Jumlah dari perkembangan aritmatika. perkembangan aritmatika. Buku teks tentang ujian dan GIA Cara menemukan jumlah angka dalam perkembangan aritmatika

Misalnya, urutan \(2\); \(5\); \(8\); \(sebelas\); \(14\)… adalah deret aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda tiga dengan yang sebelumnya (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Dalam deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Kemajuan seperti itu disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga bisa menjadi angka negatif. Misalnya, dalam deret aritmatika \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… perbedaan perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen selanjutnya akan lebih kecil dari elemen sebelumnya. Progresi ini disebut menurun.

notasi perkembangan aritmatika

Progresi dilambangkan dengan huruf Latin kecil.

Angka-angka yang membentuk perkembangan disebut itu anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan perkembangan aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.

Misalnya, deret aritmatika \(a_n = \kiri\( 2; 5; 8; 11; 14…\kanan\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk perkembangan \(a_n = \kiri\(2; 5; 8; 11; 14…\kanan\)\)

Menyelesaikan masalah pada deret aritmetika

Pada prinsipnya, informasi di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada perkembangan aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Larutan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Diketahui tiga suku pertama barisan aritmetika: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama barisan tersebut..
Larutan:

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OGE). Diberikan beberapa unsur berurutan dari barisan aritmetika: \(...5; x; 10; 12,5...\) Tentukan nilai unsur yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Larutan:

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Carilah jumlah enam suku pertama dari barisan ini.
Larutan:

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam perkembangan aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Larutan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus Perkembangan Aritmatika Penting

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah perkembangan aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa perkembangan aritmatika adalah rangkaian angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (perbedaan perkembangan).

Namun, terkadang ada situasi di mana sangat tidak nyaman untuk diselesaikan "di dahi". Sebagai contoh, bayangkan bahwa pada contoh pertama, kita tidak perlu menemukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apa itu, kita \ (385 \) kali menambahkan empat? Atau bayangkan dalam contoh kedua dari belakang, Anda perlu menemukan jumlah dari tujuh puluh tiga elemen pertama. Menghitung itu membingungkan...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, mereka tidak menyelesaikan "di dahi", tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk perkembangan aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n dari barisan tersebut dan rumus jumlah \(n\) suku pertamanya.

Rumus untuk anggota ke \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), di mana \(a_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen yang diperlukan;
\(a_n\) adalah anggota dari perkembangan dengan angka \(n\).

Rumus ini memungkinkan kita menemukan dengan cepat setidaknya tiga ratus, bahkan sepersejuta elemen, hanya mengetahui perbedaan perkembangan dan yang pertama.

Contoh. Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Temukan \(b_(246)\).
Larutan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) adalah suku terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Temukan jumlah \(25\) suku pertama dari barisan ini.
Larutan:

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, Anda bisa mendapatkan rumus lain: Anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) alih-alih \(a_n\) gantikan dengan rumus itu \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) dari elemen pertama;
\(a_1\) adalah suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) - jumlah elemen dalam penjumlahan.

Contoh. Temukan jumlah \(33\)-ex suku pertama dari barisan aritmetika: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika, ini bisa berguna ☺)

Contoh (OGE). Temukan jumlah semua suku negatif dari barisan: \(-19,3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Larutan:

Menjawab: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OGE). Perkembangan aritmatika diberikan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Temukan jumlah dari elemen \(26\)th hingga \(42\).
Larutan:

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk perkembangan aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang belum kami pertimbangkan dalam artikel ini karena kegunaan praktisnya yang rendah. Namun, Anda dapat dengan mudah menemukannya.

Saat mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah mempelajari barisan numerik, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.

Apa itu barisan aritmatika?

Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang dimaksud, serta memberikan rumusan dasar yang selanjutnya akan digunakan dalam pemecahan masalah.

Deret aritmatika atau aljabar adalah sekumpulan bilangan rasional terurut, yang setiap anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan beberapa nilai konstan. Nilai ini disebut perbedaan. Artinya, dengan mengetahui anggota mana saja dari rangkaian angka yang diurutkan dan perbedaannya, Anda dapat memulihkan seluruh perkembangan aritmatika.

