencapaiannya dapat dikaitkan dengan kemenangan dan manfaat, dan itu bukan prestasi - sebagai kerugian atau rugi.

Penggunaan ekspektasi matematika untuk forex

Aplikasi praktis dari parameter statistik ini dimungkinkan ketika melakukan operasi di pasar valuta asing. Dengan itu, Anda dapat menganalisis keberhasilan transaksi perdagangan. Apa peningkatan nilai penantian menunjukkan peningkatan kesuksesan mereka.

Penting juga untuk diingat bahwa ekspektasi matematika tidak boleh dianggap sebagai satu-satunya parameter statistik yang digunakan untuk menganalisis pekerjaan pedagang. Penggunaan beberapa parameter statistik bersama dengan nilai rata-rata meningkatkan keakuratan analisis analisis kadang-kadang.

Parameter ini telah membuktikan dirinya dengan pemantauan pengamatan akun perdagangan. Berkat dia, penilaian cepat pekerjaan yang dilakukan pada rekening deposito dilakukan. Dalam kasus-kasus di mana aktivitas pedagang berhasil dan itu menghindari kerugian, tidak disarankan untuk menikmati perhitungan ekspektasi matematika. Dalam kasus-kasus ini, risiko tidak diperhitungkan, yang mengurangi efektivitas analisis.

Studi yang dilakukan pedagang taktik menunjukkan bahwa:

• ternyata taktik yang paling efektif berbasis di pintu masuk acak;
• taktik paling efektif - taktik berdasarkan input terstruktur.

Dalam mencapai hasil positif, itu tidak kalah pentingnya:

• taktik manajemen modal;
• strategi keluaran.

Menggunakan indikator seperti itu sebagai harapan matematika, dapat diasumsikan keuntungan apa yang akan menjadi kerugian saat menempel 1 dolar. Diketahui bahwa indikator ini, dihitung untuk semua game yang dipraktikkan di kasino, mendukung institusi. Inilah yang memungkinkan Anda menghasilkan uang. Dalam kasus serangkaian permainan yang panjang, probabilitas uang rugi oleh klien meningkat secara signifikan.

Pemain profesional terbatas pada interval sementara kecil, yang meningkatkan kemungkinan kemenangan dan mengurangi risiko kalah. Pola yang sama diamati dalam implementasi operasi investasi.

Investor dapat memperoleh jumlah yang signifikan dengan menunggu dan membuat sejumlah besar transaksi untuk interval waktu kecil.

Menunggu dapat dianggap sebagai perbedaan antara laba persentase laba (PW) pada laba rata-rata (AW) dan probabilitas kerugian (PL) per kerugian rata-rata (AL).

Sebagai contoh, Anda dapat mempertimbangkan hal-hal berikut: Posisi - 12,5 ribu dolar, portofolio - 100 ribu dolar, risiko setoran - 1%. Profitabilitas transaksi adalah 40% kasus dengan laba rata-rata 20%. Dalam kasus kerugian, kerugian rata-rata adalah 5%. Perhitungan ekspektasi matematika untuk transaksi memberikan nilai $ 625.