Mari kita ambil contoh. Urutan angka berikutnya adalah deret aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisih dalam kasus ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formula Penting

Kami sekarang memberikan rumus dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan perkembangan aritmatika. Misalkan a n menunjukkan anggota ke-n dari deret, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya dilambangkan dengan huruf latin d. Maka ungkapan berikut ini benar:

1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan jumlah dari n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami contoh perkembangan aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat kedua rumus ini, karena masalah apa pun dari jenis yang dipertimbangkan dibangun berdasarkan penggunaannya. Selain itu, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal

Kami memberikan contoh sederhana tentang perkembangan aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.

Misalkan barisan 10, 8, 6, 4, ..., perlu dicari lima suku di dalamnya.

Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Yang kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

1. Kita hitung selisihnya dulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, seseorang dapat mengambil dua istilah lain yang berdiri berdampingan. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Metode kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang perbedaan perkembangan yang dimaksud, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti yang ditunjukkan di atas (d = -2). Mengetahui bahwa suku pertama a 1 = 10, kita menggunakan rumus bilangan ke-n dari barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini selisih d dari perkembangan adalah negatif. Urutan seperti itu disebut menurun karena setiap suku berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh caranya

Diketahui bahwa pada beberapa suku pertama sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini menjadi suku ke-7.

Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ungkapan ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Dengan demikian, bagian pertama dari soal telah terjawab.

Untuk mengembalikan barisan ke anggota ke-7, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Sebagai hasilnya, kami memulihkan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Mari kita semakin memperumit kondisi masalahnya. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan perkembangan aritmatika. Kita dapat memberikan contoh berikut: dua angka diberikan, misalnya, 4 dan 5. Perlu untuk membuat perkembangan aljabar agar tiga suku lagi cocok di antaranya.

Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu untuk memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan selanjutnya. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n kita menggunakan rumus, kita mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini selisihnya bukan nilai bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus perkembangan aljabarnya tetap sama.

Sekarang mari kita tambahkan perbedaan yang ditemukan menjadi 1 dan kembalikan anggota perkembangan yang hilang. Kita mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, yang bertepatan dengan kondisi soal.

Contoh #4: Anggota pertama dari perkembangan

Kami terus memberikan contoh perkembangan aritmatika dengan solusinya. Dalam semua masalah sebelumnya, angka pertama dari perkembangan aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: misalkan diberikan dua angka, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Perlu untuk menemukan dari angka berapa urutan ini dimulai.

Rumus yang selama ini digunakan mengasumsikan pengetahuan a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.

Sistem yang ditentukan paling mudah untuk dipecahkan jika Anda menyatakan 1 di setiap persamaan, lalu membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dimana selisihnya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (hanya diberikan 3 tempat desimal).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya menentukan anggota ke-43 dari perkembangan yang ditentukan dalam kondisi tersebut. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh #5: Jumlahkan

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.

Biarkan perkembangan numerik dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?

Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah perkembangan aljabar, dan perbedaannya adalah 1. Menerapkan rumus penjumlahan, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Sangat menarik untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Bocah itu tidak tahu rumus jumlah deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menjumlahkan pasangan angka yang terletak di tepi deret, Anda selalu mendapatkan satu hasil, yaitu 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup mengalikan 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah suku dari n ke m

Contoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu mencari jumlah suku-sukunya dari 8 hingga 14.

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena istilahnya sedikit, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk mendapatkan rumus jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk penjumlahan:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa penjumlahan 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil selisih antara penjumlahan ini, dan menambahkan suku a m ke dalamnya (dalam hal mengambil selisihnya, dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk soal tersebut. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Penting untuk mengganti rumus untuk n dan m ke dalam ungkapan ini. Maka kita dapatkan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kita, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mengganti angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.

Seperti yang dapat dilihat dari solusi di atas, semua soal didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Kiat lainnya adalah mengupayakan kesederhanaan, yaitu jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematis yang rumit, maka Anda hanya perlu melakukan itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh perkembangan aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti di rumus S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m , dan memecah tugas umum menjadi subtugas terpisah (dalam hal ini, pertama-tama temukan istilah a n dan a m).

Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Cara menemukan perkembangan aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

Seseorang memperlakukan kata "perkembangan" dengan hati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks dari bagian matematika yang lebih tinggi. Sementara itu, perkembangan aritmatika yang paling sederhana adalah pekerjaan loket taksi (yang masih ada). Dan untuk memahami esensi (dan dalam matematika tidak ada yang lebih penting daripada "memahami esensi") dari barisan aritmatika tidaklah begitu sulit, setelah menganalisis beberapa konsep dasar.

Urutan bilangan matematika

Merupakan kebiasaan untuk menyebut urutan numerik sebagai rangkaian angka, yang masing-masing memiliki nomornya sendiri.

dan 1 adalah anggota pertama dari deret;

dan 2 adalah anggota kedua dari deret tersebut;

dan 7 adalah anggota urutan ketujuh;

dan n adalah anggota ke-n dari deret tersebut;

Namun, tidak ada rangkaian angka dan angka sembarangan yang menarik minat kami. Kami akan memusatkan perhatian kami pada urutan numerik di mana nilai anggota ke-n terkait dengan nomor urutnya dengan ketergantungan yang dapat dirumuskan secara matematis dengan jelas. Dengan kata lain: nilai numerik dari bilangan ke-n adalah beberapa fungsi dari n.

a - nilai anggota urutan numerik;

n adalah nomor serinya;

f(n) adalah fungsi di mana ordinal dalam urutan numerik n adalah argumennya.

Definisi

Deret aritmetika biasanya disebut deret numerik yang setiap suku berikutnya lebih besar (lebih kecil) dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama. Rumus anggota ke-n barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a n - nilai anggota saat ini dari perkembangan aritmatika;

a n+1 - rumus angka berikutnya;

d - perbedaan (angka tertentu).

Mudah untuk menentukan bahwa jika selisihnya positif (d>0), maka setiap anggota berikutnya dari deret yang dipertimbangkan akan lebih besar dari yang sebelumnya, dan deret aritmatika seperti itu akan meningkat.

Pada grafik di bawah ini, mudah untuk melihat mengapa urutan angka disebut "naik".

Dalam kasus di mana selisihnya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai anggota yang ditentukan

Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai dari suku arbitrer a n dari deret aritmetika. Anda dapat melakukannya dengan menghitung secara berurutan nilai semua anggota deret aritmetika, dari yang pertama hingga yang diinginkan. Namun, cara ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu mencari nilai suku lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan waktu lama. Namun, perkembangan aritmatika tertentu dapat diselidiki menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai setiap anggota barisan aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah dari anggota barisan pertama dengan selisih barisan, dikalikan dengan jumlah anggota yang diinginkan, dikurangi satu.

Rumusnya bersifat universal untuk meningkatkan dan menurunkan perkembangan.

Contoh menghitung nilai anggota yang diberikan

Mari kita selesaikan masalah berikut untuk mencari nilai anggota ke-n dari barisan aritmatika.

Kondisi: ada perkembangan aritmatika dengan parameter:

Anggota urutan pertama adalah 3;

Selisih deret angkanya adalah 1,2.

Tugas: perlu mencari nilai dari 214 suku

Solusi: untuk menentukan nilai anggota tertentu, kami menggunakan rumus:

a(n) = a1 + d(n-1)

Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kami memiliki:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Jawaban: Anggota barisan ke-214 sama dengan 258,6.

Keuntungan dari metode perhitungan ini sangat jelas - seluruh solusi tidak lebih dari 2 baris.

Jumlah dari sejumlah suku tertentu

Sangat sering, dalam deret aritmatika tertentu, diperlukan untuk menentukan jumlah nilai dari beberapa segmennya. Juga tidak perlu menghitung nilai setiap suku lalu menjumlahkannya. Metode ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang harus dicari jumlahnya kecil. Dalam kasus lain, lebih mudah menggunakan rumus berikut.

Jumlah anggota barisan aritmatika dari 1 sampai n sama dengan jumlah anggota pertama dan ke-n, dikalikan dengan jumlah anggota n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai anggota ke-n diganti dengan ekspresi dari paragraf artikel sebelumnya, kita mendapatkan:

Contoh perhitungan

Misalnya, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:

Suku pertama dari barisan tersebut adalah nol;

Perbedaannya adalah 0,5.

Dalam soal, diperlukan untuk menentukan jumlah suku-suku deret dari 56 sampai 101.

Larutan. Mari gunakan rumus untuk menentukan jumlah perkembangan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kami menentukan jumlah nilai dari 101 anggota deret dengan mengganti kondisi yang diberikan dari masalah kami ke dalam rumus:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Jelasnya, untuk mengetahui jumlah suku-suku perkembangan dari yang ke-56 ke yang ke-101, perlu untuk mengurangi S 55 dari S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Jadi jumlah dari perkembangan aritmatika untuk contoh ini adalah:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Contoh aplikasi praktis dari perkembangan aritmatika

Di akhir artikel, mari kita kembali ke contoh barisan aritmatika yang diberikan di paragraf pertama - Argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh seperti itu.

Naik taksi (yang mencakup 3 km) harganya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel / km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.

1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya sudah termasuk dalam biaya pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Perhitungan lebih lanjut tidak lebih dari penguraian deret bilangan aritmatika.

Nomor anggota adalah jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga yang pertama).

Nilai anggota adalah jumlah.

Suku pertama dalam soal ini sama dengan 1 = 50 rubel.

Perbedaan perkembangan d = 22 p.

jumlah yang menarik bagi kami - nilai anggota (27 + 1)th dari deret aritmatika - pembacaan meter di akhir kilometer ke-27 - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda langit ke benda termasyhur. Selain itu, berbagai deret numerik berhasil digunakan dalam statistik dan cabang matematika terapan lainnya.

Urutan bilangan jenis lain adalah geometris

Perkembangan geometris dicirikan oleh laju perubahan yang besar, dibandingkan dengan aritmatika. Bukan kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, kedokteran, seringkali, untuk menunjukkan kecepatan tinggi penyebaran fenomena tertentu, misalnya penyakit selama wabah, mereka mengatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.

Anggota ke-N dari deret bilangan geometris berbeda dari yang sebelumnya karena dikalikan dengan beberapa bilangan konstan - penyebutnya, misalnya anggota pertama adalah 1, penyebutnya masing-masing adalah 2, maka:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai anggota deret geometri saat ini;

b n+1 - rumus anggota deret geometri berikutnya;

q adalah penyebut deret geometri (bilangan konstan).

Jika grafik dari perkembangan aritmatika adalah garis lurus, maka grafik geometris menggambar gambar yang sedikit berbeda:

Seperti dalam kasus aritmatika, deret geometri memiliki rumus nilai anggota sembarang. Setiap suku ke-n dari barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut dari barisan pangkat n dikurangi satu:

Contoh. Kami memiliki deret geometri dengan suku pertama sama dengan 3 dan penyebutnya sama dengan 1,5. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Jumlah dari sejumlah anggota tertentu juga dihitung dengan menggunakan rumus khusus. Jumlah dari n anggota pertama dari suatu barisan geometri sama dengan selisih antara perkalian dari anggota ke-n dari barisan tersebut dan penyebutnya dan anggota pertama dari barisan tersebut, dibagi dengan penyebut dikurangi satu:

Jika b n diganti menggunakan rumus yang dibahas di atas, nilai jumlah dari n anggota pertama dari deret angka yang dipertimbangkan akan berbentuk:

Contoh. Deret geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya ditetapkan sama dengan 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Perkembangan aritmatika adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf, suku ke-n dari perkembangan, perbedaan perkembangan - semua ini membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari perkembangan aritmatika dan semuanya akan segera beres.)

Konsep deret aritmatika.

Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.

Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Angka berapa selanjutnya, setelah lima? Semuanya ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dll.

Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda dapat menangkap pola, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?

Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya mengucapkan selamat kepada Anda! Anda tidak hanya merasa poin penting dari deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.

Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)

Poin kunci pertama.

Perkembangan aritmatika berhubungan dengan deret angka. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membuat grafik dan semua itu ... Dan kemudian memperpanjang seri, temukan nomor seri ...

Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah kenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Seri" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)

Poin kunci kedua.

Dalam perkembangan aritmatika, angka apa pun berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Pada contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Angka berapa pun yang Anda ambil, itu satu lebih dari yang sebelumnya. Yang kedua - tiga. Angka apa pun tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka selanjutnya.

Poin kunci ketiga.

Momen ini tidak mencolok ya ... Tapi sangat-sangat penting. Ini dia: setiap nomor perkembangan ada di tempatnya. Ada angka pertama, ada angka ketujuh, ada angka empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda mengacaukannya secara sembarangan, polanya akan hilang. Perkembangan aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.

Itulah intinya.

Tentu saja, istilah dan notasi baru muncul di topik baru. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugasnya. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:

Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmetika (an) jika a 2 = 5, d = -2,5.

Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugasnya, omong-omong, sangat mudah. Anda hanya perlu memahami arti dari istilah dan notasi. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.

Istilah dan sebutan.

Kemajuan aritmatika adalah rangkaian angka yang setiap angkanya berbeda dengan angka sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini lebih detail.

Perbedaan deret aritmatika.

Perbedaan deret aritmatika adalah jumlah dimana setiap nomor perkembangan lagi yang sebelumnya.

Satu poin penting. Harap memperhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka perkembangan diperoleh menambahkan selisih deret aritmetika dengan bilangan sebelumnya.

Untuk menghitung, katakanlah Kedua nomor baris, perlu untuk Pertama nomor menambahkan ini sangat perbedaan dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu menambahkan Ke keempat baik, dll.

Perbedaan deret aritmatika Mungkin positif maka setiap angka dari deret tersebut akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Kemajuan ini disebut meningkat. Misalnya:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini setiap nomor menambahkan angka positif, +5 ke yang sebelumnya.

Perbedaannya bisa negatif maka setiap nomor dalam seri akan kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.

Misalnya:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke angka sebelumnya, tapi sudah negatif, -5.

Ngomong-ngomong, saat bekerja dengan suatu perkembangan, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Sangat membantu untuk menemukan arah Anda dalam mengambil keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.

Perbedaan deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf D.

Bagaimana menemukan D? Sangat sederhana. Anda perlu mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "perbedaan".)

Mari kita definisikan, misalnya, D untuk peningkatan deret aritmatika:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil nomor baris apa pun yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya itu. 8:

Ini adalah jawaban yang benar. Untuk perkembangan aritmatika ini, perbedaannya adalah tiga.

Anda bisa mengambilnya sejumlah progresi, Karena untuk perkembangan tertentu D-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)

Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.

Mari kita definisikan D untuk deret aritmetika menurun:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan D dibutuhkan dari nomor berapa pun mengambil yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Angka sebelumnya adalah -2. Kemudian:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Perbedaan dari perkembangan aritmatika dapat berupa angka apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.

Istilah dan sebutan lainnya.

Setiap nomor dalam seri disebut anggota barisan aritmatika.

Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar teratur, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, nah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, fraksional, negatif, apa pun, tetapi penomoran- benar-benar teratur!

Bagaimana cara menulis perkembangan dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap angka dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan perkembangan aritmatika, sebagai aturan, surat itu digunakan A. Nomor anggota ditunjukkan dengan indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dst. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).

Ada progresi terbatas dan tidak terbatas.

terakhir perkembangan memiliki jumlah anggota yang terbatas. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu jumlah yang terbatas.

Tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tak terbatas, seperti yang Anda duga.)

Anda dapat menulis perkembangan terakhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan titik di bagian akhir:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Atau seperti ini, jika anggotanya banyak:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Dalam entri singkat, Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:

(an), n = 20

Perkembangan tak terbatas dapat dikenali oleh elipsis di akhir baris, seperti contoh dalam pelajaran ini.

Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.

Contoh tugas untuk perkembangan aritmatika.

Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:

1. Tuliskan enam anggota pertama deret aritmetika (an), jika a 2 = 5, d = -2,5.

Kami menerjemahkan tugas ke dalam bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika yang tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a 2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.

Untuk lebih jelasnya, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi permasalahannya. Enam anggota pertama, dimana anggota kedua berjumlah lima orang:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....

sebuah 3 = sebuah 2 + D

Kami mengganti ekspresi a 2 = 5 Dan d=-2.5. Jangan lupa minusnya!

sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Suku ketiga lebih kecil dari suku kedua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, jadi angkanya sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi menurun. Oke, mari kita perhitungkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:

4 = sebuah 3 + D

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + D

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + D

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, istilah dari yang ketiga hingga yang keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Tetap menemukan istilah pertama sebuah 1 menurut yang terkenal kedua. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, selisih deret aritmetika D tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, A membawa pergi:

sebuah 1 = sebuah 2 - D

sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Hanya itu yang ada untuk itu. Tanggapan tugas:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami telah menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Kata yang mengerikan ini hanya berarti pencarian anggota perkembangan dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.

Satu kesimpulan penting dapat ditarik dari tugas sederhana ini.

Ingat:

Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari barisan aritmatika, kita dapat menemukan anggota dari barisan ini.

Ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah tentang topik ini. Semua tugas berputar di sekitar tiga parameter utama: anggota barisan aritmatika, selisih barisan, jumlah anggota barisan. Semua.

Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangannya. Tetapi sesuai dengan perkembangannya- semuanya berputar di sekitar tiga parameter.

Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer tentang topik ini.

2. Tulis deret aritmetika akhir sebagai deret jika n=5, d=0,4, dan 1=3,6.

Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Dianjurkan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5 Agar tidak dihitung sampai benar-benar membiru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Tetap menuliskan jawabannya:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan apakah angka 7 akan menjadi anggota deret aritmetika (a n) if a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.

Hmm... Siapa yang tahu? Bagaimana cara mendefinisikan sesuatu?

Bagaimana-bagaimana ... Ya, tuliskan perkembangannya dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sekarang terlihat jelas bahwa kami hanya tujuh lolos antara 6,5 ​​dan 7,7! Ketujuh tidak termasuk dalam rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, ketujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.

Jawaban: tidak.

Dan inilah tugas berdasarkan versi nyata dari GIA:

4. Beberapa anggota deret aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; 15; X; 9; 6; ...

Inilah rangkaian tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan D. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa untuk mengetahui dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?

Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.

Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Artinya, angka-angkanya benar-benar teratur, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang dikenal? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung perbedaan dari perkembangan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:

Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi x dapat dengan mudah ditemukan dengan penjumlahan sederhana. Untuk 15 tambahkan perbedaan dari perkembangan aritmatika:

Itu saja. Menjawab: x=12

Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Murni untuk memahami arti deret aritmatika.) Kita tinggal menuliskan rangkaian angka-angka, lihat dan pikirkan.

5. Temukan suku positif pertama dari deret aritmetika jika a 5 = -3; d = 1,1.

6. Diketahui bahwa bilangan 5,5 merupakan anggota deret aritmatika (an), di mana a 1 = 1,6; d = 1,3. Tentukan bilangan n suku ini.

7. Diketahui bahwa dalam deret aritmetika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .

8. Beberapa anggota deret aritmatika yang berurutan dituliskan:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Tentukan suku barisan yang dilambangkan dengan huruf x.

9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta tersebut dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.

10. Diketahui bahwa dalam deret aritmetika a 2 = 5; a 6 = -5. Temukan 1.

Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat mempelajari perkembangan aritmatika pada tingkat yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.

Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Di Bagian Khusus 555, semua teka-teki ini dipecah sepotong demi sepotong.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi dari tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, seperti di telapak tangan Anda!

Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu - murni dengan perkembangan, dan yang kedua - umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan fisika juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu dimensi ke dimensi lainnya. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa makna dasar dari perkembangan aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan D ke angka, tulis seri, semuanya akan diputuskan.

Solusi jari bekerja dengan baik untuk bagian yang sangat pendek dari rangkaian, seperti contoh dalam pelajaran ini. Jika deretnya lebih panjang, perhitungannya menjadi lebih rumit. Misalnya, jika di soal 9 di soal, ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)

Dan ada juga tugas-tugas yang pada intinya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:

Diberikan deret aritmetika (an). Temukan 121 jika 1 =3 dan d=1/6.

Dan apa, kita akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri !?

Anda bisa.) Jika Anda tidak mengetahui rumus sederhana yang dapat digunakan untuk menyelesaikan tugas seperti itu dalam satu menit. Formula ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Tujuan Pelajaran:

• perluasan dan pendalaman ide siswa tentang tugas yang diselesaikan dengan menggunakan deret aritmatika; pengorganisasian aktivitas pencarian siswa saat menurunkan rumus jumlah n anggota pertama dari barisan aritmatika;
• pengembangan keterampilan untuk memperoleh pengetahuan baru secara mandiri, menggunakan pengetahuan yang sudah diperoleh untuk mencapai tugas;
• perkembangan keinginan dan kebutuhan untuk menggeneralisasi fakta yang diperoleh, perkembangan kemandirian.

Tugas:

• menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan yang ada pada topik "Perkembangan aritmatika";
• mendapatkan rumus untuk menghitung jumlah dari n anggota pertama dari deret aritmatika;
• mengajarkan bagaimana menerapkan rumus yang diperoleh dalam memecahkan berbagai masalah;
• menarik perhatian siswa pada prosedur untuk menemukan nilai ekspresi numerik.

Peralatan:

• kartu dengan tugas untuk bekerja dalam kelompok dan berpasangan;
• kertas evaluasi;
• presentasi"Perkembangan Aritmatika".

I. Aktualisasi pengetahuan dasar.

1. Kerja mandiri berpasangan.

opsi pertama:

Tentukan deret aritmatika. Tuliskan rumus rekursif yang mendefinisikan deret aritmatika. Berikan contoh deret aritmatika dan tunjukkan perbedaannya.

opsi ke-2:

Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika. Temukan suku ke-100 dari barisan aritmatika ( sebuah}: 2, 5, 8 …
Pada saat ini, dua siswa di belakang papan sedang menyiapkan jawaban untuk pertanyaan yang sama.
Siswa mengevaluasi pekerjaan pasangannya dengan membandingkannya dengan papan tulis. (Leaflet dengan jawaban diserahkan).

2. Momen permainan.

Latihan 1.

Guru. Saya menyusun beberapa perkembangan aritmatika. Ajukan saya hanya dua pertanyaan sehingga setelah jawaban Anda dapat dengan cepat menyebutkan anggota ke-7 dari perkembangan ini. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pertanyaan dari siswa.

1. Berapakah suku keenam dari barisan tersebut dan apa bedanya?
2. Berapakah suku kedelapan dari barisan itu dan berapa bedanya?

Jika tidak ada pertanyaan lagi, maka guru dapat merangsangnya - “larangan” pada d (perbedaan), yaitu tidak boleh menanyakan apa perbedaannya. Anda dapat mengajukan pertanyaan: berapa suku ke-6 dari barisan tersebut dan berapa suku ke-8 dari barisan tersebut?

Tugas 2.

Ada 20 angka yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri dengan punggung menghadap papan tulis. Siswa menyebutkan nomor dari nomor tersebut, dan guru langsung memanggil nomor itu sendiri. Jelaskan bagaimana saya bisa melakukannya?

Guru mengingat rumus suku ke-n a n \u003d 3n - 2 dan, mengganti nilai n yang diberikan, menemukan nilai yang sesuai sebuah .

II. Pernyataan tugas pendidikan.

Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah lama yang berasal dari milenium ke-2 SM, yang ditemukan dalam papirus Mesir.

Tugas:“Biarlah dikatakan kepadamu: bagilah 10 takaran jelai kepada 10 orang, selisih setiap orang dengan tetangganya adalah 1/8 takaran.”

• Bagaimana masalah ini berhubungan dengan topik perkembangan aritmatika? (Setiap orang berikutnya mendapat 1/8 takaran lebih banyak, jadi selisihnya adalah d=1/8, 10 orang, jadi n=10.)
• Menurutmu apa arti angka 10? (Jumlah semua anggota perkembangan.)
• Apa lagi yang perlu Anda ketahui agar mudah dan sederhana membagi jelai sesuai dengan kondisi masalahnya? (Suku pertama dari perkembangan.)

Tujuan pelajaran- memperoleh ketergantungan jumlah suku-suku perkembangan pada bilangan mereka, suku pertama dan selisihnya, dan memeriksa apakah soal diselesaikan dengan benar di zaman kuno.

Sebelum menurunkan rumusnya, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno memecahkan masalah tersebut.

Dan mereka memecahkannya seperti ini:

1) 10 takaran: 10 = 1 takaran - bagian rata-rata;
2) 1 takaran ∙ = 2 takaran - digandakan rata-rata membagikan.
dua kali lipat rata-rata bagiannya adalah jumlah bagian orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 takaran - 1/8 takaran = 1 7/8 takaran - dua kali bagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - bagian kelima; dan seterusnya, Anda dapat menemukan bagian dari setiap orang sebelumnya dan selanjutnya.

Kami mendapatkan urutannya:

AKU AKU AKU. Solusi tugas.

1. Bekerja dalam kelompok

kelompok 1: Temukan jumlah 20 bilangan asli berurutan: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Secara umum

kelompok II: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 (Legenda Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Kesimpulan:

kelompok III: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 21.

Solusi: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

kelompok IV: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 101.

Kesimpulan:

Metode pemecahan masalah yang dipertimbangkan ini disebut "metode Gauss".

2. Setiap kelompok mempresentasikan pemecahan masalah di papan tulis.

3. Generalisasi solusi yang diusulkan untuk perkembangan aritmatika arbitrer:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, n-2 , n-1 , n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Kami menemukan jumlah ini dengan alasan serupa:

4. Sudahkah kita menyelesaikan tugas?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penerapan rumus yang diperoleh dalam memecahkan masalah.

1. Memeriksa solusi dari masalah lama dengan rumus.

2. Penerapan rumus dalam menyelesaikan berbagai masalah.

3. Latihan pembentukan kemampuan mengaplikasikan rumus dalam menyelesaikan soal.

A) Nomor 613

Diberikan :( dan N) - perkembangan aritmatika;

(n): 1, 2, 3, ..., 1500

Menemukan: S 1500

Larutan: , dan 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberikan: ( dan N) - perkembangan aritmatika;
(dan n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Menemukan: N
Larutan:

V. Pekerjaan mandiri dengan verifikasi timbal balik.

Denis pergi bekerja sebagai kurir. Di bulan pertama, gajinya 200 rubel, di setiap bulan berikutnya naik 30 rubel. Berapa penghasilannya dalam setahun?

Diberikan :( dan N) - perkembangan aritmatika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Menemukan: S 12
Larutan:

Menjawab: Denis menerima 4380 rubel untuk tahun ini.

VI. Instruksi pekerjaan rumah.

1. p.4.3 - pelajari derivasi rumus.
2. №№ 585, 623 .
3. Buatlah soal yang akan diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika.

VII. Menyimpulkan pelajaran.

1. Lembar skor

2. Lanjutkan kalimatnya

• Hari ini di kelas saya belajar...
• Formula yang dipelajari...
• Aku percaya itu …

3. Dapatkah kamu menemukan jumlah bilangan dari 1 sampai 500? Metode apa yang akan Anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Bibliografi.

1. Aljabar, kelas 9. Buku teks untuk institusi pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskow: Pencerahan, 2009.